दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक

दो या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो प्रत्येक संख्या को बिना किसी शेष के विभाजित करता है। इसे ग्रेटेस्ट कॉमन डिविज़र (GCD) भी कहा जाता है।

HCF ज्ञात करना

दो संख्याओं का HCF निकालने के कई तरीके हैं। एक सामान्य विधि यूक्लिडियन एल्गोरिद्म है, जिसमें बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार विभाजित करते हैं और शेष लेते हैं। अंतिम गैर-शून्य शेष HCF होता है।

उदाहरण के लिए, 12 और 18 का HCF ज्ञात करने के लिए हम यूक्लिडियन एल्गोरिद्म का उपयोग इस प्रकार कर सकते हैं:

1. 18 को 12 से विभाजित करें: 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 को 6 से विभाजित करें: 12 ÷ 6 = 2 शेष 0

अंतिम गैर-शून्य शेष 6 है, इसलिए 12 और 18 का HCF 6 है।

HCF के गुण

दो संख्याओं के HCF के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• दो संख्याओं का HCF हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
• दो संख्याओं का HCF दोनों संख्याओं का एक भाजक होता है।
• दो संख्याओं का HCF अद्वितीय होता है।
• दो संख्याओं का HCF उनके उभयतः प्रधान गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है।

HCF के अनुप्रयोग

दो संख्याओं के HCF के कई अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• भिन्नों को सरल बनाना: किसी भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (HCF) उस भिन्न को सरल बनाने में प्रयोग किया जा सकता है।
• लघुतम समापवर्त्य (LCM) खोजना: दो संख्याओं का LCM वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं से विभाजित हो। दो संख्याओं का LCF उनके HCF को उनके गुणनफल से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।
• डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना: डायोफैंटाइन समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनके पूर्णांक हल होते हैं। किसी डायोफैंटाइन समीकरण के गुणांकों का HCF उसके हल खोजने में प्रयोग किया जा सकता है।

दो संख्याओं का HCF संख्या सिद्धांत की एक मौलिक संकल्पना है जिसके विविध अनुप्रयोग हैं। इसे यूक्लिडीय एल्गोरिद्म द्वारा खोजा जा सकता है और इसके कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं।

दो संख्याओं का HCF खोजने की विधियाँ

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं को बिना किसी शेष के विभाजित करता है। दो संख्याओं का HCF खोजने की कई विधियाँ हैं। यहाँ दो सामान्यतः प्रयुक्त विधियाँ दी गई हैं:

1. अभाज्य गुणनफल विधि

इस विधि में दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनफल निकाले जाते हैं और फिर उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों की पहचान की जाती है। इन उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों का गुणनफल दोनों संख्याओं का HCF होता है।

चरण:

1. प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनफल लिखें।
2. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों की पहचान करें।
3. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों को गुणा करके HCF ज्ञात करें।

उदाहरण:

12 और 18 का HCF ज्ञात कीजिए।

हल:

1. 12 का अभाज्य गुणनफल: 2 x 2 x 3
2. 18 का अभाज्य गुणनफल: 2 x 3 x 3
3. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड: 2 और 3
4. 12 और 18 का महत्तम समापवर्त्य = 2 x 3 = 6

2. यूक्लिडीय एल्गोरिद्म

यूक्लिडीय एल्गोरिद्म दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की अधिक कुशल विधि है। इसमें बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार विभाजित करते हुए शेषफल निकाला जाता है। अंतिम गैर-शून्य शेषफल ही उन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य होता है।

चरण:

1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित कर शेषफल ज्ञात करें।
2. पिछले भाजक और शेषफल के साथ चरण 1 को तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए।
3. अंतिम गैर-शून्य शेषफल ही उन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य होता है।

उदाहरण:

यूक्लिडीय एल्गोरिद्म का प्रयोग कर 12 और 18 का महत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें।

हल:

1. 18 ÷ 12 = 1 शेष 6
2. 12 ÷ 6 = 2 शेष 0
3. अंतिम गैर-शून्य शेषफल 6 है।
4. अतः 12 और 18 का महत्तम समापवर्त्य 6 है।

यूक्लिडीय एल्गोरिद्म विशेष रूप से बड़ी संख्याओं के साथ काम करते समय उपयोगी होता है, क्योंकि इसमें संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड निकालने की आवश्यकता नहीं होती।

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य विशेष स्थिति:

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं को बिना किसी शेष के विभाजित करता है। दूसरे शब्दों में, यह वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों संख्याओं का गुणनखंड होती है।

विशेष स्थिति: एक संख्या शून्य है

यदि दो संख्याओं में से एक शून्य है, तो HCF दूसरी संख्या होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करना अपरिभाषित होता है, इसलिए वह एकमात्र संख्या जो शून्य और दूसरी संख्या दोनों को विभाजित करती है, वह दूसरी संख्या स्वयं होती है।

उदाहरण के लिए, 12 और 0 का HCF 12 है, और 0 और -7 का HCF -7 है।

प्रमाण

आइए दो संख्याओं पर विचार करें, $a$ और $b$, जहाँ $a$ शून्य के बराबर नहीं है। हम $b$ को $a$ का एक गुणज लिख सकते हैं, शेषफल के साथ:

$$b = aq + r$$

जहाँ $q$ भागफल है और $r$ शेषफल है।

यदि $r$ शून्य के बराबर है, तो $b$, $a$ से विभाज्य है, और $a$, $a$ और $b$ का HCF है।

