2.1 परिचय

गति ब्रह्मांड में हर चीज़ में व्याप्त है। हम चलते हैं, दौड़ते हैं और साइकिल चलाते हैं। यहाँ तक कि जब हम सो रहे होते हैं, तब भी हवा हमारे फेफड़ों में अंदर-बाहर जाती है और रक्त धमनियों और नसों में बहता है। हम पेड़ों से पत्तियों को गिरते और पानी को बाँध से नीचे बहते देखते हैं। ऑटोमोबाइल और विमान लोगों को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाते हैं। पृथ्वी चौबीस घंटे में एक बार घूमती है और एक वर्ष में सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाती है। स्वयं सूर्य भी मिल्की वे में गति कर रहा है, जो कि आकाशगंगाओं के अपने स्थानीय समूह के भीतर फिर से गति कर रही है।

गति समय के साथ किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन है। स्थिति समय के साथ कैसे बदलती है? इस अध्याय में हम यह सीखेंगे कि गति का वर्णन कैसे किया जाता है। इसके लिए हम वेग और त्वरण की संकल्पनाओं का विकास करते हैं। हम अपने आप को सीधी रेखा में वस्तुओं की गति के अध्ययन तक सीमित रखेंगे, जिसे रेखीय गति भी कहा जाता है। एकसमान त्वरण के साथ रेखीय गति के मामले के लिए, सरल समीकरणों का एक समूह प्राप्त किया जा सकता है। अंत में, गति की सापेक्ष प्रकृति को समझने के लिए, हम सापेक्ष वेग की संकल्पना प्रस्तुत करते हैं।

हमारी चर्चाओं में, हम गति में रहे वस्तुओं को बिन्दु-वस्तुओं के रूप में मानेंगे। यह सन्निकटन तब तक वैध है जब तक वस्तु का आकार उस दूरी की तुलना में बहुत छोटा हो जो वह किसी उचित समय अंतराल में तय करती है। वास्तविक जीवन की अनेक स्थितियों में वस्तुओं के आकार को नज़रअंदाज़ किया जा सकता है और उन्हें बिन्दु-स्वरूप वस्तुओं के रूप में मानने पर कोई बड़ी त्रुटि नहीं होती।
काइनमेटिक्स में हम गति का वर्णन करने के तरीकों का अध्ययन करते हैं, बिना यह जाने कि गति किस कारण हो रही है। इस अध्याय और अगले अध्याय में वर्णित गति के कारणों का विवरण अध्याय 4 का विषय है।

2.2 तात्कालिक वेग और चाल

औसत वेग हमें बताता है कि कोई वस्तु किसी दिए गए समय अंतराल में कितनी तेज़ चली है, लेकिन यह यह नहीं बताता कि उस अंतराल के दौरान विभिन्न क्षणों पर वस्तु कितनी तेज़ चल रही थी। इसके लिए हम तात्कालिक वेग या संक्षेप में वेग v को किसी क्षण t पर परिभाषित करते हैं।
किसी क्षण का वेग को औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल ${\Delta T}$ अत्यधिक छोटा हो जाता है। दूसरे शब्दों में,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

जहाँ प्रतीक lim
∆t→0
का अर्थ है ∆t के शून्य की ओर सीमित होने पर दायीं ओर के व्यंजक की सीमा लेना। कलन (कैलकुलस) की भाषा में, समीकरण (2.1a) के दायीं ओर का व्यंजक x का t के सापेक्ष अवकल गुणांक है और इसे $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ से दर्शाया जाता है (परिशिष्ट 2.1 देखें)। यह उस क्षण स्थिति में समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर है।

हम किसी क्षण वेग का मान प्राप्त करने के लिए समीकरण (2.1a) का उपयोग आलेखीय या संख्यात्मक रूप से कर सकते हैं। मान लीजिए हमें आलेखीय रूप से t = 4 s (बिंदु P) पर वेग का मान प्राप्त करना है, जो कि चित्र 2.1 में दिखाए गए कार की गति के लिए है। मान लीजिए हम t = 4 s के केंद्र में ∆t = 2 s लेते हैं। तब औसत वेग की परिभाषा के अनुसार, रेखा $P_1P_2$ (चित्र 2.1) की ढाल 3 s से 5 s के अंतराल पर औसत वेग का मान देती है।

चित्र 2.1 स्थिति-समय आलेख से वेग निर्धारित करना। t = 4 s पर वेग उस क्षण आलेख के स्पर्श रेखा की ढाल है।

