वेबुल वितरण

वेबुल वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जो किसी निर्दिष्ट घटना के घटित होने तक के समय के वितरण का वर्णन करता है। इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पहली बार 1939 में प्रस्तावित किया था।

वेबुल वितरण की विशेषताएँ

वेबुल वितरण दो पैरामीटरों द्वारा विशेषित होता है: स्केल पैरामीटर $\lambda$ और आकृति पैरामीटर $k$। स्केल पैरामीटर वितरण के फैलाव को निर्धारित करता है, जबकि आकृति पैरामीटर वितरण की तिरछापन को निर्धारित करता है।

• स्केल पैरामीटर $\lambda$: स्केल पैरामीटर $\lambda$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है जो वितरण के फैलाव को निर्धारित करता है। $\lambda$ का मान जितना बड़ा होगा, वितरण उतना ही अधिक फैला हुआ होगा।
• आकृति पैरामीटर $k$: आकृति पैरामीटर $k$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है जो वितरण की तिरछापन को निर्धारित करता है। जब $k < 1$, वितरण बाईं ओर तिरछा होता है। जब $k = 1$, वितरण सममित होता है। जब $k > 1$, वितरण दाईं ओर तिरछा होता है।

वेबुल वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन

वेबुल वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$f(x) = \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}$$

जहाँ:

• $x$ यादृच्छिक चर है
• $\lambda$ स्केल पैरामीटर है
• $k$ आकृति पैरामीटर है

वेबुल वितरण का संचयी वितरण फलन

वेबुल वितरण का संचयी वितरण फलन (CDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}$$

जहाँ:

• $x$ यादृच्छिक चर है
• $\lambda$ पैमाना प्राचल है
• $k$ आकृति प्राचल है

वेबुल वितरण के अनुप्रयोग

वेबुल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी: वेबुल वितरण का उपयोग घटकों और प्रणालियों के लिए विफलता के समय तक के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• जीविता विश्लेषण: वेबुल वितरण का उपयोग किसी जनसंख्या में व्यक्तियों की मृत्यु के समय तक के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• वित्तीय मॉडलिंग: वेबुल वितरण का उपयोग निवेशों पर प्रतिफल के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• बीमा: वेबुल वितरण का उपयोग दावों के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

वेबुल वितरण एक बहुमुखी और शक्तिशाली प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार की घटनाओं को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। यह विभिन्न क्षेत्रों के सांख्यिकीविदों और व्यवहारकर्ताओं के लिए एक मूल्यवान उपकरण है।

वेबुल वितरण का सूत्र

वेबुल वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जो किसी निर्दिष्ट घटना के होने तक के समय के वितरण का वर्णन करता है। इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पहली बार 1939 में प्रस्तावित किया था।

वेबुल वितरण का उपयोग अक्सर घटकों या प्रणालियों के जीवनकाल को मॉडल करने के लिए किया जाता है, क्योंकि यह प्रारंभिक “शिशु मृत्यु” अवधि और बाद की “अपराधन” अवधि दोनों को ध्यान में रख सकता है।

प्रायिकता घनत्व फलन

वेबुल वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार है:

$$f(x) = \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

जहाँ:

• $\alpha$ पैमाना पैरामीटर है, जो वितरण की विशिष्ट जीवन अवधि को दर्शाता है।
• $\beta$ आकृति पैरामीटर है, जो वितरण की आकृति निर्धारित करता है।

संचयी वितरण फलन

वेबुल वितरण का संचयी वितरण फलन (CDF) इस प्रकार है:

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

संकट फलन

वेबुल वितरण का संकट फलन इस प्रकार है:

$$h(x) = \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1}$$

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास एक घटक है जिसका वितरण $\alpha = 100$ और $\beta = 2$ के साथ वेबुल है। पहले 50 घंटों में घटक के खराब होने की प्रायिकता इस प्रकार है:

$$P(X < 50) = 1 - e^{-(50/100)^2} = 0.197$$

इसका अर्थ है कि पहले 50 घंटों में घटक के खराब होने की 19.7% संभावना है।

वेबुल वितरण के गुण

वेबुल वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसे प्रायः विश्वसनीयता अभियांत्रिकी में विफलता के समय के वितरण को मॉडल करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोदी वेबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पहली बार 1939 में प्रस्तावित किया था।

