द्विघात या द्विघात समीकरण

एक द्विघात समीकरण डिग्री 2 का एक बहुपद समीकरण होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक चर घातांक 2 के साथ होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप है $ax^2 + bx + c = 0$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ नियतांक हैं और $x$ चर है।

द्विघात समीकरणों को विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है, जिनमें गुणनफल निकालना, वर्ग पूर्ण करना और द्विघात सूत्र का उपयोग करना शामिल हैं।

द्विघात समीकरण के हल वे x के मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं। ये हल वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ या काल्पनिक संख्याएँ भी हो सकते हैं।

द्विघात समीकरण का आलेख एक परवलय होता है, जो एक U-आकृति वाला वक्र होता है। परवलय का शीर्ष वह बिंदु होता है जहाँ वक्र दिशा बदलता है, और सममिति की अक्ष वह ऊर्ध्वाधर रेखा होती है जो शीर्ष से होकर गुजरती है।

द्विघात समीकरणों के वास्तविक जीवन में कई अनुप्रयोग होते हैं, जैसे कि किसी प्रक्षेप्य की प्रक्षेपपथ को मॉडल करना, एक परवलय के क्षेत्रफल की गणना करना और भौतिकी और अभियांत्रिकी में समस्याओं को हल करना।

द्विघात समीकरण क्या है?

एक द्विघात समीकरण डिग्री $2$ का एक बहुपद समीकरण होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक चर घातांक $2.$ के साथ होता है। इसका सामान्य रूप है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ $a, b,$ और $c$ नियतांक हैं और $x$ चर है।

द्विघात समीकरण का मानक रूप

द्विघात समीकरण का मानक रूप

एक द्विघात समीकरण इस प्रकार का समीकरण होता है: $$ax^2 + bx + c = 0$$ जहाँ $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$। द्विघात समीकरण का मानक रूप इस प्रकार लिखा जाता है: पहले $x^2$ पद, फिर $x$ पद, और अंत में अचर पद।

मानक रूप में द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• $$x^2 + 2x - 3 = 0$$
• $$2x^2 - 5x + 1 = 0$$
• $$-3x^2 + 4x - 2 = 0$$

द्विघात सूत्र

द्विघात सूत्र एक गणितीय सूत्र है जो किसी द्विघात समीकरण के हल देता है। एक द्विघात समीकरण इस प्रकार का समीकरण होता है: $$ax^2 + bx + c = 0$$, जहाँ $a$, $b$, और $c$ अचर हैं और $x$ चर है।

द्विघात सूत्र है:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

जहाँ:

• $x$ द्विघात समीकरण का हल है।
• $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण से आए अचर हैं।
• $\pm$ का अर्थ है “जमा या घटाव”।

उदाहरण

द्विघात समीकरण $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ के हल ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

$$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$$

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm 6}{2}$$

$$x = 5 \quad \text{या} \quad x = -1**

इसलिए, द्विघात समीकरण $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ के हल $x = 5$ और $x = -1$ हैं।

विचारक

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का विचारक $D = b^2-4ac$ द्वारा दिया जाता है।

• यदि विविक्तकर धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल होते हैं।
• यदि विविक्तकर शून्य है, तो द्विघात समीकरण का एक दोहराया गया वास्तविक हल होता है।
• यदि विविक्तकर ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता।

उपरोक्त उदाहरण में, विविक्तकर है $$(4)^2 - 4(1)(-5) = 36$$, जो धनात्मक है। इसलिए, द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल हैं।

द्विघात के उदाहरण

द्विघात द्वितीय-कोर के बहुपद होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें चर घात 2 तक उठाया गया है। इन्हें सामान्य रूप में $$ax^2 + bx + c = 0$$ लिखा जा सकता है, जहाँ a, b और c नियतांक हैं और x चर है।

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें?

