क्रमचय और संचय

क्रमचय और संचय गणित के दो मौलिक सिद्धांत हैं जो किसी समुच्चय से अवयवों की व्यवस्था और चयन से संबंधित हैं।

क्रमचय का तात्पर्य अवयवों की एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्था से है, जबकि संचय का तात्पर्य क्रम की परवाह किए बिना अवयवों के चयन से है।

क्रमचय में संभावित व्यवस्थाओं की संख्या सूत्र nPr = n! / (n - r)! से निर्धारित होती है, जहाँ n कुल अवयवों की संख्या है और r व्यवस्थित किए जाने वाले अवयवों की संख्या है।

संचय में संभावित चयनों की संख्या सूत्र nCr = n! / (r! * (n - r)!) से निर्धारित होती है।

क्रमचय का प्रयोग उन स्थितियों में किया जाता है जहाँ अवयवों का क्रम महत्वपूर्ण होता है, जैसे किसी शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या निर्धारित करना या किसी समूह से समिति चयन करने के तरीकों की संख्या।

संचय का प्रयोग उन स्थितियों में किया जाता है जहाँ अवयवों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है, जैसे किसी कक्षा से मित्रों के समूह का चयन करने के तरीकों की संख्या या लॉटरी टिकट चुनने के तरीकों की संख्या।

क्रमचय क्या है?

क्रमचय एक गणितीय संक्रिया है जिसमें वस्तुओं के समुच्चय को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। n वस्तुओं के समुच्चय के संभावित क्रमचयों की संख्या सूत्र n! द्वारा दी जाती है, जहाँ n!, n का गुणांक है।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास तीन वस्तुओं A, B और C का समुच्चय है, तो इन वस्तुओं के संभावित क्रमचय हैं:

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

जैसा कि आप देख सकते हैं, 3 वस्तुओं के 6 संभावित क्रमचय हैं।

क्रमचय का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• किसी दी गई स्थिति में संभावित परिणामों की संख्या गिनना
• यादृच्छिक नमूने उत्पन्न करना
• प्रयोगों को डिज़ाइन करना
• पहेलियों को हल करना

यहाँ क्रमचय के कुछ अतिरिक्त उदाहरण हैं:

• 10 लोगों के समूह से अध्यक्ष, उपाध्यक्ष और सचिव चुनने के तरीकों की संख्या 10P3 = 720 है।
• शब्द “APPLE” के अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 5! = 120 है।
• 52 पत्तों की एक सामान्य गड्डी से 5 पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या 52C5 = 2,598,960 है।

क्रमचय गणित की एक मूलभूत अवधारणा हैं और इनका वास्तविक दुनिया में विस्तृत अनुप्रयोग है।

संयोजन क्या है?

संयोजन

गणित में, एक संयोजन किसी समुच्चय से वस्तुओं का चयन होता है जहाँ वस्तुओं का क्रम मायने नहीं रखता। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास तीन अक्षरों का एक समुच्चय है, {A, B, C}, तो निम्नलिखित इस समुच्चय से दो अक्षरों के सभी संयोजन हैं:

• AB
• AC
• BC

n वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले संयोजनों की संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

जहाँ:

• n समुच्चय में कुल वस्तुओं की संख्या है
• r चयनित की जाने वाली वस्तुओं की संख्या है

उदाहरण के लिए, 5 वस्तुओं में से 3 वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले संयोजनों की संख्या है:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$$

इसका अर्थ है कि 5 वस्तुओं के समुच्चय से 3 वस्तुओं को चुनने के 10 भिन्न तरीके हैं।

संयोजनों के उदाहरण

संयोजनों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गिनती: संयोजनों का उपयोग किसी दी गई स्थिति में संभावित परिणामों की संख्या गिनने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास 52 पत्तों की एक गड्डी है, तो संभावित 5-पत्ते के हाथों की संख्या इस प्रकार दी जाती है:

$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!47!} = 2,598,960$$

इसका अर्थ है कि 52 पत्तों की गड्डी से 5-पत्ते के हाथ चुनने के 2,598,960 भिन्न तरीके हैं।

• प्रायिकता: संयोजनों का उपयोग किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता की गणना करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक छह-फलकीय पासा फेंकते हैं, तो 6 आने की प्रायिकता 1/6 है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 6 संभावित परिणाम हैं और उनमें से केवल एक 6 है।

• सांख्यिकी: संयोजनों का उपयोग सांख्यिकी के विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जैसे कि परिकल्पना परीक्षण और विश्वास अंतराल।

निष्कर्ष

संयोजन एक शक्तिशाली उपकरण हैं जिनका उपयोग विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। इनका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें गिनती, प्रायिकता और सांख्यिकी शामिल हैं।

क्रमचय और संयोजन सूत्र

क्रमचय और संयोजन सूत्र

गणित में, क्रमचय और संयोजन दो मौलिक अवधारणाएँ हैं जिनका उपयोग किसी दिए गए तत्वों के समूह से संभावित व्यवस्थाओं या चयनों की संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है। ये सूत्र विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से लागू किए जाते हैं, जिनमें प्रायिकता, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और कई वास्तविक-जीवन परिदृश्य शामिल हैं।

क्रमचय सूत्र

क्रमचय सूत्र किसी दिए गए तत्वों की संख्या के सभी संभावित क्रमों की गणना करता है, जब सभी तत्वों को एक साथ लिया जाता है। इसे P(n, r) या nPr द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ:

• n सेट में कुल तत्वों की संख्या को दर्शाता है।
• r सेट से चुने जाने वाले तत्वों की संख्या को दर्शाता है।

क्रमचय सूत्र इस प्रकार है:

P(n, r) = n! / (n - r)!

