सरल आवर्त गति (S.H.M.):

$\mathrm{F}=-\mathrm{kx}$

सरल आवर्त गति का सामान्य समीकरण है $x=A \sin (\omega t+\phi)$

$(\omega t+\phi)$ गति का प्रावस्था है और $\phi$ गति का प्रारंभिक प्रावस्था है।

कोणीय आवृत्ति $(\omega)$ :

$\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f$

आवर्त काल $(\mathrm{T}) :$

$\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}$

चाल :

$v=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}} $

त्वरण :

$ a=-\omega^{2} x$

गतिज ऊर्जा (KE):

$\text{KE} = \frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(A^{2}-x^{2}\right)=\frac{1}{2} k\left(A^{2}-x^{2}\right)$

स्थितिज ऊर्जा (PE) :

$\text{PE} =\frac{1}{2} \mathrm{Kx}{ }^{2}$

कुल यांत्रिक ऊर्जा (TME):

$ \text{TE} =K . E .+P . E .=\frac{1}{2} k\left(A^{2}-x^{2}\right)+\frac{1}{2} K x^{2}=\frac{1}{2} K A^{2} \text{(जो नियत है)}$

स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली

(1)

$\Rightarrow \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

(2)

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\mu}{K}}$

जहाँ: $\mu=\frac{m_1 m_2}{\left(m_1+m_2\right)}$ को अपचयित द्रव्यमान कहा जाता है

स्प्रिंगों का संयोजन:

• श्रेणी संयोजन : $1 / k_{eq}=1 / k_{1}+1 / k_{2}$

• समानांतर संयोजन : $ k_{eq}=k_1+k_2$

सरल लोलक:

त्वरित संदर्भ फ्रेम में: $T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text {eff. }}}}$

$g_{\text {eff }}$ छद्म बल और गुरुत्वाकर्षण बल के कारण उत्पन्न कुल त्वरण है।

यौगिक लोलक / भौतिक लोलक:

आवर्तकाल (T):

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mg} \ell}}$

जहाँ, $\mathrm{I}=\mathrm{I}_{\mathrm{CM}}+\mathrm{m} \ell^{2} ; \ell$ निलंबन बिंदु और द्रव्यमान केंद्र के बीच की दूरी है।

टॉर्शनल लोलक

आवर्तकाल $(T): \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}}$

जहाँ, $C=$ टॉर्शन स्थिरांक

SHM का सुपरपोज़िशन:

एक ही दिशा में SHM का सुपरपोज़िशन

$x_{1}=A_{1} \sin \omega t$

$x_{2}=A_{2} \sin (\omega t+\theta)$

यदि परिणामी SHM का समीकरण लिया जाए: $\mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{t}+\phi)$

$A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \theta}$

$ \tan \phi=\frac{A_{2} \sin \theta}{A_{1}+A_{2} \cos \theta}$

डैम्प्ड दोलन

- डैम्पिंग बल

$\vec{\mathrm{F}}=-\mathrm{b} \vec{\mathrm{v}}$

- गति का समीकरण है

$\frac{\mathrm{mdv}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{kx}-\mathrm{bv}$

• अधिक विसर्जन: $b^{2}-4 m K>0$
• क्रांतिक विसर्जन: $b^{2}-4 m K=0$
• अल्प विसर्जन: $b^{2}-4 m K<0$
• लघु विसर्जन के लिए हल इस प्रकार होता है।

$x=\left(A_{0} e^{-b t / 2 m}\right) \sin \left[\omega^{1} t+\delta\right]$

जहाँ $\omega^{\prime}=\sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)-\left(\frac{b}{2 m}\right)^{2}}$

लघु b के लिए

• कोणीय आवृत्ति: $\omega^{\prime} \approx \sqrt{\mathrm{k} / \mathrm{m},}=\omega_{0}$

• आयाम: $A=A_{0} e^{\frac{-b t}{2 m}}$

• ऊर्जा: $E(t)=\frac{1}{2} K A^{2} e^{-b t / m}$

• गुणात्मक गुणांक या $Q$ मान, $Q=2 \pi \frac{E}{|\Delta E|}=\frac{\omega^{\prime}}{2 \omega_{Y}}$

जहाँ $, \omega^{\prime}=\sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{b^{2}}{4 m^{2}}} \quad, \omega_{Y}=\frac{b}{2 m}$

बलित दोलन और अनुनाद

बाह्य बल $F(t)=F_{0} \cos \omega_{d} t$

$x(t)=A \cos \left(\omega_{d} t+\phi\right)$

$A=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(m^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\right)^{2}+\omega_{d}^{2} b^{2}\right)}}$

$\tan \phi=\frac{-v_{0}}{\omega_{d} x_{0}}$

(a) लघु विसर्जन: $A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\right)}$

(b) चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के निकट: $A=\frac{F_{0}}{\omega_{d} b}$