14.1 भूमिका

पिछले अध्याय में हमने एकाकी दोलित वस्तुओं की गति का अध्ययन किया। यदि ऐसी कई वस्तुओं का एक समूह—एक ‘तंत्र’—हो, तो क्या होता है? कोई भौतिक माध्यम ऐसा ही तंत्र है। यहाँ इसके अणु-अणु प्रत्यास्थ बलों से बँधे रहते हैं, इसलिए एक का संचालन दूसरे को प्रभावित करता है। किसी स्थिर जल-तालाब में एक कंकड़ गिराइए; जल-तल बाधित होता है। यह विघटन एक स्थान पर सीमित न रहकर वृत्ताकार रूप से बाहर फैलता है। यदि लगातार कंकड़ गिराते रहें, तो तेजी से बाहर जाते वृत्त दिखाई देते हैं—ऐसा प्रतीत होता है मानो जल स्वयं बाहर बह रहा हो। परंतु यदि तल पर कुछ डुबकियाँ रख दी जाएँ, तो वे ऊपर-नीचे हिलती हैं, पर केंद्र से दूर नहीं खिसकतीं। इससे स्पष्ट होता है कि जल-पिंड वृत्तों के साथ बाहर नहीं बहता, बल्कि केवल एक ‘चल विघटन’ उत्पन्न होता है। इसी प्रकार जब हम बोलते हैं, ध्वनि हमसे बाहर जाती है, पर वायु का कोई प्रवाह नहीं होता। वायु में उत्पन्न विघटन इतने सूक्ष्म होते हैं कि केवल कान या माइक्रोफ़ोन ही उन्हें पकड़ सकते हैं। ऐसे ही वे नमूने, जो पदार्थ के समग्र प्रवाह के बिना चलते हैं, ‘तरंगें’ कहलाती हैं। इस अध्याय में हम ऐसी ही तरंगों का अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का परिवहन करती हैं और व्यवधान का प्रतिरूप जानकारी लेकर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक प्रसारित होता है। हमारी सभी संचार प्रणालियाँ मूलतः तरंगों के माध्यम से संकेतों के संचरण पर निर्भर करती हैं। भाषण का अर्थ है वायु में ध्वनि तरंगों का उत्पादन और सुनना उनकी पहचान करना है। प्रायः संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों को सम्मिलित करता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगों को पहले विद्युत धारा संकेत में रूपांतरित किया जा सकता है जो पुनः एक विद्युत चुंबकीय तरंग उत्पन्न कर सकता है जिसे एक ऑप्टिकल केबल या उपग्रह के माध्यम से संचरित किया जा सकता है। मूल संकेत की पहचान सामान्यतः इन चरणों को उलट क्रम में सम्पन्न करती है।

सभी तरंगों को अपने संचरण के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें निर्वात से भी यात्रा कर सकती हैं। सितारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सैकड़ों प्रकाश वर्ष दूर हैं, हम तक अंतरतारकीय अंतरिक्ष के माध्यम से पहुँचता है जो व्यावहारिक रूप से निर्वात है।

सबसे परिचित प्रकार की तरंगें जैसे डोरी पर तरंगें, जल तरंगें, ध्वनि तरंगें, भूकंपीय तरंगें आदि को यांत्रिक तरंगें कहा जाता है। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती हैं, ये निर्वात में प्रसारित नहीं हो सकतीं। ये माध्यम के अवयव कणों के दोलन को सम्मिलित करती हैं और माध्यम की प्रत्यास्थ गुणों पर निर्भर करती हैं। विद्युतचुंबकीय तरंगें जिन्हें आप कक्षा बारहवीं में सीखेंगे एक भिन्न प्रकार की तरंगें हैं। विद्युतचुंबकीय तरंगों को अनिवार्यतः माध्यम की आवश्यकता नहीं होती — ये निर्वात में भी यात्रा कर सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, एक्स-किरणें, सभी विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं। निर्वात में सभी विद्युतचुंबकीय तरंगों की समान चाल $\mathrm{c}$ होती है, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

तरंगों का तीसरा प्रकार तथाकथित पदार्थ तरंगें हैं। ये पदार्थ के अवयवों : इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणुओं से संबद्ध होती हैं। ये प्रकृति के क्वांटम यांत्रिक वर्णन में उत्पन्न होती हैं जिसे आप अपने आगे के अध्ययन में सीखेंगे। यद्यपि अवधारणात्मक रूप से ये यांत्रिक या विद्युतचुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त हैं, फिर भी ये आधुनिक प्रौद्योगिकी के कई आधारभूत उपकरणों में अनुप्रयोग पा चुकी हैं; इलेक्ट्रॉनों से संबद्ध पदार्थ तरंगों का उपयोग इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शियों में किया जाता है।

इस अध्याय में हम यांत्रिक तरंगों का अध्ययन करेंगे, जिन्हें अपने प्रसार के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है।

लहरों का सौंदर्यात्मक प्रभाव कला और साहित्य पर प्रारंभिक काल से देखा जाता है; फिर भी लहर गति का पहला वैज्ञानिक विश्लेषण सत्रहवीं शताब्दी तक जाता है। लहर गति के भौतिकी से जुड़े कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिक क्रिस्टियन हाइगेंस (1629-1695), रॉबर्ट हुक और आइज़ैक न्यूटन हैं। लहरों की भौतिकी की समझ स्प्रिंग्स से बंधे द्रव्यों के दोलन की भौतिकी और सरल लोलक की भौतिकी के बाद आई। लोचदार माध्यमों में लहरें सुसमय दोलनों से घनिष्ठ रूप से जुड़ी होती हैं। (तना हुआ डोरा, कुंडलित स्प्रिंग, वायु आदि लोचदार माध्यमों के उदाहरण हैं)।
हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से दर्शाएंगे।

चित्र 14.1 में दिखाए अनुसार एक-दूसरे से जुड़े कई स्प्रिंग्स के एक समूह पर विचार करें। यदि एक सिरे की स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ा जाता है, तो यह विक्षेप दूसरे सिरे तक जाता है। क्या हुआ है? पहली स्प्रिंग अपनी साम्यावस्था की लंबाई से विचलित हो गई है। चूँकि दूसरी स्प्रिंग पहले से जुड़ी है, वह भी खिंचती या संपीड़ित हो जाती है, और यही क्रम आगे बढ़ता है। विक्षुब्धता एक सिरे से दूसरे सिरे तक चली जाती है; पर प्रत्येक स्प्रिंग केवल अपनी साम्यावस्था की स्थिति के आसपास छोटे दोलन करती है। इस परिस्थिति के व्यावहारिक उदाहरण के रूप में, एक रेलवे स्टेशन पर खड़ी एक स्थिर रेलगाड़ी पर विचार करें। रेलगाड़ी के विभिन्न डिब्बे एक-दूसरे से स्प्रिंग कपलिंग द्वारा जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे से जोड़ा जाता है, वह अगले डिब्बे को धक्का देता है; यह धक्का एक डिब्बे से दूसरे डिब्बे तक जाता है बिना पूरी रेलगाड़ी को एक साथ स्थानांतरित किए।

चित्र 14.1 एक-दूसरे से जुड़ी स्प्रिंग्स का समूह। सिरा A अचानक खींचा जाता है जिससे एक विक्षुब्धता उत्पन्न होती है, जो फिर दूसरे सिरे तक फैलती है।

अब आइए हवा में ध्वनि तरंगों के प्रसार पर विचार करें। जैसे ही तरंग हवा से गुजरती है, यह हवा के एक छोटे से क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इससे उस क्षेत्र की घनत्व में परिवर्तन होता है, मान लीजिए $\delta \rho$, यह परिवर्तन उस क्षेत्र में दबाव में परिवर्तन $\delta p$ उत्पन्न करता है। दबाव प्रति इकाई क्षेत्रफल बल होता है, इसलिए एक पुनर्स्थापन बल विस्थापन के समानुपाती होता है, ठीक वैसे ही जैसे एक स्प्रिंग में होता है। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान मात्रा घनत्व में परिवर्तन है। यदि कोई क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र के अणु एक साथ पैक हो जाते हैं, और वे आसन्न क्षेत्र की ओर बाहर जाने का प्रयास करते हैं, जिससे आसन्न क्षेत्र में घनत्व बढ़ता है या संपीड़न उत्पन्न होता है। परिणामस्वरूप, पहले क्षेत्र की हवा विरलन (rarefaction) से गुजरती है। यदि कोई क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरलित होता है, तो आसपास की हवा अंदर आ जाएगी जिससे विरलन आसन्न क्षेत्र में चला जाएगा। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चला जाता है, जिससे हवा में विस्थापन के प्रसार की संभावना बनती है।

