वर्ग पूर्ण करना

वर्ग पूर्ण करना एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग एक द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में बदलने के लिए किया जाता है। यह प्रक्रिया समीकरण को हल करने और इसके हल खोजने को आसान बनाती है।

वर्ग पूर्ण करने के चरण

$$ax^2 + bx + c = 0$$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए वर्ग पूर्ण करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को $x^2$ के गुणांक से विभाजित करें। इससे आपको $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$ रूप का समीकरण मिलेगा।

2. अचर पद $\frac{c}{a}$ को समीकरण के दूसरे पक्ष पर ले जाएं। इससे आपको $$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$ रूप का समीकरण मिलेगा।

3. $x$ के गुणांक का आधा लें और उसे वर्ग करें। इससे आपको $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ का मान मिलेगा।

4. $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें। इससे आपको $$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$ रूप का समीकरण मिलेगा।

5. समीकरण के बायें पक्ष को गुणनखंडित करें। इससे आपको $$(x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$ रूप का समीकरण मिलेगा।

6. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इससे आपको $$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}$$ रूप का समीकरण मिलेगा।

7. $x$ के लिए हल करें। इससे आपको द्विघात समीकरण के हल मिलेंगे।

उदाहरण

वर्ग पूर्ण करने की प्रक्रिया को दिखाने के लिए, आइए द्विघात समीकरण $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$ पर विचार करें।

1. समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें। इससे हमें $$x^2 + 2x - \frac{5}{2} = 0$$ मिलता है।

2. अचर पद $-5/2$ को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएं। इससे हमें $$x^2 + 2x = \frac{5}{2}$$ मिलता है।

3. x के गुणांक का आधा लें और उसे वर्ग करें। इससे हमें $(2/2)^2 = 1$ मिलता है।

4. समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ें। इससे हमें $$x^2 + 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$$ मिलता है।

5. समीकरण के बायें पक्ष को गुणनखंडित करें। इससे हमें $$(x + 1)^2 = \frac{7}{2}$$ मिलता है।

6. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इससे हमें $$x + 1 = \pm\sqrt{\frac{7}{2}}$$ मिलता है।

7. x के लिए हल करें। इससे हमें $$x = -1 \pm\sqrt{\frac{7}{2}}$$ मिलता है।

इसलिए, द्विघात समीकरण $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$ के हल हैं $$x = -1 + \sqrt{\frac{7}{2}}$$ और $$x = -1 - \sqrt{\frac{7}{2}}$$।

वर्ग पूर्ण करने का सूत्र

वर्ग पूर्ण करने का सूत्र गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसमें समीकरण को ऐसे रूप में बदलना शामिल है जिससे समीकरण के हल या मूल खोजना आसान हो जाए।

वर्ग पूर्ण करने के चरण

$$ax^2 + bx + c = 0$$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए वर्ग पूर्ण करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को $x^2$ के गुणांक से विभाजित करें। इससे आपको $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$ रूप का समीकरण मिलेगा।

२. स्थिर पद $\frac{c}{a}$ को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ। इससे आपको इस रूप में समीकरण मिलेगा $$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$।

३. x के गुणांक का आधा लें, उसे वर्ग करें, और समीकरण के दोनों ओर जोड़ें। इससे आपको इस रूप में समीकरण मिलेगा $$(x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$।

४. समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल बनाएँ। इससे आपको इस रूप में समीकरण मिलेगा $$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$।

५. समीकरण के दोनों ओर वर्गमूल लें। इससे आपको इस रूप में दो समीकरण मिलेंगे $$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$$।

६. प्रत्येक समीकरण को x के लिए हल करें। इससे आपको द्विघात समीकरण के दो हल, या मूल, मिलेंगे।

उदाहरण

वर्ग पूर्ण करने के चरणों को दिखाने के लिए, आइए द्विघात समीकरण $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$ को हल करें।

१. समीकरण के दोनों ओर 2 से विभाजित करें। इससे हमें मिलता है $$x^2 + 2x - \frac{5}{2} = 0$$।

२. स्थिर पद $-5/2$ को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ। इससे हमें मिलता है $$x^2 + 2x = \frac{5}{2}$$।

