अनिर्धारित रूप

अनिर्धारित रूप वे व्यंजक होते हैं जिनका सीधे मूल्यांकन करने पर कोई निर्धारित मान नहीं होता। ये आमतौर पर फलनों की सीमाएँ निकालते समय या समाकलों का मूल्यांकन करते समय उत्पन्न होते हैं। कुछ सामान्य अनिर्धारित रूप इस प्रकार हैं:

• $0/0$ (शून्य से भाग)
• $∞/∞$ (अनंत को अनंत से भाग)
• $0^0$ (शून्य की शून्य घात)
• $∞^0$ (अनंत की शून्य घात)
• $1^∞$ (एक की अनंत घात)
• $∞-∞$ (अनंत माइनस अनंत)

अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन करने के लिए हम विभिन्न तकनीकों जैसे लॉपिटल का नियम, श्रेणी विस्तार या बीजगणितीय छेड़छाड़ का उपयोग कर सकते हैं।

लॉपिटल का नियम

लॉपिटल का नियम अनिर्धारित रूपों की सीमाएँ निकालने के लिए एक शक्तिशाली तकनीक है। यह कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 या दोनों की सीमा अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से भाग देने की सीमा के बराबर होती है।

दूसरे शब्दों में, यदि

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \quad \text{या} \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty},$$

तब

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)},$$

बशर्ते दायीं ओर की सीमा अस्तित्व में हो।

उदाहरण

यहाँ लॉपिटल के नियम का उपयोग करके अनिर्धारित रूपों की सीमाएँ निकालने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1: सीमा का मूल्यांकन कीजिए

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

हल:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0}.$$

L’Hôpital नियम लगाने पर, हमें मिलता है

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1.$$

उदाहरण 2: सीमा का मान निकालें

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}.$$

हल:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \frac{\infty}{\infty}.$$

L’Hôpital नियम लगाने पर, हमें मिलता है

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0.$$

अन्य तकनीकें

L’Hôpital नियम के अतिरिक्त, अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए अन्य तकनीकें भी हैं। इनमें शामिल हैं:

• श्रेणी विस्तार: किसी भिन्न के अंश और हर को पावर श्रेणी के रूप में विस्तारित करना और फिर पद-दर-पद सीमा निकालना।
• बीजगणितीय हेरफेर: बीजगणितीय सर्वसमिकाओं या गुणनफल विस्तार का उपयोग कर अभिव्यक्ति को सरल बनाना।
• ज्ञात सीमाओं से तुलना: अनिर्धारित रूप की तुलना समान अभिव्यक्तियों की ज्ञात सीमाओं से करना।

तकनीक का चयन विशिष्ट अनिर्धारित रूप और संलग्न फलन पर निर्भर करता है।

अनिर्धारित रूपों की सूची

अनिर्धारित रूप वे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनका सीधे मूल्यांकन करने पर कोई निर्धारित मान नहीं होता। ये आमतौर पर तब उत्पन्न होते हैं जब किसी फलन की सीमा में दो पदों का घटाव या भाग किया जाता है जो दोनों शून्य या अनंत की ओर जाते हैं।

निम्नलिखित सामान्य अनिर्धारित रूपों की सूची है:

• $0/0$
• $∞/∞$
• $0*∞$
• $∞-∞$
• $1^∞$
• $0^0$

अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन

अनिर्धारित रूप का मूल्यांकन करने के लिए हम लॉपिटल का नियम, श्रेणी विस्तार या बीजगणितीय हेरफेर जैसी विभिन्न तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं।

लॉपिटल का नियम

लॉपिटल का नियम अनिर्धारित रूपों की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए एक शक्तिशाली तकनीक है। यह कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा शून्य या अनंत की ओर जाती है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से विभाजित करने वाली सीमा के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, सीमा पर विचार करें:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

$x$ के $0$ की ओर जाते ही अंश और हर दोनों शून्य की ओर जाते हैं, इसलिए हम सीमा का मूल्यांकन करने के लिए लॉपिटल के नियम का उपयोग कर सकते हैं:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$

श्रेणी विस्तार

श्रेणी विस्तार का उपयोग भी अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। किसी भिन्न के अंश और हर को घात श्रेणी के रूप में विस्तारित करके, हम अक्सर भिन्न की सीमा संगत श्रेणी की सीमा लेकर ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सीमा पर विचार करें:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

