समद्विबाहु त्रिभुज

समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। तीसरी भुजा किसी भी लंबाई की हो सकती है। समद्विबाहु त्रिभुजों को उनकी भुजाओं की लंबाई के आधार पर तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

1. समबाहु त्रिभुज

• समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।
• समबाहु त्रिभुज के सभी कोण $60^\degree$ के बराबर होते हैं।
• समबाहु त्रिभुज नियमित बहुभुज भी होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।

2. समकोण समद्विबाहु त्रिभुज

• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसका एक कोण समकोण ($90^\degree$) होता है।
• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं को पाद कहा जाता है, और तीसरी भुजा को कर्ण कहा जाता है।
• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

3. अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज

• अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसका एक कोण अधिक कोण ($90^\degree$ से अधिक) होता है।
• अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं को पाद कहा जाता है, और तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है।
• अधिक कोण समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों का योग $180^\degree$ के बराबर होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

जहाँ:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई इकाइयों में है
• h त्रिभुज की ऊँचाई है (इकाई)

सूत्र का व्युत्पन्न करना

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

जहाँ:

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई इकाइयों में है
• h त्रिभुज की ऊँचाई है (इकाई)

समद्विबाहु त्रिभुज में, दो बराबर भुजाओं को त्रिभुज की टांगें कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज के शीर्ष से आधार के मध्य बिंदु तक जाने वाले रेखाखंड की लंबाई होती है।

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खोजी जा सकती है। पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज में, कर्ण शब्द केवल दो बराबर भुजाओं वाले त्रिभुजों पर लागू नहीं होता। अन्य दो भुजाएँ त्रिभुज की टांगें होती हैं। त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज के शीर्ष से आधार के मध्य बिंदु तक जाने वाले रेखाखंड की लंबाई होती है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई इस प्रकार खोज सकते हैं:

$$h^2 = l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

जहाँ:

• h त्रिभुज की ऊँचाई है (इकाई)
• l त्रिभुज की टांग की लंबाई इकाइयों में है
• b त्रिभुज के आधार की लंबाई इकाइयों में है

h के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

इस व्यंजक को त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$$A = \frac{1}{2}b\sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

यह त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है।

उदाहरण

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 6 इकाई और भुजा 8 इकाई है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$A = \frac{1}{2}bh$$

$$A = \frac{1}{2}(6)(8)$$

$$A = 24 \text{ वर्ग इकाई}$$

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिकलित किया जा सकता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊँचाई$$

जहाँ:

• आधार समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष कोण के विपरीत भुजा की लंबाई होती है
• ऊँचाई शीर्ष से आधार पर खींची गई लंब की लंबाई होती है

उदाहरण

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है।

हल:

सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times 6 सेमी \times 4 सेमी = 12 सेमी^2$$

अतः समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $12\ सेमी^2$ है।

विशेष स्थिति: समबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज त्रिभुज की एक विशेष स्थिति है जिसमें तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिकलित किया जा सकता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4} \times भुजा^2$$

जहाँ:

• side समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई है

हिरोन के सूत्र द्वारा समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

हिरोन का सूत्र

हिरोन का सूत्र एक गणितीय सूत्र है जो हमें त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई दी होने पर उसका क्षेत्रफल निकालने की अनुमति देता है। यह यूनानी गणितज्ञ हिरोन ऑफ़ अलेक्ज़ेंड्रिया के नाम पर है, जो पहली सदी ईस्वी में रहता था।

सूत्र कहता है कि एक त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई $a$, $b$, और $c$ है, उसका क्षेत्रफल हिरोन के सूत्र द्वारा दिया गया है: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप $\frac{a+b+c}{2}$ है।

$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्धपरिमाप है, जिसे इसकी भुजाओं के योग का आधा माना जाता है:

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

समद्विबाहु त्रिभुज पर हिरोन के सूत्र का प्रयोग

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। मान लीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई $a$ है, और तीसरी भुजा की लंबाई $b$ है।

हिरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है:

$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}$$

उदाहरण

आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसकी भुजाएँ $a = 5$, $a = 5$, और $b = 6$ हैं।

पहले, हम त्रिभुज का अर्धपरिमाप निकालते हैं:

$$s = \frac{5 + 5 + 6}{3} = 5.\overline{3}$$

फिर, हम $s$, $a$, और $b$ के मानों को हिरोन के सूत्र में रखते हैं:

$$A = \sqrt{(8-6)8(8-5)^2} = \sqrt{2 \cdot 8 \cdot 3^2} = \sqrt{144} = 12$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।

समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को उसका केन्द्रक कहा जाता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के केन्द्रक के गुण

• समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक आधार पर खींची गई ऊँचाई को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक शीर्षों से समान दूरी पर नहीं होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक शीर्ष और आधार के मध्य बिंदु को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के केन्द्रक की रचना

समद्विबाहु त्रिभुज के केन्द्रक की रचना करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. शीर्ष से आधार तक ऊँचाई खींचें।
2. ऊँचाई को 2:1 के अनुपात में विभाजित करें, शीर्ष से प्रारंभ करते हुए।
3. विभाजन बिंदु समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के केन्द्रक के अनुप्रयोग

किसी भी त्रिभुज का केन्द्रक विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है, जैसे:

• समद्विबाहु त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र खोजना
• समद्विबाहु त्रिभुज पर वस्तुओं को संतुलित करना
• समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

समद्विबाहु त्रिभुज का केन्द्रक एक विशेष बिंदु होता है जिसके कई रोचक गुण होते हैं। इसका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे गुरुत्वाकर्षण केंद्र खोजना और वस्तुओं को संतुलित करना।

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। किसी त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के परिमाप का सूत्र

किसी भी त्रिभुज के परिमाप का सूत्र है:

$$P = 2s + b$$

जहाँ:

• $P$ त्रिभुज का परिमाप है
• $s$ एक बराबर भुजा की लंबाई है
• $b$ आधार की लंबाई है (वह भुजा जो अन्य दोनों भुजाओं के बराबर नहीं है)

उदाहरण

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी बराबर भुजाओं की लंबाई 5 सेमी और आधार की लंबाई 6 सेमी है।

$$P = 2s + b$$

$$P = 2(5 cm) + 6 cm$$

$$P = 10\ \text{cm} + 6\ \text{cm}$$

$$P = 16 cm$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 16 सेमी है।

समद्विबाहु त्रिभुज के परिमाप के गुण

किसी त्रिभुज के परिमाप के निम्नलिखित गुण होते हैं:

• समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप हमेशा आधार की लंबाई से अधिक होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप हमेशा दोनों बराबर भुजाओं की लंबाइयों के योग से अधिक होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप दोनों बराबर भुजाओं की लंबाइयों और आधार की लंबाई के योग के बराबर होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई वह रेखाखंड की लंबाई होती है जो शीर्ष बिंदु (वह बिंदु जहाँ दोनों बराबर भुजाएँ मिलती हैं) से आधार के मध्य बिंदु तक जाती है (वह भुजा जो शीर्ष के विपरीत होती है)।

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई की गणना

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई निकालने के कुछ अलग तरीके हैं। एक तरीका पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना है। पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (सबसे लंबी भुजा) का वर्ग, अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज में, दो बराबर भुजाएँ त्रिभुज की टांगें होती हैं, और ऊँचाई कर्ण नहीं होती। इसलिए हम निम्न सूत्र का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय से समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई निकाल सकते हैं:

$$h = \sqrt{(b^2 - \dfrac{s^2}{4})}$$

जहाँ:

• h समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है
• b समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की लंबाई है
• s समद्विबाहु त्रिभुज की एक बराबर भुजा की लंबाई है

उदाहरण

आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई निकालें जिसका आधार 10 सेमी और बराबर भुजाएँ 13 सेमी हैं।

