बेज़ प्रमेय क्या है?

बेज़ प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत का एक मूलभूत प्रमेय है जो सशर्त प्रायिकताओं के बारे में तर्क करने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है। यह हमें किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता की गणना करने की अनुमति देता है, यह देखते हुए कि हमारे पास अन्य संबंधित घटनाओं के बारे में जानकारी है।

बेज़ प्रमेय को समझना

बेज़ प्रमेय इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

जहाँ:

• $P(A|B)$ उस घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना $B$ पहले ही घटित हो चुकी है। इसे पश्च प्रायिकता कहा जाता है।
• $P(B|A)$ उस घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना $A$ पहले ही घटित हो चुकी है। इसे संभाव्यता कहा जाता है।
• $P(A)$ उस घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि घटना $B$ घटित हुई है या नहीं। इसे पूर्व प्रायिकता कहा जाता है।
• $P(B)$ उस घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि घटना $A$ घटित हुई है या नहीं। इसे सीमांत प्रायिकता कहा जाता है।

बेज़ प्रमेय की व्याख्या

बेज़ प्रमेय हमें नई जानकारी के आधार पर किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के बारे में अपने विश्वासों को अद्यतन करने की अनुमति देता है। पूर्व प्रायिकता किसी घटना की प्रायिकता के बारे में हमारे प्रारंभिक विश्वास को दर्शाती है, जबकि पश्च प्रायिकता नए प्रमाण पर विचार करने के बाद हमारे अद्यतन विश्वास को दर्शाती है।

प्रायिकता अनुपात, जो प्रायिकता को पूर्व प्रायिकता से अनुपातित करता है, बेज़ प्रमेय में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यदि प्रायिकता अनुपात 1 से अधिक है, तो पश्च प्रायिकता पूर्व प्रायिकता से अधिक होगी, जिससे यह संकेत मिलता है कि नया प्रमाण घटना की घटना का समर्थन करता है। इसके विपरीत, यदि प्रायिकता अनुपात 1 से कम है, तो पश्च प्रायिकता पूर्व प्रायिकता से कम होगी, जिससे यह संकेत मिलता है कि नया प्रमाण घटना की घटना का समर्थन नहीं करता है।

बेज़ प्रमेय सशर्त प्रायिकताओं के बारे में तर्क करने और नई जानकारी के आधार पर हमारे विश्वासों को अद्यतन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि सांख्यिकी और मशीन लर्निंग से लेकर चिकित्सा निदान और जोखूम आकलन तक। बेज़ प्रमेय को समझकर और लागू करके, हम अधिक सूचित निर्णय ले सकते हैं और डेटा से अधिक सटीक निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

सशर्त प्रायिकता

सशर्त प्रायिकता एक घटना की घटना की प्रायिकता है, यह मानते हुए कि एक अन्य घटना पहले ही घट चुकी है। इसे P(A|B) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ A रुचि की घटना है और B शर्त है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए आप कल वर्षा होने की प्रायिकता में रुचि रखते हैं। आप जानते हैं कि वर्षा की प्रायिकता 30% है। हालांकि, आप यह भी जानते हैं कि मौसम पूर्वानुमान बताता है कि यदि गरज-चमक की चेतावनी है, तो वर्षा की प्रायिकता 60% है। इस स्थिति में, गरज-चमक की चेतावनी होने की शर्त पर कल वर्षा होने की सशर्त प्रायिकता 60% है।

सशर्त प्रायिकता का सूत्र

सशर्त प्रायिकता का सूत्र है:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

जहाँ:

• P(A|B) वह सशर्त प्रायिकता है कि घटना A घटित हो, यह दिया गया है कि घटना B पहले ही घट चुकी है
• P(A ∩ B) वह प्रायिकता है कि घटनाएँ A और B दोनों घटित हों
• P(B) वह प्रायिकता है कि घटना B घटित हो

सशर्त प्रायिकता का उदाहरण

मान लीजिए आप सिक्का उछालने पर चित्त आने की प्रायिकता में रुचि रखते हैं। आप जानते हैं कि चित्त आने की प्रायिकता 50% है। हालाँकि, आप यह भी जानते हैं कि सिक्का तिरछा है और यदि वह सिक्का किसी विशेष व्यक्ति द्वारा उछाला जाए तो चित्त आने की प्रायिकता 60% है। इस स्थिति में, यह दिया गया है कि सिक्का उस व्यक्ति द्वारा उछाला गया है, चित्त आने की सशर्त प्रायिकता 60% है।