जहाँ “!” क्रमगुणिता (फैक्टोरियल) फलन को दर्शाता है। किसी अ-ऋणात्मक पूर्णांक n का क्रमगुणिता 1 से n तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। उदाहरण के लिए, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120।

उदाहरण:

मान लीजिए आपके पास 5 मित्रों का एक समूह है और आप उनमें से 3 को एक समिति बनाने के लिए चुनना चाहते हैं। संभावित समितियों की संख्या को क्रमचय सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 60

इसलिए, 5 मित्रों के समूह से 3 मित्रों की समिति चुनने के 60 संभावित तरीके हैं।

संयोजन सूत्र

संयोजन सूत्र किसी सेट से दिए गए तत्वों की संख्या के संभावित चयनों की गणना करता है, चयन के क्रम की परवाह किए बिना। इसे C(n, r) या nCr द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ:

• n सेट में कुल तत्वों की संख्या को दर्शाता है।
• r सेट से चुने जाने वाले तत्वों की संख्या को दर्शाता है।

संयोजन सूत्र इस प्रकार है:

C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)

उदाहरण:

पिछले उदाहरण को आगे बढ़ाते हुए, मान लीजिए आप 5 दोस्तों में से 3 को डिनर पार्टी में आमंत्रित करना चाहते हैं। संभावित आमंत्रणों की संख्या संयोजन सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

C(5, 3) = 5! / (3! × (5 - 3)!) = 5! / (3! × 2!) = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ((3 × 2 × 1) × (2 × 1)) = 10

इसलिए, 5 दोस्तों में से 3 को डिनर पार्टी के लिए चुनने के 10 संभावित तरीके हैं।

मुख्य अंतर:

• क्रमपरिवर्तन चयन के क्रम को ध्यान में रखते हैं, जबकि संयोजन नहीं।
• क्रमपरिवर्तन सूत्र में (n - r)! से विभाजित किया जाता है, जबकि संयोजन सूत्र में r! और (n - r)! दोनों से विभाजित किया जाता है।
• क्रमपरिवर्तन का उपयोग तब किया जाता है जब क्रम मायने रखता है, जैसे कि वस्तुओं को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना। संयोजन का उपयोग तब किया जाता है जब क्रम मायने नहीं रखता, जैसे कि बिना क्रम के विचार के वस्तुओं के समूह का चयन।

संक्षेप में, क्रमपरिवर्तन और संयोजन सूत्र दिए गए तत्वों के समूह से संभावित व्यवस्थाओं या चयनों की संख्या निर्धारित करने के लिए व्यवस्थित विधियां प्रदान करते हैं। ये सूत्र विभिन्न क्षेत्रों और व्यावहारिक परिदृश्यों में व्यापक अनुप्रयोग रखते हैं।

क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच अंतर

क्रमपरिवर्तन और संयोजन गणित में दो मौलिक अवधारणाएं हैं, विशेष रूप से संयोजनिकी के क्षेत्र में। दोनों किसी समूह से वस्तुओं का चयन करते हैं, लेकिन वे चयन करने के तरीके और वस्तुओं की व्यवस्था के क्रम में भिन्न होते हैं।

क्रमपरिवर्तन

एक क्रमचय में, वस्तुओं का क्रम मायने रखता है। वस्तुओं की प्रत्येक व्यवस्था को एक अलग क्रमचय माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास अक्षर A, B और C हैं, तो निम्नलिखित इन अक्षरों के सभी क्रमचय हैं:

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

सामान्यतः, n भिन्न वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(n) = n!$$

जहाँ n! (जिसे “n फैक्टोरियल” पढ़ा जाता है) n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, 3 वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है:

$$P(3) = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

संचय

एक संचय में, वस्तुओं का क्रम मायने नहीं रखता है। वस्तुओं के प्रत्येक समूह को एक अलग संचय माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास अक्षर A, B और C हैं, तो निम्नलिखित इन अक्षरों के सभी संचय हैं, जिन्हें एक बार में 2 लिया गया है:

• AB
• AC
• BC

सामान्यतः, n वस्तुओं के संचयों की संख्या, जिन्हें एक बार में r लिया गया है, सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$C(n, r) = \frac{P(n)}{r!(n-r)!}$$

जहाँ P(n) n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है, r! r का फैक्टोरियल है, और (n-r)! n-r का फैक्टोरियल है। उदाहरण के लिए, 3 वस्तुओं के संचयों की संख्या, जिन्हें एक बार में 2 लिया गया है, है:

$$C(3, 2) = \frac{P(3)}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2!1!} = 3$$

सारांश

निम्नलिखित तालिका क्रमचय और संचय के बीच प्रमुख अंतरों का सारांश देती है:

विशेषता	क्रमचय	संचय
क्रम मायने रखता है	हाँ	नहीं
सूत्र	$$P(n) = n!$$	$$C(n, r) = \frac{P(n)}{r!(n-r)!}$$
उदाहरण	ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA	AB, AC, BC

अनुप्रयोग

क्रमचय और संचय के विभिन्न क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• प्रायिकता: क्रमचय और संचय का उपयोग किसी समुच्चय से वस्तुओं के चयन से जुड़ी घटनाओं की प्रायिकता गणना करने में किया जाता है।
• सांख्यिकी: क्रमचय और संचय का उपयोग सांख्यिकीय प्रतिदर्शन और परिकल्पना परीक्षण में किया जाता है।
• कंप्यूटर विज्ञान: क्रमचय और संचय का उपयोग क्रमचय और संचय उत्पन्न करने वाले एल्गोरिद्मों में तथा क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग सिद्धांत में किया जाता है।
• गणित: क्रमचय और संचय का उपयोग गणित की विभिन्न शाखाओं—जैसे बीजगणित, संख्या सिद्धांत और ग्राफ सिद्धांत—में किया जाता है।

