अंतरचतुर्थक परिसर

अंतरचतुर्थक परिसर (IQR) विचरण की एक माप है, या यह बताता है कि एक डेटा सेट कितना फैला हुआ है। इसे ऊपरी चतुर्थक (Q3) और निचले चतुर्थक (Q1) के बीच के अंतर को निकालकर परिकलित किया जाता है।

सूत्र

$$IQR = Q3 - Q1$$

व्याख्या

IQR हमें बताता है कि डेटा का मध्य 50% भाग 8 इकाई के परिसर में फैला हुआ है। इसका अर्थ है कि डेटा अपेक्षाकृत समान रूप से वितरित है।

IQR के उपयोग

IQR का उपयोग निम्नलिखित के लिए किया जा सकता है:

• दो या अधिक डेटा सेटों की विचरणशीलता की तुलना करने के लिए।
• किसी डेटा सेट में आउटलायरों की पहचान करने के लिए।
• उस जनसंख्या के बारे में अनुमान लगाने के लिए जिससे नमूना लिया गया था।

IQR के लाभ

IQR के अन्य विचरण मापों, जैसे परिसर और मानक विचलन, की तुलना में कई लाभ होते हैं।

• IQR आउटलायरों से प्रभावित नहीं होता है।
• IQR की गणना करना आसान होता है।
• IQR को सीधे-सादे तरीके से व्याख्यायित किया जा सकता है।

IQR की कमियाँ

IQR की कुछ कमियाँ भी हैं।

• यदि डेटा सामान्य रूप से वितरित नहीं है तो IQR भ्रामक हो सकता है।
• IQR डेटा सेट में व्यक्तिगत मानों को ध्यान में नहीं रखता है।

IQR विचरण की एक उपयोगी माप है जिसे गणना करना और व्याख्या करना आसान है। हालाँकि, इसका उपयोग करने से पहले इसकी सीमाओं से अवगत होना महत्वपूर्ण है।

अर्ध-अंतरचतुर्थक परिसर

अर्ध-अंतरचतुर्थक परिसर (SIQR) सांख्यिकीय बिखराव की एक माप है, जो अंतरचतुर्थक परिसर (IQR) के आधे के बराबर होता है। इसका उपयोग किसी डेटा सेट की विचरणशीलता का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

सूत्र

अर्ध-चतुर्थकांतर (semi-interquartile range) का सूत्र है:

$$SIQR = \frac{IQR}{2}$$

जहाँ IQR अंतर-चतुर्थकांतर है, जिसे ऊपरी चतुर्थक (Q3) और निचले चतुर्थक (Q1) के अंतर के रूप में परिकलित किया जाता है।

व्याख्या

अर्ध-चतुर्थकांतर ऊपरी और निचले चतुर्थकों के बीच की दूरी का आधा प्रतिनिधित्व करता है। यह डेटा के मध्य 50% के फैलाव के बारे में जानकारी प्रदान करता है। एक छोटा SIQR इंगित करता है कि डेटा माध्य के आसपास समूहीकृत है, जबकि एक बड़ा SIQR इंगित करता है कि डेटा अधिक फैला हुआ है।

उदाहरण

निम्नलिखित डेटा सेट पर विचार करें:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

इस डेटा सेट की माध्यिका 30 है। ऊपरी चतुर्थक (Q3) 40 है और निचला चतुर्थक (Q1) 20 है। इसलिए, IQR 40 - 20 = 20 है। अर्ध-चतुर्थकांतर $\dfrac{20} {2} = 10$ है।

इसका अर्थ है कि डेटा का मध्य 50% 10 इकाइयों की सीमा में फैला हुआ है।

अनुप्रयोग

अर्ध-चतुर्थकांतर का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• प्र exploratory डेटा विश्लेषण: SIQR का उपयोग आउटलायरों की पहचान करने और डेटा सेट की समग्र विचरणशीलता का आकलन करने के लिए किया जा सकता है।
• परिकल्पना परीक्षण: SIQR का उपयोग दो या अधिक समूहों के बीच विचरणों की समानता के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है।
• प्रतिगमन विश्लेषण: SIQR का उपयोग एक प्रतिगमन मॉडल की फिटनेस के अच्छेपन का आकलन करने के लिए किया जा सकता है।

