सारणिक और आव्यूह

सारणिक और आव्यूह रैखिक बीजगणित के मूलभूत अवधारणाएँ हैं, जो गणित की एक शाखा है जिसमें रैखिक समीकरणों के तंत्र और उनके हलों का अध्ययन किया जाता है।

एक आव्यूह संख्याओं या चरों का एक आयताकार सरणी होता है जिसे पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। इसका उपयोग रैखिक समीकरणों के तंत्र को दर्शाने, निर्देशांकों को रूपांतरित करने या विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने के लिए किया जा सकता है।

किसी वर्ग आव्यूह का सारणिक एक एकल संख्यात्मक मान होता है जिसे आव्यूह के अवयवों से परिकलित किया जा सकता है। यह आव्यूह के गुणों, जैसे कि वह व्युत्क्रमणीय है या विलक्षण, के बारे में जानकारी देता है।

सारणिक का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में भी किया जाता है, जिनमें रैखिक समीकरणों के तंत्र को हल करना, आइगेन-मान और आइगेन-सदिश खोजना, और ज्यामितीय वस्तुओं के क्षेत्रफल या आयतन की गणना करना शामिल है।

आव्यूह और सारणिक कई क्षेत्रों—भौतिकी, अभियांत्रिकी, कंप्यूटर विज्ञान, अर्थशास्त्र और सांख्यिकी—में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जहाँ वे जटिल तंत्रों को मॉडलित और विश्लेषित करने तथा वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

आव्यूह की परिभाषा

एक आव्यूह संख्याओं या चरों का एक आयताकार सरणी होता है। इसे एक बड़े अक्षर, जैसे A, B या C, से दर्शाया जाता है। आव्यूह के अवयवों को निचले अधिरेखित सूचकांकों से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, आव्यूह A की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में स्थित अवयव A12 होता है।

मैट्रिक्स का उपयोग विभिन्न गणितीय वस्तुओं को दर्शाने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली, रूपांतरण और सदिश। इनका उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग और अन्य क्षेत्रों में भी किया जाता है।

उदाहरण 1: रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरणों की प्रणाली

$x + 2y = 3$

$3x - y = 4$

को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है

$A\times =B$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

मैट्रिक्स की पहली पंक्ति पहले समीकरण में चरों के गुणांकों को दर्शाती है, और दूसरी पंक्ति दूसरे समीकरण में चरों के गुणांकों को दर्शाती है।

उदाहरण 2: रूपांतरण

एक रूपांतरण को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वह रूपांतरण जो किसी बिंदु (x, y) को 45 डिग्री घुमाता है, उसे मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है

$\begin{bmatrix} cos(45^\circ) & -sin(45^\circ) \\ sin(45^\circ) & cos(45^\circ) \end{bmatrix}$

मैट्रिक्स की पहली पंक्ति रूपांतरित बिंदु के x-निर्देशांक के गुणांकों को दर्शाती है, और दूसरी पंक्ति रूपांतरित बिंदु के y-निर्देशांक के गुणांकों को दर्शाती है।

उदाहरण 3: सदिश

एक सदिश को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सदिश (1, 2, 3) को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

मैट्रिक्स के अवयव सदिश के घटकों को दर्शाते हैं।

मैट्रिक्स के गुणधर्म

मैट्रिक्स के कई गुणधर्म होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

(i) क्रमविनिमेय नियम यदि $A = [a_{ij}], B = [b_{ij}]$ समान क्रम, मान लीजिए

$m × n$, के मैट्रिक्स हैं, तो $A + B = B + A$।

अब $A + B = [a_{ij}] + [b_{ij}] = [a_{ij} + b_{ij}]$

$= [b_{ij} + a_{ij}]$ (संख्याओं का योग क्रमविनिमेय होता है)

$= ([b_{ij}] + [a_{ij}]) = B + A$

(ii) साहचर्य नियम किसी भी तीन मैट्रिक्स $A = [a_{ij}], B = [b_{ij}], C = [c_{ij}]$ के लिए

समान क्रम, मान लीजिए $ m × n, (A + B) + C = A + (B + C).$

अब $(A + B) + C = ([a_{ij}] + [b_{ij}]) + [c_{ij}]$

= $[a_{ij}] + [b_{ij}] + [c_{ij}] = [(a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij}]$

=$[a_{ij}] + (b_{ij} + c_{ij}]$

= $[a_{ij}] + [(b_{ij} + c_{ij})] = [a_{ij}] + ([b_{ij}] + [c_{ij}]) = A + (B + C)$

