t वितरण

t-वितरण, जिसे स्टूडेंट का t-वितरण भी कहा जाता है, एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकीय अनुमान में तब किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो। यह एक घंटाकार, सममित वितरण है जो प्रसामान्य वितरण के समान है, लेकिन इसकी पूंछें अधिक भारी होती हैं।

स्वतंत्रता की डिग्री

t-वितरण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री नमूने में प्रेक्षणों की संख्या घटाकर एक होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नमूना माध्य और नमूना मानक विचलन का उपयोग जनसंख्या माध्य और जनसंख्या मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, और ये अनुमान प्रत्येक एक स्वतंत्रता की डिग्री खो देते हैं।

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास अज्ञात माध्य और मानक विचलन वाली जनसंख्या से 10 प्रेक्षणों का एक नमूना है। नमूना माध्य 50 है और नमूना मानक विचलन 10 है। हम यह परीक्षण करना चाहते हैं कि जनसंख्या माध्य 55 के बराबर है या नहीं।

इसके लिए हम t-परीक्षण का उपयोग करते हैं। t-परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री 9 है (10 प्रेक्षण घटाकर एक)। 0.05 के महत्व स्तर के साथ दो-पूंछ वाले परीक्षण के लिए महत्वपूर्ण मान 2.262 है।

t-सांख्यिकी इस प्रकार गणना की जाती है:

$$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

जहाँ:

• $\overline{x}$ नमूना माध्य है
• $\mu_0$ कल्पित जनसंख्या माध्य है
• $s$ नमूना मानक विचलन है
• $n$ नमूना आकार है

इस स्थिति में, t-सांख्यिकी है:

$$t = \frac{50 - 55}{10/\sqrt{10}} = -1.732$$

t-test के लिए p-value इस प्रकार गणना की जाती है:

$$p-value = 2P(t < -1.732) = 0.114$$

चूँकि p-value 0.05 के स्तर से अधिक है, हम यह मान्यता अस्वीकार नहीं करते कि जनसंख्या का माध्य 55 के बराबर है।

t-वितरण एक उपयोगी सांख्यिकीय उपकरण है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो। यह घंटी आकार का, सममित वितरण है जो सामान्य वितरण के समान है, परंतु इसकी पुच्छें अधिक भारी होती हैं। t-वितरण का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें जनसंख्या के माध्य के बारे में परिकल्पना परीक्षण, जनसंख्या के माध्य के लिए विश्वास अंतराल, दो संबद्ध नमूनों के माध्यों की तुलना के लिए युग्मित t-test, और दो स्वतंत्र नमूनों के माध्यों की तुलना के लिए स्वतंत्र t-test शामिल हैं।

t वितरण सूत्र

t-वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो। यह सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्य के बारे में परिकल्पनाओं की जाँच के लिए भी प्रयोग किया जाता है।

t-वितरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$t = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$$

जहाँ:

• $t$ t-सांख्यिकी है
• $\bar{X}$ नमूना माध्य है
• $\mu$ जनसंख्या माध्य है
• $s$ नमूना मानक विचलन है
• $n$ नमूना आकार है

t-वितरण के कई गुण होते हैं जो इसे सांख्यिकीय अनुमान के लिए उपयोगी बनाते हैं। इन गुणों में शामिल हैं:

• t-वितरण शून्य के परितः सममित होता है।
• t-वितरण का माध्य शून्य होता है।
• t-वितरण का प्रसरण $\frac{n}{n-2}$ होता है।
• t-वितरण की कर्टोसिस $\frac{n}{n-4}$ होती है।
• नमूना आकार बढ़ने पर t-वितरण मानक प्रसामान्य वितरण की ओर झुकता है।

T वितरण सारणी

t-वितरण सारणी विभिन्न स्वतंत्रता डिग्रियों और महत्त्व स्तरों के लिए t-वितरण के महत्वपूर्ण मान प्रदान करती है। ये महत्वपूर्ण मान किसी t-परीक्षण के लिए p-मान निर्धारित करने या किसी सामान्यतः वितरित जनसंख्या के माध्य के लिए विश्वास अंतराल बनाने में प्रयुक्त हो सकते हैं।

