1.1 परिचय

किसी भी भौतिक राशि के मापन में किसी निश्चित मूलभूत, स्वेच्छा से चुने गए, अंतरराष्ट्रीय रूप से स्वीकृत संदर्भ मानक जिसे इकाई कहा जाता है, के साथ तुलना शामिल होती है। किसी भौतिक राशि के मापन का परिणाम एक संख्या (या संख्यात्मक माप) के साथ एक इकाई द्वारा व्यक्त किया जाता है। यद्यपि भौतिक राशियों की संख्या बहुत बड़ी प्रतीत होती है, हमें सभी भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए केवल सीमित संख्या में इकाइयों की आवश्यकता होती है, क्योंकि वे एक-दूसरे से संबंधित होती हैं। मूलभूत या आधारभूत राशियों के लिए इकाइयों को मूलभूत या आधार इकाइयाँ कहा जाता है। अन्य सभी भौतिक राशियों की इकाइयों को आधार इकाइयों के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। व्युत्पन्न राशियों के लिए प्राप्त की गई ऐसी इकाइयों को व्युत्पन्न इकाइयाँ कहा जाता है। इन इकाइयों का एक पूर्ण समुच्चय, जिसमें आधार इकाइयाँ और व्युत्पन्न इकाइयाँ दोनों शामिल होती हैं, इकाइयों की प्रणाली के रूप में जाना जाता है।

1.2 इकाइयों की अंतरराष्ट्रीय प्रणाली

प्रारंभिक समय में विभिन्न देशों के वैज्ञानिक मापन के लिए इकाइयों की विभिन्न प्रणालियों का उपयोग कर रहे थे। ऐसी तीन प्रणालियाँ, CGS, FPS (या ब्रिटिश) प्रणाली और MKS प्रणाली हाल ही तक व्यापक रूप से प्रयोग में थीं।

इन प्रणालियों में लंबाई, द्रव्यमान और समय के लिए आधार इकाइयाँ इस प्रकार थीं:

• CGS प्रणाली में वे क्रमशः सेंटीमीटर, ग्राम और सेकंड थीं।
• FPS प्रणाली में वे क्रमशः फुट, पाउंड और सेकंड थीं।
• MKS प्रणाली में वे क्रमशः मीटर, किलोग्राम और सेकंड थीं।

वर्तमान में माप के लिए अंतरराष्ट्रीय स्तर पर स्वीकृत इकाइयों की प्रणाली सिस्टेम इंटरनेशनेल द’ यूनिट्स (Système Internationale d’Unites—फ्रेंच में ‘अंतरराष्ट्रीय इकाइयों की प्रणाली’) है, जिसे संक्षेप में SI लिखा जाता है। SI, जिसमें प्रतीकों, इकाइयों और संक्षेपाक्षरों का मानक ढांचा है, को 1971 में ब्यूरो इंटरनेशनेल द’ प्वा ए मेसर (The International Bureau of Weights and Measures, BIPM) द्वारा विकसित किया गया था और हाल ही में नवम्बर 2018 में जनरल कॉन्फ्रेंस ऑन वेट्स एंड मेजर्स द्वारा संशोधित किया गया। यह ढांचा अब वैज्ञानिक, तकनीकी, औद्योगिक और व्यावसायिक कार्यों में अंतरराष्ट्रीय उपयोग के लिए है। चूँकि SI इकाइयाँ दशमलव पद्धति का उपयोग करती हैं, इसलिए इस प्रणाली के भीतर रूपांतरण काफी सरल और सुविधाजनक होते हैं। हम इस पुस्तक में SI इकाइयों का अनुसरण करेंगे।

SI में सात आधार इकाइयाँ हैं जैसा कि तालिका 1.1 में दिया गया है। इन सात आधार इकाइयों के अतिरिक्त दो और इकाइयाँ परिभाषित की गई हैं: (a) समतल कोण $\mathrm{d} \theta$ को चाप की लंबाई ds तथा त्रिज्या $r$ के अनुपात के रूप में और (b) ठोस कोण $\mathrm{d} \Omega$ को गोलीय पृष्ठ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल $\mathrm{d} A$ को, जिसका शीर्ष बिन्दु $\mathrm{O}$ केन्द्र है, उसकी त्रिज्या $r$ के वर्ग से अनुपात के रूप में, जैसा कि क्रमशः चित्र 1.1(a) और (b) में दिखाया गया है। समतल कोण की इकाई रेडियन है जिसका प्रतीक rad है और ठोस कोण की इकाई स्टेरेडियन है जिसका प्रतीक sr है। ये दोनों ही विमाहीन राशियाँ हैं।

चित्र 1.1 (a) समतल कोण dθ और (b) ठोस कोण dΩ का वर्णन।

तालिका 1.1 SI आधार राशियाँ और इकाइयाँ*

सारणी 1.2 कुछ इकाइयाँ जिन्हें सामान्य प्रयोग के लिए बनाए रखा गया है (यद्यपि SI के बाहर)

ध्यान दें कि जब मोल का प्रयोग किया जाता है, तो प्राथमिक कणों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। ये कण परमाणु, अणु, आयन, इलेक्ट्रॉन, अन्य कण या ऐसे कणों के निर्दिष्ट समूह हो सकते हैं।

हम कुछ भौतिक राशियों के लिए ऐसी इकाइयों का प्रयोग करते हैं जिन्हें सात आधार इकाइयों से व्युत्पन्न किया जा सकता है (परिशिष्ट A 6)। कुछ व्युत्पन्न इकाइयाँ, जो SI आधार इकाइयों के पदों में दी गई हैं, (परिशिष्ट A 6.1) में दी गई हैं। कुछ SI व्युत्पन्न इकाइयों को विशेष नाम दिए गए हैं (परिशिष्ट A 6.2) और कुछ व्युत्पन्न SI इकाइयाँ इन विशेष नामों वाली इकाइयों और सात आधार इकाइयों का प्रयोग करती हैं (परिशिष्ट A 6.3)। ये परिशिष्ट A 6.2 और A 6.3 में आपके तत्परता से संदर्भ के लिए दिए गए हैं। सामान्य प्रयोग के लिए बनाए रखी गई अन्य इकाइयाँ तालिका 1.2 में दी गई हैं।