ठोस पदार्थों में, इसी प्रकार के तर्क दिए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक (lattice) में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं का समूह आसपास के परमाणुओं से आने वाले बलों के कारण साम्यावस्था में होता है। एक परमाणु को विस्थापित करना, बाकी को स्थिर रखते हुए, पुनर्स्थापन बलों की ओर ले जाता है, ठीक वैसे ही जैसे एक स्प्रिंग में होता है। इसलिए हम जालक में परमाणुओं को सिरों के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग्स होती हैं।

इस अध्याय की आगामी खण्डों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों की चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगें

हमने देखा है कि यांत्रिक तरंगों की गति माध्यम के अवयवों के दोलन से सम्बद्ध होती है। यदि माध्यम के अवयव तरंग प्रसार की दिशा के लम्बवत् दोलन करते हैं, तो हम उस तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहते हैं। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा में ही दोलन करते हैं, तो हम उस तरंग को अनुदैर्ध्य तरंग कहते हैं।

आकृति 14.2 जब एक पल्स किसी तनी हुई डोरी की लम्बाई (x-दिशा) के अनुदिश चलता है, तो डोरी के तत्व ऊपर-नीचे (y-दिशा) दोलन करते हैं

चित्र 14.2 एक डोरी के साथ एक एकल स्पंदन के प्रसार को दर्शाता है, जो एक एकल ऊपर-नीचे झटके के कारण उत्पन्न होता है। यदि डोरी स्पंदन के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो स्पंदन दूसरे सिरे तक पहुँचने से पहले ही दब जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नज़रअंदाज किया जा सकता है। चित्र 14.3 एक समान स्थिति दिखाता है, लेकिन इस बार बाहरी कारक डोरी के एक सिरे को लगातार आवर्ती साइनसॉइडल ऊपर-नीचे झटका देता है। डोरी पर परिणामी विघटन तब एक साइनसॉइडल तरंग होता है। किसी भी स्थिति में डोरी के तत्व अपनी साम्यावस्था की औसत स्थिति के आसपास दोलन करते हैं जैसे ही स्पंदन या तरंग उनमें से गुजरती है। दोलन डोरी के साथ तरंग गति की दिशा के लंबवत होते हैं, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक खिंची हुई डोरी के साथ यात्रा करती हुई एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में डोरी का एक तत्व अपनी साम्यावस्था स्थिति के परितः तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करता है।

हम तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम समय का एक क्षण स्थिर कर सकते हैं और तरंग को स्थान में चित्रित कर सकते हैं। यह हमें किसी दिए गए क्षण स्थान में तरंग के समग्र आकार को देगा। दूसरा तरीका यह है कि हम एक स्थान को स्थिर करें अर्थात् अपना ध्यान डोरी के किसी विशेष तत्व पर केंद्रित करें और समय में उसकी दोलनात्मक गति देखें।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुदैर्ध्य तरंगों की स्थिति का वर्णन करता है। वायु से भरी एक लंबी नली के एक सिरे पर एक पिस्टन है। पिस्टन की एक अचानक आगे की धक्का और पीछे की खींच कार्रवाई माध्यम (वायु) में संघनन (उच्च घनत्व) और विरलन (निम्न घनत्व) की एक नाड़ी उत्पन्न करेगी। यदि पिस्टन की धक्का-खींच कार्रवाई निरंतर और आवर्ती (ज्या-कोटि) है, तो एक ज्या-कोटि तरंग उत्पन्न होगी जो नली की लंबाई के साथ वायु में प्रसारित होगी। यह स्पष्ट रूप से अनुदैर्ध्य तरंगों का एक उदाहरण है।

चित्र 14.4 अनुदैर्ध्य तरंगें (ध्वनि) जो वायु से भरी नली में पिस्टन को ऊपर-नीचे घुमाकर उत्पन्न की जाती हैं। वायु का एक आयतन तत्व तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दिशा में दोलन करता है।

ऊपर विचारित तरंगें, अनुप्रस्थ या अनुदैर्ध्य, यात्रा करने वाली या प्रगामी तरंगें हैं क्योंकि वे माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग तक यात्रा करती हैं। भौतिक माध्यम समग्र रूप से गति नहीं करता है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है। एक धारा, उदाहरण के लिए, जल समग्र की गति का निर्माण करती है। जल तरंग में, यह विक्षोभ है जो गति करता है, न कि जल समग्र। इसी प्रकार एक पवन (वायु समग्र की गति) को ध्वनि तरंग से भ्रमित नहीं करना चाहिए जो वायु में विक्षोभ (दाब घनत्व में) का प्रसार है, बिना वायु माध्यम की समग्र गति के।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कण गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। इसलिए, जैसे-जैसे तरंग प्रसारित होती है, माध्यम का प्रत्येक अवयव एक कतरनी विकृति से गुजरता है। अतः अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन्हीं माध्यमों में प्रसारित हो सकती हैं जो कतरनी प्रतिबल को सहन कर सकें, जैसे ठोस और न कि द्रव। द्रव और ठोस दोनों संपीड़ी विकृति को सहन कर सकते हैं; इसलिए अनुदैर्ध्य तरंगें सभी प्रत्यास्थ माध्यमों में प्रसारित हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, इस्पात जैसे माध्यम में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें प्रसारित हो सकती हैं, जबकि वायु केवल अनुदैर्ध्य तरंगों को सहन कर सकती है। जल की सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: केशिकीय तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पूर्ववाली अपेक्षाकृत छोटी तरंगदैर्ध्य की लहरें होती हैं—कुछ सेंटीमीटर से अधिक नहीं—और इन्हें उत्पन्न करने वाली पुनःस्थापक बल जल की पृष्ठ तनाव होता है। गुरुत्व तरंगों की तरंगदैर्ध्य सामान्यतः कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों को उत्पन्न करने वाली पुनःस्थापक बल गुरुत्वाकर्षण का खिंचाव है, जो जल की सतह को उसके न्यूनतम स्तर पर बनाए रखने का प्रयास करता है। इन तरंगों में कणों के दोलन केवल सतह तक सीमित नहीं होते, बल्कि घटती आयाम के साथ तल तक फैले होते हैं। जल तरंगों में कण गति एक जटिल गति होती है—वे न केवल ऊपर-नीचे बल्कि आगे-पीछे भी गति करते हैं। महासागर में तरंगें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों का संयोजन होती हैं।

यह पाया गया है कि, आमतौर पर, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें एक ही माध्यम में भिन्न-भिन्न चाल से यात्रा करती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे तरंग गति के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। प्रत्येक स्थिति में बताइए कि तरंग गति अनुप्रस्थ है, अनुदैर्ध्य है या दोनों का संयोजन:

(a) एक अनुदैर्ध्य स्प्रिंग में किसी किंक की गति, जो स्प्रिंग के एक सिरे को बग़ल में विस्थापित करने से उत्पन्न होती है।

(b) किसी बेलन में रखे द्रव में उत्पन्न तरंगें, जो उसके पिस्टन को आगे-पीछे चलाने से बनती हैं।

(c) किसी मोटरबोट के पानी में चलने से उत्पन्न तरंगें।

(d) किसी कम्पनशील क्वार्ट्ज क्रिस्टल द्वारा वायु में उत्पन्हित पराश्रव्य तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य

(b) अनुदैर्ध्य

(c) अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य

(d) अनुदैर्ध्य

14.3 प्रगतिशील तरंग में विस्थापन सम्बन्ध

किसी यात्रा करती तरंग के गणितीय वर्णन के लिए हमें स्थिति $x$ और समय $t$ दोनों की एक फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण उस तरंग का आकार देना चाहिए। साथ ही, प्रत्येक दी गई स्थिति पर वह उस स्थान पर माध्यम के अवयव की गति का वर्णन करना चाहिए। यदि हम कोई साइनोसॉइडल यात्रा तरंग वर्णित करना चाहें (जैसी कि चित्र 14.3 में दिखाई गई है) तो संगत फलन भी साइनोसॉइडल होना चाहिए। सुविधा के लिए हम तरंग को अनुप्रस्थ मानेंगे ताकि यदि माध्यम के अवयव की स्थिति $x$ द्वारा दर्शाई जाए तो साम्यावस्था से विस्थापन $y$ द्वारा दर्शाया जा सके। एक साइनोसॉइडल यात्रा तरंग तब निम्न द्वारा वर्णित होती है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\varphi) \tag{14.2} \end{equation*} $$

साइन फंक्शन के आर्गुमेंट में $\phi$ पद इस बात को समतुल्य रूप से दर्शाता है कि हम साइन और कोसाइन फंक्शनों के रैखिक संयोजन पर विचार कर रहे हैं:

$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \quad$ (14.3)

समीकरणों (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text{ और } \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

