बिनomial वितरण का माध्य और प्रसरण क्या है?

बिनomial वितरण स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता वितरण है, जिनमें से प्रत्येक सफलता प्रायिकता $p$ के साथ सफलता देता है।

बिनomial वितरण का माध्य और प्रसरण कैसे निकालें

बिनomial वितरण n स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत प्रायिकता वितरण है, जिनमें से प्रत्येक प्रयोग सफलता प्रायिकता p के साथ सफलता देता है।

बिनomial वितरण का माध्य

बिनomial वितरण का माध्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = np$$

जहाँ:

• $E(X)$ बिनomial वितरण का माध्य है
• $n$ प्रयासों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयास पर सफलता की प्रायिकता है

बिनomial वितरण का प्रसरण

बिनomial वितरण का प्रसरण सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$V(X) = np(1-p)$$

जहाँ:

• $V(X)$ बिनomial वितरण का प्रसरण है
• $n$ प्रयासों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयास पर सफलता की प्रायिकता है

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास $n = 10$ और $p = 0.5$ के साथ एक बिनomial वितरण है। तब वितरण का माध्य है:

$$E(X) = 10 \times 0.5 = 5$$

और वितरण का प्रसरण है:

$$V(X) = 10 \times 0.5 \times (1-0.5) = 2.5$$

बिनomial वितरण के अनुप्रयोग

बिनomial वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण
• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी
• चिकित्सा अनुसंधान
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान

द्विपद बंटन स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। द्विपद बंटन का माध्य और प्रसार बंटन के अपेक्षित मान और फैलाव को समझने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं।

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसार का व्युत्पन्न

द्विपद बंटन n स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का एक विवृत संभाव्यता बंटन है, जिनमें से प्रत्येक सफलता की संभावना p के साथ सफलता देता है।

द्विपद बंटन का माध्य

द्विपद बंटन का माध्य निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = np$$

जहाँ:

• $E(X)$ द्विपद बंटन का माध्य है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभावना है

व्युत्पत्ति:

एक यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $X$ के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$E(X) = \sum_{x=0}^n xP(X = x)$$

जहाँ $P(X = x)$ चर $X$ का मान $x$ लेने की संभावना है।

द्विपद बंटन के लिए, $X = x$ की संभावना निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

जहाँ $\binom{n}{x}$ द्विपद गुणांक है, जो n वस्तुओं के समूह से x वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या है।

इसे माध्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$E(X) = \sum_{x=0}^n x \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$$

हम इस व्यंजक को निम्नलिखित सर्वसमिका का उपयोग करके सरल कर सकते हैं:

$$\sum_{x=0}^n x \binom{n}{x} = n$$

इस सर्वसमिका को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

इस पहचान को माध्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$E(X) = np\sum_{x=0}^n \binom{n}{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$

इस अभिव्यक्ति में योग 1 के बराबर है, इसलिए हम इसे सरल कर सकते हैं:

$$E(X) = np$$

इसलिए, द्विपद बंटन का माध्य $np$ है।

द्विपद बंटन का प्रसरण

द्विपद बंटन का प्रसरण निम्नलिखित है:

$$V(X) = np(1-p)$$

जहाँ:

• $V(X)$ द्विपद बंटन का प्रसरण है
• $n$ प्रयोगों की संख्या है
• $p$ प्रत्येक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता है

व्युत्पत्ति:

एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण उसके माध्य से $X$ के वर्ग विचलन का प्रत्याशित मान होता है, जो निम्नलिखित है:

$$V(X) = E[(X - E(X))^2]$$

जहाँ $E(X)$, $X$ का माध्य है।

द्विपद बंटन के लिए, माध्य $np$ द्वारा दिया गया है। इसे प्रसरण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$V(X) = E[(X - np)^2]$$

वर्ग का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$V(X) = E[X^2 - 2npX + n^2p^2]$$

