अनुक्रम और श्रेणी

अनुक्रम:

• एक अनुक्रम संख्याओं या वस्तुओं का एक क्रमबद्ध सूची होता है।
• अनुक्रम में प्रत्येक तत्व को एक पद कहा जाता है।
• अनुक्रम में किसी पद की स्थिति को उसका सूचकांक कहा जाता है।
• अनुक्रम सीमित या असीमित हो सकते हैं।

श्रेणी:

• एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होती है।
• श्रेणी अभिसारी या विस्तारी हो सकती है।
• एक अभिसारी श्रेणी का योग सीमित होता है, जबकि एक विस्तारी श्रेणी का योग सीमित नहीं होता।
• एक अभिसारी श्रेणी के योग को उसकी सीमा कहा जाता है।

अनुक्रम और श्रेणी की परिभाषा

अनुक्रम

एक अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होता है। अनुक्रम में संख्याओं को पद कहा जाता है। पहला पद अनुक्रम की शुरुआत में स्थित संख्या होता है, दूसरा पद पहले पद के बाद की संख्या होता है, और इसी तरह आगे बढ़ता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5 पाँच पदों का एक अनुक्रम है। पहला पद 1 है, दूसरा पद 2 है, तीसरा पद 3 है, चौथा पद 4 है, और पाँचवाँ पद 5 है।

श्रेणी

एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होती है। किसी अनुक्रम के पहले n पदों के योग को nवाँ आंशिक योग कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, श्रेणी 1 + 2 + 3 + 4 + 5 अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5 के पदों का योग है। पहला आंशिक योग 1 है, दूसरा आंशिक योग 1 + 2 = 3 है, तीसरा आंशिक योग 1 + 2 + 3 = 6 है, चौथा आंशिक योग 1 + 2 + 3 + 4 = 10 है, और पाँचवाँ आंशिक योग 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 है।

अनुक्रम और श्रेणी के उदाहरण

• प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5, … है।
• सम संख्याओं का अनुक्रम अनुक्रम 2, 4, 6, 8, 10, … है।
• विषम संख्याओं का अनुक्रम अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9, … है।
• अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम अनुक्रम 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … है।
• समांतर श्रेणी अनुक्रम a, a + d, a + 2d, a + 3d, …. है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।
• गुणोत्तर श्रेणी अनुक्रम a, ar, ar^2, ar^3, …. है, जहाँ a पहला पद है और r सार्व अनुपात है।

अनुक्रमों और श्रेणियों के अनुप्रयोग

अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में किया जाता है। अनुक्रमों और श्रेणियों के कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:

• कलन: अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग सीमा, अवकलज और समाकल को परिभाषित करने में किया जाता है।
• भौतिकी: अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग गति, ऊष्मा स्थानांतरण और द्रव प्रवाह को मॉडल करने में किया जाता है।
• अभियांत्रिकी: अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग पुल, इमारतों और अन्य संरचनाओं को डिज़ाइन करने में किया जाता है।
• कंप्यूटर विज्ञान: अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग एल्गोरिद्म और डेटा संरचनाओं को विकसित करने में किया जाता है।
• वित्त: अनुक्रम और श्रेणियों का उपयोग शेयर कीमतों और ब्याज दरों को मॉडल करने में किया जाता है।

अनुक्रम और श्रेणियां हमारे आसपास की दुनिया को समझने और मॉडल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। इनका उपयोग कलन से लेकर वित्त तक विस्तृत अनुप्रयोगों में किया जाता है।

अनुक्रम और श्रेणी के प्रकार

अनुक्रम और श्रेणी के प्रकार

एक अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होता है, जबकि एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होता है। कई प्रकार के अनुक्रम और श्रेणियाँ होती हैं, प्रत्येक की अपनी विशिष्ट विशेषताएँ होती हैं।