अब हम $\Delta t$ का मान $2 \mathrm{~s}$ से घटाकर 1 s करते हैं। तब रेखा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$, $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ बन जाती है और इसकी ढाल हमें $3.5 \mathrm{~s}$ से $4.5 \mathrm{~s}$ अंतराल पर औसत वेग का मान देती है। सीमा $\Delta t \rightarrow 0$ में, रेखा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$, बिंदु $\mathrm{P}$ पर स्थिति-समय वक्र की स्पर्शरेखा बन जाती है और $t = 4 \mathrm{~s}$ पर वेग उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल से दिया जाता है। इस प्रक्रिया को आलेखीय रूप से दिखाना कठिन है। पर यदि हम वेग का मान संख्यात्मक विधि से प्राप्त करें, तो सीमित प्रक्रिया का अर्थ स्पष्ट हो जाता है। चित्र 2.1 में दिखाए गए आलेख के लिए, $x=0.08 t^3$ है। तालिका 2.1 में $\Delta x / \Delta t$ का मान दिया गया है जो $\Delta t$ के लिए $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ और $0.01 \mathrm{~s}$ के लिए $t = 4.0 \mathrm{~s}$ के केंद्र में परिकलित किया गया है। दूसरे और तीसरे स्तंभ में $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ और $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ के मान दिए गए हैं और चौथे और पाँचवें स्तंभ में $x$ के संगत मान दिए गए हैं, अर्थात् $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ और $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$। छठे स्तंभ में अंतर $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ सूचीबद्ध है और अंतिम स्तंभ में $\Delta x$ और $\Delta t$ का अनुपात दिया गया है, अर्थात् पहले स्तंभ में सूचीबद्ध $\Delta t$ के मान के अनुरूप औसत वेग।

तालिका 2.1 $t=4 \mathrm{~s}$ पर $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ का सीमित मान

हम तालिका 2.1 से देखते हैं कि जैसे-जैसे हम $\Delta t$ का मान $2.0 \mathrm{~s}$ से घटाकर $0.010 \mathrm{~s}$ करते हैं, औसत वेग का मान सीमित मान $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की ओर आता है, जो $t=4.0 \mathrm{~s}$ पर वेग का मान है, अर्थात् $t=4.0 \mathrm{~s}$ पर $\frac{d x}{d t}$ का मान। इस प्रकार, हम कार की गति के प्रत्येक क्षण का वेग परिकलित कर सकते हैं।

ग्राफीय विधि द्वारा तात्कालिक वेग निर्धारण हमेशा सुविधाजनक विधि नहीं होती। इसके लिए हमें स्थिति-समय ग्राफ को सावधानी से आरेखित करना होता है और औसत वेग का मान तब तक गणना करनी होती है जब तक $\Delta t$ छोटा और छोटा न हो जाए। यह विभिन्न क्षणों पर वेग का मान गणना करना आसान हो जाता है यदि हमारे पास विभिन्न क्षणों पर स्थितियों के आंकड़े हों या समय के फलन के रूप में स्थिति का सटीक व्यंजक हो। फिर, हम आंकड़ों से $\Delta t$ के मान को घटाते हुए $\Delta x / \Delta t$ की गणना करते हैं और सीमित मान प्राप्त करते हैं जैसा हमने Table 2.1 में किया है या दिए गए व्यंजक के लिए अवकलन गणित का उपयोग करते हैं और निम्नलिखित उदाहरण में किए गए अनुसार विभिन्न क्षणों पर $\frac{d x}{d t}$ की गणना करते हैं।

उदाहरण 2.1 x-अक्ष के अनुदिश गति कर रहे किसी वस्तु की स्थिति x = a + bt2 द्वारा दी गई है जहाँ a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ और t सेकंड में मापा जाता है। t = 0 s और t = 2.0 s पर इसका वेग क्या है? t = 2.0 s और t = 4.0 s के बीच औसत वेग क्या है?

उत्तर अवकलन गणित के संकेतन में, वेग

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}$ पर, $\quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ और $t=2.0 \mathrm{~s}$ पर, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$।

$ \text { औसत वेग }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ध्यान दें कि एकसमान गति के लिए, वेग सभी क्षणों पर औसत वेग के समान होता है।

तात्कालिक चाल या सिर्फ़ चाल, वेग का परिमाण होती है। उदाहरण के लिए, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ का वेग और $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ का वेग — दोनों की संबद्ध चाल $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ होती है। यह ध्यान देना चाहिए कि यद्यपि किसी परिमित समय अंतराल पर औसत चाल, औसत वेग के परिमाण से अधिक या बराबर होती है, किसी क्षण पर तात्कालिक चाल उस क्षण के तात्कालिक वेग के परिमाण के बराबर होती है। ऐसा क्यों?