३. x के गुणांक का आधा लें, उसे वर्ग करें, और समीकरण के दोनों ओर जोड़ें। इससे हमें मिलता है $$(x + 1)^2 = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$$।

४. समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल बनाएँ। इससे हमें मिलता है $$(x + 1)^2 = \frac{7}{2}$$।

५. समीकरण के दोनों ओर वर्गमूल लें। इससे हमें मिलता है $$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$$।

6. प्रत्येक समीकरण को $x$ के लिए हल करें। इससे हमें मिलता है $$x = -1 \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$$।

इसलिए, द्विघात समीकरण $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$ के हल हैं $$x = -1 + \sqrt{\frac{7}{2}}$$ और $$x = -1 - \sqrt{\frac{7}{2}}$$।

द्विघात समीकरणों को वर्ग पूर्ण करने की विधि से हल करने के चरण

द्विघात समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनका रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$।

वर्ग पूर्ण करना एक ऐसी विधि है जिससे द्विघात समीकरण को रूप $(x - h)^2 = k$ में बदला जाता है, जहाँ $h$ और $k$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

यहाँ द्विघात समीकरण को वर्ग पूर्ण करने की विधि से हल करने के चरण दिए गए हैं:

1. स्थिरांव को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ।

$$ax^2 + bx = -c$$

2. समीकरण के दोनों पक्षों को $x^2$ के गुणांक से विभाजित करें।

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

3. समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें।

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

4. समीकरण के बायें पक्ष को गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

5. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें।

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}$$

6. $x$ के लिए हल करें।

$$x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{-\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}$$

उदाहरण:

द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ को हल करें।

हल:

1. स्थिर पद को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ।

$$x^2 - 4x = 5$$

2. समीकरण के दोनों पक्षों को $x^2$ के गुणांक से विभाजित करें।

$$x^2 - 4x = 5$$

3. समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें।

$$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$$

4. समीकरण के बायें पक्ष को गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

$$(x - 2)^2 = 9$$

5. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें।

$$x - 2 = \pm \sqrt{9}$$

6. $x$ के लिए हल करें।

$$x = 2 \pm 3$$

इसलिए, समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के हल $x = 5$ और $x = -1$ हैं।

वर्ग पूर्ण बनाने की विधि के लिए ज्यामितीय व्याख्या

वर्ग पूर्ण बनाने की विधि द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए प्रयोग की जाने वाली एक तकनीक है। इसमें समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में बदलने के लिए एक स्थिर पद को समीकरण में जोड़ा और घटाया जाता है। यह ज्यामितीय व्याख्या प्रक्रिया की दृश्य प्रस्तुति प्रदान करती है और अंतर्निहित अवधारणा को समझने में मदद करती है।

प्रमुख अवधारणाएँ:

• परवलय: एक परवलय U-आकार का वक्र होता है जो समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ द्वारा परिभाषित होता है। परवलय का शीर्ष वह बिंदु होता है जहाँ यह दिशा बदलता है।

• शीर्ष रूप: द्विघात समीकरण का शीर्ष रूप $y = a(x - h)^2 + k$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $(h, k)$ शीर्ष के निर्देशांक होते हैं।

ज्यामितीय व्याख्या:

1. प्रारंभिक बिंदु: समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ के रूप में एक द्विघात समीकरण पर विचार करें। इस समीकरण का ग्राफ एक परवलय होता है।

2. परवलय को स्थानांतरित करना: वर्ग पूरा करने के लिए, हम समीकरण में एक नियत पद $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ जोड़ते और घटाते हैं। इससे परवलय क्षैतिज रूप से स्थानांतरित होता है बिना अपने आकार को बदले।

3. एक पूर्ण वर्ग बनाना: जोड़ा गया पद $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ यह सुनिश्चित करता है कि कोष्ठक के भीतर का व्यंजक एक पूर्ण वर्ग बन जाए। यह समीकरण को शीर्ष रूप $y = a(x - h)^2 + k$ में बदल देता है।

4. शीर्ष: परवलय का शीर्ष $(h, k)$ ग्राफ का न्यूनतम या अधिकतम बिंदु दर्शाता है। $h$ का मान $-\frac{b}{2a}$ द्वारा दिया जाता है, और $k$ का मान $h$ को मूल समीकरण में वापस रखकर निर्धारित किया जाता है।

