विभाज्यता नियम

विभाज्यता नियम शॉर्टकट होते हैं जो आपको यह तेजी से निर्धारित करने देते हैं कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं, बिना लंबा भाग दिए। प्रत्येक विभाज्यता नियम भाजकों और भाज्य के अंकों के गुणधर्मों पर आधारित होता है।

2 का विभाज्यता नियम

एक संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो।

उदाहरण:

• 12, 2 से विभाज्य है क्योंकि उसका अंतिम अंक सम है (2)।
• 23, 2 से विभाज्य नहीं है क्योंकि उसका अंतिम अंक विषम है (3)।

3 का विभाज्यता नियम

एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण:

• 123, 3 से विभाज्य है क्योंकि उसके अंकों का योग 1 + 2 + 3 = 6 है, जो 3 से विभाज्य है।
• 456, 3 से विभाज्य नहीं है क्योंकि उसके अंकों का योग 4 + 5 + 6 = 15 है, जो 3 से विभाज्य नहीं है।

4 का विभाज्यता नियम

एक संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों।

उदाहरण:

• 1234, 4 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम दो अंक (34) 4 से विभाज्य हैं।
• 5678, 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि अंतिम दो अंक (78) 4 से विभाज्य नहीं हैं।

5 का विभाज्यता नियम

एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 0 या 5 हो।

उदाहरण:

• 125, 5 से विभाज्य है क्योंकि उसका अंतिम अंक 5 है।
• 230, 5 से विभाज्य है क्योंकि उसका अंतिम अंक 0 है।
• 341, 5 से विभाज्य नहीं है क्योंकि उसका अंतिम अंक न तो 0 है और न ही 5।

6 का विभाज्यता नियम

एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।

उदाहरण:

• 1236, 6 से विभाज्य है क्योंकि यह 2 से (इसका अंतिम अंक सम है) और 3 से (इसके अंकों का योग 1 + 2 + 3 + 6 = 12 है, जो 3 से विभाज्य है) दोनों से विभाज्य है।
• 4567, 6 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 2 से विभाज्य नहीं है (इसका अंतिम अंक विषम है)।

9 से विभाज्यता का नियम

एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

उदाहरण:

• 12345, 9 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 है, जो 9 से विभाज्य है।
• 67890, 9 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके अंकों का योग 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 30 है, जो 9 से विभाज्य नहीं है।

10 से विभाज्यता का नियम

एक संख्या 10 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 0 हो।

उदाहरण:

• 1230, 10 से विभाज्य है क्योंकि इसका अंतिम अंक 0 है।
• 4567, 10 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक 0 नहीं है।

11 से विभाज्यता का नियम

एक संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का एकांतर योग 11 से विभाज्य हो। एकांतर योग की गणना सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग से विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग को घटाकर की जाती है।

उदाहरण:

• 12345, 11 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का एकांतर योग (1 - 2 + 3 - 4 + 5) = 3 है, जो 11 से विभाज्य है।
• 67890, 11 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके अंकों का एकांतर योग (6 - 7 + 8 - 9 + 0) = -2 है, जो 11 से विभाज्य नहीं है।

12 से विभाज्यता का नियम

एक संख्या 12 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 4 दोनों से विभाज्य हो।

उदाहरण:

• 1236, 12 से विभाज्य है क्योंकि यह 3 (इसके अंकों का योग 1 + 2 + 3 + 6 = 12 है, जो 3 से विभाज्य है) और 4 (अंतिम दो अंक 36 हैं, जो 4 से विभाज्य हैं) दोनों से विभाज्य है।
• 4567, 12 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 4 से विभाज्य नहीं है (अंतिम दो अंक 67 हैं, जो 4 से विभाज्य नहीं हैं)।

1 से 13 तक विभाज्यता नियम

1 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 1 से विभाज्य होती है जब वह शून्य न हो।

2 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 2 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक सम हो।

3 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

4 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 4 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों।

5 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक 0 या 5 हो।

6 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 6 से विभाज्य होती है जब वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।

7 के लिए विभाज्यता नियम

• 7 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। हालाँकि, कई परीक्षण हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या 7 से विभाज्य है या नहीं।

8 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 8 से विभाज्य होती है जब उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों।