2.3 त्वरण

किसी वस्तु का वेग, सामान्यतः, उसकी गति के दौरान बदलता है। इस परिवर्तन का वर्णन कैसे करें? क्या इसे वेग के परिवर्तन की दर के रूप में दूरी के साथ या समय के साथ वर्णित करना चाहिए? यह समस्या गैलीलियो के समय में भी थी। पहले यह सोचा गया कि यह परिवर्तन वेग के परिवर्तन की दर को दूरी के साथ वर्णित किया जा सकता है। लेकिन मुक्त रूप से गिरती वस्तुओं और झुके तल पर वस्तुओं की गति के अध्ययन के माध्यम से, गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि वेग के परिवर्तन की दर समय के साथ, मुक्त रूप से गिरती सभी वस्तुओं के लिए गति का एक नियतांक है। दूसरी ओर, दूरी के साथ वेग में परिवर्तन नियत नहीं होता — यह गिरने की दूरी बढ़ने के साथ घटता है। इसने त्वरण की अवधारणा को जन्म दिया, जो वेग में समय के साथ परिवर्तन की दर है।

समय अंतराल पर औसत त्वरण को परिभाषित किया जाता है कि वेग परिवर्तन को समय अंतराल से विभाजित करने पर:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

जहाँ $v_2$ और $v_1$ क्रमशः समय $t_2$ और $t_1$ पर तात्कालिक वेग या सरल वेग हैं। यह प्रति इकाई समय वेग का औसत परिवर्तन है। त्वरण का SI मात्रक $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ है।

वेग-समय आलेख पर औसत त्वरण वह सरल रेखा की प्रवणता है जो बिंदुओं $\left(v_2, t_2\right)$ और $\left(v_1, t_1\right)$ को मिलाती है।

तात्कालिक त्वरण को उसी प्रकार परिभाषित किया जाता है जैसे तात्कालिक वेग को:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

किसी क्षण का त्वरण उस क्षण पर $v-t$ वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता होती है।

चूँकि वेग एक ऐसी राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, वेग में परिवर्तन इनमें से किसी एक या दोनों कारकों को शामिल कर सकता है। त्वरण, इसलिए, चाल (परिमाण) में परिवर्तन, दिशा में परिवर्तन या दोनों में परिवर्तन से उत्पन्न हो सकता है। वेग की तरह, त्वरण भी धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य त्वरण के साथ गति के लिए स्थिति-समय ग्राफ क्रमशः आकृति 2.4 (a), (b) और (c) में दिखाए गए हैं। ध्यान दें कि धनात्मक त्वरण के लिए ग्राफ ऊपर की ओर मुड़ता है; ऋणात्मक त्वरण के लिए नीचे की ओर और यह शून्य त्वरण के लिए एक सीधी रेखा होती है।

आकृति 2.2 (a) धनात्मक त्वरण; (b) ऋणात्मक त्वरण, और (c) शून्य त्वरण के साथ गति के लिए स्थिति-समय ग्राफ।

यद्यपि त्वरण समय के साथ बदल सकता है, इस अध्याय में हमारा अध्ययन स्थिर त्वरण के साथ गति तक सीमित रहेगा। इस स्थिति में, औसत त्वरण अंतराल के दौरान त्वरण के स्थिर मान के बराबर होता है। यदि किसी वस्तु का वेग $t$ $=0$ पर $V$ है और समय $t$ पर $v$ है, तो हमारे पास

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { या, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

आइए देखें कि कुछ सरल स्थितियों के लिए वेग-समय ग्राफ कैसा दिखता है। आकृति 2.3 निम्नलिखित स्थितियों के लिए स्थिर त्वरण के साथ गति के लिए वेग-समय ग्राफ दिखाती है :

चित्र 2.3 नियत त्वरण वाली गतियों के लिए वेग-समय ग्राफ। (a) धनात्मक दिशा में धनात्मक त्वरण के साथ गति,
(b) धनात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति, (c) ऋणात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति, (d) समय t1 पर दिशा बदलने वाली ऋणात्मक त्वरण वाली वस्तु की गति। समय 0 से $t_1$ के बीच यह धनात्मक x-दिशा में चलती है और $t_1$ से $t_2$ के बीच यह विपरीत दिशा में चलती है।

(a) कोई वस्तु धनात्मक दिशा में धनात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।

(b) कोई वस्तु धनात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।

(c) कोई वस्तु ऋणात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।

(d) कोई वस्तु समय $t_1$ तक धनात्मक दिशा में गति करती है, फिर उसी ऋणात्मक त्वरण के साथ वापस मुड़ती है।