प्रायिकता घनत्व फलन

वेबुल वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) इस प्रकार है:

$$f(x) = \frac{\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha}\right)^{\beta-1} e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

जहाँ:

• $\alpha$ स्केल पैरामीटर है
• $\beta$ आकार पैरामीटर है

संचयी वितरण फलन

वेबुल वितरण का संचयी वितरण फलन (CDF) इस प्रकार दिया गया है:

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\alpha)^{\beta}}$$

वेबुल वितरण का आकार

वेबुल वितरण का आकार स्केल और आकार पैरामीटर के मानों के आधार पर भिन्न हो सकता है।

• जब $\beta < 1$, वितरण घटता असफलता दर (DFR) होता है।
• जब $\beta = 1$, वितरण एक घातीय वितरण होता है।
• जब $\beta > 1$, वितरण बढ़ता असफलता दर (IFR) होता है।

वेबुल वितरण का माध्य

वेबुल वितरण का माध्य इस प्रकार दिया गया है:

$$E(X) = \alpha \Gamma\left(1 + \frac{1}{\beta}\right)$$

जहाँ $\Gamma(\cdot)$ गामा फलन है।

वेबुल वितरण का प्रसरण

वेबुल वितरण का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$$V(X) = \alpha^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{\beta}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{\beta}\right)\right]$$

वेबुल पैरामीटर

वेबुल वितरण एक निरंतर प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग किसी घटक या प्रणाली की असफलता के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे सबसे पहले 1939 में प्रस्तावित किया था।

वेबुल वितरण में दो पैरामीटर होते हैं:

• स्केल पैरामीटर (β): स्केल पैरामीटर किसी घटक या प्रणाली की विशिष्ट जीवन-अवधि को दर्शाता है। यह यादृच्छिक चर का वह मान है जिस पर संचयी बंटन फलन (CDF) 0.632 के बराबर होता है।
• आकृति पैरामीटर (α): आकृति पैरामीटर बंटन की आकृति को दर्शाता है। यह समय के साथ विफलता दर के बढ़ने की दर निर्धारित करता है।

स्केल पैरामीटर (β)

स्केल पैरामीटर (β) वेबुल बंटन की केंद्रीय प्रवृत्ति का मापक है। यह यादृच्छिक चर का वह मान है जिस पर CDF 0.632 के बराबर होता है। इसका अर्थ है कि स्केल पैरामीटर से पहले विफलता की प्रायिकता 0.632 है और स्केल पैरामीटर के बाद विफलता की प्रायिकता 0.368 है।

स्केल पैरामीटर को प्रायः विफलता आंकड़ों की माध्यिका का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है। माध्यिका वह यादृच्छिक चर का मान है जो आंकड़ों को दो समान भागों में विभाजित करता है। वेबुल बंटन के लिए माध्यिका इस प्रकार दी जाती है:

$$Median = β * (ln 2)^{1/α}$$

आकृति पैरामीटर (α)

आकृति पैरामीटर (α) वेबुल बंटन के फैलाव का मापक है। यह समय के साथ विफलता दर के बढ़ने की दर निर्धारित करता है। α का छोटा मान इंगित करता है कि विफलता दर समय के साथ धीरे-धीरे बढ़ती है, जबकि α का बड़ा मान इंगित करता है कि विफलता दर समय के साथ तेजी से बढ़ती है।

आकृति पैरामीटर अक्सर विफलता डेटा के लॉग-लॉग प्लॉट की ढलान का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है। लॉग-लॉग प्लॉट विफलता समय के लघुगणक और संचयी विफलता प्रायिकता के लघुगणक के बीच का प्लॉट होता है। वेबुल वितरण के लिए, लॉग-लॉग प्लॉट एक सीधी रेखा होती है जिसकी ढलान α होती है।