द्विघात समीकरणों पर हल किए गए प्रश्न

उदाहरण 1: द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ को हल कीजिए।

हल: हम इस समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

जहाँ $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। इस मामले में, $a = 1$, $b = -4$, और $c = -5$। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:

$$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm 6}{2}$$

इसलिए समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के हल हैं $x = 5$ और $x = -1$।

उदाहरण 2: द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 1 = 0$ को हल कीजिए।

हल: यह समीकरण एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए हम इसे दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालकर हल कर सकते हैं:

$${x^2 + 2x + 1} = {0}$$

$$(x + 1)^2 = 0$$

$$\Rightarrow x + 1 = 0$$

$$x = -1 \quad \text {(दोहरे & वास्तविक मूल)}$$

इसलिए समीकरण $x^2 + 2x + 1 = 0$ का एकमात्र हल $x = -1$ है।

द्विघात समीकरणों के अनुप्रयोग

द्विघात समीकरण बीजगणित की एक मूलभूत अवधारणा हैं और विभिन्न क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि द्विघात समीकरण वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में कैसे उपयोग किए जाते हैं:

1. प्रक्षेप्य गति: जब कोई वस्तु हवा में प्रक्षेपित की जाती है, तो उसकी प्रक्षेपवक्र रेखा को द्विघात समीकरण द्वारा मॉडल किया जा सकता है। यह समीकरण प्रारंभिक वेग, प्रक्षेपण कोण और गुरुत्वाकर्षण त्वरण जैसे कारकों को ध्यान में रखता है। द्विघात समीकरण को हल करके हम प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई और उसकी सीमा निर्धारित कर सकते हैं।

2. व्यवसाय और अर्थशास्त्र: द्विघात समीकरण विभिन्न व्यावसायिक और आर्थिक मॉडलों में उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, ब्रेक-ईवन विश्लेषण में, द्विघात समीकरण का उपयोग ब्रेक-ईवन बिंदु निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जो वह बिंदु है जहाँ कुल राजस्व कुल लागत के बराबर होता है। यह व्यवसायों को मूल्य निर्धारण, उत्पादन और विपणन रणनीतियों के बारे में सूचित निर्णय लेने में मदद करता है।

3. भौतिकी और अभियांत्रिकी: द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से भौतिकी और अभियांत्रिकी में विभिन्न घटनाओं को मॉडलित करने और विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य गति के अध्ययन में, किसी वस्तु की प्रक्षेप पथ को एक द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसी प्रकार, संरचनात्मक अभियांत्रिकी में, द्विघात समीकरणों का उपयोग विभिन्न भार स्थितियों के तहत संरचनाओं की स्थिरता और शक्ति का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

4. वित्त और निवेश: द्विघात समीकरणों का उपयोग वित्तीय मॉडलिंग और निवेश विश्लेषण में किया जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल में, एक द्विघात समीकरण का उपयोग यूरोपीय-शैली के विकल्पों की कीमत की गणना करने के लिए किया जाता है, जो कि वित्तीय डेरिवेटिव हैं जिनका उपयोग किसी संपत्ति की भविष्य की कीमत पर अटकलबाज़ी के लिए किया जाता है।

5. रोबोटिक्स और एनिमेशन: द्विघात समीकरणों का उपयोग रोबोटिक्स और एनिमेशन में रोबोटों की गति को नियंत्रित करने और यथार्थवादी एनिमेशन बनाने के लिए किया जाता है। द्विघात समीकरणों का उपयोग करके, एनिमेटर पात्रों और वस्तुओं के लिए चिकनी और प्राकृतिक गति पथ बना सकते हैं।

6. खेल और मनोरंजन: द्विघात समीकरणों का उपयोग विभिन्न खेलों और मनोरंजन गतिविधियों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, गोल्फ में, गोल्फ बॉल की प्रक्षेप पथ को एक द्विघात समीकरण का उपयोग करके मॉडलित किया जा सकता है, जिसमें क्लब वेग, प्रक्षेपण कोण और वायु प्रतिरोध जैसे कारकों को ध्यान में रखा जाता है।

