अभाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं—1 और स्वयं वह संख्या। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7 और 11 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य संख्याएँ संख्या सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी में अत्यावश्यक हैं। इनका उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में भी होता है, जैसे कि त्रुटि-सुधार कोडों और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी के डिज़ाइन में।

अभाज्य संख्याओं का वितरण समान नहीं होता। अनंत अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं वे तेजी से दुर्लभ होती जाती हैं।

सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या 2^82,589,933 - 1 है, जिसमें 24 मिलियन से अधिक अंक हैं। इसे पैट्रिक लारोश ने दिसंबर 2018 में खोजा था।

अभाज्य संख्याएँ गणितज्ञों और कंप्यूटर वैज्ञानिकों दोनों को समान रूप से मोहित करती रहती हैं, और वे अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र बनी हुई हैं।

अभाज्य संख्याएँ क्या हैं?

अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और जो दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में न हो। 1 से बड़ी वह प्राकृत संख्या जो अभाज्य नहीं होती, उसे भाज्य संख्या कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता। 10 एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसे 2 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। यह बात यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने ईसा पूर्व 3री सदी में सिद्ध की थी।

अभाज्य संख्याओं के गुणधर्म

अभाज्य संख्याओं में कई रोचक गुण होते हैं। इनमें से कुछ गुण इस प्रकार हैं:

• 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को 6n ± 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है।
• एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का योग सदैव विषम होता है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का गुणनफल सदैव उन दोनों संख्याओं के योग से अधिक होता है।
• अनंत युग्मित अभाज्य हैं, जो अभाज्य संख्याएँ हैं जिनमें 2 का अंतर होता है।

अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग

अभाज्य संख्याओं के गणित और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं। इनमें से कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:

• अभाज्य संख्याओं का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में संदेशों को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत में संख्याओं के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्याओं का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में कुशल एल्गोरिद्म डिज़ाइन करने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

अभाज्य संख्याएँ गणित का एक आकर्षक और महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। इनमें कई रोचक गुण और अनुप्रयोग होते हैं। अभाज्य संख्याओं का अध्ययन सदियों से चला आ रहा है और आज भी यह एक सक्रिय अनुसंधान क्षेत्र है।

PDF डाउनलोड करें – अभाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में न हो। 1 से बड़ी वह प्राकृत संख्या जो अभाज्य नहीं होती, उसे संयुक्त संख्या कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता। 10 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। यह यूक्लिड ने ईसा पूर्व 3ठी शताब्दी में सिद्ध किया था।

अभाज्य संख्याओं के गुण

अभाज्य संख्याओं के कई रोचक गुण होते हैं। इनमें से कुछ गुण इस प्रकार हैं:

• 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को 6n ± 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है।
• एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का योग हमेशा विषम होता है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हमेशा उन दोनों संख्याओं के योग से बड़ा होता है।
• अनंत युग्म अभाज्य हैं। युग्म अभाज्य दो अभाज्य संख्याएँ होती हैं जिनमें 2 का अंतर होता है।

अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग

अभाज्य संख्याओं के गणित और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं। इनमें से कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:

• अभाज्य संख्याओं का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में संदेशों को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत में संख्याओं के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्याओं का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में कुशल एल्गोरिद्म डिज़ाइन करने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

अभाज्य संख्याएँ गणित का एक आकर्षक और महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। इनके कई रोचक गुण और अनुप्रयोग हैं। अभाज्य संख्याओं का अध्ययन आज भी जारी है, और नई खोजें लगातार हो रही हैं।

PDF डाउनलोड करें

PDF डाउनलोड करना

इंटरनेट से PDF फ़ाइल डाउनलोड करना एक सरल प्रक्रिया है जिसे किसी भी वेब ब्राउज़र से किया जा सकता है। इसमें शामिल चरण इस प्रकार हैं:

1. वह PDF फ़ाइल खोजें जिसे आप डाउनलोड करना चाहते हैं। आप यह फ़ाइल का नाम खोजकर या किसी वेबसाइट की डायरेक्टरी ब्राउज़ करके कर सकते हैं।
2. PDF फ़ाइल के लिंक पर क्लिक करें। यह PDF फ़ाइल को आपके ब्राउज़र के PDF व्यूअर में खोलेगा।
3. “डाउनलोड” बटन पर क्लिक करें। यह PDF फ़ाइल को आपके कंप्यूटर पर सेव कर देगा।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि आप PDF फ़ाइल कैसे डाउनलोड कर सकते हैं:

• आप किसी विश्वविद्यालय की वेबसाइट से किसी शोध पत्र की PDF फ़ाइल डाउनलोड कर सकते हैं।
• आप किसी निर्माता की वेबसाइट से किसी उत्पाद की मैनुअल की PDF फ़ाइल डाउनलोड कर सकते हैं।
• आप किसी पर्यटन वेबसाइट से किसी यात्रा ब्रोशर की PDF फ़ाइल डाउनलोड कर सकते हैं।

PDF फ़ाइलें डाउनलोड करने के लिए यहाँ कुछ सुझाव दिए गए हैं:

• सुनिश्चित करें कि आपके कंप्यूटर पर PDF रीडर इंस्टॉल है।
• यदि आप किसी ऐसी वेबसाइट से PDF फ़ाइल डाउनलोड कर रहे हैं जिस पर आपको भरोसा नहीं है, तो फ़ाइल को खोलने से पहले वायरस के लिए स्कैन ज़रूर करें।
• PDF फ़ाइल को अपने कंप्यूटर पर ऐसी जगह सेव करें जहाँ आप उसे आसानी से खोज सकें।

PDF फ़ाइलें डाउनलोड करना बाद में उपयोग के लिए जानकारी सेव करने का एक सरल और सुविधाजनक तरीका है। इन चरणों का पालन करके, आप आसानी से कोई भी PDF फ़ाइल डाउनलोड कर सकते हैं जिसकी आपको आवश्यकता है।

अभाज्य संख्याओं के गुण

अभाज्य संख्याओं के गुण

अभाज्य संख्याएं पूर्ण संख्याएं होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं—1 और स्वयं वह संख्या। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7 और 11 सभी अभाज्य संख्याएं हैं।

अभाज्य संख्याएं अनंत संख्या में होती हैं। यह बात प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने ईसा पूर्व 3रीं सदी में सिद्ध की थी।

अभाज्य संख्याओं का वितरण एकसमान नहीं है। छोटी अभाज्य संख्याएं बड़ी अभाज्य संख्याओं की तुलना में अधिक होती हैं। उदाहरण के लिए, 1 और 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएं हैं, लेकिन 100 और 200 के बीच केवल 10 अभाज्य संख्याएं हैं।

अभाज्य संख्याओं के कुछ महत्वपूर्ण गुण इस प्रकार हैं:

• 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को 6n ± 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है।
• एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का योग सदा विषम होता है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का गुणनफल सदा प्रत्येक अभाज्य संख्या के वर्ग से बड़ा होता है।
• 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5 = 1^2 + 2^2, 13 = 2^2 + 3^2 और 17 = 1^2 + 4^2।
• 5 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को दो वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 7 = 4^2 - 1^2, 11 = 5^2 - 2^2 और 13 = 7^2 - 2^2।

अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग

अभाज्य संख्याओं के गणित, कंप्यूटर विज्ञान और क्रिप्टोग्राफी में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग हैं।

• गणित में, अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जो गणित की वह शाखा है जो संख्याओं के गुणों से संबंधित है।
• कंप्यूटर विज्ञान में, अभाज्य संख्याओं का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में किया जाता है, जो डेटा को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने की विज्ञान है।
• क्रिप्टोग्राफी में, अभाज्य संख्याओं का उपयोग सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी बनाने के लिए किया जाता है, जो डेटा को एन्क्रिप्ट करने की एक विधि है जो किसी को भी एक संदेश एन्क्रिप्ट करने की अनुमति देती है, लेकिन केवल इच्छित प्राप्तकर्ता ही इसे डिक्रिप्ट कर सकता है।

निष्कर्ष

अभाज्य संख्याएं गणित का एक आकर्षक और महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। इनमें विभिन्न गुण होते हैं जो उन्हें विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोगी बनाते हैं।

अभाज्य संख्याओं का चार्ट

अभाज्य संख्याओं का चार्ट

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है जो 1 से बड़ी होती है और दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं होती है। 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या जो अभाज्य नहीं होती है, उसे संयुक्त संख्या कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता है। 10 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएं हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