क्रमचय और संचय की संकल्पनाओं को समझना गणित और उसके अनुप्रयोगों में विस्तृत समस्या समाधान के लिए अत्यावश्यक है।

क्रमचय और संचय के उपयोग

क्रमचय और संचय गणित की दो मूलभूत संकल्पनाएँ हैं जो किसी समुच्चय से तत्वों की व्यवस्था और चयन से संबंधित हैं। ये प्रायिकता, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और जेनेटिक्स सहित विभिन्न क्षेत्रों में अनेक उपयोग रखते हैं। आइए उदाहरणों के साथ उनके उपयोगों का अन्वेषण करें:

क्रमचय:

1. व्यवस्थाओं की गिनती: क्रमचयों का उपयोग तत्वों की एक विशिष्ट क्रम में संभावित व्यवस्थाओं की संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास तीन अक्षर A, B और C हैं, तो इन अक्षरों में से 2-2 को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 3P2 = 3! / (3-2)! = 6 है। इसका अर्थ है कि छह संभावित व्यवस्थाएँ हैं: AB, AC, BA, BC, CA और CB।

2. वस्तुओं की क्रमबद्धता: क्रमचय उन स्थितियों में महत्वपूर्ण होते हैं जहाँ वस्तुओं का क्रम मायने रखता है। उदाहरण के लिए, 10 धावकों की एक दौड़ में शीर्ष तीन स्थानों के लिए संभावित क्रमचयों की संख्या 10P3 = 10! / (10-3)! = 720 है। यह दर्शाता है कि शीर्ष तीन धावकों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

3. पासवर्ड संयोजन: क्रमचयों का उपयोग सुरक्षित पासवर्ड बनाने के लिए किया जाता है। अक्षरों, संख्याओं और प्रतीकों सहित वर्णों के संभावित क्रमचयों पर विचार करके, विशाल संख्या में अद्वितीय पासवर्ड बनाए जा सकते हैं, जिससे अनधिकृत पहुँच को कठिन बनाया जा सकता है।

संचय:

1. वस्तुओं का चयन: संचयों का उपयोग किसी समूह से एक विशिष्ट संख्या में वस्तुओं को उनके क्रम की परवाह किए बिना चुनने के तरीकों की संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है। अक्षरों A, B और C के उदाहरण को आगे बढ़ाते हुए, इन अक्षरों में से 2-2 को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या 3C2 = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 है। इसका अर्थ है कि तीन संभावित संचय हैं: AB, AC और BC।

2. समितियों का चयन: किसी बड़ी आबादी से समितियाँ या समूह बनाने में संचय उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 20 सदस्यों वाले एक क्लब को 5 सदस्यों की समिति चुननी है, तो संभावित संचयों की संख्या 20C5 = 20! / (5! * (20-5)!) = 15,504 होगी।

3. प्रायिकता गणनाएँ: संचय प्रायिकता गणनाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे यह निर्धारित करने में मदद करते हैं कि यादृच्छिक चयन में विशिष्ट घटनाओं के घटित होने की संभावना क्या है। उदाहरण के लिए, यदि 100 टिकटों वाली लॉटरी में 10 टिकट निकाले जाते हैं, तो जीतने की प्रायिकता संचय का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

4. आनुवंशिकी: आनुवंशिकी में संचय लक्षणों के वंशानुक्रम का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे यह निर्धारित करने में मदद करते हैं कि माता-पिता से संतान तक कौन-से एलील के संभावित संचय पारित किए जा सकते हैं, जो आनुवंशिक विविधता और विशिष्ट लक्षणों के प्रकट होने की संभावना को प्रभावित करते हैं।

ये कुछ उदाहरण हैं क्रमचय और संचय के अनगिनत उपयोगों के। इनके अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों तक फैले हुए हैं और ये क्रमबद्धता और चयन से जुड़ी समस्याओं का विश्लेषण व समाधान करने के लिए एक शक्तिशाली साधन प्रदान करते हैं।

क्रमचय और संचय के हल किए गए उदाहरण

क्रमचय और संचय के हल किए गए उदाहरण

क्रमचय

उदाहरण 1: शब्द “apple” के अक्षरों को आप कितने भिन्न तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?

हल: शब्द “apple” में 5 अक्षर हैं, इसलिए हम क्रमचय सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

जहाँ:

• n वस्तुओं की कुल संख्या है
• r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है

इस स्थिति में, n = 5 और r = 5, इसलिए:

$$P(5, 5) = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = 120$$

इसलिए, शब्द “apple” के अक्षरों को व्यवस्थित करने के 120 भिन्न तरीके हैं।

उदाहरण 2: एक क्लब में 10 सदस्य हैं। वे अध्यक्ष, उपाध्यक्ष और सचिव चुनने के कितने भिन्न तरीके अपना सकते हैं?

हल: इस स्थिति में, हमें 10 लोगों में से 3 लोगों का चयन करना है। इसलिए, हम क्रमचय सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

जहाँ:

• n वस्तुओं की कुल संख्या है
• r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है

इस स्थिति में, n = 10 और r = 3, इसलिए:

$$P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 720$$

इसलिए, 10 सदस्यों वाले क्लब से अध्यक्ष, उपाध्यक्ष और सचिव चुनने के 720 भिन्न तरीके हैं।

संयोजन

उदाहरण 1: एक बॉक्स में 10 लाल गेंदें और 5 नीली गेंदें हैं। आप बॉक्स से 3 गेंदें कितने भिन्न तरीकों से चुन सकते हैं यदि आपको कम से कम 1 लाल गेंद चुननी है?