सशर्त प्रायिकता के अनुप्रयोग

सशर्त प्रायिकता का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• भविष्य की भविष्यवाणी: सशर्त प्रायिकता का उपयोग भविष्य की घटनाओं, जैसे मौसम या किसी खेल की परिणति की प्रायिकता को भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है।
• निर्णय लेना: सशर्त प्रायिकता का उपयोग निर्णय लेने के लिए किया जा सकता है, जैसे किसी स्टॉक में निवेश करना है या नहीं, या कोई विशेष दवा लेनी है या नहीं।
• जोख़िम का मूल्यांकन: सशर्त प्रायिकता का उपयोग किसी घटना के घटित होने के जोख़िम का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कार दुर्घटना का जोख़िम या किसी रोग का जोख़िम।

प्रायिकता की शर्त एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग हम अपने आसपास की दुनिया को समझने और बेहतर निर्णय लेने के लिए कर सकते हैं। यह समझकर कि प्रायिकता की शर्त कैसे काम करती है, आप भविष्य की भविष्यवाणी करने, बेहतर निर्णय लेने और जोखिम का मूल्यांकन करने की अपनी क्षमता में सुधार कर सकते हैं।

बेयज़ प्रमेय सूत्र

बेयज़ प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी में एक मौलिक प्रमेय है जो प्रायिकता की शर्त के बारे में तर्क करने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है। यह हमें किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता की गणना करने की अनुमति देता है, यह देखते हुए कि हमारे पास अन्य संबंधित घटनाओं के बारे में जानकारी है।

सूत्र

बेयज़ प्रमेय का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

जहाँ:

• $P(A|B)$ घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना $B$ पहले ही घटित हो चुकी है। इसे पश्च प्रायिकता कहा जाता है।
• $P(B|A)$ घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि घटना $A$ पहले ही घटित हो चुकी है। इसे संभाव्यता फलन कहा जाता है।
• $P(A)$ घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि घटना $B$ घटित हुई है या नहीं। इसे पूर्व प्रायिकता कहा जाता है।
• $P(B)$ घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि घटना $A$ घटित हुई है या नहीं। इसे सीमांत प्रायिकता कहा जाता है।

बेयज़ प्रमेय को समझना

बेज़ थ्योरी को समझने के लिए, आइए एक सरल उदाहरण लें। मान लीजिए हमारे पास 10 गेंदों का एक थैला है, जिनमें से 5 लाल हैं और 5 नीली हैं। हम बिना देखे थैले में से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनते हैं। इस गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

इसकी गणना करने के लिए हम बेज़ थ्योरी का उपयोग कर सकते हैं:

• $P(Red|Selected)$ वह प्रायिकता है कि गेंद लाल है, यह दिया गया है कि हमने उसे चुना है। यही हमें ज्ञात करना है।
• $P(Selected|Red)$ वह प्रायिकता है कि हम उस गेंद को चुनते, यह दिया गया है कि वह लाल है। यह 1/10 के बराबर है, क्योंकि थैले में 10 गेंदें हैं और प्रत्येक गेंद के चुने जाने की समान संभावना है।
• $P(Red)$ वह प्रायिकता है कि गेंद लाल है, चाहे हमने उसे चुना हो या नहीं। यह 5/10 के बराबर है, क्योंकि थैले में 5 लाल गेंदें हैं।
• $P(Selected)$ वह प्रायिकता है कि हम थैले से कोई गेंद चुनते, चाहे उसका रंग कुछ भी हो। यह 1 के बराबर है, क्योंकि हमने निश्चित रूप से एक गेंद चुनी है।

इन मानों को बेज़ थ्योरी के सूत्र में रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$$P(Red|Selected) = \frac{(1/10)(5/10)}{1} = \frac{1}{2}$$