सामान्य SI उपसर्ग और गुणकों तथा उप-गुणकों के प्रतीक परिशिष्ट A2 में दिए गए हैं। भौतिक राशियों, रासायनिक तत्वों और न्यूक्लाइड्स के प्रतीकों के प्रयोग के लिए सामान्य दिशानिर्देश परिशिष्ट A7 में दिए गए हैं और SI इकाइयों और कुछ अन्य इकाइयों के लिए दिशानिर्देश परिशिष्ट A8 में आपके मार्गदर्शन और तत्परता से संदर्भ के लिए दिए गए हैं।

1.3 महत्वपूर्ण अंक

जैसा कि ऊपर चर्चा किया गया है, प्रत्येक मापन में त्रुटियाँ शामिल होती हैं। इस प्रकार, मापन का परिणाम इस प्रकार सूचित किया जाना चाहिए कि यह मापन की परिशुद्धता को दर्शाए। सामान्यतः, मापन का सूचित परिणाम एक ऐसी संख्या होती है जिसमें वे सभी अंक शामिल होते हैं जो विश्वसनीय रूप से ज्ञात हैं और साथ ही वह पहला अंक भी जो अनिश्चित है। विश्वसनीय अंकों और पहले अनिश्चित अंक को महत्वपूर्ण अंक या सार्थक अंक कहा जाता है। यदि हम कहें कि एक सरल लोलक का दोलन काल $1.62 \mathrm{~s}$ है, तो अंक 1 और 6 विश्वसनीय और निश्चित हैं, जबकि अंक 2 अनिश्चित है। इस प्रकार, मापित मान में तीन सार्थक अंक हैं। किसी वस्तु की लंबाई को मापने के बाद $287.5 \mathrm{~cm}$ बताया गया है तो इसमें चार सार्थक अंक हैं, अंक $2,8,7$ निश्चित हैं जबकि अंक 5 अनिश्चित है। स्पष्ट है कि मापन के परिणाम को ऐसे अंकों के साथ सूचित करना जो सार्थक अंकों से अधिक हों, अनावश्यक है और साथ ही भ्रामक भी क्योंकि यह मापन की परिशुद्धता के बारे में गलत धारणा देगा।

सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के नियम निम्नलिखित उदाहरणों से समझे जा सकते हैं। सार्थक अंक, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, मापन की परिशुद्धता को दर्शाते हैं जो मापन यंत्र की लघुतम गणना पर निर्भर करती है। मापन में विभिन्न इकाइयों के चयन या परिवर्तन से सार्थक अंकों की संख्या नहीं बदलती है। यह महत्वपूर्ण टिप्पणी निम्नलिखित अधिकांश प्रेक्षणों को स्पष्ट करती है:

(1) उदाहरण के लिए, लंबाई (2.308 \mathrm{~cm}) में चार सार्थक अंक होते हैं। लेकिन विभिन्न इकाइयों में, इसी मान को (0.02308 \mathrm{~m}) या 23.08 (\mathrm{mm}) या (23080 \mu \mathrm{m}) के रूप में लिखा जा सकता है।

इन सभी संख्याओं में समान संख्या में सार्थक अंक (अंक 2, 3, 0, 8) होते हैं, अर्थात् चार।

यह दर्शाता है कि दशमलव बिंदु का स्थान सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने में कोई महत्व नहीं रखता है।

उदाहरण निम्नलिखित नियम देता है:

• सभी अशून्य अंक सार्थक होते हैं।
• दो अशून्य अंकों के बीच के सभी शून्य सार्थक होते हैं, चाहे दशमलव बिंदु कहीं भी हो, यदि हो तो।
• यदि संख्या 1 से कम है, तो दशमलव बिंदु के दाईं ओर लेकिन पहले अशून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं। [( \underline{0} . \underline{00} 2308 ) में रेखांकित शून्य सार्थक नहीं हैं।]
• किसी संख्या में दशमलव बिंदु के बिना अंतिम या पिछले शून्य सार्थक नहीं होते हैं।

[इस प्रकार (123 \mathrm{~m}=12300 \mathrm{~cm}=123000 \mathrm{~mm}) में तीन सार्थक अंक होते हैं, पिछले शून्य सार्थक नहीं होते हैं।] हालांकि, आप अगली बात को भी देख सकते हैं।

• दशमलव बिंदु वाली संख्या में पिछले शून्य सार्थक होते हैं।

[संख्याएँ 3.500 या 0.06900 में प्रत्येक में चार सार्थक अंक होते हैं।]

(2) अंत में आने वाले शून्य(शून्यों) को लेकर कुछ भ्रम हो सकता है। मान लीजिए एक लंबाई 4.700 m बताई गई है। यह स्पष्ट है कि यहाँ मौजूद शून्य माप की शुद्धता दर्शाने के लिए हैं और इसलिए महत्वपूर्ण हैं। [यदि ये महत्वपूर्ण न होते, तो इन्हें स्पष्ट रूप से लिखना अनावश्यक होता, और माप को सिर्फ 4.7 m बताया जाता।] अब मान लीजिए हम इकाई बदलते हैं, तो

4.700 m = 470.0 cm = 4700 mm = 0.004700 km

चूँकि अंतिम संख्या में दशमलव रहित संख्या के साथ अंत में शून्य हैं, हम ऊपर दी गई टिप्पणी (1) के आधार पर गलत तरीके से यह निष्कर्ष निकालेंगे कि इस संख्या में केवल दो महत्वपूर्ण अंक हैं, जबकि वास्तव में इसमें चार महत्वपूर्ण अंक हैं और केवल इकाई बदलने से महत्वपूर्ण अंकों की संख्या नहीं बदलती।

(3) महत्वपूर्ण अंकों की संख्या निर्धारित करने में ऐसी अस्पष्टताओं को दूर करने का सबसे अच्छा तरीका यह है कि प्रत्येक मापन को वैज्ञानिक संकेतन में (10 की घात के रूप में) प्रस्तुत किया जाए। इस संकेतन में प्रत्येक संख्या को $a \times 10^{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $a$ 1 और 10 के बीच की संख्या होती है, और $b$ 10 का कोई धनात्मक या ऋणात्मक घातांक (या घात) होता है। संख्या का एक अनुमानित विचार प्राप्त करने के लिए हम संख्या $a$ को 1 (जब $a \leq 5$) और 10 (जब $5<a \leq 10$) तक राउंड-ऑफ कर सकते हैं। तब संख्या को सन्निकटतः $10^{\mathrm{b}}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें 10 के घातांक (या घात) b को भौतिक राशि की कोटि (order of magnitude) कहा जाता है। जब केवल एक अनुमान चाहिए होता है, तो राशि $10^{\mathrm{b}}$ की कोटि की होती है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी का व्यास $\left(1.28 \times 10^{7} \mathrm{~m}\right)$ कोटि $10^{7} \mathrm{~m}$ का है, जिसकी कोटि 7 है। हाइड्रोजन परमाणु का व्यास $\left(1.06 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ कोटि $10^{-10} \mathrm{~m}$ का है, जिसकी कोटि –10 है। इस प्रकार पृथ्वी का व्यास हाइड्रोजन परमाणु से कोटि के लिहाज़ से 17 गुना बड़ा है।