अनंत अभाज्य संख्याएं हैं। इसे यूक्लिड ने ईसा पूर्व 3वीं शताब्दी में सिद्ध किया था।

अभाज्य संख्याओं का चार्ट

एक अभाज्य संख्याओं का चार्ट एक सारणी होती है जो अभाज्य संख्याओं को क्रम में सूचीबद्ध करता है। निम्नलिखित 100 तक का अभाज्य संख्याओं का चार्ट है:

अभाज्य संख्याओं की सारणी का उपयोग करने के उदाहरण

• आप किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए अभाज्य संख्याओं का चार्ट उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 12 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
• आप किसी संख्या को अभाज्य या भाज्य निर्धारित करने के लिए अभाज्य संख्याओं का चार्ट उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 17 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह 1 और स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है।
• आप अभाज्य संख्याओं की सूची उत्पन्न करने के लिए अभाज्य संख्याओं का चार्ट उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित पहली 100 अभाज्य संख्याओं की सूची है:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

निष्कर्ष

अभाज्य संख्याएँ गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। इनके कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करना, यह निर्धारित करना कि कोई संख्या अभाज्य है या भाज्य, और अभाज्य संख्याओं की सूची उत्पन्न करना शामिल है।

1 से 100 तक अभाज्य संख्याओं की सूची

1 से 100 तक अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी होती है और दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या को केवल 1 और स्वयं से ही बिना शेष के विभाजित किया जा सकता है।

पहली 25 अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

अभाज्य संख्याएँ कैसे खोजें

अभाज्य संख्याएँ खोजने के कुछ अलग-अलग तरीके हैं। एक सरल तरीका एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करना है। यह विधि 2 से लेकर वह संख्या तक सभी संख्याओं की एक सूची से शुरू करके काम करती है जिसे आप खोज रहे हैं। फिर, आप 2 के सभी गुणजों को 4 से शुरू करके काट देते हैं। अगला, आप 3 के सभी गुणजों को 9 से शुरू करके काट देते हैं। आप इस प्रक्रिया को जारी रखते हैं, प्रत्येक अभाज्य संख्या के सभी गुणजों को काटते हुए, जब तक आप वह संख्या नहीं पहुँच जाते जिसे आप खोज रहे हैं। जिन संख्याओं को नहीं काटा गया है वे अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, 100 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए, आप निम्नलिखित सूची से शुरुआत करेंगे:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

अगला, आप 2 के सभी गुणजों को 4 से शुरू करके काट देंगे:

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, 9, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

फिर, आप 3 के सभी गुणजों को, 9 से शुरू करके, काट देंगे:

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, ~9~, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

आप इस प्रक्रिया को जारी रखेंगे, प्रत्येक अभाज्य संख्या के सभी गुणजों को काटते हुए, जब तक आप संख्या 100 तक नहीं पहुँच जाते। जिन संख्याओं को नहीं काटा गया है वे अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग

अभाज्य संख्याओं के गणित और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया जाता है:

• क्रिप्टोग्राफी: अभेद्य एन्क्रिप्शन एल्गोरिद्म बनाने के लिए अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया जाता है।
• संख्या सिद्धांत: संख्याओं के गुणों का अध्ययन करने के लिए अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया जाता है।
• कंप्यूटर विज्ञान: अभाज्य संख्याओं का उपयोग विभिन्न एल्गोरिद्मों में किया जाता है, जैसे फास्ट फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म (FFT) और RSA एल्गोरिद्म।

अभाज्य संख्याओं का उपयोग अन्य कई क्षेत्रों में भी किया जाता है, जैसे भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान।

अभाज्य संख्याएँ कैसे खोजें?

अभाज्य संख्याएँ कैसे खोजें

अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और दो छोटी प्राकृत संख्याओं का गुणनफल न हो। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या को केवल स्वयं और 1 से विभाजित किया जा सकता है बिना किसी शेष के।

प्रथम कुछ अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, लेकिन जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं वे तेजी से दुर्लभ हो जाती हैं।

अभाज्य संख्याएँ खोजने की विधियाँ

अभाज्य संख्याएँ खोजने की कई विभिन्न विधियाँ हैं। सबसे सामान्य विधियों में से कुछ इस प्रकार हैं:

• ट्रायल डिवीज़न: यह अभाज्य संख्याएँ खोजने का सबसे सीधा तरीका है। इसमें किसी संख्या को उसके वर्गमूल से छोटी या बराबर सभी संख्याओं से विभाजित किया जाता है। यदि वह संख्या इनमें से किसी से भी विभाजित नहीं होती, तो वह अभाज्य है।
• एराटोस्थनीज़ का छलनी: यह अभाज्य संख्याएँ खोजने का अधिक कुशल तरीका है। इसमें 2 से दी गई संख्या तक सभी संख्याओं की एक सूची बनाई जाती है। फिर सूची में प्रत्येक संख्या के लिए उसके सभी गुणजों को काट दिया जाता है। जो संख्याएँ नहीं काटी जातीं, वे अभाज्य होती हैं।
• एकेएस अभाज्यता परीक्षण: यह एक निर्धारित अभाज्यता परीक्षण है जो किसी दी गई संख्या को बहुपद समय में अभाज्य है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। हालाँकि, एकेएस अभाज्यता परीक्षण बड़ी संख्याओं के लिए व्यावहारिक नहीं है।

उदाहरण

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि ट्रायल डिवीज़न विधि और एराटोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग करके अभाज्य संख्याएँ कैसे खोजी जा सकती हैं:

ट्रायल डिवीज़न:

100 से छोटी या बराबर सभी अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए हम ट्रायल डिवीज़न विधि का उपयोग कर सकते हैं। हम 2 को उसके वर्गमूल (जो 1 है) से छोटी या बराबर सभी संख्याओं से विभाजित करना शुरू करते हैं। चूँकि 2 इनमें से किसी से भी विभाजित नहीं होता, यह अभाज्य है।

फिर हम 3 पर आगे बढ़ते हैं और प्रक्रिया दोहराते हैं। हम पाते हैं कि 3 अपने वर्गमूल से छोटी या बराबर किसी भी संख्या से विभाजित नहीं होता, इसलिए यह भी अभाज्य है।

हम यह प्रक्रिया 100 तक सभी संख्याओं के लिए जारी रखते हैं। हमें जो अभाज्य संख्याएँ मिलती हैं, वे हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

सिव ऑफ इरेटोस्थनीज़:

100 से कम या बराबर सभी अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए हम सिव ऑफ इरेटोस्थनीज़ का उपयोग करते हैं, हम 2 से 100 तक सभी संख्याओं की एक सूची बनाकर शुरुआत करते हैं।

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

फिर हम 2 के सभी गुणजों को, 4 से शुरू करके, काट देते हैं।

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, 9, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

फिर हम 3 के सभी गुणजों को, 6 से शुरू करके, काट देते हैं।

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, 9, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

हम यह प्रक्रिया 100 के वर्गमूल (जो कि 10 है) तक सभी संख्याओं के लिए जारी रखते हैं। जिन संख्याओं को पार नहीं किया गया है वे अभाज्य संख्याएँ हैं।

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग

अभाज्य

अभाज्य संख्याएँ बनाम भाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी हो और जिसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं बनाया जा सके। 1 से बड़ी कोई प्राकृत संख्या जो अभाज्य नहीं होती उसे भाज्य संख्या कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता। 10 एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसे 2 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं।

भाज्य संख्याएँ

एक भाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या है जो 1 से बड़ी हो और जिसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं को गुणा करके बनाया जा सके।

उदाहरण के लिए, 10 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है। 12 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2, 2 और 3 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

पहली कुछ संयुक्त संख्याएँ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 और 18 हैं।

अभाज्य संख्याओं के गुण

• अभाज्य संख्याएँ अनंत संख्या में हैं।
• केवल सम अभाज्य संख्या 2 है।
• 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को 6n ± 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है।
• दो अभाज्य संख्याओं का योग हमेशा विषम होता है।
• दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हमेशा विषम होता है।

संयुक्त संख्याओं के गुण

• हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
• दो संयुक्त संख्याओं का योग हमेशा सम नहीं होता।
• दो संयुक्त संख्याओं का गुणनफल हमेशा सम नहीं होता।

उदाहरण

• 7 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता।
• 10 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है।
• 12 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2, 2 और 3 को गुणा करके बनाया जा सकता है।
• 15 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 3 और 5 को गुणा करके बनाया जा सकता है।
• 21 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 3 और 7 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