इसलिए, यह प्रायिकता कि गेंद लाल है, यह दिया गया है कि हमने उसे चुना है, 1/2 है।

बेज़ थ्योरी का प्रमाण

बेज़ थ्योरी प्रायिकता सिद्धांत की एक मौलिक प्रमेय है जो सशर्त प्रायिकताओं के तर्क के लिए एक ढांचा प्रदान करती है। इसका नाम रेवरेंड थॉमस बेज़ के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 18वीं सदी में सर्वप्रथम सूत्रबद्ध किया था।

प्रमेय कहता है कि किसी भी तीन घटनाओं A, B, और C के लिए निम्न समीकरण सत्य होता है:

$$P(A|B,C) = \frac{P(B|A,C)P(A|C)}{P(B|C)}$$

जहाँ:

• $P(A|B,C)$ वह प्रायिकता है कि घटना A घटित हो, यह दिया गया है कि घटनाएँ B और C दोनों पहले ही घटित हो चुकी हैं।
• $P(B|A,C)$ वह प्रायिकता है कि घटना B घटित हो, यह दिया गया है कि घटनाएँ A और C दोनों पहले ही घटित हो चुकी हैं।
• $P(A|C)$ वह प्रायिकता है कि घटना A घटित हो, यह दिया गया है कि घटना C पहले ही घटित हो चुकी है।
• $P(B|C)$ वह प्रायिकता है कि घटना B घटित हो, यह दिया गया है कि घटना C पहले ही घटित हो चुकी है।

बेज़ प्रमेय का प्रमाण

बेज़ प्रमेय का प्रमाण प्रायिकता के निम्न दो मूलभूत गुणों पर आधारित है:

1. कुल प्रायिकता का नियम: किसी भी दो घटनाओं A और B के लिए निम्न समीकरण सत्य होता है:

$$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$$

जहाँ $\bar{B}$ घटना B की पूरक घटना को दर्शाता है।

2. प्रायिकता का गुणन नियम: किसी भी दो घटनाओं A और B के लिए निम्न समीकरण सत्य होता है:

$$P(A,B) = P(A|B)P(B)$$

इन दो गुणों का उपयोग करके हम बेज़ प्रमेय को इस प्रकार व्युत्पन्न कर सकते हैं:

1. घटना A के लिए कुल प्रायिकता के नियम से प्रारंभ करें:

$$P(A) = P(A|B,C)P(B,C) + P(A|\bar{B},C)P(\bar{B},C)$$

2. प्रायिकता के गुणन नियम का उपयोग करके $P(B,C)$ और $P(\bar{B},C)$ को विस्तारित करें:

$$P(A) = P(A|B,C)P(B|C)P(C) + P(A|\bar{B},C)P(\bar{B}|C)P(C)$$

3. पदों को पुनः व्यवस्थित करें:

$$P(A|B,C)P(B|C)P(C) = P(A) - P(A|\bar{B},C)P(\bar{B}|C)P(C)$$

4. दोनों पक्षों को $P(B|C)P(C)$ से विभाजित करें:

$$P(A|B,C) = \frac{P(A) - P(A|\bar{B},C)P(\bar{B}|C)}{P(B|C)}$$

5. घटना B के लिए कुल प्रायिकता के नियम का प्रयोग करें:

$$P(B|C) = P(B|A,C)P(A|C) + P(B|\bar{A},C)P(\bar{A}|C)$$

6. पिछले समीकरण में $P(B|C)$ के लिए यह व्यंजक प्रतिस्थापित करें:

$$P(A|B,C) = \frac{P(A) - P(A|\bar{B},C)P(\bar{B}|C)}{P(B|A,C)P(A|C) + P(B|\bar{A},C)P(\bar{A}|C)}$$

7. व्यंजक को सरल बनाएँ:

$$P(A|B,C) = \frac{P(A)P(B|A,C)}{P(B|A,C)P(A|C) + P(B|\bar{A},C)P(\bar{A}|C)}$$

8. अंत में, दोनों पक्षों को $P(A|C)$ से विभाजित करें:

$$P(A|B,C) = \frac{P(B|A,C)P(A|C)}{P(B|A,C)P(A|C) + P(B|\bar{A},C)P(\bar{A}|C)}$$

