बिनॉमियल वितरण

बिनॉमियल वितरण स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता वितरण है, जिनमें से प्रत्येक सफलता प्रायिकता $p$ के साथ सफलता देता है।

प्रमुख संकल्पनाएँ

• बिनॉमियल प्रयोग: एक बिनॉमियल प्रयोग स्वतंक्ष परीक्षणों की एक श्रृंखला से मिलकर होता है, जिनमें से प्रत्येक की सफलता की स्थिर प्रायिकता $p$ होती है।
• सफलता: एक परिणाम जो प्रयोग के लिए निर्धारित मानदंडों को पूरा करता है।
• असफलता: एक परिणाम जो प्रयोग के लिए निर्धारित मानदंडों को पूरा नहीं करता है।
• परीक्षणों की संख्या: प्रयोग में कुल स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या।
• सफलता की प्रायिकता: प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की स्थिर प्रायिकता।

प्रायिकता द्रव्यमान फलन

बिनॉमियल वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) इस प्रकार दिया गया है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

जहाँ:

• $X$ यादृच्छिक चर है जो सफलताओं की संख्या गिनता है।
• $n$ परीक्षणों की संख्या है।
• $p$ प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता है।
• $k$ सफलताओं की संख्या है।

माध्य और प्रसरण

बिनॉमियल वितरण का माध्य और प्रसरण इस प्रकार दिए गए हैं:

• माध्य: $E(X) = np$
• प्रसरण: $V(X) = np(1-p)$

अनुप्रयोग

बिनॉमियल वितरण का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: किसी निर्मित उत्पाद में एक निश्चित संख्या में दोषों की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए।
• चिकित्सा अनुसंधान: किसी नैदानिक परीक्षण में एक निश्चित संख्या में सफलताओं की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए।
• सामाजिक विज्ञान: किसी सर्वेक्षण में एक निश्चित संख्या में सफलताओं की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए।
• व्यवसाय: किसी दी गई अवधि में एक निश्चित संख्या में बिक्री की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए।

उदाहरण

मान लीजिए हम एक सिक्के को 10 बार उछालते हैं और हमें सिरों की संख्या में रुचि है। मान लीजिए $X$ वह यादृच्छिक चर है जो सिरों की संख्या गिनता है। तब $X$ एक द्विपद बंटन का अनुसरण करता है जिसमें प्राचल $n = 10$ और $p = 0.5$ हैं।

ठीक 5 सिर पाने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^5 = 0.2461$$

बंटन का माध्य और प्रसरण हैं:

• माध्य: $E(X) = 10 \times 0.5 = 5$
• प्रसरण: $V(X) = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$

द्विपद बंटन सूत्र

द्विपद बंटन स्वतंत्र प्रयोगों की एक अनुक्रम में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता बंटन है, जिनमें से प्रत्येक सफलता प्रायिकता $p$ के साथ सफलता देता है।

सूत्र

$n$ स्वतंत्र प्रयोगों में $x$ सफलताओं की प्रायिकता द्विपद बंटन सूत्र द्वारा दी गई है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

जहाँ:

• $X$ वह यादृच्छिक चर है जो सफलताओं की संख्या गिनता है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता है
• $\binom{n}{x}$ द्विपद गुणांक है, जो $n$ वस्तुओं के समूह से $x$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या है

उदाहरण

मान लीजिए हम एक सिक्के को 10 बार उछालते हैं और हमें ठीक 5 बार चित आने की प्रायिकता जाननी है। प्रत्येक उछाल पर चित आने की प्रायिकता $p = 1/2$ है। इसलिए ठीक 5 बार चित आने की प्रायिकता है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(1/2)^5(1/2)^5 = 252/1024 \approx 0.246$$

अनुप्रयोग

द्विपद बंटन विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी उत्पाद के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है।
• चिकित्सा अनुसंधान: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी रोग से रोगी के ठीक होने की प्रायिकता क्या है।
• सामाजिक विज्ञान: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई व्यक्ति किसी विशेष उम्मीदवार को वोट देने की प्रायिकता क्या है।

द्विपद बंटन स्वतंत्र प्रयोगों की श्रृंखला में सफलता की प्रायिकता को मॉडल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण, चिकित्सा अनुसंधान और सामाजिक विज्ञान सहित विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है।

