बहुपद

बहुपद बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनमें चर, गुणांक और घातांक होते हैं। इनका उपयोग समीकरण, फलन और ज्यामितीय आकृतियों सहित विभिन्न गणितीय संकल्पनाओं को दर्शाने के लिए किया जाता है। बहुपदों को उनकी घात के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है, जो चर के उच्चतम घातांक को दर्शाती है। रैखिक बहुपदों की घात 1 होती है, द्विघात बहुपदों की घात 2 होती है, और त्रिघात बहुपदों की घात 3 होती है। बहुपदों को अन्य बीजगणितीय व्यंजकों की तरह जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। इन्हें आलेखित भी किया जा सकता है, जिससे उनके व्यवहार को देखने में मदद मिलती है। बहुपदों का उपयोग गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें कलन, भौतिकी और अभियांत्रिकी शामिल हैं।

बहुपद क्या है?

बहुपद क्या है?

बहुपद एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों के योग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और एक चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के गुणनफल का होता है। अचर को पद का गुणांक कहा जाता है, और चर को पद का आधार कहा जाता है। उदाहरण के लिए, निम्न सभी बहुपद हैं:

• $3x^2 + 2x - 5$
• $x^3 - 2x^2 + 4x - 1$
• $5$

बहुपद का मानक रूप

बहुपद का मानक रूप एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों को उनके घातांकों के अनुसार अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। घात n वाले बहुपद का सामान्य रूप इस प्रकार है:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

जहाँ a_n, a_n-1, …, a₁, और a₀ स्थिरांक हैं और x चर है।

उदाहरण के लिए, बहुपद 3x² - 2x + 1 का मानक रूप है:

P(x) = 3x² - 2x + 1

बहुपद की घात

बहुपद की घात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। उदाहरण के लिए, बहुपद $$3x^2 + 2x - 5$$ की घात 2 है क्योंकि चर x की सबसे बड़ी घात 2 है।

उदाहरण

• बहुपद $$3x^2 + 2x - 5$$ की घात 2 है। इसका अर्थ है कि बहुपद में अधिकतम 2 मूल हो सकते हैं और बहुपद का अंत व्यवहार x^2 के समान है।
• बहुपद $$x^3 - 2x^2 + 3x - 4$$ की घात 3 है। इसका अर्थ है कि बहुपद में अधिकतम 3 मूल हो सकते हैं और बहुपद का अंत व्यवहार x^3 के समान है।
• बहुपद $$2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6$$ की घात 4 है। इसका अर्थ है कि बहुपद में अधिकतम 4 मूल हो सकते हैं और बहुपद का अंत व्यवहार x^4 के समान है।

बहुपद के पद

एक बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जो पदों के योग से बना होता है। प्रत्येक पद एक गुणांक और चर के घातांक के गुणनफल का होता है, जहाँ घातांक एक ऋणात्मक नहीं पूर्णांक होता है। गुणांक एक संख्यात्मक या स्थिर गुणनखंड होता है, और चर एक ऐसा अक्षर होता है जो एक अज्ञात राशि को दर्शाता है। चर की घात दर्शाती है कि वह स्वयं से कितनी बार गुणा हुआ है।

उदाहरण के लिए, बहुपद $3x^2 + 2x - 5$ में तीन पद होते हैं: $3x^2$, $2x$, और $-5$। पहले पद का गुणांक 3 है, दूसरे पद का गुणांक 2 है, और तीसरे पद का गुणांक -5 है। प्रत्येक पद में चर $x$ है, और $x$ की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं।

बहुपदों के प्रकार

एक बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जो पदों के योग से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और किसी चर की एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक घात के गुणनफल का होता है। बहुपद की घात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात होती है।

बहुपदों के कई अलग-अलग प्रकार होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएँ होती हैं। बहुपदों के कुछ सबसे सामान्य प्रकारों में शामिल हैं:

• रैखिक बहुपद डिग्री 1 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax + b$$, जहाँ $a$ और $b$ नियतांक होते हैं। उदाहरण के लिए, $3x + 2$ एक रैखिक बहुपद है।
• द्विघात बहुपद डिग्री 2 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax^2 + bx + c$$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ नियतांक होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^2 + 2x + 1$ एक द्विघात बहुपद है।
• त्रिघात बहुपद डिग्री 3 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax^3 + bx^2 + cx + d$$, जहाँ $a$, $b$, $c$, और $d$ नियतांक होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ एक त्रिघात बहुपद है।
• चतुर्थ बहुपद डिग्री 4 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$$, जहाँ $a$, $b$, $c$, $d$, और $e$ नियतांक होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$ एक चतुर्थ बहुपद है।

बहुपदों के उदाहरण

यहाँ विभिन्न डिग्रियों के बहुपदों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• रैखिक बहुपद: $3x + 2$
• द्विघात बहुपद: $x^2 + 2x + 1$
• त्रिघात बहुपद: $x^3 + 2x^2 + 3x + 4$
• चतुर्थ बहुपद: $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$

बहुपदों के गुणधर्म

बहुपदों के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• दो बहुपदों का योग एक बहुपद होता है।
• दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद होता है।
• एक बहुपद को एक एकपदी (एक पद वाला बहुपद) से भाग दिया जा सकता है, जिससे एक भागफल और एक शेष प्राप्त होते हैं, दोनों बहुपद होते हैं।
• एक बहुपद का अवकलज एक बहुपद होता है।
• एक बहुपद का समाकल एक बहुपद होता है।

बहुपद समीकरण

बहुपद समीकरण बीजगणितीय समीकरण होते हैं जिनमें एक या अधिक चर घातांक के रूप में पूर्ण संख्या घातों पर होते हैं। इन्हें अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0$

जहाँ:

• $a_n$ उच्चतम घात पद का गुणांक है
• $x$ चर है
• $n$ समीकरण की घात है

बहुपद फलन

बहुपद फलन एक प्रकार के फलन होते हैं जिन्हें पदों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और स्वतंत्र चर की घात का गुणनफल होता है। बहुपद फलन का सामान्य रूप है:

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0$

जहाँ:

• $a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0$ अचर हैं
• $x$ स्वतंत्र चर है
• $n$ एक ऋणेतर पूर्णांक है

बहुपद हल करना

बहुपद हल करने में चर के ऐसे मान खोजने शामिल होते हैं जिनके लिए बहुपद शून्य के बराबर हो जाता है। बहुपद बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनमें चर ऋणेतर पूर्णांक घातों पर होते हैं और जिन्हें जोड़, घटाव और गुणा द्वारा संयोजित किया जाता है। बहुपदों को हल करना विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, जिनमें गुणनखंडन, सिंथेटिक विभाजन और संख्यात्मक विधियाँ शामिल हैं।

. गुणनखंडन: गुणनखंडन एक विधि है जिसमें बहुपद को सरल बहुपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है। जब कोई बहुपद गुणनखंडित हो जाता है, तो इसके मूल खोजना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद पर विचार करें:

$$x^2 - 5x + 6$$

हम इस बहुपद को दो ऐसी संख्याएँ खोजकर गुणनखंडित कर सकते हैं जो योग में -5 और गुणा में 6 दें। ये संख्याएँ -2 और -3 हैं, इसलिए हम लिख सकते हैं:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

अब, हम बहुपद के मूल प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर ज्ञात कर सकते हैं:

$$x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

$$x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

इसलिए, बहुपद $x^2 - 5x + 6$ के मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।

बहुपद संक्रियाएँ

बहुपदों पर संक्रियाएँ

बहुपदों को अन्य बीजगणितीय व्यंजकों की तरह जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है।

• दो बहुपदों को जोड़ने के लिए, बस समान पदों को जोड़ें। उदाहरण के लिए,

$$(x^2 + 2x - 3) + (3x^2 - 2x + 5) = 4x^2 + 5$$

• दो बहुपदों को घटाने के लिए, बस समान पदों को घटाएँ। उदाहरण के लिए,

$$(x^2 + 2x - 3) - (3x^2 - 2x + 5) = -2x^2 + 4x - 8$$

• दो बहुपदों को गुणा करने के लिए, वितरण गुणधर्म और FOIL विधि का प्रयोग करें। उदाहरण के लिए,

$$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$

• दो बहुपदों को विभाजित करने के लिए, लंबी विभाजन विधि का प्रयोग करें। उदाहरण के लिए,

$$\frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = x + 3$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQs

बहुपद क्या है?