यह समझने के लिए कि समीकरण (14.2) एक साइनसॉइडल यात्रा करती तरंग को क्यों दर्शाता है, एक निश्चित क्षण लीजिए, मान लीजिए $t=t_{0}$। तब, समीकरण (14.2) में साइन फंक्शन का आर्गुमेंट केवल $k x+$ constant होता है। इस प्रकार, किसी भी निश्चित क्षण पर तरंग का आकार $x$ के फंक्शन के रूप में एक साइन तरंग होता है। इसी प्रकार, एक निश्चित स्थान लीजिए, मान लीजिए $x=x_{0}$। तब, समीकरण (14.2) में साइन फंक्शन का आर्गुमेंट constant $-\omega t$ होता है। एक निश्चित स्थान पर विस्थापन $y$ इस प्रकार समय के साथ साइनसॉइडल रूप से बदलता है। यह है कि माध्यम के विभिन्न स्थानों पर घटक सरल आवर्त गति करते हैं। अंत में, जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है, $k x-\omega t+\phi$ को constant रखने के लिए $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ना होगा। इस प्रकार, समीकरण (14.2) एक साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग को $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में यात्रा करती हुई दर्शाता है। दूसरी ओर, एक फंक्शन $x$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में यात्रा करती तरंग को दर्शाता है। आकृति (14.5) समीकरण (14.2) में प्रकट होने वाले विभिन्न भौतिक राशियों के नाम देती है जिनकी हम अब व्याख्या करते हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\varphi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में प्रयुक्त मानक प्रतीकों का अर्थ

चित्र 14.6 समीकरण (14.2) के लिए समान समय अंतरालों पर समय के विभिन्न मानों के लिए आरेख दिखाता है। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन का बिंदु होता है, निम्न बिंदु अधिकतम ऋणात्मक विस्थापन का बिंदु होता है। यह देखने के लिए कि एक तरंग कैसे चलती है, हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे आगे बढ़ता है। चित्र में, यह शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी प्रकार, हम माध्यम के किसी विशिष्ट घटक की गति को एक निश्चित स्थान पर, मान लीजिए x-अक्ष के मूल बिंदु पर, देख सकते हैं। यह एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ, मूल बिंदु पर ठोस बिंदु (•) आवधिक रूप से गति करता है, अर्थात् मूल बिंदु पर कण तरंग के आगे बढ़ने के साथ अपनी माध्य स्थिति के आसपास दोलन करता है। यह किसी अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम यह भी देखते हैं कि जिस समय में ठोस बिंदु (•) ने एक पूर्ण दोलन पूरा किया है, उसी समय में शिखर एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ गया है।

आकृति 14.6 विभिन्न समयों पर x-अक्ष के धनात्मक दिशा में आगे बढ़ती एक सरल तरंग।

आकृति 14.6 के आरेखों का उपयोग करते हुए, हम अब समीकरण (14.2) की विभिन्न राशियों को परिभाषित करते हैं।

14.3.1 आयाम और कला

समीकरण (14.2) में, चूँकि साइन फलन 1 और -1 के बीच परिवर्तित होता है, विस्थापन $y(x, t)$ भी $a$ और $-a$ के बीच परिवर्तित होता है। हम $a$ को एक धनात्मक अचर मान सकते हैं, बिना कोई व्यापकता खोए। तब, a माध्यम के कणों के साम्यावस्था से अधिकतम विस्थापन को दर्शाता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, परंतु $a$ धनात्मक होता है। इसे तरंग का आयाम कहा जाता है।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क के रूप में आने वाली राशि $(k x-\omega t+\phi)$ को तरंग की कला कहा जाता है। आयाम $a$ दिए जाने पर, कला किसी भी स्थिति और किसी भी क्षण तरंग का विस्थापन निर्धारित करती है। स्पष्ट है कि $\phi$, $x=0$ और $t=0$ पर कला है। इसलिए, $\phi$ को प्रारंभिक कला कोण कहा जाता है। x-अक्ष पर मूल और प्रारंभिक समय के उपयुक्त चयन द्वारा, $\phi=0$ होना संभव है। इस प्रकार $\phi$ को हटाने में कोई व्यापकता नहीं खोती, अर्थात् समीकरण (14.2) को $\phi=0$ के साथ लेने में कोई हर्ज नहीं।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य और कोणीय तरंग संख्या

दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिनमें समान प्रावस्था (फेज़) हो, को तरंग की तरंगदैर्ध्य कहा जाता है, जिसे सामान्यतः $\lambda$ से निरूपित किया जाता है। सरलता के लिए हम समान प्रावस्था वाले बिंदुओं को तरंग की चोटियों (crests) या गर्तों (troughs) के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब दो क्रमागत चोटियों या गर्तों के बीच की दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ रखने पर, $t=0$ पर विस्थापन निम्न प्रकार से दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

चूँकि साइन फलन कोण में $2 \pi$ के परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

इसका तात्पर्य है कि बिंदुओं $x$ और $x+\frac{2 n \pi}{k}$ पर विस्थापन समान हैं, जहाँ $n=1,2,3, \ldots$ समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी $n=1$ लेने पर प्राप्त होती है। तब $\lambda$ निम्न प्रकार से दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6} \end{equation*} $$

$k$ को कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक कहा जाता है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या rad $m^{-1}$ है।

14.3.3 आवर्त, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

आकृति 14.7 पुनः एक साइनसॉइडल आरेख दिखाती है। यह किसी निश्चित क्षण तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता, बल्कि माध्यम के किसी तत्व (किसी स्थिर स्थान पर) का विस्थापन समय के फलन के रूप में दर्शाता है। सरलता के लिए हम समीकरण (14.2) को $\phi=0$ के साथ ले सकते हैं और मान लें कि हम $x=0$ पर स्थित तत्व की गति का अवलोकन कर रहे हैं। तब हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

आकृति 14.7 एक निश्चित स्थान पर स्ट्रिंग का एक तत्व, तरंग के गुजरने के साथ समय में आयाम a और आवर्तकाल T के साथ दोलन करता है।

अब, तरंग के दोलन की आवर्तकाल वह समय है जो किसी तत्व को एक पूर्ण दोलन पूरा करने में लगता है। अर्थात् $-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

चूँकि साइन फलन प्रत्येक $2 \pi$ के बाद दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहा जाता है। इसका SI मात्रक $\mathrm{rad} s^{-1}$ है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या है। इसलिए,

$$ \begin{equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर, ‘रेडियन’ को हटाया जा सकता है और मात्रक केवल m–1 के रूप में लिखे जा सकते हैं। इस प्रकार, k इकाई लंबाई में समायोजित की जा सकने वाली तरंगों (या कुल कलांतर) की संख्या के 2π गुना को दर्शाता है, जिसका SI मात्रक m–1 है। $v$ सामान्यतः हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

उपरोक्त चर्चा में, हमेशा एक तरंग का उल्लेख किया गया है जो एक डोरी के साथ-साथ या एक अनुप्रस्थ तरंग के रूप में यात्रा करती है। एक अनुदैर्ध्य तरंग में, माध्यम के एक तत्व का विस्थापन तरंग के प्रसार की दिशा के समानांतर होता है। समीकरण (14.2) में, एक अनुदैर्ध्य तरंग के लिए विस्थापन फलन इस प्रकार लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ समय $t$ पर स्थिति $x$ पर तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व का विस्थापन है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियों का अर्थ अनुप्रस्थ तरंग के मामले में समान है, सिवाय इसके कि विस्थापन फलन $y(x, t)$ को फलन $s(x, t)$ से प्रतिस्थापित किया जाना है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक डोरी के साथ-साथ यात्रा करने वाली तरंग को इस प्रकार वर्णित किया गया है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जिसमें संख्यात्मक नियतांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$ )। (a) आयाम, (b) तरंगदैर्ध्य, और (c) तरंग की आवर्त और आवृत्ति की गणना कीजिए। साथ ही, $x=30.0 \mathrm{~cm}$ दूरी और $t=20 \mathrm{s}$ समय पर तरंग का विस्थापन $y$ भी गणना कीजिए?

