ल’ हॉस्पिटल्स’ नियम

ल’हॉपिटल का नियम एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग $\dfrac{0}{0}$ या $\dfrac{\infty}{\infty}$ रूप के अनिर्धारित व्यंजक की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। यह कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 है या दोनों अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से विभाजित करने की सीमा के बराबर होती है।

दूसरे शब्दों में, यदि $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ या $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$, तो $$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f’(x)}{g’(x)}$$

बशर्ते कि हर का अवकलज शून्य न हो।

ल’हॉपिटल के नियम को लागू करने की चरण

ल’हॉपिटल के नियम को लागू करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

1. जांचें कि क्या भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 है या दोनों अनंत है।
2. यदि अंश और हर दोनों की सीमा 0 है, तो अंश और हर दोनों का अवकलज निकालें।
3. चरण 2 को तब तक दोहराएँ जब तक अंश और हर दोनों की सीमा 0 न रह जाए।
4. यदि अंश और हर दोनों की सीमा अनंत है, तो अंश और हर दोनों का अवकलज निकालें।
5. चरण 4 को तब तक दोहराएँ जब तक अंश और हर दोनों की सीमा अनंत न रह जाए।
6. $x$ के उस मान को प्रतिस्थापित करके भिन्न की सीमा का मूल्यांकन करें जिससे अंश और हर दोनों की सीमा 0 या अनंत हो जाती है।

ल’हॉपिटल के नियम के उदाहरण

यहाँ L’Hôpital नियम को लागू करने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ का मान निकालें।

हल:

1. $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ और $\lim_{x \to 0} x = 0$, इसलिए अंश और हर दोनों की सीमा 0 है।
2. अंश और हर के अवकलज लेने पर, हमें मिलता है $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \lim_{x \to 0} \cos x = 1.$$

इसलिए, $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$।

उदाहरण 2: $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{e^x}$ का मान निकालें।

हल:

1. $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ और $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$, इसलिए अंश और हर दोनों की सीमा अनंत है।
2. अंश और हर के अवकलज लेने पर, हमें मिलता है $$\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2}{e^x} = 0.$$

इसलिए, $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{e^x} = 0$।

L’Hôpital नियम अनिर्धारित व्यंजकों की सीमा निकालने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका उपयोग उन फलनों की सीमाओं को निकालने के लिए किया जा सकता है जिनमें किसी बिंदु पर असांतत्य होता है, या उन फलनों की सीमाओं को निकालने के लिए जिनमें पारगामी फलन शामिल होते हैं।

L’ Hospital’s Rule का कथन

यदि फलन $f(x)/g(x)$ की सीमा, जब x, a के पास जाता है, 0/0 या ∞/∞ है, और यदि अवकलज $f’(x)/g’(x)$ की सीमा, जब x, a के पास जाता है, अस्तित्व में है, तो फलन $f(x)/g(x)$ की सीमा, जब x, a के पास जाता है, फलन $f’(x)/g’(x)$ की सीमा के बराबर होती है, जब x, a के पास जाता है।

दूसरे शब्दों में, यदि $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0$ या $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = \infty$, तो

$$\lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \dfrac{f’(x)}{g’(x)}$$

बशर्ते कि हर के अवकलज का मान शून्य न हो।

ल’ हॉस्पिटल के नियम का प्रमाण

विस्तारित माध्य मान प्रमेय या कॉशी के माध्य मान प्रमेय के प्रयोग से ल’हॉस्पिटल का नियम सिद्ध किया जा सकता है।

यदि f और g दो सतत फलन अंतराल [a, b] पर हैं और अंतराल (a, b) पर अवकलनीय हैं, तो
$f’(c)/g(c) = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]$ इस प्रकार कि c ∈ $(a, b)$।

मान लीजिए कि दो फलन f और g अंतराल (c, b) पर इस प्रकार परिभाषित हैं कि $f(x)→0$ और $g(x)→0$, जैसे ही $x→c^+$।

परंतु हमारे पास $f’(c) / g’(c)$ परिमित सीमाओं की ओर झुकता है। फलन f और g अवकलनीय हैं, और $f’(x)$ और $g’(x)$ का अस्तित्व समुच्चय $[c, c+k]$ पर है, तथा f’ और g’ अंतराल $[c, c+k]$ पर सतत हैं, शर्तों $f(c) = g(c) = 0$ और $g’(c) ≠ 0$ के साथ अंतराल $[c, c+k]$ पर।