बहुपद क्या है?

एक बहुपद एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों के योग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और किसी चर के अ-ऋणात्मक पूर्णांक घात के गुणनफल होता है। अचर को पद का गुणांक कहा जाता है, और चर को पद का आधार कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, निम्न सभी बहुपद हैं:

• $3x^2 + 2x - 5$
• $x^3 - 2x^2 + 4x - 1$
• $5$

पहले बहुपद की घात 2 है, दूसरे बहुपद की घात 3 है, और तीसरे बहुपद की घात 0 है।

बहुपद का मानक रूप क्या है?

बहुपद का मानक रूप एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों को उनके घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। घात n वाले बहुपद का सामान्य रूप:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

है, जहाँ a_n, a_n-1, …, a₁, और a₀ अचर हैं और x चर है।

उदाहरण के लिए, बहुपद 3x² - 2x + 1 का मानक रूप:

P(x) = 3x² - 2x + 1

यहाँ मानक रूप में कुछ अतिरिक्त बहुपदों के उदाहरण दिए गए हैं:

• x³ - 2x² + 3x - 4
• 2x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x - 1
• -x⁵ + 2x³ - 3x² + 4x - 5

शून्य और अचर बहुपद की घात क्या होती है?

बहुपद की घात

बहुपद की घात बहुपद में चर का सबसे बड़ा घातांक होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $$3x^2 + 2x - 5$$ की घात 2 है, क्योंकि चर x का सबसे बड़ा घातांक 2 है।

शून्य बहुपद की घात

शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि शून्य बहुपद ऐसा बहुपद होता है जिसमें कोई पद नहीं होता, और इसलिए कोई चर भी नहीं होता। उदाहरण के लिए, बहुपद 0 की घात अपरिभाषित है।

अचर बहुपद की घात

अचर बहुपद की घात 0 होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अचर बहुपद ऐसा बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है, और वह पद एक अचर होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद 5 की घात 0 है।

उदाहरण

यहाँ कुछ बहुपद और उनकी घातों के उदाहरण दिए गए हैं:

• $x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ की घात 3 है।
• $2x^2 - 3x + 4$ की घात 2 है।
• $5x - 2$ की घात 1 है।
• $7$ की घात 0 है।
• $0$ की घात अपरिभाषित है।

क्या 8 एक बहुपद है?

हाँ, 8 एक अचर बहुपद है और इसकी घात 0 है।

तो, क्या 8 एक बहुपद है?

बहुपदों को जोड़ना और घटाना कैसे करें?

बहुपदों को जोड़ना और घटाना समान पदों को संयोजित करने और परिणामी व्यंजक को सरल बनाने पर आधारित होता है। यहाँ चरणबद्ध व्याख्या उदाहरणों के साथ दी गई है:

बहुपदों को जोड़ना:

1. समान पदों की पहचान करें: समान पद वे पद होते हैं जिनमें चर(चरों) की घात समान हो। उदाहरण के लिए, बहुपदों $3x^2 + 2x - 5$ और $4x^2 - 3x + 7$ में, समान पद $3x^2$ और $4x^2$, $2x$ और $-3x$, और $-5$ और $7$ हैं।

2. समान पदों को समूहित करें: प्रत्येक बहुपद में समान पदों को एक साथ समूहित करें।

3. गुणांक जोड़ें: समान पदों के गुणांक जोड़ें। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए बहुपदों में हमारे पास है: $(3x^2 + 4x^2) + (2x - 3x) + (-5 + 7)$

4. सरल करें: समान पदों को मिलाकर व्यंजक को सरल करें। $(3x^2 + 4x^2)$ बन जाता है $7x^2$ $(2x - 3x)$ बन जाता है $-x$ $(-5 + 7)$ बन जाता है $2$