हल: इस स्थिति में, हमें 10 लाल गेंदों में से कम से कम 1 लाल गेंद चुननी है और शेष 2 गेंदें 5 नीली गेंदों में से चुननी हैं। इसलिए, हम संयोजन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

जहाँ:

• n वस्तुओं की कुल संख्या है
• r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है

इस स्थिति में, n = 10 + 5 = 15 और r = 3, इसलिए:

$$C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = 455$$

इसलिए, यदि आपको कम से कम 1 लाल गेंद चुननी ही है, तो बॉक्स से 3 गेंदें चुनने के 455 अलग-अलग तरीके हैं।

उदाहरण 2: एक कंपनी में 10 कर्मचारी हैं। वे कितने अलग-अलग तरीकों से 5 कर्मचारियों की एक टीम परियोजना पर काम करने के लिए चुन सकते हैं?

हल: इस स्थिति में हमें 10 कर्मचारियों के समूह से 5 कर्मचारी चुनने हैं। इसलिए हम संयोजना सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

जहाँ:

• n कुल वस्तुओं की संख्या है
• r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है

इस स्थिति में, n = 10 और r = 5, इसलिए:

$$C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = 252$$

इसलिए, 10 कर्मचारियों वाली कंपनी से 5 कर्मचारियों की टीम चुनने के 252 अलग-अलग तरीके हैं।

क्रमचय और संयोजन – अभ्यास प्रश्न

क्रमचय और संयोजन – अभ्यास प्रश्न

1. एक थैले में 10 लाल गेंदें, 15 नीली गेंदें और 20 हरी गेंदें हैं। आप थैले से 5 गेंदें कितने तरीकों से चुन सकते हैं यदि:

a) कोई प्रतिबंध नहीं है?

b) आपको कम से कम 1 लाल गेंद चुननी ही है?

c) आपको ठीक 2 नीली गेंदें चुननी ही हैं?

हल:

a) थैले से बिना किसी प्रतिबंध के 5 गेंदें चुनने के कुल तरीकों की गणना करने के लिए हम संयोजना सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

C(n, r) = n! / (n - r)! / r!

जहाँ n कुल वस्तुओं की संख्या है, r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है, और ! क्रमगुणित फलन को दर्शाता है।

इस स्थिति में, n = 10 + 15 + 20 = 45 और r = 5 है।

C(45, 5) = 45! / (45 - 5)! / 5! = 45! / 40! / 5! = 1,221,759

इसलिए, बिना किसी प्रतिबंध के थैले से 5 गेंदों को चुनने के 1,221,759 तरीके हैं।

b) थैले से कम-से-कम 1 लाल गेंद के साथ 5 गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या निकालने के लिए, हम पहले 10 लाल गेंदों में से 1 लाल गेंद चुन सकते हैं। यह 10 तरीकों से किया जा सकता है।

एक बार जब हम 1 लाल गेंद चुन लेते हैं, तो हमें शेष 34 गेंदों (15 नीली गेंदें + 20 हरी गेंदें) में से 4 और गेंदें चुननी होती हैं। यह C(34, 4) तरीकों से किया जा सकता है।

इसलिए, थैले से कम-से-कम 1 लाल गेंद के साथ 5 गेंदों को चुनने के कुल तरीके:

10 * C(34, 4) = 10 * 10,626 = 106,260

c) थैले से ठीक 2 नीली गेंदों के साथ 5 गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या निकालने के लिए, हम पहले 15 नीली गेंदों में से 2 नीली गेंदें चुन सकते हैं। यह C(15, 2) तरीकों से किया जा सकता है।

एक बार जब हम 2 नीली गेंदें चुन लेते हैं, तो हमें शेष 30 गेंदों (10 लाल गेंदें + 20 हरी गेंदें) में से 3 और गेंदें चुननी होती हैं। यह C(30, 3) तरीकों से किया जा सकता है।

इसलिए, थैले से ठीक 2 नीली गेंदों के साथ 5 गेंदों को चुनने के कुल तरीके:

C(15, 2) * C(30, 3) = 105 * 4060 = 426,300

2. 10 पुरुषों और 8 महिलाओं के एक समूह से 5 लोगों की एक समिति बनाई जानी है। कितनी भिन्न समितियाँ संभव हैं यदि:

a) कोई प्रतिबंध नहीं है?

b) समिति में कम-से-कम 2 महिलाएँ होनी चाहिए?

c) समिति में पुरुषों और महिलाओं की संख्या बराबर होनी चाहिए?

हल:

a) 10 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह से बिना किसी प्रतिबंध के 5 लोगों की एक समिति बनाने के कुल तरीकों की गणना करने के लिए, हम संयोजन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

C(n, r) = n! / (n - r)! / r!