5. सममिति की अक्ष: रेखा $x = h$ परवलय की सममिति की अक्ष है। यह परवलय को दो सममित आधों में विभाजित करती है।

वर्ग पूरा करने की विधि की ज्यामितीय व्याख्या यह दृश्य समझ प्रदान करती है कि यह प्रक्रिया एक द्विघात समीकरण को किस प्रकार एक पूर्ण वर्ग में बदलती है। परवलय को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करके और एक पूर्ण वर्ग बनाकर, हम परवलय के शीर्ष और सममिति की अक्ष को आसानी से पहचान सकते हैं, जो द्विघात समीकरणों को हल करने और उनके व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

द्विघात समीकरणों में वर्ग पूरा करने की विधि का महत्व

वर्ग पूर्ण करने की विधि द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए प्रयोग की जाने वाली एक तकनीक है। इसमें एक द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में बदलना शामिल होता है, जिससे समीकरण के हल या मूल खोजना आसान हो जाता है। यह विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है जब द्विघात समीकरण ऐसे होते हैं जिन्हें आसानी से अन्य विधियों जैसे गुणनखंड या द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता।

वर्ग पूर्ण करने की विधि में शामिल चरण

1. स्थिरांव को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ:

   • शुरुआत स्थिरांव (वह संख्या जिसमें चर नहीं है) को समीकरण के दूसरी ओर ले जाकर करें। इससे यह सुनिश्चित होगा कि द्विघात पद (वह पद जिसमें चर का वर्ग है) समीकरण के एक ओर हो।

2. समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गयुक्त चर के गुणांक से विभाजित करें:

   • समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गयुक्त चर के गुणांक से विभाजित करें। इससे वर्गयुक्त चर का गुणांक 1 के बराबर हो जाएगा।

3. रैखिक चर के गुणांक के आधे के वर्ग को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें:

   • रैखिक चर (वह पद जिसमें चर बिना वर्ग के है) के गुणांक का आधा निकालें।
   • इस मान का वर्ग करें और उसे समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें।

4. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें:

   • समीकरण का बायाँ पक्ष अब एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। इसे $(x + a)^2$ के रूप में गुणनखंडित करें।

5. गुणनफल के रूप में व्यक्त समीकरण को शून्य के बराबर रखें और x के लिए हल करें:

   • गुणनफल के रूप में व्यक्त समीकरण को शून्य के बराबर रखें और चर x के लिए हल करें। इससे आपको द्विघात समीकरण के हल या मूल प्राप्त होंगे।

वर्ग पूर्ण करने की विधि के लाभ

• सरलता: वर्ग पूर्ण करने की विधि को समझना और लागू करना अपेक्षाकृत सरल है, जिससे यह सभी स्तरों के छात्रों के लिए सुलभ हो जाती है।

• व्यापक उपयोगिता: यह विधि उन द्विघात समीकरणों की विस्तृत श्रृंखला को हल करने के लिए उपयोग की जा सकती है, जिन्हें गुणनखंड विधि या द्विघात सूत्र से आसानी से हल नहीं किया जा सकता।

• शुद्धता: वर्ग पूर्ण करने की विधि द्विघात समीकरणों के ठीक-ठीक हल प्रदान करती है, अन्य विधियों से होने वाले सन्निकटन से बचाती है।

• ज्यामितीय व्याख्या: यह विधि द्विघात समीकरणों की ज्यामितीय व्याख्या प्रदान करती है, जिससे छात्रों को हलों को ग्राफ़ पर बिंदुओं के रूप में देखने में मदद मिलती है।

वर्ग पूर्ण करने की विधि द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक महत्वपूर्ण तकनीक है। इसकी सरलता, व्यापक उपयोगिता, शुद्धता और ज्यामितीय व्याख्या इसे छात्रों और गणितज्ञों दोनों के लिए एक मूल्यवान उपकरण बनाती है। इस विधि को समझने और अभ्यास में लाने से व्यक्ति विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों को प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं और उनके व्यवहार और गुणों की गहरी समझ प्राप्त कर सकते हैं।