समांतर अनुक्रम

एक समांतर अनुक्रम वह अनुक्रम होता है जिसमें किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक समांतर अनुक्रम है जिसमें सामान्य अंतर 2 है।

समांतर अनुक्रम का सामान्य सूत्र है:

a_n = a_1 + (n - 1)d

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवाँ पद है
• a_1 अनुक्रम का प्रथम पद है
• n पद की संख्या है
• d सामान्य अंतर है

गुणोत्तर अनुक्रम

एक गुणोत्तर अनुक्रम वह अनुक्रम होता है जिसमें किन्हीं दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16 एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसमें सामान्य अनुपात 2 है।

गुणोत्तर अनुक्रम का सामान्य सूत्र है:

a_n = a_1 * r^(n - 1)

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवाँ पद है
• a_1 अनुक्रम का प्रथम पद है
• n पद की संख्या है
• r सामान्य अनुपात है

हरात्मक अनुक्रम

एक हरात्मक अनुक्रम वह अनुक्रम होता है जिसमें पदों के व्युत्क्रम एक समांतर अनुक्रम बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 एक हरात्मक अनुक्रम है।

हरात्मक अनुक्रम का सामान्य सूत्र है:

a_n = 1/n

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवाँ पद है
• n पद की संख्या है

फाइबोनैचि अनुक्रम

एक फिबोनाची अनुक्रम एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद पिछले दो पदों के योग के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 एक फिबोनाची अनुक्रम है।

फिबोनाची अनुक्रम का सामान्य सूत्र है:

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवाँ पद है
• a_{n-1} अनुक्रम का (n-1)वाँ पद है
• a_{n-2} अनुक्रम का (n-2)वाँ पद है

श्रेणी

एक श्रेणी किसी अनुक्रम के पदों का योग होती है। उदाहरण के लिए, श्रेणी 1 + 3 + 5 + 7 + 9 समांतर अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 के पदों का योग है।

श्रेणी का सामान्य सूत्र है:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

जहाँ:

• S_n श्रेणी के पहले n पदों का योग है
• a_1 श्रेणी का पहला पद है
• a_2 श्रेणी का दूसरा पद है
• a_3 श्रेणी का तीसरा पद है
• …
• a_n श्रेणी का nवाँ पद है

अभिसरण और विसरण

एक श्रेणी को अभिसारी कहा जाता है यदि उसके पदों का योग n के अनंत की ओर बढ़ने पर एक परिमित सीमा की ओर अग्रसर हो। उदाहरण के लिए, श्रेणी 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … अभिसारी है क्योंकि इसके पदों का योग n के अनंत की ओर बढ़ने पर सीमा 2 की ओर अग्रसर होता है।

एक श्रेणी को विसारी कहा जाता है यदि उसके पदों का योग n के अनंत की ओर बढ़ने पर किसी परिमित सीमा की ओर अग्रसर नहीं होता। उदाहरण के लिए, श्रेणी 1 + 2 + 3 + 4 + … विसारी है क्योंकि इसके पदों का योग n के अनंत की ओर बढ़ने पर असीम रूप से बढ़ता जाता है।

अनुक्रम और श्रेणी के अनुप्रयोग

अनुक्रम और श्रेणियों का गणित, विज्ञान और इंजीनियरिंग में विविध अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग होता है:

• कलन में
• भौतिकी में
• इंजीनियरिंग में
• वित्त में
• जीव विज्ञान में
• कंप्यूटर विज्ञान में

अनुक्रम और श्रेणियाँ हमारे आसपास की दुनिया को मॉडलित और विश्लेषित करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं।

अनुक्रम और श्रेणी सूत्र

अनुक्रम और श्रेणी सूत्र

एक अनुक्रम संख्याओं की एक विशिष्ट क्रम में सूची होती है। एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होती है।

