त्रिभुज का अंतःकेंद्र क्या है?

त्रिभुज का अंतःकेंद्र वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक एक-दूसरे को काटते हैं। यह अंतःस्थापित वृत्त का केंद्र होता है, जो त्रिभुज के अंदर खींचा जा सकने वाला सबसे बड़ा वृत्त है और जो तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है।

अंतःकेंद्र के गुण

त्रिभुज का अंतःकेंद्र कई रोचक गुणों से युक्त होता है। सबसे महत्वपूर्ण गुण नीचे सूचीबद्ध हैं:

• अंतःकेंद्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर होता है।
• अंतःकेंद्र अंतःस्थापित वृत्त का केंद्र होता है।
• अंतःकेंद्र आंतरिक कोण समद्विभाजकों का संगामी बिंदु होता है।
• अंतःकेंद्र तीनों सेवियों का संगामी बिंदु होता है जो त्रिभुज के शीर्षों को अंतःस्थापित वृत्त की स्पर्श बिंदुओं से जोड़ती हैं।
• अंतःकेंद्र तीनों रेखाओं का संगामी बिंदु होता है जो त्रिभुज की भुजाओं पर अंतःस्थापित वृत्त के स्पर्श बिंदुओं पर लंब होती हैं।
• अंतःकेंद्र तीनों रेखाओं का संगामी बिंदु होता है जो त्रिभुज की भुजाओं और अंतःस्थापित वृत्त के स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक होती हैं।

अंतःकेंद्र के अनुप्रयोग

त्रिभुज का अंतःकेंद्र ज्यामिति में कई अनुप्रयोगों में प्रयुक्त होता है। सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग नीचे सूचीबद्ध हैं:

• अंतःकेंद्र का उपयोग त्रिभुज के अंतर्गत खींचे जाने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
• अंतःकेंद्र का उपयोग त्रिभुज के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
• अंतःकेंद्र का उपयोग त्रिभुज के लंबकेंद्र को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
• अंतःकेंद्र का उपयोग त्रिभुज के परिकेंद्र को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
• अंतःकेंद्र का उपयोग त्रिभुज के नौ-बिंदु वृत्त को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

त्रिभुज का अंतःकेंद्र एक अत्यंत महत्वपूर्ण बिंदु होता है। इसके ज्यामिति में कई रोचक गुणधर्म और अनुप्रयोग होते हैं।

त्रिभुज का अंतःकेंद्र कैसे निकालें?

त्रिभुज का अंतःकेंद्र आंतरिक कोण समद्विभाजकों के संगाम बिंदु होता है। यह अंतःस्थ वृत्त का केंद्र है, जो त्रिभुज के अंदर बिना किसी भुजा को छुए खींचा जा सकने वाला सबसे बड़ा वृत्त है।

अंतःकेंद्र की गणना

त्रिभुज का अंतःकेंद्र निकालने के लिए आप निम्न चरणों का पालन कर सकते हैं:

1. त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक खींचें।
2. कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजें। यही अंतःकेंद्र है।

आप अंतःकेंद्र निकालने के लिए निम्न सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं:

$$I = \dfrac{a\overrightarrow{B} + b\overrightarrow{C} + c\overrightarrow{A}}{a + b + c}$$

जहाँ:

• I अंतःकेंद्र है
• a, b और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हैं
• A, B और C त्रिभुज के शीर्ष हैं

उदाहरण

आइए 3, 4 और 5 लंबाई की भुजाओं वाले त्रिभुज का अंतःकेंद्र निकालें।

1. त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक खींचें।

2. कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजें। यही अंतःकेंद्र है।

3. अंतःकेंद्र की गणना करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें।

$$I = \dfrac{3{B} + 4{C} + 5{A}}{3 + 4 + 5}$$

$$I = \dfrac{3(4 , 5) + 4(5, - 3) + 5(3 , 4)}{12}$$

$$I = \dfrac{(12 + 20 + 15,15 - 12 + 20)}{12}$$

$$I = \left(\dfrac{47}{12} , \dfrac{23}{12}\right)$$

इसलिए, त्रिभुज का अंतःकेंद्र $\left(\dfrac{47}{12}, \dfrac{23}{12}\right)$ है।

त्रिभुज का अंतःकेंद्र: अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

त्रिभुज का अंतःकेंद्र क्या है?

त्रिभुज का अंतःकेंद्र वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक मिलते हैं। यह अंतःवृत्त का केंद्र भी होता है, जो त्रिभुज के भीतर बनाया जा सकने वाला सबसे बड़ा वृत्त है।

त्रिभुज का अंतःकेंद्र कैसे खोजें?

त्रिभुज का अंतःकेंद्र खोजने के कुछ अलग तरीके हैं। एक तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना है:

$$I = \dfrac{1}{2s}(a{A} + b{B} + c{C})$$

जहाँ $I$ अंतःकेंद्र है, $s$ त्रिभुज का अर्धपरिमाप है, $a$, $b$, और $c$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हैं, और ${A}$, ${B}$, और ${C}$ त्रिभुज के शीर्ष हैं।

त्रिभुज का अंतःकेंद्र खोजने का एक अन्य तरीका त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजकों की रचना करना है। अंतःकेंद्र वह बिंदु है जहाँ ये कोण समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज के अंतःकेंद्र के गुण क्या हैं?

त्रिभुज के अंतःकेंद्र के कई रोचक गुण होते हैं। इनमें से कुछ गुण इस प्रकार हैं:

• अंतःकेंद्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर होता है।
• अंतःकेंद्र त्रिभुज के अंतःवृत्त का केंद्र होता है।
• अंतःकेंद्र त्रिभुज की तीनों आंतरिक कोण समद्विभाजकों का संगामी बिंदु होता है।
• अंतःकेंद्र त्रिभुज के तीनों सीवियनों का संगामी बिंदु होता है जो त्रिभुज के शीर्षों को अंतःवृत्त की विपरीत भुजाओं से स्पर्श बिंदुओं से जोड़ते हैं।
• अंतःकेंद्र त्रिभुज की तीनों सिम्सन रेखाओं का संगामी बिंदु होता है।

त्रिभुज के अंतःकेंद्र के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

त्रिभुज का अंतःकेंद्र ज्यामिति में कई अनुप्रयोगों का उपयोग होता है। इनमें से कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:

• त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
• त्रिभुज की आंतरिक कोण समद्विभाजकों की रचना करना।
• त्रिभुज के अंतःवृत्त की रचना करना।
• त्रिभुज की भुजाओं के साथ अंतःवृत्त के स्पर्श बिंदुओं को ज्ञात करना।
• त्रिभुज की सिम्सन रेखाओं को ज्ञात करना।

निष्कर्ष

त्रिभुज का अंतःकेंद्र एक ऐसा बिंदु है जिसके कई रोचक गुण और अनुप्रयोग होते हैं। ज्यामिति का अध्ययन करते समय यह एक उपयोगी बिंदु है जिसके बारे में जानना उपयोगी होता है।