इस मामले में, n = 10 + 8 = 18 और r = 5 है।

C(18, 5) = 18! / (18 - 5)! / 5! = 18! / 13! / 5! = 8,568

इसलिए, 10 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह से बिना किसी प्रतिबंध के 8,568 विभिन्न समितियाँ बनाई जा सकती हैं।

b) समूह से कम से कम 2 महिलाओं के साथ 5 लोगों की एक समिति बनाने के तरीकों की गणना करने के लिए, हम पहले 8 महिलाओं में से 2 महिलाओं का चयन कर सकते हैं। यह C(8, 2) तरीकों से किया जा सकता है।

एक बार जब हमने 2 महिलाओं का चयन कर लिया, तो हमें शेष 16 लोगों (10 पुरुष + 6 महिलाएं) में से 3 और लोगों का चयन करना होगा। यह C(16, 3) तरीकों से किया जा सकता है।

इसलिए, समूह से कम से कम 2 महिलाओं के साथ 5 लोगों की एक समिति बनाने के कुल तरीके हैं:

C(8, 2) * C(16, 3) = 28 * 560 = 15,680

c) समूह से समान संख्या में पुरुषों और महिलाओं के साथ 5 लोगों की एक समिति बनाने के तरीकों की गणना करने के लिए, हम पहले 10 पुरुषों में से 3 पुरुषों का चयन कर सकते हैं। यह C(10, 3) तरीकों से किया जा सकता है।

एक बार जब हमने 3 पुरुषों का चयन कर लिया, तो हमें 8 महिलाओं में से 2 महिलाओं का चयन करना होगा। यह C(8, 2) तरीकों से किया जा सकता है।

इसलिए, समूह से समान संख्या में पुरुषों और महिलाओं के साथ 5 लोगों की एक समिति बनाने के कुल तरीके हैं:

C(10, 3) * C(8, 2) = 120 * 28 = 3,360

क्रमपरिवर्तन और संयोजन पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्रमचय और संचय से आपका क्या तात्पर्य है?

क्रमचय और संचय गणित की दो मूलभूत अवधारणाएँ हैं जो किसी समुच्चय से तत्वों की व्यवस्था और चयन से संबंधित हैं। यद्यपि दोनों किसी समुच्चय से वस्तुओं के चयन से जुड़े हैं, वे चयन के तरीके और तत्वों के क्रम को ध्यान में रखने के तरीके में भिन्न होते हैं।

क्रमचय

क्रमचय में, तत्वों के चयन और व्यवस्था का क्रम मायने रखता है। तत्वों की प्रत्येक विशिष्ट व्यवस्था को एक भिन्न क्रमचय माना जाता है। n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं के एक साथ लिए जाने वाले क्रमचयों की संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(n, r) = n! / (n - r)!$$

जहाँ:

• P(n, r) n वस्तुओं में से r वस्तुओं के एक साथ लिए जाने वाले क्रमचयों की संख्या को दर्शाता है।
• n! n का गुणांक है, जो n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।
• (n - r)! n - r का गुणांक है, जो n - r से 1 तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।

उदाहरण:

मान लीजिए आपके पास 4 भिन्न अक्षरों का एक समुच्चय है: A, B, C और D। इन अक्षरों में से 2-2 को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग करते हैं:

$$P(4, 2) = 4! / (4 - 2)!$$

$$P(4, 2) = 4! / 2!$$

$$P(4, 2) = (4 \times 3 \times 2 \times 1) / (2 \times 1)$$

$$P(4, 2) = 12'

इस प्रकार, 4 अक्षरों में से 2-2 को लेकर बनने वाले 12 भिन्न क्रमचय हैं। इन क्रमचयों में शामिल हैं:

• AB
• AC
• AD
• BA
• BC
• BD
• CA
• CB
• CD
• DA
• DB
• DC

संचय

एक संयोजन में, तत्वों को चुने जाने का क्रम मायने नहीं रखता। केवल तत्वों का चयन मायने रखता है। n भिन्न वस्तुओं में से एक समय में r वस्तुओं के संयोजनों की संख्या निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$C(n, r) = n! / (r! \times (n - r)!)$$

जहाँ:

• C(n, r) n वस्तुओं में से एक समय में r वस्तुओं के संयोजनों की संख्या को दर्शाता है।
• n! n का गुणांक है, जो n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।
• r! r का गुणांक है, जो r तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।
• (n - r)! n - r का गुणांक है, जो n - r से 1 तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है।

उदाहरण:

4 भिन्न अक्षरों के समान समुच्चय का उपयोग करते हुए: A, B, C और D, आइए इन अक्षरों के 2-2 समय में लिए गए संयोजनों की संख्या ज्ञात करें। हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$C(4, 2) = 4! / (2! \times (4 - 2)!)$$

$$C(4, 2) = 4! / (2! \times 2!)$$

$$C(4, 2) = (4 \times 3 \times 2 \times 1) / ((2 \times 1) \times (2 \times 1))$$

$$C(4, 2) = 6$$

इसलिए, 4 अक्षरों के 2-2 समय में लिए गए 6 भिन्न संयोजन हैं। इन संयोजनों में शामिल हैं:

• AB
• AC
• AD
• BC
• BD
• CD

संक्षेप में, क्रमचय चयन और व्यवस्था के क्रम को ध्यान में रखते हैं, जबकि संचय केवल तत्वों के चयन को ध्यान में रखता है क्रम की परवाह किए बिना। क्रमचय का उपयोग तब किया जाता है जब क्रम मायने रखता है, जैसे अक्षरों को शब्द बनाने की व्यवस्था या घटनाओं के क्रम का निर्धारण। संचय का उपयोग तब किया जाता है जब क्रम मायने नहीं रखता, जैसे किसी बड़े समूह से लोगों के एक समूह का चयन या संग्रह से वस्तुओं के एक समूह का चयन।

क्रमचय और संचय के उदाहरण दें।

क्रमचय

गणित में, एक क्रमचय किसी समुच्चय के तत्वों की एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्था है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास समुच्चय {1, 2, 3} है, तो इस समुच्चय के क्रमचय हैं:

• (1, 2, 3)
• (1, 3, 2)
• (2, 1, 3)
• (2, 3, 1)
• (3, 1, 2)
• (3, 2, 1)

n तत्वों वाले समुच्चय के क्रमचयों की संख्या सूत्र n! द्वारा दी जाती है। इसलिए, उपरोक्त उदाहरण में, समुच्चय {1, 2, 3} के 3! = 6 क्रमचय हैं।

संचय

गणित में, एक संचय किसी समुच्चय से तत्वों का एक ऐसा चयन है जिसमें क्रम की परवाह नहीं की जाती। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास समुच्चय {1, 2, 3} है, तो इस समुच्चय के संचय हैं:

• (1, 2)
• (1, 3)
• (2, 3)

n तत्वों वाले समुच्चय से r तत्वों को एक बार में लिए गए संचयों की संख्या सूत्र nCr = n! / (r!(n - r)!) द्वारा दी जाती है। इसलिए, उपरोक्त उदाहरण में, समुच्चय {1, 2, 3} से 2-2 तत्वों को लिए गए 3C2 = 3! / (2!1!) = 3 संचय हैं।

क्रमचय और संचय के उदाहरण

यहाँ क्रमचय और संचय के कुछ वास्तविक जीवन के उदाहरण दिए गए हैं:

• क्रमचय:
  • वह क्रम जिसमें लोग दौड़ खत्म करते हैं।
  • वह क्रम जिसमें अक्षरों को एक शब्द में व्यवस्थित किया जाता है।
  • वह क्रम जिसमें ताश की गड्डी से पत्ते बांटे जाते हैं।
• संचय:
  • 10 लोगों के समूह से 5 लोगों को चुनने के विभिन्न तरीके।
  • 10 स्वादों की सूची से आइसक्रीम के 3 स्वाद चुनने के विभिन्न तरीके।
  • 5 टॉपिंग्स की सूची से पिज़्ज़ा के लिए 2 टॉपिंग्स चुनने के विभिन्न तरीके।

क्रमचय और संचय का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें प्रायिकता, सांख्यिकी और कंप्यूटर विज्ञान शामिल हैं।

क्रमचय और संचय के सूत्र क्या हैं?

क्रमचय

गणित में, क्रमचय किसी वस्तुओं के समुच्चय को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना है। n वस्तुओं के समुच्चय के क्रमचयों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

जहाँ:

• P(n, r) एक समय में r वस्तुओं को लेकर n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है
• n! n का गुणांक है, जो n तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है
• (n-r)! n-r का गुणांक है, जो n-r तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है

उदाहरण के लिए, 5 वस्तुओं के 3 वस्तुओं को लेकर क्रमचयों की संख्या है:

$$P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$$

इसका अर्थ है कि 5 वस्तुओं में से 3 वस्तुओं को लेकर व्यवस्थित करने के 60 विभिन्न तरीके हैं।

संचय

संचय किसी समुच्चय से वस्तुओं का चयन है जिसमें क्रम की परवाह नहीं की जाती है। n वस्तुओं के समुच्चय से एक समय में r वस्तुओं को लेकर संचयों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

जहाँ:

• C(n, r) किसी समय r वस्तुओं को लिए गए n वस्तुओं के संयोजनों की संख्या है
• n! n का गुणांक है, जो n तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है
• r! r का गुणांक है, जो r तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है
• (n-r)! n-r का गुणांक है, जो n-r तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है

उदाहरण के लिए, 5 वस्तुओं में से 3 वस्तुओं को एक साथ लिए जाने वाले संयोजनों की संख्या है:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6} = 20$$

इसका अर्थ है कि 5 वस्तुओं के समूह से 3 वस्तुओं को क्रम की परवाह किए बिना चुनने के 20 भिन्न तरीके हैं।

उदाहरण

मान लीजिए आपके पास 5 अक्षरों का एक समूह है: A, B, C, D और E। इन अक्षरों में से 3 अक्षरों को एक साथ लिए जाने वाले क्रमचयों की संख्या है:

$$P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$$

इसका अर्थ है कि इन अक्षरों में से 3 अक्षरों को एक साथ लेने के 60 भिन्न तरीके हैं। इन क्रमचयों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

इन अक्षरों में से 3 अक्षरों को एक साथ लिए जाने वाले संयोजनों की संख्या है:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6} = 20$$

इसका अर्थ है कि इस समूह से 3 अक्षरों को क्रम की परवाह किए बिना चुनने के 20 भिन्न तरीके हैं। इन संयोजनों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• ABC
• ABD
• ABE
• ACD
• ACE
• ADE
• BCD
• BCE
• BDE
• CDE

क्रमचय और संयोजन के वास्तविक जीवन के उदाहरण क्या हैं?

क्रमचय और संचय गणित की दो मौलिक अवधारणाएँ हैं जो किसी समुच्चय से अवयवों की व्यवस्था और चयन से संबंधित हैं। ये विभिन्न वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में अनेक अनुप्रयोग पाते हैं। उनके उपयोग को दर्शाने के लिए यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

क्रमचय:

1. वस्तुओं की क्रमबद्धता: मान लीजिए आपके पास 10 पुस्तकों की एक बुकशेल्फ है। इन पुस्तकों को शेल्फ पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या एक क्रमचय है। 10! (10 फैक्टोरियल) संभावित क्रमचय हैं, जो 3,628,800 तरीके हैं।

2. खेल टीमें: 12 टीमों वाली एक खेल लीग में, विजेता, उपविजेता और तीसरे स्थान को निर्धारित करने के तरीकों की संख्या एक क्रमचय है। 12! / (12-3)! = 1320 संभावित क्रमचय हैं।