अनुक्रम सूत्र

एक समांतर अनुक्रम के nवें पद का सूत्र है:

a_n = a_1 + (n - 1)d

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवां पद है
• a_1 अनुक्रम का पहला पद है
• n पद की संख्या है
• d प्रत्येक पद के बीच उभयनिष्ठ अंतर है

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक समांतर अनुक्रम है जिसमें a_1 = 1 और d = 2 है। इस अनुक्रम के nवें पद का सूत्र है:

a_n = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1

एक गुणोत्तर अनुक्रम के nवें पद का सूत्र है:

a_n = a_1r^(n - 1)

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवां पद है
• a_1 अनुक्रम का पहला पद है
• n पद की संख्या है
• r प्रत्येक पद के बीच उभयनिष्ठ अनुपात है

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16 एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसमें a_1 = 1 और r = 2 है। इस अनुक्रम के nवें पद का सूत्र है:

a_n = 1(2)^(n - 1) = 2^(n - 1)

श्रेणी सूत्र

एक समांतर श्रेणी के पहले n पदों के योग का सूत्र है:

S_n = n/2(a_1 + a_n)

जहाँ:

• S_n श्रृंखला के पहले n पदों का योग है
• n पदों की संख्या है
• a_1 श्रृंखला का पहला पद है
• a_n श्रृंखला का nवाँ पद है

उदाहरण के लिए, समांतर श्रृंखला 1, 3, 5, 7, 9 के पहले 10 पदों का योग है:

S_10 = 10/2(1 + 19) = 100

किसी गुणोत्तर श्रृंखला के पहले n पदों के योग का सूत्र है:

S_n = a_1(1 - r^n)/(1 - r)

जहाँ:

• S_n श्रृंखला के पहले n पदों का योग है
• a_1 श्रृंखला का पहला पद है
• n पदों की संख्या है
• r प्रत्येक पद के बीच का सामान्य अनुपात है

उदाहरण के लिए, गुणोत्तर श्रृंखला 1, 2, 4, 8, 16 के पहले 10 पदों का योग है:

S_10 = 1(1 - 2^10)/(1 - 2) = 1023

अनुक्रम और श्रेणी के बीच अंतर

अनुक्रम और श्रेणी गणित की दो मौलिक अवधारणाएँ हैं जो आपस में निकटता से संबंधित हैं, परंतु इनकी विशेषताएँ भिन्न होती हैं। अनुक्रम और श्रेणी के बीच अंतर को समझना विभिन्न गणितीय अवधारणाओं और अनुप्रयोगों को समझने के लिए अत्यावश्यक है।

अनुक्रम:

एक अनुक्रम संख्याओं या वस्तुओं की एक क्रमबद्ध सूची होती है जो किसी विशिष्ट प्रतिरूप या नियम का अनुसरण करती है। अनुक्रम में प्रत्येक अवयव को एक पद कहा जाता है, और किसी पद की स्थिति उसके सूचकांक द्वारा दर्शाई जाती है। अनुक्रमों को सामान्यतः संकेतन {a₁, a₂, a₃, …, aₙ} द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ aᵢ अनुक्रम का i-वाँ पद है।

अनुक्रमों के उदाहरण:

1. प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम: {1, 2, 3, 4, 5, …}
2. सम संख्याओं का अनुक्रम: {2, 4, 6, 8, 10, …}
3. अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम: {2, 3, 5, 7, 11, …}
4. फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …}

श्रेणी:

एक श्रेणी किसी अनुक्रम के पदों का योग होता है। इसे ∑aᵢ संकेतन द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ aᵢ अनुक्रम का i-वाँ पद है और योग चिह्न (∑) दर्शाता है कि सभी पदों को जोड़ा गया है।

श्रेणियों के उदाहरण:

1. प्राकृत संख्याओं का योग: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = ∞ (अनिश्चल श्रेणी)
2. सम संख्याओं का योग: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … = ∞ (अनिश्चल श्रेणी)
3. गुणोत्तर श्रेणी का योग: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2 (निश्चल श्रेणी)
4. पार्श्व क्रमिक हार्मोनिक श्रेणी का योग: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - … = ln(2) (निश्चल श्रेणी)