हम $e^x$ को घात श्रेणी के रूप में विस्तारित कर सकते हैं:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

इस विस्तार को भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots - 1}{x}$$

अभिव्यक्ति को सरल करने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots}{x}$$

अंश तथा हर दोनों को $x$ से भाग देने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots\right)$$

सीमा लेने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

बीजगणितीय संक्रियाएँ

कुछ स्थितियों में अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन बीजगणितीय संक्रियाओं द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सीमा पर विचार करें:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

हम अंश को इस प्रकार गुणनखंड सकते हैं:

$$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$$

इस गुणनखंड को भिन्न में रखने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3}$$

$x - 3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 0} (x + 3)$$

सीमा लेने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 3$$

0/0 का अनिर्धारित रूप

0/0 का अनिर्धारित रूप तब उत्पन्न होता है जब किसी भिन्न का अंश तथा हर दोनों शून्य हो जाते हैं। यह रूप अनिर्धारित होता है क्योंकि यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता कि भिन्न का मान क्या होना चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्न 0/0 का मान 0, 1 या कोई अन्य संख्या हो सकती है।

$\frac{\infty}{\infty}$ का अनिर्धारित रूप

कलन में, अनिर्धारित रूप $\frac{\infty}{\infty}$ तब उत्पन्न होता है जब किसी भिन्न के अंश और हर दोनों चर के किसी निश्चित मान की ओर बढ़ने पर अनंत की ओर बढ़ते हैं। इस रूप को अनिर्धारित माना जाता है क्योंकि इसकी कोई निश्चित मान नहीं होता है। इसके बजाय, व्यंजक की सीमा कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, जिसमें अनंत, ऋणात्मक अनंत या कोई परिमित मान शामिल हैं।

$\frac{\infty}{\infty}$ रूप के किसी व्यंजक की सीमा निर्धारित करने के लिए हम विभिन्न तकनीकों जैसे लॉपिटल का नियम, श्रेणी विस्तार या बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग कर सकते हैं।

∞ का अनिर्धारित रूप

गणित में, एक अनिर्धारित रूप एक ऐसा व्यंजक होता है जिसका मान अपरिभाषित होता है। अनिर्धारित रूप का एक सामान्य प्रकार 0/0 है। यह तब होता है जब किसी भिन्न के अंश और हर दोनों शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक 0/0 अनिर्धारित है क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इसका मान क्या होना चाहिए।

अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन

अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए कई तकनीकें उपयोग में ली जा सकती हैं। एक सामान्य तकनीक लॉपिटल का नियम है। यह नियम कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 या दोनों की सीमा अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज की सीमा को हर के अवकलज की सीमा से विभाजित करने के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 0/0 पर विचार करें। हम इस व्यंजक का मूल्यांकन लॉपिटल के नियम का उपयोग करके कर सकते हैं, जिसमें अंश और हर दोनों का अवकलज निकाला जाता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{0}{0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(0)}{\frac{d}{dx}(0)}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$$

चूँकि अंश और हर के अवकलज की सीमा अभी भी 0/0 है, हमें फिर से ल’हॉस्पिटल का नियम लगाना होगा। अंश और हर की द्वितीय अवकलज लेने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{0}{0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d^2}{dx^2}(0)}{\frac{d^2}{dx^2}(0)}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$$

चूँकि अंश और हर की द्वितीय अवकलज की सीमा अभी भी 0/0 है, हमें ल’हॉस्पिटल का नियम तीसरी बार लगाना होगा। अंश और हर की तृतीय अवकलज लेने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{0}{0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d^3}{dx^3}(0)}{\frac{d^3}{dx^3}(0)}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$$

चूँकि अंश और हर की तृतीय अवकलज की सीमा अभी भी 0/0 है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि व्यंजक 0/0 की सीमा अनिर्धारित है।

अन्य अनिर्धारित रूप

0/0 के अतिरिक्त कुछ अन्य अनिर्धारित रूप भी होते हैं। इनमें शामिल हैं:

• $∞/∞$
• $0^∞$
• $∞^0$
• $1^∞$
• $∞^1$

इनमें से प्रत्येक अनिर्धारित रूप का मूल्यांकन विभिन्न तकनीकों, जिनमें ल’हॉस्पिटल का नियम शामिल है, द्वारा किया जा सकता है।

