लंबवृत्त

लंबवृत्त वे दो वृत्त होते हैं जो समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रतिच्छेद बिंदु को मूल केंद्र कहा जाता है। मूल केंद्र दोनों वृत्तों के केंद्रों से समान दूरी पर होता है।

लंबवृत्तों के गुण

• दो लंबवृत्तों का मूल केंद्र उनके केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु होता है।
• दो लंबवृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है।
• दो लंबवृत्तों की त्रिज्याओं का गुणनफल उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग और प्रतिच्छेद बिंदु पर उनकी त्रिज्याओं के बीच के कोसाइन के गुणनफल के बराबर होता है।
• दो लंबवृत्तों की स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण उनके प्रतिच्छेद बिंदु पर 90 डिग्री होता है।

लंबवृत्तों के अनुप्रयोग

लंबवृत्त गणित या विज्ञान में कोई मानक शब्द नहीं है। यदि आपका तात्पर्य “लंबदिक सदिशों” या “लंबवत् वृत्तों” से है, तो कृपया स्पष्ट करें।

गियर डिज़ाइन:** इनवॉल्यूट वक्रों का उपयोग सुचालू रूप से मेष करने वाले गियर बनाने के लिए किया जाता है। बेयरिंग डिज़ाइन:** घर्षण को कम करने वाले बेयरिंग बनाने के लिए रोलिंग तत्व और रेसवे का उपयोग किया जाता है।

• कैम डिज़ाइन: अन्य भागों की गति को नियंत्रित करने वाले कैम बनाने के लिए लंबवृत्तों का उपयोग किया जाता है। ऑप्टिक्स:** प्रकाश को फोकस करने वाले लेंस और दर्पण बनाने के लिए लंबवृत्तों का उपयोग नहीं किया जाता है।

लंबवृत्त एक बहुउपयोगी उपकरण हैं जिनका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जा सकता है। उनके अनोखे गुण उन्हें गियर, बेयरिंग, कैम और ऑप्टिकल घटकों को डिज़ाइन करने के लिए आदर्श बनाते हैं।

एक जोड़ी लंबवृत्त कैसे खींचें

सामग्री:

• एक जोड़ी परकार
• एक रूलर एक उपकरण है जिसका उपयोग लंबाई या दूरी मापने के लिए किया जाता है।
• ग्रेफाइट और लकड़ी से बना एक पेंसिल
• एक कागज़ का टुकड़ा

चरण:

1. एक वृत्त खींचें। परकार का उपयोग करके कागज़ पर किसी भी आकार का एक वृत्त खींचें।

2. एक व्यास खींचें। रूलर का उपयोग करके वृत्त का एक व्यास खींचें। यह एक सीधी रेखा है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुज़रती है और वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

3. एक लंबवत व्यास खींचें। रूलर का उपयोग करके वृत्त का एक लंबवत व्यास खींचें। यह एक सीधी रेखा है जो पहले व्यास को समकोण पर काटती है।

4. दूसरा वृत्त खींचें। परकार का उपयोग करके पहले वृत्त के समान आकार का दूसरा वृत्त खींचें, जिसका केंद्र दोनों व्यासों के प्रतिच्छेद बिंदु पर हो।

5. निर्माण रेखाओं को मिटा दें। चरण 2 और 3 में खींचे गए व्यास और लंबवत व्यास को मिटा दें।

सुझाव:

• यह सुनिश्चित करने के लिए कि वृत्त पूर्णतः लंबकोणीय हैं, दो व्यासों के बीच का कोण मापने के लिए एक प्रोट्रैक्टर का प्रयोग करें। यह 90 डिग्री होना चाहिए।
• आप लंबवत् व्यास खींचने के लिए टी-स्क्वायर या समकोण त्रिभुज का भी उपयोग कर सकते हैं।
• यदि आप एक ही आकार के नहीं, भिन्न-आकार के वृत्तों का युग्म खींचना चाहते हैं, तो बस भिन्न-त्रिज्याओं वाले कंपास का उपयोग करके वृत्त खींचें।

लंबकोणीयता प्रमेय

लंबकोणीयता प्रमेय कहता है कि यदि दो सदिश लंबकोणीय हैं, तो उनका डॉट गुणनफल शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, यदि $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ लंबकोणीय हैं, तो $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$।