हम इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित पहचानों का उपयोग करके सरल कर सकते हैं:

$$E(X^2) = \sum_{x=0}^n x^2P(X = x)$$

$$E(XY) = \sum_{x=0}^n x yP(X = x, Y = y)$$

जहाँ $P(X = x, Y = y)$, $X$ का मान $x$ और $Y$ का मान $y$ लेने की संयुक्त प्रायिकता है।

इन पहचानों का उपयोग करके, हम प्रसरण के समीकरण को सरल कर सकते हैं:

$$V(X) = np(1-p)$$

इसलिए, द्विपद बंटन का प्रसरण $np(1-p)$ है।

ऋणात्मक द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण

नकारात्मक बिनomial बंटन एक विवृत प्रायिकता बंटन है जो असफलताओं की एक निर्धारित संख्या तक सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है। यह ज्यामितीय बंटन का एक व्यापकीकरण है, जो पहली असफलता तक सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है।

नकारात्मक बिनomial बंटन का माध्य

नकारात्मक बिनomial बंटन का माध्य इस प्रकार दिया गया है:

$$E(X) = \dfrac{r \theta}{1-\theta}$$

जहाँ:

• $X$ वह यादृच्छिक चर है जो $r^{वें}$ असफलता तक सफलताओं की संख्या गिनता है
• $r$ असफलताओं की संख्या है
• $\theta$ प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता है

नकारात्मक बिनomial बंटन का प्रसरण

नकारात्मक बिनomial बंटन का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$$V(X) = \dfrac{r \theta}{(1-\theta)^2}$$

नकारात्मक बिनomial बंटन के माध्य और प्रसरण के गुण

• नकारात्मक बिनomial बंटन का माध्य हमेशा ज्यामितीय बंटन के माध्य से बड़ा या बराबर होता है।
• नकारात्मक बिनomial बंटन का प्रसरण हमेशा ज्यामितीय बंटन के प्रसरण से बड़ा या बराबर होता है।
• नकारात्मक बिनomial बंटन के माध्य और प्रसरण दोनों $r$ के बढ़ते फलन होते हैं।
• नकारात्मक बिनomial बंटन के माध्य और प्रसरण दोनों $\theta$ के घटते फलन होते हैं।

नकारात्मक बिनomial बंटन के अनुप्रयोग

नकारात्मक बिनomial बंटन का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गुणवत्ता नियंत्रण: नकारात्मक बिनomial वितरण का उपयोग किसी निर्मित उत्पाद में दोषों की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।
• बीमा: नकारात्मक बिनomial वितरण का उपयोग किसी बीमा पॉलिसीधारक द्वारा दायर किए गए दावों की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।
• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी: नकारात्मक बिनomial वितरण का उपयोग किसी घटक की विफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है जब तक कि उसे प्रतिस्थापित नहीं किया जाता।

विशेष स्थिति:

एक बिनomial वितरण में, माध्य और प्रसामान्यतः भिन्न होते हैं। हालांकि, एक विशेष स्थिति है जहाँ माध्य और प्रसामान्य समान होते हैं। यह तब होता है जब सफलता की प्रायिकता, $p$, 0.5 के बराबर होती है।

प्रमाण

बिनomial वितरण का माध्य इस प्रकार दिया गया है:

$$E(X) = np$$

और प्रसामान्य इस प्रकार दी गई है:

$$V(X) = np(1-p)$$

यदि $p = 0.5$, तो:

$$E(X) = n(0.5) = \dfrac{n}{2}$$

$$V(X) = n(0.5)(1-0.5) = \dfrac{n}{4}$$

इसलिए, यदि $p = 0.5$, तो बिनomial वितरण का माध्य और प्रसामान्य दोनों $\dfrac{n}{4}$ के बराबर होते हैं।