उत्तर इस विस्थापन समीकरण की समीकरण (14.2) से तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t), $$

हम पाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार हैं
$
k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1}
$

हम तब तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से समीकरण (14.6) के माध्यम से संबंधित करते हैं,

$$
\begin{aligned}
\lambda & =2 \pi / k \
& =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \
& =7.85 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं

$$
\begin{aligned}
T & =2 \pi / \omega \
& =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \
& =2.09 \mathrm{~s}
\end{aligned}
$$

$$
=0.48 \mathrm{~Hz}
$$

विस्थापन $y$ जब $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ है, निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$
\begin{aligned}
y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \
& =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \
& =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \
& =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm}
\end{aligned}
$$

14.4 एक गतिशील तरंग की चाल

एक यात्रा करने वाली तरंग के प्रसार की चाल निर्धारित करने के लिए हम अपना ध्यान तरंग के किसी विशेष बिंदु पर (जो किसी चरण के मान से विशेषता होता है) केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि वह बिंदु समय के साथ कैसे चलता है। तरंग की चोटी की गति को देखना सुविधाजनक होता है। चित्र 14.8 तरंग की आकृति को समय के दो क्षणों पर दिखाता है, जो एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ से भिन्न होते हैं। पूरी तरंग आकृति को दाईं ओर ($x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में) $\Delta x$ दूरी तक विस्थापित होते देखी जाती है। विशेष रूप से, एक बिंदु $(\bullet)$ द्वारा दिखाई गई चोटी समय $\Delta t$ में $\Delta x$ दूरी तक चलती है। तरंग की चाल तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम $\operatorname{dot}(\bullet)$ को किसी अन्य चरण वाले बिंदु पर रख सकते हैं। यह समान चाल $v$ से चलेगा (अन्यथा तरंग आकृति स्थिर नहीं रहेगी)। तरंग पर एक स्थिर चरण बिंदु की गति दी गई है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग का प्रगति, जहाँ ∆t एक छोटा अंतराल है। तरंग आकृति समग्र रूप से दाईं ओर विस्थापित होती है। तरंग की चोटी (या कोई स्थिर चरण वाला बिंदु) समय ∆t में ∆x दूरी तक दाईं ओर चलती है।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { नियतांक } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इस प्रकार, जैसे-जैसे समय $t$ बदलता है, स्थिर फेज बिंदु की स्थिति $x$ को इस प्रकार बदलना चाहिए कि फेज स्थिर बना रहे। इस प्रकार,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $k \Delta x-\omega \Delta t=0$

$\Delta x, \Delta t$ को अत्यंत छोटा लेते हुए, यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ से और $k$ को $\lambda$ से संबद्ध करते हुए, हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समी. (14.12), सभी प्रगतिशील तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध, दर्शाता है कि माध्यम के किसी भी घटक द्वारा एक पूर्ण दोलन करने में लगे समय के दौरान, तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्ध्य के बराबर दूरी तय करता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यांत्रिक तरंग की चाल माध्यम जड़त्वीय (तारों के लिए रेखीय द्रव्यमान घनत्व, सामान्यतः द्रव्यमान घनत्व) और प्रत्यास्थ गुणों (रेखीय माध्यमों के लिए यंग गुणांक/कतरनी गुणांक, आयतनी गुणांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम चाल निर्धारित करता है; समी. (14.12) फिर दी गई चाल के लिए तरंगदैर्ध्य को आवृत्ति से संबद्ध करता है। निश्चय ही, जैसा पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगों को समर्थन दे सकता है, जिनकी एक ही माध्यम में भिन्न चालें होंगी। इस अध्याय में आगे हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की चाल के लिए विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 खिंचे हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल

किसी यांत्रिक तरंग की चाल उस माध्यम में उत्पन्न होने वाली पुनर्स्थापन बल और माध्यम के जड़ता गुणों (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा निर्धारित होती है। चाल का पुनर्स्थापन बल से सीधा और जड़ता गुणों से व्युत्क्रम सम्बन्ध होना अपेक्षित है। डोरी पर तरंगों के लिए पुनर्स्थापन बल डोरी में लगा तनाव $T$ प्रदान करता है। इस स्थिति में जड़ता गुण रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो डोरी का द्रव्यमान $m$ उसकी लंबाई $L$ से विभाजित है। न्यूटन के गति के नियमों का प्रयोग कर डोरी पर तरंग चाल के लिए एक सटीक सूत्र व्युत्पन्न किया जा सकता है, परंतु यह व्युत्पत्ति इस पुस्तक की सीमा से बाहर है। इसलिए हम आयामी विश्लेषण का प्रयोग करेंगे। हम पहले से जानते हैं कि केवल आयामी विश्लेषण कभी भी सटीक सूत्र नहीं दे सकता। समग्र आयामी रहित नियतांक आयामी विश्लेषण द्वारा सदा अनिर्धारित रहता है। $\mu$ का आयाम $\left[M L^{-1}\right]$ है और $T$ का आयाम बल के समान है, अर्थात् $\left[M L T^{2}\right]$। हमें इन आयामों को संयोजित कर चाल $v\left[L T^{-1}\right]$ का आयाम प्राप्त करना है। सरल निरीक्षण बताता है कि राशि $\mathrm{T} / \mu$ का आयाम उपयुक्त है

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

इस प्रकार यदि $T$ और $\mu$ को ही एकमात्र उपयुक्त भौतिक राशियाँ माना जाए,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

जहाँ $C$ विमीय विश्लेषण का अनिर्धारित स्थिरांक है। सटीक सूत्र में, यह पता चलता है, $\mathrm{C}=1$। एक तना हुआ तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

एक महत्वपूर्ण बिंधु ध्यान दें कि चाल $V$ केवल माध्यम के गुणों $T$ और $\mu$ पर निर्भर करती है ($T$ तने हुए तार का एक गुण है जो बाह्य बल के कारण उत्पन्न होता है)। यह तरंग की तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति पर निर्भर नहीं करती। उच्च अध्ययन में, आप ऐसी तरंगों से मिलेंगे जिनकी चाल तरंग की आवृत्ति से स्वतंत्र नहीं होती। दो पैरामीटरों $\lambda$ और $v$ में से, विघटन का स्रोत उत्पन्न तरंग की आवृत्ति निर्धारित करता है। माध्यम में तरंग की चाल और आवृत्ति दी हुई हो तो समीकरण (14.12) तरंगदैर्ध्य को निर्धारित करता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक इस्पात का तार $0.72 \mathrm{~m}$ लंबा है जिसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार $60 \mathrm{~N}$ के तनाव में हो, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या है?

उत्तर तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुदैर्ध्य तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुदैर्ध्य तरंग में, माध्यम के अवयव तरंग के प्रसार की दिशा में आगे-पीछे दोलन करते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंगें वायु के छोटे आयतान अवयवों के संपीड़न और विरलन के रूप में यात्रा करती हैं। वह लोची गुण जो संपीड़न विकृति के अंतर्गत प्रतिबल निर्धारित करता है, माध्यम का आयतान मापांक है जो इस प्रकार परिभाषित है (अध्याय 8 देखें)

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दाब परिवर्तन $\Delta P$ एक आयतान विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ का आयाम दाब के समान होता है और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिया जाता है। तरंग के प्रसार के लिए प्रासंगिक जड़ता गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ हैं। सरल निरीक्षण बताता है कि राशि $B / \rho$ का आयाम प्रासंगिक है:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इस प्रकार, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र प्रासंगिक भौतिक राशियाँ माना जाए,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, पहले की तरह, $C$ विमीय विश्लेषण से आया अनिर्धारित नियतांक है। सटीक व्युत्पत्ति दिखाती है कि $C=1$ है। इस प्रकार, किसी माध्यम में अनुदैर्ध्य तरंगों के लिए सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*} $$

एक रेखीय माध्यम, जैसे ठोस छड़, में छड़ का पार्श्व प्रसार नगण्य होता है और हम इसे केवल अनुदैर्ध्य विकृति के अधीन मान सकते हैं। उस स्थिति में, प्रासंगिक प्रत्यास्थता मापांक यंग मापांक है, जिसकी विमा आयतन प्रत्यास्थता मापांक के समान है। इस स्थिति के लिए विमीय विश्लेषण पहले की तरह ही है और यह समीकरण (14.18) जैसा संबंध देता है, एक अनिर्धारित $C$ के साथ, जिसे सटीक व्युत्पत्ति एकता दिखाती है। इस प्रकार, ठोस छड़ में अनुदैर्ध्य तरंगों की चाल दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ छड़ के पदार्थ का यंग मापांक है। तालिका 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की चाल देती है।

तालिका 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की चाल

द्रव और ठोस में प्रायः ध्वनि की चाल गैसों की तुलना में अधिक होती है। [ध्यान दें, ठोस के लिए जिस चाल की बात की जा रही है वह ठोस में अनुदैर्ध्य तरंगों की चाल है।] ऐसा इसलिए होता है क्योंकि उन्हें गैसों की तुलना में संपीड़ित करना कहीं अधिक कठिन होता है और इसलिए उनका आयतनी प्रत्यास्थता गुणांक बहुत अधिक होता है। अब, समीकरण (14.19) देखें। ठोस और द्रवों की द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ गैसों से अधिक होती है। परंतु ठोस और द्रवों के प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$ में संगत वृद्धि बहुत अधिक होती है। यही कारण है कि ध्वनि तरंगें ठोस और द्रवों में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस सन्निकटन में किसी गैस में ध्वनि की चाल का आकलन कर सकते हैं। एक आदर्श गैस के लिए दाब $P$, आयतन $V$ और ताप $T$ निम्न सम्बन्ध द्वारा संबद्ध हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$ \begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। इसलिए, एक समतापीय परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से इसका अनुसरण होता है:

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

$$ B=P $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में अनुदैर्ध्य तरंग की चाल इस प्रकार दी जाती है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

यह संबंध सर्वप्रथम न्यूटन द्वारा दिया गया था और इसे न्यूटन का सूत्र कहा जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक तापमान और दबाव पर वायु में ध्वनि की चाल का आकलन कीजिए। 1 मोल वायु का द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि STP पर कोई भी गैस का 1 मोल 22.4 लीटर घनफल घेरता है। इसलिए, STP पर वायु का घनत्व है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल वायु का द्रव्यमान) / (STP पर एक मोल वायु का आयतन)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

किसी माध्यम में ध्वनि की चाल के लिए न्यूटन के सूत्र के अनुसार, हम STP पर वायु में ध्वनि की चाल के लिए पाते हैं:

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाया गया परिणाम तालिका 14.1 में दिए गए प्रयोगात्मक मान $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की तुलना में लगभग 15% कम है। हमने कहाँ गलती की? यदि हम न्यूटन द्वारा की गई मूलभूत धारणा की जाँच करें कि ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दाब परिवर्तन समतापीय होते हैं, तो हम पाते हैं कि यह सही नहीं है। लाप्लास ने इंगित किया कि ध्वनि तरंगों के प्रसार में दाब परिवर्तन इतने तेज होते हैं कि निरंतर तापमान बनाए रखने के लिए ऊष्मा प्रवाह के लिए बहुत कम समय होता है। ये परिवर्तन इसलिए रुद्धोष्म (adiabatic) होते हैं, न कि समतापीय (isothermal)। रुद्धोष्म प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस संबंध को संतुष्ट करती है (अनुभाग 11.8 देखें),

$$ P V^{\gamma}=\text { नियतांक } $$

अर्थात् $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, एक आदर्श गैस के लिए रुद्धोष्म आयतनी प्रत्यास्थता मॉड्यूल दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की चाल दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र में यह संशोधन लाप्लास संशोधन कहलाता है। वायु के लिए $\gamma=7 / 5$। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके STP पर वायु में ध्वनि की चाल का आकलन करने पर, हमें $331.3 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ का मान प्राप्त होता है, जो मापी गई चाल से मेल खाता है।

14.5 तरंगों का अध्यारोपण का सिद्धांत

जब दो तरंग स्पंद विपरीत दिशाओं में यात्रा करते हुए एक-दूसरे को पार करते हैं (चित्र 14.9) तो क्या होता है? यह पाया गया है कि तरंग स्पंद पार करने के बाद भी अपनी पहचान बनाए रखते हैं। हालांकि, जब वे अतिव्याप्त होते हैं, तरंग प्रतिरूप दोनों में से किसी एक स्पंद से भिन्न होता है। चित्र 14.9 स्थिति दिखाता है जब समान और विपरीत आकृति के दो स्पंद एक-दूसरे की ओर गतिशील हैं। जब स्पंद अतिव्याप्त होते हैं, परिणामी विस्थापन प्रत्येक स्पंद के कारण विस्थापनों का बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों का अध्यारोपण का सिद्धांत कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक स्पंद ऐसे चलता है जैसे अन्य मौजूद न हों। इसलिए माध्यम के अवयव दोनों के कारण विस्थापन भोगते हैं और चूँकि विस्थापन धनात्मक व ऋणात्मक हो सकते हैं, कुल विस्थापन दोनों का बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 विभिन्न समयों पर तरंग आकृति के ग्राफ देता है। ग्राफ (c) में नाटकीय प्रभाव देखिए; दोनों स्पंदों के कारण विस्थापन एक-दूसरे को पूरी तरह रद्द कर देते हैं और सर्वत्र शून्य विस्थापन होता है।

चित्र 14.9 समान और विपरीत विस्थापन वाले दो स्पंद विपरीत दिशाओं में गतिशील। अतिव्याप्त स्पंद वक्र (c) में शून्य विस्थापन का योग देते हैं

अतिशयोक्ति के सिद्धांत को गणितीय रूप से रखने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ माध्यम में दो तरंग विक्षोभों के कारण विस्थापन हैं। यदि तरंगें एक साथ किसी क्षेत्र में पहुँचती हैं, और इसलिए अतिव्याप्त होती हैं, तो कुल विस्थापन $y(x, t)$ इस प्रकार दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हमारे पास माध्यम में दो या अधिक तरंगें गतिशील हैं तो परिणामी तरंगरूप व्यक्तिगत तरंगों की तरंग फलनों का योग है। अर्थात्, यदि गतिशील तरंगों के तरंग फलन हैं

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \ & y_{2}=f_{2}(x-v t), \ & \cdots \cdots \cdots \cdots \ & \cdots \cdots \cdots . . \ & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में विक्षोभ का वर्णन करने वाला तरंग फलन है

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

अतिशयोक्ति का सिद्धांत व्यतिकरण की घटना के लिए मूलभूत है।

सरलता के लिए, एक तना हुआ डोरी पर दो हार्मोनिक गतिशील तरंगों पर विचार करें, दोनों की समान $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) हैं, और इसलिए समान तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। उनकी तरंग चाल समान होगी। आइए आगे मान लें कि उनकी आयामें समान हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में गतिशील हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक प्रावस्था में भिन्न हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगें फलनों द्वारा वर्णित हैं:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

नेट विस्थापन तब, सुपरपोज़िशन के सिद्धांत द्वारा, इस प्रकार दिया जाता है

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हमने $\sin A+\sin B$ के लिए परिचित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग किया है। हमारे पास तब है

$$y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14.10 समान आयाम और तरंगदैर्ध्य की दो हार्मोनिक तरंगों का परिणामी, सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार। परिणामी तरंग का आयाम कलान्तर φ पर निर्भर करता है, जो (a) के लिए शून्य है और (b) के लिए π है

समी. (14.31) भी धनात्मक x-अक्ष की दिशा में एक हार्मोनिक यात्रा करती तरंग है, समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के साथ। हालाँकि, इसका प्रारंभिक कलांतर कोण $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसका आयाम उन दो घटक तरंगों के बीच के कलान्तर $\phi$ का एक फलन है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें समान काल में हों,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात्, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के लिए संभव सबसे बड़ा मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूर्णतः विपरीत काल में होती हैं और परिणामी तरंग का विस्थापन सभी स्थानों पर सभी समय शून्य होता है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समी. (14.33) दो तरंगों के तथाकथित रचनात्मक व्यतिकरण को दर्शाती है जहाँ परिणामी तरंग में आयाम योग होते हैं। समी. (14.34) विनाशकारी व्यतिकरण की स्थिति है जहाँ परिणामी तरंग में आयाम घट जाते हैं। चित्र 14.10 अतिव्यापन के सिद्धांत से उत्पन्न तरंगों के इन दो व्यतिकरण के मामलों को दिखाता है।

14.6 तरंगों का परावर्तन

अब तक हमने अनबाउंड माध्यम में फैलने वाली तरंगों पर विचार किया है। यदि कोई पल्स या तरंग एक सीमा से टकराती है तो क्या होता है? यदि सीमा कठोर है, तो पल्स या तरंग परावर्तित हो जाती है। प्रतिध्वनि की घटना एक कठोर सीमा द्वारा परावर्तन का उदाहरण है। यदि सीमा पूरी तरह से कठोर नहीं है या दो भिन्न लोचदार माध्यमों के बीच एक इंटरफेस है, तो स्थिति कुछ जटिल है। आपतित तरंग का एक भाग परावर्तित होता है और एक भाग दूसरे माध्यम में संचरित हो जाता है। यदि कोई तरंग दो भिन्न माध्यमों की सीमा पर तिर्यक आपतित होती है, तो संचरित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के स्नेल के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें सामान्य परावर्तन के नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक पल्स को खिंची हुई डोरी के साथ यात्रा करते और सीमा द्वारा परावर्तित होते दिखाता है। यह मानते हुए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, परावर्तित तरंग आपतित पल्स के समान आकार रखती है लेकिन परावर्तन पर इसे $\pi$ या $180^{\circ}$ का कल्परिवर्तन होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सीमा कठोर है और विसंगति का विस्थापन सीमा पर सभी समयों पर शून्य होना चाहिए। सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, यह तभी संभव है यदि परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ का कल्पांतर हो, ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो। यह तर्क कठोर दीवार पर सीमा की स्थिति पर आधारित है। हम इसी निष्कर्ष पर गतिक रूप से भी पहुँच सकते हैं। जैसे ही पल्स दीवार तक पहुँचता है, वह दीवार पर एक बल लगाता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार डोरी पर समान और विपरीत बल लगाती है जो $\pi$ के कल्पांतर के साथ एक परावर्तित पल्स उत्पन्न करती है।