अक्सर यह रिवाज होता है कि दशमलव को पहले अंक के बाद लिखा जाए। अब ऊपर (a) में उल्लिखित भ्रम समाप्त हो जाता है:

$$ \begin{aligned} & 4.700 \mathrm{~m}=4.700 \times 10^{2} \mathrm{~cm} \ = & 4.700 \times 10^{3} \mathrm{~mm}=4.700 \times 10^{-3} \mathrm{~km} \end{aligned} $$

10 की घात महत्वपूर्ण अंकों के निर्धारण से असंबंधित है। तथापि, वैज्ञानिक संकेतन में आधार संख्या में आने वाले सभी शून्य महत्वपूर्ण होते हैं। इस स्थिति में प्रत्येक संख्या में चार महत्वपूर्ण अंक होते हैं।

इस प्रकार, वैज्ञानिक संकेतन में आधार संख्या $a$ के अंत में आने वाले शून्यों को लेकर कोई अस्पष्टता नहीं होती। वे सदा ही महत्वपूर्ण होते हैं।

(4) माप की सूचना देने के लिए वैज्ञानिक संकेतन आदर्श है। परंतु यदि इसे अपनाया न जाए, तो हम पिछले उदाहरण में अपनाए गए नियमों का प्रयोग करते हैं:

• 1 से बड़ी किसी संख्या में, जिसमें दशमलव न हो, अंत में आने वाले शून्य महत्वपूर्ण नहीं होते।
• दशमलव वाली किसी संख्या में अंत में आने वाले शून्य महत्वपूर्ण होते हैं।

(5) 1 से छोटी किसी संख्या में दशमलव के बाईं ओर परंपरागत रूप से लगाया गया अंक 0 (जैसे 0.1250) कभी महत्वपूर्ण नहीं होता। तथापि, ऐसी संख्या के अंत में आने वाले शून्य माप में महत्वपूर्ण होते हैं।

(6) गुणा या भाग करने वाले वे गुणक जो न तो पूर्णांकित संख्याएँ हैं और न ही मापे गए मानों को दर्शाने वाली संख्याएँ, ठीक होती हैं और इनके अनंत महत्वपूर्ण अंक होते हैं। उदाहरण के लिए $r=\frac{d}{2}$ या $\mathrm{s}=2 \pi r$ में गुणक 2 एक ठीक संख्या है और इसे 2.0, 2.00 या 2.0000 आवश्यकतानुसार लिखा जा सकता है। इसी प्रकार, $T=\frac{t}{n}$ में $n$ एक ठीक संख्या है।

1.3.1 महत्वपूर्ण अंकों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम

किसी गणना का परिणाम, जिसमें राशियों के सन्निकट मापे गए मान शामिल हों (अर्थात् सीमित संख्या में महत्वपूर्ण अंकों वाले मान), को मूल मापे गए मानों में उपस्थित अनिश्चितताओं को दर्शाना चाहिए। यह उन मूल मापे गए मानों से अधिक सटीक नहीं हो सकता जिन पर यह परिणाम आधारित है। सामान्यतः, अंतिम परिणाम में मूल आँकड़ों से अधिक महत्वपूर्ण अंक नहीं होने चाहिए जिनसे उसे प्राप्त किया गया है। इस प्रकार, यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान मापा जाता है, मान लीजिए, $4.237 \mathrm{~g}$ (चार महत्वपूर्ण अंक) और इसका आयतन मापा जाता है $2.51 \mathrm{~cm}^{3}$, तो इसका घनत्व, केवल अंकगणितीय विभाजन द्वारा, $1.68804780876 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ 11 दशमलव स्थानों तक प्राप्त होता है। ऐसी शुद्धता के साथ घनत्व की गणनात्मक मान को दर्ज करना स्पष्ट रूप से असंगत और अप्रासंगिक होगा जब उन मापन पर जिस पर यह मान आधारित है, बहुत कम शुद्धता है। महत्वपूर्ण अंकों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए निम्नलिखित नियाम यह सुनिश्चित करते हैं कि गणना का अंतिम परिणाम ऐसी शुद्धता के साथ दिखाया जाए जो इनपुट मापे गए मानों की शुद्धता के अनुरूप हो:

(1) गुणा या भाग में, अंतिम परिणाम में उतने ही महत्वपूर्ण अंक रखने चाहिए जितने मूल संख्या में सबसे कम महत्वपूर्ण अंक होते हैं।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरण में, घनत्व को तीन महत्वपूर्ण अंकों तक दर्ज करना चाहिए।

$$ \text { घनत्व }=\frac{4.237 \mathrm{~g}}{2.51 \mathrm{~cm}^{3}}=1.69 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} $$

इसी प्रकार, यदि प्रकाश की चाल $3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (तीन सार्थक अंक) दी गई है और एक वर्ष ($1 \mathrm{y}=365.25 \mathrm{~d}$) में $3.1557 \times 10^{7} \mathrm{~s}$ (पाँच सार्थक अंक) होते हैं, तो प्रकाश वर्ष $9.47 \times 10^{15} \mathrm{~m}$ (तीन सार्थक अंक) होता है।

(2) योग या घटाव में, अंतिम परिणाम में उतने ही दशमलव स्थान रखने चाहिए जितने सबसे कम दशमलव स्थान वाली संख्या में हैं।

उदाहरण के लिए, संख्याओं $436.32 \mathrm{~g}, 227.2 \mathrm{~g}$ और $0.301 \mathrm{~g}$ का योग केवल अंकगणितीय जोड़ से $663.821 \mathrm{~g}$ है। लेकिन सबसे कम परिशुद्ध माप ($227.2 \mathrm{~g}$) केवल एक दशमलव स्थान तक सही है। इसलिए अंतिम परिणाम को $663.8 \mathrm{~g}$ तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