(iii) योज्य तत्समक की उपस्थिति मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $m × n$ मैट्रिक्स है और

$O$ एक $m × n$ शून्य मैट्रिक्स है, तो $A + O = O+ A = A$। दूसरे शब्दों में,

$O$ मैट्रिक्स योजन के लिए योज्य तत्समक है।

(iv) योज्य प्रतिलोम की उपस्थिति मान लीजिए $A = [a_{ij}]_{m × n}$

कोई भी मैट्रिक्स है, तो हमारे पास एक अन्य मैट्रिक्स $– A = [– a_{ij}]_{m × n}$

है जिससे $A + (– A) = (– A) + A= O$। इसलिए

$– A$, $A$ का योज्य प्रतिलोम या $A$ का ऋणात्मक है

मैट्रिक्स के अनुप्रयोग

मैट्रिक्स का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• भौतिकी: बलों, वेगों और अन्य भौतिक राशियों को दर्शाने के लिए मैट्रिसेस का उपयोग किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: तनाव, विकृति और अन्य इंजीनियरिंग राशियों को दर्शाने के लिए मैट्रिसेस का उपयोग किया जाता है।
• कंप्यूटर ग्राफ़िक्स: रोटेशन और ट्रांसलेशन जैसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन को दर्शाने के लिए मैट्रिसेस का उपयोग किया जाता है।
• मशीन लर्निंग: डेटा को दर्शाने और गणनाएँ करने के लिए मैट्रिसेस का उपयोग किया जाता है।

मैट्रिसेस गणितीय वस्तुओं को दर्शाने और उनके साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। इनका उपयोग भौतिकी से लेकर कंप्यूटर ग्राफ़िक्स तक विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है।

मैट्रिसेस के प्रकार

एक मैट्रिक्स संख्याओं या चरों का एक आयताकार ऐरे होता है। मैट्रिसेस का उपयोग विभिन्न गणितीय वस्तुओं—जैसे रैखिक समीकरणों के तंत्र, ट्रांसफ़ॉर्मेशन और ग्राफ़—को दर्शाने के लिए किया जाता है।

कई प्रकार की मैट्रिसेस होती हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएँ और उपयोग होते हैं। सबसे सामान्य प्रकारों में शामिल हैं:

• वर्ग मैट्रिसेस वे मैट्रिसेस होती हैं जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। उदाहरण के लिए, 3×3 मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।
• सममित मैट्रिसेस वर्ग मैट्रिसेस होती हैं जिनमें विकर्ण के तत्व समान होते हैं और विकर्ण के ऊपर के तत्व विकर्ण के नीचे के तत्वों के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$

• त्रिकोणीय आव्यूह वर्गाकार आव्यूह होते हैं जिनमें विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न आव्यूह एक त्रिकोणीय आव्यूह है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

• विकर्ण आव्यूह वर्गाकार आव्यूह होते हैं जिनमें विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

• शून्य आव्यूह वे आव्यूह होते हैं जिनमें सभी अवयव शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न आव्यूह एक शून्य आव्यूह है:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

आव्यूहों का उपयोग विभिन्न गणितीय वस्तुओं को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को एक आव्यूह समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है। निम्न रैखिक समीकरणों की प्रणाली:

$$3x + 2y = 5$$

$$2x - y = 1$$

को निम्न आव्यूह समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$

आव्यूहों का उपयोग रूपांतरणों को दर्शाने के लिए भी किया जा सकता है। एक रूपांतरण एक फलन होता है जो एक बिंदु समुच्चय को दूसरे बिंदु समुच्चय पर मैप करता है। उदाहरण के लिए, एक घूर्णन एक रूपांतरण होता है जो एक बिंदु को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाता है। निम्न आव्यूह मूल बिंदु के चारों ओर 90 डिग्री के घूर्णन को दर्शाता है:

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$

मैट्रिक्स गणितीय वस्तुओं को दर्शाने और उनके साथ हेरफेर करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। इनका उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र सहित विविध अनुप्रयोगों में किया जाता है।

मैट्रिक्स के उदाहरण

यहाँ कुछ मैट्रिक्स के उदाहरण दिए गए हैं:

• निम्न मैट्रिक्स एक रैखिक समीकरणों की प्रणाली को दर्शाता है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ 12 \end{pmatrix}$$