5. परिणाम लिखें: सरलीकृत व्यंजक को बहुपदों के योग के रूप में लिखें। $7x^2 - x + 2$

बहुपद घटाना:

1. समान पदों की पहचान करें: दोनों बहुपदों में समान पदों की पहचान करें।

2. समान पदों को समूहित करें: प्रत्येक बहुपद में समान पदों को एक साथ समूहित करें।

3. गुणांक घटाएं: समान पदों के गुणांक घटाएं। उदाहरण के लिए, बहुपदों $5x^2 - 2x + 3$ और $2x^2 + 4x - 5$ में हमारे पास है: $(5x^2 - 2x^2) + (-2x - 4x) + (3 - (-5))$

4. सरल करें: समान पदों को मिलाकर व्यंजक को सरल करें। $(5x^2 - 2x^2)$ बन जाता है $3x^2$ $(-2x - 4x)$ बन जाता है $-6x$ $(3 - (-5))$ बन जाता है $8$

5. परिणाम लिखें: सरलीकृत व्यंजक को बहुपदों के अंतर के रूप में लिखें। $3x^2 - 6x + 8$

उदाहरण:

1. बहुपदों $(3x^2 + 2x - 5)$ और $(4x^2 - 3x + 7)$ को जोड़ें। समाधान: $(3x^2 + 4x^2) + (2x - 3x) + (-5 + 7) = 7x^2 - x + 2$

2. बहुपद $(2x^2 + 4x - 5)$ को बहुपद $(5x^2 - 2x + 3)$ से घटाएं। समाधान: $(5x^2 - 2x^2) + (-2x - 4x) + (3 - (-5)) = 3x^2 - 6x + 8$

याद रखें, बहुपदों को जोड़ते या घटाते समय हमेशा समान पदों को संयुक्त करें और गुणांकों को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल करें।

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बहुपद

बहुपद बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनमें चर, गुणांक और घातांक होते हैं। इनका उपयोग समीकरण, फलन और ज्यामितीय आकृतियों सहित विस्तृत गणितीय संकल्पनाओं को दर्शाने के लिए किया जाता है। बहुपदों को उनकी घात के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है, जो चर का सबसे बड़ा घातांक होता है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, द्विघात बहुपद की घात 2 होती है और त्रिघात बहुपद की घात 3 होती है। बहुपदों को अन्य बीजगणितीय व्यंजकों की तरह जोड़ा, घटाया, गुणा और भाग किया जा सकता है। इन्हें आलेखित भी किया जा सकता है, जिससे उनके व्यवहार को देखने में मदद मिलती है। बहुपदों का उपयोग गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें कलन, भौतिकी और अभियांत्रिकी शामिल हैं।

बहुपद क्या है?

बहुपद क्या है?

बहुपद एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों के योग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और एक चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के गुणनफल का होता है। अचर को पद का गुणांक कहा जाता है और चर को पद का आधार कहा जाता है। उदाहरण के लिए, निम्न सभी बहुपद हैं:

• $3x^2 + 2x - 5$
• $x^3 - 2x^2 + 4x - 1$
• $5$

बहुपद का मानक रूप

बहुपद का मानक रूप एक गणितीय व्यंजक है जिसमें पद उनके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित होते हैं। n घात वाले बहुपद का सामान्य रूप इस प्रकार है:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

जहाँ a_n, a_n-1, …, a₁, और a₀ स्थिरांक हैं और x चर है।

उदाहरण के लिए, बहुपद 3x² - 2x + 1 का मानक रूप इस प्रकार है:

P(x) = 3x² - 2x + 1

बहुपद की घात

बहुपद की घात बहुपद में चर के सबसे उच्चतम घातांक को कहा जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $$3x^2 + 2x - 5$$ की घात 2 है क्योंकि चर x का सबसे उच्चतम घातांक 2 है।