अनिर्धारित रूप वे व्यंजक होते हैं जिनका मान अपरिभाषित होता है। अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए कई तकनीकें उपलब्ध हैं, जिनमें ल’हॉस्पिटल का नियम शामिल है।

$\infty - \infty$ का अनिर्धारित रूप

गणित में, $\infty - \infty$ का अनिर्धारित रूप तब उत्पन्न होता है जब दो अनंत की ओर बढ़ती हुई अनुक्रमों या फलनों के अंतर की सीमा परिभाषित नहीं होती। इसका अर्थ है कि एक अनंत से दूसरे अनंत को घटाने पर परिणाम कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, जिसमें स्वयं अनंत, ऋणात्मक अनंत या कोई अपरिभाषित मान भी शामिल है।

अनिर्धारित रूप को समझना

यह समझने के लिए कि $\infty - \infty$ अनिर्धारित रूप क्यों है, निम्नलिखित दो अनुक्रमों पर विचार करें:

$$a_n = n \quad \text{और} \quad b_n = n + 1$$

जब $n$ अनंत की ओर बढ़ता है, तो $a_n$ और $b_n$ दोनों अनंत की ओर बढ़ते हैं। हालांकि, इन दोनों अनुक्रमों के बीच का अंतर, $a_n - b_n = -1$, एक स्थिर मान है जो किसी विशिष्ट सीमा की ओर नहीं बढ़ता।

यह उदाहरण दर्शाता है कि एक अनंत से दूसरे अनंत को घटाने पर परिणाम स्वाभाविक रूप से दूसरा अनंत नहीं होता। वास्तव में, परिणाम कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, जो संलग्न अनुक्रमों या फलनों पर निर्भर करता है।

अनिर्धारित रूप वाली सीमाओं का मूल्यांकन

जब $\infty - \infty$ का अनिर्धारित रूप सामने आता है, तो सीमा का मूल्यांकन करने के लिए अतिरिक्त तकनीकों का उपयोग करना आवश्यक होता है। एक सामान्य विधि यह है कि दोनों अनुक्रमों या फलनों से $n$ की उच्चतम घात को बाहर निकाला जाए और फिर व्यंजक को सरल किया जाए।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सीमा पर विचार करें:

$$\lim_{n\to\infty} (n^2 - 3n + 2) - (n^2 + 2n - 1)$$

दोनों पदों से $n^2$ को बाहर निकालने पर हमें प्राप्त होता है:

$$\lim_{n\to\infty} n^2 \left(1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}\right) - n^2 \left(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}\right)$$

अभिव्यक्ति को सरल करते हुए, हम $n^2$ के पदों को रद्द कर सकते हैं और प्राप्त करते हैं:

$$\lim_{n\to\infty} \left(-4 + \frac{5}{n} - \frac{3}{n^2}\right)$$

सीमा लेते हुए, हम पाते हैं कि अभिव्यक्ति $-4$ पर अभिसरित होती है।

$\infty - \infty$ का अनिर्धारित रूप तब होता है जब दो विचलित अनुक्रमों या फलनों के अंतर की सीमा परिभाषित नहीं होती है। इस अनिर्धारित रूप वाली सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए, यह आवश्यक है कि $n$ की उच्चतम घात को बाहर निकालने और अभिव्यक्ति को सरल करने जैसी अतिरिक्त तकनीकों का उपयोग किया जाए।

0$^0$ का अनिर्धारित रूप

अभिव्यक्ति $0^0$ एक अनिर्धारित रूप है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई निश्चित मान नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $0^0$ किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है, इस बात पर निर्भर करता है कि इसे किस संदर्भ में प्रयोग किया जा रहा है।

$0^0$ का मूल्यांकन

$0^0$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. $0^0$ को $(0)^x$ के रूप में पुनः लिखें, जहाँ $x$ एक मनमानी संख्या है।
2. $x$ के 0 के निकट जाते हुए $(0)^x$ की सीमा लें।

यदि सीमा अस्तित्व में है, तो यह $0^0$ का मान है। यदि सीमा अस्तित्व में नहीं है, तो $0^0$ अनिर्धारित है।

उदाहरण

यहाँ $0^0$ का मूल्यांकन करने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• $(0)^0 = 1$, क्योंकि $x$ के 0 के निकट जाते हुए $(0)^x$, 1 के निकट जाता है।
• $(0)^∞ = 0$, क्योंकि $x$ के ∞ के निकट जाते हुए $(0)^x$, 0 के निकट जाता है।
• $(0)^{(-∞)} = ∞$, क्योंकि $x$ के -∞ के निकट जाते हुए $(0)^x$, ∞ के निकट जाता है।