• निम्न मैट्रिक्स मूल बिंदु के चारों ओर 30 डिग्री के घूर्णन को दर्शाता है:

$$\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix}$$

• निम्न मैट्रिक्स एक ग्राफ की सटीजेंसी मैट्रिक्स को दर्शाता है:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

मैट्रिक्स एक बहुउद्देशीय उपकरण हैं जिनका उपयोग विविध गणितीय वस्तुओं को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। इनका उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र सहित विविध अनुप्रयोगों में किया जाता है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक अद्वितीय मैट्रिक्स होता है जिसे मूल मैट्रिक्स से गुणा करने पर तत्समक मैट्रिक्स प्राप्त होता है। तत्समक मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण पर 1 और शेष सभी स्थानों पर 0 होते हैं।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

का व्युत्क्रम

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$

किसी मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निकालने के लिए आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times adj(A)$

जहाँ:

• $|A|$ मैट्रिक्स A का सारणिक है
• $adj(A)$ मैट्रिक्स A का सहखंड मैट्रिक्स है

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स A का सारणिक है:

$|A| = (1 \times 4) - (2 \times 3) = -2$

मैट्रिक्स A का सहखंड मैट्रिक्स है:

$$ \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

सहखंड मैट्रिक्स का परिवर्त है:

$$adj(A)=\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

मैट्रिक्स A का सारणिक है

$$|A| = (1 \times 4) - (2 \times 3) = -2$$

इसलिए, मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम है:

$A^{-1} =\dfrac {1}{-2} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -0.5 & -1 \ -1.5 & -2 \end{pmatrix}$

किसी मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। उदाहरण के लिए:

• किसी मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का व्युत्क्रम वही मूल मैट्रिक्स होता है।
• दो मैट्रिक्स के गुणनफल का व्युत्क्रम, मैट्रिक्सों के व्युत्क्रमों के उल्टे क्रम में गुणनफल के बराबर होता है।
• यदि कोई मैट्रिक्स व्युत्क्रम योग्य है, तो उसका व्युत्क्रम अद्वितीय होता है।

सभी मैट्रिक्सों का व्युत्क्रम नहीं होता। जिस मैट्रिक्स का व्युत्क्रम नहीं होता, उसे विलुप्त (singular) कहा जाता है। कोई मैट्रिक्स तभी विलुप्त होती है जब उसका सारणिक शून्य हो।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जैसे कि:

• रैखिक समीकरणों के निकायों को हल करना
• किसी मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर खोजना
• किसी मैट्रिक्स का सारणिक (डिटरमिनेंट) निकालना
• किसी फंक्शन का व्युत्क्रम निकालना

एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।

मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़

मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़

गणित में, किसी मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ एक ऐसा संक्रिया है जो मैट्रिक्स को उसके विकर्ण पर पलट देती है। इसका अर्थ है कि मूल मैट्रिक्स की पंक्तियाँ ट्रांसपोज़ की स्तंभ बन जाती हैं, और मूल मैट्रिक्स के स्तंभ ट्रांसपोज़ की पंक्तियाँ बन जाते हैं।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

निम्नलिखित मैट्रिक्स है:

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

किसी मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ को प्रायः प्रतीक $A^T$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $A$ मूल मैट्रिक्स है।

ट्रांसपोज़ के गुणधर्म

किसी मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं। इन गुणधर्मों में शामिल हैं:

• किसी मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ का ट्रांसपोज़ मूल मैट्रिक्स होता है।
• दो मैट्रिक्स के गुणनफल का ट्रांसपोज़ मैट्रिक्सों के ट्रांसपोज़ के उलटे क्रम में गुणनफल के बराबर होता है।
• दो मैट्रिक्सों के योग का ट्रांसपोज़ मैट्रिक्सों के ट्रांसपोज़ के योग के बराबर होता है।
• किसी मैट्रिक्स के स्केलर गुणांक का ट्रांसपोज़ स्केलर गुणांक के ट्रांसपोज़ के बराबर होता है।

ट्रांसपोज़ के उदाहरण

मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़ का उपयोग निम्नलिखित के लिए किया जा सकता है:

• किसी मैट्रिक्स के eigenvalues और eigenvectors खोजने के लिए।
• रैखिक समीकरणों के तंत्र को हल करने के लिए।
• किसी मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजने के लिए।
• दो या तीन आयामों में किसी सदिश को घुमाने के लिए।

निष्कर्ष

मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ रैखिक बीजगणित में एक मौलिक संक्रिया है। इसके कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं और इसका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जा सकता है।