इसी प्रकार, लंबाई में अंतर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$0.307 \mathrm{~m}-0.304 \mathrm{~m}=0.003 \mathrm{~m}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$।

ध्यान दें कि हमें गुणा और भाग के लिए लागू नियम (1) का उपयोग नहीं करना चाहिए और योग के उदाहरण में परिणाम के रूप में $664 \mathrm{~g}$ और घटाव के उदाहरण में $3.00 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$ नहीं लिखना चाहिए। वे माप की परिशुद्धता को सही ढंग से व्यक्त नहीं करते हैं। योग और घटाव के लिए नियम दशमलव स्थानों के संदर्भ में है।

1.3.2 अनिश्चित अंकों को पूर्णांकित करना

अनुमानित संख्याओं के साथ की गई गणना का परिणाम, जिनमें एक से अधिक अनिश्चित अंक होते हैं, को पूर्णांकित किया जाना चाहिए। उचित सार्थक अंकों तक संख्याओं को पूर्णांकित करने के नियम अधिकांश मामलों में स्पष्ट होते हैं। संख्या $2.74 \underline{6}$ को तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर 1.75 होती है, जबकि संख्या 1.743 को 1.74 होगी। परंपरा के अनुसार नियम यह है कि यदि हटाई जाने वाली असार्थक अंक (इस मामले में रेखांकित अंक) 5 से अधिक है, तो पिछला अंक 1 से बढ़ा दिया जाता है, और यदि वह 5 से कम है, तो वह अपरिवर्तित रहता है। लेकिन यदि संख्या 2.745 है जिसमें असार्थक अंक 5 है, तो क्या होगा? यहाँ परंपरा यह है कि यदि पिछला अंक सम है, तो असार्थक अंक को बस हटा दिया जाता है, और यदि यह विषम है, तो पिछले अंक को 1 से बढ़ा दिया जाता है। तब, संख्या 2.745 को तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर 1.74 हो जाती है। दूसरी ओर, संख्या 2.735 को तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर 1.74 हो जाती है क्योंकि पिछला अंक विषम है।

किसी भी जटिल बहु-चरणीय गणना में आपको मध्यवर्ती चरणों में प्रयुक्त सभी संख्याओं को उनके महत्त्वपूर्ण अंकों से एक अतिरिक्त अंक तक रखना चाहिए और अंत में परिणाम को सही महत्त्वपूर्ण अंकों तक पूर्णांकित करना चाहिए। इसी प्रकार, यदि कोई संख्या बहुत अधिक महत्त्वपूर्ण अंकों में ज्ञात हो, जैसे निर्वात में प्रकाश की चाल 1.99792458 × 10⁸ m/s, तो इसे सुविधा के लिए 3 × 10⁸ m/s के रूप में लिया जाता है। अंत में, यह स्मरण रखें कि सूत्रों में आने वाली सटीक संख्याएँ, जैसे T = 2π√(L/g) में 2π, अनंत महत्त्वपूर्ण अंकों की मानी जाती हैं। π का मान 3.1415926… अनंत महत्त्वपूर्ण अंकों तक ज्ञात है। आवश्यकतानुसार आप π का मान 3.142 या 3.14 भी ले सकते हैं।

उदाहरण 1.1 एक घन की प्रत्येक भुजा को 7.203 m मापा गया है। घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन महत्त्वपूर्ण अंकों के अनुसार क्या होंगे?

उत्तर मापी गई लंबाई में 4 महत्त्वपूर्ण अंक हैं। इसलिए परिकलित क्षेत्रफल और आयतन को भी 4 महत्त्वपूर्ण अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

$$ \begin{aligned} \text{घन का सतह क्षेत्रफल}& =6(7.203)^{2} \mathrm{~m}^{2} \\ & =311.299254 \mathrm{~m}^{2} \\ & =311.3 \mathrm{~m}^{2} \\ \text{घन का आयतन } \quad & =(7.203)^{3} \mathrm{~m}^{3} \\ & =373.714754 \mathrm{~m}^{3} \\ & =373.7 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned} $$

उदाहरण 1.2 $5.74 \mathrm{~g}$ पदार्थ $1.2 \mathrm{~cm}^{3}$ घनफल घेरता है। महत्वपूर्ण अंकों को ध्यान में रखते हुए इसका घनत्व व्यक्त करें।

उत्तर मापे गए द्रव्यमान में 3 महत्वपूर्ण अंक हैं जबकि मापे गए घनफल में केवल 2 महत्वपूर्ण अंक हैं। इसलिए घनत्व को केवल 2 महत्वपूर्ण अंकों तक व्यक्त करना चाहिए।

$$ \begin{aligned} \text { घनत्व } & =\frac{5.74}{1.2} \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \\ & =4.8 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \end{aligned} $$

1.3.3 अंकगणितीय गणनाओं के परिणामों में अनिश्चितता निर्धारित करने के नियम

अंकगणितीय संक्रियाओं में संख्या/मापी गई राशि में अनिश्चितता या त्रुटि निर्धारित करने के नियम निम्नलिखित उदाहरणों से समझे जा सकते हैं।

(1) यदि किसी पतले आयताकार चादर की लंबाई और चौड़ाई को मीटर स्केल से क्रमशः $16.2 \mathrm{~cm}$ और $10.1 \mathrm{~cm}$ मापा जाता है, तो प्रत्येक मापन में तीन महत्वपूर्ण अंक होते हैं। इसका अर्थ है कि लंबाई l को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ l=16.2 \pm 0.1 \mathrm{~cm} $$

$$ =16.2 \mathrm{~cm} \pm 0.6 \% $$

इसी प्रकार, चौड़ाई $b$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{aligned} b & =10.1 \pm 0.1 \mathrm{~cm} \\ & =10.1 \mathrm{~cm} \pm 1 \% \end{aligned} $$

तब, दो (या अधिक) प्रयोगात्मक मानों के गुणनफल की त्रुटि, त्रुटियों के संयोजन नियम का उपयोग करते हुए, होगी

$$ \begin{aligned} 1 b & =163.62 \mathrm{~cm}^{2} \pm 1.6 \% \\ & =163.62 \pm 2.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