उदाहरण

• बहुपद $$3x^2 + 2x - 5$$ की घात 2 है। इसका अर्थ है कि बहुपद में अधिकतम 2 मूल हो सकते हैं और बहुपद का अंत व्यवहार x^2 के समान है।
• बहुपद $$x^3 - 2x^2 + 3x - 4$$ की घात 3 है। इसका अर्थ है कि बहुपद में अधिकतम 3 मूल हो सकते हैं और बहुपद का अंत व्यवहार x^3 के समान है।
• बहुपद $$2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6$$ की घात 4 है। इसका अर्थ है कि बहुपद में अधिकतम 4 मूल हो सकते हैं और बहुपद का अंत व्यवहार x^4 के समान है।

बहुपद के पद

एक बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जो पदों के योग से बना होता है। प्रत्येक पद एक गुणांक और किसी चर घटक के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के गुणनफल का होता है। गुणांक एक संख्यात्मक या अचर गुणक होता है, और चर घटक एक ऐसा अक्षर होता है जो किसी अज्ञात राशि को दर्शाता है। चर घटक की घात बताती है कि वह स्वयं से कितनी बार गुणा हुआ है।

उदाहरण के लिए, बहुपद $3x^2 + 2x - 5$ में तीन पद हैं: $3x^2$, $2x$, और $-5$। पहले पद का गुणांक 3 है, दूसरे पद का गुणांक 2 है, और तीसरे पद का गुणांक -5 है। प्रत्येक पद में चर घटक $x$ है, और $x$ की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं।

बहुपदों के प्रकार

एक बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जो पदों के योग से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक एक अचर और किसी चर घटक के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का गुणनफल होता है। किसी बहुपद की कोटि उसमें चर घटक की सबसे बड़ी घात होती है।

बहुपदों के कई अलग-अलग प्रकार होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएँ होती हैं। बहुपदों के कुछ सबसे सामान्य प्रकारों में शामिल हैं:

• रैखिक बहुपद घात 1 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax + b$$, जहाँ $a$ और $b$ अचर होते हैं। उदाहरण के लिए, $3x + 2$ एक रैखिक बहुपद है।
• द्विघात बहुपद घात 2 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax^2 + bx + c$$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ अचर होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^2 + 2x + 1$ एक द्विघात बहुपद है।
• त्रिघात बहुपद घात 3 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax^3 + bx^2 + cx + d$$, जहाँ $a$, $b$, $c$, और $d$ अचर होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ एक त्रिघात बहुपद है।
• चतुर्थ घात बहुपद घात 4 के बहुपद होते हैं। इनका रूप होता है $$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$$, जहाँ $a$, $b$, $c$, $d$, और $e$ अचर होते हैं। उदाहरण के लिए, $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$ एक चतुर्थ घात बहुपद है।

बहुपदों के उदाहरण

यहाँ विभिन्न घातों के बहुपदों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• रैखिक बहुपद: $3x + 2$
• द्विघात बहुपद: $x^2 + 2x + 1$
• त्रिघात बहुपद: $x^3 + 2x^2 + 3x + 4$
• चतुर्थ घात बहुपद: $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$

बहुपदों के गुणधर्म

बहुपदों के कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• दो बहुपदों का योग एक बहुपद होता है।
• दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद होता है।
• किसी बहुपद को एक एकपदी (एक पद वाला बहुपद) से विभाजित किया जा सकता है, जिससे एक भागफल और एक शेष प्राप्त होते हैं, दोनों ही बहुपद होते हैं।
• किसी बहुपद का अवकलज एक बहुपद होता है।
• किसी बहुपद का समाकल एक बहुपद होता है।

बहुपद समीकरण

बहुपद समीकरण बीजगणितीय समीकरण होते हैं जिनमें एक या अधिक चर घातांक पूर्ण संख्याओं के साथ होते हैं। इन्हें अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0 = 0$

जहाँ:

• $a_n$ उच्चतम घातांक पद का गुणांक है
• $x$ चर है
• $n$ समीकरण की घात है

बहुपद फलन

बहुपद फलन एक प्रकार के फलन होते हैं जिन्हें पदों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और स्वतंत्र चर की घात का गुणा होता है। बहुपद फलन का सामान्य रूप है:

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0$

जहाँ:

• $a_n, a_{n-1}, …, a_1, a_0$ अचर हैं
• $x$ स्वतंत्र चर है
• $n$ एक ऋणेतर पूर्णांक है

बहुपद हल करना

बहुपद हल करने में चर के ऐसे मान खोजने शामिल होते हैं जिनके लिए बहुपद शून्य के बराबर हो। बहुपद बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनमें चर ऋणेतर पूर्णांक घातों तक उठाए जाते हैं और जोड़, घटाव और गुणा द्वारा संयोजित किए जाते हैं। बहुपदों को हल करना विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, जिनमें गुणनखंडन, सिंथेटिक विभाजन और संख्यात्मक विधियाँ शामिल हैं।

. गुणनखंडन: गुणनखंडन एक विधि है जिससे बहुपद को सरल बहुपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है। जब बहुपद का गुणनखंडन हो जाता है, तो इसके मूल खोजना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद पर विचार करें:

$$x^2 - 5x + 6$$

हम इस बहुपद को दो ऐसी संख्याएँ खोजकर गुणनखंडित कर सकते हैं जो योग में -5 और गुणा में 6 दें। ये संख्याएँ -2 और -3 हैं, इसलिए हम लिख सकते हैं:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

अब, हम बहुपद के मूल प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर ज्ञात कर सकते हैं:

$$x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

$$x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

इसलिए, बहुपद $x^2 - 5x + 6$ के मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।

बहुपद संक्रियाएँ

बहुपदों पर संक्रियाएँ

बहुपदों को अन्य बीजगणितीय व्यंजकों की तरह जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है।

• दो बहुपदों को जोड़ने के लिए, बस समान पदों को जोड़ें। उदाहरण के लिए,

$$(x^2 + 2x - 3) + (3x^2 - 2x + 5) = 4x^2 + 5$$

• दो बहुपदों को घटाने के लिए, बस समान पदों को घटाएँ। उदाहरण के लिए,

$$(x^2 + 2x - 3) - (3x^2 - 2x + 5) = -2x^2 + 4x - 8$$

• दो बहुपदों को गुणा करने के लिए, वितरण गुणधर्म और FOIL विधि का प्रयोग करें। उदाहरण के लिए,

$$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$

• दो बहुपदों को विभाजित करने के लिए, लंबा विभाजन प्रयोग करें। उदाहरण के लिए,

$$\frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = x + 3$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQs

बहुपद क्या है?

बहुपद क्या है?

एक बहुपद एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों के योग होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पद एक अचर और किसी चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के गुणनफल का होता है। अचर को पद का गुणांक कहा जाता है, और चर को पद का आधार कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, निम्न सभी बहुपद हैं:

• $3x^2 + 2x - 5$
• $x^3 - 2x^2 + 4x - 1$
• $5$

पहले बहुपद की घात 2 है, दूसरे बहुपद की घात 3 है, और तीसरे बहुपद की घात 0 है।

बहुपद की मानक रूप क्या है?

बहुपद का मानक रूप एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें पदों को उनके घातों के घटते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। घात n वाले बहुपद का सामान्य रूप इस प्रकार है:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

जहाँ a_n, a_n-1, …, a₁, और a₀ अचर हैं और x चर है।

उदाहरण के लिए, बहुपद 3x² - 2x + 1 का मानक रूप इस प्रकार है:

P(x) = 3x² - 2x + 1

यहाँ मानक रूप में कुछ अतिरिक्त बहुपदों के उदाहरण दिए गए हैं:

• x³ - 2x² + 3x - 4
• 2x⁴ + 3x³ - 5x² + 7x - 1
• -x⁵ + 2x³ - 3x² + 4x - 5

शून्य और अचर बहुपद की घात क्या है?