मुख्य अंतर:

1. परिभाषा: अनुक्रम संख्याओं या वस्तुओं का एक क्रमबद्ध सूची होता है, जबकि श्रेणी किसी अनुक्रम के पदों का योग होता है।
2. संकेतन: अनुक्रम को घुंघराले ब्रैकेट {a₁, a₂, a₃, …, aₙ} द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि श्रेणी को योग चिह्न ∑aᵢ द्वारा दर्शाया जाता है।
3. योग: अनुक्रम का कोई निर्धारित योग नहीं होता, जबकि श्रेणी अनुक्रम के पदों के योग को दर्शाती है।
4. अभिसार और अपसार: अनुक्रम में अभिसार या अपसार की संकल्पना नहीं होती, जबकि श्रेणी निश्चल (योग एक परिमित मान की ओर जाता है) या अनिश्चल (योग अनंत की ओर जाता है या अस्तित्वहीन है) हो सकती है।

सारांश में, अनुक्रम संख्याओं या वस्तुओं के क्रमबद्ध सूची होते हैं, जबकि श्रेणी अनुक्रम के पदों के योग होते हैं। अनुक्रमों का कोई निर्धारित योग नहीं होता, जबकि श्रेणियाँ अभिसारी या विसारी हो सकती हैं। अनुक्रम और श्रेणी के बीच अंतर को समझना विभिन्न गणितीय अवधारणाओं और अनुप्रयोगों, जिनमें कलन, बीजगणित और विश्लेषण शामिल हैं, के लिए आवश्यक है।

अनुक्रम और श्रेणी के उदाहरण

अनुक्रम

एक अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होता है। अनुक्रम के पदों को सामान्यतः (a_1, a_2, a_3, \dots) द्वारा दर्शाया जाता है। अनुक्रम का पहला पद (a_1) होता है, दूसरा पद (a_2) होता है, और इसी तरह।

अनुक्रमों के उदाहरण:

• प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम: (1, 2, 3, 4, 5, \dots)।
• सम संख्याओं का अनुक्रम: (2, 4, 6, 8, 10, \dots)।
• विषम संख्याओं का अनुक्रम: (1, 3, 5, 7, 9, \dots)।
• अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम: (2, 3, 5, 7, 11, \dots)।

श्रेणी

एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होता है। अनुक्रम के प्रथम (n) पदों का योग (S_n) द्वारा दर्शाया जाता है।

श्रेणियों के उदाहरण:

• प्राकृत संख्याओं का योग: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots = \infty)।
• सम संख्याओं का योग: (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \dots = \infty)।
• विषम संख्याओं का योग: (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots = \infty)।
• अभाज्य संख्याओं का योग: (2 + 3 + 5 + 7 + 11 + \dots = \infty)।

अभिसरण और विसरण

एक श्रेणी को अभिसारी कहा जाता है यदि इसके पदों का योग (n) के अनंत की ओर बढ़ने पर एक सीमित सीमा की ओर बढ़ता है। एक श्रेणी को विसारी कहा जाता है यदि इसके पदों का योग (n) के अनंत की ओर बढ़ने पर एक सीमित सीमा की ओर नहीं बढ़ता।

अभिसारी श्रेणियों के उदाहरण:

• प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग: (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots = \ln(2))।
• एकांतर हार्मोनिक श्रेणी का योग: (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \ln(2))।

विसारी श्रेणियों के उदाहरण:

• प्राकृत संख्याओं का योग: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots = \infty)।
• सम संख्याओं का योग: (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \dots = \infty)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अनुक्रम और श्रेणी का क्या अर्थ है?