सारणिक की परिभाषा

सारणिक की परिभाषा

गणित में, सारणिक एक अदिश मान है जो किसी वर्ग मैट्रिक्स से संबद्ध होता है। यह एक माप है कि मैट्रिक्स सदिशों पर लागू होने पर स्थान को “कितना खींचता” या “कितना सिकोड़ता” है।

किसी मैट्रिक्स की सारणिक की गणना मैट्रिक्स के तत्वों के प्रत्येक विकर्ण के साथ उत्पादों को बारी-बारी से चिह्नों के साथ जोड़कर की जाती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित 2x2 मैट्रिक्स की सारणिक इस प्रकार गणना की जाती है:

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

किसी मैट्रिक्स की सारणिक यह निर्धारित करने के लिए उपयोग की जा सकती है कि क्या मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है। एक मैट्रिक्स तभी व्युत्क्रमणीय होती है जब उसकी सारणिक शून्येतर हो।

मैट्रिक्स की सारणिक का उपयोग मैट्रिक्स के eigenvalues की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है। मैट्रिक्स के eigenvalues उसकी विशेष बहुपद के मूल होते हैं, जो एक बहुपद है जो मैट्रिक्स की सारणिक के पदों में परिभाषित होता है।

उदाहरण

• निम्नलिखित 2x2 मैट्रिक्स की सारणिक -2 है:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$$

• निम्नलिखित 3x3 मैट्रिक्स का सारणिक 0 है:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0$$

अनुप्रयोग

किसी मैट्रिक्स का सारणिक गणित और भौतिकी में कई अनुप्रयोगों का है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग होता है:

• रैखिक बीजगणित: मैट्रिक्स का सारणिक यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं, मैट्रिक्स के आइगेन-मानों की गणना करने के लिए, और रैखिक समीकरणों के तंत्रों को हल करने के लिए।
• कलन: मैट्रिक्स का सारणिक किसी फलन के जैकोबियन की गणना करने के लिए किया जाता है, जो यह माप होता है कि फलन के इनपुट बदलने पर वह कैसे बदलता है।
• भौतिकी: मैट्रिक्स का सारणिक समांतरषटफलक के आयतन, समांतरचतुर्भुज के क्षेत्रफल और सदिश क्षेत्र के फ्लक्स की गणना करने के लिए किया जाता है।

सारणिक के गुण

सारणिक गणितीय वस्तुएँ होती हैं जो किसी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल या आयतन को दर्शाने के लिए प्रयुक्त होती हैं। इनका उपयोग रैखिक समीकरणों के तंत्रों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। सारणिकों के कई ऐसे गुण होते हैं जो इन्हें इन उद्देश्यों के लिए उपयोगी बनाते हैं।

1. मैट्रिक्स का सारणिक एक अदिश होता है।

इसका अर्थ है कि यह एक एकल संख्या होती है, न कि सदिश या मैट्रिक्स। मैट्रिक्स का सारणिक मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों के क्रम से भी स्वतंत्र होता है।

2. किसी आव्यूह का सारणिक उसकी प्रत्येक पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफलों के योग के बराबर होता है।

किसी अवयव का सहखंड वह सारणिक होता है जो उस उप-आव्यूह से बनता है जिसे उस पंक्ति और स्तंभ को हटाकर बनाया जाता है जिसमें वह अवयव स्थित होता है।

3. किसी आव्यूह का सारणिक उसके आइगेन-मानों के गुणनफल के बराबर होता है।

किसी आव्यूह के आइगेन-मान उसके अभिलाक्षणिक बहुपद के मूल होते हैं। किसी आव्यूह का अभिलाक्षणिक बहुपद एक बहुपद होता है जो आव्यूह और तत्समक आव्यूह के गुणनफल को अदिश चर से घटाकर बनाया जाता है।

4. किसी आव्यूह का सारणिक शून्य होता है यदि और केवल यदि आव्यूह विलोमहीन हो।

विलोमहीन आव्यूह एक ऐसा आव्यूह होता है जिसका व्युत्क्रम नहीं होता।

5. किसी आव्यूह का सारणिक एक गुणज फलन होता है।

इसका अर्थ है कि दो आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उन दोनों आव्यूहों के सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है।

6. किसी आव्यूह का सारणिक एक सतत फलन होता है।

इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे आव्यूह के अवयव बदलते हैं, आव्यूह का सारणिक सहज रूप से बदलता है।

7. किसी आव्यूह का सारणिक एक बहुपद फलन होता है।

इसका अर्थ है कि किसी आव्यूह का सारणिक उस आव्यूह के अवयवों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण

यहाँ सारणिकों के गुणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$ है।

• आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ का सारणिक $1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) - 2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 8 - 5 \times 7) = 0$ है।

• आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक उसके आइगन-मानों के गुणनफल के बराबर है, जो 1 और 4 हैं।

• आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक शून्य है, जिसका अर्थ है कि आव्यूह विलोमनीय (singular) है।

• आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक एक सतत फलन है, जिसका अर्थ है कि आव्यूह के अवयवों के साथ-साथ उसका सारणिक भी सहज रूप से बदलता है।

• आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक एक बहुपद फलन है, जिसका अर्थ है कि आव्यूह का सारणिक उसके अवयवों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो $x^2 + 2x + 4$ है।

अनुप्रयोग

सारणिकों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• किसी ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल या आयतन ज्ञात करना
• रैखिक समीकरणों के समूहों को हल करना
• किसी आव्यूह के आइगन-मान और आइगन-सदिश खोजना
• यह निर्धारित करना कि कोई आव्यूह विलोमनीय है या नहीं
• किसी आव्यूह का व्युत्क्रम खोजना

सारणिक एक शक्तिशाली उपकरण हैं जिनका उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।

निर्धारक के लिए लाप्लास सूत्र

निर्धारक के लिए लाप्लास सूत्र किसी आव्यूह का निर्धारक किसी पंक्ति या स्तंभ के साथ विस्तार करके परिकलित करने की एक विधि है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन लाप्लास के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पहली बार 1772 में प्रकाशित किया था।

लाप्लास सूत्र कहता है कि किसी $n \times n$ आव्यूह $A$ का निर्धारक किसी भी पंक्ति या स्तंभ $i$ के साथ विस्तार करके परिकलित किया जा सकता है। पंक्ति $i$ के साथ विस्तार इस प्रकार दिया गया है:

$$det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$$

जहाँ $a_{ij}$ आव्यूह $A$ की $i$वीं पंक्ति और $j$वें स्तंभ में स्थित अवयव है, और $M_{ij}$ आव्यूह $A$ का वह अल्प आव्यूह है जो $i$वीं पंक्ति और $j$वें स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है।

इसी प्रकार, स्तंभ $j$ के साथ विस्तार इस प्रकार दिया गया है:

$$det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$$

जहाँ $a_{ij}$ आव्यूह $A$ की $i$वीं पंक्ति और $j$वें स्तंभ में स्थित अवयव है, और $M_{ij}$ आव्यूह $A$ का वह अल्प आव्यूह है जो $i$वीं पंक्ति और $j$वें स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण:

निम्नलिखित आव्यूह का निर्धारक लाप्लास सूत्र का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

पहली पंक्ति के साथ विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$det(A) = 1 \cdot M_{11} - 2 \cdot M_{12} + 3 \cdot M_{13}$$

जहाँ

$$M_{11} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad M_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}, \quad M_{13} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

अल्प आव्यूहों की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$M_{11} = (5)(9) - (6)(8) = -3,$$

$$M_{12} = (4)(9) - (6)(7) = -6,$$

$$M_{13} = (4)(8) - (5)(7) = -3.$$

इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$det(A) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) -=0$$

इसलिए, A का कर्णिक 0 है।

अनुप्रयोग:

लाप्लास सूत्र का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• एक मैट्रिक्स के आइगेनमानों को खोजना
• रैखिक समीकरणों के समूहों को हल करना
• एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निकालना
• एक समान्तरषटि का आयतन खोजना
• एक बहुभुज का क्षेत्रफल निकालना

लाप्लास सूत्र किसी मैट्रिक्स के कर्णिक की गणना के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। यह एक सामान्य विधि है जिसे किसी भी मैट्रिक्स पर, उसके आकार या आकृति की परवाह किए बिना, लागू किया जा सकता है।

कर्णिक और मैट्रिक्स हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 2x2 मैट्रिक्स का कर्णिक खोजना

निम्नलिखित 2x2 मैट्रिक्स का कर्णिक ज्ञात कीजिए:

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$

2x2 मैट्रिक्स का कर्णिक इस प्रकार गणना किया जाता है:

$det(A) = ad - bc$

जहाँ a, b, c, और d मैट्रिक्स के अवयव हैं।

इस मामले में, हमारे पास है:

$a = 2, b = 3, c = 4, d = 5$

इसलिए, A का कर्णिक है:

$det(A) = (2)(5) - (3)(4) = 10 - 12 = -2$

इसलिए, A का कर्णिक -2 है।

उदाहरण 2: 3x3 मैट्रिक्स का कर्णिक खोजना

निम्नलिखित 3x3 मैट्रिक्स का कर्णिक ज्ञात कीजिए:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

3x3 मैट्रिक्स का कर्णिक पहली पंक्ति के साथ लाप्लास प्रसार का उपयोग करके गणना किया जाता है:

$det(A) = a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$

जहाँ a11, a12, और a13 मैट्रिक्स A की पहली पंक्ति के अवयव हैं, और A11, A12, और A13 वे उप-मैट्रिक्स हैं जो A की पहली पंक्ति और संगत स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए जाते हैं।

इस स्थिति में, हमारे पास है:

$a_{11} = 1, a_{12} = 2, a_{13} = 3$

और उप-मैट्रिक्स हैं:

$$ A_{11} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{bmatrix}$$

$$ A_{12}=\begin{bmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{bmatrix}$$

$$ A_{13} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

इसलिए, A का सारणिक है:

$det(A) = (1)(detA_{11}) - (2)(detA_{12}) + (3)(detA_{13})$

$det(A) = (1)((5)(9) - (6)(8)) - (2)((4)(9) - (6)(7)) + (3)((4)(8) - (5)(7))$

$det(A) = (1)(45 - 48) - (2)(36 - 42) + (3)(32 - 35)$

$det(A) = (1)(-3) - (2)(-6) + (3)(-3)$

$det(A) = -3 + 12 - 9 = 0$

इसलिए, A का सारणिक 0 है।

सारणिक और मैट्रिक्स पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मैट्रिक्स को परिभाषित करें

मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स संख्याओं या चरों की एक आयताकार सरणी होती है। इसे एक बड़े अक्षर, जैसे A, B, या C द्वारा दर्शाया जाता है। मैट्रिक्स के अवयवों को सबस्क्रिप्ट द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स A में पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव A12 होता है।

मैट्रिक्स का उपयोग विभिन्न गणितीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे रैखिक बीजगणित, कलन, और भौतिकी। इनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में डेटा को दर्शाने के लिए भी किया जा सकता है, जैसे अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग, और सांख्यिकी।

मैट्रिक्स के प्रकार

मैट्रिक्स के कई अलग-अलग प्रकार होते हैं, प्रत्येक के अपने गुण होते हैं। मैट्रिक्स के कुछ सबसे सामान्य प्रकारों में शामिल हैं:

• वर्ग मैट्रिक्स: एक वर्ग मैट्रिक्स वह मैट्रिक्स होता है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है।
• सममित मैट्रिक्स: एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण के तत्व समान होते हैं और विकर्ण के ऊपर के तत्व विकर्ण के नीचे के तत्वों के बराबर होते हैं।
• त्रिकोणीय मैट्रिक्स: एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य होते हैं।
• विकर्ण मैट्रिक्स: एक विकर्ण मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण के बाहर के सभी तत्व शून्य होते हैं।

मैट्रिक्स संक्रियाएँ

मैट्रिक्स पर कई अलग-अलग संक्रियाएँ की जा सकती हैं, जिनमें शामिल हैं:

• योग: दो मैट्रिक्स को जोड़ने के लिए, बस संगत तत्वों को जोड़ें।
• घटाव: दो मैट्रिक्स को घटाने के लिए, बस संगत तत्वों को घटाएँ।
• गुणा: दो मैट्रिक्स को गुणा करने के लिए, पहली मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी मैट्रिक्स के पहले स्तंभ के तत्वों से गुणा करें, और फिर गुणनफलों को जोड़ें। इस प्रक्रिया को पहली मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति और दूसरी मैट्रिक्स के प्रत्येक स्तंभ के लिए दोहराएँ।
• ट्रांसपोज: किसी मैट्रिक्स का ट्रांसपोज एक नई मैट्रिक्स होती है जो मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर बनाई जाती है।