वेबुल वितरण प्लॉट

वेबुल वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग विफलता समय के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह घातांक वितरण का एक व्यापकीकरण है और इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेबुल के नाम पर रखा गया है।

वेबुल वितरण की विशेषताएँ

वेबुल वितरण में कई विशेषताएँ होती हैं जो इसे विफलता समय को मॉडल करने के लिए उपयोगी बनाती हैं। इन विशेषताओं में शामिल हैं:

• वेबुल वितरण एक एक-शिखर वितरण है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक ही चोटी होती है।
• वेबुल वितरण एक तिरछा वितरण है, जिसका अर्थ है कि वितरण की पूंछ एक ओर दूसरी ओर की तुलना में लंबी होती है।
• वेबुल वितरण में एक स्केल पैरामीटर और एक आकृति पैरामीटर होता है। स्केल पैरामीटर वितरण के फैलाव को निर्धारित करता है, जबकि आकृति पैरामीटर वितरण की तिरछापन को निर्धारित करता है।

वेबुल वितरण का प्लॉटिंग

वेबुल वितरण को विभिन्न विधियों से प्लॉट किया जा सकता है। एक सामान्य विधि वेबुल प्रायिकता प्लॉट का उपयोग करना है। वेबुल प्रायिकता प्लॉट वेबुल वितरण के संचयी वितरण फलन (CDF) का एक ग्राफीय प्रतिनिधित्व है।

वेबुल प्रायिकता प्लॉट बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाता है:

1. डेटा को आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है।
2. डेटा का CDF गणना किया जाता है।
3. CDF को डेटा के प्राकृत लघुगणक के विरुद्ध प्लॉट किया जाता है।

परिणामी प्लॉट एक सीधी रेखा होगी यदि डेटा वेबुल वितरण का अनुसरण करता है।

वेबुल वितरण असफलता समय के वितरण को मॉडल करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। यह एक लचीला वितरण है जिसे विभिन्न प्रकार के डेटा को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: एक वृत्त का क्षेत्रफल खोजना

समस्या: 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

1. वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ है, जहाँ $A$ क्षेत्रफल है, $r$ त्रिज्या है, और $\pi$ एक गणितीय स्थिरांक है जो लगभग 3.14 के बराबर है।
2. सूत्र में $r = 5$ सेमी प्रतिस्थापित करने पर, हमें $A = \pi (5)^2 = 25\pi$ सेमी$^2$ प्राप्त होता है।
3. इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल $25\pi$ सेमी$^2$ है।

उदाहरण 2: एक रैखिक समीकरण को हल करना

समस्या: रैखिक समीकरण $3x + 5 = 17$ को हल कीजिए।

हल:

1. समीकरण के दोनों पक्षों से 5 घटाइए: $3x + 5 - 5 = 17 - 5$।
2. सरल कीजिए: $3x = 12$।
3. समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित कीजिए: $\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$।
4. सरल कीजिए: $x = 4$।
5. इसलिए, रैखिक समीकरण का हल $x = 4$ है।

उदाहरण 3: एक घन का आयतन ज्ञात करना

समस्या: 4 सेमी भुजा वाले घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

1. घन के आयतन का सूत्र है $V = s^3$, जहाँ $V$ आयतन है और $s$ भुजा की लंबाई है।
2. सूत्र में $s = 4$ सेमी प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $V = (4)^3 = 64$ सेमी$^3$।
3. इसलिए, घन का आयतन $64$ सेमी^3 है।

उदाहरण 4: एक द्विघात समीकरण हल करना

समस्या: द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल कीजिए।

हल:

1. हम इस समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणांक हैं।
2. इस मामले में, $a = 1$, $b = -5$, और $c = 6$। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$$

$$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$$

$$= \frac{5 \pm 1}{2}$$

3. इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।

उदाहरण 5: एक फलन का अवकलज ज्ञात करना

समस्या: फलन $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल:

1. किसी फलन का अवकलज उस फलन के इनपुट के सापेक्ष परिवर्तन की दर होता है।
2. $f(x)$ का अवकलज निकालने के लिए हम विभेदन के घात नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो कहता है कि $x^n$ का अवकलज $nx^{n-1}$ होता है।
3. घात नियम लगाने पर हमें प्राप्त होता है:

$$f’(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 3x - 4)$$

$$= 3x^2 - 4x + 3$$

4. इसलिए, $f(x)$ का अवकलज $3x^2 - 4x + 3$ है।

वेबुल वितरण अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

वेबुल वितरण क्या है?