यह वांछित बेज़ प्रमेय का व्यंजक है।

बेज़ प्रमेय के अनुप्रयोग

बेज़ प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी की एक मौलिक संकल्पना है जो सशर्त प्रायिकताओं के बारे में तर्क करने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है। यह हमें नई साक्ष्य या जानकारी के आधार पर किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के बारे में हमारे विश्वासों को अद्यतन करने की अनुमति देता है। बेज़ प्रमेय के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

1. चिकित्सा निदान:

• बेज़ प्रमेय का उपयोग चिकित्सा निदान में रोगी की लक्षणों, परीक्षण परिणामों और अन्य प्रासंगिक जानकारी के आधार पर किसी विशिष्ट रोग के होने की प्रायिकता की गणना करने के लिए किया जाता है। रोग की प्रसिद्धि के बारे में पूर्व ज्ञान को रोग दिए गए लक्षणों की प्रायिकता के साथ मिलाकर, डॉक्टर अधिक सटीक निदान कर सकते हैं और उपयुक्त उपचार प्रदान कर सकते हैं।

2. स्पैम फ़िल्टरिंग:

• स्पैम फ़िल्टरिंग सिस्टम में बेयेस प्रमेय का उपयोग ईमेल को स्पैम या वैध के रूप में वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है। स्पैम फ़िल्टर ईमेल की सामग्री का विश्लेषण करते हैं, जिसमें कुछ खास कीवर्ड की मौजूदगी, प्रेषक की प्रतिष्ठा और ईमेल की संरचना जैसे कारकों पर विचार किया जाता है। बेयेस प्रमेय को लागू करके ये फ़िल्टर प्रभावी रूप से स्पैम ईमेल को वैध ईमेल से अलग कर सकते हैं।

3. मौसम पूर्वानुमान:

• मौसम पूर्वानुमान में बेयेस प्रमेय का उपयोग ऐतिहासिक डेटा, वर्तमान प्रेक्षणों और मौसम मॉडलों के आधार पर विभिन्न मौसम स्थितियों की प्रायिकता की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। मौसम के पैटर्नों के बारे में पूर्व ज्ञान को विशिष्ट वायुमंडलीय स्थितियों दी गई कुछ मौसम स्थितियों की संभावना के साथ मिलाकर मौसमविद अधिक सटीक मौसम पूर्वानुमान बना सकते हैं।

4. गुणवत्ता नियंत्रण:

• गुणवत्ता नियंत्रण प्रक्रियाओं में बेयेस प्रमेय का उपयोग विभिन्न गुणवत्ता नियंत्रण परीक्षणों और ऐतिहासिक डेटा के आधार पर किसी उत्पाद के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जाता है। दोषों की पूर्व प्रायिकता और दोषों की उपस्थिति या अनुपस्थिति दी गई परीक्षण परिणामों की संभावना पर विचार करते हुए निर्माता दोषपूर्ण उत्पादों की पहचान कर सकते हैं और अपनी गुणवत्ता नियंत्रण प्रक्रियाओं में सुधार कर सकते हैं।

5. धोखाधड़ी का पता लगाना:

• धोखाधड़ी पहचान प्रणालियों में बेयज़ प्रमेय का उपयोग संदिग्ध लेन-देन या गतिविधियों को पहचानने के लिए किया जाता है जो सामान्य पैटर्न से विचलित होती हैं। धोखाधड़ी वाले ऐतिहासिक लेन-देन के आंकड़ों का विश्लेषण करके और यह मानते हुए कि धोखाधड़ी की उपस्थिति देखते हुए कुछ पैटर्न या व्यवहार की कितनी संभावना है, ये प्रणालियाँ संदिग्ध लेन-देन को आगे की जाँच के लिए चिह्नित करती हैं।

6. मशीन लर्निंग और कृत्रिम बुद्धिमत्ता:

• बेयज़ प्रमेय मशीन लर्निंग और कृत्रिम बुद्धिमत्ता एल्गोरिदम में, विशेष रूप से बेयज़ियन नेटवर्क्स और बेयज़ियन इन्फ़े्रंस में, एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह एल्गोरिदम को नई जानकारी उपलब्ध होते ही दुनिया की स्थिति के बारे में अपने विश्वास को अद्यतन करने की अनुमति देता है, जिससे वे अधिक सटीक भविष्यवाणियाँ और निर्णय ले सकते हैं।

