4.1 भूमिका

पिछले अध्याय में हमारा उद्देश्य अंतरिक्ष में किसी कण की गति का मात्रात्मक वर्णन करना था। हमने देखा कि समान गति के लिए केवल वेग की संकल्पना की आवश्यकता होती है जबकि असमान गति के लिए इसके अतिरिक्त त्वरण की संकल्पना की भी आवश्यकता होती है। अब तक हमने यह प्रश्न नहीं पूछा है कि वस्तुओं की गति किसके द्वारा नियंत्रित होती है। इस अध्याय में हम इस मूलभूत प्रश्न की ओर मुड़ते हैं।

आइए पहले हम अपने सामान्य अनुभव के आधार पर उत्तर का अनुमान लगाएं। एक स्थिर फुटबॉल को चलाने के लिए किसी को उसे लात मारनी पड़ती है। एक पत्थर को ऊपर फेंकने के लिए उसे ऊपर की ओर धक्का देना पड़ता है। एक हवा के झोंके से पेड़ की टहनियां हिलती हैं; एक तेज हवा भारी वस्तुओं को भी हिला सकती है। एक नाव बहती हुई नदी में बिना कोई चप्पू चलाए आगे बढ़ती है। स्पष्ट है कि किसी वस्तु को विरामावस्था से गति देने के लिए बाहरी साधन द्वारा बल प्रदान करना आवश्यक है। इसी प्रकार गति को मंद करने या रोकने के लिए भी बाहरी बल की आवश्यकता होती है। आप एक ढलान पर लुढ़कती हुई गेंद को उसकी गति की विपरीत दिशा में बल लगाकर रोक सकते हैं। इन उदाहरणों में बल का बाहरी साधन (हाथ, हवा, धारा आदि) वस्तु के संपर्क में है। यह हमेशा आवश्यक नहीं है। एक इमारत की छत से छोड़ा गया पत्थर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण नीचे की ओर त्वरित होता है। एक छड़ चुंबक किसी लोहे की कील को दूरी से आकर्षित कर सकता है। यह दर्शाता है कि बाहरी साधन (जैसे गुरुत्वाकर्षण और चुंबकीय बल) दूरी से भी किसी वस्तु पर बल लगा सकते हैं।

संक्षेप में, एक स्थिर वस्तु को गति में लाने या गति करती वस्तु को रोकने के लिए एक बल की आवश्यकता होती है, और इस बल को प्रदान करने के लिए किसी बाहरी साधन की जरूरत होती है। वह बाहरी साधन वस्तु के संपर्क में हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। अब तक सब ठीक है। लेकिन क्या होगा यदि कोई वस्तु एकसमान गति से चल रही हो (जैसे कोई स्केटर क्षैतिज बर्फ़ की परत पर सीधी रेखा में नियत चाल से चल रहा हो)? क्या एकसमान गति बनाए रखने के लिए कोई बाहरी बल आवश्यक है?

4.2 अरस्तु की भ्रांति

ऊपर उठाया गया प्रश्न सरप्रदान लगता है। फिर भी इसका उत्तर देने में सदियाँ लग गईं। वास्तव में, सत्रहवीं सदी में गैलीलियो द्वारा दिया गया इस प्रश्न का सही उत्तर न्यूटोनियन यांत्रिकी की नींव बना, जिसने आधुनिक विज्ञान के जन्म का संकेत दिया।

ग्रीक चिंतक अरस्तु (३८४ ई.पू.–३२२ ई.पू.) इस दृष्टिकोण को मानता था कि यदि कोई वस्तु गति कर रही है, तो उसे गति में बनाए रखने के लिए कुछ बाहरी चीज़ की आवश्यकता होती है। इस दृष्टिकोण के अनुसार, उदाहरण के लिए, धनुष से छोड़ा गया बाण इसलिए उड़ता रहता है क्योंकि बाण के पीछे की हवा उसे धक्का देती रहती है। यह दृष्टिकोण ब्रह्मांड में वस्तुओं की गति पर अरस्तु द्वारा विकसित विचारों के एक विस्तृत ढांचे का हिस्सा था। गति के बारे में अरस्तु के अधिकांश विचार अब गलत माने जाते हैं और हमें उनकी चिंता करने की आवश्यकता नहीं है। यहाँ हमारे उद्देश्य के लिए अरस्तु का गति नियम इस प्रकार कहा जा सकता है: किसी वस्तु को गति में बनाए रखने के लिए एक बाहरी बल की आवश्यकता होती है।

