स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य :

$\mathbf{W}=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{s}}$

एकाधिक बलों द्वारा किया गया कार्य:

$ \Sigma \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\ldots \ldots $

$ W=[\Sigma \vec{F}] \cdot \vec{s}$

$ W=\vec{F_1} \cdot \vec{s}+\vec{F_2} \cdot \vec{s}+\vec{F_3} \cdot \vec{s}+\ldots$

$ W=W_{1}+W_{2}+W_{3}+\ldots$

परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य

एक वस्तु जब स्थिति $x_1$ से स्थिति $x_2$ तक जाती है, तब परिवर्ती बल $(F(x))$ द्वारा किया गया कार्य $(W)$ इस प्रकार दिया जाता है:

$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

जहाँ:

$W$ किया गया कार्य है। $F(x)$ स्थिति x के फलन के रूप में परिवर्ती बल है। $x_1$ और $x_2$ क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ हैं।

संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध:

$\mathrm{K}=\frac{\mathrm{P}^{2}}{2 \mathrm{~m}} \text { और } \mathrm{P}=\sqrt{2 \mathrm{mK}} ; \mathrm{P}=\text { रेखीय संवेग }$

स्थितिज ऊर्जा:

$\int_{U_{1}}^{U_{2}} d U=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r} \quad \text { अर्थात् } $

$U_{2}-U_{1}=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r}=-W$

$U=-\int_{\infty}^{r} \vec{F} \cdot d \vec{r}=-W$

संरक्षी बल:

$\mathrm{F}=-\frac{\partial \mathrm{U}}{\partial \mathrm{r}}$

कार्य-ऊर्जा प्रमेय:

$W_{C}+W_NC+W_PS=\Delta K$

कार्य-ऊर्जा प्रमेय का संशोधित रूप:

$W_{C}=-\Delta U$

$W_{NC}+W_{PS}=\Delta K+\Delta U$

$W_{NC}+W_{PS}=\Delta E$

संवेग का संरक्षण

$\sum \mathbf{p} _{\text{प्रारंभिक}} = \sum \mathbf{p} _{\text{अंतिम}}$

शक्ति:

किसी एजेंट द्वारा दी जाने वाली औसत शक्ति ( $\bar{P}$ या $P_{a v}$ ) $\bar{P}$ या

$P_{a v}=\frac{W}{t}$

$P=\frac{\vec{F} \cdot d \vec{S}}{d t}=\vec{F} \cdot \frac{d \vec{S}}{d t}=\vec{F} \cdot \vec{V}$

आवेग:

किसी बल $F$ द्वारा किसी वस्तु पर कार्य करने पर आवेग को इस प्रकार परिभाषित किया गया है :-

$\vec{J}=\int_{t_{i}}^{t_{f}} F d t \quad \vec{J}=\Delta \vec{P}$

आवेग - संवेग प्रमेय

महत्वपूर्ण बिंदु :

(i). गुरुत्वाकर्षण बल और स्प्रिंग बल हमेशा गैर-आवेगी होते हैं। (ii). एक आवेगी बल केवल एक अन्य आवेगी बल द्वारा संतुलित किया जा सकता है।

पुनरावृत्ति गुणांक (e):

$e=\frac{\text { पुनर्रचना का आवेग }}{\text { विरूपण का आवेग }}=\frac{\int F_{r} d t}{\int F_{d} d t}$

$=\frac{\text { प्रभाव रेखा के अनुदिश पृथक्करण का वेग }}{\text { प्रभाव रेखा के अनुदिश उपगमन का वेग }}$

(a) e=1

$\Rightarrow$ पुनर्रचना का आवेग =विरूपण का आवेग

$\Rightarrow$ पृथक्करण का वेग $=$ उपगमन का वेग

$\Rightarrow$ गतिज ऊर्जा संरक्षित हो सकती है

$\Rightarrow$ लोचदार टक्कर।

(b) e = 0

$\Rightarrow$ पुनर्रचना का आवेग $=0$

$\Rightarrow$ पृथक्करण का वेग $=0$

$\Rightarrow$ गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं होती

$\Rightarrow$ पूर्णतः अलोचदार टक्कर।

(c) 0 < e <1

$\Rightarrow$ पुनर्रचना का आवेग $<$ विरूपण का आवेग

$\Rightarrow$ पृथक्करण का वेग $<$ उपगमन का वेग

$\Rightarrow$ गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है

$\Rightarrow$ अप्रत्यास्थ टक्कर।

चर द्रव्यमान प्रणाली :

यदि किसी प्रणाली में द्रव्यमान जोड़ा जाता है या निकाला जाता है, दर $\mu \mathrm{kg} / \mathrm{s}$ और सापेक्ष वेग $\vec{v_{rel}}$ (प्रणाली के सापेक्ष) से, तो इस द्रव्यमान द्वारा प्रणाली पर लगाया गया बल परिमाण $\mu\left|\vec{v}_{\text {rel }}\right|$ होता है।

प्रणोदन बल $\left(\vec{F}_{t}\right)$:

$\vec{F_t}=\vec{v_{rel}}\left(\frac{dm}{dt}\right)$

रॉकेट प्रणोदन :

यदि गुरुत्वाकर्षण को नजरअंदज किया जाए और रॉकेट का प्रारंभिक वेग $u=0$ हो;

$v=v_{r} \ln \left(\frac{m_{0}}{m}\right)$