निम्न सारणी चयनित स्वतंत्रता डिग्रियों और महत्त्व स्तरों के लिए t-वितरण के महत्वपूर्ण मान प्रदान करती है:

t-वितरण सांख्यिकीय अनुमान के लिए एक उपयोगी उपकरण है। इसका उपयोग किसी सामान्यतः वितरित जनसंख्या के माध्य के बारे में परिकल्पनाओं की जांच करने, उसके माध्य के लिए विश्वास अंतराल बनाने और प्रतिगमन गुणांकों की महत्त्वता की जांच करने में किया जाता है।

t वितरण सारणी का उपयोग कैसे करें

t-वितरण सारणी का उपयोग करने के लिए आपको निम्नलिखित जानकारी चाहिए:

• t-सांख्यिकी के लिए स्वतंत्रता की डिग्री (df)। स्वतंत्रता की डिग्री नमूने के आकार से एक घटाकर बराबर होती हैं।
• परीक्षण के लिए महत्व स्तर (α)। महत्व स्तल वह प्रायिकता है जब शून्य प्रतिपादन सही होते हुए भी इसे अस्वीकार कर दिया जाता है।

एक बार यह जानकारी हो जाने पर, आप t-वितरण सारणी में संगत मान देखकर t-सांख्यिकी के लिए महत्वपूर्ण मान खोज सकते हैं। महत्वपूर्ण मान वह t-सांख्यिकी का मान है जो दी गई स्वतंत्रता की डिग्री और महत्व स्तर से मेल खाता है।

उदाहरण

मान लीजिए आपके पास किसी जनसंख्या से 10 प्रेक्षणों का एक नमूना है जिसका माध्य अज्ञात है। आप यह परीक्षण करना चाहते हैं कि जनसंख्या माध्य 50 के बराबर है। नमूना माध्य 55 है और नमूना मानक विचलन 10 है।

यह परीक्षण करने के लिए, आप पहले t-सांख्यिकी की गणना करेंगे:

$$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$

जहाँ:

• $\overline{x}$ नमूना माध्य है
• $\mu_0$ प्रतिपादित जनसंख्या माध्य है
• $s$ नमूना मानक विचलन है
• $n$ नमूना आकार है

इस स्थिति में, t-सांख्यिकी है:

$$t = \frac{55 - 50}{10/\sqrt{10}} = 1.732$$

अगला कदम, आप t-वितरण सारणी में t-सांख्यिकी के लिए महत्वपूर्ण मान देखेंगे। इस परीक्षण के लिए स्वतंत्रता की डिग्री 9 है (चूँकि नमूना आकार 10 है), और महत्व स्तर 0.05 है। महत्वपूर्ण मान 2.262 है।

चूँकि t-सांख्यिकी का निरपेक्ष मान (1.732) क्रांतिक मान (2.262) से कम है, हम शून्य प्रतिग्रहण को अस्वीकार नहीं करते। इसका अर्थ है कि यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त प्रमाण नहीं है कि जनसंख्या माध्यक 50 से भिन्न है।

t-वितरण सारणी एक मूल्यवान उपकरण है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो, तब जनसंख्या माध्यक के बारे में परिकल्पना परीक्षण करने के लिए। t-वितरण सारणी का उपयोग करके आप t-सांख्यिकी के लिए क्रांतिक मान निर्धारित कर सकते हैं और यह निर्णय ले सकते हैं कि शून्य प्रतिग्रहण को अस्वीकार करना है या नहीं।

t वितरण का प्राचल

t-वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और सामान्यतः वितरित जनसंख्या का माध्यक अनुमानित किया जाना हो। इसे स्टूडेंट का t-वितरण भी कहा जाता है, उस सांख्यिकीविद् के छद्म नाम के बाद जिसने पहले इसका वर्णन किया था, विलियम सीली गॉसेट।

t-वितरण का एक प्राचल होता है, जो स्वतंत्रता की कोटि है। स्वतंत्रता की कोटि नमूना आकार घटा एक के बराबर होती है।