प्रमाण।

लंबकोणीयता प्रमेय का प्रमाण सरल नहीं है। मान लीजिए $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ एक आंतरिक गुणनफल स्थान के दो सदिश हैं। तब, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ का डॉट गुणनफल इस प्रकार परिभाषित है

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i$$

जहाँ $a_i$ और $b_i$ क्रमशः $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के घटक हैं।

यदि $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ लंबकोणीय हैं, तो वे एक-दूसरे के लिए लंबवत् हैं। इसका अर्थ है कि $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।

दो सदिशों के बीच के कोण का कोसाइन इस प्रकार परिभाषित है

$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{| \mathbf{a} || \mathbf{b} |}$$

जहाँ $| \mathbf{a} |$ और $| \mathbf{b} |$ क्रमशः $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के परिमाण हैं।

चूँकि $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ लंबवत् हैं, उनके बीच का कोण $90^\circ$ है। इसलिए, $\cos\theta = 0$।

$\cos\theta = 0$ को डॉट उत्पाद के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = | \mathbf{a} | | \mathbf{b} | \cos\theta = 0$$

इसलिए, दो लंबवत् सदिशों का डॉट उत्पाद शून्य होता है।

लंबवत्ता प्रमेय रैखिक बीजगणित का एक मौलिक प्रमेय है। इसका गणित और भौतिकी में कई अनुप्रयोग हैं।

लंबवत् वृत्त हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: लंबवत् वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात करना

समस्या: दो वृत्त एक-दूसरे के लंबवत् हैं। एक वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है। दूसरे वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त लंबवत् हैं, प्रतिच्छेद बिंदु पर स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत् हैं। इसलिए हम $r$ ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

$$(3 \text{ cm})^2 + r^2 = (5 \text{ cm})^2$$

$$r^2 + 9 \text{ cm}^2 = 25 \text{ cm}^2$$

$$r^2 = 16 \text{ cm}^2$$

$$r = 4 \text{ cm}$$

इसलिए, दूसरे वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है।

उदाहरण 2: लंबवत् वृत्तों के केंद्र ज्ञात करना

दो वृत्त एक-दूसरे के लंबवत् हैं। एक वृत्त का केंद्र बिंदु $(2, 3)$ पर है। दूसरे वृत्त की त्रिज्या 5 इकाई है। दूसरे वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

हल:

माना दूसरे वृत्त का केंद्र $(x, y)$ है। चूँकि वृत्त लंबकोणीय हैं, उनके प्रतिच्छेद बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ लंबवत होती हैं। इसलिए, दोनों वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा, बिंदुओं $(2, 3)$ और $(x, y)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।

बिंदुओं $(2, 3)$ और $(x, y)$ को जोड़ने वाली रेखा की प्रवणता:

$$m = \frac{y - 3}{x - 2}$$

दोनों वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होने के कारण, इसकी प्रवणता है:

$$m’ = -\frac{1}{m} = -\frac{x - 2}{y - 3}$$

हम यह भी जानते हैं कि दोनों वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है, जो 3 सेमी + 5 सेमी = 8 सेमी है। इसलिए, हम $(x, y)$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

$$d = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = 8 \text{ cm}$$

$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 64 \text{ cm}^2$$

इस समीकरण में $m’$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$(x - 2)^2 + \left(-\frac{x - 2}{y - 3}\right)^2 = 64 \text{ cm}^2$$

इस समीकरण को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$$(x - 2)^2 + \frac{(x - 2)^2}{(y - 3)^2} = 64 \text{ cm}^2$$

$$(x - 2)^2\left[1 + \frac{1}{(y - 3)^2}\right] = 64 \text{ cm}^2$$

$$(x - 2)^2\left[\frac{(y - 3)^2 + 1}{(y - 3)^2}\right] = 64 \text{ cm}^2$$

$$(x - 2)^2\left[\frac{y^2 - 6y + 10}{(y - 3)^2}\right] = 64 \text{ cm}^2$$

$$(x - 2)^2 = \frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}$$

$$x - 2 = \pm \sqrt{\frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

चूँकि वृत्त का केंद्र एक वास्तविक संख्या होना चाहिए, हमें मुख्य वर्गमूल चुनना होगा। इसलिए,

$$x = 2 + \sqrt{\frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

अब हम $x$ के लिए यह व्यंजक $m’$ के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि $y$ मिल सके।