बहुपद की घात

बहुपद की घात बहुपद में चर का सबसे बड़ा घातांक होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद $$3x^2 + 2x - 5$$ की घात 2 है, क्योंकि चर x का सबसे बड़ा घातांक 2 है।

शून्य बहुपद की घात

शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि शून्य बहुपद एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें कोई पद नहीं होता, और इसलिए कोई चर भी नहीं होता। उदाहरण के लिए, बहुपद 0 की घात अपरिभाषित है।

अचर बहुपद की घात

अचर बहुपद की घात 0 होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अचर बहुपद एक ऐसा बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है, और वह पद एक अचर होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद 5 की घात 0 है।

उदाहरण

यहाँ कुछ बहुपद और उनकी घातों के उदाहरण दिए गए हैं:

• $x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ की घात 3 है।
• $2x^2 - 3x + 4$ की घात 2 है।
• $5x - 2$ की घात 1 है।
• $7$ की घात 0 है।
• $0$ की घात अपरिभाषित है।

क्या 8 एक बहुपद है?

हाँ, 8 एक अचर बहुपद है और इसकी घात 0 है।

तो, क्या 8 एक बहुपद है?

बहुपदों को जोड़ना और घटाना कैसे करें?

बहुपदों को जोड़ना और घटाना समान पदों को संयोजित करने और परिणामी व्यंजक को सरल बनाने में शामिल होता है। यहाँ चरणबद्ध व्याख्या उदाहरणों के साथ दी गई है:

बहुपदों को जोड़ना:

1. समान पदों की पहचान करें: समान पद वे पद होते हैं जिनमें चर(ों) की घात समान हो। उदाहरण के लिए, बहुपदों $3x^2 + 2x - 5$ और $4x^2 - 3x + 7$ में, समान पद $3x^2$ और $4x^2$, $2x$ और $-3x$, तथा $-5$ और $7$ हैं।

२. समान पदों को समूहित करें: प्रत्येक बहुपद में समान पदों को एक साथ समूहित करें।

३. गुणांक जोड़ें: समान पदों के गुणांक जोड़ें। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए बहुपदों में हमारे पास है: $(3x^2 + 4x^2) + (2x - 3x) + (-5 + 7)$

४. सरल करें: समान पदों को मिलाकर व्यंजक को सरल करें। $(3x^2 + 4x^2)$ बन जाता है $7x^2$ $(2x - 3x)$ बन जाता है $-x$ $(-5 + 7)$ बन जाता है $2$

५. परिणाम लिखें: सरल व्यंजक को बहुपदों के योग के रूप में लिखें। $7x^2 - x + 2$

बहुपद घटाना:

१. समान पदों की पहचान करें: दोनों बहुपदों में समान पदों की पहचान करें।

२. समान पदों को समूहित करें: प्रत्येक बहुपद में समान पदों को एक साथ समूहित करें।

३. गुणांक घटाएँ: समान पदों के गुणांक घटाएँ। उदाहरण के लिए, बहुपदों $5x^2 - 2x + 3$ और $2x^2 + 4x - 5$ में हमारे पास है: $(5x^2 - 2x^2) + (-2x - 4x) + (3 - (-5))$

४. सरल करें: समान पदों को मिलाकर व्यंजक को सरल करें। $(5x^2 - 2x^2)$ बन जाता है $3x^2$ $(-2x - 4x)$ बन जाता है $-6x$ $(3 - (-5))$ बन जाता है $8$

५. परिणाम लिखें: सरल व्यंजक को बहुपदों के अंतर के रूप में लिखें। $3x^2 - 6x + 8$

उदाहरण:

१. बहुपदों $(3x^2 + 2x - 5)$ और $(4x^2 - 3x + 7)$ को जोड़ें। हल: $(3x^2 + 4x^2) + (2x - 3x) + (-5 + 7) = 7x^2 - x + 2$

२. बहुपद $(2x^2 + 4x - 5)$ को बहुपद $(5x^2 - 2x + 3)$ से घटाएँ। हल: $(5x^2 - 2x^2) + (-2x - 4x) + (3 - (-5)) = 3x^2 - 6x + 8$

याद रखें, बहुपदों को जोड़ते या घटाते समय हमेशा समान पदों को संयोजित करें और गुणांकों को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल करें।