यह हमें अंतिम परिणाम को इस प्रकार प्रस्तुत करने की ओर ले जाता है

$$ 1 b=164 \pm 3 \mathrm{~cm}^{2} $$

यहाँ $3 \mathrm{~cm}^{2}$ आयताकार चादर के क्षेत्रफल के अनुमान में अनिश्चितता या त्रुटि है।

(2) यदि प्रयोगात्मक आँकड़ों के एक समूह को n सार्थक अंकों तक निर्दिष्ट किया गया है, तो उन आँकड़ों को संयोजित करके प्राप्त किया गया परिणाम भी n सार्थक अंकों तक वैध होगा।

हालाँकि, यदि आँकड़ों को घटाया जाता है, तो सार्थक अंकों की संख्या घट सकती है।

उदाहरण के लिए, $12.9 \mathrm{~g}-7.06 \mathrm{~g}$, दोनों को तीन सार्थक अंकों तक निर्दिष्ट किया गया है, को सही रूप से $5.84 \mathrm{~g}$ के रूप में मूल्यांकित नहीं किया जा सकता है बल्कि केवल $5.8 \mathrm{~g}$ के रूप में किया जा सकता है, क्योंकि घटाव या जोड़ में अनिश्चितताएँ एक अलग तरीके से संयोजित होती हैं (किसी भी संख्या में जोड़े या घटाए गए सार्थक अंकों की संख्या के बजाय दशमलव स्थानों की न्यूनतम संख्या)।

(3) किसी संख्या के मान की सापेक्ष त्रुटि जो सार्थक अंकों तक निर्दिष्ट है, न केवल n पर बल्कि स्वयं संख्या पर भी निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, द्रव्यमान $1.02 \mathrm{~g}$ के मापन में सटीकता $\pm 0.01 \mathrm{~g}$ है जबकि एक अन्य मापन $9.89 \mathrm{~g}$ भी $\pm 0.01 \mathrm{~g}$ तक सटीक है।

$1.02 \mathrm{~g}$ में सापेक्ष त्रुटि

$$ \begin{aligned} & =( \pm 0.01 / 1.02) \times 100 \% \\ & = \pm 1 \% \end{aligned} $$

इसी प्रकार, $9.89 \mathrm{~g}$ में सापेक्ष त्रुटि

$$ \begin{aligned} & =( \pm 0.01 / 9.89) \times 100 \% \\ & = \pm 0.1 \% \end{aligned} $$

अंत में, याद रखें कि बहु-चरणीय गणना में मध्यवर्ती परिणामों की गणना प्रत्येक मापन में कम से कम परिशुद्ध मापन के अंकों की तुलना में एक अतिरिक्त महत्वपूर्ण अंक तक की जानी चाहिए। इन्हें आंकड़ों द्वारा औचित्य दिया जाना चाहिए और फिर अंकगणितीय संक्रियाएँ की जा सकती हैं; अन्यथा राउंडिंग त्रुटियाँ बढ़ सकती हैं। उदाहरण के लिए, 9.58 का व्युत्क्रम, (राउंडिंग के बाद) समान महत्वपूर्ण अंकों (तीन) तक गणना करने पर 0.104 है, लेकिन 0.104 का व्युत्क्रम तीन महत्वपूर्ण अंकों तक गणना करने पर 9.62 है। यदि हमने $1 / 9.58=0.1044$ लिखा होता और फिर तीन महत्वपूर्ण अंकों तक व्युत्क्रम लिया होता, तो हम मूल मान 9.58 को पुनः प्राप्त कर लेते।

यह उदाहरण जटिल बहु-चरणीय गणनाओं के मध्यवर्ती चरणों में (कम से कम परिशुद्ध मापन के अंकों की तुलना में) एक अतिरिक्त अंक रखने के विचार को औचित्य देता है ताकि संख्याओं को राउंड करने की प्रक्रिया में अतिरिक्त त्रुटियों से बचा जा सके।

1.4 भौतिक राशियों की विमाएँ

किसी भौतिक राशि की प्रकृति उसके आयामों द्वारा वर्णित की जाती है। सभी भौतिक राशियाँ जो व्युत्पन्न इकाइयों द्वारा दर्शाई जाती हैं, उन्हें सात मूलभूत या आधारभूत राशियों के किसी संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हम इन आधारभूत राशियों को भौतिक जगत के सात आयाम कहेंगे, जिन्हें वर्ग कोष्ठक [ ] द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, लंबाई का आयाम $[\mathrm{L}]$, द्रव्यमान $[\mathrm{M}]$, समय [T], विद्युत धारा $[\mathrm{A}]$, ऊष्मागतिक तापमान $[\mathrm{K}]$, प्रकाशमान तीव्रता [cd], और पदार्थ की मात्रा [mol] है। किसी भौतिक राशि के आयाम वे घातांक होते हैं जिन्हें उस राशि को दर्शाने के लिए आधारभूत राशियों की घातों के रूप में उठाया जाता है। ध्यान दें कि किसी राशि के चारों ओर वर्ग कोष्ठक [ ] लगाने का अर्थ है कि हम उस राशि के ‘आयामों’ से संबंधित हैं।

यांत्रिकी में, सभी भौतिक राशियों को आयामों [L], [M] और $[\mathrm{T}]$ के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु द्वारा घेरा गया आयतन लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है, या तीन लंबाइयों के रूप में। इसलिए आयतन के आयाम $[\mathrm{L}] \times[\mathrm{L}] \times[\mathrm{L}]=[\mathrm{L}]^{3}=\left[\mathrm{L}^{3}\right]$ हैं। चूँकि आयतन द्रव्यमान और समय से स्वतंत्र होता है, इसलिए इसे द्रव्यमान में शून्य आयाम $\left[\mathrm{M}^{\circ}\right]$, समय में शून्य आयाम $\left[\mathrm{T}^{\circ}\right]$ और लंबाई में तीन आयाम वाला माना जाता है।

इसी प्रकार, बल, जो द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के रूप में होता है, को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

बल $=$ द्रव्यमान $\times$ त्वरण

$=$ द्रव्यमान $\times$ (लम्बाई) $/$ (समय)$^{2}$

बल के विमान हैं $[\mathrm{M}][\mathrm{L}] /[\mathrm{T}]^{2}=$ $\left[\mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]$। इस प्रकार, बल का द्रव्यमान में एक विमान, लम्बाई में एक विमान और समय में -2 विमान होता है। अन्य सभी आधार राशियों में विमान शून्य होते हैं।