अनुप्रयोग

अभाज्य संख्याओं के गणित, कंप्यूटर विज्ञान और क्रिप्टोग्राफी में कई अनुप्रयोग हैं।

• गणित में, अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• कंप्यूटर विज्ञान में, अभाज्य संख्याओं का उपयोग यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करने और डेटा को एन्क्रिप्ट करने के लिए किया जाता है।
• क्रिप्टोग्राफी में, अभाज्य संख्याओं का उपयोग सार्वजनिक-कुंजी एन्क्रिप्शन प्रणालियाँ बनाने के लिए किया जाता है।

अभाज्य संख्याओं पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: क्या 7 एक अभाज्य संख्या है?

यह निर्धारित करने के लिए कि 7 एक अभाज्य संख्या है या नहीं, हमें यह जाँच करनी होगी कि क्या यह 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य है। हम इसकी जाँच 2, 3, 4, 5 और 6 से विभाज्यता से शुरू कर सकते हैं।

• 7, 2 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 7 एक विषम संख्या है।
• 7, 3 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके अंकों का योग (7) 3 से विभाज्य नहीं है।
• 7, 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसके अंतिम दो अंक (07) 4 से विभाज्य नहीं हैं।
• 7, 5 से विभाज्य नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक (7) 0 या 5 नहीं है।
• 7, 6 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 2 और 3 दोनों से विभाज्य नहीं है।

चूँकि 7, 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है, यह एक अभाज्य संख्या है।

उदाहरण 2: 1 और 100 के बीच सभी अभाज्य संख्याएँ खोजें।

1 और 100 के बीच सभी अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए, हम एराटोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग कर सकते हैं। इस विधि में 2 से 100 तक सभी संख्याओं की एक सूची बनाई जाती है और फिर प्रत्येक संख्या के गुणजों को चिह्नित किया जाता है। जो संख्याएँ चिह्नित नहीं होती हैं, वे अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

यहाँ 1 और 100 के बीच की संख्याओं के लिए एराटोस्थनीज़ की छलनी है:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

जिन संख्याओं को चिह्नित नहीं किया गया है वे 1 और 100 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं।

उदाहरण 3: 100 का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनफल ज्ञात कीजिए।

100 का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम पहले 100 के सभी अभाज्य गुणनफल ज्ञात कर सकते हैं। 100 के अभाज्य गुणनफल 2, 2, 5 और 5 हैं। 100 का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनफल 5 है।

अभाज्य संख्याओं पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गणित में अभाज्य संख्याएँ क्या होती हैं?

अभाज्य संख्याएँ

गणित में, एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और जो दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में न हो। 1 से बड़ी प्राकृत संख्या जो अभाज्य नहीं होती उसे संयुक्त संख्या कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाया जा सकता। हालाँकि, 6 एक संयुक्त संख्या है क्योंकि इसे 2 और 3 को गुणा करके बनाया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

अभाज्य संख्याएँ अनंत होती हैं। यह बात यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने ईसा पूर्व 3वीं शताब्दी में सिद्ध की थी।

अभाज्य संख्याओं के गुण

अभाज्य संख्याओं के कई रोचक गुण होते हैं। उदाहरण के लिए:

• 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को 6n ± 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है।
• एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का योग हमेशा विषम होता है।
• दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हमेशा किसी भी अभाज्य संख्या के वर्ग से बड़ा होता है।

अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग

अभाज्य संख्याओं का गणित और कंप्यूटर विज्ञान में कई अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए:

• अभाज्य संख्याओं का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में संदेशों को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत में संख्याओं के वितरण का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्याओं का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में कुशल एल्गोरिदम डिज़ाइन करने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

अभाज्य संख्याएँ गणित का एक आकर्षक और महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। इनमें कई रोचक गुण और अनुप्रयोग होते हैं, और आज भी गणितज्ञ इनका अध्ययन करते रहते हैं।

अभाज्य संख्याएँ कैसे खोजें?

अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या एक पूर्ण संख्या होती है जो 1 से बड़ी होती है और जिसके केवल गुणनखंड 1 और स्वयं होते हैं। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7 और 11 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य संख्याएँ अनंत संख्या में होती हैं, लेकिन जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं वे तेजी से दुर्लभ होती जाती हैं। उदाहरण के लिए, 1 और 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन 100 और 1,000 के बीच केवल 168 अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य संख्याएँ कैसे खोजें

प्राइम संख्याएँ खोजने के कुछ अलग-अलग तरीके हैं। एक सरल विधि को एराटोस्थनीज का छलनी कहा जाता है। यह विधि इस प्रकार काम करती है: आप 2 से n तक सभी संख्याओं की एक सूची से शुरू करते हैं, जहाँ n वह सबसे बड़ी संख्या है जिसे आप जांचना चाहते हैं। फिर, आप 2 के सभी गुणजों को, 4 से शुरू करके, काट देते हैं। अगला, आप 3 के सभी गुणजों को, 9 से शुरू करके, काट देते हैं। आप यह प्रक्रिया जारी रखते हैं, प्रत्येक प्राइम संख्या के सभी गुणजों को काटते हुए, जब तक आप n के वर्गमूल तक नहीं पहुँच जाते। जो संख्याएँ बिना काटे रह जाती हैं, वे सभी प्राइम संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ बताया गया है कि आप 1 और 100 के बीच की सभी प्राइम संख्याओं को खोजने के लिए एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग कैसे करेंगे:

1. 2 से 100 तक सभी संख्याओं की एक सूची से शुरू करें:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

2. 2 के सभी गुणजों को, 4 से शुरू करके, काट दें:

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, 9, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

3. 3 के सभी गुणजों को पार कर दें, 9 से शुरू करते हुए:

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, ~9~, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

4. इस प्रक्रिया को जारी रखें, प्रत्येक अभाज्य संख्या के सभी गुणजों को पार करते हुए, जब तक आप 100 के वर्गमूल तक न पहुँच जाएँ, जो कि 10 है:

2, 3, ~4~, 5, ~6~, 7, ~8~, ~9~, ~10~, 11, ~12~, 13, ~14~, 15, ~16~, 17, ~18~, 19, ~20~, 21, ~22~, 23, ~24~, 25, ~26~, 27, ~28~, 29, ~30~, 31, ~32~, 33, ~34~, 35, ~36~, 37, ~38~, 39, ~40~, 41, ~42~, 43, ~44~, 45, ~46~, 47, ~48~, 49, ~50~, 51, ~52~, 53, ~54~, 55, ~56~, 57, ~58~, 59, ~60~, 61, ~62~, 63, ~64~, 65, ~66~, 67, ~68~, 69, ~70~, 71, ~72~, 73, ~74~, 75, ~76~, 77, ~78~, 79, ~80~, 81, ~82~, 83, ~84~, 85, ~86~, 87, ~88~, 89, ~90~, 91, ~92~, 93, ~94~, 95, ~96~, 97, ~98~, 99, ~100~

5. जिन संख्याओं पर क्रॉस नहीं लगा है वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 4

##### अभाज्य संख्याओं की उदाहरण क्या हैं?

अभाज्य संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं और जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं – 1 और स्वयं वह संख्या। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11 और 13 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।

यहाँ अभाज्य संख्याओं के कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं:

* 17
* 19
* 23
* 29
* 31
* 37
* 41
* 43
* 47
* 53
* 59
* 61
* 67
* 71
* 73
* 79
* 83
* 89
* 97

अभाज्य संख्याएँ अनंत संख्या में होती हैं, और जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं वे तेजी से दुर्लभ होती जाती हैं। उदाहरण के लिए, 1 और 100 के बीच केवल 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन 1 और 10,000 के बीच 10,000 से अधिक अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य संख्याओं के कई रोचक गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, 2 से बड़ी हर सम संख्या भाज्य (अभाज्य नहीं) होती है। साथ ही, दो अभाज्य संख्याओं का योग हमेशा विषम होता है।

अभाज्य संख्याओं का उपयोग गणित और कंप्यूटर विज्ञान के कई क्षेत्रों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग क्रिप्टोग्राफी में किया जाता है, जो संदेशों को कूटबद्ध और विसंकेत करने का अध्ययन है। अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत में भी किया जाता है, जो संख्याओं के गुणों का अध्ययन है।

##### सबसे छोटी अभाज्य संख्या क्या है?

सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है। एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में न हो। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या को केवल 1 और स्वयं से ही विभाजित किया जा सकता है बिना किसी शेष के।