अनुप्रयोग

$0^0$ की अनिर्धारित रूप का उपयोग गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग सहित विभिन्न क्षेत्रों में होता है। उदाहरण के लिए, $0^0$ का उपयोग ब्लैक होल्स के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जो अंतरिक्ष के ऐसे क्षेत्र हैं जहाँ गुरुत्वाकर्षण इतना प्रबल होता है कि प्रकाश भी बाहर नहीं निकल सकता।

$0^0$ की अनिर्धारित रूप एक जटिल और आकर्षक विषय है जिसके अनेक अनुप्रयोग हैं। $0^0$ के मूल्यांकन को समझकर हम अपने आस-पास की दुनिया को गहराई से समझ सकते हैं।

$1^{\infty}$ की अनिर्धारित रूप

अनिर्धारित रूप $1^{\infty}$ तब उत्पन्न होता है जब हमारे पास $1^x$ के रूप का कोई व्यंजक हो जब $x$ अनंत की ओर बढ़ता है। यह रूप अनिर्धारित होता है क्योंकि व्यंजक का मान 0 या 1 हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन-सा विशिष्ट फलन शामिल है।

$1^{\infty}$ का मूल्यांकन

अनिर्धारित रूप $1^{\infty}$ का मूल्यांकन करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

1. व्यंजक को लघुगणकों के पदों में पुनः लिखें।
2. लघुगणकीय व्यंजक की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए ल’हॉपिटल नियम लागू करें।
3. मूल व्यंजक का मान प्राप्त करने के लिए परिणाम को घातांकित करें।

उदाहरण

आइए फलन $f(x) = (1 + 1/x)^x$ के लिए अनिर्धारित रूप $1^{\infty}$ का मूल्यांकन करें।

चरण 1: व्यंजक को लघुगणकों के पदों में पुनः लिखें।

$$\ln f(x) = x \ln (1 + 1/x)$$

चरण 2: लघुगणकीय व्यंजक की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए ल’हॉपिटल नियम लागू करें।

$$\lim_{x\to\infty} x \ln (1 + 1/x) = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln (1 + 1/x)}{1/x}$$

$$= \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{1 + 1/x} \cdot (-1/x^2)}{-1/x^2}$$

$$= \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + 1/x} = 1$$

चरण 3: परिणाम को घातांकित करके मूल व्यंजक का मान प्राप्त करें।

$$f(x) = e^{\ln f(x)} = e^1 = e$$

इसलिए, फलन $f(x) = (1 + 1/x)^x$ के लिए अनिर्धारित रूप $1^{\infty}$ का मान $e$ है।

अनिर्धारित रूप $1^{\infty}$ का मूल्यांकन लॉपिटल के नियम का उपयोग करके किया जा सकता है। व्यंजक को लघुगणक के पदों में पुनः लिखकर और लॉपिटल के नियम को लागू करके, हम व्यंजक का मान निर्धारित कर सकते हैं जैसे ही $x$ अनंत की ओर बढ़ता है।

$\infty^0$ का अनिर्धारित रूप

अनिर्धारित रूप $\infty^0$ तब होता है जब कोई घातांकीय व्यंजक का आधार अनंत की ओर बढ़ता है और घातांक शून्य की ओर बढ़ता है। यह रूप अनिर्धारित होता है क्योंकि यह किसी भी मान का मूल्यांकन कर सकता है, जिसमें 0, 1 या अनंत शामिल हैं।

$\infty^0$ रूप के किसी व्यंजक की सीमा निर्धारित करने के लिए, हम लॉपिटल के नियम का उपयोग कर सकते हैं। लॉपिटल का नियम कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 या दोनों अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से विभाजित करने की सीमा के बराबर होती है।

उदाहरण

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि कैसे $\infty^0$ रूप की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए लॉपिटल के नियम का उपयोग किया जाता है:

• $\lim_{x \to \infty} x^0$

चूँकि $x^0 = 1$ सभी मानों के लिए, इस व्यंजक की सीमा 1 है।

• $\lim_{x \to 0} x^{\frac{1}{x}}$

लॉपिटल के नियम का उपयोग करके, हमारे पास है:

$$\lim_{x \to 0} x^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} -x = 0$$