अरस्तू का गति नियम त्रुटिपूर्ण है, जैसा कि हम देखेंगे। फिर भी, यह एक स्वाभाविक दृष्टिकोण है जो कोई भी सामान्य अनुभव से स्वतः अपना लेता है। एक छोटा बच्चा भी फर्श पर एक साधारण (गैर-विद्युतीय) खिलौना-कार से खेलते हुए सहज ही जानता है कि उसे कार को चलाए रखने के लिए उससे जुड़ी डोरी को लगातार किसी बल से खींचते रहना होगा। यदि वह डोरी छोड़ दे, कार रुक जाती है। यह अनुभव अधिकांश स्थलीय गतियों में साझा है। गति में बने रहने के लिए बाह्य बलों की आवश्यकता प्रतीत होती है। अपने आप छोड़ दिए जाने पर सभी वस्तुएँ अंततः विराम अवस्था में आ जाती हैं।

अरस्तू के तर्क में त्रुटि क्या है? उत्तर है: चलती हुई खिलौना कार इसलिए रुक जाती है क्योंकि फर्श द्वारा कार पर लगने वाला घर्षण बल उसकी गति का विरोध करता है। इस बल का प्रतिकार करने के लिए बच्चे को कार पर गति की दिशा में एक बाह्य बल लगाना पड़ता है। जब कार एकसमान गति से चल रही होती है, तो उस पर कोई निवार्य बाह्य बल नहीं लग रहा होता: बच्चे द्वारा लगाया गया बल फर्श द्वारा लगाए गए घर्षण बल को रद्द कर देता है। निष्कर्ष यह है: यदि कोई घर्षण न होता, तो बच्चे को खिलौना कार को एकसमान गति से चलाए रखने के लिए कोई बल लगाने की आवश्यकता नहीं होती।

प्रतिरोधी बल जैसे घर्षण (ठोसों के लिए) और श्यान बल (द्रवों के लिए) प्राकृतिक जगत में सदैव मौजूद रहते हैं। इससे यह स्पष्ट होता है कि घर्षण बलों को पार करके वस्तुओं को एकसमान गति में बनाए रखने के लिए बाहरी स्रोतों द्वारा बलों की आवश्यकता होती है। अब हम समझते हैं कि अरस्तू कहाँ चूक गया। उसने इस व्यावहारिक अनुभव को एक मूल तर्क के रूप में कोडित किया। बलों और गति के लिए प्रकृति के सच्चे नियम तक पहुँचने के लिए, किसी को ऐसी दुनिया की कल्पना करनी होती है जिसमें कोई घर्षण बल विरोध न करे और एकसमान गति संभव हो। यही गैलीलियो ने किया।

4.3 जड़ता का नियम

गैलीलियो ने आनत तल पर वस्तुओं की गति का अध्ययन किया। वस्तुएँ (i) आनत तल से नीचे की ओर गति करती हैं तो त्वरित होती हैं, जबकि (ii) ऊपर की ओर गति करती हैं तो मंद होती हैं। (iii) क्षैतिज तल पर गति एक मध्यवर्ती स्थिति है। गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि कोई वस्तु घर्षणरहित क्षैतिज तल पर गति करती है तो न तो त्वरित होगी और न ही मंद, अर्थात् उसे नियत वेग से गति करनी चाहिए (चित्र 4.1(a))।

चित्र 4.1(a)

गैलीलियो द्वारा किया गया एक अन्य प्रयोग जो इसी निष्कर्ष पर पहुँचता है, एक दोहरी झुकी हुई समतल सतह से संबंधित है। एक गेंद को विश्राम अवस्था से एक समतल पर छोड़ा जाता है, वह नीचे लुढ़कती है और दूसरे समतल पर चढ़ती है। यदि समतलें चिकनी हों, तो गेंद की अंतिम ऊँचाई लगभग वही होती है जितनी प्रारंभिक ऊँचाई थी (थोड़ी कम लेकिन कभी अधिक नहीं)। आदर्श स्थिति में, जब घर्षण अनुपस्थित हो, तो गेंद की अंतिम ऊँचाई उसकी प्रारंभिक ऊँचाई के समान होती है।

यदि दूसरे समतल की ढलान घटा दी जाए और प्रयोग दोहराया जाए, तो गेंद अभी भी उसी ऊँचाई तक पहुँचेगी, लेकिन ऐसा करते समय वह अधिक दूरी तय करेगी। सीमित स्थिति में, जब दूसरे समतल की ढलान शून्य हो (अर्थात् यह क्षैतिज हो), तो गेंद अनंत दूरी तय करती है। दूसरे शब्दों में, इसकी गति कभी समाप्त नहीं होती। यह निश्चित रूप से एक आदर्शीकृत स्थिति है (चित्र 4.1(b))।

