पूर्ण संख्याएँ

पूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये 0 से शुरू होती हैं और आगे 1, 2, 3 इत्यादि तक जाती हैं। पूर्ण संख्याओं को गैर-ऋणात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है।

पूर्ण संख्याओं का उपयोग कई तरह से किया जाता है। हम इनका उपयोग यह गिनने के लिए करते हैं कि कमरे में कितने लोग हैं, टोकरी में कितने सेब हैं और सप्ताह में कितने दिन हैं। हम पूर्ण संख्याओं का उपयोग मापने के लिए भी करते हैं, जैसे कि डोरी कितनी लंबी है या डिब्बा कितना भारी है।

पूर्ण संख्याएँ महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ये हमें अपने आस-पास की दुनिया को समझने में मदद करती हैं। ये हमें विभिन्न चीज़ों की तुलना करने और अपने आस-पास की दुनिया को समझने में सक्षम बनाती हैं।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं पूर्ण संख्याओं के:

0
1
2
3
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5
6
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8
9
10

पूर्ण संख्याओं की परिभाषा

पूर्ण संख्याओं की परिभाषा

पूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 इत्यादि हैं।

पूर्ण संख्याओं के उदाहरण

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं पूर्ण संख्याओं के:

• 0: खाली कटोरे में सेबों की संख्या
• 1: उस कमरे में व्यक्तियों की संख्या जिसमें एक व्यक्ति है
• 2: मानव चेहरे पर आँखों की संख्या
• 3: स्टूल पर पैरों की संख्या
• 4: कार पर पहियों की संख्या
• 5: एक हाथ में उँगलियों की संख्या
• 6: घन के किनारों की संख्या
• 7: सप्ताह में दिनों की संख्या
• 8: अष्टक में स्वरों की संख्या
• 9: स्कूल वर्ष में आमतौर पर 9 महीने होते हैं
• 10: आज्ञाओं की संख्या

पूर्ण संख्याओं के गुणधर्म

पूर्ण संख्याएँ ऋणात्मक न होने वाली पूर्णांक 0, 1, 2, 3, … इत्यादि हैं। इन्हें गिनती की संख्याएँ भी कहा जाता है। पूर्ण संख्याओं के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो उन्हें गणित में उपयोगी बनाते हैं।

1. योग और गुणा में बंद होना

इसका अर्थ है कि जब आप दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ते या गुणा करते हैं, तो परिणाम सदैव एक पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 3 + 4 = 7 और 5 × 2 = 10।

2. योग और गुणा का क्रमविनिमेय गुण

इसका अर्थ है कि दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, 3 + 4 = 4 + 3 और 5 × 2 = 2 × 5।

3. योग और गुणा का साहचर्य गुण

इसका अर्थ है कि तीन या अधिक पूर्ण संख्याओं को जोड़ते या गुणा करते समय आप उन्हें जिस भी तरह समूहित करें, परिणाम समान रहता है। उदाहरण के लिए, (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) और (5 × 2) × 3 = 5 × (2 × 3)।

4. योग और गुणा के तत्समक अवयव

योग के लिए तत्समक अवयव 0 है, और गुणा के लिए तत्समक अवयव 1 है। इसका अर्थ है कि जब आप किसी पूर्ण संख्या में 0 जोड़ते हैं, तो परिणाम वही पूर्ण संख्या होती है, और जब आप किसी पूर्ण संख्या को 1 से गुणा करते हैं, तो परिणाम वही पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 3 + 0 = 3 और 5 × 1 = 5।

5. योग पर गुणा का वितरण गुण

इसका अर्थ है कि जब आप किसी पूर्ण संख्या को दो या अधिक पूर्ण संख्याओं के योग से गुणा करते हैं, तो परिणाम उतना ही होता है जितना कि यदि आप उस पूर्ण संख्या को प्रत्येक योगज से अलग-अलग गुणा करके फिर गुणनफलों को जोड़ दें। उदाहरण के लिए, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)।

ये पूर्ण संख्याओं के कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं। ये गुण पूर्ण संख्याओं को गिनती, मापन और अन्य गणितीय संक्रियाएँ करने के लिए एक उपयोगी उपकरण बनाते हैं।

पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के बीच अंतर

पूर्ण संख्याएँ

• पूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये 1 से शुरू होती हैं और 2, 3, 4 आदि तक जाती हैं।
• पूर्ण संख्याएँ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं। धनात्मक पूर्ण संख्याएँ वे होती हैं जिनका उपयोग हम उन चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं जो हमारे पास हैं, जबकि ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ आमतौर पर उन चीज़ों को गिनने के लिए नहीं प्रयोग की जातीं जो हम पर बकाया हैं या गायब हैं।
• पूर्ण संख्याओं को गिनती संख्याएँ भी कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्याएँ

