गामा वितरण

गामा वितरण एक सतत् प्रायिकता वितरण है जो सांख्यिकी में प्रतीक्षा समय, जीवन काल और अन्य ऋणात्मक नहीं यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से प्रयुक्त होता है। यह एक द्वि-प्राचल वितरण है, जिसमें आकृति प्राचल $\alpha>0$ और दर प्राचल $\beta>0$ होते हैं।

प्रायिकता घनत्व फलन

गामा वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहाँ $\Gamma(\alpha)$ गामा फलन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} dx$$

संचयी वितरण फलन

गामा वितरण का संचयी वितरण फलन (CDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x t^{\alpha-1} e^{-t} dt$$

गामा वितरण सूत्र

गामा वितरण एक सतत् प्रायिकता वितरण है जो सांख्यिकी में प्रतीक्षा समय, जीवन काल और अन्य ऋणात्मक नहीं यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से प्रयुक्त होता है। इसे दो प्राचलों द्वारा परिभाषित किया गया है: आकृति प्राचल $\alpha$ और दर प्राचल $\beta$।

प्रायिकता घनत्व फलन

गामा वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहाँ:

• $x$ यादृच्छिक चर है
• $\alpha$ आकृति प्राचल है
• $\beta$ दर प्राचल है
• $\Gamma(\alpha)$ गामा फलन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} dt$$

संचयी वितरण फलन

गामा वितरण का संचयी वितरण फलन (CDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$F(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x t^{\alpha-1} e^{-\beta t} dt$$

माध्य और प्रसरण

गामा वितरण का माध्य और प्रसरण इस प्रकार दिए गए हैं:

• माध्य: $E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$
• प्रसरण: $V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$

गामा वितरण का माध्य और प्रसरण

गामा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकी में प्रतीक्षा समय, जीवनकाल और अन्य ऋणात्मक यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है। यह एक दो-पैरामीटर वितरण है, जिसमें आकृति पैरामीटर $\alpha$ और दर पैरामीटर $\beta$ होता है।

गामा वितरण का माध्य

गामा वितरण का माध्य इस प्रकार दिया गया है:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$$

जहाँ:

• $E(X)$ गामा वितरण का माध्य है
• $\alpha$ आकृति पैरामीटर है
• $\beta$ दर पैरामीटर है

गामा वितरण का प्रसरण

गामा वितरण का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$$V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$

जहाँ:

• $V(X)$ गामा वितरण का प्रसरण है
• $\alpha$ आकृति पैरामीटर है
• $\beta$ दर पैरामीटर है

माध्य और प्रसरण के बीच संबंध

गामा वितरण के माध्य और प्रसरण के बीच निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंध है:

$$V(X) = E(X)^2$$

इसका अर्थ है कि गामा वितरण का प्रसरण माध्य के वर्ग के बराबर होता है।

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास एक गामा वितरण है जिसका आकृति प्राचल $\alpha = 3$ और दर प्राचल $\beta = 2$ है। तब इस वितरण का माध्य और प्रसरण इस प्रकार हैं:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{3}{4} = 0.75$$

इसलिए, इस गामा वितरण का माध्य 1.5 है और प्रसरण 0.75 है।

गामा वितरण के गुण

गामा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकी में प्रतीक्षा समय, जीवन काल और अन्य ऋणात्मक यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है। यह एक द्वि-प्राचल वितरण है, जिसमें आकृति प्राचल $\alpha$ और दर प्राचल $\beta$ होते हैं।

गामा वितरण के गुण

गामा वितरण के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• आकृति: गामा वितरण की आकृति आकृति प्राचल $\alpha$ द्वारा निर्धारित होती है। जब $\alpha$ छोटा होता है, वितरण दायीं ओर तिरछा होता है, और जैसे-जैसे $\alpha$ बढ़ता है, वितरण अधिक सममित हो जाता है।

