वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इनमें परिमेय संख्याएँ (वे संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और अपरिमेय संख्याएँ (वे संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है) शामिल होती हैं। वास्तविक संख्याएँ गणित में अत्यावश्यक हैं और भौतिकी, इंजीनियरिंग तथा अर्थशास्त्र जैसे विभिन्न क्षेत्रों में प्रयोग की जाती हैं।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को चिह्न ℝ द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याएँ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती हैं। इन्हें बीजगणितीय संख्याएँ (वे संख्याएँ जो परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरणों के हल हों) या अतिबीजगणितीय संख्याएँ (वे संख्याएँ जो बीजगणितीय नहीं हैं) के रूप में भी वर्गीकृत किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं का उपयोग सतत मात्राओं—जैसे लंबाई, समय और तापमान—को दर्शाने के लिए किया जाता है। इनका प्रयोग कलन में भी होता है, जहाँ ये अवकलज और समाकलन के अध्ययन के लिए अत्यावश्यक हैं। वास्तविक संख्याएँ गणित में मौलिक भूमिका निभाती हैं और विभिन्न वैज्ञानिक तथा इंजीनियरिंग विषयों में असंख्य अनुप्रयोग रखती हैं।

वास्तविक संख्याओं की परिभाषा

वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इनमें सभी परिमेय संख्याएँ (वे संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और सभी अपरिमेय संख्याएँ (वे संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है) सम्मिलित हैं।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण

• परिमेय संख्याएँ: 1/2, 3/4, 5/6, …
• अपरिमेय संख्याएँ: π, √2, e, …

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, जिसे ℝ द्वारा दर्शाया जाता है, गणित में सबसे व्यापक और व्यापक रूप से प्रयुक्त संख्या प्रणाली है। इसमें सभी परिमेय संख्याएँ (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और अपरिमेय संख्याएँ (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है) शामिल हैं।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को $R$ द्वारा दर्शाया जाता है।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण:

1. परिमेय संख्याएँ: सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। परिमेय संख्याओं के उदाहरणों में 1/2, -3/4 और 5/7 शामिल हैं।

2. अपरिमेय संख्याएँ: कुछ अपरिमेय संख्याओं में √2 (लगभग 1.414), π (लगभग 3.14159) और e (लगभग 2.718) शामिल हैं।

3. अतिशय संख्याएँ: अतिशय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं जो बीजगणितीय नहीं होती हैं, अर्थात वे किसी भी परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरण की जड़ नहीं हो सकती हैं। अतिशय संख्याओं के उदाहरणों में π और e शामिल हैं।

वास्तविक संख्याओं का चार्ट

वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इनमें परिमेय संख्याएँ (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और अपरिमेय संख्याएँ (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है) शामिल हैं।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण

यहाँ कुछ वास्तविक संख्याओं के उदाहरण दिए गए हैं:

• परिमेय संख्याएँ:
  • 1/2
  • 3/4
  • 5/6
  • 7/8
• अपरिमेय संख्याएँ:
  • √2
  • π
  • e
• धनात्मक संख्याएँ:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
• ऋणात्मक संख्याएँ:
  • -1
  • -2
  • -3
  • -4
• पूर्ण संख्याएँ:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
• दशमलव संख्याएँ:
  • 0.5
  • 1.25
  • 2.333…
  • 3.14159…

वास्तविक संख्याओं के गुणधर्म

वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें ℝ द्वारा दर्शाया जाता है, सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को सम्मिलित करती हैं। इनमें कई मौलिक गुणधर्म होते हैं जो उनके व्यवहार और संक्रियाओं को नियंत्रित करते हैं। आइए इन गुणधर्मों का विस्तार से अन्वेषण करें:

1. बंद गुणधर्म:

• योग के प्रति बंद: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, उनका योग a + b भी एक वास्तविक संख्या होती है।
• गुणा के प्रति बंद: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, उनका गुणनफल a × b भी एक वास्तविक संख्या होता है।

2. क्रमविनिमेय गुणधर्म:

• योग का क्रमविनिमेय गुणधर्म: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, a + b = b + a।
• गुणा का क्रमविनिमेय गुणधर्म: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, a × b = b × a।

3. साहचर्य गुणधर्म:

• योग का साहचर्य गुणधर्म: किन्हीं भी तीन वास्तविक संख्याओं a, b, और c के लिए, (a + b) + c = a + (b + c)।
• गुणा का साहचर्य गुणधर्म: किन्हीं भी तीन वास्तविक संख्याओं a, b, और c के लिए, (a × b) × c = a × (b × c)।

4. वितरण गुणधर्म: वितरण गुणधर्म कहता है कि किन्हीं भी तीन वास्तविक संख्याओं a, b, और c के लिए, a × (b + c) = (a × b) + (a × c)।

5. ततत्व पहचान:

• योज्य ततत्व: संख्या 0 वास्तविक संख्याओं के लिए योज्य ततत्व है। किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, a + 0 = a।
• गुणात्मक ततत्व: संख्या 1 वास्तविक संख्याओं के लिए गुणात्मक ततत्व है। किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, a × 1 = a।

6. व्युत्क्रम तत्व:

• योज्य व्युत्क्रम: प्रत्येक वास्तविक संख्या a के लिए एक योज्य व्युत्क्रम होता है, जिसे -a द्वारा दर्शाया जाता है, ताकि a + (-a) = 0।
• गुणात्मक व्युत्क्रम: प्रत्येक अशून्य वास्तविक संख्या a के लिए एक गुणात्मक व्युत्क्रम होता है, जिसे 1/a द्वारा दर्शाया जाता है, ताकि a × (1/a) = 1।

7. क्रम गुणधर्म:

• संपूर्ण क्रम: वास्तविक संख्याएँ संपूर्ण रूप से क्रमबद्ध हैं, जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए या तो a < b, a > b, या a = b होता है।
• संक्रामक गुणधर्म: किन्हीं तीन वास्तविक संख्याओं a, b और c के लिए, यदि a < b और b < c, तो a < c।
• त्रिभाजन गुणधर्म: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए निम्नलिखित में से केवल एक सत्य होता है: a < b, a > b, या a = b।

8. सघनता गुणधर्म: वास्तविक संख्याएँ सघन हैं, जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच कम से कम एक अन्य वास्तविक संख्या होती है।

9. पूर्णता गुणधर्म: वास्तविक संख्याएँ पूर्ण हैं, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं की प्रत्येक अरिक्त समुच्चय जिसका एक ऊपरी सीमा है, का ℝ में एक न्यूनतम ऊपरी सीमा (सुप्रीमम) होता है।

वास्तविक संख्याओं के ये गुणधर्म अंकगणितीय और बीजगणितीय संक्रियाओं की नींव बनाते हैं। वे यह सुनिश्चित करते हैं कि वास्तविक संख्या प्रणाली सुव्यवस्थित, संगत और एक अनुमानित तरीके से व्यवहार करती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1:

निम्नलिखित का दशमलव समतुल्य लिखिए:

(i) 1/4 (ii) 5/8 (iii) 3/2

हल:

(i) 1/4 = (1 × 25)/(4 × 25) = 25/100 = 0.25

(ii) 5/8 = (5 × 125)/(8 × 125) = 625/1000 = 0.625

(iii) 3/2 = (3 × 5)/(2 × 5) = 15/10 = 1.5

उदाहरण 2:

1.25 को किससे गुणा किया जाए ताकि उत्तर 1 आए?

हल: 1.25 = 125/100

अब यदि हम इसे 100/125 से गुणा करें, तो हमें मिलता है

125/100 × 100/125 = 1

उदाहरण 1:

वास्तविक संख्याओं पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्राकृतिक और वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये 1 से शुरू होती हैं और 2, 3, 4, आदि तक जाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं को गिनती संख्याएँ भी कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण:

• 1 सेब
• 2 संतरे
• 3 केले
• 4 कुर्सियाँ
• 5 मेज़ें

वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इसमें प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण:

• 1
• 2.5
• -3
• 1/2
• √2

प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध

प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं की उपसमुच्चय होती हैं। सभी प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं, लेकिन सभी वास्तविक संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1/2 एक वास्तविक संख्या है, लेकिन यह प्राकृतिक संख्या नहीं है।

क्या शून्य एक वास्तविक या काल्पनिक संख्या है?

वास्तविक संख्या प्रणाली में, शून्य को एक वास्तविक संख्या माना जाता है। वास्तविक संख्याएं वे संख्याएं होती हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, और इनमें वे सभी संख्याएं शामिल होती हैं जिन्हें हम रोज़मर्रा की ज़िंदगी में इस्तेमाल करते हैं, जैसे 1, 2, 3, आदि।

शून्य एक वास्तविक संख्या है क्योंकि इसे संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। यह मूल बिंदु पर स्थित होता है, जो वह बिंदु है जहाँ धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएं मिलती हैं।

क्या शून्य काल्पनिक है?

काल्पनिक संख्याएं वे संख्याएं होती हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया नहीं जा सकता। ये वे संख्याएं होती हैं जिन्हें काल्पनिक इकाई i से गुणा किया जाता है, जिसे -1 का वर्गमूल परिभाषित किया गया है।

चूँकि , समिश्र संख्या 0 + 0i शून्य है।

निष्कर्ष

शून्य एक अद्वितीय संख्या है जो वास्तविक और काल्पनिक दोनों हो सकती है। यह एक वास्तविक संख्या है क्योंकि इसे संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, और यह एक काल्पनिक संख्या है क्योंकि इसे काल्पनिक इकाई i से गुणा करने पर शून्य प्राप्त होता है।

क्या कोई वास्तविक संख्याएं ऐसी हैं जो न तो परिमेय हैं और न ही अपरिमेय?