स्वतंत्रता की कोटि

स्वतंत्रता की कोटि नमूने में उपलब्ध जानकारी की मात्रा का माप है। जितनी अधिक स्वतंत्रता की कोटि होगी, उतना अधिक जानकारी नमूने में होगी, और जनसंख्या माध्यक का अनुमान उतना ही अधिक सटीक होगा।

डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम टी-डिस्ट्रीब्यूशन के आकार को प्रभावित करती हैं। कम डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम वाली टी-डिस्ट्रीब्यूशन अधिक डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम वाली टी-डिस्ट्रीब्यूशन की तुलना में अधिक फैली हुई होती है। इसका अर्थ है कि कम डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम वाली टी-डिस्ट्रीब्यूशन चरम मानों को उत्पन्न करने की अधिक संभावना रखती है।

टी-डिस्ट्रीब्यूशन सांख्यिकीय अनुमान के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, और इसे सही ढंग से उपयोग करने के लिए टी-डिस्ट्रीब्यूशन के पैरामीटरों को समझना महत्वपूर्ण है।

टी डिस्ट्रीब्यूशन और नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के बीच अंतर

टी-डिस्ट्रीब्यूशन और नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन दोनों ही सतत प्रायिकता वितरण हैं जिनका उपयोग सांख्यिकीय विश्लेषण में किया जाता है। हालांकि, इन दोनों वितरणों के बीच कुछ प्रमुख अंतर हैं।

1. आकार

नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन एक सममित, घंटाकार वक्र होता है। टी-डिस्ट्रीब्यूशन भी एक घंटाकार वक्र होता है, लेकिन यह सममित नहीं होता। टी-डिस्ट्रीब्यूशन में नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन की तुलना में अधिक भारी पूंछ होती है, जिसका अर्थ है कि यह चरम मानों को उत्पन्न करने की अधिक संभावना रखता है।

2. डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम

टी-डिस्ट्रीब्यूशन में एक पैरामीटर होता है जिसे डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम कहा जाता है। डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम वितरण के आकार को निर्धारित करती हैं। जितनी अधिक डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम होती हैं, टी-डिस्ट्रीब्यूशन उतना ही नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के करीब आता जाता है।

4. किस वितरण का उपयोग करें?

किस वितरण का उपयोग करना है, यह निर्भर करता है कि कौन सा विशिष्ट सांख्यिकीय विश्लेषण किया जा रहा है। यदि नमूना आकार बड़ा है, तो सामान्य वितरण का उपयोग किया जा सकता है। यदि नमूना आकार छोटा है, तो t-वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए।

5. सारांश

t-वितरण और सामान्य वितरण दोनों ही महत्वपूर्ण निरंतर प्रायिकता वितरण हैं जो सांख्यिकीय विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं। इन दोनों वितरणों के बीच प्रमुख अंतर इस प्रकार हैं:

• t-वितरण सममित नहीं होता है, जबकि सामान्य वितरण सममित होता है।
• t-वितरण में एक पैरामीटर होता है जिसे डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम कहा जाता है, जो वितरण के आकार को निर्धारित करता है।
• t-वितरण का उपयोग सामान्य वितरण की तुलना में अधिक सीमित संख्या में अनुप्रयोगों में किया जाता है।

किस वितरण का उपयोग करना है, यह निर्भर करता है कि कौन सा विशिष्ट सांख्यिकीय विश्लेषण किया जा रहा है।

t वितरण के गुण

t-वितरण एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जो सामान्य वितरण के समान है, लेकिन इसकी पूंछें अधिक भारी होती हैं। इसका अर्थ है कि t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में चरम मानों को उत्पन्न करने की अधिक संभावना रखता है।

t-वितरण एक पैरामीटर, डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम द्वारा परिभाषित किया जाता है। डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम वितरण के आकार को निर्धारित करते हैं। डिग्रीज़ ऑफ़ फ्रीडम जितने अधिक होंगे, t-वितरण उतना ही अधिक सामान्य वितरण के समान प्रतीत होगा।

t-वितरण में कई ऐसे गुण होते हैं जो इसे सांख्यिकीय अनुमान के लिए उपयोगी बनाते हैं। इन गुणों में शामिल हैं:

• सममिति: t-वितरण अपने माध्य के परितः सममित होता है।
• एकप्रवणता: t-वितरण एकप्रवण होता है, अर्थात इसका एक ही मोड होता है।
• भारी पुच्छ: t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में अधिक भारी पुच्छ रखता है। इसका अर्थ है कि t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में चरम मान उत्पन्न करने की अधिक संभावना रखता है।
• तिरछापन: t-वितरण छोटी डिग्री स्वतंत्रता के लिए दायीं ओर तिरछा होता है। जैसे-जैसे डिग्री स्वतंत्रता बढ़ती है, तिरछापन घटता है।
• कर्टोसिस: t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में अधिक कर्टोसिस होता है। इसका अर्थ है कि t-वितरण में सामान्य वितरण की तुलना में अधिक ऊँचा शिखर और मोटी पुच्छ होती है।

t-वितरण के अनुप्रयोग

t-वितरण का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• परिकल्पना परीक्षण: t-वितरण का उपयोग किसी जनसंख्या के माध्य के बारे में परिकल्पनाओं की जाँच करने के लिए किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात हो।
• आत्मविश्वास अंतराल: t-वितरण का उपयोग किसी जनसंख्या के माध्य के लिए आत्मविश्वास अंतराल बनाने के लिए किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात हो।
• रिग्रेशन विश्लेषण: t-वितरण का उपयोग रिग्रेशन रेखा की ढाल और अंतःखंड के बारे में परिकल्पनाओं की जाँच करने के लिए किया जाता है।
• प्रसरण विश्लेषण: t-वितरण का उपयोग दो या अधिक समूहों के बीच माध्यों की समानता के बारे में परिकल्पनाओं की जाँच करने के लिए किया जाता है।

t-वितरण सांख्यिकीय अनुमान के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। इसे सही ढंग से उपयोग करने के लिए t-वितरण के गुणों को समझना महत्वपूर्ण है।

स्टूडेंट का t-वितरण का अनुप्रयोग

स्टूडेंट का t-वितरण एक प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकीय अनुमान में तब किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो। यह एक घंटाकार, सममित वितरण है जो प्रसामान्य वितरण के समान है, लेकिन इसकी पूंछें अधिक मोटी होती हैं। इसका अर्थ है कि t-वितरण प्रसामान्य वितरण की तुलना में चरम मान उत्पन्न करने की अधिक संभावना रखता है।

t-वितरण का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• हाइपोथिसिस टेस्टिंग: जब सैंपल साइज़ छोटा हो और पॉपुलेशन स्टैंडर्ड डेविएशन अज्ञात हो, तो t-डिस्ट्रिब्यूशन का उपयोग किसी पॉपुलेशन के मीन के बारे में हाइपोथिसिस को टेस्ट करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई शोधकर्ता यह परीक्षण करने के लिए t-test का उपयोग कर सकता है कि संयुक्त राज्य अमेरिका में महिलाओं का औसत वजन 150 पाउंड है या नहीं।
• कॉन्फिडेंस इंटरवल: जब सैंपल साइज़ छोटा हो और पॉपुलेशन स्टैंडर्ड डेविएशन अज्ञात हो, तो t-डिस्ट्रिब्यूशन का उपयोग किसी पॉपुलेशन के मीन के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई शोधकर्ता 95% कॉन्फिडेंस के साथ संयुक्त राज्य अमेरिका में महिलाओं के औसत वजन का अनुमान लगाने के लिए t-interval का उपयोग कर सकता है।
• रिग्रेशन एनालिसिस: t-डिस्ट्रिब्यूशन का उपयोग रिग्रेशन मॉडल में रिग्रेशन गुणांकों की महत्ता को परखने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई शोधकर्ता यह परीक्षण करने के लिए t-test का उपयोग कर सकता है कि रिग्रेशन लाइन की ढलान शून्य के बराबर है या नहीं।

t-डिस्ट्रिब्यूशन के लाभ

जब सैंपल साइज़ छोटा हो और पॉपुलेशन स्टैंडर्ड डेविएशन अज्ञात हो, तो t-डिस्ट्रिब्यूशन में नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन की तुलना में कई लाभ होते हैं। इन लाभों में शामिल हैं:

• दृढ़ता: t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में सामान्यता अनुमान के उल्लंघन के प्रति अधिक दृढ़ होता है। इसका अर्थ है कि t-वितरण का उपयोग तब भी किया जा सकता है जब जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित नहीं होती है।
• शक्ति: t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में छोटे नमूना आकार पर अधिक शक्तिशाली होता है। इसका अर्थ है कि t-वितरण नमूना माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर को छोटा होने पर भी पकड़ने की अधिक संभावना रखता है।

t-वितरण के नुकसान

t-वितरण के कुछ नुकसान भी हैं, जिनमें शामिल हैं:

• जटिलता: t-वितरण सामान्य वितरण की तुलना में अधिक जटिल होता है। इसका अर्थ है कि इसे समझना और उपयोग करना अधिक कठिन हो सकता है।
• शुद्धता: t-वितरण बड़े नमूना आकार पर सामान्य वितरण की तुलना में कम शुद्ध होता है। इसका अर्थ है कि t-वितरण बड़े नमूना आकार पर गलत परिणाम देने की अधिक संभावना रखता है।

कुल मिलाकर, t-वितरण एक मूल्यवान सांख्यिकीय उपकरण है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचल अज्ञात हो। यह सामान्य वितरण की तुलना में अधिक दृढ़ और शक्तिशाली होता है, लेकिन यह अधिक जटिल और कम शुद्ध भी होता है।

t वितरण अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

t-वितरण क्या है?

t-वितरण एक सतत् प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो तो किसी सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्यम का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्यम के बारे में परिकल्पनाओं की जांच करने के लिए भी किया जाता है।

t-वितरण की प्रमुख विशेषताएँ क्या हैं?

t-वितरण एक सममित, घंटाकार वितरण है जो शून्य पर केंद्रित होता है। t-वितरण का फैलाव स्वतंत्रता की डिग्री से निर्धारित होता है, जो नमूना आकार का एक माप है। t-वितरण में सामान्य वितरण की तुलना में अधिक मोटी पूँछें होती हैं, जिसका अर्थ है कि इसके द्वारा चरम मानों के उत्पन्न होने की संभावना अधिक होती है।

t-वितरण के अनुप्रयोग क्या हैं?

t-वितरण का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्यम का अनुमान लगाना जब नमूना आकार छोटा हो और जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो।
• सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्यम के बारे में परिकल्पनाओं की जांच करना।
• सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या के माध्यम के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करना।
• दो संबंधित नमूनों के माध्यमों की तुलना करने के लिए युग्मित t-परीक्षण करना।
• दो स्वतंत्र नमूनों के माध्यमों की तुलना करने के लिए स्वतंत्र t-परीक्षण करना।

t-वितरण की सीमाएँ क्या हैं?

t-वितरण सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, लेकिन इसकी कुछ सीमाएँ हैं। इन सीमाओं में शामिल हैं:

• t-वितरण केवल सामान्य रूप से वितरित जनसंख्याओं के लिए ही वैध है।
• t-वितरण आउटलायर्स के प्रति संवेदनशील है।
• t-वितरण, सामान्य वितरण की तुलना में बड़े नमूना आकार पर उतना शक्तिशाली नहीं है।

निष्कर्ष

t-वितरण सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए एक बहुपयोगी और शक्तिशाली उपकरण है। इसे प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए t-वितरण की प्रमुख विशेषताओं और सीमाओं को समझना महत्वपूर्ण है।