इसलिए, इस व्यंजक की सीमा 0 है।

• $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$

L’Hôpital के नियम का प्रयोग करने पर, हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$$

इसलिए, इस व्यंजक की सीमा 1 है।

अनिर्धारित रूप $\infty^0$ का मूल्यांकन L’Hôpital के नियम का उपयोग करके किया जा सकता है। यह नियम हमें किसी व्यंजक की सीमा निर्धारित करने की अनुमति देता है कि हम अंश और हर का अवकलज लेते हैं और फर परिणामी व्यंजक की सीमा का मूल्यांकन करते हैं।

सीमाओं के अनिर्धारित रूप का मूल्यांकन

जब हम सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं, तो कभी-कभी हमें ऐसे व्यंजक मिलते हैं जो अनिर्धारित होते हैं। इसका अर्थ है कि सीमा का अस्तित्व नहीं है या दी गई जानकारी से इसे निर्धारित नहीं किया जा सकता है। कुछ सामान्य अनिर्धारित रूपों में शामिल हैं:

• $0/0$
• $∞/∞$
• $0^0$
• $1^∞$

इन अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन करने के लिए, हम विभिन्न तकनीकों जैसे L’Hôpital का नियम, श्रेणी विस्तार, या बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग कर सकते हैं।

श्रेणी विस्तार

श्रेणी विस्तारों का उपयोग अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए भी किया जा सकता है। किसी भिन्न के अंश और हर को घात श्रेणियों के रूप में विस्तारित करके, हम प्रायः भिन्न की सीमा उससे संगत श्रेणी की सीमा लेकर ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सीमा पर विचार करें

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}.$$

हम sin(x) को घात श्रेणी के रूप में विस्तारित कर सकते हैं:

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

इस विस्तार को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots}{x}$$

$$= \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots\right)$$

$$= 1.$$

बीजगणितीय हेरफेर

कुछ मामलों में, हम बीजगणितीय हेरफेरों का उपयोग करके अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सीमा पर विचार करें

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}.$$

हम अंश को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:

$$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3).$$

इस गुणनखंड को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x - 1}$$

$$= \lim_{x \to 0} (x - 3)$$

$$= -3.$$

सीमाओं के अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन चुनौतीपूर्ण हो सकता है, लेकिन ऐसी विभिन्न तकनीकें हैं जिनका उपयोग सीमा ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। ल’हॉस्पिटल का नियम, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय हेरफेर कुछ सबसे प्रचलित तकनीकें हैं। इन तकनीकों को समझकर, हम विस्तृत श्रेणी के अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन कर सकते हैं और फलनों की सीमाएँ निर्धारित कर सकते हैं।

अनिर्धारित रूप हल किए गए उदाहरण

0/0 रूप

उदाहरण 1:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

हल:

हम अंश को इस प्रकार गुणनखंड सकते हैं:

$$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$$

इसलिए, सीमा को इस प्रकार पुनर्लिखा जा सकता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3}$$

अब हम (x - 3) के सामान्य गुणनखंड को रद्द कर सकते हैं:

$$\lim_{x \to 0} (x + 3) = 3$$

$∞/∞$ रूप

उदाहरण 2:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 - 5x + 7}$$

हल:

हम अंश और हर दोनों को x^2 से विभाजित कर सकते हैं:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 - 5x + 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 - \frac{5}{x} + \frac{7}{x^2}}$$

जैसे-जैसे x अनंत के पास जाता है, सभी पद जिनके हर में x है, शून्य की ओर जाते हैं। इसलिए, सीमा को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 - \frac{5}{x} + \frac{7}{x^2}} = \frac{1}{2}$$

$0⋅∞$ रूप

उदाहरण 3:

$$\lim_{x \to 0} x \ln x$$

हल:

हम इस सीमा का मूल्यांकन करने के लिए लॉपिटल का नियम उपयोग कर सकते हैं। लॉपिटल का नियम कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 या अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से विभाजित करने पर प्राप्त सीमा के बराबर होती है।

इस मामले में, अंश का अवकलज ln x है और हर का अवकलज 1 है। इसलिए, सीमा को इस प्रकार पुनर्लिखा जा सकता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \ln x}{1} = \lim_{x \to 0} \ln x$$