अनुक्रम

एक अनुक्रम संख्याओं या वस्तुओं की एक क्रमबद्ध सूची होती है। अनुक्रम में पदों को तत्व कहा जाता है। अनुक्रम में पहला तत्व पहला पद कहलाता है, दूसरा तत्व दूसरा पद कहलाता है, और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, नीचे दी गई संख्याओं का एक अनुक्रम है:

1, 2, 3, 4, 5

इस अनुक्रम में पहला पद 1 है, दूसरा पद 2 है, और इसी तरह।

श्रेणी

एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होती है। श्रेणी में पहला पद संगत अनुक्रम के पहले पद के समान होता है। श्रेणी में दूसरा पद संगत अनुक्रम के पहले दो पदों का योग होता है, और इसी तरह।

उदाहरण के लिए, नीचे दी गई श्रेणी उपरोक्त दिए गए संख्याओं के अनुक्रम के अनुरूप है:

1, 3, 6, 10, 15

इस श्रृंखला का पहला पद 1 है, जो संगत अनुक्रम के पहले पद के समान है। इस श्रृंखला का दूसरा पद 3 है, जो संगत अनुक्रम के पहले दो पदों का योग है। इस श्रृंखला का तीसरा पद 6 है, जो संगत अनुक्रम के पहले तीन पदों का योग है, और इसी तरह आगे बढ़ता है।

उदाहरण

यहाँ अनुक्रम और श्रृंखला के कुछ अन्य उदाहरण दिए गए हैं:

• सम संख्याओं का अनुक्रम: 2, 4, 6, 8, 10, …
• सम संख्याओं की श्रृंखला: 2, 6, 12, 20, 30, …
• अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम: 2, 3, 5, 7, 11, …
• अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला: 2, 5, 12, 28, 55, …

अनुप्रयोग

अनुक्रम और श्रृंखला का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• गणित
• भौतिकी
• अभियांत्रिकी
• कंप्यूटर विज्ञान
• वित्त

उदाहरण के लिए, अनुक्रम और श्रृंखला का उपयोग वस्तुओं की गति को मॉडल करने, किसी वक्र के नीचे के क्षेत्रफल की गणना करने और अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।

अनुक्रम के कुछ सामान्य प्रकार क्या हैं?

1. समांतर अनुक्रम

एक समांतर अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक समांतर अनुक्रम है जिसमें सामान्य अंतर 2 है।

2. गुणोत्तर अनुक्रम

एक गुणोत्तर अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं का अनुपात समान होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16 एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसमें सामान्य अनुपात 2 है।

3. हार्मोनिक अनुक्रम

एक हार्मोनिक अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें संख्याओं के व्युत्क्रम एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 एक हार्मोनिक अनुक्रम है।

4. फिबोनाची अनुक्रम

एक फिबोनाची अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 एक फिबोनाची अनुक्रम है।

5. लुकास अनुक्रम

एक लुकास अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग के बराबर होती है, लेकिन प्रारंभिक पद 0 और 1 के बजाय 2 और 1 होते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76 एक लुकास अनुक्रम है।

6. पेरिन अनुक्रम

एक पेरिन अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग के बराबर होती है, लेकिन प्रारंभिक पद 0 और 1 के बजाय 3 और 0 होते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 3, 0, 3, 2, 5, 5, 10, 12, 22, 34 एक पेरिन अनुक्रम है।

7. पैडोवन अनुक्रम

एक पैडोवन अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग के बराबर होती है, लेकिन प्रारंभिक पद 0 और 1 के बजाय 1, 1 और 1 होते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9 एक पैडोवन अनुक्रम है।

8. कैटलन अनुक्रम

एक कैटलन अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम होता है जो एक सम बहुभुज को परस्पर न काटने वाले विकर्णों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या देता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 एक कैटलन अनुक्रम है।

9. मोत्ज़किन अनुक्रम

एक मोत्ज़किन अनुक्रम संख्याओं की एक अनुक्रम है जो किसी वृत्त पर n बिंदुओं के बीच अप्रतिच्छेदी जीवा खींचने के तरीकों की संख्या देता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835 एक मोत्ज़किन अनुक्रम है।

