HCF और LCM

दो या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) सबसे बड़ी संख्या होती है जो प्रत्येक संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है। दो या अधिक संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटी संख्या होती है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए आप यूक्लिडियन एल्गोरिद्म का उपयोग कर सकते हैं। इस एल्गोरिद्म में बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार विभाजित करते हैं और शेषफल लेते हैं। अंतिम गैर-शून्य शेषफल HCF होता है।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए आप सूत्र LCM = $\dfrac{(a * b)} {HCF}$ का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ a और b दो संख्याएँ हैं।

HCF और LCM संख्या सिद्धांत की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं और इनके कई अनुप्रयोग हैं, जैसे दो बहुपदों का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना, भिन्नों को सरल करना और रैखिक समीकरणों के निकायों को हल करना।

HCF और LCM की परिभाषा

HCF (महत्तम समापवर्तक)

दो या अधिक संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो सभी दी गई संख्याओं का गुणनखंड होता है। दूसरे शब्दों में, यह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।

उदाहरण:

12, 18 और 24 का HCF ज्ञात कीजिए।

हल:

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं। 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9 और 18 हैं। 24 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24 हैं।

12, 18 और 24 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं।

12, 18 और 24 का HCF 6 है।

LCM (लघुतम समापवर्त्य)

दो या अधिक संख्याओं का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो सभी दी गई संख्याओं से विभाजित होता है। दूसरे शब्दों में, यह सबसे छोटी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं का गुणज है।

उदाहरण:

12, 18 और 24 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

12 के गुणज 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, इत्यादि हैं।
18 के गुणज 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, इत्यादि हैं।
24 के गुणज 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, इत्यादि हैं।

12, 18 और 24 के उभयनिष्ठ गुणज 72, 144, 216, 288, 360, इत्यादि हैं।

12, 18 और 24 का LCM 72 है।

HCF और LCM के बीच संबंध

दो या अधिक संख्याओं के HCF और LCM के बीच निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंध होता है:

HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल

उदाहरण:

12 और 18 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं।
18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9 और 18 हैं।

12 और 18 का HCF 6 है।

12 के गुणज 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, इत्यादि हैं।
18 के गुणज 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, इत्यादि हैं।

12 और 18 का LCM 36 है।

12 और 18 का गुणनफल 216 है।

HCF × LCM = 6 × 36 = 216

इसलिए, 12 और 18 का HCF और LCM सूत्र HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल को संतुष्ट करता है।

HCF और LCM कैसे ज्ञात करें?

उच्चतम समापवर्त्य (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) कैसे ज्ञात करें

दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो प्रत्येक संख्या को बिना किसी शेष के विभाजित करती है। दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या होती है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

HCF ज्ञात करना

दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF ज्ञात करने के दो सामान्य तरीके हैं: अभाज्य गुणनफल विधि और यूक्लिड एल्गोरिद्म।

अभाज्य गुणनफल विधि

1. प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनफल के रूप में लिखें।
2. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों को पहचानें।
3. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों को एक साथ गुणा करें।

उदाहरण:

12 और 18 का HCF ज्ञात कीजिए।

1. 12 = 2 * 2 * 3
2. 18 = 2 * 3 * 3
3. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफल 2 और 3 हैं।
4. 2 * 3 = 6

इसलिए, 12 और 18 का HCF 6 है।

यूक्लिड एल्गोरिद्म

1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें।
2. शेष को पिछले भाजक में विभाजित करें।
3. शेष 0 होने तक चरण 1 और 2 को दोहराएं।
4. अंतिम अशून्य शेष HCF होता है।

उदाहरण:

यूक्लिड एल्गोरिद्म का उपयोग करके 12 और 18 का HCF ज्ञात कीजिए।

1. 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 ÷ 6 = 2 शेष 0

इसलिए, 12 और 18 का HCF 6 है।

LCM ज्ञात करना

दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के दो सामान्य तरीके हैं: अभाज्य गुणनफल विधि और लघुतम समापवर्त्य सूत्र।

