परिमाण का अर्थ क्या है?

परिमाण एक ऐसा शब्द है जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किसी वस्तु के आकार, विस्तार या महत्व को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसे भौतिक मात्राओं—जैसे बल, ऊर्जा या चमक—के साथ-साथ अमूर्त अवधारणाओं—जैसे भूकंप की गंभीरता या किसी ऐतिहासिक घटना के प्रभाव—के लिए भी लागू किया जा सकता है।

गणित में, परिमाण का प्रयोग किसी गणितीय वस्तु के आकार या विस्तार को बताने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सदिश का परिमाण उस सदिश की लंबाई होता है, और एक आव्यूह का परिमाण उसके अवयवों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है।

परिमाण से क्या तात्पर्य है

वास्तविक संख्या का परिमाण—वास्तविक संख्या के परिमाण को सामान्यतः निरपेक्ष मान या मापक कहा जाता है।

इसे $|x|$ लिखा जाता है, और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $|x|=x,\hspace{1mm} यदि\hspace{1mm}x≥ 0\hspace{1mm} और \hspace{1mm}|x|=−x,\hspace{1mm} यदि \hspace{1mm}x<0$

जिस प्रकार भूकंप का परिमाण यह दर्शाता है कि भूकंप कितना विशाल था, उसी प्रकार किसी गणितीय व्यंजक का परिमाण बताता है कि वह पद कितना महत्वपूर्ण है। गणित में इसका अर्थ है कि वह पद शून्य या मूल बिंदु से कितनी दूर है।

सदिश का परिमाण

एक ऐसी वस्तु जिसमें परिमाण के साथ-साथ दिशा भी होती है, सदिश मात्रा कहलाती है। किसी सदिश का परिमाण ज्ञात करने के लिए हमें उसकी लंबाई निकालनी होती है। वेग, बल, संवेग, विस्थापन आदि जैसी मात्राएँ सदिश मात्राएँ कहलाती हैं।

हालांकि, वेग, तापमान, दूरी, द्रव्यमान, आयतन आदि अदिश राशियाँ कहलाती हैं। अदिश के पास केवल परिमाण होता है, जबकि सदिशों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। मान लीजिए, AB एक सदिश राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों हैं।

तब सदिश का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है

$$\overrightarrow{|AB|}=\sqrt{(x1−x0)^2+(y1−y0)^2}$$

और जब प्रारंभिक बिंदु शून्य या मूल बिंदु हो तो सदिश का परिमाण:

$$\overrightarrow{|AB|}=\sqrt{x^2+y^2}$$

उदाहरण 1:

सदिश $\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए जिसका प्रारंभिक बिंदु A (2,1) है और अंतिम बिंदु B (3,4) है। दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुए,

$$\overrightarrow{|AB|}=\sqrt{(x1−x0)^2+(y1−y0)^2}=\sqrt{(3−2)^2+(4−1)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$$

एक त्रि-आयामी सदिश, मान लीजिए $xi+yj+zk$, का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

उदाहरण के लिए, $3i+2j+4k$ का परिमाण ज्ञात करने के लिए हम वही सूत्र लगाएँगे जैसे

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{3^2+2^2+4^2}=\sqrt{21}$$

इसके साथ ही, अनुक्रम और श्रेणी के बारे में यहाँ जानें।

एक समिश्र संख्या का परिमाण

समिश्र संख्या $a + bi$ पर विचार कीजिए। समिश्र संख्या का परिमाण निर्धारित करने के लिए, मापांक की गणना कीजिए, जो आर्गैंड आरेख में शून्य से दूरी देता है।

समिश्र संख्या $a+ib$ के लिए परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:

$$\sqrt{a^2+b^2}$$

उदाहरण के लिए, समिश्र संख्या $−4+3i$ का परिमाण गणना करने के लिए

$$\sqrt{(-4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$$