यदि $r$ शून्य के बराबर नहीं है, तो हम प्रक्रिया को $a$ और $r$ के साथ दोहरा सकते हैं। हम $a$ को $r$ का एक गुणज लिख सकते हैं, शेषफल के साथ:

$$a = rq’ + r’$$

जहाँ $q’$ भागफल है और $r’$ शेषफल है।

यदि $r’$ शून्य के बराबर है, तो $r$, $a$ और $b$ का HCF है।

यदि $r’$ शून्य के बराबर नहीं है, तो हम प्रक्रिया को फिर से दोहरा सकते हैं। हम अंततः एक बिंदु पर पहुँचेंगे जहाँ शेषफल शून्य होगा, और अंतिम गैर-शून्य शेषफल $a$ और $b$ का HCF होगा।

उदाहरण

आइए यूक्लिड के एल्गोरिदम का उपयोग करके 12 और 18 का HCF निकालें।

$$18 = 12 \cdot 1 + 6$$

$$12 = 6 \cdot 2 + 0$$

चूँकि अंतिम गैर-शून्य शेषफल 6 है, 12 और 18 का HCF 6 है।

दो संख्याओं के HCF के हल किए गए उदाहरण

दो या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (HCF) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो प्रत्येक संख्या को बिना शेष दिए विभाजित करता है।

उदाहरण 1: 12 और 18 का HCF निकालना

12 और 18 का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. प्रत्येक संख्या के गुणनफलों की सूची बनाएँ।

   12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

2. दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनफलों की पहचान करें।

12 और 18 के उभयनिष्ठ गुणनफल 1, 2, 3 और 6 हैं।

3. 12 और 18 का HCF उभयनिष्ठ गुणनफलों में सबसे बड़ा है, जो 6 है।

उदाहरण 2: 24, 36 और 48 का HCF निकालना

24, 36 और 48 का HCF निकालने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. प्रत्येक संख्या के गुणनफलों की सूची बनाएँ।

   24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

2. तीनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनफलों की पहचान करें।

24, 36 और 48 के उभयनिष्ठ गुणनफल 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं।

3. 24, 36 और 48 का HCF उभयनिष्ठ गुणनफलों में सबसे बड़ा है, जो 12 है।

उदाहरण 3: 100 और 120 का HCF निकालना

100 और 120 का HCF निकालने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. प्रत्येक संख्या के गुणनफलों की सूची बनाएँ।

   100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
   120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

2. दोनों संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनफलों की पहचान करें।

100 और 120 के उभयनिष्ठ गुणनफल 1, 2, 4, 5, 10 और 20 हैं।

3. 100 और 120 का HCF उभयनिष्ठ गुणनफलों में सबसे बड़ा है, जो 20 है।

निष्कर्ष

दो या अधिक संख्याओं का HCF प्रत्येक संख्या के गुणनफलों की सूची बनाकर, उभयनिष्ठ गुणनफलों की पहचान करके और फिर उभयनिष्ठ गुणनफलों में सबसे बड़ा चुनकर निकाला जा सकता है।

दो संख्याओं के HCF के अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

दो संख्याओं का HCF क्या होता है?

दो संख्याओं का HCF (उच्चतम समापवर्तक) वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो दोनों संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करता है।

दो संख्याओं का HCF कैसे निकालें?

दो संख्याओं का HCF निकालने के कई तरीके होते हैं। कुछ सामान्य तरीके इस प्रकार हैं:

• अभाज्य गुणनफल विधि: इस विधि में दोनों संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनफलों के रूप में व्यक्त किया जाता है और फिर उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों की पहचान की जाती है। इन उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनफलों का गुणनफल HCF होता है।

• यूक्लिडियन एल्गोरिदम: यह दो संख्याओं का HCF निकालने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है। इसमें बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार विभाजित किया जाता है और शेषफल लिया जाता है। अंतिम गैर-शून्य शेषफल HCF होता है।

दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF क्या होता है?

दो संख्याएं सह-अभाज्य (या सापेक्षतः अभाज्य) कही जाती हैं यदि उनमें 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF 1 होता है।

द क्रमागत संख्याओं का HCF क्या होता है?

दो क्रमागत संख्याओं का HCF 1 होता है।

किसी संख्या और 0 का HCF क्या होता है?

किसी संख्या और 0 का HCF वह संख्या स्वयं होती है।

किसी संख्या और 1 का HCF क्या होता है?

किसी संख्या और 1 का HCF 1 होता है।

किसी संख्या और उसी संख्या का HCF क्या होता है?

किसी संख्या और उसी संख्या का HCF वह संख्या स्वयं होती है।

दो ऋणात्मक संख्याओं का HCF क्या होता है?

दो ऋणात्मक संख्याओं का HCF उनके परमानों के HCF का धनात्मक मान होता है।

दो भिन्नों का HCF क्या होता है?

दो भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए, पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलें। फिर, अंशों और हरों का महत्तम समापवर्तक अलग-अलग निकालें। अंशों का महत्तम समापवर्तक HCF का अंश होगा, और हरों का महत्तम समापवर्तक HCF का हर होगा।

तीन या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक क्या है?

तीन या अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक निकालने के लिए, पहले दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक निकालें। फिर, परिणाम और तीसरी संख्या का महत्तम समापवर्तक निकालें। यह प्रक्रिया तब तक दोहराएँ जब तक सभी संख्याओं पर विचार न हो जाए। अंतिम परिणाम सभी दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होगा।