तरंग गति का सामान्य समीकरण:

$ \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} $

$ y(x, t) = f\left(t \pm \frac{x}{v}\right) $

जहाँ $y(x, t)$ हर जगह परिमित होना चाहिए।

$\Rightarrow \quad f\left(t + \frac{x}{v}\right)$ एक तरंग को $-x$-अक्ष दिशा में गतिशील दर्शाता है।

$\Rightarrow \quad f\left(t - \frac{x}{v}\right)$ एक तरंग को $+x$-अक्ष दिशा में गतिशील दर्शाता है।

$ y = A \sin (\omega t \pm k x + \phi) $

तरंग गति से संबंधित पद (1-डी प्रगतिशील साइन तरंग के लिए):

• तरंग संख्या (या प्रसार नियतांक) ($k$):

$ k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v} \quad (\text{rad m}^{-1}) $

• तरंग का कल: हार्मोनिक फलन का तर्क ($\omega t \pm k x + \phi$) तरंग का कल कहलाता है।

• कल अंतर ($\Delta \phi$): किसी समय $t$ पर दो कणों के कलों में अंतर।

$ \Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x \quad \text{साथ ही,} \quad \Delta \phi = \frac{2 \pi}{T} \Delta t $

डोरी/तार के साथ अनुप्रस्थ तरंग की चाल:

$ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad \text{जहाँ} \quad T = \text{तनाव}, \quad \mu = \text{इकाई लंबाई का द्रव्यमान} $

डोरी के साथ साइन तरंग द्वारा संचरित शक्ति:

• औसत शक्ति: $\langle P \rangle = 2 \pi^{2} f^{2} A^{2} \mu V$

• तीव्रता: $I = \frac{\langle P \rangle}{s} = 2 \pi^{2} f^{2} A^{2} \rho V$

तरंगों का परावर्तन और अपवर्तन:

$y_{i} = A_{i} \sin \left(\omega t - k_{1} x\right)$

• यदि दुर्लभ माध्यम से घने माध्यम में आपतन हो ($v_{2} < v_{1}$):

$y_{t} = A_{t} \sin \left(\omega t - k_{2} x\right)$

$y_{r} = -A_{r} \sin \left(\omega t + k_{1} x\right)$

• यदि घने माध्यम से दुर्लभ माध्यम में आपतन हो ($v_{2} > v_{1}$):

$y_{t} = A_{t} \sin \left(\omega t - k_{2} x\right)$

$y_{r} = A_{r} \sin \left(\omega t + k_{1} x\right)$

• परावर्तित और संचरित तरंगों की आयाम:

$A_{r} = \frac{\left|k_{1} - k_{2}\right|}{k_{1} + k_{2}} A_{i}$

$A_{t} = \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}} A_{i}$

स्टैंडिंग/स्थायी तरंगें:

$y_{1} = A \sin \left(\omega t - k x + \theta_{1}\right)$

$y_{2} = A \sin \left(\omega t + k x + \theta_{2}\right)$

$y_{1} + y_{2} = \left[2 A \cos \left(k x + \frac{\theta_{2} - \theta_{1}}{2}\right)\right] \sin \left(\omega t + \frac{\theta_{1} + \theta_{2}}{2}\right)$

राशि $2 A \cos \left(k x + \frac{\theta_{2} - \theta_{1}}{2}\right)$ स्थिति $x$ पर परिणामी आयाम को दर्शाती है। कुछ स्थानों पर परिणामी आयाम शून्य होता है; इन्हें नोड कहा जाता है। कुछ स्थानों पर परिणामी आयाम $2A$ होता है; इन्हें एंटीनोड कहा जाता है।

• क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच की दूरी $= \frac{\lambda}{2}$।

• क्रमागत नोड और एंटीनोड के बीच की दूरी $= \frac{\lambda}{4}$।

• एक ही सेगमेंट (दो क्रमागत नोडों के बीच का भाग) के सभी कण एक ही कक्ष में कंपन करते हैं।

• दो क्रमागत सेगमेंट्स के कण विपरीत कक्ष में कंपन करते हैं।

• चूँकि नोड स्थायी रूप से विराम पर होते हैं, ऊर्जा उनके पार नहीं प्रवाहित हो सकती।

तारों की कम्पन (स्थिर तरंग):

$\textbf{(a) दोनों सिरों से स्थिर:}$

• स्थिर सिरे नोड होंगे। इसलिए वे तरंगें जिनके लिए $L = \frac{\lambda}{2}$, $L = \frac{2\lambda}{2}$, $L = \frac{3\lambda}{2}$ आदि संभव हैं, जिससे $L = \frac{n\lambda}{2} \quad \text{या} \quad \lambda = \frac{2L}{n} \quad \text{जहाँ} \quad n = 1, 2, 3, \ldots$

$\text{चूँकि} \quad v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad f_{n} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}, \quad n = \text{लूपों की संख्या}$

$\textbf{(b) एक सिरे से मुक्त तार:}$

• मूलभूत विधा के लिए, $L = \frac{\lambda}{4} \text{या} \lambda = 4L.$

• प्रथम अधिवृत्त: $L = \frac{3\lambda}{4},$

इसलिए $\lambda = \frac{4L}{3},$

इसलिए $f_{1} = \frac{3}{4L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}.$

• द्वितीय अधिवृत्त: $f_{2} = \frac{5}{4L} \sqrt{\frac{T}{\mu}},$

इसलिए $f_{n} = \frac{(n + \frac{1}{2})}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{(2n + 1)}{4L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}.$

ध्वनि के लिए डॉपलर प्रभाव:

• स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है: $f’ = \frac{f}{1 - \frac{v_s}{v}}$
• स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है: $f’ = \frac{f}{1 + \frac{v_s}{v}}$
• प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर बढ़ रहा है: $f’ = f \left(1 + \frac{v_o}{v}\right)$
• प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर जा रहा है: $f’ = f \left(1 - \frac{v_o}{v}\right)$