कॉशी माध्य मान प्रमेय कहता है कि एक बिंदु CRE $(c, c+k)$ का अस्तित्व है, इस प्रकार कि

$f’(c_k)/g(c_k) = [f(c+k)-f(c)]/[g(c+k)-g(c)] = f(c+k)/g(c+k)$

अब, $k→0^+$,

$ \lim_{k→0^+} \dfrac {f’(c_k)}{g’(c_k)}=\lim_{k→c^+} \dfrac {f’(x)}{g’(x)} $

जबकि,

$ \lim_{k→0^+} \dfrac {f’(c+k)}{g’(c+k)}=\lim_{z→0^+} \dfrac {f(x)}{g(x)} $

इसलिए, हमारे पास

$ \lim_{x→c} \dfrac {f(c_k)}{g(c_k)}=\lim_{k→c} \dfrac {f’(x)}{g’(x)} $

ल’ हॉस्पिटल के नियम के उदाहरण

L’ Hospital’s rule का उपयोग विभिन्न प्रकार के फलनों की सीमा ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• उदाहरण 1: x के 1 के निकट पहुँचने पर $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा ज्ञात कीजिए।

हल: x के 1 के निकट पहुँचने पर $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा 0/0 है। इसलिए, हम सीमा ज्ञात करने के लिए L’ Hospital’s rule का उपयोग कर सकते हैं।

$$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = 2.$$

इसलिए, x के 1 के निकट पहुँचने पर $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा 2 है।

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = 1.$$

इसलिए, x के 0 के निकट पहुँचने पर $(e^x - 1)/x$ की सीमा 1 है।

L’ Hospitals’ Rule के उपयोग

L’Hôpital’s rule एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग अनिर्धारित रूपों की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। यह विशेष रूप से उपयोगी होता है जब किसी फलन की सीमा 0/0 या ∞/∞ हो।

L’Hôpital’s Rule का उपयोग कब करें

L’Hôpital’s rule का उपयोग तब किया जा सकता है जब किसी फलन की सीमा 0/0 या ∞/∞ के रूप में हो। ऐसा तब होता है जब फलन के अंश और हर दोनों शून्य या अनंत की ओर बढ़ते हैं, जब स्वतंत्र चर किसी निश्चित मान की ओर बढ़ता है।

L’Hôpital’s Rule का उपयोग कैसे करें

L’Hôpital’s rule का उपयोग करने के लिए, फलन के अंश और हर का अवकलज लीजिए और फिर प्राप्त अभिव्यक्ति की सीमा का मूल्यांकन कीजिए। यदि अवकलज की सीमा एक परिमित संख्या है, तो वह संख्या मूल फलन की सीमा होती है।

L’Hôpital’s Rule के उपयोग के उदाहरण

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए L’Hôpital’s rule का उपयोग कैसे किया जाता है:

• उदाहरण 1: फलन $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ का सीमा ज्ञात कीजिए जब $x$ का मान 3 के निकट जाता है।

हल:

फलन की सीमा 0/0 है, इसलिए हम लॉपिटल का नियम लगा सकते हैं। अंश और हर का अवकलन करने पर हमें मिलता है:

$$f’(x) = \dfrac{2x}{1}$$

अवकलज की सीमा का मान निकालने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 3} \dfrac{2x}{1} = 6$$

इसलिए, मूल फलन की सीमा 6 है।

• उदाहरण 2: फलन $g(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}$ का सीमा ज्ञात कीजिए जब $x$ का मान 0 के निकट जाता है।

हल:

फलन की सीमा ∞/∞ है, इसलिए हम लॉपिटल का नियम लगा सकते हैं। अंश और हर का अवकलन करने पर हमें मिलता है:

$$g’(x) = \dfrac{e^x}{1}$$

अवकलज की सीमा का मान निकालने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = 1$$

इसलिए, मूल फलन की सीमा 1 है।

उदाहरण 3:

निम्नलिखित व्यंजक की सीमा ज्ञात कीजिए जब $x$ का मान 0 के निकट जाता है:

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}$$

हल:

फलन की सीमा 0/0 है, इसलिए हम लॉपिटल का नियम लगा सकते हैं। अंश और हर का अवकलन करने पर हमें मिलता है:

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x)}{1} = 1$$

इसलिए, व्यंजक की सीमा 1 है।

उदाहरण 4:

निम्नलिखित व्यंजक की सीमा ज्ञात कीजिए जब $x$ का मान अनंत के निकट जाता है:

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 1}{x^3 - 2x + 1}$$

हल:

फलन की सीमा $ \infin / \infin $ है, इसलिए हम L’Hôpital’s नियम का उपयोग कर सकते हैं। अंश और हर का अवकलज लेने पर, हम पाते हैं:

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 1}{x^3 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x}{3x^2 - 2} = 0$$

इसलिए, व्यंजक की सीमा 0 है।

उदाहरण 5:

निम्नलिखित व्यंजक की सीमा ज्ञात कीजिए जब $x$ अनंत की ओर जाता है:

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln(x)}{x}$$

हल:

फलन की सीमा $ \infin / \infin $ है, इसलिए हम L’Hôpital’s नियम का उपयोग कर सकते हैं। अंश और हर का अवकलज लेने पर, हम पाते हैं:

$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} = 0$$

इसलिए, व्यंजक की सीमा 0 है।

उदाहरण 6:

निम्नलिखित व्यंजक की सीमा ज्ञात कीजिए जब $x$ 0 की ओर जाता है:

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(x)}{x}$$

हल:

फलन की सीमा $ 0 / 0 $ है, इसलिए हम L’Hôpital’s नियम का उपयोग कर सकते हैं। अंश और हर का अवकलज लेने पर, हम पाते हैं:

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec^2(x)}{1} = 1$$

इसलिए, व्यंजक की सीमा 1 है।

L Hospital Rule FAQs

L’Hôpital’s नियम एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग अनिर्धारित रूपों की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। यह कहता है कि यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों की सीमा 0 या दोनों अनंत है, तो भिन्न की सीमा अंश के अवकलज को हर के अवकलज से विभाजित करने पर प्राप्त सीमा के बराबर होती है।

यहाँ L’Hôpital’s नियम के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले कुछ प्रश्न दिए गए हैं:

मैं L’Hôpital’s नियम कब उपयोग कर सकता हूँ?

आप L’Hôpital’s नियम का उपयोग तब कर सकते हैं जब किसी भिन्न की सीमा अनिर्धारित हो, अर्थात यह 0/0 या ∞/∞ हो।

मैं L’Hôpital’s नियम को कैसे लागू करूँ?

L’Hôpital’s नियम लागू करने के लिए, आपको भिन्न के अंश और हर का अवकलज लेना होगा और फिर परिणामी व्यंजक की सीमा का मूल्यांकन करना होगा।

यदि अवकलज की सीमा अभी भी अनिर्धारित है तो क्या होगा?

यदि अवकलज की सीमा अभी भी अनिर्धारित है, तो आप L’Hôpital’s नियम को पुनः लागू कर सकते हैं। आप यह तब तक कर सकते हैं जब तक आप एक ऐसी सीमा तक नहीं पहुँच जाते जो अनिर्धारित न हो।

क्या L’Hôpital’s नियम के उपयोग पर कोई प्रतिबंध हैं?

हाँ, L’Hôpital’s नियम के उपयोग पर कुछ प्रतिबंध हैं। आप L’Hôpital’s नियम का उपयोग नहीं कर सकते यदि अंश या हर की सीमा परिभाषित नहीं है। आप L’Hôpital’s नियम का उपयोग नहीं कर सकते यदि अंश या हर का अवकलज संबंधित बिंदु पर सतत नहीं है।

L’Hôpital’s नियम के उपयोग के कुछ उदाहरण क्या हैं?

यहाँ L’Hôpital’s नियम के उपयोग के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• उदाहरण 1: x के 1 के पास पहुँचने पर $(x^2 - 1)/(x - 1)$ की सीमा ज्ञात कीजिए।

हल:

$$lim_{(x\to1)} (x^2 - 1)/(x - 1) = lim_{(x\to1)} (2x)/(1) = 2$$

• उदाहरण 2: x के 0 के पास पहुँचने पर $(e^x - 1)/x$ की सीमा ज्ञात कीजिए।

हल:

$$lim_{(x\to0)} (e^x - 1)/x = lim_{(x\to0)} (e^x)/1 = 1$$

निष्कर्ष

L’Hôpital’s rule एक शक्तिशाली उपकरण है जो अनिर्धारित रूपों की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि L’Hôpital’s rule के प्रयोग पर क्या प्रतिबंध हैं और इसे सही ढंग से कैसे लागू किया जाए।