द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण

द्विपद बंटन स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता बंटन है, जिनमें से प्रत्येक सफलता $p$ प्रायिकता के साथ सफलता देता है।

द्विपद बंटन का माध्य

द्विपद बंटन का माध्य निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = np$$

जहाँ:

• $E(X)$ द्विपद बंटन का माध्य है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की प्रायिकता है

द्विपद बंटन का प्रसरण

द्विपद बंटन का प्रसरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$V(X) = np(1-p)$$

जहाँ:

• $V(X)$ द्विपद बंटन का प्रसरण है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग पर सफलता की प्रायिकता है

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के गुण

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के निम्नलिखित गुण होते हैं:

• द्विपद बंटन का माध्य सदैव एक पूर्ण संख्या होता है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण सदैव एक अ-ऋणात्मक संख्या होता है।
• द्विपद बंटन का माध्य $n$ बढ़ने पर बढ़ता है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण $n$ बढ़ने पर बढ़ता है।
• द्विपद बंटन का माध्य $n$ और $p$ के गुणनफल के बराबर होता है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण $n$, $p$ और $(1-p)$ के गुणनफल के बराबर होता है।

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के अनुप्रयोग

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण
• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी
• चिकित्सा अनुसंधान
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान
• व्यावसायिक निर्णय-निर्माण

बिनomial बंटन का माध्य और प्रसरण, बंटन की केंद्रीय प्रवृत्ति और फैलाव के महत्वपूर्ण मापक हैं। इनका उपयोग उस जनसंख्या के बारे में अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जिससे नमूना लिया गया था।

बिनomial बंटन के गुण

बिनomial बंटन स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विसंयत प्रायिकता बंटन है, जहाँ प्रत्येक प्रयोग सफलता की प्रायिकता $p$ के साथ सफलता देता है। इसका उपयोग आकार $n$ के नमूने में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जिसे सफलता प्रायिकता $p$ वाली जनसंख्या से लिया गया है।

बिनomial बंटन के गुण

बिनomial बंटन के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• द्विपद बंटन एक विवृत प्रायिकता बंटन है। इसका अर्थ है कि यह केवल सीमित संख्या में मान ही ग्रहण कर सकता है। द्विपद बंटन के मामले में, यह मानों की संख्या परीक्षणों की संख्या $n$ के बराबर होती है।
• द्विपद बंटन का माध्य $np$ है। इसका अर्थ है कि आकार $n$ के एक नमूने में सफलताओं की औसत संख्या नमूने के आकार और प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण $np(1-p)$ है। इसका अर्थ है कि बंटन का फैलाव नमूने के आकार और प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता के गुणनफल के समानुपाती होता है।
• द्विपद बंटन $p=0.5$ होने पर माध्य के परितः सममित होता है। इसका अर्थ है कि जब सफलता की प्रायिकता असफलता की प्रायिकता के बराबर होती है तो बंटन माध्य के दोनों ओर समान रूप से फैला होता है।
• द्विपद बंटन पॉइसां बंटन की एक सीमित स्थिति है। इसका अर्थ है कि जब नमूने का आकार बड़ा हो और सफलता की प्रायिकता छोटी हो तो द्विपद बंटन को पॉइसां बंटन से सन्निकटित किया जा सकता है।

द्विपद बंटन के अनुप्रयोग

द्विपद बंटन का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी उत्पाद के खराब होने की प्रायिकता क्या है।
• चिकित्सा अनुसंधान: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी रोग से रोगी के ठीक होने की प्रायिकता क्या है।
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी व्यक्ति के किसी विशेष उम्मीदवार को वोट देने की प्रायिकता क्या है।
• व्यवसाय: द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी ग्राहक के खरीदारी करने की प्रायिकता क्या है।

द्विपद बंटन स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसके कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो इसे विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में उपयोगी बनाते हैं।

द्विपद बंटन पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: सिक्का उछालना

मान लीजिए हम एक निष्पक्ष सिक्के को 10 बार उछालते हैं। ठीक 5 बार चित आने की प्रायिकता क्या है?