किसी भी गतिशील वस्तु के वेग-समय ग्राफ की एक रोचक विशेषता यह है कि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल किसी दिए गए समय अंतराल में विस्थापन को दर्शाता है। इस कथन का सामान्य प्रमाण कलन (calculus) के उपयोग की आवश्यकता रखता है। हालांकि, हम इसे एक सरल स्थिति के लिए सत्य देख सकते हैं जहाँ कोई वस्तु नियत वेग u से गति कर रही हो। इसका वेग-समय ग्राफ चित्र 2.4 में दिखाया गया है।

चित्र 2.4 v–t वक्र के नीचे का क्षेत्रफल किसी दिए गए समय अंतराल में वस्तु का विस्थापन दर्शाता है।

v-t वक्र समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है और t = 0 से t = T के बीच इसके नीचे का क्षेत्रफल ऊँचाई u और आधार T वाले आयत का क्षेत्रफल है। इसलिए, क्षेत्रफल = u × T = uT जो इस समय अंतराल में विस्थापन है। इस स्थिति में क्षेत्रफल दूरी के बराबर कैसे हो सकता है? सोचो! दोनों निर्देशांक अक्षों पर मात्राओं की विमाओं को ध्यान से देखो, और तुम उत्तर तक पहुँच जाओगे।

ध्यान दें कि इस अध्याय में दिखाए गए कई चित्रों में x-t, v-t और a-t ग्राफ कुछ बिंदुओं पर तीखे मोड़ दिखाते हैं जिसका अर्थ है कि ये फलन इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं हैं। किसी भी यथार्थ स्थिति में, फलन सभी बिंदुओं पर अवकलनीय होंगे और ग्राफ चिकने होंगे।

इसका भौतिक अर्थ यह है त्वरण और वेग किसी क्षण पर अचानक मान नहीं बदल सकते। परिवर्तन हमेशा सतत होते हैं।

2.4 समान रूप से त्वरित गति के लिए गतिक समीकरण

समान रूप से त्वरित गति के लिए हम कुछ सरल समीकरण व्युत्पन्न कर सकते हैं जो विस्थापन $(x)$, लिया गया समय $(t)$, प्रारंभिक वेग $\left(v_0\right)$, अंतिम वेग $(v)$ और त्वरण (a) को संबंधित करते हैं। समीकरण (2.4) जो पहले ही प्राप्त किया गया है, एक वस्तु के लिए अंतिम और प्रारंभिक वेगों $v$ और $v_0$ के बीच संबंध देता है जो एक समान त्वरण $a$ के साथ गति कर रही है:

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

इस संबंध को चित्र 2.5 में आलेखीय रूप से दर्शाया गया है। इस वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है: क्षण 0 और $t$ के बीच का क्षेत्रफल = त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल + आयत $\mathrm{OACD}$ का क्षेत्रफल

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

चित्र 2.5 समान त्वरण वाली वस्तु के लिए v-t वक्र के नीचे का क्षेत्रफल।

जैसा कि पिछले खंड में समझाया गया है, v-t वक्र के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है। इसलिए, वस्तु का विस्थापन x है:

$$ x=\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t \quad\quad \quad \quad \quad \quad (2.5) $$

पर $\quad\quad \quad v-v _0=a t$

इसलिए, $\quad\quad x=\frac{1}{2} a t^2+v _0 t$

या, $\quad\quad \quad x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \quad (2.6)$

समीकरण (2.5) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$$ \begin{align*} X & =\frac{V+v _{0}}{2} t \ & =\bar{v} \cdot t \tag{2.7a} \ \bar{v} & =\frac{v+v _{0}}{2} \text { (केवल नियत त्वरण के लिए) } \tag{2.7b} \end{align*} \quad $$

समीकरण (2.7a) और (2.7b) का अर्थ है कि वस्तु ने औसत वेग के साथ विस्थापन $x$ किया है, जो प्रारंभिक और अंतिम वेग का अंकगणितीय औसत है।

समीकरण (2.4) से, $t=\left(v-v_0\right) / a$. इसे समीकरण (2.7a) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} x & =\bar{v} t=\frac{v+v _{0}}{2} \cdot \frac{v-v _{0}}{a}=\frac{v^{2}-v _{0}^{2}}{2 a} \ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a x \tag{2.8} \end{align*} $$

यह समीकरण समीकरण (2.4) से t का मान समीकरण (2.6) में रखकर भी प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, हमने तीन महत्वपूर्ण समीकरण प्राप्त किए हैं: पाँच राशियों $v_0, v, a, t$ और $x$ को जोड़ने वाले।

$$ \begin{gathered} v=v_0+a t \ x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \ v^2=v_0^2+2 a x \quad\quad\quad \quad (2.9a) \end{gathered} $$