अंतर्ज्ञान

इस परिणाम को सहज रूप से इस परिदृश्य पर विचार करके समझा जा सकता है। मान लीजिए आप एक निष्पक्ष सिक्के को $n$ बार उछाल रहे हैं। किसी भी दिए गए उछाल पर चित आने की प्रायिकता 0.5 है। यदि आप सिक्के को $n$ बार उछालते हैं, तो आप उम्मीद करेंगे कि लगभग $\dfrac{n}{2}$ बार चित आएगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि चितों की संख्या बिनomial रूप से वितरित होती है जिसमें $n$ परीक्षण और $p = 0.5$ है।

अब, सिरों की संख्या के प्रसरण पर विचार करें। प्रसरण एक माप है जो बताता है कि डेटा कितना फैला हुआ है। इस मामले में, डेटा माध्य के चारों ओर समान रूप से फैला हुआ है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 0 से $n$ तक किसी भी संख्या में सिर आने की प्रायिकता समान है।

इसलिए, यदि $p = 0.5$ है, तो द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण दोनों $\dfrac{n}{4}$ के बराबर होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि बंटन माध्य के चारों ओर सममित है और डेटा माध्य के चारों ओर समान रूप से फैला हुआ है।

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के गुण

द्विपद बंटन एक अलग संभावना बंटन है जो स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलता�ों की संख्या का होता है, जिनमें से प्रत्येक सफलता प्रायिकता $p$ के साथ होती है। द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं।

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं:

• द्विपद बंटन का माध्य $n$ का एक रैखिक फलन होता है। इसका अर्थ है कि माध्य प्रयोगों की संख्या के अनुपात में बढ़ता है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण $n$ का एक द्विघात फलन होता है। इसका अर्थ है कि प्रयोगों की संख्या बढ़ने पर प्रसरण माध्य की तुलना में धीरे-धीरे बढ़ता है।
• द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण सफलता की प्रायिकता $p$ से स्वतंत्र होते हैं। इसका अर्थ है कि सफलता की प्रायिकता बदलने पर बंटन का आकार नहीं बदलता।

ये गुण द्विपद बंटन के व्यवहार को समझने और द्विपद प्रयोग में सफलता की प्रायिकता के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए उपयोगी होते हैं।

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के अनुप्रयोग

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग होते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1. गुणवत्ता नियंत्रण:

• गुणवत्ता नियंत्रण में, द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दी गई आकार की नमूने में निश्चित संख्या में खराब वस्तुओं के मिलने की प्रायिकता क्या है। इस जानकारी का उपयोग गुणवत्ता मानकों को तय करने और उत्पादों के बैचों को स्वीकार या अस्वीकार करने के निर्णय लेने के लिए किया जा सकता है।

2. चिकित्सा अनुसंधान:

• चिकित्सा अनुसंधान में, द्विपद बंटन का उपयोग उपचारों या हस्तक्षेपों की प्रभावशीलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक शोधकर्ता द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि किसी नए उपचार को प्राप्त करने के बाद किसी रोग से रोगी के ठीक होने की प्रायिकता क्या है।

3. सर्वेक्षण नमूने:

• सर्वेक्षण नमूने में, द्विपद बंटन का उपयोग किसी जनसंख्या के उस अनुपात का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जिसमें कोई निश्चित विशेषता होती है। उदाहरण के लिए, एक चुनाव सर्वेक्षणकर्ता द्विपद बंटन का उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए कर सकता है कि आगामी चुनाव में किसी विशेष उम्मीदवार को वोट देने वाले मतदाताओं का अनुपात क्या होगा।

4. बीमा:

• बीमा में, द्विपद बंटन का उपयोग प्रीमियम की गणना और जोखिमों के आकलन के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बीमा कंपनी द्विपद बंटन का उपयोग किसी दिए गए वर्ष में कार दुर्घटना होने की प्रायिकता निर्धारित करने और तदनुसार प्रीमियम निर्धारित करने के लिए कर सकती है।

5. वित्तीय विश्लेषण:

• वित्तीय विश्लेषण में, द्विपद बंटन का उपयोग किसी वित्तीय निवेश की सफलता या विफलता की प्रायिकता को मॉडल करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक निवेशक द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि किसी निश्चित अवधि में शेयर की कीमत बढ़ने या घटने की प्रायिकता क्या है।