चित्र 4.1(b) जड़ता का नियम गैलीलियो द्वारा एक दोहरी झुकी हुई समतल सतह पर गेंद की गति के प्रेक्षणों से निकाला गया था।

अनुवाद:

वास्तव में, गेंद क्षैतिज तल पर एक निश्चित दूरी तय करने के बाद रुक जाती है, क्योंकि घर्षण का प्रतिरोधी बल कभी पूरी तरह समाप्त नहीं किया जा सकता। यदि कोई घर्षण न हो, तो गेंद क्षैतिज तल पर निरंतर एक समान वेग से चलती रहेगी।

गैलीलियो ने गति के बारे में एक नया दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, जो अरस्तू और उनके अनुयायियों से छूट गया था। विराम की अवस्था और एक समान रेखीय गति (स्थिर वेग से गति) समतुल्य हैं। दोनों ही स्थितियों में पिण्ड पर कोई नेट बल कार्य नहीं कर रहा होता। यह मानना गलत है कि एक पिण्ड को एक समान गति में बनाए रखने के लिए नेट बल की आवश्यकता होती है। पिण्ड को एक समान गति में बनाए रखने के लिए हमें बाह्य बल लगाना पड़ता है ताकि घर्षण बल का प्रतिकार हो सके, जिससे ये दोनों बल परस्पर निरस्त हो जाएँ और परिणामी बाह्य बल शून्य हो जाए।

संक्षेप में, यदि परिणामी बाह्य बल शून्य हो, तो विरामावस्था में पिण्ड विराम में ही बना रहता है और गति में पिण्ड एक समान वेग से गति करता रहता है। पिण्ड की इस विशेषता को जड़त्व (इनर्शिया) कहते हैं। जड़त्व का अर्थ है ‘परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध’। कोई पिण्ड अपनी विराम या एक समान गति की अवस्था तब तक नहीं बदलता, जब तक कि कोई बाह्य बल उसे ऐसा करने के लिए विवश न कर दे।

प्राचीन भारतीय विज्ञान में गति के विचार

प्राचीन भारतीय चिंतकों ने गति पर विचारों की एक विस्तृत प्रणाली विकसित की थी। गति का कारण बल को विभिन्न प्रकारों में विभाजित किया गया था: निरंतर दबाव के कारण बल (नोदन), जैसे पवन का बल पाल वाले नाव पर; प्रहार (अभिघात), जैसे कुम्हार की छड़ी चक्र को टकराती है; सीधी रेखा में गति करने की स्थायी प्रवृत्ति (संस्कार) (वेग) या लोचदार पिंड में आकृति की पुनःस्थापना; डोरी, छड़ आदि द्वारा संचारित बल। गति के वैशेषिक सिद्धांत में (वेग) की धारणा संभवतः जड़ता की अवधारणा के सबसे निकट है। वेग, सीधी रेखा में गति करने की प्रवृत्ति, वायुमंडल सहित वस्तुओं के संपर्क से विरोधित मानी जाती थी, जो घर्षण और वायु प्रतिरोध की धारणाओं के समान है। यह सही रूप से सारांशित किया गया कि एक विस्तृत पिंड की विभिन्न प्रकार की गतियाँ (स्थानांतरणीय, घूर्णन और कंपन) केवल इसके घटक कणों की स्थानांतरणीय गति से उत्पन्न होती हैं। हवा में गिरता पत्ता समग्र रूप से नीचे की ओर गति (पतन) कर सकता है और साथ ही घूर्णन तथा कंपन गति (भ्रमन, स्पंदन) भी कर सकता है, लेकिन पत्ते का प्रत्येक कण किसी क्षण केवल एक निश्चित (छोटा) विस्थापन ही करता है। भारतीय चिंतन में गति के मापन और लंबाई तथा समय की इकाइयों पर पर्याप्त ध्यान दिया गया था। यह ज्ञात था कि अंतरिक्ष में कण की स्थिति को तीन अक्षों के साथ मापी गई दूरी द्वारा दर्शाया जा सकता है। भास्कर (1150 ई.) ने ‘तात्कालिक गति’ (तात्कालिकी गति) की अवधारणा प्रस्तुत की थी, जो अवकल गणित का उपयोग करके आधुनिक तात्कालिक वेग की धारणा की पूर्वाभास थी। तरंग और धारा (जल की) के बीच अंतर को स्पष्ट रूप से समझा गया था; धारा गुरुत्वाकर्षण और द्रवता के अंतर्गत जल के कणों की गति है जबकि तरंग जल के कणों के कंपन के संचरण से उत्पन्न होती है।