चित्र 14.11 एक कठोर सीमा से टकराने वाले पल्स का परावर्तन।

यदि दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठोर नहीं है बल्कि पूरी तरह से हिलने के लिए स्वतंत्र है (जैसे कि एक डोरी जो एक छड़ पर स्वतंत्र रूप से चलने वाली अंगूठी से बँधी हो), तो परावर्तित नाड़ी की आयाम और कला आने वाली नाड़ी के समान होती है (यह मानते हुए कि कोई ऊर्जा क्षय नहीं हो रहा है)। सीमा पर अधिकतम विस्थापन तब प्रत्येक नाड़ी के आयाम का दोगुना होता है। एक अकठोर सीमा का उदाहरण एक ऑर्गन पाइप का खुला सिरा है।

संक्षेप में, एक गतिशील तरंग या नाड़ी कठोर सीमा पर परावर्तन पर $\pi$ की कला परिवर्तन से गुजरती है और खुली सीमा पर परावर्तन पर कोई कला परिवर्तन नहीं होता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार रखा जा सकता है, मान लीजिए आने वाली गतिशील तरंग है

$$ y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठोर सीमा पर, परावर्तित तरंग इस प्रकार दी जाती है

$$ \begin{align*} y_{r}(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) \\ & =-a \sin (k x-\omega t) \tag{14.35} \end{align*} $$

एक खुली सीमा पर, परावर्तित तरंग इस प्रकार दी जाती है

$$ \begin{align*} y_{r}(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) \\ & =a \sin (k x-\omega t) \tag{14.36} \end{align*} $$

स्पष्ट है कि कठोर सीमा पर, $y=y_{2}+y_{r}=0$ सभी समयों पर होता है।

14.6.1 स्थायी तरंगें और सामान्य विधाएँ

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन पर विचार किया। लेकिन ऐसी परिचित स्थितियाँ हैं (एक डोरी जो दोनों सिरों से बँधी हो या एक पाइप में हवा का स्तम्भ जिसके दोनों सिरे बन्द हों) जिनमें परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। उदाहरण के लिए, एक डोरी में एक दिशा में चलती तरंग एक सिरे पर परावर्तित होगी, जो पुनः चलकर दूसरे सिरे से परावर्तित होगी। यह तब तक चलता रहेगा जब तक डोरी पर एक स्थिर तरंग प्रतिरूप स्थापित न हो जाए। ऐसे तरंग प्रतिरूपों को स्थिर तरंगें या अप्रगामी तरंगें कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, मान लीजिए $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में चलती एक तरंग और उसी आयाम तथा तरंगदैर्ध्य की ऋणात्मक दिशा में परावर्तित तरंग है। समीकरणों (14.2) और (14.4) से, $\phi=0$ के साथ, हम पाते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

डोरी पर परिणामी तरंग, अतिसरकण के सिद्धान्त के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ का प्रयोग करने पर हम पाते हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

ध्यान दीजिए कि समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग प्रतिरूप में समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) से एक महत्वपूर्ण अंतर है। पद $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग आते हैं, संयोजन $k x-\omega t$ में नहीं। इस तरंग का आयाम $2 a \sin k x$ है। इस प्रकार, इस तरंग प्रतिरूप में आयाम बिंदु-दर-बिंदु बदलता है, परंतु डोरी का प्रत्येक अवयव समान कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय-आवृत्ति से दोलन करता है। तरंग के विभिन्न अवयवों के दोलनों के बीच कोई कलांतर नहीं होता। डोरी सम्पूर्ण रूप से विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न-भिन्न आयामों के साथ समकक्ष रूप से कम्पित होती है। तरंग प्रतिरूप न तो दाएँ और न ही बाएँ गति कर रहा है। इसलिए इन्हें स्थायी या स्थिर तरंगें कहा जाता है। आयाम एक दिए गए स्थान पर स्थिर होता है, परंतु पहले उल्लेख किया गया है कि यह विभिन्न स्थानों पर भिन्न होता है। वे बिंदु जहाँ आयाम शून्य होता है (अर्थात् जहाँ कोई गति नहीं होती) नोड्स कहलाते हैं; वे बिंदु जहाँ आयाम अधिकतम होता है, प्रतिनोड्स कहलाते हैं। चित्र 14.12 विपरीत दिशाओं में चलती दो तरंगों के अध्यारोपण से उत्पन्न एक स्थिर तरंग प्रतिरूप दिखाता है।

स्थिर तरंगों की सबसे प्रमुख विशेषता यह है कि सीमा-शर्तें सिस्टम की संभावित तरंगदैर्ध्यों या कम्पन आवृत्तियों को बाधित करती हैं। सिस्टम किसी भी स्वेच्छ आवृत्ति से दोलन नहीं कर सकता (इसकी तुलना एक हार्मोनिक गतिशील तरंग से करें), बल्कि यह प्राकृतिक आवृत्तियों या दोलन के सामान्य मोडों के एक समुच्चय से विशेषता रखता है। आइए दोनों सिरों से बँधी एक तनी हुई डोरी के लिए इन सामान्य मोडों को निर्धारित करें।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोडों की स्थितियाँ (जहाँ आयाम शून्य होता है) इस प्रकार दी जाती हैं

sin $k x=0$.

जिसका अर्थ है $ k x=n \pi ; \quad n=0,1,2,3, \ldots $

चूँकि $k=2 \pi / \lambda$, हमें मिलता है

$$ \begin{equation*} x=\frac{n \lambda}{2} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

आकृति 14.12 विपरीत दिशाओं में गतिशील दो हार्मोनिक तरंगों के अध्यारोपण से उत्पन्न स्थिर तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन की स्थितियाँ (नोड) सभी समय स्थिर रहती हैं।

स्पष्ट है कि किन्हीं भी दो क्रमागत नोडों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ है। इसी प्रकार, एंटिनोडों की स्थितियाँ (जहाँ आयाम अधिकतम होता है) sin $k x$ के अधिकतम मान से दी जाती हैं :

$|\sin k x|=1$

जिसका अर्थ है $ k x=(n+1 / 2) \pi ; n=0,1,2,3, \ldots $

$k=2 \pi / \lambda$ रखने पर, हमें मिलता है

$$ \begin{equation*} x=(n+1 / 2) \frac{\lambda}{2} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

पुनः किन्हीं भी दो क्रमागत प्रतिच्छेदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समी. (14.38) को दोनों सिरों से बँधी हुई लंबाई $L$ की एक तना हुआ तार के प्रसंग पर लागू किया जा सकता है। एक सिरे को $X=0$ मानते हुए, सीमा शर्तें यह हैं कि $x=0$ और $x=L$ नोडों की स्थितियाँ हैं। $x=0$ की शर्त पहले से ही संतुष्ट है। $x=L$ नोड की शर्त यह माँगती है कि लंबाई $L$, $\lambda$ से इस प्रकार संबंधित है

$$ \begin{equation*} L=n \frac{\lambda}{2} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थिर तरंगों की संभावित तरंगदैर्घ्याएँ इस संबंध द्वारा बँधी हुई हैं

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियों के साथ

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

इस प्रकार हमने प्राकृतिक आवृत्तियाँ—प्रणाली की दोलन की सामान्य विधाएँ—प्राप्त कर ली हैं। किसी प्रणाली की न्यूनतम संभावित प्राकृतिक आवृत्ति को उसका मूलभूत विधा या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है। दोनों सिरों से बँधे तने हुए तार के लिए यह $v=\frac{v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है, जो समी. (14.42) के $n=1$ के अनुरूप है। यहाँ $\mathrm{v}$ तरंग की चाल है जो माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित होती है। $n=2$ आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहा जाता है; $n=3$ तृतीय हार्मोनिक है और इसी प्रकार आगे। हम विभिन्न हार्मोनिकों को प्रतीक $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ द्वारा अंकित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 एक तनी हुई डोरी की पहली छः हार्मोनिक्स दिखाता है जो दोनों सिरों से बँधी है। डोरी को इनमें से किसी एक विधा में ही कंपित होना आवश्यक नहीं है। सामान्यतः डोरी का कम्पन विभिन्न विधाओं का एक संयोजन होता है; कुछ विधाएँ अधिक प्रबलित हो सकती हैं और कुछ कम। सितार या वायलिन जैसे वाद्ययंत्र इसी सिद्धांत पर आधारित हैं। डोरी को कहाँ चिकोटा जाता है या बोला जाता है, यह निर्धारित करता है कि कौन-सी विधाएँ अन्यों की तुलना में अधिक प्रमुख हैं।