6. खेल विश्लेषण:

• खेल विश्लेषण में, द्विपद बंटन का उपयोग खिलाड़ियों और टीमों के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक खेल विश्लेषक द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि एक बास्केटबॉल खिलाड़ी के फ्री थ्रो स्कोर करने या एक बेसबॉल खिलाड़ी के हिट पाने की प्रायिकता क्या है।

7. सामाजिक विज्ञान अनुसंधान:

• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान में, द्विपद बंटन का उपयोग व्यक्तियों और समूहों के व्यवहार और प्राथमिकताओं का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सामाजिक वैज्ञानिक द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि किसी व्यक्ति के किसी विशेष राजनीतिक दल को वोट देने या किसी विशेष ब्रांड के उत्पाद को चुनने की प्रायिकता क्या है।

8. इंजीनियरिंग और विनिर्माण:

• इंजीनियरिंग और विनिर्माण में, द्विपद बंटन का उपयोग उत्पादों और प्रणालियों की विश्वसनीयता और गुणवत्ता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक इंजीनियर द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि किसी घटक के खराब होने या किसी उत्पाद के निश्चित विनिर्देशों को पूरा करने की प्रायिकता क्या है।

9. शिक्षा:

• शिक्षा में, द्विपद बंटन का उपयोग परीक्षणों और मूल्यांकनों में छात्रों के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक शिक्षक द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि किसी छात्र द्वारा कोई प्रश्न सही उत्तर देने या किसी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्या है।

10. विपणन और विज्ञापन:

• विपणन और विज्ञापन में, द्विपद बंटन का उपयोग विपणन अभियानों और विज्ञापन रणनीतियों की प्रभावशीलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक विपणक द्विपद बंटन का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकता है कि किसी ग्राहक द्वारा विज्ञापन देखने के बाद कोई उत्पाद खरीदने की प्रायिकता क्या है।

ये केवल कुछ उदाहरण हैं द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के कई अनुप्रयोगों के। यह बहुउद्देशीय बंटन एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में विविध समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है।

द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

द्विपद बंटन का माध्य क्या है?

• द्विपद बंटन का माध्य यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान होता है, जो प्रत्येक संभावित परिणाम और उसकी प्रायिकता के गुणनफलों के योग के बराबर होता है।
• $n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद बंटन के लिए, माध्य इस प्रकार दिया जाता है:

$$\mu = np$$

• जहाँ:
• $n$ परीक्षणों की संख्या है।
• $p$ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है।

द्विपद बंटन का प्रसरण क्या है?

• द्विपद बंटन का प्रसरण इस बात का माप है कि बंटन कितना फैला हुआ है।
• $n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद बंटन के लिए प्रसरण इस प्रकार दिया जाता है:

$$ \sigma^2 = np(1-p)$$

• जहाँ:
• $n$ परीक्षणों की संख्या है।
• $p$ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है।

द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण के बीच क्या संबंध है?

• द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण निम्न समीकरण द्वारा संबद्ध हैं:

$$ \sigma^2 = np(1-p) = n\mu(1-\mu)$$

• यह समीकरण दर्शाता है कि प्रसरण माध्य के समानुपाती है, और माध्य बढ़ने पर प्रसरण भी बढ़ता है।

$n$ और $p$ बदलने पर द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण कैसे बदलता है?

• द्विपद बंटन का माध्य $n$ बढ़ने और $p$ बढ़ने पर बढ़ता है।
• द्विपद बंटन का प्रसरण $n$ बढ़ने पर बढ़ता है और $p$ बढ़ने पर घटता है।

द्विपद बंटन के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

• द्विपद बंटन का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:
• गुणवत्ता नियंत्रण
• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी
• चिकित्सा अनुसंधान
• सामाजिक विज्ञान अनुसंधान
• व्यावसायिक निर्णय-निर्माण