10. श्रोडर अनुक्रम

एक श्रोडर अनुक्रम संख्याओं की एक अनुक्रम है जो किसी धनात्मक पूर्णांक को भिन्न-भिन्न धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में प्रस्तुत करने के तरीकों की संख्या देता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1, 3, 11, 45, 197, 903, 4279, 20737, 100943 एक श्रोडर अनुक्रम है।

सीमित और अनंत अनुक्रम और श्रेणियाँ क्या हैं?

सीमित और अनंत अनुक्रम

एक अनुक्रम किसी विशिष्ट क्रम में संख्याओं की एक सूची होती है। एक सीमित अनुक्रम में निश्चित संख्या में पद होते हैं, जबकि एक अनंत अनुक्रम में अनंत संख्या में पद होते हैं।

सीमित अनुक्रमों के उदाहरण:

• (1, 2, 3, 4, 5)
• (a, b, c, d, e)
• (1, 4, 9, 16, 25)

अनंत अनुक्रमों के उदाहरण:

• (1, 2, 3, 4, 5, …)
• (a, b, c, d, e, …)
• (1, 4, 9, 16, 25, …)

सीमित और अनंत श्रेणियाँ

एक श्रेणी किसी अनुक्रम के पदों का योग होती है। एक सीमित श्रेणी में निश्चित संख्या में पद होते हैं, जबकि एक अनंत श्रेणी में अनंत संख्या में पद होते हैं।

सीमित श्रेणियों के उदाहरण:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
• a + b + c + d + e = a + b + c + d + e
• 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

अनंत श्रेणियों के उदाहरण:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = ∞
• a + b + c + d + e + … = ∞
• 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … = ∞

अभिसरण और विसरण

एक श्रेणी को अभिसारी कहा जाता है यदि उसके पदों का योग एक परिमित मान की ओर अग्रसर होता है जैसे-जैसे पदों की संख्या अनंत की ओर बढ़ती है। एक श्रेणी को विसारी कहा जाता है यदि उसके पदों का योग एक परिमित मान की ओर अग्रसर नहीं होता है जैसे-जैसे पदों की संख्या अनंत की ओर बढ़ती है।

अभिसारी श्रेणियों के उदाहरण:

• 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2
• a + a/2 + a/4 + a/8 + a/16 + … = 2a
• 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … = ∞

विसारी श्रेणियों के उदाहरण:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = ∞
• a + b + c + d + e + … = ∞
• 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … = ∞

अनुक्रम और श्रेणी का उदाहरण दीजिए।

अनुक्रम

एक अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची होती है। अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को एक पद कहा जाता है। पहले पद को a1, दूसरे पद को a2 द्वारा दर्शाया जाता है, और इसी तरह आगे बढ़ता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 4, 9, 16, 25, … प्राकृत संख्याओं के वर्गों का एक अनुक्रम है।

श्रेणी

एक श्रेणी अनुक्रम के पदों का योग होती है। किसी अनुक्रम के प्रथम n पदों का योग Sn द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 4, 9, 16, 25, … के प्रथम पाँच पदों का योग 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 है।

उदाहरण

यहाँ अनुक्रम और श्रेणी के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• सम संख्याओं का अनुक्रम: 2, 4, 6, 8, 10, …
• विषम संख्याओं का अनुक्रम: 1, 3, 5, 7, 9, …
• अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
• फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
• समांतर श्रेणी: 1, 3, 5, 7, 9, …
• गुणोत्तर श्रेणी: 1, 2, 4, 8, 16, …
• हार्मोनिक श्रेणी: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …

अनुप्रयोग

अनुक्रम और श्रेणियों का गणित, विज्ञान और इंजीनियरिंग में कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग होता है:

• कलन में
• भौतिकी में
• सांख्यिकी में
• कंप्यूटर विज्ञान में
• वित्त में

निष्कर्ष

अनुक्रम और श्रेणी महत्वपूर्ण गणितीय संकल्पनाएँ हैं जिनके अनेक अनुप्रयोग हैं। अनुक्रम और श्रेणी को समझकर हम अपने आसपास की दुनिया को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं।

समांतर अनुक्रम में सार्व अंतर ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

समांतर अनुक्रम में सार्व अंतर ज्ञात करने का सूत्र है:

d = a2 - a1

जहाँ:

• d सार्व अंतर है
• a2 अनुक्रम का दूसरा पद है
• a1 अनुक्रम का पहला पद है

उदाहरण के लिए, यदि किसी समांतर अनुक्रम के पहले तीन पद 2, 5 और 8 हैं, तो सार्व अंतर है:

d = 5 - 2 = 3

इसका अर्थ है कि अनुक्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद से 3 अधिक है।

यहाँ समांतर अनुक्रम में सार्व अंतर ज्ञात करने के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

• यदि किसी समांतर अनुक्रम के पहले तीन पद 1, 4 और 7 हैं, तो सार्व अंतर है:

d = 4 - 1 = 3

• यदि किसी समांतर अनुक्रम के पहले तीन पद -2, 1 और 4 हैं, तो सार्व अंतर है:

d = 1 - (-2) = 3

• यदि किसी समांतर अनुक्रम के पहले तीन पद 0.5, 1.5 और 2.5 हैं, तो सार्व अंतर है:

d = 1.5 - 0.5 = 1

एक समांतर श्रेणी में सामान्य अंतर का उपयोग श्रेणी के किसी भी पद को खोजने के लिए किया जा सकता है। समांतर श्रेणी का nवाँ पद खोजने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

an = a1 + (n - 1)d

जहाँ:

• an श्रेणी का nवाँ पद है
• a1 श्रेणी का प्रथम पद है
• n वह पद संख्या है जिसे आप खोज रहे हैं
• d सामान्य अंतर है

उदाहरण के लिए, यदि किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद 2 है और सामान्य अंतर 3 है, तो श्रेणी का 10वाँ पद है:

a10 = 2 + (10 - 1)3 = 29

इसका अर्थ है कि श्रेणी का 10वाँ पद 29 है।

समांतर श्रेणी को कैसे दर्शाया जाए?

एक समांतर श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी श्रेणी होती है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। इस स्थिर अंतर को सामान्य अंतर कहा जाता है।

समांतर श्रेणी का सामान्य सूत्र है:

a_n = a_1 + (n - 1) * d

जहाँ:

• a_n श्रेणी का nवाँ पद है
• a_1 श्रेणी का प्रथम पद है
• n वह पद संख्या है जिसे आप खोज रहे हैं
• d सामान्य अंतर है

उदाहरण के लिए, समांतर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9, … पर विचार करें। इस श्रेणी का प्रथम पद 1 है और सामान्य अंतर 2 है। अतः इस श्रेणी का 10वाँ पद होगा:

a_10 = 1 + (10 - 1) * 2 = 1 + 9 * 2 = 19

यहाँ समांतर श्रेणियों के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

• 2, 4, 6, 8, 10, … (सामान्य अंतर = 2)
• -3, -1, 1, 3, 5, … (सामान्य अंतर = 2)
• 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … (सामान्य अंतर = 1/2)

अंकगणितीय अनुक्रमों का उपयोग विभिन्न वास्तविक-जगत की घटनाओं को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि जनसंख्या की वृद्धि, एक रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय, और एक प्रक्षेप्य की गति।

ज्यामितीय अनुक्रम को कैसे दर्शाया जाए?