चित्र 14.13 दोनों सिरों से बँधी तनी हुई डोरी के कम्पनों की पहली छः हार्मोनिक्स।

अब हम एक ऐसे वायु स्तंभ की सामान्य दोलन विधाओं पर विचार करते हैं जिसका एक सिरा बंद है और दूसरा खुला। पानी से आंशिक रूप से भरी हुई एक काँच की नली इस व्यवस्था को दर्शाती है। पानी के संपर्क में आया सिरा एक नोड है, जबकि खुला सिरा एक एंटीनोड है। नोड पर दाब परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले सिरे – एंटीनोड पर स्थिति ठीक उलट है – न्यूनतम दाब परिवर्तन और विस्थापन का अधिकतम आयाम। पानी के संपर्क वाले सिरे को $x=0$ मानते हुए, नोड की स्थिति (समी. 14.38) पहले से ही संतुष्ट है। यदि दूसरा सिरा $x=L$ एक एंटीनोड है, तो समी. (14.39) देती है

$L=\quad n+\frac{1}{2} \quad \frac{\lambda}{2}$, जहाँ $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्ध्य तब इस संबंध द्वारा सीमित हो जाते हैं : $ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $

सामान्य विधाएँ - तंत्र की प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=n+\frac{1}{2} \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूलभूत आवृत्ति $n=0$ के अनुरूप होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात् मूलभूत आवृत्ति की विषम गुणज : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 एक सिरे बंद और दूसरे सिरे खुले वायु स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाता है। दोनों सिरों खुली नली के लिए, प्रत्येक सिरा एक प्रतिचोटि होता है। तब यह स्पष्ट है कि दोनों सिरों खुला वायु स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करता है (देखें चित्र 14.15)। उपरोक्त तंत्र, तार और वायु स्तंभ, बाध्य दोलन भी कर सकते हैं (अध्याय 13)। यदि बाहरी आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्तियों में से एक के निकट हो, तो तंत्र अनुनाद दिखाता है।

एक वृत्ताकार झिल्ली के सामान्य विधा जो तबले में परिधि पर कठोरता से जकड़ी होती है, सीमा शर्त द्वारा निर्धारित होते हैं कि झिल्ली की परिधि पर कोई बिंदु कंपन नहीं करता। इस तंत्र के सामान्य विधाओं की आवृत्तियों का आकलन अधिक जटिल है। इस समस्या में दो आयामों में तरंग प्रसार शामिल है। हालांकि, अंतर्निहित भौतिकी समान है।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, जिसकी लंबाई 30.0 सेमी है, दोनों सिरों से खुला है। इस पाइप का कौन-सा हार्मोनिक मोड 1.1 किलोहर्ट्ज स्रोत से अनुनाद करेगा? क्या उसी स्रोत से अनुनाद देखा जाएगा यदि पाइप का एक सिरा बंद कर दिया जाए? वायु में ध्वनि की चाल 330 मीटर प्रति सेकंड मानें।

उत्तर प्रथम हार्मोनिक आवृत्ति दी जाती है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ L पाइप की लंबाई है। इसके nवें हार्मोनिक की आवृत्ति है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { जहाँ } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

L = 30.0 सेमी, v = 330 मीटर प्रति सेकंड के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n 330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{s}^{-1} $$

स्पष्ट है कि 1.1 किलोहर्ट्ज आवृत्ति का स्रोत v₂, अर्थात् द्वितीय हार्मोनिक पर अनुनाद करेगा।

अब यदि पाइप का एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से यह प्राप्त होता है कि मूलभूत आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरे से बंद पाइप) } $$

आकृति 14.14 एक सिरे से खुली और दूसरे सिरे से बंद वायु स्तंभ की सामान्य मोड। केवल विषम हार्मोनिक्स ही संभव पाए जाते हैं

और केवल विषम क्रमांकित हार्मोनिक्स ही मौजूद होते हैं:

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{4 L} \text {, और आगे भी। } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे से बंद पाइप की मूलभूत आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक से मेल खाती है। चूँकि यह हार्मोनिक एक संभव मोड नहीं है, इसलिए जैसे ही एक सिरा बंद किया जाता है, स्रोत के साथ कोई अनुनाद देखा नहीं जाएगा।

14.7 बीट्स

‘बीट्स’ तरंगों के व्यतिकरण से उत्पन्न होने वाला एक रोचक phenomenon है। जब दो हार्मोनिक ध्वनि तरंगें निकट (परंतु समान नहीं) आवृत्तियों की एक साथ सुनी जाती हैं, तो हम समान आवृत्ति (दो निकट आवृत्तियों का औसत) की ध्वनि सुनते हैं, परंतु हम कुछ और भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता का स्पष्ट रूप से बढ़ता-घटता स्वरूप सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो निकट आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अक्सर अपने वाद्ययंत्रों को एक-दूसरे के साथ सुर में लगाते समय इस phenomenon का उपयोग करते हैं। वे तब तक सुर लगाते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान कोई बीट्स नहीं सुनते।

आकृति 14.15 खुले पाइप में स्थायी तरंगें, पहले चार हार्मोनिक्स दर्शाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, मान लें कि दो हार्मोनिक ध्वनि तरंगें लगभग बराबर कोणीय आवृत्तियों $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ की हैं और सुविधा के लिए स्थान को $\mathrm{x}=0$ मान लें। उपयुक्त चरण (प्रत्येक के लिए $\phi=\pi / 2$) के साथ समी. (14.2), और समान आयाम मानते हुए, देता है

$$ S_1=a \cos \omega_1 t \quad \text{ और } \quad S_2=a \cos \omega_2 t \tag{14.45}$$

यहाँ हमने प्रतीक y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुदैर्ध्य नहीं अनुप्रस्थ विस्थापन की बात कर रहे हैं। मान लें $\omega_{1}$ दोनों आवृत्तियों में से (थोड़ी) अधिक है। परिणामी विस्थापन, सुपरपोज़िशन के सिद्धांत से,

$$s=s_{1}+s_{2}=a\left(\cos \omega_{1} t+\cos \omega_{2} t\right)$$

$\cos A+\cos B$ के लिए परिचित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग कर, हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} =2 a \cos \frac{\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) t}{2} \tag{14.46} \end{equation*} $$

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है :

$$ \begin{align*} & S=\left[2 a \cos \omega_{b} t\right] \cos \omega_{a} t \tag{14.47}\\ & \text { यदि }\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{a} > > \omega_{b} \text{, तो } \end{align*} $$

$$ \omega_{b}=\frac{\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)}{2} \text{ और } \omega_{a}=\frac{\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right)}{2} $$

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) की निम्नलिखित व्याख्या कर सकते हैं। परिणामी तरंग औसत कोणीय आवृत्ति $\omega_{a}$ के साथ दोलन कर रही है; हालांकि इसकी आयाम समय के साथ नियत नहीं है, जैसा कि एक शुद्ध हार्मोनिक तरंग में होता है। आयाम सबसे अधिक होता है जब पद $\cos \omega_{b} t$ अपनी सीमा +1 या -1 लेता है। दूसरे शब्दों में, परिणामी तरंग की तीव्रता एक ऐसी आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है जो $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ है। चूँकि $\omega=2 \pi v$, बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

आकृति 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों, जिनकी आवृत्तियाँ 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{Hz}$ हैं, के लिए बीट्स की घटना को दर्शाती है। परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{Hz}$ की आवृत्ति पर बीट्स दिखाता है।

आकृति 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों का अध्यारोपण, एक 11 Hz आवृत्ति की (a), और दूसरी 9Hz आवृत्ति की (b), जो (c) में दिखाए गए 2 Hz आवृत्ति के बीट्स उत्पन्न करती हैं।

संगीतमय स्तंभ

मंदिरों में अक्सर ऐसे खंभे होते हैं जिन पर संगीत वाद्ययंत्र बजाते मानव आकृतियाँ उत्कीर्णित होती हैं, लेकिन ये खंभे स्वयं संगीत उत्पन्न करते हैं, ऐसा कभी-कभी ही होता है। तमिलनाडु के नेल्लैयप्पर मंदिर में, एक ही चट्टान से तराशे गए खंभों के समूह पर हल्के से थपकने पर भारतीय शास्त्रीय संगीत की मूल स्वर—सा, रे, ग, म, प, ध, नि, सा—उत्पन्न होते हैं। इन खंभों के कम्पन उस पत्थर की लोच, उसके घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

संगीतमय खंभों को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है: पहले को श्रुति खंभा कहा जाता है, क्योंकि यह मूल स्वर—“स्वर”—उत्पन्न कर सकता है। दूसरे प्रकार को गान थूंगल कहा जाता है, जो “राग” बनाने वाली मूल धुनें उत्पन्न करता है। तीसरी किस्म लय थूंगल खंभे हैं, जिन्हें थपकाने पर “ताल” (बीट्स) उत्पन्न होते हैं। नेल्लैयप्पर मंदिर के खंभे श्रुति और लय दोनों प्रकारों के संयोजन हैं।

पुरातत्वविद् नेल्लैयप्पर मंदिर को 7वीं शताब्दी का मानते हैं और दावा करते हैं कि इसे पांड्य वंश के उत्तराधिकारी शासकों ने बनवाया था।