9 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

10 के लिए विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 10 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक 0 हो।

11 की विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 11 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का एकांतर योग 11 से विभाज्य हो। एकांतर योग इस प्रकार निकाला जाता है कि सम स्थानों के अंकों के योग से विषम स्थानों के अंकों के योग को घटाया जाता है।

12 की विभाज्यता नियम

• कोई संख्या तभी 12 से विभाज्य होती है जब वह 3 और 4 दोनों से विभाज्य हो।

13 की विभाज्यता नियम

• 13 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। फिर भी, कई परीक्षण हैं जिनसे यह पता लगाया जा सकता है कि कोई संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं।

अभाज्य संख्याओं के लिए विभाज्यता नियम

अभाज्य संख्याएं वे पूर्ण संख्याएं होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं और जिनके गुणनखंड केवल 1 और स्वयं होते हैं। कई विभाज्यता नियम होते हैं जिनसे यह जांचा जा सकता है कि कोई संख्या किसी दी गई अभाज्य संख्या से विभाज्य है या नहीं।

2 की विभाज्यता नियम

कोई संख्या तभी 2 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक सम हो।

3 की विभाज्यता नियम

कोई संख्या तभी 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

5 की विभाज्यता नियम

कोई संख्या तभी 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक 0 या 5 हो।

7 की विभाज्यता नियम

7 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। फिर भी, कुछ तरकीबें हैं जिनसे यह पता लगाया जा सकता है कि कोई संख्या 7 से विभाज्य है या नहीं।

• अंतिम अंक को दोगुना करके उसे शेष संख्या से घटा दें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 7 से विभाज्य है।
• उदाहरण के लिए, यह जांचने के लिए कि 123, 7 से विभाज्य है या नहीं, हम अंतिम अंक (3) को दोगुना करेंगे और उसे शेष संख्या (12) से घटाएंगे: 12 - 6 = 6। चूँकि 6, 7 से विभाज्य है, हम जानते हैं कि 123 भी 7 से विभाज्य है।

11 के लिए विभाज्यता नियम

11 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। हालाँकि, कुछ चालें हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या 11 से विभाज्य है या नहीं।

• विषम स्थानों (1, 3, 5 आदि) के अंकों को जोड़ें और फिर सम स्थानों (2, 4, 6 आदि) के अंकों को जोड़ें। यदि इन दो योगों के बीच का अंतर 11 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 11 से विभाज्य है।
• उदाहरण के लिए, यह जांचने के लिए कि 12345, 11 से विभाज्य है या नहीं, हम विषम स्थानों के अंकों को जोड़ेंगे (1 + 3 + 5 = 9) और फिर सम स्थानों के अंकों को जोड़ेंगे (2 + 4 = 6)। इन दो योगों के बीच का अंतर 3 है, जो 11 से विभाज्य है। इसलिए, हम जानते हैं कि 12345 भी 11 से विभाज्य है।

13 के लिए विभाज्यता नियम

13 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। हालाँकि, कुछ चालें हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं।

• अंतिम अंक को 4 से गुणा करें और इसे शेष संख्या में जोड़ें। यदि परिणाम 13 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 13 से विभाज्य है।
• उदाहरण के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या 123, 13 से विभाज्य है, हम अंतिम अंक (3) को 4 से गुणा करेंगे और इसे शेष संख्या (12) में जोड़ेंगे: 12 + 12 = 24। चूंकि 24, 13 से विभाज्य है, हम जानते हैं कि 123 भी 13 से विभाज्य है।

17 के लिए विभाज्यता नियम

17 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। हालांकि, कुछ चालें हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या 17 से विभाज्य है या नहीं।

• अंतिम अंक को 5 से गुणा करें और इसे शेष संख्या में जोड़ें। यदि परिणाम 17 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 17 से विभाज्य है।
• उदाहरण के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या 123, 17 से विभाज्य है, हम अंतिम अंक (3) को 5 से गुणा करेंगे और इसे शेष संख्या (12) में जोड़ेंगे: 12 + 15 = 27। चूंकि 27, 17 से विभाज्य है, हम जानते हैं कि 123 भी 17 से विभाज्य है।

19 के लिए विभाज्यता नियम

19 के लिए कोई सरल विभाज्यता नियम नहीं है। हालांकि, कुछ चालें हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या 19 से विभाज्य है या नहीं।