एक ज्यामितीय अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम होता है जहाँ पहले पद के बाद प्रत्येक पद पिछले पद को एक नियत मान, जिसे सार्व अनुपात (r) कहा जाता है, से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। ज्यामितीय अनुक्रम का सामान्य सूत्र है:

a_n = a_1 * r^(n-1)

जहाँ:

• a_n अनुक्रम का nवाँ पद है
• a_1 अनुक्रम का पहला पद है
• r सार्व अनुपात है

उदाहरण के लिए, ज्यामितीय अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, … पर विचार करें। पहला पद (a_1) 2 है, और सार्व अनुपात (r) 2 है। 5वाँ पद (a_5) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

a_5 = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32

इसलिए, अनुक्रम का 5वाँ पद 32 है।

ज्यामितीय अनुक्रमों में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। एक गुण यह है कि किन्हीं दो क्रमागत पदों का अनुपात सार्व अनुपात के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 में, किन्हीं दो क्रमागत पदों का अनुपात 2 है, जो कि सार्व अनुपात है।

ज्यामितीय अनुक्रमों का एक अन्य गुण यह है कि पहले n पदों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)

जहाँ:

• S_n अनुक्रम के पहले n पदों का योग है
• a_1 अनुक्रम का पहला पद है
• r सार्व अनुपात है

उदाहरण के लिए, ज्यामितीय अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 पर विचार करें। पहले 5 पदों का योग है:

S_5 = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 2 * (1 - 32) / (-1) = 2 * (-31) / (-1) = 62

इसलिए, अनुक्रम के पहले 5 पदों का योग 62 है।

ज्यामितीय अनुक्रमों का गणित और विज्ञान में कई अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग जनसंख्या वृद्धि, रेडियोधर्मी क्षय और स्प्रिंग्स के कंपन को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

अंकगणितीय और ज्यामितीय श्रेणियों को कैसे दर्शाया जाए?

अंकगणितीय श्रेणी

एक अंकगणितीय श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। अंकगणितीय श्रेणी के लिए सामान्य सूत्र है:

a_n = a_1 + (n - 1)d

जहाँ:

• a_n श्रेणी का nवाँ पद है
• a_1 श्रेणी का प्रथम पद है
• n श्रेणी में पदों की संख्या है
• d दो क्रमागत पदों के बीच का सामान्य अंतर है

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9 एक अंकगणितीय श्रेणी है जिसमें a_1 = 1 और d = 2 है।

ज्यामितीय श्रेणी

एक ज्यामितीय श्रेणी संख्याओं की एक ऐसी अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत संख्याओं का अनुपात समान होता है। ज्यामितीय श्रेणी के लिए सामान्य सूत्र है:

a_n = a_1 * r^(n - 1)

जहाँ:

• a_n श्रेणी का nवाँ पद है
• a_1 श्रेणी का प्रथम पद है
• n श्रेणी में पदों की संख्या है
• r दो क्रमागत पदों के बीच का सामान्य अनुपात है

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16 एक ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें a_1 = 1 और r = 2 है।

उदाहरण

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि अंकगणितीय और ज्यामितीय श्रेणियों का उपयोग वास्तविक जीवन में कैसे किया जा सकता है:

• एक समांतर श्रेणी का उपयोग समय के साथ जनसंख्या की वृद्धि को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। यदि जनसंख्या 100 लोगों से शुरू होती है और हर साल 10 लोगों की वृद्धि होती है, तो n वर्षों बाद जनसंख्या निम्न सूत्र द्वारा दी जाएगी:

P_n = 100 + 10(n - 1) = 100 + 10n - 10 = 90 + 10n

• एक गुणोत्तर श्रेणी का उपयोग समय के साथ किसी रेडियोधर्मी पदार्थ के क्षय को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। यदि पदार्थ 100 ग्राम से शुरू होता है और हर साल 50% क्षय होता है, तो n वर्षों बाद पदार्थ की मात्रा निम्न सूत्र द्वारा दी जाएगी:

A_n = 100 * (1/2)^(n - 1) = 100 * 2^(-n + 1) = 50 * 2^(-n)