• प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम उन चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं जिन्हें केवल पूर्ण इकाइयों में ही गिना जा सकता है। ये 1 से शुरू होती हैं और 2, 3, 4 आदि तक जाती हैं।
• प्राकृतिक संख्याएँ हमेशा धनात्मक होती हैं। कोई ऋणात्मक प्राकृतिक संख्या नहीं होती।
• प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं। सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं, लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ नहीं होतीं।

उदाहरण

• संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4 और 5 सभी पूर्ण संख्याएँ हैं।
• संख्याएँ -1, -2, -3, -4 और -5 सभी ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं।
• संख्याएँ 1, 2, 3, 4 और 5 सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
• संख्या 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है क्योंकि यह धनात्मक नहीं है।

हल किए गए उदाहरण

हल किए गए उदाहरण सीखने और नई अवधारणाओं को समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। वे किसी समस्या को हल करने का चरण-दर-चरण प्रदर्शन करते हैं, जिससे अंतर्निहित सिद्धांतों को समझना और उन्हें समान स्थितियों में लागू करना आसान हो जाता है। यहाँ हल किए गए उदाहरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1. गणित:

• उदाहरण: समीकरण 2x + 5 = 15 को हल कीजिए।

हल:

• दोनों पक्षों से 5 घटाइए: 2x + 5 - 5 = 15 - 5
• सरल कीजिए: 2x = 10
• दोनों पक्षों को 2 से विभाजित कीजिए: 2x/2 = 10/2
• सरल कीजिए: x = 5

पूर्ण संख्याओं पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

पूर्ण संख्याएँ क्या हैं?

पूर्ण संख्याएँ

पूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, और आगे इसी प्रकार हैं।

पूर्ण संख्याओं के उदाहरण

यहाँ पूर्ण संख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• एक टोकरी में सेबों की संख्या: 5
• एक कमरे में लोगों की संख्या: 10
• एक डोरी की लंबाई: 12 इंच
• किसी व्यक्ति का वज़न: 150 पाउंड
• बटुए में पैसे की राशि: $20

क्या पूर्ण संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं?

पूर्ण संख्याएँ, परिभाषा के अनुसार, ऋणात्मक पूर्णांक नहीं होती हैं। इसका अर्थ है कि वे ऋणात्मक नहीं हो सकती हैं। पूर्ण संख्याओं का समुच्चय 0, 1, 2, 3, और आगे इसी प्रकार की संख्याओं को सम्मिलित करता है।

यहाँ पूर्ण संख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10.0

पूर्ण संख्याओं के गुणधर्म क्या हैं?

पूर्ण संख्याओं के गुणधर्म

पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, … आदि होती हैं। इन्हें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है। पूर्ण संख्याओं के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• जोड़ और गुणा में बंदिश। इसका अर्थ है कि जब दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ा या गुणा किया जाता है, तो परिणाम सदैव एक पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 3 + 4 = 7 और 3 × 4 = 12।
• जोड़ और गुणा की क्रमविनिमेयता। इसका अर्थ है कि दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, 3 + 4 = 4 + 3 और 3 × 4 = 4 × 3।
• जोड़ और गुणा की साहचर्यता। इसका अर्थ है कि तीन या अधिक पूर्ण संख्याओं को जोड़ने या गुणा करते समय उन्हें जिस प्रकार समूहबद्ध किया जाता है, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) और (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)।
• जोड़ और गुणा के तत्समक तत्व। जोड़ के लिए तत्समक तत्व 0 है, और गुणा के लिए तत्समक तत्व 1 है। इसका अर्थ है कि जब किसी पूर्ण संख्या में 0 जोड़ा जाता है, तो परिणाम वही पूर्ण संख्या होती है, और जब किसी पूर्ण संख्या को 1 से गुणा किया जाता है, तो परिणाम वही पूर्ण संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 3 + 0 = 3 और 3 × 1 = 3।
• जोड़ और गुणा के प्रतिलोम तत्व। प्रत्येक पूर्णांक का जोड़ के लिए एक प्रतिलोम तत्व होता है, वह संख्या जिसे पूर्णांक में जोड़ने पर परिणाम 0 आता है। किसी पूर्णांक n के जोड़ के लिए प्रतिलोम तत्व -n होता है। उदाहरण के लिए, 3 के जोड़ के लिए प्रतिलोम तत्व -3 है, क्योंकि 3 + (-3) = 0। 0 को छोड़कर प्रत्येक पूर्णांक का गुणा के लिए एक प्रतिलोम तत्व होता है, वह संख्या जिसे पूर्णांक से गुणा करने पर परिणाम 1 आता है। किसी पूर्णांक n के गुणा के लिए प्रतिलोम तत्व 1/n होता है। उदाहरण के लिए, 3 के गुणा के लिए प्रतिलोम तत्व 1/3 है, क्योंकि 3 × 1/3 = 1।