$h = \sqrt{(10^2 - \dfrac{169}{4})}$ $h = \sqrt{(100 - \dfrac{169}{4})}$
$h = \sqrt{(100 - 42.25)}$
$h = \sqrt{57.75}$
$h ≈ 7.6\ सेमी$

इसलिए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई लगभग 7.6 सेमी है।

समद्विबाहु त्रिभुज की परिघात्रिज्या

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। किसी त्रिभुज की परिघात्रिज्या उस वृत्त की त्रिज्या होती है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है।

समद्विबाहु त्रिभुज की परिघात्रिज्या का सूत्र

एक समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित की जा सकती है: $ R = \frac{a}{2\sin A} $, जहाँ $ a $ आधार की लंबाई है और $ A $ आधार के विपरीत कोण है।

$$R = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$$

जहाँ:

• $R$ त्रिभुज की परित्रिज्या है
• $a$ त्रिभुज की समान भुजाओं की लंबाई है
• $b$ त्रिभुज के आधार की लंबाई है

सूत्र की व्युत्पत्ति

समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या का सूत्र निम्न चरणों का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है:

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज खींचें जिसकी भुजाएँ $a$, $a$, और $b$ हैं।
2. त्रिभुज का परिवृत्त खींचें।
3. मान लें कि $O$ परिवृत्त का केंद्र है।
4. $O$ से त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष तक त्रिज्याएँ खींचें।
5. चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, त्रिभुज की बराबर भुजाओं तक खींची गई दो त्रिज्याएँ सर्वांगसम हैं।
6. मान लें कि $r$ त्रिभुज की बराबर भुजाओं तक खींची गई त्रिज्या की लंबाई है।
7. परिवृत्त की त्रिज्या त्रिज्या $r$ और त्रिभुज के आधार की लंबाई का योग नहीं है। इसलिए, त्रिभुज की परित्रिज्या $$R = \frac{abc}{4K}$$ है।
8. $r$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
9. पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। त्रिज्या $r$, त्रिभुज के आधार और त्रिभुज की ऊँचाई से बने समकोण त्रिभुज में, हमारे पास है: $$r^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
10. $r$ के लिए हल करने पर, हमें मिलता है $$r = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$ त्रिज्या के समीकरण में $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है $$R = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$
11. समीकरण को सरल करने पर, हमें मिलता है $$R = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$$

उदाहरण

एक समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ $a = 5$ और $b = 5$ हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या के सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
$$R = \frac{abc}{4A}$$
$$R = \frac{5 \times 5 \times 3}{4 \times 6}$$
$$R = \frac{75}{24}$$
$$R \approx 3.125$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या लगभग $2.275$ है।

समद्विबाहु त्रिभुज की सममिति

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। दोनों बराबर भुजाओं को त्रिभुज की टांगें कहा जाता है, और तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं, और शीर्ष कोण आधार कोणों से भिन्न होता है।

सममिति रेखाएँ

समद्विबाहु त्रिभुज में एक सममिति रेखा होती है। यह सममिति रेखा त्रिभुज के शीर्ष से होकर जाती है और आधार के मध्य बिंदु से गुजरती है।

घूर्णन सममिति

समद्विबाहु त्रिभुज में घूर्णन सममिति भी होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को अपने केंद्र बिंदु के चारों ओर घुमाया जा सकता है ताकि वह पहले जैसा दिखे। समद्विबाहु त्रिभुज में 1-गुना घूर्णन सममिति होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को 360 डिग्री तक घुमाया जा सकता है और वह वैसा ही दिखेगा।

प्रतिबिंब सममिति

समद्विबाहु त्रिभुज में प्रतिबिंब सममिति भी होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को किसी रेखा पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है ताकि वह पहले जैसा दिखे। समद्विबाहु त्रिभुज में 1-गुना प्रतिबिंब सममिति होती है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज को अपनी सममिति रेखा पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है और वह वैसा ही दिखेगा।

सारांश

समद्विबाहु त्रिभुज में निम्नलिखित सममिति होती है: शीर्ष से आधार तक की ऊँचाई के साथ एक सममिति रेखा।