लाभ और हानियां

अर्ध-चतुर्थक विस्तार के अन्य सांख्यिकीय फैलाव मापों, जैसे कि परिसर और मानक विचलन, की तुलना में कई लाभ होते हैं।

• दृढ़ता: SIQR प्रचलित मानों से प्रभावित नहीं होता है, जिससे यह चरम मानों वाले डेटा सेटों के लिए विचरण का अधिक विश्वसनीय माप बनता है।
• सरलता: SIQR की गणना और व्याख्या करना आसान है।
• तुलनात्मकता: SIQR का उपयोग विभिन्न डेटा सेटों की विचरणशीलता की तुलना करने के लिए किया जा सकता है, भले ही उनकी मापन इकाइयाँ भिन्न हों।

हालाँकि, अर्ध-चतुर्थक विस्तार के कुछ नुकसान भी हैं।

• सूचना की हानि: SIQR केवल डेटा के मध्य 50% के विचरण के बारे में जानकारी देता है। यह चरम मानों की विचरणशीलता के बारे में कोई जानकारी प्रदान नहीं करता है।
• नमूना आकार के प्रति संवेदनशीलता: SIQR नमूना आकार से प्रभावित हो सकता है। एक बड़ा नमूना आकार आमतौर पर एक छोटा SIQR देता है।

कुल मिलाकर, अर्ध-चतुर्थक विस्तार सांख्यिकीय फैलाव का एक उपयोगी माप है जो दृढ़ है, गणना में सरल है और विभिन्न डेटा सेटों में तुलनात्मक है। हालाँकि, डेटा का विश्लेषण करते समय इसकी सीमाओं से अवगत रहना महत्वपूर्ण है।

चतुर्थक विस्तार का सूत्र

चतुर्थक विस्तार (IQR) विचरण का एक माप है, या यह बताता है कि डेटा सेट कितना फैला हुआ है। इसे तीसरे चतुर्थक (Q3) में से पहले चतुर्थक (Q1) घटाकर परिकलित किया जाता है।

$$IQR = Q3 - Q1$$

• Q1 डेटा सेट के निचले आधे का माध्यिका है।
• Q3 डेटा सेट के ऊपरी आधे का माध्यिका है।

अंतरचतुर्थक रेंज की गणना करने के चरण

अंतरचतुर्थक रेंज की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
2. संपूर्ण डेटा सेट का माध्यिका (Q2) खोजें। यह वह मध्य मान है जब डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यदि दो मध्य मान हैं, तो माध्यिका उन दो मध्य मानों का औसत है।
3. डेटा सेट के निचले आधे का माध्यिका (Q1) खोजें। यह निचले आधे का मध्य मान है जब डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यदि दो मध्य मान हैं, तो माध्यिका उन दो मध्य मानों का औसत है।
4. डेटा सेट के ऊपरी आधे का माध्यिका (Q3) खोजें। यह ऊपरी आधे का मध्य मान है जब डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यदि दो मध्य मान हैं, तो माध्यिका उन दो मध्य मानों का औसत है।
5. Q1 को Q3 से घटाकर अंतरचतुर्थक रेंज (IQR) की गणना करें।

उदाहरण

आइए निम्नलिखित डेटा सेट का अंतरचतुर्थक रेंज की गणना करें:

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28

1. डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28

2. संपूर्ण डेटा सेट का माध्यिका (Q2) खोजें।

माध्यिका वह मध्य मान है जब डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। इस मामले में, माध्यिका 20 है।