ये नियत त्वरण के लिए सरल रेखीय गति के क्रियात्मक समीकरण हैं।

समीकरण समूह (2.9a) को यह मानकर प्राप्त किया गया था कि $t=0$ पर कण की स्थिति, $x$ शून्य है। यदि हम $t=0$ पर स्थिति निर्देशक को शून्येतर, मान लीजिए $x_0$ लें, तो हम एक अधिक सामान्य समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। तब समीकरण (2.9a) में संशोधन होता है ($x$ को $x-x_0$ से प्रतिस्थापित करके):

$$ \begin{align*} v & =v _{0}+a t \ x & =x _{0}+v _{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{2.9b} \ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a\left(x-x _{0}\right) \tag{2.9c} \end{align*} $$

उदाहरण 2.2 नियत त्वरण के लिए कलन की विधि द्वारा गति के समीकरण प्राप्त कीजिए।

उत्तर परिभाषा से

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \\ & \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$$ \begin{aligned} \int_{v_0}^v \mathrm{~d} v & =\int_0^t a \mathrm{~d} t \\ & =a \int_0^t \mathrm{~d} t \quad \quad \quad \quad \text{( a नियत है)}\\ v-v_0 & =a t \\ v & =v_0+a t \end{aligned} $$

आगे, $$ \begin{aligned} v & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \\ \mathrm{~d} x & =v \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर $$ \begin{aligned} \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t v \mathrm{~d} t & =\int_0^t\left(v_0+a t\right) \mathrm{d} t \\ x-x_0 & =v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ x & =x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \end{aligned} $$

हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \\ \\ & \text { या, } v \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} x \end{aligned} $$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

$$ \begin{aligned} & \int_{v_0}^v v \mathrm{~d} v=\int_{x_0}^x a \mathrm{~d} x \\ & \frac{v^2-v_0^2}{2}=a\left(x-x_0\right) \\ & v^2=v_0^2+2 a\left(x-x_0\right) \end{aligned} $$

इस विधि का लाभ यह है कि इसे असमान त्वरण वाली गति के लिए भी प्रयोग किया जा सकता है।

अब हम इन समीकरणों को कुछ महत्वपूर्ण स्थितियों में प्रयोग करेंगे।

उदाहरण 2.3 एक गेंद को 20 m s⁻¹ के वेग से बहुमंज़िली इमारत की छत से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। जिस बिंदु से गेंद फेंकी जाती है, वह ज़मीन से 25.0 m की ऊँचाई पर है। (a) गेंद कितनी ऊँचाई तक जाएगी? और (b) गेंद को ज़मीन पर आने में कितना समय लगेगा? g = 10 m s⁻² लीजिए।

उत्तर (a) आइए हम y-अक्ष को ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा में लें और ज़मीन पर शून्य लें, जैसा कि चित्र 2.6 में दिखाया गया है।

$$ \begin{aligned} \text{अब} \quad v_o & =+20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, \ a & =-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \ v & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

यदि गेंद प्रक्षेपण बिंदु से y ऊँचाई तक जाती है, तब समीकरण (v^2=v_o^2+2 a\left(y-y_0\right)) का प्रयोग करने पर, (0=(20)^2+2(-10)\left(y-y_0\right),)

$$ \text{हल करने पर, हम पाते हैं,} \left(y-y_0\right)=20 \mathrm{~m}. $$

(b) हम इस समस्या के इस भाग को दो तरीकों से हल कर सकते हैं।

प्रयुक्त विधियों को ध्यान से देखें।

चित्र 2.6

प्रथम विधि: पहली विधि में, हम पथ को दो भागों में बाँटते हैं: ऊपर की ओर गति (A से B) और नीचे की ओर गति (B से C) और संगत समय (t_1) और (t_2) की गणना करते हैं। चूँकि B पर वेग शून्य है, हमारे पास है:

$$ \begin{aligned} & v=v_{\mathrm{o}}+a t \\ 0 & =20-10 t_1 \\ \text { या, } \quad \quad & t_1=2 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

यह समय $A$ से $B$ तक जाने में लगता है। $B$, या अधिकतम ऊँचाई के बिंदु से, गेंग गुरुत्वीय त्वरण के अंतर्गत स्वतंत्र रूप से गिरती है। गेंद ऋणात्मक $y$ दिशा में गति कर रही है। हम समीकरण का उपयोग करते हैं $$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$

हमारे पास, $y_0=45 \mathrm{~m}, y=0, v_0=0, a=-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

$$ 0=45+(1 / 2)(-10) t_2^2 $$

हल करने पर, हमें प्राप्त होता है $\mathrm{t}_2=3 \mathrm{~s}$ इसलिए, गेंद द्वारा जमीन पर आने से पहले लिया गया कुल समय $=t_1+t_2=2 \mathrm{~s}+3 \mathrm{~s}=5 \mathrm{~s}$।