यहाँ कुछ अभाज्य संख्याओं के उदाहरण दिए गए हैं:

* 2
* 3
* 5
* 7
* 11
* 13
* 17
* 19
* 23
* 29

अभाज्य संख्याओं की अनुक्रम अनंत है, जिसका अर्थ है कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है। हालांकि, संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं तो अभाज्य संख्याओं का वितरण कम घना होता जाता है। उदाहरण के लिए, 1 और 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन 100 और 1000 के बीच केवल 168 अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य संख्याओं के गणित और कंप्यूटर विज्ञान में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग क्रिप्टोग्राफी में किया जाता है, जो संदेशों को कूटबद्ध और विसंकेत करने का अध्ययन है ताकि उन्हें अनधिकृत व्यक्ति न पढ़ सकें। अभाज्य संख्याओं का उपयोग संख्या सिद्धांत में भी किया जाता है, जो संख्याओं के गुणों का अध्ययन है।

सबसे छोटी अभाज्य संख्या, 2, एक बहुत ही विशेष संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, और यह एकमात्र ऐसी अभाज्य संख्या है जो मर्सेन अभाज्य भी है। एक मर्सेन अभाज्य एक ऐसी अभाज्य संख्या होती है जिसे 2^p - 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p एक अभाज्य संख्या है। अब तक की ज्ञात सबसे बड़ी मर्सेन अभाज्य संख्या 2^82,589,933 - 1 है, जिसमें 24 मिलियन से अधिक अंक हैं।

##### अब तक की सबसे बड़ी अभाज्य संख्या क्या है?

दिसंबर 2022 तक की ज्ञात सबसे बड़ी अभाज्य संख्या 2^(82,589,933) - 1 है, एक मर्सेन अभाज्य जिसे पैट्रिक लारोश ने दिसंबर 2018 में खोजा था। इसमें 24,862,048 अंक हैं।

मर्सेन अभाज्य संख्याएँ 2^p - 1 के रूप की अभाज्य संख्याएँ होती हैं, जहाँ p एक अभाज्य संख्या है। इनका नाम फ्रेंच गणितज्ञ मैरिन मर्सेन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 17वीं सदी में इनका अध्ययन किया था।

मर्सेन अभाज्य संख्याओं की खोज एक चुनौतीपूर्ण और निरंतर प्रयास है। इसके लिए व्यापक संगणनात्मक संसाधनों और विशेष एल्गोरिदमों की आवश्यकता होती है। प्रत्येक नई मर्सेन अभाज्य संख्या की खोज संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण उपलब्धि है।

यहाँ अब तक की ज्ञात सबसे बड़ी अभाज्य संख्या के बारे में कुछ रोचक तथ्य दिए गए हैं:

- यह इतनी बड़ी है कि इसे मानक संकेतन का उपयोग करके पूरी तरह से लिखा नहीं जा सकता।
- इस संख्या के अंकों को हाथ से लिखने में लगभग 2,700 वर्ष लगेंगे।
- यह संख्या इतनी बड़ी है कि इसे एक सामान्य कंप्यूटर की स्मृति में संग्रहीत नहीं किया जा सकता।
- इस संख्या की अभाज्यता की पुष्टि करने में एक सुपरकंप्यूटर को कई महीने लगेंगे।

बड़ी अभाज्य संख्याओं की खोज जारी है, और यह संभव है कि भविष्य में एक और भी बड़ी अभाज्य संख्या खोजी जाए।

##### सबसे बड़ी 4 अंकों की अभाज्य संख्या कौन-सी है?

सबसे बड़ी 4 अंकों की अभाज्य संख्या 9973 है।

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी हो और जो दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में न हो। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या को केवल 1 और स्वयं से ही बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है।

4 अंकों की अभाज्य संख्याएँ हैं:

1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1069
1087
1091
1093
1097
1103
1109
1117
1123
1129
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
1229
1231
1237
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
1487
1489
1493
1499
1511
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
1907
1913
1931
1933
1949
1951
1973
1979
1987
1993
1997
1999
2003
2011
2017
2027
2029
2039
2053
2063
2069
2081
2083
2087
2089
2099
2111
2113
2129
2131
2137
2141
2143
2153
2161
2179
2203
2207
2213
2221
2237
2239
2243
2251
2267
2269
2273
2281
2287
2293
2297
2309
2311
2333
2339
2341
2347
2351
2357
2371
2377
2381
2383
2389
2393
2399
2411
2417
2423
2437
2441
2447
2459
2467
2473
2477
2503
2521
2531
2539
2543
2549
2551
2557
2579
2591
2593
2609
2617
2621
2633
2647
2657
2659
2663
2671
2677
2683
2687
2689
2693
2699
2707
2711
2713
2719
2729
2731
2741
2749
2753
2767
2777
2789
2791
2797
2801
2803
2819
2833
2837
2843
2851
2857
2861
2879
2887
2897
2903
2909
2917
2927
2939
2953
2957
2963
2969
2971
2999
3001
3011
3019
3023
3037
3041
3049
3061
3067
3079
3083
3089
3109
3119
3121
3137
3163
3167
3169
3181
3187
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
3313
3319
3323
3329
3331
3343
3347
3359
3361
3371
3373
3389
3391
3407
3413
3433
3449
3457
3461
3463
3467
3469
3491
3499
3511
3517
3527
3529
3533
3539
3541
3547
3557
3559
3571
3581
3583
3593
3607
3613
3617
3623
3631
3637
3643
3659
3671
3673
3677
3691
3697
3701
3709
3719
3727
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
3803
3821
3823
3833
3841
3851
3853
3863
3877
3881
3889
3893
3907
3911
3917
3919
3923
3929
3931
3943
3947
3967
3989
4001
4003
4007
4

##### 1 और 50 के बीच अभाज्य संख्याएँ क्या हैं?

**1 और 50 के बीच अभाज्य संख्याएँ**

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या होती है जो 1 से बड़ी होती है और जो दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं होती। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या को केवल स्वयं और 1 से ही बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।

1 और 50 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

**अभाज्य संख्याओं के उदाहरण**

* 2 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे केवल स्वयं और 1 से ही बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 3 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे केवल स्वयं और 1 से ही बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे केवल स्वयं और 1 से ही बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 7 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे केवल स्वयं और 1 से ही बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 11 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे केवल स्वयं और 1 से ही बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।

**अभाज्य संख्याओं के गैर-उदाहरण**

* 4 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे 2 से बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 6 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे 2 और 3 से बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 8 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे 2 और 4 से बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे 3 से बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।
* 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे 2 और 5 से बिना किसी शेष के विभाजित किया जा सकता है।

**अभाज्य संख्याओं के गुणधर्म**

* अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
* एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है।
* 3 से बड़ी हर अभाज्य संख्या को 6n ± 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है।
* दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का योग सदैव विषम होता है।
* दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।

**अभाज्य संख्याओं के अनुप्रयोग**

* अभाज्य संख्याओं का उपयोग क्रिप्टोग्राफी में संदेशों को एन्क्रिप्ट और डिक्रिप्ट करने के लिए किया जाता है।
* अभाज्य संख्याओं का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।
* अभाज्य संख्याओं का उपयोग गणित में संख्या सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

##### 1 अभाज्य संख्या क्यों नहीं है?

**1 अभाज्य संख्या क्यों नहीं है**

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी प्राकृत संख्या होती है जो दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं लिखी जा सकती। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या को केवल स्वयं और 1 से विभाजित किया जा सकता है बिना शेषफल के।

1 अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे स्वयं और 1 से विभाजित किया जा सकता है बिना शेषफल के। इसलिए, 1 अभाज्य संख्या नहीं है।

**अभाज्य संख्याओं के उदाहरण**

कुछ अभाज्य संख्याओं के उदाहरण हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29।

**1 समग्र संख्या क्यों नहीं है**

एक समग्र संख्या 1 से बड़ी प्राकृत संख्या होती है जिसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक समग्र संख्या अभाज्य संख्या नहीं होती।

1 समग्र संख्या नहीं है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसलिए, 1 समग्र संख्या नहीं है।

**1 एक इकाई है**

1 एक विशेष संख्या है जो न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त। इसे एकक कहा जाता है। एकक गणित में महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि इनका उपयोग व्यंजकों और समीकरणों को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।

**निष्कर्ष**

1 अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसे स्वयं और 1 से विभाजित किया जा सकता है बिना शेषफल छोड़े। 1 संयुक्त संख्या भी नहीं है क्योंकि इसे दो छोटी प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। 1 एक एकक है।