अब हम इस सीमा का मूल्यांकन समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेकर कर सकते हैं:

$$\lim_{x \to 0} \ln x = \ln 0 = -\infty$$

इसलिए, मूल व्यंजक की सीमा -∞ है।

$1^∞$ रूप

उदाहरण 4:

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$$

हल:

हम इस व्यंजक को प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करके इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}$$

अब हम इस सीमा का मूल्यांकन करने के लिए ल’हॉस्पिटल का नियम उपयोग कर सकते हैं। ल’हॉस्पिटल का नियम कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 या दोनों की सीमा अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से विभाजित करने पर प्राप्त सीमा के बराबर होती है।

इस मामले में, अंश का अवकलज है:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \ln (1 + x) \right) = \frac{1 - \ln (1 + x)}{x^2}$$

और हर का अवकलज है:

$$\frac{d}{dx} (1 + x) = 1$$

इसलिए, सीमा को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \ln (1 + x)}{x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \ln (1 + x)}{x^2}$$

अब हम इस सीमा का मूल्यांकन अंश और हर की सीमाओं को अलग-अलग लेकर कर सकते हैं। अंश की सीमा 1 है, और हर की सीमा 0 है। इसलिए, मूल व्यंजक की सीमा ∞ है।

अनिर्धारित रूप FAQs

अनिर्धारित रूप क्या है?

एक अनिर्धारित रूप एक गणितीय व्यंजक है जिसका एक अपरिभाषित मान होता है। यह तब हो सकता है जब दो व्यंजक एक ही मान की ओर बढ़ रहे हों, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही दर से। उदाहरण के लिए, व्यंजक 0/0 अनिर्धारित है क्योंकि अंश और हर दोनों शून्य की ओर बढ़ रहे हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही दर से।

अनिर्धारित रूपों के विभिन्न प्रकार क्या हैं?

अनिर्धारित रूपों के तीन मुख्य प्रकार हैं:

• 0/0: यह तब होता है जब किसी भिन्न का अंश और हर दोनों शून्य की ओर बढ़ रहे हों।
• ∞/∞: यह तब होता है जब किसी भिन्न का अंश और हर दोनों अनंत की ओर बढ़ रहे हों।
• 0^0: यह तब होता है जब कोई संख्या शून्य की घात पर उठाई जाती है।

अनिर्धारित रूपों का मूल्यांकन कैसे करें?

अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए विभिन्न तकनीकें उपयोग की जा सकती हैं। सबसे सामान्य तकनीकों में से कुछ हैं:

• L’Hôpital’s rule: यह नियम 0/0 और ∞/∞ प्रकार के अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• Taylor series: Taylor श्रेणियों का उपयोग किसी अनिर्धारित रूप के मान का आकलन करने के लिए किया जा सकता है।
• Limits: सीमाओं का उपयोग किसी अनिर्धारित रूप के मान को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

अनिर्धारित रूपों के कुछ उदाहरण क्या हैं?

यहाँ अनिर्धारित रूपों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 0/0: यह ऐसे व्यंजकों में होता है जैसे sin(x)/x जब x शून्य की ओर बढ़ता है।
• ∞/∞: यह ऐसे व्यंजकों में होता है जैसे x/ln(x) जब x अनंत की ओर बढ़ता है।
• 0^0: यह ऐसे व्यंजकों में होता है जैसे 0^x जब x शून्य की ओर बढ़ता है।

अनिर्धारित रूप क्यों महत्वपूर्ण हैं?

अनिर्धारित रूप महत्वपूर्ण हैं क्योंकि यदि उन्हें सही ढंग से नहीं संभाला जाए तो वे गलत निष्कर्षों की ओर ले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप व्यंजक 0/0 का मूल्यांकन उचित तकनीकों का उपयोग किए बिना करें, तो आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह व्यंजक शून्य के बराबर है। हालांकि, ऐसा जरूरी नहीं है। वास्तव में, व्यंजक 0/0 वास्तव में किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है।

निष्कर्ष

अनिर्धारित रूप एक जटिल विषय हैं, लेकिन गलत निष्कर्षों से बचने के लिए इन्हें समझना महत्वपूर्ण है। अनिर्धारित रूपों के मूल्यांकन के लिए विभिन्न तकनीकें उपलब्ध हैं, और यह आवश्यक है कि आप जिस विशिष्ट रूप का मूल्यांकन कर रहे हैं, उसके लिए उपयुक्त तकनीक चुनें।