• एक सममिति रेखा
• 2-गुना घूर्णन सममिति
• 1-गुना घूर्णन सममिति

समद्विबाहु त्रिभुज: हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोणों का परिकलन

एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो बराबर भुजाएँ 5 सेमी और आधार 8 सेमी है, तो प्रत्येक आधार कोण का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण $x$ हैं। चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है, हम समीकरण लिख सकते हैं: $2x + \text{शीर्ष कोण} = 180^\circ$

$$2x + 80 = 180$$

दोनों पक्षों से 80 घटाने पर, हमें मिलता है:

$$2x = 100$$

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं:

$$x = 50$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का प्रत्येक आधार कोण 50 डिग्री का होता है।

उदाहरण 2: समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो बराबर भुजाएँ 10 सेमी और आधार 12 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा परिकलित किया जा सकता है:

$$Area = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊँचाई$$

इस स्थिति में आधार 12 सेमी है, और हमें ऊँचाई ज्ञात करनी है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं:

$$h^2 = 10^2 - 6^2$$

$$h^2 = 100 - 36$$

$$h^2 = 64$$

$$h = \sqrt{64}$$

$$h = 8$$

इसलिए, त्रिभुज की ऊँचाई 8 सेमी है। इस मान को क्षेत्रफल सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:

$$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times 12 \times 8$$

$$क्षेत्रफल = 48$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेंटीमीटर है।

उदाहरण 3: समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप ज्ञात करना

एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो बराबर भुजाओं की लंबाई 7 सेमी है और आधार की लंबाई 10 सेमी है। त्रिभुज की परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:

एक त्रिभुज की परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई का योग होता है। इस मामले में, हमारे पास है:

$$\text{परिमाप} = 7 + 7 + 10$$

$$\text{परिमाप} = 24$$

इसलिए, समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप 24 सेमी है।

समद्विबाहु त्रिभुज अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समद्विबाहु त्रिभुज क्या है?

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएं बराबर होती हैं। दोनों बराबर भुजाओं को त्रिभुज की टांगें कहा जाता है, और तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के गुण क्या हैं?

समद्विबाहु त्रिभुज के निम्नलिखित गुण होते हैं:

• समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण समान होते हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोणों का योग $90^ \degree$ होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण $180^ \degree$ घटा आधार कोणों के योग के बराबर होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींचा गया लंब आधार को समद्विभाजित करता है और शीर्ष कोण को भी समद्विभाजित करता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं पर खींची गई माध्यिकाएँ समान होती हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज का परिकेन्द्र आधार के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का अंतःकेन्द्र आंतरिक कोण समद्विभाजकों के संगत बिंदु होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज का लंबकेन्द्र लंबों के संगत बिंदु होता है।

समद्विबाहु त्रिभुजों के कुछ उदाहरण क्या हैं?

समद्विबाहु त्रिभुजों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• एक समकोण त्रिभुज समद्विभाजु त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की और एक भुजा भिन्न लंबाई की होती है।
• एक समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज का एक विशेष प्रकार है जिसकी तीनों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
• एक 45-45-90 त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की और एक भुजा 90 लंबाई की होती है।

समद्विबाहु त्रिभुजों के अनुप्रयोग क्या हैं?

समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• वास्तुकला: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग छतों, पुलों और अन्य संरचनाओं के डिज़ाइन में किया जाता है।
• अभियांत्रिकी: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य यंत्रों के डिज़ाइन में किया जाता है।
• गणित: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग ज्यामिति और त्रिकोणमिति के अध्ययन में किया जाता है।
• कला: समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग चित्रों, रेखाचित्रों और अन्य कलाकृतियों की रचना में किया जाता है।

निष्कर्ष

समद्विबाहु त्रिभुज बहुमुखी और महत्वपूर्ण ज्यामितीय आकृतियाँ हैं जिनके विविध गुणधर्म और अनुप्रयोग होते हैं।