3. डेटा सेट के निचले आधे का माध्यिका (Q1) खोजें।

डेटा सेट का निचला आधा भाग है:

10, 12, 14, 16, 18

डेटा सेट के निचले आधे भाग की माध्यिका 14 है।

4. डेटा सेट के ऊपरी आधे भाग की माध्यिका (Q3) ज्ञात करें।

डेटा सेट का ऊपरी आधा भाग है:

22, 24, 26, 28

डेटा सेट के ऊपरी आधे भाग की माध्यिका 24 है।

5. Q1 को Q3 से घटाकर अंतर-चतुर्थक रेंज (IQR) की गणना करें।

अंतर-चतुर्थक रेंज है:

IQR = Q3 - Q1 = 24 - 14 = 10

इसलिए, डेटा सेट की अंतर-चतुर्थक रेंज 10 है।

अंतर-चतुर्थक रेंज की गणना करने के चरण

अंतर-चतुर्थक रेंज (IQR) विचरण का एक माप है, या यह दर्शाता है कि डेटा का समूह कितना फैला हुआ है। इसकी गणना ऊपरी चतुर्थक (Q3) और निचले चतुर्थक (Q1) के बीच के अंतर को निकालकर की जाती है।

IQR की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. डेटा सेट की माध्यिका (median) ज्ञात करें। माध्यिका वह मध्य मान होता है जब डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। यदि दो मध्य मान हों, तो माध्यिका उन दोनों का औसत होता है।
2. ऊपरी चतुर्थांश (Q3) ज्ञात करें। ऊपरी चतुर्थांश डेटा सेट के ऊपरी आधे भाग की माध्यिका होता है। Q3 ज्ञात करने के लिए, पहले डेटा सेट की माध्यिका निकालें। फिर, माध्यिका से ठीक ऊपर के मान से शुरू करके, ऊपरी आधे भाग की माध्यिका निकालें।
3. निचला चतुर्थांश (Q1) ज्ञात करें। निचला चतुर्थांश डेटा सेट के निचले आधे भाग की माध्यिका होता है। Q1 ज्ञात करने के लिए, पहले डेटा सेट की माध्यिका निकालें। फिर, माध्यिका से ठीक नीचे के मान तक समाप्त होते हुए, निचले आधे भाग की माध्यिका निकालें।
4. IQR की गणना करें। IQR, Q3 और Q1 के बीच का अंतर होता है।

यहाँ IQR की गणना करने का एक उदाहरण दिया गया है:

डेटा सेट: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

1. माध्यिका = 11
2. Q3 = 15
3. Q1 = 7
4. IQR = Q3 - Q1 = 15 - 7 = 8

इस डेटा सेट के लिए IQR 8 है। इसका अर्थ है कि डेटा का मध्य 50% भाग 8 इकाई की सीमा में फैला हुआ है।

IQR का उपयोग विभिन्न डेटा सेटों की विचरणशीलता (variability) की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। एक बड़ा IQR दर्शाता है कि डेटा अधिक फैला हुआ है, जबकि एक छोटा IQR दर्शाता है कि डेटा अधिक संकुचित रूप से समूहीकृत है।

IQR का उपयोग आउटलायरों की पहचान के लिए भी किया जा सकता है। आउटलायर वे डेटा बिंदु होते हैं जो बाकी डेटा से काफी अलग होते हैं। आउटलायरों की पहचान उन डेटा बिंदुओं को देखकर की जा सकती है जो Q3 से 1.5 गुना IQR से ऊपर या Q1 से 1.5 गुना IQR से नीचे हैं।

IQR विचरण का एक उपयोगी माप है जिसका उपयोग डेटा सेटों की तुलना करने और आउटलायरों की पहचान करने के लिए किया जा सकता है।

इंटरक्वार्टाइल रेंज हल किए गए उदाहरण

इंटरक्वार्टाइल रेंज (IQR) विचरण का एक माप है, या यह बताता है कि डेटा सेट कितना फैला हुआ है। इसे तीसरे क्वार्टाइल (Q3) में से पहले क्वार्टाइल (Q1) घटाकर परिकलित किया जाता है।