दूसरी विधि : कुल लिया गया समय यह भी नोट करके गणना किया जा सकता है कि गेंद की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के निर्देशक मूल बिंदु के सापेक्ष क्या हैं और समीकरण का उपयोग करके

$$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$ $$ \begin{array}{ll} \text{अब} \quad \quad y_0=25 \mathrm{~m} & y=0 \mathrm{~m} \\ \quad \quad\quad \quad v_o=20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, & a=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \quad t=? \end{array} $$

$$ \begin{array}{ll} & 0=25+20 t+(1 / 2)(-10) t^2 \\ \text { या, } & \quad 5 t^2-20 t-25=0 \end{array} $$

इस द्विघात समीकरण को $t$ के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ t=5 \mathrm{~s} $$

ध्यान दें कि दूसरी विधि बेहतर है क्योंकि हमें गति के पथ की चिंता नहीं करनी पड़ती क्योंकि गति नियत त्वरण के अंतर्गत है

उदाहरण 2.4 मुक्त पतन : किसी वस्तु के मुक्त पतन के अंतर्गत गति की चर्चा कीजिए। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानिए।

उत्तर पृथ्वी की सतह के निकट छोड़ी गई कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव से नीचे की ओर त्वरित होती है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का परिमाण g द्वारा व्यक्त किया जाता है। यदि वायु प्रतिरोध को नगण्य मान लिया जाए, तो वस्तु को मुक्त पतन में कहा जाता है। यदि वह ऊँचाई जिससे वस्तु गिरती है, पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में छोटी हो, तो g को नियत माना जा सकता है, जो 9.8 m $s^{–2}$ के बराबर है। इस प्रकार मुक्त पतन एकसमान त्वरण की गति का एक प्रकरण है।

हम मान लेते हैं कि गति y-दिशा में है, अधिक सही रूप से –y-दिशा में क्योंकि हम ऊपर की दिशा को धनात्मक चुनते हैं। चूँकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण सदा नीचे की ओर होता है, यह ऋणात्मक दिशा में है और हमारे पास

$$ a=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $$

वस्तु को $y=0$ पर विराम से छोड़ा जाता है। इसलिए, $v_0=0$ और गति के समीकरण बन जाते हैं:

$$ \begin{array}{lll} v=0-g t & =-9.8 t &\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\ y=0-1 / 2 g t^2 & =-4.9 t^2 & \mathrm{~m} \\ v^2=0-2 g y & =-19.6 y &\mathrm{~m}^2 \mathrm{~s}^{-2} \end{array} $$

ये समीकरण वेग और समय के फलन के रूप में तय की गई दूरी देते हैं तथा दूरी के साथ वेग के परिवर्तन को भी देते हैं। त्वरण, वेग और दूरी का समय के साथ परिवर्तन आकृति 2.7(a), (b) और (c) में आलेखित किया गया है।

(a)

(b)

(c)

आकृति 2.7 मुक्त पतन के अंतर्गत किसी वस्तु की गति।

(a) त्वरण का समय के साथ परिवर्तन।

(b) वेग का समय के साथ परिवर्तन।

(c) दूरी का समय के साथ परिवर्तन

उदाहरण 2.5 गैलीलियो का विषम संख्याओं का नियम : “विलंब से गिरते हुए एक पिण्ड द्वारा समान समय अंतरालों के दौरान तय की गई दूरियाँ आपस में उसी अनुपात में होती हैं जैसे कि एक से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याएँ [अर्थात् 1: 3: 5: 7……]।” इसे सिद्ध कीजिए।

उत्तर आइए मुक्त पतन के अंतर्गत किसी वस्तु की गति के समय अंतराल को कई समान अंतरालों τ में विभाजित करें और क्रमागत समय अंतरालों के दौरान तय की गई दूरियाँ ज्ञात करें। चूँकि प्रारम्भिक वेग शून्य है, हमारे पास

$$ y=-\frac{1}{2} g t^2 $$

इस समीकरण का उपयोग करके हम वस्तु की स्थिति विभिन्न समय अंतरालों $0, \tau, 2 \tau, 3 \tau \ldots$ के बाद की गणना कर सकते हैं, जो तालिका 2.2 के दूसरे स्तंभ में दिए गए हैं। यदि हम $(-1 / 2) g \tau^2$ को $y_0$ के रूप में लें — पहले समय अंतराल $\tau$ के बाद की स्थिति निर्देशांक — तो तीसरा स्तंभ $y_0$ की इकाई में स्थितियाँ देता है। चौथा स्तंभ क्रमागत $\tau$ में तय की गई दूरियाँ देता है। हम पाते हैं कि दूरियाँ सरल अनुपात $1: 3: 5: 7: 9: 11 \ldots$ में हैं, जैसा कि अंतिम स्तंभ में दिखाया गया है। यह नियम गैलीलियो गैलीलेई (1564-1642) द्वारा स्थापित किया गया था, जो मुक्त पतन के मात्रात्मक अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

