दृढ़ वस्तु :

यदि उपरोक्त वस्तु दृढ़ है

$ V_A \cos \theta_1=V_B \cos \theta_2 $

$V_{B A}=$ बिंदु $B$ का बिंदु $A$ के सापेक्ष सापेक्ष वेग।

जड़त्व आघूर्ण(I) :

• परिभाषा : जड़त्व आघूर्ण को किसी वस्तु के घूर्णन गति में उत्पन्न परिवर्तन का विरोध करने की प्रणाली की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है।

• जड़त्व आघूर्ण एक अदिश धनात्मक राशि है।

$I =mr_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\ldots$

$I=I_1+I_2+I_3+\ldots$

• जड़त्व आघूर्ण की SI इकाई $\mathrm{Kgm}^{2}$ है।

विभिन्न वस्तुओं का जड़त्व आघूर्ण:

• एकल कण : $\mathrm{I}=\mathrm{mr}^{2}$

  जहाँ: $m=$ कण का द्रव्यमान

  $r=$ कण की वह अक्ष से लंबवत दूरी जिसके परितः जड़त्व आघूर्ण की गणना की जानी है

• अनेक कणों के लिए (कणों की प्रणाली) :

  $I=\sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}$

• एक सतत वस्तु के लिए :

  $\mathrm{I}=\int \mathrm{dmr} \mathrm{r}^{2}$

  जहाँ $\mathrm{dm}=$ एक छोटे तत्व का द्रव्यमान

  $r=$ कण की अक्ष से लंबवत दूरी

• एक बड़ी वस्तु के लिए :

  $\mathrm{I}=\int \mathrm{dI}_{\text {तत्व }}$

  जहाँ: $\mathrm{dI}=$ एक छोटे तत्व का जड़त्व आघूर्ण

जड़त्व आघूर्ण के दो महत्वपूर्ण प्रमेय :

• लम्बवत् अक्ष प्रमेय

  [केवल समतल पटलिका पर लागू (अर्थात् केवल 2-D वस्तुओं के लिए)]।

  जब वस्तु $x-y$ समतल में हो: $I_{z}=I_{x}+I_{y}$

• समानान्तर अक्ष प्रमेय

  (किसी भी प्रकार की वस्तु पर लागू):

  $I_{AB}=I_{cm}+Md^{2}$

  कुछ उपयोगी सूत्रों की सूची :

परिकेन्द्रीयता त्रिज्या :

$\mathrm{I}=\mathrm{MK}^{2}$

आघूर्ण:

$\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}$

’ $\tau$ ’ और ’ $\alpha$ ’ के बीच सम्बन्ध (कब्जे वाली वस्तु या शुद्ध घूर्णन के लिए)

$ \vec{\tau} _{ext/Hinge } = I _{Hinge} \vec{\alpha}$

जहाँ: $\vec{\tau} _{ext/Hinge }$= कब्जे बिन्दु के सम्बन्ध में वस्तु पर कार्यरत कुल बाह्य आघूर्ण

$\mathrm{I} _{\text {Hinge }}=$ कब्जे बिन्दु के सम्बन्ध में वस्तु का जड़त्व आघूर्ण

$F_{1t}=M_{1} a_{1t}=M_1 r_1 \alpha$

$F_{2 t}=M_{2} a_{2 t}=M_{2} r_{2} \alpha$

$\tau_{resultant}=F_{1t} r_{1}+F_{2t} r_{2}+\ldots$

$=M_{1} \alpha r_{1}^{2}+M_{2} \alpha r_{2}^{2}+$

$\tau_{\text {resultant/ external}}=\mathrm{I} \alpha$

घूर्णी गतिज ऊर्जा

$ \text{K.E}=\frac{1}{2} I \omega^{2}$

$\vec{P}=M\vec{v} _{CM} \Rightarrow \vec{F} _{external} = M \vec{a} _{CM} $

शरीर पर कार्य करने वाली कुल बाह्य बल में दो भाग होते हैं: स्पर्शीय और केंद्राभिमुख।