7. वास्तुकला और डिज़ाइन: द्विघात समीकरणों का उपयोग वास्तुकला और डिज़ाइन में सौंदर्यात्मक रूप से सुंदर और संरचनात्मक रूप से मजबूत संरचनाओं को बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, मेहराब और गुंबदों के डिज़ाइन में, द्विघात समीकरणों का उपयोग इष्टतम आकार और आयाम निर्धारित करने के लिए किया जाता है ताकि स्थिरता और भार-वहन क्षमता सुनिश्चित हो सके।

ये द्विघात समीकरणों के अनगिनत अनुप्रयोगों के कुछ उदाहरण मात्र हैं। उनकी बहुमुखी प्रतिभा और व्यापक उपयोग इस बात को दर्शाते हैं कि इस मौलिक गणितीय अवधारणा को समझना और सिद्ध करना कितना महत्वपूर्ण है।

द्विघात के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

द्विघात समीकरण क्या है?

द्विघात समीकरण

एक द्विघात समीकरण एक बहुपद समीकरण होता है जिसकी घात 2 होती है, जिसका अर्थ है कि चर का सबसे बड़ा घातांक 2 होता है। इसका सामान्य रूप इस प्रकार होता है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ a, b और c नियतांक होते हैं और x चर होता है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• $x^2 + 2x - 3 = 0$

• $2x^2 - 5x + 1 = 0$

• $-3x^2 + 4x - 2 = 0$

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ क्या हैं?

एक द्विघात समीकरण को हल करने में चर के ऐसे मान खोजने शामिल होते हैं जो समीकरण को शून्य के बराबर बना दें। द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। यहाँ कुछ सामान्य रूप से प्रयुक्त विधियाँ दी गई हैं:

1. गुणनफल में विघटन (Factoring): गुणनफल में विघटन में द्विघात समीकरण को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना शामिल होता है। यह विधि तब लागू होती है जब द्विघात समीकरण को आसानी से गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण: द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल कीजिए।

हल: द्विघात व्यंजक को गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

प्रत्येक गुणनफल को शून्य के बराबर रखिए:

$x - 2 = 0$ या $x - 3 = 0$

$x$ के लिए हल कीजिए:

$x_1 = 2$ या $x_2 = 3$

इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।

2. वर्ग पूर्ण करना (Completing the Square): वर्ग पूर्ण करने में द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में बदलना शामिल है। यह विधि तब उपयोगी होती है जब द्विघात समीकरण को आसानी से गुणनफल के रूप में नहीं व्यक्त किया जा सकता।

उदाहरण: द्विघात समीकरण $x^2 + 4x - 5 = 0$ को हल कीजिए।

हल: $x$ के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़ें और घटाएं: $x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = 0$

पूर्ण वर्ग को गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

$(x + 2)^2 - 9 = 0$

दोनों पक्षों में 9 जोड़िए: $(x + 2)^2 = 9$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लीजिए: $x + 2 = \pm 3$

$x$ के लिए हल कीजिए: $x_1 = -2 + 3 = 1$ या $x_2 = -2 - 3 = -5$

इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 1$ और $x = -5$ हैं।

3. द्विघात सूत्र (Quadratic Formula): द्विघात सूत्र एक सामान्य सूत्र है जिसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। इसे वर्ग पूर्ण करने की प्रक्रिया से व्युत्पन्न किया गया है।

द्विघात सूत्र है: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

जहाँ $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणांक हैं।

उदाहरण: द्विघात समीकरण $2x^2 - 5x + 2 = 0$ को हल कीजिए।

हल: गुणांक पहचानें: $a = 2$, $b = -5$, और $c = 2$।

मानों को द्विघात सूत्र में रखें: $x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$

सरल करें: $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4}$

$x = \dfrac{5 \pm 3}{4}$

इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।

क्या $x^2 – 1$ एक द्विघात समीकरण है?

हाँ, $x^2 – 1$ एक द्विघात समीकरण है।

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का होता है, जहाँ $a, b$, और $c$ नियतांक हैं और $x$ चर है।

समीकरण $x^2 – 1$ में, $a = 1, b = 0,$ और $c = -1$ है।

इसलिए, $x^2 – 1$ एक द्विघात समीकरण है।

$x^2 + 4 = 0$ का हल क्या है?

