sinx क्या है?

साइन फंक्शन, जिसे अक्सर sin(x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, एक मौलिक त्रिकोणमितीय फंक्शन है जो विभिन्न गणितीय और वैज्ञानिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसे एक समकोण त्रिभुज में विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ x कोण को दर्शाता है।

साइन फंक्शन के गुण

साइन फंक्शन कई महत्वपूर्ण गुण प्रदर्शित करता है जो इसे विभिन्न गणितीय संचालनों में उपयोगी बनाते हैं:

• आवर्तिता: साइन फंक्शन 2π की आवर्तिता के साथ आवर्ती होता है। इसका अर्थ है कि sin(x + 2π) = sin(x) किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए।
• सममिति: साइन फंक्शन एक विषम फंक्शन है, जिसका अर्थ है कि sin(-x) = -sin(x)।
• परिसर: साइन फंक्शन का परिसर -1 और 1 के बीच होता है, अर्थात् -1 ≤ sin(x) ≤ 1।
• शून्य: साइन फंक्शन के अनंत शून्य होते हैं x = nπ पर, जहाँ n कोई पूर्णांक है।

साइन फंक्शन के अनुप्रयोग

साइन फंक्शन का उपयोग अनेक क्षेत्रों में होता है, जिनमें शामिल हैं:

• कलन (Calculus): sin फलन कलन में अवकलज, समाकल और टेलर श्रेणी विस्तार का अध्ययन करने के लिए अत्यावश्यक है।
• भौतिकी (Physics): sin फलन का उपयोग विभिन्न घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे सरल आवर्त गति में वस्तुओं की गति और तरंगों का व्यवहार।
• अभियांत्रिकी (Engineering): sin फलन का उपयोग विद्युत अभियांत्रिकी, यांत्रिक अभियांत्रिकी और अन्य अभियांत्रिकी शाखाओं में आवर्त गति या दोलनों वाली प्रणालियों के विश्लेषण और डिज़ाइन के लिए किया जाता है।
• कंप्यूटर ग्राफ़िक्स (Computer Graphics): sin फलन का उपयोग कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में मुलायम वक्र, एनिमेशन और 3D रूपांतरण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।
• सिग्नल प्रोसेसिंग (Signal Processing): sin फलन का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में ऑडियो, वीडियो और अन्य प्रकार के सिग्नलों के विश्लेषण और हेरफेर के लिए किया जाता है।

sin फलन एक मौलिक गणितीय उपकरण है जिसका विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग है। इसके गुण, जैसे आवर्तिता, सममिति और परिसर, इसे आवर्ती घटनाओं के मॉडलिंग और विश्लेषण के लिए एक बहुउपयोगी फलन बनाते हैं। sin फलन को समझना गणित, भौतिकी, अभियांत्रिकी और अन्य वैज्ञानिक विषयों की गहरी समझ प्राप्त करने के लिए अत्यावश्यक है।

sinx का अवकलज क्या है?

sinx का अवकलज cosx है। इसे अवकलज की सीमा परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अवकलज की सीमा परिभाषा

किसी फलन f(x) का अवकलज उस स्पर्श-रेखा की प्रवणता के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ग्राफ़ पर दूसरे बिंदु के पहले बिंदु के निकट आते ही छेद-रेखाओं की प्रवणता की सीमा होती है। दूसरे शब्दों में, यह उस बिंदु पर स्पर्श-रेखा की प्रवणता को दर्शाता है।

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

सीnx पर सीमा परिभाषा लागू करना

sinx का अवकलज निकालने के लिए हमें sinx के ग्राफ़ की छेद-रेखाओं की प्रवणता की सीमा का मान निकालना होता है जब दूसरा बिंदु पहले बिंदु के निकट पहुँचता है।

मान लीजिए $f(x) = \sin x$। तब,

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

हम साइन के योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग कर अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$\sin(x+h) - \sin x = 2\cos\left(\dfrac{x+h}{2}\right)\sin\left(\dfrac{h}{2}\right)$$

अभिव्यक्ति को सरल करने पर हम पाते हैं:

$$\sin(x+h) - \sin x = 2\cos\left(\dfrac{x+h}{2}\right)\sin\left(\dfrac{h}{2}\right)$$

इस अभिव्यक्ति को सीमा में रखने पर हम पाते हैं:

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{2\cos\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\sin\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h}$$

अब हम तथ्य $\lim_{h\to 0} \dfrac{\sin h}{h} = 1$ का उपयोग कर सीमा का मान निकाल सकते हैं।

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \cos\left(\dfrac{2x+h}{2}\right)\lim_{h\to 0} \dfrac{\sin\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}$$

$$f’(x) = \cos\left(\dfrac{2x+0}{2}\right)\cdot 1 = \cos x$$

सीमा परिभाषा द्वारा sinx का अवकलज प्रमाण

sin(x) का अवकलज मूलभूत अवकलन नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। श्रृंखला नियम (chain rule) कहता है कि यदि हमारे पास एक फलन f(x) = g(h(x)) है, तो x के सापेक्ष f(x) का अवकलज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$f’(x) = g’(h(x)) \cdot h’(x)$$