अभाज्य गुणनफल विधि

1. प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनफल के रूप में लिखें।
2. सामान्य अभाज्य गुणनखंडों और असामान्य अभाज्य गुणनखंडों को पहचानें।
3. सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को आपस में गुणा करें।
4. असामान्य अभाज्य गुणनखंडों को आपस में गुणा करें।
5. सामान्य और असामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल LCM होता है।

उदाहरण:

12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।

1. 12 = 2 * 2 * 3
2. 18 = 2 * 3 * 3
3. सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
4. असामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
5. 2 * 2 * 3 * 3 = 36

इसलिए, 12 और 18 का LCM 36 है।

न्यूनतम समापवर्त्य सूत्र

दो संख्याओं का LCM निम्न सूत्र का उपयोग करके भी ज्ञात किया जा सकता है:

$ LCM = \dfrac{(a * b)} {HCF} $

जहाँ a और b दो संख्याएँ हैं।

उदाहरण:

न्यूनतम समापवर्त्य सूत्र का उपयोग करके 12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।

LCM = $\dfrac{(12 * 18)} {6}$

LCM = 36

इसलिए, 12 और 18 का LCM 36 है।

HCF और LCM पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गणित में HCF का पूर्ण रूप क्या है? HCF को एक उदाहरण के साथ समझाइए।

गणित में LCM का पूर्ण रूप क्या है? LCM को एक उदाहरण के साथ समझाइए।

गणित में LCM का पूर्ण रूप

गणित में LCM का पूर्ण रूप न्यूनतम समापवर्त्य है। यह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दी गई दो या अधिक पूर्णांकों से बिना किसी शेष के विभाजित होता है।

LCM का उदाहरण

2, 3 और 4 का LCM ज्ञात कीजिए।

1. प्रत्येक संख्या के गुणजों की सूची बनाएँ:

2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …

3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …

2. 2, 3 और 4 के सामान्य गुणजों की पहचान करें:

12, 24, 36, …

3. 2, 3 और 4 का लघुतम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटा सामान्य गुणज है, जो 12 है।

LCM के गुण

दो या अधिक पूर्णांकों का LCM निम्नलिखित गुणों को पूरा करता है:

1. दो या अधिक पूर्णांकों का LCM हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
2. दो या अधिक पूर्णांकों का LCM प्रत्येक दिए गए पूर्णांक से विभाज्य होता है।
3. दो या अधिक पूर्णांकों का LCM सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो प्रत्येक दिए गए पूर्णांक से विभाज्य हो।
4. दो या अधिक पूर्णांकों का LCM प्रत्येक पूर्णांक के अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करके और प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर प्राप्त किया जा सकता है।

LCM के अनुप्रयोग

LCM का उपयोग विभिन्न गणितीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

1. भिन्नों का लघुतम समापवर्त्य हर खोजना
2. रैखिक समीकरणों के समूहों को हल करना
3. दोहराते दशमलव की अवधि खोजना
4. दो या अधिक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्त्य (GCD) खोजना

24 और 36 का GCD क्या है?

दो या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (GCD) सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो सभी दी गई संख्याओं का गुणनखंड है। दूसरे शब्दों में, यह सबसे बड़ी संख्या है जो प्रत्येक दी गई संख्या को बिना शेष दिए विभाजित करती है।

24 और 36 का GCD खोजने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की सूची बना सकते हैं और सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड की पहचान कर सकते हैं।

24 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

36 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

24 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 12 है।

यहाँ एक और उदाहरण है:

12, 18 और 24 का GCD क्या है?