समीकरण $x^2 + 4 = 0$ एक द्विघात समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इसे $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $a, b,$ और c नियतांक हैं। इस मामले में, $a = 1, b = 0,$ और $c = 4$ है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$x = \dfrac {-b ± \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$

$a, b$, और $c$ के मान डालने पर, हमें मिलता है:

$x =\dfrac {-0 ± \sqrt {0^2 - 4(1)(4)}}{ 2(1)}$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$x = \dfrac {-0 ± \sqrt {-16}} {2} $

चूँकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता, इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। इसका अर्थ है कि कोई ऐसी वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग $-4$ के बराबर हो।

हालांकि, हम इस समीकरण के समिश्र हल अभी भी काल्पनिक इकाई i का उपयोग करके खोज सकते हैं, जिसे $-1$ का वर्गमूल परिभाषित किया गया है। $ \sqrt {-16}$ के स्थान पर i रखने पर, हमें मिलता है:

$x = (-0 ± 4i) / 2$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$x = ±2i$

इसलिए, समीकरण $x^2 + 4 = 0$ के हल $2i$ और $-2i$ हैं।

द्विघात समीकरण को मूलों के योग और गुणनफल के रूप में लिखें।

मूलों के योग और गुणनफल के रूप में द्विघात समीकरण

एक द्विघात समीकरण $$ax^2 + bx + c = 0$$ के रूप का समीकरण होता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ स्थिरांक हैं और $x$ चर है। किसी द्विघात समीकरण के मूल वे $x$ के मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

किसी द्विघात समीकरण के मूलों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$$

और मूलों का गुणनफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$$

उदाहरण:

द्विघात समीकरन $$2x^2 - 5x - 3 = 0.$$ पर विचार करें।

इस समीकरण के मूलों का योग है:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{2} = \dfrac{5}{2}$$

और मूलों का गुणनफल है:

$$x_1 x_2 = \dfrac{-3}{2}$$

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द्विघात या द्विघात समीकरण

एक द्विघात समीकरण घात 2 का एक बहुपद समीकरण होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें चर घातांक $2$ के साथ होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ स्थिरांक हैं और $x$ चर है।

द्विघात समीकरणों को विभिन्न विधियों से हल किया जा सकता है, जिनमें गुणनफल निकालना, वर्ग पूर्ण करना और द्विघात सूत्र का उपयोग करना शामिल है।

द्विघात समीकरण के हल वे x के मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं। ये हल वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ या काल्पनिक संख्याएँ भी हो सकते हैं।

द्विघात समीकरण का आलेख एक परवलय होता है, जो एक U-आकार की वक्र रेखा है। परवलय का शीर्ष वह बिंदु होता है जहाँ वक्र दिशा बदलता है, और सममिति अक्ष एक ऊध्र्वाधर रेखा है जो शीर्ष से होकर गुजरती है।

द्विघात समीकरणों के जीवन में कई अनुप्रयोग हैं, जैसे कि किसी प्रक्षेप्य की प्रक्षेपपथ को मॉडल करना, परवलय के क्षेत्रफल की गणना करना और भौतिकी तथा अभियांत्रिकी की समस्याओं को हल करना।

द्विघात समीकरण क्या है?

एक द्विघात समीकरण घात $2$ का एक बहुपद समीकरण होता है, जिसका अर्थ है कि इसमें चर घातांक $2$ पर उठाया गया होता है। इसका सामान्य रूप इस प्रकार है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ $a, b,$ और $c$ अचर हैं और $x$ चर है।

द्विघात समीकरण का मानक रूप

द्विघात समीकरण का मानक रूप

एक द्विघात समीकरण इस रूप का समीकरण होता है $$ax^2 + bx + c = 0$$ जहाँ $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$। द्विघात समीकरण के मानक रूप में $x^2$ पद पहले लिखा जाता है, फिर $x$ पद, और अंत में अचर पद।

मानक रूप में द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• $$x^2 + 2x - 3 = 0$$
• $$2x^2 - 5x + 1 = 0$$
• $$-3x^2 + 4x - 2 = 0$$