उदाहरण 1

निम्नलिखित डेटा सेट का IQR ज्ञात कीजिए:

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28

हल:

सबसे पहले, हमें डेटा सेट का माध्यम ज्ञात करना होगा। माध्यम वह मध्य मान होता है जब डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध किया जाता है। इस मामले में, माध्यम 18 है।

अगला, हमें Q1 और Q3 ज्ञात करना होगा। Q1 डेटा सेट के निचले आधे का माध्यम है, और Q3 डेटा सेट के ऊपरी आधे का माध्यम है। इस मामले में, Q1 14 है और Q3 22 है।

अंत में, हम Q1 से Q3 घटाकर IQR की गणना कर सकते हैं:

IQR = Q3 - Q1

IQR = 22 - 14

IQR = 8

इसलिए, दिए गए डेटा सेट का IQR 8 है।

उदाहरण 2

निम्नलिखित डेटा सेट का IQR ज्ञात कीजिए:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

हल:

इस मामले में, माध्यम 25 है। Q1 15 है और Q3 35 है।

इसलिए, IQR है:

IQR = Q3 - Q1

IQR = 35 - 15

IQR = 20

इसलिए, दिए गए डेटा सेट का IQR 20 है।

उदाहरण 3

निम्नलिखित डेटा सेट का IQR ज्ञात कीजिए:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

हल:

इस स्थिति में, माध्यिका 10 है। Q1 6 है और Q3 14 है।

इसलिए, IQR है:

IQR = Q3 - Q1
IQR = 14 - 6
IQR = 8

इसलिए, दिए गए डेटा सेट का IQR 8 है।

अंतर्रेखीय सीमा (IQR) अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अंतर्रेखीय सीमा (IQR) क्या है?

अंतर्रेखीय सीमा (IQR) विचरण का एक माप है, या यह बताता है कि डेटा का एक समूह कितना फैला हुआ है। इसे तीसरे चतुर्थांश (Q3) से पहले चतुर्थांश (Q1) घटाकर परिकलित किया जाता है।

IQR और सीमा में क्या अंतर है?

सीमा डेटा सेट में सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों के बीच का अंतर है। IQR विचरण का एक अधिक मजबूत माप है क्योंकि यह आउटलायरों से प्रभावित नहीं होता है।

IQR की गणना कैसे की जाती है?

IQR की गणना निम्नलिखित चरणों द्वारा की जाती है:

1. डेटा सेट की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
2. डेटा सेट के निचले आधे की माध्यिका ज्ञात कीजिए। यह Q1 है।
3. डेटा सेट के ऊपरी आधे की माध्यिका ज्ञात कीजिए। यह Q3 है।
4. Q3 से Q1 घटाइए।

एक अच्छा IQR क्या होता है?

एक अच्छा IQR वह होता है जो अपेक्षाकृत छोटा हो। इसका अर्थ है कि डेटा बहुत अधिक फैला हुआ नहीं है।

एक बड़ा IQR क्या होता है?

एक बड़ा IQR वह होता है जो अपेक्षाकृत बड़ा हो। इसका अर्थ है कि डेटा बहुत अधिक फैला हुआ है।

IQR के कुछ उपयोग क्या हैं?

IQR का उपयोग निम्नलिखित के लिए किया जा सकता है:

• दो या अधिक डेटा सेटों की विचरणशीलता की तुलना करें।
• आउटलायरों की पहचान करें।
• उस जनसंख्या के बारे में अनुमान लगाएं जिससे नमूना लिया गया था।

निष्कर्ष

IQR विचरणशीलता का एक उपयोगी माप है जिसे डेटा के वितरण को समझने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। यह एक मजबूत माप है जो आउटलायरों से प्रभावित नहीं होता।