• अंतिम अंक को 2 से गुणा करें और इसे शेष संख्या में जोड़ें। यदि परिणाम 19 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 19 से विभाज्य है।
• उदाहरण के लिए, यह जांचने के लिए कि क्या 123, 19 से विभाज्य है, हम अंतिम अंक (3) को 2 से गुणा करेंगे और इसे शेष संख्या (12) में जोड़ेंगे: 12 + 6 = 18। चूंकि 18, 19 से विभाज्य है, हम जानते हैं कि 123 भी 19 से विभाज्य है।

विभाज्यता नियम चार्ट

विभाज्यता नियम सरल परीक्षण होते हैं जिनका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है बिना लंबी भाग दिए। ये नियम संख्याओं की विभाज्यता के गुणधर्मों पर आधारित होते हैं और इनका उपयोग यह तेजी और आसानी से निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या किसी दिए गए भाजक से विभाज्य है या नहीं।

सामान्य भाजकों के लिए विभाज्यता नियम

विभाज्यता नियमों के उपयोग के उदाहरण

• यह निर्धारित करने के लिए कि क्या संख्या 1234, 2 से विभाज्य है, हम संख्या के अंतिम अंक को देखते हैं। चूँकि अंतिम अंक सम है, हम जानते हैं कि 1234, 2 से विभाज्य है।
• यह निर्धारित करने के लिए कि क्या संख्या 456, 3 से विभाज्य है, हम संख्या के अंकों को जोड़ते हैं: 4 + 5 + 6 = 15। चूँकि 15, 3 से विभाज्य है, हम जानते हैं कि 456, 3 से विभाज्य है।
• यह निर्धारित करने के लिए कि क्या संख्या 8765, 4 से विभाज्य है, हम संख्या के अंतिम दो अंकों को देखते हैं। चूँकि अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं, हम जानते हैं कि 8765, 4 से विभाज्य है।
• यह निर्धारित करने के लिए कि क्या संख्या 98765, 5 से विभाज्य है, हम संख्या के अंतिम अंक को देखते हैं। चूँकि अंतिम अंक 0 या 5 नहीं है, हम जानते हैं कि 98765, 5 से विभाज्य नहीं है।

निष्कर्ष

विभाज्यता नियम यह तेजी और आसानी से निर्धारित करने के लिए एक उपयोगी उपकरण हैं कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं। ये नियम गणनाओं को सरल बनाने और विभाज्यता से संबंधित समस्याओं को हल करने में प्रयोग किए जा सकते हैं।

विभाज्यता नियमों के हल किए गए उदाहरण

2 से विभाज्यता

उदाहरण 1: निर्धारित कीजिए कि क्या 1234, 2 से विभाज्य है।

हल:

• 1234 का अंतिम अंक 4 है, जो सम है।
• इसलिए, 1234, 2 से विभाज्य है।

उदाहरण 2: निर्धारित कीजिए कि क्या 56789, 2 से विभाज्य है।

हल:

• 56789 का अंतिम अंक 9 है, जो विषम है।
• इसलिए, 56789, 2 से विभाज्य नहीं है।

3 से विभाज्यता

उदाहरण 1: निर्धारित कीजिए कि क्या 1234, 3 से विभाज्य है।

हल:

• 1234 के अंकों को जोड़ें: 1 + 2 + 3 + 4 = 10।
• 10, 3 से विभाज्य नहीं है।
• इसलिए, 1234, 3 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 2: जांचें कि क्या 56789, 3 से विभाज्य है।

हल:

• 56789 के अंकों को जोड़ें: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35।
• 35, 3 से विभाज्य है।
• इसलिए, 56789, 3 से विभाज्य है।

4 से विभाज्यता

उदाहरण 1: जांचें कि क्या 1234, 4 से विभाज्य है।

हल:

• 1234 के अंतिम दो अंकों पर विचार करें: 34।
• 34, 4 से विभाज्य नहीं है।
• इसलिए, 1234, 4 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 2: जांचें कि क्या 56789, 4 से विभाज्य है।

हल:

• 56789 के अंतिम दो अंकों पर विचार करें: 89।
• 89, 4 से विभाज्य नहीं है।
• इसलिए, 56789, 4 से विभाज्य नहीं है।