इस स्थिति में, हमारे पास f(x) = sin(x) और h(x) = x है। इसलिए, g(x) = f(h(x)) = sin(x) और g’(x) = cos(x) है।

इन मानों को श्रृंखला नियम में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = cos(x) \cdot 1 = cos(x)$$

इसलिए, sin(x) का अवकलज cos(x) है।

प्रमाण: पृथ्वी गोल है और सूर्य इसकी परिक्रमा करता है।

मान लीजिए $$y = \sin x$$

तब, $$u = x$$

इसलिए, $$\dfrac{dy}{du} = \cos u$$

और $$\dfrac{du}{dx} = 1$$

श्रृंखला नियम द्वारा, हमारे पास है:

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$$

$\dfrac{dy}{du}$ और $\dfrac{du}{dx}$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$\dfrac{dy}{dx} = \cos u \cdot 1 = \cos x$$

इसलिए, sin(x) का अवकलज cos(x) है।

tanx के अवकलज का प्रमाण भागफल नियम द्वारा

प्रस्तावना इस लेख में, हम सीमा परिभाषा का उपयोग करके sine फलन के अवकलज का प्रमाण देंगे। भागफल नियम कहता है कि दो फलनों $f(x)$ और $g(x)$ के भागफल का अवकलज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$h’(x) = \dfrac{g(x)f’(x) - f(x)g’(x)}{g(x)^2}$$

प्रमाण मान लीजिए $f(x) = \sin(x)$ और $g(x) = \cos(x)$ है। तब, $h(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ का अवकलज निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$h’(x) = \dfrac{\cos(x)(\cos(x)) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos(x)^2}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$h’(x) = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$

चूँकि $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, हम इसे और सरल बना सकते हैं:

$$h’(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}$$

इसलिए, $\sin(x)$ का अवकलज $\cos(x)$ है।

इस लेख में हमने सीमा की परिभाषा का उपयोग करके साइन फलन का अवकलज सिद्ध किया है। यह सिद्धि सीमा की परिभाषा का एक सीधा अनुप्रयोग है, और यह दर्शाता है कि सीमा की परिभाषा का उपयोग करके अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज कैसे निकाले जा सकते हैं।

साइन x का nवाँ अवकलज

sinx का nवाँ अवकलज निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

$$f^{(n)} (x) = \sin(x + \dfrac{n\pi}{2})$$

जहाँ:

• $f^{(n)} (x)$, sinx का nवाँ अवकलज है।
• $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

सिद्धि:

हम इस सूत्र को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कर सकते हैं।

आधार स्थिति:

जब $n = 1$, sinx का पहला अवकलज cosx है, जो $\sin(x + \dfrac{\pi}{2})$ के बराबर है।

आगमन पूर्वाधारण:

मान लीजिए सूत्र किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए सत्य है। अर्थात् मान लीजिए $f^{(k)} (x) = \sin(x + \dfrac{k\pi}{2})$।

आगमन चरण:

हमें दिखाना है कि सूत्र $k + 1$ के लिए भी सत्य है। अर्थात् हमें दिखाना है कि $f^{(k + 1)} (x) = \sin(x + \dfrac{(k + 1)\pi}{2})$।

श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$f^{(k + 1)} (x) = \dfrac{d}{dx} f^{(k)} (x)$$

$$= \dfrac{d}{dx} \sin(x + \dfrac{k\pi}{2})$$

$$= \cos(x + \dfrac{k\pi}{2})$$

$$= \sin(x + \dfrac{k\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2})$$

$$= \sin(x + \dfrac{(k + 1)\pi}{2})$$

इसलिए, सूत्र $k + 1$ के लिए सत्य है।

गणितीय आगमन द्वारा, सूत्र सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए सत्य है।

उदाहरण:

• sinx का पहला अवकलज cosx है, जो $\sin(x + \dfrac{\pi}{2})$ के बराबर है।
• sinx का दूसरा अवकलज -sinx है, जो $\sin(x + \pi)$ के बराबर है।
• sinx का तीसरा अवकलज -cosx है, जो $\sin(x + \dfrac{\pi}{2})$ के बराबर है।

sin x का प्रतिअवकलज

sin x का प्रतिअवकलज खोजना

sin x का प्रतिअवकलज खोजने के लिए, हम बुनियादी समाकल नियम का उपयोग कर सकते हैं। पावर नियम कहता है कि $x^n$ का प्रतिअवकलज $(1/(n+1))x^{(n+1)} + C$ होता है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

इस मामले में, n = 1, इसलिए sin x का प्रतिअवकलज -cos x + C है:

$$∫ sin x\ dx = (-cos x) + C$$

व्याख्या

समाकलन का पावर नियम फलन का प्रतिअवकलज खोजकर काम करता है। इस मामले में, $sin x$ का प्रतिअवकलज $-cos x + C$ है, जो मूल फलन है।

समाकलन स्थिरांक, C, प्रतिअवकलज में जोड़ा जाता है क्योंकि किसी स्थिरांक का अवकलज हमेशा शून्य होता है। इसका मतलब है कि किसी भी दिए गए फलन के अनंत प्रतिअवकलज होते हैं, जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं।