नेल्लैयप्पर और दक्षिण भारत के अन्य कई मंदिरों—जैसे हम्पी (चित्र), कन्याकुमारी और तिरुवनंतपुरम—के संगीतमय खंभे देश के लिए अनोखे हैं और दुनिया के किसी अन्य भाग में इनका कोई समानांतर नहीं है।

उदाहरण 14.6 दो सितार की तारें A और B ‘ध’ स्वर बजा रही हैं और थोड़ी सी बेसुरी हैं तथा 5 Hz आवृत्ति की बीट्स उत्पन्न कर रही हैं। तार B में तनाव थोड़ा बढ़ाया जाता है और बीट आवृत्ति घटकर 3 Hz हो जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 Hz है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर तार में तनाव बढ़ाने से उसकी आवृत्ति बढ़ती है। यदि B की मूल आवृत्ति (v_B) A की आवृत्ति (v_A) से अधिक होती, तो v_B में और वृद्धि से बीट आवृत्ति बढ़नी चाहिए थी। परंतु बीट आवृत्ति घटती पाई गई है। इससे सिद्ध होता है कि v_B < v_A। चूँकि v_A - v_B = 5 Hz, और v_A = 427 Hz, हमें प्राप्त होता है v_B = 422 Hz।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें भौतिक माध्यम में विद्यमान हो सकती हैं और ये न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें ऐसी तरंगें हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदैर्ध्य तरंगें ऐसी तरंगें हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के अनुदिश दोलन करते हैं।

4. प्रगामी तरंग एक ऐसी तरंग है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. धनात्मक x दिशा में प्रसारित हो रही साइनसॉइडल तरंग में विस्थापन इस प्रकार दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) $$

जहाँ $a$ तरंग की आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ कल है, और $\phi$ कल नियतांक या कल कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर समान कल के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी है। एक स्थिर तरंग में, यह दो क्रमागत नोडों या एंटीनोडों के बीच की दूरी का दोगुना होता है।

7. तरंग के दोलन का आवर्तकाल $T$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि माध्यम का कोई भी तत्व एक पूर्ण दोलन को पूरा करने में जितना समय लेता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ संबंध

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

के माध्यम से संबंधित है।

8. तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया गया है और यह कोणीय आवृत्ति से

$$ v=\frac{\omega}{2 \pi} $$

के द्वारा संबंधित है।

9. एक प्रगतिशील तरंग की चाल $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है।

10. एक तना हुआ तार पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल तार के गुणों द्वारा निर्धारित होती है। तनाव $T$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाले तार पर चाल

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

होती है।

11. ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, द्रव या गैसों के माध्यम से यात्रा कर सकती हैं। एक द्रव में ध्वनि तरंग की चाल $v$ जिसमें आयतनी प्रत्यास्थता गुणांक $B$ और घनत्व $\rho$ है, वह

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

होती है। एक धातु छड़ में अनुदैर्ध्य तरंगों की चाल

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

होती है। गैसों के लिए, चूँकि $B=\gamma P$, ध्वनि की चाल

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

होती है।

# सामग्री गुम (अंग्रेज़ी पुस्तक में उपलब्ध नहीं)

12. जब दो या अधिक तरंगें एक ही माध्यम में एक साथ चलती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व का विस्थापन प्रत्येक तरंग के कारण विस्थापनों का बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अतिव्यापन का सिद्धांत कहा जाता है।

$ y=\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) $

13. एक ही डोरी पर दो साइनसॉइडल तरंगें व्यतिकरण दर्शाती हैं, अतिव्यापन के सिद्धांत के अनुसार ये जुड़ती या रद्द होती हैं। यदि दोनों एक ही दिशा में चल रही हों और उनकी आयाम $a$ तथा आवृत्ति समान हो, परंतु एक चरण स्थिरांक $\phi$ से चरण में भिन्न हों, तो परिणाम एक ही आवृत्ति $\omega$ की एकल तरंग होती है:

$$ y(x, t)= \left[ 2 a \cos \frac{1}{2} \phi \right] \sin \left( k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi \right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ का कोई पूर्णांक गुणक हो, तो तरंगें पूर्णतः समचरण में हैं और व्यतिकरण रचनात्मक होता है; यदि $\phi=\pi$ हो, तो वे पूर्णतः विपरीत चरण में हैं और व्यतिकरण विनाशकारी होता है।

14. एक गतिमान तरंग, जब कठोर सीमा या बंद सिरे पर पहुँचती है, तो चरण उलटन के साथ परावर्तित होती है, परंतु खुली सीमा पर परावर्तन किसी चरण परिवर्तन के बिना होता है। आपतित तरंग के लिए

$ y_{i}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $

कठोर सीमा पर परावर्तित तरंग

$$ y_{r}(x, t)=-a \sin (k x+\omega t) $$

खुली सीमा पर परावर्तन के लिए

$$ y_{r}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. विपरीत दिशाओं में गतिमान दो समान तरंगों के हस्तक्षेप से स्थायी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक ऐसी डोरी जिसके दोनों सिरे स्थिर हैं, के लिए स्थायी तरंग निम्नलिखित है

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

स्थायी तरंगों की विशेषता शून्य विस्थापन के स्थिर स्थानों, जिन्हें नोड कहा जाता है, और अधिकतम विस्थापन के स्थिर स्थानों, जिन्हें एंटीनोड कहा जाता है, के द्वारा होती है। दो क्रमागत नोडों या एंटीनोडों के बीच की दूरी $\lambda / 2$ होती है।

दोनों सिरों से स्थिर एक तनी हुई डोरी लंबाई $L$ निम्नलिखित आवृत्तियों से कंपन करती है

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समुच्चय को तंत्र के दोलन के सामान्य मोड कहा जाता है। सबसे कम आवृत्ति वाला दोलन मोड मूलभूत मोड या प्रथम हार्मोनिक कहलाता है। द्वितीय हार्मोनिक $n=2$ वाला दोलन मोड होता है और इसी प्रचलन से आगे बढ़ता है।

एक ऐसी नली जिसकी लंबाई $L$ है और एक सिरा बंद तथा दूसरा सिरा खुला है (जैसे वायु स्तंभ), निम्नलिखित आवृत्तियों से कंपन करती है

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा प्रदर्शित आवृत्तियों का समुच्चय ऐसे तंत्र के दोलन के सामान्य मोड होते हैं। $v / 4 L$ द्वारा दी गई सबसे कम आवृत्ति मूलभूत मोड या प्रथम हार्मोनिक होती है।

16. दोनों सिरों से बँधी हुई L लम्बाई की डोरी या एक सिरे से बन्द तथा दूसरे से खुली वायु-स्तम्भ या दोनों सिरों से खुली वायु-स्तम्भ कुछ विशिष्ट आवृत्तियों—जिन्हें सामान्य विधाएँ कहते हैं—से कम्पन करती हैं। इनमें से प्रत्येक आवृत्ति तंत्र की अनुनादी आवृत्ति होती है।

17. जब दो तरंगें जिनकी आवृत्तियाँ थोड़ी-सी भिन्न v₁ और v₂ हों और आयामें तुलनायोग्य हों, एक-दूसरे पर रखी जाती हैं तो विस्पन्द उत्पन्न होते हैं। विस्पन्द आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_{1} \sim v_{2} $$

विचार करने के बिन्दु

1. तरंग माध्यम में पदार्थ की सम्पूर्ण गति नहीं होती। हवा में पवन व ध्वनि तरंग में अन्तर होता है। पहले में हवा एक स्थान से दूसरे स्थान तक जाती है। दूसरी में हवा की परतों में संपीडन व विरलन होता है।

2. तरंग में ऊर्जा स्थानान्तरित होती है, पदार्थ नहीं।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा का स्थानांतरण माध्यम के पड़ोसी दोलनशील भागों के बीच प्रत्यास्थ बलों के माध्यम से संयुग्मन के कारण होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल उसी माध्यम में संचरित हो सकती हैं जिसमें कतरनी प्रत्यास्थता गुणांक हो, अनुदैर्ध्य तरंगों को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक की आवश्यकता होती है और इसलिए ये सभी माध्यमों—ठोस, द्रव और गैसों में संभव हैं।

5. एक दिए गए आवृत्ति की हार्मोनिक प्रगामी तरंग में, सभी कणों की एक ही आयाम होती है परंतु किसी दिए गए क्षण पर उनका कलांतर भिन्न होता है। एक स्थायी तरंग में, दो नोडों के बीच के सभी कणों का कलांतर एक ही होता है परंतु उनकी आयाम भिन्न होती है।

6. माध्यम में विरामावस्था में स्थित प्रेक्षक के सापेक्ष, उस माध्यम में यांत्रिक तरंग की चाल ( $v$ ) केवल माध्यम की प्रत्यास्थ और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह स्रोत के वेग पर निर्भर नहीं करती।