हार्मोनिक प्रोग्रेशन का योग कैसे निकालें

हार्मोनिक प्रोग्रेशन संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद अंकगणितीय प्रोग्रेशन का व्युत्क्रम होता है। हार्मोनिक प्रोग्रेशन के प्रथम कुछ पद इस प्रकार हैं:

$$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dots$$

हार्मोनिक प्रोग्रेशन के प्रथम n पदों का योग सरल बंद-रूप सूत्र नहीं रखता।

$$H_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}$$

इस सूत्र को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है:

1. अंकगणितीय प्रोग्रेशन के प्रथम n पदों के योग के सूत्र से प्रारंभ करें:

$$A_n = \sum_{i=1}^n (a + (i-1)d) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$$

जहाँ a प्रथम पद है, d सामान्य अंतर है, और n पदों की संख्या है।

2. अंकगणितीय प्रोग्रेशन के योग सूत्र में a = 1 और d = $\dfrac{-1}{n}$ प्रतिस्थापित करें:

$$H_n = \sum_{i=1}^n \left(1 + \left(i-1\right)\left(-\dfrac{1}{n}\right)\right) = n\left(1 - \dfrac{n-1}{n}\right)$$

3. व्यंजक को सरल करें:

$$H_n = \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n^2+n}{2}$$

इसलिए, हार्मोनिक प्रोग्रेशन के प्रथम n पदों का योग सरल बंद-रूप सूत्र नहीं रखता।

$$H_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}$$

उदाहरण

हार्मोनिक श्रेणी के प्रथम 10 पदों का योग निकालें:

$$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{10}$$

एक समांतर श्रेणी के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$H_{10} = \sum_{i=1}^{10} \dfrac{1}{i} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{10} \approx 2.92897$$

इसलिए, हरात्मक श्रेणी के पहले 10 पदों का योग लगभग 2.92897 है।

हरात्मक श्रेणी के सूत्र का योग

हरात्मक श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जहाँ प्रत्येक पद समांतर श्रेणी के पद का व्युत्क्रम होता है। हरात्मक श्रेणी के पहले कुछ पद इस प्रकार हैं:

$$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dots$$

हरात्मक श्रेणी के पहले n पदों का योग कोई सरल संवृत रूप सूत्र नहीं रखता।

$$H_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} = \ln(n) + \gamma$$

जहाँ γ आयलर-मैस्केरोनी नियतांक है, जो लगभग 0.5772156649 के बराबर है।

हरात्मक श्रेणी सूत्र के गुण

हरात्मक श्रेणी के पहले n पदों के योग के कई रोचक गुण होते हैं। उदाहरण के लिए:

• हरात्मक श्रेणी के पहले n पदों का योग सदैव n के प्राकृतिक लघुगणक और आयलर-मैस्केरोनी नियतांक के योग से अधिक होता है।
• हरात्मक श्रेणी के पहले n पदों का योग सदैव n के प्राकृतिक लघुगणक और आयलर-मैस्केरोनी नियतांक के योग से कम होता है।
• हरात्मक श्रेणी के पहले n पदों का योग n के अनंत होने पर अनंत की ओर बढ़ता है।

हरात्मक श्रेणी सूत्र के अनुप्रयोग

एक हार्मोनिक प्रोग्रेशन के प्रथम n पदों के योग का गणित और भौतिकी में कई अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग:

• एक वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना करने के लिए।
• एक ठोस के आयतन को निर्धारित करने के लिए।
• किसी वस्तु के द्रव्यमान केंद्र को निर्धारित करने के लिए।

एक हार्मोनिक प्रोग्रेशन के प्रथम n पदों के योग का कोई सरल सूत्र नहीं होता और इसका कोई सामान्य बंद-रूप व्यंजक नहीं होता। इसलिए, यह एक शक्तिशाली उपकरण नहीं है जिसका उपयोग गणित और भौतिकी में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सके। हार्मोनिक प्रोग्रेशन के गुणों को समझकर, आप उपयोग कर सकते हैं सन्निकटन विधियों या संख्यात्मक तकनीकों का, जिनसे वे समस्याएँ हल हो सकें जो अन्यथा कठिन या असंभव होतीं।

अनंत हार्मोनिक श्रेणी का योग

एक हार्मोनिक प्रोग्रेशन संख्याओं की एक अनुक्रम होता है जहाँ प्रत्येक पद एक समांतर श्रेणी का व्युत्क्रम होता है। हार्मोनिक प्रोग्रेशन के प्रथम कुछ पद इस प्रकार हैं:

$$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dots$$

हार्मोनिक श्रेणी के प्रथम n पदों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$H_n = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}$$

अनंत हार्मोनिक श्रेणी का योग उस सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब n अनंत की ओर बढ़ता है। अर्थात्,

$$H = \lim_{n\to\infty} H_n = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n} \right)$$

यह सीमा मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि अनंत हार्मोनिक प्रगति का योग विचलित है।

प्रमाण।

यह सिद्ध करने के लिए कि अनंत हार्मोनिक श्रेणी का योग विचलित है, हम निम्नलिखित तुलना परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं।

तुलना परीक्षण:** यदि $a_n$ और $b_n$ दो धनात्मक पदों की श्रेणियाँ हैं जैसे कि सभी $n$ के लिए $a_n \le b_n$, तो यदि $ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ अभिसारी है, तो $ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ भी अभिसारी है।