हल:

मान लीजिए $X$ वह यादृच्छिक चर है जो 10 उछालों में चित आने की संख्या गिनता है। तब $X$ एक द्विपद बंटन का अनुसरण करता है जिसके प्राचल $n = 10$ और $p = 1/2$ हैं। ठीक 5 चित आने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5} (1/2)^5 (1/2)^5 = 252 * (1/32) * (1/32) = 0.2461$$

इसलिए, ठीक 5 बार चित आने की प्रायिकता 0.2461 है।

उदाहरण 2: पासा फेंकना

मान लीजिए हम एक निष्पक्ष छह-फलकीय पासे को 6 बार फेंकते हैं। ठीक 3 बार 6 आने की प्रायिकता क्या है?

हल:

मान लीजिए $X$ वह यादृच्छिक चर है जो 6 बार फेंके जाने पर छक्कों की संख्या गिनता है। तब $X$ एक द्विपद बंटन का अनुसरण करता है जिसके प्राचल $n = 6$ और $p = 1/6$ हैं। ठीक 3 छक्के आने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 3) = \binom{6}{3} (1/6)^3 (5/6)^3 = 20 * (1/216) * (125/216) = 0.293$$

इसलिए, ठीक 3 छक्के आने की प्रायिकता 0.293 है।

उदाहरण 3: गुणवत्ता नियंत्रण

एक गुणवत्ता नियंत्रण निरीक्षक उत्पादन लाइन से यादृच्छिक रूप से 10 वस्तुओं का चयन करता है और उन्हें दोषों के लिए जाँचता है। किसी एक वस्तु के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है। ठीक 2 वस्तुओं के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

हल:

मान लीजिए $X$ वह यादृच्छिक चर है जो 10 की नमूने में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या गिनता है। तब $X$ एक द्विपद बंटन का अनुसरण करता है जिसके प्राचल $n = 10$ और $p = 0.05$ हैं। ठीक 2 दोषपूर्ण वस्तुओं के आने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा दी जाती है:

$$P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8 = 45 * (0.0025) * (0.6634) = 0.073$$

इसलिए, ठीक 2 दोषपूर्ण वस्तुओं के आने की प्रायिकता 0.073 है।

द्विपद बंटन FAQs

द्विपद बंटन क्या है?

द्विपद बंटन एक विवृत प्रायिकता बंटन है जो स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है, जिनमें से प्रत्येक की सफलता की प्रायिकता स्थिर होती है।

द्विपद बंटन के प्राचल क्या हैं?

द्विपद बंटन के दो प्राचल होते हैं:

• $n$: स्वतंत्र प्रयोगों की संख्या
• $p$: प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता

बिनomial बंटन की प्रायिकता द्रव्यमान फलन क्या है?

बिनomial बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन इस प्रकार दिया गया है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

जहाँ:

• $X$ यादृच्छिक चर है जो सफलताओं की संख्या को दर्शाता है
• $k$ सफलताओं की संख्या है
• $n$ स्वतंत्र प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता है

बिनomial बंटन का माध्य क्या है?

बिनomial बंटन का माध्य इस प्रकार दिया गया है:

$$E(X) = np$$

बिनomial बंटन का प्रसरण क्या है?

बिनomial बंटन का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$$V(X) = np(1-p)$$

बिनomial बंटन का मानक विचलन क्या है?

बिनomial बंटन का मानक विचलन इस प्रकार दिया गया है:

$$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

बिनomial बंटन की विषमता क्या है?

बिनomial बंटन की विषमता इस प्रकार दी गई है:

$$\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$$

बिनomial बंटन की कर्टोसिस क्या है?

बिनomial बंटन की कर्टोसिस इस प्रकार दी गई है:

$$\gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$$

बिनomial बंटन के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

बिनomial बंटन का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण
• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी
• चिकित्सा अनुसंधान
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान
• एक्चूअरियल विज्ञान
• आनुवंशिकी
• वित्त

बाइनोमियल वितरण की कुछ सीमाएँ क्या हैं?

बाइनोमियल वितरण की कई सीमाएँ हैं, जिनमें शामिल हैं:

• यह केवल विविक्त यादृच्छिक चर पर लागू होता है।
• यह मानता है कि प्रत्येक प्रयोग के लिए सफलता की प्रायिकता स्थिर रहती है।
• यह मानता है कि प्रयोग स्वतंत्र हैं।

बाइनोमियल वितरण के कुछ विकल्प क्या हैं?

बाइनोमियल वितरण के कई विकल्प हैं, जिनमें शामिल हैं:

• पॉइसन वितरण
• नकारात्मक बाइनोमियल वितरण
• ज्यामितीय वितरण
• हाइपरज्यामितीय वितरण