नहीं, ऐसी कोई वास्तविक संख्याएं नहीं हैं जो न तो परिमेय हैं और न ही अपरिमेय। वास्तविक संख्याओं की परिभाषा ही यह कहती है कि ये परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याओं का संयोजन होती हैं।

क्या वास्तविक संख्या समिश्र संख्या की उपसमुच्चय है?

हाँ, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय समिश्र संख्याओं के समुच्चय की उपसमुच्चय है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक ऐसी समिश्र संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसका काल्पनिक भाग शून्य हो। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या 5 को समिश्र संख्या 5 + 0i के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं के रूप में कैसे दर्शाया जा सकता है:

• वास्तविक संख्या 3 को सम्मिश्र संख्या 3 + 0i के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• वास्तविक संख्या -2 को सम्मिश्र संख्या -2 + 0i के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• वास्तविक संख्या 0 को सम्मिश्र संख्या 0 + 0i के रूप में दर्शाया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के गुण क्या हैं?

वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें R द्वारा दर्शाया जाता है, कई मौलिक गुणों को धारण करती हैं जो उनकी बीजगणितीय और क्रमबद्ध संरचनाओं को परिभाषित करते हैं। ये गुण वास्तविक संख्याओं के व्यवहार और संक्रियाओं को समझने में आवश्यक हैं। आइए प्रत्येक गुण को विस्तार से समझें:

1. योग और गुणा के तहत बंद होना:

• योग के तहत बंद होना: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, उनका योग a + b भी एक वास्तविक संख्या होती है।
• गुणा के तहत बंद होना: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, उनका गुणा a * b भी एक वास्तविक संख्या होती है।

2. क्रमविनिमेय गुण:

• योग का क्रमविनिमेय गुण: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, योग के क्रम से परिणाम प्रभावित नहीं होता है, अर्थात् a + b = b + a।
• गुणा का क्रमविनिमेय गुण: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, गुणा के क्रम से परिणाम प्रभावित नहीं होता है, अर्थात् a * b = b * a।

3. सहचारी गुणधर्म:

• योग का सहचारी गुणधर्म: किन्हीं तीन वास्तविक संख्याओं a, b और c के लिए, योग के समूहन से परिणाम प्रभावित नहीं होता, अर्थात् (a + b) + c = a + (b + c)।
• गुणा का सहचारी गुणधर्म: किन्हीं तीन वास्तविक संख्याओं a, b और c के लिए, गुणा के समूहन से परिणाम प्रभावित नहीं होता, अर्थात् (a * b) * c = a * (b * c)।

4. वितरण गुणधर्म: वितरण गुणधर्म वास्तविक संख्याओं के योग और गुणा को संबद्ध करता है। किन्हीं तीन वास्तविक संख्याओं a, b और c के लिए, यह कहता है: a * (b + c) = a * b + a * c

5. तत्समक अवयव:

• योग तत्समक: वास्तविक संख्या 0 (शून्य) योग तत्समक है, जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, a + 0 = a।
• गुणा तत्समक: वास्तविक संख्या 1 (एक) गुणा तत्समक है, जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए, a * 1 = a।

6. प्रतिलोम अवयव:

• योग प्रतिलोम: प्रत्येक वास्तविक संख्या a के लिए, एक अद्वितीय वास्तविक संख्या -a (ऋण a) का अस्तित्व होता है ताकि a + (-a) = 0।
• गुणा प्रतिलोम: प्रत्येक अशून्य वास्तविक संख्या a के लिए, एक अद्वितीय वास्तविक संख्या 1/a (a से विभाजित एक) का अस्तित्व होता है ताकि a * (1/a) = 1।

7. क्रम गुणधर्म:

• कुल क्रम: वास्तविक संख्याएँ पूर्णतः क्रमबद्ध हैं, जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, या तो a < b, a > b, या a = b।
• संक्रामक गुणधर्म: यदि a < b और b < c, तो a < c।
• त्रिभाजन गुणधर्म: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, निम्नलिखित में से केवल एक सत्य है: a < b, a > b, या a = b।

8. पूर्णता: वास्तविक संख्याएँ पूर्ण होती हैं, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं के हर एक अ-रिक्त समुच्चय, जिसका कोई ऊपरी सीमा है, का R में एक न्यूनतम ऊपरी सीमा (सुप्रीमम) होता है। यह गुण वास्तविक संख्याओं को परिमेय संख्याओं से अलग करता है, जो पूर्ण नहीं होती हैं।

वास्तविक संख्याओं के ये गुण उनके बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक संक्रियाओं की नींव बनाते हैं। ये हमें गणनाएँ करने, समीकरण हल करने और वास्तविक संख्याओं के बीच संगत और सुव्यवस्थित तरीके से संबंध स्थापित करने की अनुमति देते हैं।

क्या √3 एक वास्तविक संख्या है?