उदाहरण

sin x + 2x का प्रतिअवकलज खोजने के लिए, हम समाकलन के पावर नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का अलग से प्रतिअवकलज खोज सकते हैं। sin x का प्रतिअवकलज $-cos x$ है, और 2x का प्रतिअवकलज $x^2$ है। इन दोनों प्रतिअवकलजों को एक साथ जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$∫ (sin x + 2x) dx = (-cos x) + x^2 + C$$

जहाँ C समाकलन नियतांक है।

sin x के अवकलज पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: sin(3x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल:

श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = \dfrac{d}{dx} \sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x).$$

उदाहरण 2: $sin^2(x)$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल:

श्रृंखला नियम और घात नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = \dfrac{d}{dx} \sin^2(x) = 2\sin(x) \dfrac{d}{dx} \sin(x) = 2\sin(x) \cos(x).$$

उदाहरण 3: sin(x) + cos(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल:

योग नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = \dfrac{d}{dx} \sin(x) + \dfrac{d}{dx} \cos(x) = \cos(x) - \sin(x).$$

उदाहरण 4: sin(x) / cos(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल:

भाग नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = \dfrac{\cos(x) \dfrac{d}{dx} \sin(x) - \sin(x) \dfrac{d}{dx} \cos(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).$$

उदाहरण 5: $sin(x^2)$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल:

श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = \dfrac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2).$$

Sin X के अवकलज पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

sin x का अवकलज क्या है?

sin x का अवकलज cos x होता है। इसका अर्थ है कि sin x में x के सापेक्ष परिवर्तन की दर cos x है।

sin x का अवकलज कैसे निकालते हैं?

sin x का अवकलज निकालने के कुछ तरीके हैं। एक तरीका है अवकलज की परिभाषा का प्रयोग करना। किसी फलन f(x) का अवकलज इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि h के 0 के निकट जाने पर अंतर भागफल की सीमा:

$$f’(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

इस परिभाषा का प्रयोग करके हम sin x का अवकलज इस प्रकार निकाल सकते हैं:

$$\sin’(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$$

हम इस अभिव्यक्ति के अंश को सरल बनाने के लिए sine के योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$\sin(x+h) - \sin(x) = 2\cos\left(\dfrac{x+h+x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x+h-x}{2}\right)$$

इसे अंतर भागफल में रखने पर हमें मिलता है:

$$\sin’(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{x+h}{2}\right)\sin\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac {h}{2}}$$

अब हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि $$\lim_{h\to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1$$

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाने के लिए:

$$\sin’(x) = \lim_{h\to 0} \cos\left(\dfrac{x+h}{2}\right)\cdot \dfrac{1}{2}$$

चूँकि $$\lim_{h\to 0} \cos\left(\dfrac{x+h}{2}\right) = \cos(x)$$

हमें मिलता है:

$$\sin’(x) = \cos(x)$$

sin x का अवकलज रेडियन में क्या है?

रेडियन में sin x का अवकलज भी cos x होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी कोण की रेडियन माप को त्रिज्या 1 के वृत्त के उस चाप की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस कोण को अंतरित करता है। चूँकि त्रिज्या 1 के वृत्त की परिधि 2π होती है, किसी कोण की रेडियन माप उस कोण के डिग्री मान को 180/π से विभाजित करने के बराबर होती है। इसलिए रेडियन में sin x का अवकलज है:

$$\sin’(x) = \dfrac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$$

sin x का अवकलज y के सापेक्ष क्या है?

sin x का अवकलज y के सापेक्ष 0 होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि sin x केवल x की फलन है, और y इस फलन में नहीं आता। इसलिए sin x का अवकलज y के सापेक्ष है:

$$\dfrac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$$

$sin(x^2)$ का अवकलज क्या है?

$sin(x^2)$ का अवकलज $2x\hspace{1mm}cos(x^2)$ होता है। इसे चेन नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि संयुक्त फलन का अवकलज व्यक्तिगत फलनों के अवकलजों के गुणनफल के बराबर होता है। इस मामले में बाहरी फलन sin(u) है और आंतरिक फलन $u = x^2$ है। इसलिए $sin(x^2)$ का अवकलज है:

$$\dfrac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot \dfrac{d}{dx} x^2 = 2x \cos(x^2)$$

sin(x) + cos(x) का अवकलज क्या है?

$sin(x) + cos(x)\hspace{1mm} का अवकलज\hspace{1mm} cos(x) - sin(x)$ है। इसे योग नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जो कहता है कि फलनों के योग का अवकलज व्यक्तिगत फलनों के अवकलजों के योग के बराबर होता है। इस मामले में, दो फलन sin(x) और cos(x) हैं। इसलिए, sin(x) + cos(x) का अवकलज है:

$$\dfrac{d}{dx} (\sin(x) + \cos(x)) = \dfrac{d}{dx} \sin(x) + \dfrac{d}{dx} \cos(x) = \cos(x) - \sin(x)$$