ध्यान दें कि इस प्रकार के प्रतिनिधित्व में परिमाणों पर विचार नहीं किया जाता है। यह भौतिक राशि के प्रकार की गुणवत्ता है जो प्रवेश करती है। इस प्रकार, वेग में परिवर्तन, प्रारंभिक वेग, औसत वेग, अंतिम वेग और चाल सभी इस संदर्भ में समतुल्य हैं। चूँकि इन सभी राशियों को लम्बाई/समय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उनके विमान $[\mathrm{L}] /[\mathrm{T}]$ या $\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-1}\right]$ होते हैं।

1.5 विमान सूत्र और विमान समीकरण

वह अभिव्यक्ति जो दर्शाती है कि कैसे और कौन-सी आधार राशियाँ किसी भौतिक राशि के विमानों को प्रस्तुत करती हैं, उसे दी गई भौतिक राशि का विमान सूत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आयतन का विमान सूत्र $\left[\mathrm{M}^{\circ} \mathrm{L}^{3} \mathrm{~T}^{\circ}\right]$ है, और चाल या वेग का $\left[\mathrm{M}^{\circ} \mathrm{LT}^{-1}\right]$ है। इसी प्रकार, $\left[\mathrm{M}^{\circ} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]$ त्वरण का विमान सूत्र है और $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{-3} \mathrm{~T}^{\circ}\right]$ द्रव्यमान घनत्व का।

एक समीकरण जिसे किसी भौतिक राशि को उसके विमीय सूत्र के साथ समान करके प्राप्त किया जाता है, उस भौतिक राशि का विमीय समीकरण कहलाता है। इस प्रकार, विमीय समीकरण वे समीकरण होते हैं जो किसी भौतिक राशि के आयामों को आधारभूत राशियों के पदों में प्रस्तुत करते हैं। उदाहरण के लिए, आयतन $[V]$, चाल $[v]$, बल $[F]$ और द्रव्यमान घनत्व $[\rho]$ के विमीय समीकरण इस प्रकार व्यक्त किए जा सकते हैं

$$ \begin{aligned} & {[V]=\left[\mathrm{M}^{0} \mathrm{~L}^{3} \mathrm{~T}^{0}\right]} \ & {[v]=\left[\mathrm{M}^{0} \mathrm{~L} \mathrm{~T}^{-1}\right]} \ & {[F]=\left[\mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{~T}^{-2}\right]} \ & {[\rho]=\left[\mathrm{M} \mathrm{~L}^{-3} \mathrm{~T}^{0}\right]} \end{aligned} $$

विमीय समीकरण को उस समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है जो भौतिक राशियों के बीच संबंधों को दर्शाता है। भौतिक राशियों की एक बड़ी संख्या और विस्तृत विविधता के विमीय सूत्र, जिन्हें अन्य भौतिक राशियों के बीच संबंधों को दर्शाने वाले समीकरणों से व्युत्पन्न करके आधारभूत राशियों के पदों में व्यक्त किया गया है, आपके मार्गदर्शन और तत्परता से संदर्भ के लिए परिशिष्ट 9 में दिए गए हैं।

1.6 विमीय विश्लेषण और इसके अनुप्रयोग

आयामों की अवधारणाओं की पहचान, जो भौतिक व्यवहार के वर्णन का मार्गदर्शन करती हैं, मूलभूत महत्व की है क्योंकि केवल वही भौतिक राशियाँ जोड़ी या घटाई जा सकती हैं जिनके आयाम समान हों। आयामी विश्लेषण की गहरी समझ हमें विभिन्न भौतिक राशियों के बीच कुछ संबंधों को निकालने में और विभिन्न गणितीय व्यंजकों की व्युत्पत्ति, सटीकता और आयामी संगति या समरूपता की जाँच करने में मदद करती है। जब दो या अधिक भौतिक राशियों के परिमाण गुणा किए जाते हैं, तो उनकी इकाइयों को सामान्य बीजगणितीय प्रतीकों की तरह ही व्यवहार किया जाना चाहिए। हम अंश और हर में समान इकाइयों को रद्द कर सकते हैं। यही बात किसी भौतिक राशि के आयामों के लिए भी सच है। इसी प्रकार, किसी गणितीय समीकरण के दोनों ओर प्रतीकों द्वारा दर्शाई गई भौतिक राशियों के आयाम समान होने चाहिए।

1.6.1 समीकरणों की आयामी संगति की जाँच

भौतिक राशियों के परिमाणों को तभी एक-दूसरे में जोड़ा या घटाया जा सकता है जब उनकी विमाएँ समान हों। दूसरे शब्दों में, हम समान भौतिक राशियों को ही जोड़ या घटा सकते हैं। इस प्रकार, वेग को बल में नहीं जोड़ा जा सकता, या विद्युत धारा को ऊष्मागतिक तापमान से नहीं घटाया जा सकता। इस सरल सिद्धांत को समीकरण में विमाओं की समरूपता का सिद्धांत कहा जाता है, जो किसी समीकरण की सत्यता की जाँच करने में अत्यंत उपयोगी है। यदि सभी पदों की विमाएँ समान नहीं हैं, तो समीकरण गलत है। इसलिए, यदि हम किसी वस्तु की लंबाई (या दूरी) के लिए कोई व्यंजक व्युत्पन्न करें, तो मूल गणितीय संबंध में प्रकट होने वाले प्रतीकों की परवाह किए बिना, जब सभी व्यक्तिगत विमाओं को सरल किया जाता है, तो शेष विमा लंबाई की ही होनी चाहिए। इसी प्रकार, यदि हम गति का कोई समीकरण व्युत्पन्न करें, तो समीकरण के दोनों पक्षों पर विमाएँ, जब सरल की जाएँ, अवश्य ही लंबाई/समय, या $\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-1}\right]$ की होनी चाहिए।

आयामों का उपयोग परंपरागत रूप से किसी समीकरण की सत्यता को लेकर संदेह होने पर उसकी संगति की प्रारंभिक जांच के लिए किया जाता है। तथापि, आयामी संगति सही समीकरण की गारंटी नहीं देती। यह उन बिना-आयाम वाली राशियों या फलनों की सीमा तक अनिश्चित रहती है। विशिष्ट फलनों—जैसे त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय और घातांकीय फलनों—के प्राचल अनिवार्यतः बिना आयाम के होने चाहिए। एक शुद्ध संख्या, समान भौतिक राशियों का अनुपात, जैसे कोण (लंबाई/लंबाई) का अनुपात, अपवर्तनांक (निर्वात में प्रकाश की चाल/माध्यम में प्रकाश की चाल) आदि, का कोई आयाम नहीं होता।