7. कानूनी तर्क:

• बेयज़ प्रमेय का उपयोग कभी-कभी कानूनी तर्क में साक्ष्य और गवाही के आधार पर दोष या निर्दोषता की प्रायिकता का आकलन करने के लिए किया जाता है। दोष की पूर्व प्रायिकता, दोष या निर्दोषता देखते हुए साक्ष्य की संभावना और दोष या निर्दोषता देखते हुए गवाही की संभावना को ध्यान में रखते हुए, कानूनी पेशेवर अधिक सूचित निर्णय ले सकते हैं।

8. व्यापारिक निर्णय-निर्माण:

• बेज़ का प्रमेय व्यापारिक निर्णय-लक्ष्य में इस बात का मूल्यांकन करने के लिए लगाया जा सकता है कि विभिन्न रणनीतियों या निवेशों की सफलता या विफलता की प्रायिकता ऐतिहासिक आँकड़ों और बाज़ार की स्थितियों के आधार पर क्या है। बाज़ार के रुझानों के बारे में पूर्व ज्ञान और कुछ कारकों को देखते हुए सफलता की संभावना को ध्यान में रखकर व्यवसाय अधिक सूचनाबद्ध निर्णय ले सकते हैं और अपनी रणनीतियों को अनुकूलित कर सकते हैं।

ये बेज़ के प्रमेय के विविध क्षेत्रों में होने वाले कुछ ही उदाहरण हैं। नये प्रमाण के आधार पर विश्वासों को अद्यतन करने की इसकी क्षमता इसे अनिश्चितता के तहत तर्क करने और विस्तृत परिदृश्यों में सूचनाबद्ध निर्णय लेने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बनाती है।

बेज़ प्रमेय पर हल किए गए उदाहरण

बेज़ का प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत का एक मौलिक प्रमेय है जो सशर्त प्रायिकताओं के बारे में तर्क करने का ढाँचा प्रदान करता है। यह विशेष रूप से उन परिस्थितियों में उपयोगी है जहाँ हमारे पास कुछ पूर्व ज्ञान या सूचना हो और हम उसे नये प्रमाण के आलोक में अद्यतन करना चाहते हैं।

बेज़ के प्रमेय के अनुप्रयोग को दिखाने के लिए आइए कुछ हल किए गए उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1: चिकित्सा निदान

मान लीजिए किसी चिकित्सा परीक्षण की किसी विशेष रोग का पता लगाने में 95% सटीकता है। इसका अर्थ है कि रोग से ग्रस्त 100 लोगों में से 95 को परीक्षण सही पहचानेगा। इसके विपरीत, रोग से रहित 100 लोगों में से 5 को गलती से रोगी बताएगा (झूठे सकारात्मक)।

अब, मान लीजिए कोई व्यक्ति परीक्षण करवाता है और परिणाम सकारात्मक आता है। इस स्थिति में क्या प्रायिकता है कि उसे वास्तव में रोग है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हम बेज़ प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:

$$P(D|T+) = \frac{P(T+|D)P(D)}{P(T+)} $$

जहाँ:

• $P(D|T+)$ वह प्रायिकता है कि परीक्षण का परिणाम सकारात्मक आने पर रोग है
• $P(T+|D)$ वह प्रायिकता है कि व्यक्ति को रोग होने पर परीक्षण सकारात्मक आए (95%)
• $P(D)$ रोग होने की प्रायिकता है (मान लीजिए आम जनसंख्या में यह 1% है)
• $P(T+)$ सकारात्मक परीक्षण परिणाम की प्रायिकता है

$P(T+)$ की गणना करने के लिए हमें सही सकारात्मक और गलत सकारात्मक दोनों पर विचार करना होगा:

$$P(T+) = P(T+|D)P(D) + P(T+|¬D)P(¬D)$$

जहाँ:

• $P(T+|¬D)$ वह प्रायिकता है कि व्यक्ति को रोग न होने पर भी परीक्षण सकारात्मक आए (5%)
• $P(¬D)$ रोग न होने की प्रायिकता है (99%)