इस मामले में, हम हार्मोनिक प्रगति की तुलना निम्नलिखित विचलित श्रेणी से कर सकते हैं:

$$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n} > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots + \dfrac{1}{2^{k}} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots$$

दाईं ओर की श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $r = \dfrac{1}{2}$, जो 1 से कम है। इसलिए, तुलना परीक्षण के अनुसार बाईं ओर की श्रेणी भी अभिसारी है।

अनंत हार्मोनिक प्रगति का योग विचलित है। इसका अर्थ है कि श्रेणी $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots$ किसी परिमित मान पर अभिसारी नहीं होती है।

हार्मोनिक प्रगति के योग पर हल किए गए उदाहरण

पानी दो तत्वों, हाइड्रोजन और ऑक्सीजन से बना एक यौगिक है, जिसका रासायनिक सूत्र H2O है। यह एक ध्रुवीय अणु है, जिसका अर्थ है कि इसमें आंशिक धनात्मक और आंशिक ऋणात्मक सिरा होता है, जिससे यह एक उत्कृष्ट विलायक बनता है।

हार्मोनिक श्रेणी के पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए:

$$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{10}$$

हल:

हार्मोनिक प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं होता है।

$$H_n = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}\right)$$

सूत्र में n = 10 प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$H_{10} = \dfrac{10}{2(10+1)} = \dfrac{10}{22} = \dfrac{5}{11}$$

इसलिए, दी गई हार्मोनिक प्रगति के पहले 10 पदों का योग $\dfrac{11}{5}$ है।

उदाहरण 2:

हार्मोनिक श्रेणी के पहले 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए:

$$1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}, \dfrac{1}{13}, \dfrac{1}{15}, \dfrac{1}{17}, \dfrac{1}{19}, \dfrac{1}{21}, \dfrac{1}{23}, \dfrac{1}{25}, \dfrac{1}{27}, \dfrac{1}{29}, \dfrac{1}{31}, \dfrac{1}{33}, \dfrac{1}{35}, \dfrac{1}{37}, \dfrac{1}{39}$$

हल:

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$H_{20} = \dfrac{1}{2(20+1)} = \dfrac{1}{42}$$

इसलिए, दी गई हार्मोनिक प्रगति के पहले 20 पदों का योग $\dfrac{21}{10}$ है।

उदाहरण 3:

हार्मोनिक श्रेणी के पहले 50 पदों का योग ज्ञात कीजिए:

$$1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{25}, \dfrac{1}{36}, \dfrac{1}{49}, \dfrac{1}{64}, \dfrac{1}{81}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{121}, \dfrac{1}{144}, \dfrac{1}{169}, \dfrac{1}{196}, \dfrac{1}{225}, \dfrac{1}{256}, \dfrac{1}{289}, \dfrac{1}{324}, \dfrac{1}{361}, \dfrac{1}{400}, \dots$$

हल:

एक समांतर श्रेणी के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$H_{50} = \dfrac{50}{2(50+1)} = \dfrac{50}{102} \approx 0.49$$

इसलिए, दी गई हरात्मक श्रेणी के पहले 50 पदों का योग लगभग 4.9 है।

हरात्मक श्रेणी के योग से संबंधित प्रश्नोत्तर

हरात्मक श्रेणी का योग क्या है?

हरात्मक श्रेणी का योग एक समांतर श्रेणी के पदों के व्युत्क्रमों का योग होता है।

हरात्मक श्रेणी के योग का सूत्र क्या है?

हरात्मक श्रेणी के योग का सूत्र है:

$$H_n = \dfrac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right)$$

जहाँ:

$H_n$ हरात्मक श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग है

• $a_1$ हरात्मक श्रेणी का पहला पद है
• $a_n$ हरात्मक श्रेणी का $n$वाँ पद है

हरात्मक श्रेणियों के कुछ उदाहरण क्या हैं?

हरात्मक श्रेणियों के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

• श्रेणी $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4} , …\\ $
• श्रेणी $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{5}, …\\ $
• श्रेणी $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{6}$, …

हार्मोनिक प्रोग्रेशन के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

हार्मोनिक प्रोग्रेशन के कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• संगीत में, हार्मोनिक प्रोग्रेशन का उपयोग कोर्ड और मेलोडी बनाने के लिए किया जाता है। भौतिकी में, हार्मोनिक मोशन का उपयोग वस्तुओं की गति का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। गणित में, हार्मोनिक प्रोग्रेशन का उपयोग अनुक्रमों के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

हार्मोनिक प्रोग्रेशन के बारे में कुछ सामान्य गलतफहमियाँ क्या हैं?

हार्मोनिक प्रोग्रेशन के बारे में कुछ सामान्य गलतफहमियाँ इस प्रकार हैं:

• यह कि हार्मोनिक प्रोग्रेशन हमेशा बढ़ते नहीं हैं।
• यह कि हार्मोनिक प्रोग्रेशन हमेशा घटते नहीं हैं। यह कि हार्मोनिक प्रोग्रेशन हमेशा अभिसारी नहीं होते हैं।

वास्तव में, हार्मोनिक प्रोग्रेशन बढ़ते, घटते या दोलायमान हो सकते हैं, और वे अभिसारी या विसारी हो सकते हैं।