5 से विभाज्यता

उदाहरण 1: जांचें कि क्या 1234, 5 से विभाज्य है।

हल:

• 1234 का अंतिम अंक 4 है, जो 0 या 5 नहीं है।
• इसलिए, 1234, 5 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 2: जांचें कि क्या 56789, 5 से विभाज्य है।

हल:

• 56789 का अंतिम अंक 9 है, जो 0 या 5 नहीं है।
• इसलिए, 56789, 5 से विभाज्य नहीं है।

6 से विभाज्यता

उदाहरण 1: जांचें कि क्या 1234, 6 से विभाज्य है।

हल:

• 1234, 2 से विभाज्य है (अंतिम अंक सम है) और 3 से भी विभाज्य है (अंकों का योग 3 से विभाज्य है)।
• इसलिए, 1234, 6 से विभाज्य है।

उदाहरण 2: जांचें कि क्या 56789, 6 से विभाज्य है।

हल:

• 56789, 3 से विभाज्य है (अंकों का योग 3 से विभाज्य है) लेकिन 2 से विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक विषम है)।
• इसलिए, 56789, 6 से विभाज्य नहीं है।

9 से विभाज्यता

उदाहरण 1: जाँचें कि क्या 1234, 9 से विभाज्य है।

हल:

• 1234 के अंकों को जोड़ें: 1 + 2 + 3 + 4 = 10।
• 10, 9 से विभाज्य नहीं है।
• इसलिए, 1234, 9 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 2: जाँचें कि क्या 56789, 9 से विभाज्य है।

हल:

• 56789 के अंकों को जोड़ें: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35।
• 35, 9 से विभाज्य है।
• इसलिए, 56789, 9 से विभाज्य है।

10 से विभाज्यता

उदाहरण 1: जाँचें कि क्या 1234, 10 से विभाज्य है।

हल:

• 1234 का अंतिम अंक 4 है, जो 0 नहीं है।
• इसलिए, 1234, 10 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 2: जाँचें कि क्या 56789, 10 से विभाज्य है।

हल:

• 56789 का अंतिम अंक 9 है, जो 0 नहीं है।
• इसलिए, 56789, 10 से विभाज्य नहीं है।

विभाज्यता नियम अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

विभाज्यता नियम क्या है?

विभाज्यता नियम एक ऐसी जाँच है जिसे किसी संख्या पर लागू किया जा सकता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वह संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं, बिना लंबी भाग विधि किए।

कुछ सामान्य विभाज्यता नियम कौन-से हैं?

कुछ सामान्य विभाज्यता नियम इस प्रकार हैं:

• नियम 2 के लिए: एक संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो।
• नियम 3 के लिए: एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
• नियम 4 के लिए: एक संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों।
• नियम 5 के लिए: एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 0 या 5 हो।
• नियम 6 के लिए: एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
• नियम 9 के लिए: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
• नियम 10 के लिए: एक संख्या 10 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 0 हो।

मैं विभाज्यता के नियमों का उपयोग कैसे कर सकता हूँ?

विभाज्यता के नियमों का उपयोग यह तेजी और आसानी से निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है। यह विभिन्न उद्देश्यों के लिए उपयोगी हो सकता है, जैसे:

• भिन्नों को सरल बनाना
• सामान्य गुणनज्ञात करना
• दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (GCD) निर्धारित करना
• दो संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य (LCM) खोजना

क्या अभाज्य संख्याओं के लिए कोई विभाज्यता के नियम हैं?

अभाज्य संख्याओं के लिए कोई विभाज्यता के नियम नहीं होते। एक अभाज्य संख्या वह संख्या होती है जो केवल 1 और स्वयं से ही विभाज्य होती है।

सबसे महत्वपूर्ण विभाज्यता नियम कौन-सा है?

सबसे महत्वपूर्ण विभाज्यता नियम 10 का नियम है। इस नियम का उपयोग तेजी और आसानी से यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संख्या 10 से विभाज्य है या नहीं, जो विभिन्न उद्देश्यों के लिए उपयोगी होता है, जैसे संख्याओं को पूर्णांकित करना और मापन की विभिन्न इकाइयों के बीच रूपांतरण करना।