मानों को रखने पर हमें मिलता है:

$$P(T+) = (0.95)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0595$$

अब हम $P(D|T+)$ की गणना कर सकते हैं:

$$P(D|T+) = \frac{(0.95)(0.01)}{0.0595} \approx 0.158$$

इसलिए, यदि परीक्षण का परिणाम सकारात्मक आए तो व्यक्ति के वास्तव में रोगग्रस्त होने की प्रायिकता लगभग 15.8% है।

उदाहरण 2: गुणवत्ता नियंत्रण

एक विनिर्माण कंपनी इलेक्ट्रॉनिक घटक बनाती है। उनके पास एक गुणवत्ता नियंत्रण प्रक्रिया है जहाँ प्रत्येक घटक को दोषों के लिए परीक्षित किया जाता है। परीक्षण की 99% सटीकता दर है, जिसका अर्थ है कि 100 दोषपूर्ण घटकों में से यह 99 को सही तरीके से पहचान लेगा। इसके विपरीत, 100 गैर-दोषपूर्ण घटकों में से यह 1 को गलत तरीके से दोषपूर्ण के रूप में पहचान लेगा (झूठा सकारात्मक)।

मान लीजिए कंपनी 1000 घटकों के एक बैच का परीक्षण करती है और 10 दोषपूर्ण घटक पाती है। इस बैच से यादृच्छिक रूप से चुना गया घटक वास्तव में दोषपूर्ण होने की क्या प्रायिकता है?

बेज़ प्रमेय का उपयोग करके, हम प्रायिकता की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

$$P(D|T+) = \frac{P(T+|D)P(D)}{P(T+)} $$

जहाँ:

• $P(D|T+)$ वह प्रायिकता है कि एक घटक दोषपूर्ण है यदि यह सकारात्मक परीक्षित हुआ है
• $P(T+|D)$ वह प्रायिकता है कि एक घटक सकारात्मक परीक्षित होता है यदि यह दोषपूर्ण है (99%)
• $P(D)$ वह प्रायिकता है कि एक घटक दोषपूर्ण है (आइए मान लें कि बैच में यह 1% है)
• $P(T+)$ वह प्रायिकता है कि एक घटक सकारात्मक परीक्षित होता है

$P(T+)$ की गणना करने के लिए, हमें सच्चे सकारात्मक और झूठे सकारात्मक दोनों पर विचार करना होगा:

$$P(T+) = P(T+|D)P(D) + P(T+|¬D)P(¬D)$$

जहाँ:

• $P(T+|¬D)$ वह प्रायिकता है कि एक घटक सकारात्मक परीक्षित होता है यदि यह दोषपूर्ण नहीं है (1%)
• $P(¬D)$ वह प्रायिकता है कि एक घटक दोषपूर्ण नहीं है (99%)

मानों को डालने पर, हमें मिलता है:

$$P(T+) = (0.99)(0.01) + (0.01)(0.99) = 0.0199$$

अब हम $P(D|T+)$ की गणना कर सकते हैं:

$$P(D|T+) = \frac{(0.99)(0.01)}{0.0199} \approx 0.497$$

इसलिए, इस बात की प्रायिकता कि बैच से यादृच्छिक रूप से चुना गया घटक वास्तव में खराब है, यह दिया गया है कि उसका परीक्षण सकारात्मक आया है, लगभग 49.7% है।

ये उदाहरण दर्शाते हैं कि बेज़-प्रमेय को व्यावहारिक परिदृश्यों में नई जानकारी या साक्ष्य के आधार पर प्रायिकताओं को अद्यतन करने के लिए कैसे लागू किया जा सकता है।

बेज़ प्रमेय: अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बेज़ प्रमेय क्या है?

बेज़ प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत का एक मौलिक प्रमेय है जो सशर्त प्रायिकताओं के तर्क के लिए एक ढांचा प्रदान करता है। यह हमें किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के बारे में अपने विश्वासों को नए साक्ष्य या जानकारी के आधार पर अद्यतन करने की अनुमति देता है।

बेज़ प्रमेय के विभिन्न घटक क्या हैं?