द्विघात सूत्र

द्विघात सूत्र एक गणितीय सूत्र है जो द्विघात समीकरण के हल देता है। द्विघात समीकरण एक समीकरण होता है जिसका रूप $$ax^2 + bx + c = 0$$ होता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ स्थिरांक होते हैं और $x$ चर होता है।

द्विघात सूत्र है:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

जहाँ:

• $x$ द्विघात समीकरण का हल है।
• $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण से स्थिरांक हैं।
• $\pm$ का अर्थ है “जमा या घटाव”।

उदाहरण

द्विघात समीकरण $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ के हल ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

$$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$$

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm 6}{2}$$

$$x = 5 \quad \text{या} \quad x = -1$$

इसलिए, द्विघात समीकरण $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ के हल $x = 5$ और $x = -1$ हैं।

विचलन

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का विचलन $D = b^2-4ac$ द्वारा दिया जाता है

• यदि विचलन धनात्मक हो, तो द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल होते हैं।
• यदि विचलन शून्य हो, तो द्विघात समीकरण का एक दोहराया गया वास्तविक हल होता है।
• यदि विचलन ऋणात्मक हो, तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता।

ऊपर दिए गए उदाहरण में, विचलन $$(4)^2 - 4(1)(-5) = 36$$ है, जो धनात्मक है। इसलिए, द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल हैं।

द्विघात के उदाहरण

द्विघात द्विघातीय बहुपद होते हैं, जिसका अर्थ है कि इनमें चर घात 2 तक उठाया जाता है। इन्हें सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$ax^2 + bx + c = 0$$, जहाँ a, b और c नियतांक हैं और x चर है।

द्विघात समीकरणों को हल कैसे करें?

द्विघात समीकरणों पर हल किए गए प्रश्न

उदाहरण 1: द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ को हल कीजिए।

हल: हम इस समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

जहाँ $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। इस मामले में, $a = 1$, $b = -4$, और $c = -5$। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:

$$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \dfrac{4 \pm 6}{2}$$

इसलिए समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के हल हैं $x = 5$ और $x = -1$।

उदाहरण 2: द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 1 = 0$ को हल कीजिए।

हल: यह समीकरण एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए हम इसे दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर हल कर सकते हैं:

$${x^2 + 2x + 1} = {0}$$

$$(x + 1)^2 = 0$$

$$\Rightarrow x + 1 = 0$$

$$x = -1 \quad \text {(दोहराए गए और वास्तविक मूल)}$$

इसलिए समीकरण $x^2 + 2x + 1 = 0$ का एकमात्र हल है $x = -1$।

द्विघात समीकरणों के अनुप्रयोग

द्विघात समीकरण बीजगणित की एक मौलिक अवधारणा हैं और विभिन्न क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि द्विघात समीकरण वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में कैसे उपयोग किए जाते हैं:

1. प्रक्षेप्य गति: जब कोई वस्तु हवा में प्रक्षेपित की जाती है, तो उसकी प्रक्षेप्य रेखा को द्विघात समीकरण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। समीकरण प्रारंभिक वेग, प्रक्षेपण कोण और गुरुत्वाकर्षण त्वरण जैसे कारकों को ध्यान में रखता है। द्विघात समीकरण को हल करके, हम प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई और उसकी सीमा निर्धारित कर सकते हैं।

2. व्यापार और अर्थशास्त्र: द्विघात समीकरण विभिन्न व्यापारिक और आर्थिक मॉडलों में उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, ब्रेक-ईवन विश्लेषण में, द्विघात समीकरण का उपयोग ब्रेक-ईवन बिंदु निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जो वह बिंदु है जहाँ कुल राजस्व कुल लागत के बराबर होता है। यह व्यवसायों को मूल्य निर्धारण, उत्पादन और विपणन रणनीतियों के बारे में सूचित निर्णय लेने में मदद करता है।