$$m’ = -\frac{x - 2}{y - 3} = -\frac{2 + \sqrt{\frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}} - 2}{y - 3}$$

$$m’ = -\frac{\sqrt{\frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}}{y - 3}$$

$$y - 3 = -\frac{y - 3}{\sqrt{\frac{64 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}}$$

$$(y - 3)^2 = -\frac{(y - 3)^2}{\frac{64 \text{ cm}^2}{y^2 - 6y + 10}}$$

$$(y - 3)^2\left[1 + \frac{1}{\frac{64 \text{ cm}^2 (y - 3)^2}{y^2 - 6y + 10}}\right] = 0$$

$$(y - 3)^2\left[\frac{y^2 - 6y + 10 + 64 \text{ cm}^2}{y^2 - 6y + 10}\right] = 0$$

$$(y - 3)^2\left[\frac{y^2 + 58y + 64 \text{ cm}^2}{y^2 - 6y + 10}\right] = 0$$

चूँकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, हमें होगा:

$$y^2 + 58y + 64 = 0$$

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसे हम द्विघात सूत्र से हल कर सकते हैं:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

इस स्थिति में, $a = 1$, $b = 58$, और $c = 64$। इन मानों को द्विघात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$y = \frac{-58 \pm \sqrt{58^2 - 4(1)(64)}}{2(1)}$$

$$y = \frac{-58 \pm \sqrt{3364 - 256}}{2}$$

$$y = \frac{-58 \pm \sqrt{3108}}{2}$$

$$y = \frac{-58 \pm 56}{2}$$

इसलिए, $y$ के दो संभावित मान हैं:

$$y_1 = \frac{-58 + 56}{2} = -1 \text{ cm}$$

$$y_2 = \frac{-58 - 56 \text{ cm}}{2} = -57 \text{ cm}$$

इसलिए, दूसरे वृत्त के दो संभावित केंद्र $(-1, -57)$ और $(-1, -1)$ हैं।

ऑर्थोगोनल वृत्त FAQs

ऑर्थोगोनल वृत्त क्या होते हैं?

ऑर्थोगोनल वृत्त दो ऐसे वृत्त होते हैं जो समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रतिच्छेद बिंदु को रैडिकल अक्ष कहा जाता है।

ऑर्थोगोनल वृत्तों के गुण क्या हैं?

ऑर्थोगोनल वृत्तों के कुछ गुण निम्नलिखित हैं:

• दो ऑर्थोगोनल वृत्तों का रैडिकल केंद्र उनके केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु होता है।
• दो ऑर्थोगोनल वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है।
• दो ऑर्थोगोनल वृत्तों की त्रिज्याओं का गुणनफल उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग और प्रतिच्छेद बिंदु पर उनकी त्रिज्याओं के बीच के कोसाइन के गुणनफल के बराबर होता है।
• दो ऑर्थोगोनल वृत्तों के प्रतिच्छेद बिंदु पर स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90 डिग्री होता है।

दो ऑर्थोगोनल वृत्तों का रैडिकल केंद्र कैसे खोजें?

दो ऑर्थोगोनल वृत्तों का रैडिकल केंद्र खोजने के कुछ अलग तरीके हैं। एक तरीका निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना है:

$$Radical\ center = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)$$

जहाँ (x1, y1) और (x2, y2) दो वृत्तों के केंद्रों के निर्देशांक हैं।

दो लंबवृत्तों के रेडिकल केंद्र को खोजने का एक अन्य तरीका यह है कि दोनों वृत्तों की रेडिकल अक्ष बनाई जाए। उनके केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड और रेडिकल अक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु ही रेडिकल केंद्र होता है।

लंबवृत्तों के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

लंबवृत्तों के ज्यामिति में कई अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• त्रिभुज का परिकेंद्र खोजना
• त्रिभुज का अंतःकेंद्र खोजना
• त्रिभुज के बाह्यकेंद्र खोजना
• सम बहुभुज बनाना
• वृत्तों से संबंधित ज्यामितीय समस्याओं को हल करना

निष्कर्ष

लंबवृत्त ज्यामिति में एक उपयोगी उपकरण हैं। इनमें कई ऐसे गुण होते हैं जिनका उपयोग विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।