• माध्य: गामा वितरण का माध्य $\frac{\alpha}{\beta}$ द्वारा दिया जाता है।

• प्रसरण: गामा वितरण का प्रसरण $\frac{\alpha}{\beta^2}$ द्वारा दिया जाता है।

• तिरछापन: गामा वितरण का तिरछापन $\frac{2}{\sqrt{\alpha}}$ द्वारा दिया जाता है।

• अतिरिक्त कर्टोसिस: गामा वितरण का अतिरिक्त कर्टोसिस $\frac{6}{\alpha}$ द्वारा दिया जाता है।

गामा वितरण एक बहुउद्देशीय और शक्तिशाली प्रायिकता वितरण है जिसका व्यापक अनुप्रयोग क्षेत्र है। इसके गुणधर्म इसे विविध गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों के मॉडलिंग के लिए उपयोगी बनाते हैं।

गामा वितरण का आरेख

गामा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जो सांख्यिकी में प्रतीक्षा समय, जीवन काल और अन्य गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से प्रयुक्त होता है। यह दो-प्राचल वितरण है, जिसमें आकृति प्राचल $\alpha$ और दर प्राचल $\beta$ होते हैं।

प्रायिकता घनत्व फलन

गामा वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहाँ:

• $x$ यादृच्छिक चर है
• $\alpha$ आकृति प्राचल है
• $\beta$ दर प्राचल है
• $\Gamma(\alpha)$ गामा फलन है

गामा वितरण की आकृति

गामा वितरण की आकृति आकृति और दर प्राचलों के मानों पर निर्भर करती है।

• जब $\alpha < 1$, वितरण दाईं ओर तिरछा होता है।
• जब $\alpha = 1$, वितरण चरघातीय होता है।
• जब $\alpha > 1$, वितरण बाईं ओर तिरछा होता है।

गामा वितरण की दर

दर प्राचल $\beta$ वितरण के फैलाव को नियंत्रित करता है। $\beta$ का बड़ा मान संकीर्ण वितरण देता है, जबकि $\beta$ का छोटा मान व्यापक वितरण देता है।

गामा वितरण एक बहुउद्देशीय वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार की ऋणात्मक नहीं यादृच्छिक चरों को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।

गामा वितरण के अनुप्रयोग

गामा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में विस्तृत घटनाओं को मॉडल करने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है। यहाँ गामा वितरण के कुछ प्रमुख अनुप्रयोग दिए गए हैं:

1. विश्वसनीयता और जीविता विश्लेषण:

• गामा वितरण का उपयोग विश्वसनीयता इंजीनियरिंग और जीविता विश्लेषण में विफलता के समय या घटकों या प्रणालियों के जीवनकाल को मॉडल करने के लिए सामान्य रूप से किया जाता है। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है जब विफलता दर समय के साथ बढ़ती है, जिसे बढ़ती विफलता दर कहा जाता है।

2. बीमा और अभिकार विज्ञान:

• बीमा और अभिकार विज्ञान में, गामा वितरण का उपयोग दावों की राशि या बीमा दावों के बीच के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह विशेष रूप से प्रासंगिक होता है जब तिरछे डेटा या लंबी पूंछ वाले वितरणों से निपटा जा रहा हो।

3. वित्त और जोखिम प्रबंधन:

• गामा वितरण का उपयोग वित्तीय मॉडलिंग और जोखिम प्रबंधन में किया जाता है। इसका उपयोग संपत्ति रिटर्न, विकल्प मूल्य और ऋण जोखिम के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

4. जलविज्ञान और पर्यावरण विज्ञान:

• जलविज्ञान और पर्यावरण विज्ञान में, गामा वितरण का उपयोग वर्षा की मात्रा, नदी के प्रवाह और अन्य पर्यावरणीय चरों के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

5. जैव-चिकित्सा और स्वास्थ्य विज्ञान:

• जैव-चिकित्सा और स्वास्थ्य विज्ञान में, गामा वितरण का उपयोग जीवित रहने के समय, रोग की प्रगति और अन्य स्वास्थ्य संबंधी परिणामों के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

6. गुणवत्ता नियंत्रण और सिक्स सिग्मा:

• गामा वितरण का उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण और सिक्स सिग्मा पद्धतियों में प्रक्रिया मापदंडों के वितरण को मॉडल करने और प्रक्रिया क्षमता का आकलन करने के लिए किया जाता है।

7. इमेज प्रोसेसिंग और कंप्यूटर विज़न:

• इमेज प्रोसेसिंग और कंप्यूटर विज़न में, गामा वितरण का उपयोग पिक्सेल तीव्रताओं के वितरण को मॉडल करने और इमेज कॉन्ट्रास्ट को बढ़ाने के लिए किया जाता है।

8. खगोल विज्ञान और खगोल भौतिकी:

• खगोल विज्ञान और खगोल भौतिकी में, गामा वितरण का उपयोग तारा मैग्नीट्यूड, चमक और अन्य खगोलीय प्रेक्षणों के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

9. कतार सिद्धांत और संचालन अनुसंधान:

• गामा वितरण का उपयोग कतार सिद्धांत और संचालन अनुसंधान में प्रतीक्षा समय, सेवा समय और अन्य कतार संबंधी चरों के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

10. सांख्यिकीय अनुमान और बेज़ियन विश्लेषण:

• गामा वितरण बेज़ियन विश्लेषण में कुछ सांख्यिकीय मॉडलों, जैसे पॉइसन-गामा मॉडल और नकारात्मक द्विपद वितरण, के लिए संयुग्मी पूर्व वितरण के रूप में कार्य करता है।

ये विभिन्न क्षेत्रों में गामा वितरण के विविध अनुप्रयोगों के कुछ उदाहरण मात्र हैं। इसकी लचीलापन और विस्तृत घटनाओं को मॉडल करने की क्षमता इसे सांख्यिकीय मॉडलिंग और विश्लेषण के लिए एक मूल्यवान उपकरण बनाती है।

गामा वितरण FAQs

गामा वितरण क्या है?

गामा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग तब तक की प्रतीक्षा समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है जब तक कि निर्दिष्ट संख्या में घटनाएँ घटित न हो जाएँ। यह घातांक वितरण का एक व्यापक रूप है, जिसका उपयोग पहली घटना घटित होने तक की प्रतीक्षा समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

गामा वितरण के प्राचल क्या हैं?

गामा वितरण के दो प्राचल होते हैं: आकृति प्राचल $\alpha$ और दर प्राचल $\beta$। आकृति प्राचल वितरण की आकृति को नियंत्रित करता है, जबकि दर प्राचल वितरण के फैलाव को नियंत्रित करता है।

गामा वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन क्या है?

गामा वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार दी गई है:

$$f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}$$

जहाँ $x$ यादृच्छिक चर है, $\alpha$ आकृति प्राचल है, $\beta$ दर प्राचल है, और $\Gamma(\alpha)$ गामा फलन है।

गामा वितरण का माध्य क्या है?

गामा वितरण का माध्य इस प्रकार दिया गया है:

$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$$

गामा वितरण का प्रसरण क्या है?

गामा वितरण का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$$V(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$

गामा वितरण के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

गामा वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी: गामा वितरण का उपयोग घटकों की विफलता के समय के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• बीमा: गामा वितरण का उपयोग दावों की राशि के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• वित्त: गामा वितरण का उपयोग शेयर लाभांश के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• जलविज्ञान: गामा वितरण का उपयोग वर्षा की मात्रा के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

गामा वितरण अन्य वितरणों से कैसे संबंधित है?

गामा वितरण अन्य कई वितरणों से संबंधित है, जिनमें शामिल हैं:

• घातांक वितरण: गामा वितरण घातांक वितरण का एक व्यापक रूप है।
• काई-वर्ग वितरण: काई-वर्ग वितरण गामा वितरण का एक विशेष मामला है जहाँ $\alpha = \frac{1}{2}$ है।
• एर्लांग वितरण: एर्लांग वितरण गामा वितरण का एक विशेष मामला है जहाँ $\alpha = n$ है, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है।