वेबुल वितरण एक सतत् प्रायिकता वितरण है जो किसी प्रणाली में विफलता होने तक के समय के वितरण का वर्णन करता है। इसका नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे सर्वप्रथम 1939 में प्रस्तावित किया था।

वेबुल वितरण के प्राचल क्या हैं?

वेबुल वितरण के दो प्राचल होते हैं:

• स्केल प्राचल (λ): यह प्राचल प्रणाली की विशिष्ट जीवन-अवधि को दर्शाता है। यह वह समय है जिस पर विफलता की प्रायिकता 63.2% होती है।
• आकृति प्राचल (k): यह प्राचल वितरण की आकृति को दर्शाता है। k < 1 का मान घटती हुई विफलता दर को, k = 1 का मान स्थिर विफलता दर को, और k > 1 का मान बढ़ती हुई विफलता दर को इंगित करता है।

वेबुल वितरण के गुणधर्म क्या हैं?

वेबुल वितरण के कई ऐसे गुणधर्म हैं जो इसे विफलता-के-समय आंकड़ों के मॉडलिंग के लिए उपयोगी बनाते हैं। इन गुणधर्मों में शामिल हैं:

• वेबुल वितरण एक एक-मोड वाला वितरण है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक ही मोड होता है।
• वेबुल वितरण एक तिरछा वितरण है, जिसका अर्थ है कि वितरण की पुच्छ एक ओर दूसरी ओर की तुलना में अधिक लंबी होती है।
• वेबुल वितरण एक भारी-पुच्छ वाला वितरण है, जिसका अर्थ है कि बड़े विफलता समय की प्रायिकता छोटे विफलता समय की प्रायिकता से अधिक होती है।
• वेबुल वितरण एक बहुपयोगी वितरण है जिसका उपयोग विफलता समय डेटा की विस्तृत विविधता को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है।

वेबुल वितरण का उपयोग कैसे किया जाता है?

वेबुल वितरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• विश्वसनीयता अभियांत्रिकी: वेबुल वितरण का उपयोग घटकों और प्रणालियों की विफलता के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• गुणवत्ता नियंत्रण: वेबुल वितरण का उपयोग उत्पादों और प्रक्रियाओं की गुणवत्ता की निगरानी के लिए किया जाता है।
• उत्तरजीविता विश्लेषण: वेबुल वितरण का उपयोग रोगियों और अन्य व्यक्तियों की उत्तरजीविता समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• बीमा: वेबुल वितरण का उपयोग बीमा पॉलिसियों के लिए दावा करने के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

वेबुल वितरण की कुछ सीमाएँ क्या हैं?

वेबुल वितरण की कई सीमाएँ हैं, जिनमें शामिल हैं:

• वेबुल वितरण हमेशा समय-से-विफलता डेटा को मॉडल करने के लिए सबसे अच्छा वितरण नहीं होता है। अन्य वितरण भी होते हैं जो कुछ प्रकार के डेटा के लिए अधिक उपयुक्त हो सकते हैं।
• वेबुल वितरण को डेटा पर फिट करना कठिन हो सकता है, विशेष रूप से जब डेटा सेंसर्ड हो।
• वेबुल वितरण आउटलायर्स के प्रति संवेदनशील हो सकता है।

निष्कर्ष

वेबुल वितरण समय-से-विफलता डेटा को मॉडल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। हालांकि, इसे उपयोग करने से पहले वितरण की सीमाओं को समझना महत्वपूर्ण है।