मैट्रिक्स के अनुप्रयोग

मैट्रिक्स का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• रैखिक बीजगणित: आव्यूहों का उपयोग रैखिक समीकरणों के तंत्रों को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें गॉस-एलिमिनेशन और आव्यूह व्युत्क्रमण जैसी विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है।
• कलन: आव्यूहों का उपयोग फलनों के अवकलज और समाकलन को दर्शाने के लिए किया जाता है।
• भौतिकी: आव्यूहों का उपयोग बल, आघूर्ण और अन्य भौतिक राशियों को दर्शाने के लिए किया जाता है।
• अर्थशास्त्र: आव्यूहों का उपयोग आर्थिक आंकड़ों—जैसे मूल्य, उत्पादन स्तर और उपभोग स्तर—को दर्शाने के लिए किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: आव्यूहों का उपयोग इंजीनियरिंग आंकड़ों—जैसे प्रतिबल, विकृति और तापमान—को दर्शाने के लिए किया जाता है।
• सांख्यिकी: आव्यूहों का उपयोग सांख्यिकीय आंकड़ों—जैसे माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण—को दर्शाने के लिए किया जाता है।

आव्यूह एक शक्तिशाली उपकरण हैं जिनका उपयोग विविध अनुप्रयोगों में आंकड़ों को दर्शाने और उनके साथ संचालन करने के लिए किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार के आव्यूहों और उन पर किए जा सकने वाले संचालनों को समझकर, आप आव्यूहों की सहायता से विस्तृत समस्याओं को हल कर सकते हैं।

आव्यूहों के उदाहरण

यहाँ कुछ आव्यूहों के उदाहरण दिए गए हैं:

• निम्न आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

• निम्न आव्यूह एक सममित आव्यूह है:

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

• निम्न आव्यूह एक त्रिभुजीय आव्यूह है:

$$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$

• निम्न आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है:

$$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$$

ये कुछ उदाहरण हैं अनेक प्रकार की मैट्रिक्स के जो अस्तित्व में हैं। मैट्रिक्स एक शक्तिशाली उपकरण हैं जिनका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में डेटा को प्रस्तुत करने और संचालित करने के लिए किया जा सकता है।

सारांश (Determinant) का क्या अर्थ है?

सारांश (Determinant)

गणित में, सारांश एक अदिश मान है जो एक वर्ग मैट्रिक्स से संबद्ध होता है। यह मैट्रिक्स की प्रविष्टियों का एक फलन है, और इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं।

किसी मैट्रिक्स का सारांश इसकी प्रत्येक विकर्ण के अनुदिश तत्वों के गुणनफलों को जोड़कर और फिर प्रत्येक प्रतिविकर्ण के अनुदिश तत्वों के गुणनफलों को घटाकर परिकलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्न 2×2 मैट्रिक्स का सारांश इस प्रकार परिकलित किया जाता है:

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

किसी मैट्रिक्स का सारांश यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं। एक मैट्रिक्स तभी व्युत्क्रमणीय होती है जब उसका सारांश शून्य के बराबर न हो। उदाहरण के लिए, निम्न मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है क्योंकि उसका सारांश शून्य के बराबर नहीं है:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$

किसी मैट्रिक्स का सारणिक (determinant) उस मैट्रिक्स के इजेन-मानों (eigenvalues) को खोजने में भी उपयोग किया जा सकता है। मैट्रिक्स के इजेन-मान उसकी विशिष्ट बहुपद (characteristic polynomial) के मूल होते हैं। मैट्रिक्स का विशिष्ट बहुपद एक ऐसा बहुपद होता है जो चर (variable) और पहचान मैट्रिक्स (identity matrix) के गुणनफल से मैट्रिक्स के सारणिक को घटाकर बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स का विशिष्ट बहुपद है:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & 4-\lambda \end{bmatrix}$$

मैट्रिक्स के इजेन-मान विशिष्ट बहुपद के मूल होते हैं, जो हैं:

$$ \lambda_1 = 1 $$

$$ \lambda_2 = 4 $$

सारणिकों के उदाहरण

• पहचान मैट्रिक्स का सारणिक 1 होता है।
• त्रिकोणीय मैट्रिक्स का सारणिक विकर्णीय तत्वों का गुणनफल होता है।
• दो समान पंक्तियों या स्तंभों वाली मैट्रिक्स का सारणिक 0 होता है।
• किसी मैट्रिक्स का सारणिक लाप्लास विस्तार (Laplace expansion) का उपयोग करके गणना किया जा सकता है।

सारणिकों के अनुप्रयोग

• सारणिकों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या कोई मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय (invertible) है।
• सारणिकों का उपयोग मैट्रिक्स के इजेन-मान खोजने के लिए किया जाता है।
• सारणिकों का उपयोग आयतन और क्षेत्रफलों की गणना में किया जाता है।
• सारणिकों का उपयोग रैखिक समीकरणों के समूहों के हल में किया जाता है।