$ \Rightarrow F _C = ma _C = m \frac{v^2}{r _{CM}}=m \omega^{2} r _{cm} $

$ \Rightarrow F _t = ma _t = m\alpha r _{CM}$

घूर्णी साम्यावस्था :

स्थानांतर साम्यावस्था के लिए:

$\Sigma F_{x}=0 \hspace{10mm}…(i)$

$\Sigma \mathrm{F}_{\mathrm{y}}=0 \hspace{10mm}…(ii)$

घूर्णी साम्यावस्था की शर्त है:

$\Sigma \Gamma_{z}=0$

कोणीय संवेग $(\vec{L})$:

• किसी बिंदु के सापेक्ष एक कण का कोणीय संवेग:

blic)

$\vec{L} =\vec{r} \times \vec{P} \quad \Rightarrow \quad L=rp \sin \theta$

$|\vec{L}| =r_{\perp} \times P $

$|\vec{L}| =P_{\perp} \times r$

• किसी दृढ़ वस्तु का निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने पर कोणीय संवेग:

$\vec{L} _{H} = I _{H} \vec{\omega}$

• $\mathrm{L}_{\mathrm{H}}=$ अक्ष $\mathrm{H}$ के परितः वस्तु का कोणीय संवेग।

• $\mathrm{I}_{\mathrm{H}}=$ कठोर वस्तु का अक्ष $\mathrm{H}$ के परितः जड़त्व आघूर्ण।

• $\omega=$ वस्तु का कोणीय वेग।

• कोणीय संवेग का संरक्षण:

  किसी कण या तंत्र का कोणीय संवेग स्थिर रहता है यदि उस बिंदु या घूर्णन अक्ष के परितः $\tau_{\mathrm{ext}}=0$ हो।

• आघूर्ण और कोणीय संवेग के बीच संबंध

  $\vec{\tau}=\frac{\mathrm{d} \vec{\mathrm{L}}}{\mathrm{dt}}$

  आघूर्ण कोणीय संवेग में परिवर्तन है।

• आघूर्ण का आवेग :

  $\int \tau dt=\Delta J$

  जहाँ: $\Delta J$ कोणीय संवेग में परिवर्तन है।

  किसी कठोर वस्तु के लिए, इसकी गति के दौरान कणों के बीच की दूरी अपरिवर्तित रहती है अर्थात् $\mathrm{r}_{\mathrm{P} / \mathrm{Q}}=$ नियतांक

• वेगों के लिए:

$V_P=\sqrt{V_Q^{2}+(\omega r)^{2}+2 V_Q \omega r \cos \theta}$

• त्वरण के लिए :

$\theta, \omega, \alpha$ वस्तु के प्रत्येक बिंदु (या किसी बाहरी बिंदु जो वस्तु से दृढ़ता से जुड़ा है) के परितः समान हैं।

गतिकी :

$\vec{\tau} _{cm}=I _{cm} \vec{\alpha},$

$\vec F _{ext} = M \vec{a} _{cm}$

$\vec{P} _{system}=M \vec{v} _{cm}$

$\text{कुल गतिज ऊर्जा}=\frac{1}{2} M _{\mathrm{cm}^{2}}+\frac{1}{2} \mathrm{I} _{\mathrm{cm}} \omega^{2}$

कोणीय संवेग अक्ष: $A B=\vec{L} _{\text{about C.M.}} + \vec{L} _{\text {of C.M. about A B}}$

$\vec{L} _{AB}= I _{cm}\vec{\omega}+\vec{r _{cm}}\times M\vec{v} _{cm}$

सरल आवर्त गति

स.आ.ग.

$\mathrm{F}=-\mathrm{kx}$

स.आ.ग. का सामान्य समीकरण है $x=A \sin (\omega t+\phi) ;(\omega t+\phi)$ गति का प्रावस्था है और $\phi$ गति का प्रारंभिक प्रावस्था है।

• कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ :

$\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f$

• आवर्त काल $(\mathrm{T})$:

$\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}$

• चाल :$v=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}} $

• त्वरण : $ a=-\omega^{2} x$

• गतिज ऊर्जा (KE): $\text{K.E}= \frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(A^{2}-x^{2}\right)=\frac{1}{2} k\left(A^{2}-x^{2}\right)$