उदाहरण 2.6 वाहनों की रोकने की दूरी : जब किसी चलते हुए वाहन में ब्रेक लगाए जाते हैं, तो रुकने से पहले वह जितनी दूरी तय करता है, उसे रोकने की दूरी कहा जाता है। यह सड़क सुरक्षा के लिए एक महत्वपूर्ण कारक है और यह प्रारंभिक वेग $(v_0)$ तथा ब्रेकिंग क्षमता, या मंदन, –a पर निर्भर करता है, जो ब्रेकिंग के कारण उत्पन्न होता है। $v_o$ और a के पदों में वाहन की रोकने की दूरी के लिए एक व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

तालिका 2.2

उत्तर मान लीजिए वाहन जिस दूरी को रुकने से पहले तय करता है वह $d_s$ है। तब गति के समीकरण $v^2=v_0{ }^2+2 a x$ का प्रयोग करते हुए, और यह देखते हुए कि $v=0$, हमें रुकने की दूरी मिलती है

$$ d_{\mathrm{s}}=\frac{-v _0^2}{2 a} $$

इस प्रकार, रुकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती है। प्रारंभिक वेग को दोगुना करने से रुकने की दूरी 4 गुना हो जाती है (समान मंदन के लिए)। एक विशेष बनावट की कार के लिए, ब्रेकिंग दूरी क्रमशः 10 m, 20 m, 34 m और 50 m पाई गई, जो वेगों 11, 15, 20 और 25 m/s के अनुरूप है और उपरोक्त सूत्र के साथ लगभग संगत है।

रुकने की दूरी एक महत्वपूर्ण कारक है जिसे गति सीमा निर्धारित करते समय ध्यान में रखा जाता है, उदाहरण के लिए, स्कूल क्षेत्रों में।

उदाहरण 2.7 प्रतिक्रिया समय : जब कोई स्थिति हमारी तत्काल कार्रवाई की मांग करती है, तो हमारे द्वारा वास्तव में प्रतिक्रिया देने में कुछ समय लगता है। प्रतिक्रिया समय वह समय होता है जो व्यक्ति को देखने, सोचने और कार्य करने में लगता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति गाड़ी चला रहा है और अचानक सड़क पर एक लड़का आ जाता है, तो वह समय जो उसके द्वारा कार के ब्रेक दबाने से पहले बीतता है, वह प्रतिक्रिया समय है। प्रतिक्रिया समय स्थिति की जटिलता और व्यक्ति पर निर्भर करता है।
आप एक सरल प्रयोग द्वारा अपना प्रतिक्रिया समय माप सकते हैं। एक स्केल लें और अपने मित्र से कहें कि वह इसे अपने अंगूठे और तर्जनी अंगुली के बीच के अंतराल से ऊध्र्वाधर गिराए (चित्र 2.8)। पकड़ने के बाद, वह दूरी d ज्ञात करें जो स्केल तय करता है। एक विशेष मामले में, d का मान 21.0 सेमी पाया गया।
प्रतिक्रिया समय का आकलन करें।

चित्र 2.8 प्रतिक्रिया समय को मापना

उत्तर स्केल स्वतंत्र पतन के अंतर्गत गिरता है। इसलिए, $v_o=0$, और $a=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$। तय की गई दूरी $d$ और प्रतिक्रिया समय $t_r$ इस प्रकार संबंधित हैं

$$ d=-\frac{1}{2} g t_r^2 $$

या, $\quad t_r=\sqrt{\frac{2 d}{g}} \mathrm{~s}$

दिया गया है $d=21.0 \mathrm{~cm}$ और $g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ तो प्रतिक्रिया समय है

$$ t_r=\sqrt{\frac{2 \times 0.21}{9.8}} \mathrm{~s} \cong 0.2 \mathrm{~s} . $$

सारांश

1. यदि किसी वस्तु की स्थिति समय के साथ बदलती है, तो उसे गति में कहा जाता है। वस्तु की स्थिति को सुविधाजनक रूप से चुने गए मूल बिंदु के सापेक्ष निर्दिष्ट किया जा सकता है। सरल रेखा में गति के लिए, मूल बिंदु के दाईं ओर की स्थिति को धनात्मक और बाईं ओर की स्थिति को ऋणात्मक माना जाता है।
किसी वस्तु की औसत चाल, दिए गए समय अंतराल पर औसत वेग के परिमाण से अधिक या बराबर होती है।