12 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 4, 6, 12

18 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 6, 9, 18

24 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

12, 18 और 24 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 6 है।

हम दो या अधिक संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए एक गणितीय सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं। सूत्र है:

$GCD(a, b) = \dfrac {a × b} {LCM(a, b)}$

जहाँ a और b दी गई संख्याएँ हैं और LCM(a, b) a और b का लघुतम समापवर्त्य है।

उदाहरण के लिए, 24 और 36 का GCD सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

$GCD(24, 36) = \dfrac{24 × 36} {LCM(24, 36)}$

सबसे पहले, हमें 24 और 36 का LCM ज्ञात करना होगा। LCM सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो 24 और 36 दोनों से विभाज्य है।

LCM ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के गुणजों की सूची बना सकते हैं और सबसे छोटे उभयनिष्ठ गुणज की पहचान कर सकते हैं।

24 के गुणज : 24, 48, 72, 96, 120, …

36 के गुणज : 36, 72, 108, 144, 180, …

24 और 36 का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज 72 है।

अब हम a, b और LCM(a, b) के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$GCD(24, 36) = {24 × 36} {72}$

$GCD(24, 36) = 12$

इसलिए, 24 और 36 का GCD 12 है।

HCF और LCM का सूत्र क्या है?

उच्चतम समापवर्त्य (HCF) या महत्तम समापवर्त्य (GCD):

दो या अधिक संख्याओं का HCF सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो प्रत्येक दी गई संख्या को बिना किसी शेष के विभाजित करता है।

HCF का सूत्र:

दो संख्याओं a और b का HCF यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें और शेषफल ज्ञात करें।
2. पिछले भाजक और शेषफल के साथ चरण 1 को तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए।
3. अंतिम गैर-शून्य शेषफल दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) होता है।

उदाहरण:

12 और 18 का HCF ज्ञात कीजिए।

1. 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 ÷ 6 = 2 शेष 0

अंतिम गैर-शून्य शेषफल 6 है, इसलिए 12 और 18 का HCF 6 है।

लघुतम समापवर्त्य (LCM):

दो या अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य हो।

LCM का सूत्र:

दो संख्याओं a और b का LCM निम्न सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:

$LCM(a, b) = \dfrac{(a \times b)} {HCF(a, b)}$

उदाहरण:

12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।

1. $HCF(12, 18) = 6$
2. $LCM(12, 18) = \dfrac{(12 \times 18)} { 6} = 36$

इसलिए, 12 और 18 का LCM 36 है।

हम LCM और HCF कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

LCM (लघुतम समापवर्त्य):

दो या अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो सभी दी गई संख्याओं से बिना किसी शेष के विभाज्य हो।

उदाहरण:

2, 3 और 4 का LCM ज्ञात कीजिए।

1. प्रत्येक संख्या के गुणज सूचीबद्ध करें:

• 2 के गुणज : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …
• 3 के गुणज : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …
• 4 के गुणज : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …

2. उभयनिष्ठ गुणजों की पहचान करें:

• 2, 3 और 4 के उभयनिष्ठ गुणज 12, 24, 36, 48, 60, … हैं।

3. 2, 3 और 4 का LCM सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज 12 है।

HCF (उच्चतम समापवर्त्य):

दो या अधिक संख्याओं का HCF सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो सभी दी गई संख्याओं का गुणनखंड होता है।

उदाहरण:

12, 18 और 24 का HCF ज्ञात कीजिए।

1. प्रत्येक संख्या के गुणनखंडों की सूची बनाइए:

• 12 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 24 के गुणनखंड : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

2. सामान्य गुणनखंडों की पहचान कीजिए:

• 12, 18 और 24 के सामान्य गुणनखंड 1, 2, 3, 6 हैं।

3. 12, 18 और 24 का HCF सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड है, जो 6 है।

नोट:

• दो संख्याओं का LCM और HCF विभिन्न विधियों द्वारा ज्ञात किया जा सकता है, जिनमें अभाज्य गुणनफलन विधि, यूक्लिडियन एल्गोरिदम और वेन आरेख विधि शामिल हैं।
• LCM और HCF संख्या सिद्धांत की महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं और इनका उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं में किया जाता है, जैसे कि भिन्नों को सरल बनाना, समीकरणों को हल करना और न्यूनतम सामान्य हर ज्ञात करना।