3. पासवर्ड: जब आप कोई पासवर्ड बनाते हैं, तो आप वर्णों के एक समुच्चय (जैसे अक्षर, अंक, प्रतीक) में से चयन कर सकते हैं। लंबाई 8 के संभावित पासवर्डों की संख्या एक क्रमचय है। यदि 95 उपलब्ध वर्ण हैं, तो 95^8 संभावित पासवर्ड हैं।

संचय:

1. समिति सदस्यों का चयन: मान लीजिए आपको 10 लोगों के समूह से 5 सदस्यों की एक समिति चुननी है। ऐसा करने के तरीकों की संख्या एक संचय है। 10C5 = 252 संभावित संचय हैं।

2. लॉटरी: एक लॉटरी में जहाँ आपको 49 की एक समुच्चय से 6 संख्याएँ चुननी हैं, संभावित विजेता संचयों की संख्या एक संचय है। 49C6 = 13,983,816 संभावित संचय हैं।

3. हाथ मिलाना: 10 लोगों की एक पार्टी में, प्रत्येक युग्म के बीच संभावित हाथ मिलानों की संख्या एक संयोजन है। यहाँ 10C2 = 45 संभावित हाथ मिलाने हैं।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि किस प्रकार क्रमचय और संयोजन विभिन्न वास्तविक जीवन की परिस्थितियों में संभावित व्यवस्थाओं या चयनों की संख्या निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन अवधारणाओं को समझना प्रायिकता, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और अन्य कई क्षेत्रों में अत्यावश्यक है।

क्रमचय और संयोजन के बीच संबंध लिखिए।

क्रमचय और संयोजन के बीच संबंध

क्रमचय और संयोजन संयोजनिकी के दो मौलिक सिद्धांत हैं, वह गणित की शाखा जो वस्तुओं के चयन और व्यवस्था से संबंधित है। दोनों अवधारणाएँ किसी समुच्चय से वस्तुओं के चयन से संबंधित हैं, परंतु वस्तुओं की व्यवस्था के तरीके में भिन्न हैं।

क्रमचय

क्रमचय वस्तुओं की एक क्रमबद्ध व्यवस्था है। वस्तुओं की जिस क्रम में व्यवस्था की गई है, वह महत्वपूर्ण होती है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास अक्षर A, B और C हैं, तो इन अक्षरों के छह संभावित क्रमचय हैं:

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

सामान्यतः, n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(n) = n!$$

जहाँ n! (जिसे “n फैक्टोरियल” पढ़ा जाता है) n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, 3! = 3 × 2 × 1 = 6।

संयोजन

एक संयोजन वस्तुओं का ऐसा चयन है जिसमें क्रम की परवाह नहीं की जाती। वस्तुओं को जिस क्रम में चुना जाता है, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास अक्षर A, B और C हैं, तो इन अक्षरों के तीन संभावित संयोजन हो सकते हैं:

• AB
• AC
• BC

सामान्यतः, n वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$C(n, r) = \frac{P(n)}{P(r)P(n-r)}$$

जहाँ P(n) n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है, P(r) r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है, और P(n-r) n-r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, 5 वस्तुओं में से 3 वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या है:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10$$

क्रमचयों और संयोजनों के बीच संबंध

क्रमचयों और संयोजनों के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र से देखा जा सकता है:

$$C(n, r) = \frac{P(n)}{P(r)P(n-r)}$$

यह सूत्र दर्शाता है कि n वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक साथ लेने के संयोजनों की संख्या, n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या को r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या और n-r वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या के गुणनफल से विभाजित करने पर बराबर होती है।

दूसरे शब्दों में, n वस्तुओं के समूह से r वस्तुओं को क्रम की परवाह किए बिना चुनने के तरीकों की संख्या, r वस्तुओं को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या को शेष n-r वस्तुओं को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या से विभाजित करने पर बराबर होती है।

उदाहरण

मान लीजिए हमारे पास 10 लोगों का एक समूह है और हम 3 लोगों की एक समिति चुनना चाहते हैं। समिति चुनने के 10C3 = 120 तरीके हैं। यदि हम समिति के सदस्यों को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना चाहते हैं, तो ऐसा करने के 3! = 6 तरीके हैं। इसलिए, समिति के सदस्यों को चुनने और व्यवस्थित करने के 120 x 6 = 720 तरीके हैं।

गणित में क्रमचय और संचय के अनुप्रयोग दीजिए।

क्रमचय और संचय गणित के दो मौलिक अवधारणाएं हैं जो किसी समुच्चय से तत्वों की व्यवस्था और चयन से संबंधित हैं। इनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें प्रायिकता, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और क्रिप्टोग्राफी शामिल हैं। यहाँ उनके अनुप्रयोगों की कुछ विस्तृत व्याख्याएँ और उदाहरण दिए गए हैं:

1. क्रमचय:

क्रमचय किसी विशिष्ट क्रम में तत्वों की व्यवस्था को दर्शाते हैं। n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक बार में लेने पर क्रमचयों की संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$P(n, r) = n! / (n - r)!$$

अनुप्रयोग:

• व्यवस्थाओं की गणना: क्रमचयों का उपयोग वस्तुओं की विशिष्ट क्रम में संभावित व्यवस्थाओं की संख्या गिनने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास अलमारी में व्यवस्थित करने के लिए 5 पुस्तकें हैं, तो ऐसा करने के तरीकों की संख्या P(5, 5) = 5! = 120 द्वारा दी जाती है।

• पासवर्ड संयोजन: क्रमचयों का उपयोग सुरक्षित पासवर्ड बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप अंकों 0 से 9 का उपयोग करके 4-अंकीय PIN बनाते हैं, तो संभावित PINs की संख्या P(10, 4) = 5040 द्वारा दी जाती है।