• स्थितिज ऊर्जा (PE) : $\text{ P.E}= \frac{1}{2} \mathrm{Kx}{ }^{2}$

• कुल यांत्रिक ऊर्जा (TME)

$\text{T.E = K.E. + P.E.}=\frac{1}{2} k\left(A^{2}-x^{2}\right)+\frac{1}{2} K x^{2}=\frac{1}{2} K A^{2} = \text{अचर}$

स्प्रिंग-द्रव्यमान तंत्र

(1)

$\Rightarrow T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

(2)

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\mu}{K}}$

जहाँ: $\mu=\frac{m_1 m_2}{\left(m_1+m_2\right)}$ को अपचयित द्रव्यमान कहा जाता है

स्प्रिंग्स का संयोजन

• श्रेणी संयोजन : $1 / k_{eq}=1 / k_{1}+1 / k_{2}$

• समानांतर संयोजन : $k_{eq}=k_1+k_2$

सरल लोलक:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text {eff. }}}}$

त्वरित संदर्भ फ्रेम में $g_{\text {eff }}$ छद्म बल और गुरुत्वाकर्षण बल के कारण निवल त्वरण है।

यौगिक लोलक / भौतिक लोलक:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mg} \ell}}$

जहाँ, $\mathrm{I}=\mathrm{I}_{\mathrm{CM}}+\mathrm{m} \ell^{2} ; \ell$ निलंबन बिंदु और द्रव्यमान केंद्र के बीच की दूरी है।

टॉर्शनल लोलक:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}} \quad$

जहाँ, $C=$ टॉर्शनल स्थिरांक

एक ही दिशा में SHM का सुपरपोज़िशन

$x_{1}=A_{1} \sin \omega t$

$x_{2}=A_{2} \sin (\omega t+\theta)$

यदि परिणामी $\mathrm{SHM}$ का समीकरण $\mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{t}+\phi)$ लिया जाए

$A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \theta}$

$\tan \phi=\frac{A_{2} \sin \theta}{A_{1}+A_{2} \cos \theta}$

डैम्प्ड दोलन

• डैम्पिंग बल

$\vec{\mathrm{F}}=-\mathrm{b} \vec{\mathrm{v}}$

• गति का समीकरण

$\frac{\mathrm{mdv}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{kx}-\mathrm{bv}$

जहाँ:

• $b^{2}-4 m K>0$ अति डैम्पिंग

• $b^{2}-4 m K=0$ क्रिटिकल डैम्पिंग

• $b^{2}-4 m K<0$ अंडरडैम्पिंग

• थोड़े डैम्पिंग के लिए हल इस प्रकार का होता है।

$x=\left(A_{0} e^{-b t / 2 m}\right) \sin \left[\omega^{\prime} t+\delta\right]$

जहाँ $\omega^{\prime}=\sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)-\left(\frac{b}{2 m}\right)^{2}}$

थोड़े b के लिए

• कोणीय आवृत्ति: $\omega^{\prime} \approx \sqrt{\mathrm{k} / \mathrm{m}},=\omega_{0}$

• आयाम: $A=A_{0} e^{\frac{-b t}{2 m}}$

• ऊर्जा $E(t)=\frac{1}{2} K A^{2} e^{-b t / m}$

• गुणात्मक कारक या $Q$ मान: $Q=2 \pi \frac{E}{|\Delta E|}=\frac{\omega^{\prime}}{2 \omega_{Y}}$

जहाँ $, \omega^{\prime}=\sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{b^{2}}{4 m^{2}}} \quad, \omega_{Y}=\frac{b}{2 m}$

बलयुक्त दोलन और अनुनाद

बाह्य बल $F(t)=F_{0} \cos \omega_{d} t$

$x(t)=A \cos \left(\omega_{d} t+\phi\right)$

$A=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(m^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\right)^{2}+\omega_{d}^{2} b^{2}\right)}}$

$\tan \phi=\frac{-v_{0}}{\omega_{d} x_{0}}$

(a) थोड़ा डैम्पिंग $A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\right)}$

(b) चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के निकट $A=\frac{F_{0}}{\omega_{d} b}$