विभिन्न प्रकार की मैट्रिक्स का उल्लेख करें

मैट्रिक्स के प्रकार

मैट्रिक्स संख्याओं या चरों के आयताकार ऐरे होते हैं। इनका उपयोग विभिन्न गणितीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें रैखिक बीजगणित, कलन और सांख्यिकी शामिल हैं। मैट्रिक्स के कई प्रकार होते हैं, प्रत्येक के अपने गुण और उपयोग होते हैं।

वर्ग मैट्रिक्स

वर्ग मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। उदाहरण के लिए, 3×3 मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

सममित मैट्रिक्स

सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण के तत्व समान होते हैं और विकर्ण के ऊपर के तत्व विकर्ण के नीचे के तत्वों के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$

त्रिकोणीय मैट्रिक्स

त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न मैट्रिक्स एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

विकर्ण मैट्रिक्स

विकर्ण मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण के बाहर के सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

इकाई मैट्रिक्स

इकाई मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होता है जिसमें विकर्ण पर 1 और शेष सभी स्थानों पर 0 होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्न मैट्रिक्स एक इकाई मैट्रिक्स है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

शून्य मैट्रिक्स

शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह होता है जिसमें सभी अवयव शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आव्यूह एक शून्य आव्यूह है:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

विस्तारित आव्यूह

विस्तारित आव्यूह एक ऐसा आव्यूह होता है जिसे किसी अन्य आव्यूह के साथ स्तंभों को जोड़कर संयुक्त किया गया हो। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आव्यूह एक विस्तारित आव्यूह है:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}$$

आव्यूहों के अनुप्रयोग

आव्यूहों का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• रैखिक समीकरणों के समूहों को हल करना
• आइगेन-मान और आइगेन-वेक्टर खोजना
• सारणिक की गणना करना
• फलनों का आलेख बनाना
• निर्देशांकों का रूपांतरण
• आंकड़ों का प्रतिनिधित्व

आव्यूह आंकड़ों को दर्शाने और उनके साथ संचालन करने के लिए एक शक्तिशाली साधन हैं। इनका उपयोग गणित से लेकर अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान तक विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

हम सारणिकों का उपयोग क्यों करते हैं?

सारणिक गणितीय वस्तुएँ हैं जिनका उपयोग रैखिक समीकरणों के समूहों और आव्यूहों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। ये यह निर्धारित करने का एक तरीका प्रदान करते हैं कि किसी समीकरण समूह का एक अद्वितीय हल है या नहीं, और इनका उपयोग समीकरण समूह का हल खोजने के लिए भी किया जा सकता है।

हम सारणिकों का उपयोग क्यों करते हैं?

सारणिकों के उपयोगी होने के कई कारण हैं।

• यह निर्धारित करने के लिए कि क्या समीकरणों की एक प्रणाली का एक अद्वितीय हल है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक अद्वितीय हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्येतर हो।
• समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने के लिए। गुणांक आव्यूह के सारणिक का उपयोग क्रैमर के नियम का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने के लिए किया जा सकता है।
• आव्यूहों के गुणों का अध्ययन करने के लिए। सारणिकों का उपयोग आव्यूहों के गुणों, जैसे कि उनके आइगेनमान और आइगेनसदिशाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
• ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए। सारणिकों का उपयोग ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि त्रिभुज का क्षेत्रफल या समान्तरषट्फलक का आयतन खोजना।

उदाहरण कि सारणिकों का उपयोग कैसे किया जाता है

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि विभिन्न क्षेत्रों में सारणिकों का उपयोग कैसे किया जाता है:

• रैखिक बीजगणित में, सारणिकों का उपयोग आव्यूहों के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक आव्यूह के सारणिक का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या आव्यूह व्युत्क्रमणीय है।
• कलन में, सारणिकों का उपयोग किसी क्षेत्र का क्षेत्रफल खोजने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, जैकोबी आव्यूह के सारणिक का उपयोग समतल में किसी क्षेत्र का क्षेत्रफल खोजने के लिए किया जा सकता है।
• भौतिकी में, सारणिकों का उपयोग भौतिक प्रणालियों के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, हेसian आव्यूह के सारणिक का उपयोग किसी भौतिक प्रणाली की स्थिरता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

निर्धारक एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण हैं जिसका विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग होता है। वे आव्यूहों और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के गुणों को समझने के लिए एक आवश्यक उपकरण हैं।