• खेलों की अनुसूची: क्रमचयों का उपयोग खेल टूर्नामेंटों के लिए अनुसूची बनाने में किया जाता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम के खिलाफ ठीक एक बार खेले।

2. संयोजन:

संयोजन उन तत्वों के चयन को संदर्भित करते हैं जिनमें उनके क्रम की परवाह नहीं की जाती है। n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं के संयोजनों की संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$C(n, r) = n! / (r! (n - r)!)$$

अनुप्रयोग:

• समितियों का चयन: संयोजनों का उपयोग n लोगों के समूह से r सदस्यों की समिति चुनने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको 10 लोगों के समूह से 3-व्यक्ति की समिति चुननी है, तो संभावित समितियों की संख्या C(10, 3) = 120 द्वारा दी जाती है।

• लॉटरी ड्रॉ: संयोजनों का उपयोग लॉटरी ड्रॉ में जीतने वाले संयोजनों को निर्धारित करने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक लॉटरी में जहाँ आप 49 की पूल से 6 संख्याएँ चुनते हैं, संभावित जीतने वाले संयोजनों की संख्या C(49, 6) = 13,983,816 द्वारा दी जाती है।

• प्रायिकता गणनाएँ: संयोजनों का उपयोग प्रायिकता गणनाओं में कुछ घटनाओं के घटित होने की संभावना निर्धारित करने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप दो पासे फेंकते हैं, तो 7 का योग प्राप्त करने की प्रायिकता 7 का योग प्राप्त करने के तरीकों की संख्या को कुल संभावित परिणामों की संख्या से विभाजित करके दी जाती है। इसे संयोजनों का उपयोग करके इस प्रकार गणना की जा सकती है:

7 का योग प्राप्त करने के तरीकों की संख्या = C(6, 2) = 15 कुल संभावित परिणामों की संख्या = 6 * 6 = 36 7 का योग प्राप्त करने की प्रायिकता = 15/36 = 5/12

ये गणित में क्रमचय और संचय के अनगिनत अनुप्रयोगों के कुछ उदाहरण मात्र हैं। ये तत्वों की गिनती, चयन और व्यवस्था के लिए शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं, और विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक उपयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला रखते हैं।

गुणांक सूत्र क्या है?

एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का गुणांक, जिसे n! द्वारा दर्शाया जाता है, n से छोटे या उसके बराबर सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। उदाहरण के लिए, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120।

गुणांक फंक्शन के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। पहला, 0! = 1। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी संख्या का गुणनफल 1 परिभाषित किया जाता है। दूसरा, n! = n × (n-1)!। ऐसा इसलिए है क्योंकि n का गुणांक n और (n-1) के गुणांक का गुणनफल होता है।

गुणांक फंक्शन का उपयोग विभिन्न गणितीय अनुप्रयोगों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग n वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या की गणना के लिए किया जाता है। इसका उपयोग n वस्तुओं के समूह से r वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या की गणना के लिए भी किया जाता है।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि गुणांक फंक्शन का उपयोग कैसे किया जाता है:

• 5 लोगों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 है।
• 10 लोगों के समूह से 3 लोगों के चयन के तरीकों की संख्या 10! / (3! × 7!) = 120 है।
• सिक्का उछालते समय लगातार 6 बार चित आने की प्रायिकता (1/2)^6 = 1/64 है।

गुणांक फंक्शन एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। इसका प्रभावी उपयोग करने के लिए गुणांक फंक्शन के गुणों को समझना महत्वपूर्ण है।

nCr क्या दर्शाता है?

nCr क्या दर्शाता है?

कॉम्बिनेटोरिक्स में, nCr किसी n तत्वों के समुच्चय से r तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है, जहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता। इसे द्विपद गुणांक (binomial coefficient) भी कहा जाता है।

nCr का सूत्र है:

$$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

जहाँ:

• n समुच्चय में कुल तत्वों की संख्या है
• r चुने जाने वाले तत्वों की संख्या है
• ! क्रमगुणिता (factorial) फलन को दर्शाता है

उदाहरण:

मान लीजिए आपके पास 5 लोगों का एक समूह है और आप उनमें से 3 को एक समिति बनाने के लिए चुनना चाहते हैं। इसके 10 संभावित तरीके हैं:

• ABC
• ABD
• ABE
• ACF
• ACD
• ACE
• BCF
• BCD
• BCE
• CDE

इनमें से प्रत्येक संयोजन 5 लोगों के समूह से 3 लोगों को चुनने का एक अलग तरीका दर्शाता है।

nCr के अनुप्रयोग

nCr का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• किसी प्रायोगिक प्रायिकता में संभावित परिणामों की संख्या गिनना
• किसी जनसंख्या से यादृच्छिक नमूना चुनना
• प्रयोगों की रचना करना
• आँकड़ों का विश्लेषण करना

अतिरिक्त उदाहरण

यहाँ nCr के उपयोग के कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं:

• एक कंपनी के पास 10 कर्मचारी हैं और वह उनमें से 3 को एक सम्मेलन में भेजना चाहती है। इसके 120 संभावित तरीके हैं।
• 100 लोगों पर एक सर्वेक्षण किया गया और पाया गया कि 20 लोग धूम्रपान करते हैं। नमूने से एक धूम्रपान करने वाले को चुनने की प्रायिकता 20/100 = 0.2 है।
• एक दवा का परीक्षण 100 रोगियों पर किया गया और 60 रोग ठीक हो गए। दवा की प्रभावशीलता 60/100 = 0.6 है।

nCr एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग संयोजन और प्रायिकता में विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।