पूर्ण संख्याओं के ये गुणधर्म अंकगणितीय संक्रियाओं की बुनियादी समझ के लिए अत्यावश्यक हैं। इनका उपयोग और अधिक उन्नत गणित, जैसे बीजगणित और कलन, में भी होता है।

पूर्ण संख्याओं के गुणधर्मों के उदाहरण

पूर्ण संख्याओं के गुणधर्मों के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• योग और गुणा में बंद होना: 3 + 4 = 7 और 3 × 4 = 12।
• योग और गुणा की क्रमविनिमेयता: 3 + 4 = 4 + 3 और 3 × 4 = 4 × 3।
• योग और गुणा की साहचर्यता: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) और (3 × 4) × 5 = 3 × (4 × 5)।
• योग और गुणा के तत्समक अवयव: 3 + 0 = 3 और 3 × 1 = 3।
• योग और गुणा के प्रतिलोम अवयव: 3 + (-3) = 0 और 3 × 1/3 = 1।

पूर्ण संख्याओं के ये गुणधर्म अंकगणितीय संक्रियाओं की बुनियादी समझ के लिए अत्यावश्यक हैं। इनका उपयोग और अधिक उन्नत गणित, जैसे बीजगणित और कलन, में भी होता है।

10 क्या एक पूर्ण संख्या है?

10 क्या एक पूर्ण संख्या है?

हाँ, 10 एक पूर्ण संख्या है।

पूर्ण संख्या की परिभाषा

पूर्ण संख्या वह संख्या होती है जो किसी पूरी मात्रा को दर्शाती है, बिना किसी भिन्न भाग के। पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, इत्यादि होती हैं।

कौन-सी संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं?

संख्याएँ जो पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं, उन्हें अपूर्णांक कहा जाता है। इनमें शामिल हैं:

यहाँ कुछ अपूर्णांक संख्याओं के उदाहरण दिए गए हैं:

• 2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। यह लगभग 1.414213562373095 के बराबर है।
• पाई एक अत्यधिक संख्या है। इसका अर्थ है कि यह बीजगणितीय नहीं है, अर्थात् इसे पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। यह लगभग 3.141592653589793 के बराबर है।
• संख्या e एक अत्यधिक संख्या है। इसका अर्थ है कि यह बीजगणितीय नहीं है, अर्थात् इसे पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। यह लगभग 2.718281828459045 के बराबर है।

क्या सभी पूर्ण संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं?

हाँ, सभी पूर्ण संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी परिमेय संख्याओं (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और सभी अपरिमेय संख्याओं (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है) को सम्मिलित करता है। पूर्ण संख्याएँ परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे भी वास्तविक संख्याएँ हैं।

क्या सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं?

हाँ, सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये 1 से शुरू होती हैं और 2, 3, 4 आदि तक चलती हैं।

पूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनमें 0 और सभी प्राकृतिक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। इसलिए, पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4 आदि हैं।

उदाहरण:

• 1, 2, 3, 4, 5 सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
• 0, 1, 2, 3, 4, 5 सभी पूर्ण संख्याएँ हैं।

क्या प्राकृतिक संख्याएँ और गिनती की संख्याएँ समान हैं?

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं। ये 1 से शुरू होती हैं और 2, 3, 4 आदि तक जाती हैं। पूर्ण संख्याएँ भी वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम चीज़ों को गिनने के लिए करते हैं, लेकिन ये 0 से शुरू होती हैं और 1, 2, 3, 4 आदि तक जाती हैं।

तो, क्या प्राकृतिक संख्याएँ और गिनती की संख्याएँ समान हैं? उत्तर है हाँ, लेकिन इन दोनों के बीच एक छोटा-सा अंतर है। प्राकृतिक संख्याओं में 0 शामिल नहीं होता, जबकि गिनती की संख्याओं में 0 शामिल होता है।

निष्कर्ष:

प्राकृतिक संख्याएँ और गिनती की संख्याएँ समान हैं, लेकिन इन दोनों के बीच एक छोटा-सा अंतर है। गिनती की संख्याओं में 0 शामिल नहीं होता, जबकि प्राकृतिक संख्याओं में 0 शामिल होता है।