अब हम समीकरण

$$ x=x_{0}+v_{0} t+(1 / 2) a t^{2} $$

की आयामी संगति या समघटिता की जांच कर सकते हैं, जहाँ किसी कण या वस्तु द्वारा समय $t$ में तय की गई दूरी $x$ है, जो स्थिति $x_{0}$ से प्रारंभ होकर समय $t=0$ पर प्रारंभिक वेग $v_{0}$ लेती है और गति की दिशा में एकसमान त्वरण $a$ प्राप्त करती है।

प्रत्येक पद के आयाम इस प्रकार लिखे जा सकते हैं

$$ \begin{gathered} {[x]=[\mathrm{L}]} \ {\left[x_{0}\right]=[\mathrm{L}]} \ {\left[v_{0} t\right]=\left[\mathrm{L} \mathrm{T} \mathrm{T}^{-1}\right][\mathrm{T}]} \ =[\mathrm{L}] \ {\left[(1 / 2) a t^{2}\right]=\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]\left[\mathrm{T}^{2}\right]} \ =[\mathrm{L}] \end{gathered} $$

जैसा कि इस समीकरण के दाहिने पक्ष का प्रत्येक पद एक ही विमान का है, अर्थात् लम्बाई का, जो समीकरण के बायें पक्ष के विमान के समान है, इसलिए यह समीकरण विमानतः सही समीकरण है।

यह ध्यान दिया जा सकता है कि विमानों की संगति की जाँच हमें इकाइयों की संगति की जाँच से न तो कुछ अधिक और न ही कुछ कम बताती है, परन्तु इसका लाभ यह है कि हमें इकाइयों के किसी विशेष चयन के प्रति प्रतिबद्ध नहीं होना पड़ता और हमें इकाइयों के गुणकों तथा उप-गुणकों के बीच रूपान्तरणों की चिन्ता नहीं करनी पड़ती। यह स्मरण रखना चाहिए कि यदि कोई समीकरण इस संगति परीक्षण में असफल हो जाता है, तो यह गलत सिद्ध होता है, परन्तु यदि यह उत्तीर्ण हो जाता है, तो यह सही सिद्ध नहीं होता। इस प्रकार, एक विमानतः सही समीकरण वास्तव में सटीक (सही) समीकरण होना आवश्यक नहीं है, परन्तु एक विमानतः गलत (असंगत) समीकरण अवश्य गलत होता है।

उदाहरण 1.3 आइए हम एक समीकरण पर विचार करें

$$ \frac{1}{2} m v^{2}=m g h $$

जहाँ $m$ पिण्ड का द्रव्यमान है, $v$ इसका वेग, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ ऊँचाई है। जाँच कीजिए कि क्या यह समीकरण विमानतः सही है।

उत्तर LHS के विमान हैं

$$ \begin{gathered} [\mathrm{M}]\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-1}\right]^{2}=[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \\ =\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \end{gathered} $$

RHS के विमान हैं

$$ \begin{aligned} {[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right][\mathrm{L}] } & =[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \\ & =\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \end{aligned} $$

बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) की विमाएँ समान हैं और इसलिए समीकरण विमानतः सही है।

उदाहरण 1.4 ऊर्जा की SI इकाई $\mathrm{J}=\mathrm{kg} \mathrm{m}^2 \mathrm{~s}^{-2}$ है; वेग $v$ की इकाई $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ है और त्वरण $a$ की इकाई $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ है। गतिज ऊर्जा $(K)$ के लिए नीचे दी गई कौन-सी सूत्र आप विमा-तर्कों के आधार पर नकार सकते हैं ($m$ पिण्ड का द्रव्यमान है):

(a) $K=m^2 v^3$

(b) $K=(1 / 2) m v^2$

(c) $K=m a$

(d) $K=(3 / 16) m v^2$

(e) $K=(1 / 2) m v^2+m a$

उत्तर प्रत्येक सही सूत्र या समीकरण में समीकरण के दोनों ओर समान विमाएँ होनी चाहिए। साथ ही, केवल समान भौतिक विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। दायीं ओर की राशि की विमाएँ (a) के लिए $\left[\mathrm{M}^{2} \mathrm{~L}^{3} \mathrm{~T}^{-3}\right]$ हैं; (b) और (d) के लिए $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ हैं; (c) के लिए [M L T ${ }^{-2}$ ] हैं। (e) की दायीं ओर की राशि की कोई उचित विमा नहीं है क्योंकि दो भिन्न विमाओं की राशियों को जोड़ा गया है। चूँकि गतिज ऊर्जा $K$ की विमाएँ $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ हैं, सूत्र (a), (c) और (e) को नकार दिया जाता है। ध्यान दें कि विमागत तर्क यह नहीं बता सकते कि (b) और (d) में से कौन-सा सही सूत्र है। इसके लिए गतिज ऊर्जा की वास्तविक परिभाषा की ओर रुख करना होगा (अध्याय 5 देखें)। गतिज ऊर्जा का सही सूत्र (b) द्वारा दिया गया है।

1.6.2 भौतिक राशियों के बीच संबंध निकालना

विमाओं की विधि का प्रयोग कभी-कभी भौतिक राशियों के बीच संबंध निकालने के लिए किया जा सकता है। इसके लिए हमें भौतिक राशि की अन्य राशियों पर निर्भरता (अधिकतम तीन भौतिक राशियों या रैखिक रूप से स्वतंत्र चरों तक) का पता होना चाहिए और इसे निर्भरता के गुणनफल के रूप में मानना चाहिए। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1.5 एक सरल लोलक पर विचार कीजिए, जिसमें एक गोली एक डोरी से जुड़ी है और गुरुत्वाकर्षण बल के कारण दोलन करती है। मान लीजिए कि सरल लोलक की दोलन अवधि इसकी लंबाई (l), गोली के द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $(g)$ पर निर्भर करती है। विमाओं की विधि का प्रयोग करके इसकी समय अवधि के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

उत्तर समय अवधि $T$ की मात्राओं $l, g$ और $m$ पर गुणनफल के रूप में निर्भरता इस प्रकार लिखी जा सकती है:

$T=k l^{x} g^{y} m^{z}$

जहाँ $\mathrm{k}$ विमाहीन स्थिरांक है और $x, y$ और $z$ घातांक हैं।

दोनों पक्षों पर विमाओं को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

$$ \left[\mathrm{L}^{\mathrm{o}} \mathrm{M}^{\mathrm{o}} \mathrm{T}^{1}\right]=\left[\mathrm{L}^{1}\right]^{x}\left[\mathrm{~L}^{1} \mathrm{~T}^{-2}\right]^{y}\left[\mathrm{M}^{1}\right]^{z} $$

$=\mathrm{L}^{x+y} \mathrm{~T}^{-2 y} \mathrm{M}^{z}$

दोनों पक्षों पर विमाओं को समान करने पर, हमारे पास है

$$ x+y=0 ;-2 y=1 ; \text { और } z=0 $$

इसलिए $x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}, z=0$

तब, $T=k l^{1 / 2} g^{-1 / 2}$

या, $T=k \sqrt{\frac{l}{g}}$

ध्यान दें कि स्थिरांक $k$ का मान विमाओं की विधि द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता। यहाँ यह कोई मायने नहीं रखता कि क्या इस सूत्र के दाहिने पक्ष को कोई संख्या गुणा करती है, क्योंकि इससे इसकी विमाएँ प्रभावित नहीं होती हैं।

वास्तव में, $k=2 \pi$ इसलिए $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

आयामी विश्लेषण आपसी-निर्भर भौतिक राशियों के बीच संबंधों को निकालने में अत्यंत उपयोगी है। तथापि, इस विधि से आयाम रहित नियतांक प्राप्त नहीं किए जा सकते। आयाम विधि केवल आयामिक वैधता की जांच ही कर सकती है, किसी समीकरण में भौतिक राशियों के बीच के ठीक-ठीक संबंध को नहीं। यह उन भौतिक राशियों में भेद नहीं करती जिनके आयाम समान हों।

इस अध्याय के अंत में दिए गए कई अभ्यास आपको आयामी विश्लेषण में निपुणता विकसित करने में सहायता करेंगे।

सारांश

1. भौतिकी एक मात्रात्मक विज्ञान है, जो भौतिक राशियों के मापन पर आधारित है। कुछ भौतिक राशियों को मूलभूत या आधार राशियाँ चुना गया है (जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय, विद्युत धारा, ऊष्मागतिक तापमान, पदार्थ की मात्रा और प्रकाशमान तीव्रता)।

2. प्रत्येक आधार राशि को किसी निश्चित मूलभूत, स्वेच्छा से चुने गए परंतु उचित रूप से मानकीकृत संदर्भ मानक, जिसे इकाई कहते हैं, के पदों में परिभाषित किया जाता है (जैसे मीटर, किलोग्राम, सेकंड, ऐम्पियर, केल्विन, मोल और कैंडेला)। मूलभूत या आधार राशियों की इकाइयों को मूलभूत या आधार इकाइयाँ कहा जाता है।

3. अन्य भौतिक राशियाँ, जो आधार राशियों से व्युत्पन्न होती हैं, आधार इकाइयों के संयोजन के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं और इन्हें व्युत्पन्न इकाइयाँ कहा जाता है। मूलभूत तथा व्युत्पन्न दोनों प्रकार की इकाइयों का पूरा समूह इकाइयों की पद्धति कहलाता है।

4. सात आधार इकाइयों पर आधारित अंतरराष्ट्रीय इकाई पद्धति (SI) वर्तमान में अंतरराष्ट्रीय रूप से स्वीकृत इकाई पद्धति है और संपूर्ण विश्व में व्यापक रूप से प्रयुक्त है।

5. SI इकाइयों का उपयोग सभी भौतिक मापों में किया जाता है, आधारभूत मात्राओं के लिए और उनसे प्राप्त व्युत्पन्न मात्राओं के लिए भी। कुछ व्युत्पन्न इकाइयों को SI इकाइयों के विशेष नामों (जैसे जूल, न्यूटन, वाट आदि) द्वारा व्यक्त किया जाता है।

6. SI इकाइयों में अच्छी तरह परिभाषित और अंतरराष्ट्रीय रूप से स्वीकृत इकाई प्रतीक होते हैं (जैसे मीटर के लिए $m$, किलोग्राम के लिए kg, सेकंड के लिए $\mathrm{s}$, एम्पियर के लिए A, न्यूटन के लिए $\mathrm{N}$ आदि)।

7. भौतिक माप आमतौर पर छोटी और बड़ी मात्राओं के लिए वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त किए जाते हैं, 10 की घातों के साथ। वैज्ञानिक संकेतन और उपसर्ग माप संकेतन और संख्यात्मक गणना को सरल बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं, संख्याओं की परिशुद्धता का संकेत देते हुए।

8. भौतिक मात्राओं के लिए संकेतन और SI इकाइयों के मानक प्रतीकों, कुछ अन्य इकाइयों और SI उपसर्गों के उचित उपयोग के लिए कुछ सामान्य नियमों और दिशानिर्देशों का पालन किया जाना चाहिए ताकि भौतिक मात्राओं और मापों को सही ढंग से व्यक्त किया जा सके।

9. किसी भी भौतिक मात्रा की गणना करते समय, संबंधों में शामिल व्युत्पन्न मात्राओं की इकाइयों को ऐसे माना जाता है जैसे वे बीजगणितीय मात्राएं हों, जब तक वांछित इकाइयां प्राप्त न हो जाएं।

10. मापी गई और गणना की गई मात्राओं में केवल उचित महत्वपूर्ण अंक ही रखने चाहिए। महत्वपूर्ण अंकों की संख्या निर्धारित करने के नियमों, उनके साथ अंकगणितीय संक्रियाएं करने और अनिश्चित अंकों को ‘गोल करने’ के नियमों का पालन किया जाना चाहिए।

11. आधारभूत राशियों की विमाएँ और इन विमाओं के संयोजन भौतिक राशियों की प्रकृति का वर्णन करते हैं। विमीय विश्लेषण का उपयोग समीकरणों की विमीय संगति की जाँच करने, भौतिक राशियों के बीच संबंधों का निष्कर्ष निकालने आदि के लिए किया जा सकता है। एक विमीय रूप से संगत समीकरण वास्तव में एक सटीक (सही) समीकरण होना आवश्यक नहीं है, लेकिन एक विमीय रूप से गलत या असंगत समीकरण अवश्य गलत होना चाहिए।