बेज़ प्रमेय में चार मुख्य घटक होते हैं:

• पश्च प्रायिकता (Posterior probability): यह नए साक्ष्य या जानकारी को ध्यान में रखते हुए किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। इसे P(A|B) द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्व प्रायिकता (Prior probability): यह नए साक्ष्य या जानकारी पर विचार किए बिना किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। इसे P(A) द्वारा दर्शाया जाता है।
• प्रायिकता-सम्भावना (Likelihood): यह नए साक्ष्य या जानकारी को देखे जाने की प्रायिकता है, यह दिया गया है कि घटना घटित हो चुकी है। इसे P(B|A) द्वारा दर्शाया जाता है।
• साक्ष्य (Evidence): यह नई जानकारी या साक्ष्य है जिसका उपयोग हम किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता के बारे में अपने विश्वासों को अद्यतन करने के लिए करते हैं। इसे B द्वारा दर्शाया जाता है।

बेज़ प्रमेय को गणितीय रूप से कैसे व्यक्त किया जाता है?

बेज़ प्रमेय को गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

बेज़ थ्योरम के कुछ वास्तविक जीवन में उदाहरण क्या हैं?

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि कैसे बेज़ थ्योरम का उपयोग वास्तविक जीवन में किया जाता है:

• चिकित्सा निदान: बेज़ थ्योरम का उपयोग चिकित्सा निदान में किया जाता है ताकि लक्षणों और परीक्षण परिणामों के आधार पर यह परिकलित किया जा सके कि किसी रोगी को कोई विशेष बीमारी है या नहीं।
• स्पैम फ़िल्टरिंग: बेज़ थ्योरम का उपयोग स्पैम फ़िल्टरिंग में किया जाता है ताकि ईमेल की सामग्री और प्रेषक की जानकारी के आधार पर अवांछित ईमेलों की पहचान कर उन्हें फ़िल्टर किया जा सके।
• मौसम पूर्वानुमान: बेज़ थ्योरम का उपयोग मौसम पूर्वानुमान में किया जाता है ताकि ऐतिहासिक आंकड़ों और वर्तमान प्रेक्षणों के आधार पर वर्षा या अन्य मौसम की स्थितियों की संभावना का पूर्वानुमान लगाया जा सके।
• धोखाधड़ी का पता लगाना: बेज़ थ्योरम का उपयोग धोखाधड़ी का पता लगाने में किया जाता है ताकि ऐतिहासिक आंकड़ों और पैटर्न के आधार पर संदिग्ध लेनदेनों की पहचान की जा सके।

बेज़ थ्योरम की कुछ सीमाएँ क्या हैं?

जबकि बेज़ थ्योरम प्रतिबंधित प्रायिकताओं के बारे में तर्क करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, इसकी कुछ सीमाएँ हैं:

• पूर्व प्रायिकताओं पर निर्भरता: बेयज़ प्रमेय पूर्व प्रायिकताओं पर निर्भर करता है, जिन्हें सटीक रूप से अनुमानित करना कठिन हो सकता है, विशेष रूप से उन स्थितियों में जहाँ सीमित डेटा या जानकारी हो।
• छोटे बदलावों के प्रति संवेदनशीलता: बेयज़ प्रमेय पूर्व प्रायिकताओं या संभाव्यता में छोटे बदलावों के प्रति संवेदनशील हो सकता है, जिससे पश्च प्रायिकता में महत्वपूर्ण बदलाव आ सकते हैं।
• गणनात्मक जटिलता: कुछ मामलों में, बेयज़ प्रमेय का उपयोग करके पश्च प्रायिकता की गणना करना गणनात्मक रूप से जटिल हो सकता है, विशेष रूप से बड़े डेटासेट या जटिल मॉडल्स से निपटते समय।

निष्कर्ष

बेयज़ प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत का एक मौलिक प्रमेय है जो सशर्त प्रायिकताओं के बारे में तर्क करने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है। इसका विभिन्न क्षेत्रों में चिकित्सा निदान, स्पैम फ़िल्टरिंग, मौसम पूर्वानुमान और धोखाधड़ी का पता लगाने सहित व्यापक अनुप्रयोग हैं। हालांकि, बेयज़ प्रमेय की सीमाओं से अवगत रहना महत्वपूर्ण है, जैसे पूर्व प्रायिकताओं पर निर्भरता, छोटे बदलावों के प्रति संवेदनशीलता और गणनात्मक जटिलता।