3. भौतिकी और अभियांत्रिकी: द्विघात समीकरण भौतिकी और अभियांत्रिकी में विभिन्न घटनाओं को मॉडल और विश्लेषण करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य गति के अध्ययन में, किसी वस्तु की प्रक्षेप्य रेखा को द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसी प्रकार, संरचनात्मक अभियांत्रिकी में, द्विघात समीकरण विभिन्न भार स्थितियों के तहत संरचनाओं की स्थिरता और शक्ति का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

4. वित्त और निवेश: द्विघात समीकरणों का उपयोग वित्तीय मॉडलिंग और निवेश विश्लेषण में किया जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन मॉडल में, यूरोपीय-शैली के विकल्पों की कीमत की गणना करने के लिए एक द्विघात समीकरण का उपयोग किया जाता है, जो भविष्य में किसी संपत्ति की कीमत पर अटकलबाज़ी के लिए उपयोग किए जाने वाले वित्तीय डेरिवेटिव होते हैं।

5. रोबोटिक्स और एनिमेशन: द्विघात समीकरणों का उपयोग रोबोटिक्स और एनिमेशन में रोबोटों की गति को नियंत्रित करने और यथार्थवादी एनिमेशन बनाने के लिए किया जाता है। द्विघात समीकरणों का उपयोग करके, एनिमेटर पात्रों और वस्तुओं के लिए चिकनी और प्राकृतिक गति पथ बना सकते हैं।

6. खेल और मनोरंजन: द्विघात समीकरणों का उपयोग विभिन्न खेलों और मनोरंजन गतिविधियों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, गोल्फ में, गोल्फ बॉल की प्रक्षेपवक्र को एक द्विघात समीकरण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है, जिसमें क्लब वेग, प्रक्षेपण कोण और वायु प्रतिरोध जैसे कारकों को ध्यान में रखा जाता है।

7. वास्तुकला और डिज़ाइन: द्विघात समीकरणों का उपयोग वास्तुकला और डिज़ाइन में सौंदर्यात्मक रूप से सुंदर और संरचनात्मक रूप से मजबूत संरचनाएं बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, मेहराबों और गुंबदों के डिज़ाइन में, द्विघात समीकरणों का उपयोग इष्टतम आकृति और आयाम निर्धारित करने के लिए किया जाता है ताकि स्थिरता और भार-वहन क्षमता सुनिश्चित हो सके।

ये द्विघात समीकरणों के कई अनुप्रयोगों के कुछ उदाहरण मात्र हैं। उनकी बहुमुखी प्रतिभा और व्यापक उपयोग इस बात को दर्शाते हैं कि इस मौलिक गणितीय अवधारणा को समझना और सिद्ध करना कितना महत्वपूर्ण है।

द्विघात के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

द्विघात समीकरण क्या है?

द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण एक बहुपद समीकरण होता है जिसकी घात 2 होती है, अर्थात चर का सबसे बड़ा घातांक 2 होता है। इसका सामान्य रूप होता है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ a, b और c नियतांक होते हैं और x चर है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• $x^2 + 2x - 3 = 0$

• $2x^2 - 5x + 1 = 0$

• $-3x^2 + 4x - 2 = 0$

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ क्या हैं?

द्विघात समीकरण को हल करने में ऐसे चर के मान खोजने होते हैं जो समीकरण को शून्य के बराबर बना दें। द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीके होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएँ और सीमाएँ होती हैं। यहाँ कुछ सामान्यतः प्रयुक्त विधियाँ दी गई हैं:

1. गुणनफल निकालना (फैक्टराइज़ेशन): गुणनफल निकालने में द्विघात समीकरण को दो रैखिक गुणनफलों के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह विधि तब लागू होती है जब द्विघात समीकरण को आसानी से गुणनफलों में बाँटा जा सके।

उदाहरण: द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल कीजिए।

हल: द्विघात व्यंजक को गुणनफलों में बाँटिए:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

प्रत्येक गुणनफल को शून्य के बराबर रखिए:

$x - 2 = 0$ या $x - 3 = 0$

x के लिए हल कीजिए:

$x_1 = 2$ या $x_2 = 3$

इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।

2. वर्ग पूर्ण बनाना (कम्प्लीटिंग द स्क्वायर): वर्ग पूर्ण बनाने में द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग में रूपांतरित किया जाता है। यह विधि तब उपयोगी होती है जब द्विघात समीकरण को आसानी से गुणनफलों में नहीं बाँटा जा सकता।

उदाहरण: द्विघात समीकरण $x^2 + 4x - 5 = 0$ को हल कीजिए।

हल: x के गुणांक के आधे के वर्ग को जोड़ें और घटाएँ: $x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = 0$

पूर्ण वर्ग को गुणनखंडित करें:

$(x + 2)^2 - 9 = 0$

दोनों पक्षों में 9 जोड़ें: $(x + 2)^2 = 9$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: $x + 2 = \pm 3$

x के लिए हल करें: $x_1 = -2 + 3 = 1$ या $x_2 = -2 - 3 = -5$

इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 1$ और $x = -5$ हैं।

3. द्विघात सूत्र: द्विघात सूत्र एक सामान्य सूत्र है जिसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। यह वर्ग पूर्ण करने की प्रक्रिया से व्युत्पन्न किया गया है।

द्विघात सूत्र है: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

जहाँ $a$, $b$, और $c$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणांक हैं।

उदाहरण: द्विघात समीकरण $2x^2 - 5x + 2 = 0$ को हल करें।

हल: गुणांक पहचानें: $a = 2$, $b = -5$, और $c = 2$।

मानों को द्विघात सूत्र में प्रतिस्थापित करें: $x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)}$

सरल करें: $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4}$

$x = \dfrac{5 \pm 3}{4}$

इसलिए, द्विघात समीकरण के हल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।

क्या $x^2 – 1$ एक द्विघात समीकरण है?

हाँ, $x^2 – 1$ एक द्विघात समीकरण है।

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है, जहाँ $a, b$, और $c$ स्थिरांक हैं और $x$ चर है।

समीकरण $x^2 – 1$ में, $a = 1, b = 0,$ और $c = -1$ है।

इसलिए, $x^2 – 1$ एक द्विघात समीकरण है।

$x^2 + 4 = 0$ का हल क्या है?

समीकरण $x^2 + 4 = 0$ एक द्विघात समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इसे $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $a, b,$ और c नियतांक हैं। इस मामले में, $a = 1, b = 0,$ और $c = 4$ है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

$x = \dfrac {-b ± \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$

$a, b$, और $c$ के मानों को रखने पर, हमें मिलता है:

$x =\dfrac {-0 ± \sqrt {0^2 - 4(1)(4)}}{ 2(1)}$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$x = \dfrac {-0 ± \sqrt {-16}} {2} $

चूँकि किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं होता, इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। इसका अर्थ है कि कोई भी वास्तविक संख्या ऐसी नहीं है जिसका वर्ग $-4$ के बराबर हो।

हालाँकि, हम इस समीकरण के समिश्र हल अभी भी खोज सकते हैं काल्पनिक इकाई i का उपयोग करके, जिसे $-1$ का वर्गमूल परिभाषित किया गया है। $ \sqrt {-16}$ के लिए i रखने पर, हमें मिलता है:

$x = (-0 ± 4i) / 2$

इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें मिलता है:

$x = ±2i$

इसलिए, समीकरण $x^2 + 4 = 0$ के हल $2i$ और $-2i$ हैं।

द्विघात समीकरण को मूलों के योग और गुणनफल के रूप में लिखें।

मूलों के योग और गुणनफल के रूप में द्विघात समीकरण

एक द्विघात समीकरण $$ax^2 + bx + c = 0$$ के रूप का एक समीकरण होता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ नियतांक हैं और $x$ चर है। किसी द्विघात समीकरण के मूल वे $x$ के मान होते हैं जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$$

और मूलों का गुणनफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$$

उदाहरण:

द्विघात समीकरण $$2x^2 - 5x - 3 = 0.$$ पर विचार करें।

इस समीकरण के मूलों का योग है:

$$x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{2} = \dfrac{5}{2}$$

और मूलों का गुणनफल है:

$$x_1 x_2 = \dfrac{-3}{2}$$