क्या √3 एक वास्तविक संख्या है?

3 का वर्गमूल (√3) एक वास्तविक संख्या है। यह एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अंश के रूप में नहीं व्यक्त किया जा सकता। इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाणित किया जा सकता है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण

मान लीजिए कि √3 एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, a/b, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और b शून्य के बराबर नहीं है।

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं:

$(√3)^2 = (a/b)^2$

इससे सरलीकृत रूप मिलता है:

$3 = a^2/b^2$

दोनों पक्षों को b^2 से गुणा करने पर हमें मिलता है:

$3b^2 = a^2$

इसका अर्थ है कि $a^2$ 3 से विभाज्य है। इसलिए, a को 3 से विभाज्य होना चाहिए।

मान लीजिए $a = 3k$, जहाँ k एक पूर्णांक है। इसे समीकरण $3b^2 = a^2$ में रखने पर हमें मिलता है:

$3b^2 = (3k)^2$

सरलीकृत करने पर हमें मिलता है:

$3b^2 = 9k^2$

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर हमें मिलता है:

$b^2 = 3k^2$

इसका अर्थ है कि b^2 3 से विभाज्य है। इसलिए, b को 3 से विभाज्य होना चाहिए।

लेकिन यह हमारी मूल धारणा का विरोधाभास करता है कि b, 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, हमारी धारणा कि $√3$ एक परिमेय संख्या है, गलत होनी चाहिए।

निष्कर्ष

चूँकि यह धारणा कि √3 एक परिमेय संख्या है, एक विरोधाभास की ओर ले गई, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि √3 एक अपरिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि यह एक वास्तविक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।

क्या 3i एक वास्तविक संख्या है?

नहीं, 3i एक वास्तविक संख्या नहीं है, क्योंकि इसमें एक काल्पनिक भाग है।

वास्तविक संख्याओं के विभिन्न उपसमुच्चय क्या हैं?

वास्तविक संख्याएँ गणित की एक मौलिक अवधारणा हैं, जिनमें वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इन्हें उनके गुणधर्मों और विशेषताओं के आधार पर कई उपसमुच्चयों में व्यापक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है। यहाँ वास्तविक संख्याओं के कुछ प्रमुख उपसमुच्चय दिए गए हैं:

1. प्राकृत संख्याएँ (N):

• परिभाषा: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय 1 से शुरू होने वाली धनात्मक पूर्णांकों से मिलकर बनता है।
• उदाहरण: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, और आगे भी।

2. पूर्ण संख्याएँ (W):

• परिभाषा: पूर्ण संख्याओं का समुच्चय शून्य (0) और सभी प्राकृत संख्याओं को सम्मिलित करता है।
• उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, और आगे भी।

3. पूर्णांक (Z):

• परिभाषा: पूर्णांकों का समुच्चय सभी पूर्ण संख्याओं को सम्मिलित करता है, जिनमें उनके ऋणात्मक समकक्ष भी शामिल हैं।
• उदाहरण: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

4. परिमेय संख्याएँ (Q):

• परिभाषा: परिमेय संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भागफल या अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ हर शून्य नहीं होता।
• उदाहरण: 1/2, 3/4, -5/6, 7/8, 9/10, और आगे।

5. अपरिमेय संख्याएँ (I):

• परिभाषा: अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के सरल अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। ये असमाप्त और अनावर्ती दशमलव होते हैं।
• उदाहरण: √2 (लगभग 1.414), π (लगभग 3.14159), √3 (लगभग 1.732), और आगे।

6. बीजगणितीय संख्याएँ (A):

• परिभाषा: बीजगणितीय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं जो परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरणों के हल होती हैं।
• उदाहरण: √2, √3, π (यदि इसे परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के हल के रूप में सिद्ध किया जा सके), और आगे।

7. अतिक्रमणीय संख्याएँ (T):

• परिभाषा: अतिक्रमणीय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं जो बीजगणितीय संख्याएँ नहीं होतीं। ये किसी भी परिमेय गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के हल नहीं हो सकतीं।
• उदाहरण: π (यदि यह अतिक्रमणीय सिद्ध हो), e (प्राकृतिक लघुगणक का आधार), और आगे।

8. वास्तविक संख्याएँ (R):

• परिभाषा: वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को समाहित करता है। इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल होती हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

ये वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय विभिन्न गणितीय क्षेत्रों में विशिष्ट गुणधर्मों और अनुप्रयोगों के साथ होते हैं। उनकी विशेषताओं और संबंधों को समझना उन्नत गणितीय संकल्पनाओं और समस्या-समाधान के लिए अत्यंत आवश्यक है।