2. तात्कालिक वेग या केवल वेग को, औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल ∆t अत्यधिक छोटा हो जाता है:

$$v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \bar{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$$

किसी विशेष क्षण का वेग, उस क्षण पर स्थिति-समय ग्राफ पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के बराबर होता है।

3. औसत त्वरण वेग में परिवर्तन को उस समय अंतराल से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है जिसमें वह परिवर्तन होता है:

$$ \bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t} $$

4. तात्कालिक त्वरण को औसत त्वरण की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल $\Delta t$ शून्य की ओर जाता है:

$$ a=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \bar{a}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} $$

किसी वस्तु का त्वरण किसी विशेष समय पर उस समय के क्षण वेग-समय आलेख की प्रवणता होता है। समान गति के लिए त्वरण शून्य होता है और $x$ - $t$ आलेख समय अक्ष से झुकी हुई सीधी रेखा होती है तथा $v$ - $t$ आलेख समय अक्ष के समानांतर सीधी रेखा होती है। समान त्वरण वाली गति के लिए, $x$ - $t$ आलेख एक परवलय होता है जबकि $v$ - $t$ आलेख समय अक्ष से झुकी हुई सीधी रेखा होती है।

5. वेग-समय वक्र के समय $t_1$ और $t_2$ के बीच का क्षेत्रफल उस समय अंतराल के दौरान वस्तु के विस्थापन के बराबर होता है।

6. समान रूप से त्वरित सरल रेखीय गति में वस्तुओं के लिए, पांच राशियाँ — विस्थापन $x$, लिया गया समय $t$, प्रारंभिक वेग $v_0$, अंतिम वेग $v$ और त्वरण $a$ — गति के सरल समीकरणों कहे जाने वाले एक समूह से संबंधित होते हैं:

$$ \begin{aligned} & v=v_o+a t \ & x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \ & v^2=v_0^2+2 a x \end{aligned} $$

यदि समय $t=0$ पर वस्तु की स्थिति 0 है। यदि कण $x=x_0$ से प्रारंभ होती है, तो उपरोक्त समीकरणों में $x$ को $\left(x-x_0\right)$ से प्रतिस्थापित किया जाता है।

विचार करने योग्य बिंदु

1. अक्ष का मूल बिंदु और धनात्मक दिशा चुनने की बात है। आपको विस्थापन, वेग और त्वरण जैसी राशियों को चिह्न देने से पहले यह चयन स्पष्ट करना चाहिए।

2. यदि कोई कण गति तेज कर रहा है, तो त्वरण वेग की दिशा में है; यदि इसकी चाल घट रही है, तो त्वरण वेग की विपरीत दिशा में है। यह कथन मूल बिंदु और अक्ष के चयन से स्वतंत्र है।

3. त्वरण का चिह्न यह नहीं बताता कि कण की चाल बढ़ रही है या घट रही है। त्वरण का चिह्न (जैसा कि बिंदु 3 में उल्लेख किया गया है) अक्ष की धनात्मक दिशा के चयन पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा को अक्ष की धनात्मक दिशा चुना जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण ऋणात्मक होता है। यदि कोई कण गुरुत्व के अंतर्गत गिर रहा है, तो यह त्वरण, यद्यपि ऋणात्मक है, चाल में वृद्धि का कारण बनता है। किसी कण को ऊपर फेंके जाने पर, वही ऋणात्मक त्वरण (गुरुत्वाकर्षण का) चाल में कमी का कारण बनता है।

4. किसी कण का किसी भी क्षण शून्य वेग अनिवार्य रूप से उस क्षण शून्य त्वरण का तात्पर्य नहीं है। कोई कण क्षणिक रूप से विराम पर हो सकता है और फिर भी अशून्य त्वरण हो सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर फेंका गया कण अपने सबसे ऊपर के बिंदु पर शून्य वेग रखता है लेकिन उस क्षण त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण ही बना रहता है।

5. गति के काइनमेटिक समीकरणों [समी. (2.9)] में, विभिन्न राशियां बीजगणितीय होती हैं, अर्थात् वे धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं। समीकरण सभी परिस्थितियों में लागू होते हैं (एक विमीय गति के लिए जिसमें नियत त्वरण हो) बशर्ते विभिन्न राशियों के मान समीकरणों में उचित चिह्नों के साथ प्रतिस्थापित किए जाएं।

6. तात्कालिक वेग और त्वरण की परिभाषाएँ (समीकरण (2.1) और (2.3)) सटीक हैं और हमेशा सही होती हैं, जबकि गतिक समीकरण (समीकरण (2.9)) केवल उस गति के लिए सत्य हैं जिसमें त्वरण का परिमाण और दिशा गति के दौरान स्थिर रहते हैं।