4.4 न्यूटन का प्रथम गति नियम

गैलीलियो के सरल, किंतु क्रांतिकारी विचारों ने अरस्तूली यांत्रिकी को पदच्युत कर दिया। एक नई यांत्रिकी विकसित करनी पड़ी। यह कार्य लगभग अकेले इसाक न्यूटन ने किया, जो सदियों के महानतम वैज्ञानिकों में से एक हैं।

न्यूटन ने गैलीलियो के विचारों को आगे बढ़ाया और तीन गति नियमों के रूप में यांत्रिकी की नींव रखी, जो उनके नाम से जाने जाते हैं। गैलीलियो का जड़ता नियम उनका प्रारंभिक बिंदु था, जिसे उन्होंने प्रथम गति नियम के रूप में सूत्रबद्ध किया:

प्रत्येक वस्तु विश्राम की अवस्था में या सरल रेखा में एकसमान गति की अवस्था में तब तक बनी रहती है, जब तक कि किसी बाह्य बल द्वारा उसे अन्यथा व्यवहार करने के लिए विवश न किया जाए।

विश्राम की अवस्था या एकसमान रेखीय गति दोनों शून्य त्वरण को निरूपित करती हैं। प्रथम गति नियम को, इसलिए, सरलता से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

यदि किसी वस्तु पर निवल बाह्य बल शून्य है, तो उसका त्वरण शून्य है। त्वरण अशून्य तभी हो सकता है जब वस्तु पर कोई निवल बाह्य बल हो।

इस नियम के व्यावहारिक अनुप्रयोग में दो प्रकार की स्थितियाँ सामने आती हैं। कुछ उदाहरणों में, हम जानते हैं कि वस्तु पर निवल बाह्य बल शून्य है। उस स्थिति में हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वस्तु का त्वरण शून्य है। उदाहरण के लिए, अंतरतारकीय अंतरिक्ष में कोई अंतरिक्ष यान, सभी अन्य वस्तुओं से दूर और अपने सभी रॉकेट बंद कर चुका हो, पर कोई निवल बाह्य बल कार्यरत नहीं है। उसका त्वरण, प्रथम नियम के अनुसार, शून्य होना चाहिए। यदि वह गति में है, तो उसे एकसमान वेग से गति करती रहनी चाहिए।

अधिक बार, हालांकि, हमें प्रारंभ में सभी बलों का पता नहीं होता। उस स्थिति में, यदि हम जानते हैं कि कोई वस्तु त्वरित नहीं है (अर्थात् वह या तो विराम में है या समान रेखीय गति में है), तो हम पहले नियम से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वस्तु पर निवल बाह्य बल शून्य होना चाहिए। गुरुत्वाकर्षन हर जगह है। पृथ्वी-संबंधी घटनाओं के लिए, विशेष रूप से, प्रत्येक वस्तु पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल अनुभव करती है। साथ ही गति में वस्तुएं आमतौर पर घर्षण, श्यान प्रतिरोध आदि अनुभव करती हैं। यदि तब, पृथ्वी पर, कोई वस्तु विराम में है या समान रेखीय गति में है, तो ऐसा इसलिए नहीं है कि उस पर कोई बल कार्य नहीं कर रहे हैं, बल्कि इसलिए है कि विभिन्न बाह्य बल एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं अर्थात् शून्य निवल बाह्य बल के बराबर हो जाते हैं।

एक किताब को क्षैतिज सतह पर विरामावस्था में रखा गया है चित्र (5.2(a))। यह दो बाह्य बलों के अधीन है: गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाला बल (अर्थात् इसका भार W) नीचे की ओर और मेज़ द्वारा किताब पर लगाया गया ऊपर की ओर बल, अभिलंब बल R। R एक स्व-समायोज्य बल है। यह ऊपर उल्लिखित स्थिति का एक उदाहरण है। बल पूरी तरह से ज्ञात नहीं हैं, परन्तु गति की अवस्था ज्ञात है। हम किताब को विराम में पाते हैं। इसलिए हम प्रथम नियम से निष्कर्ष निकालते हैं कि R का परिमाण W के बराबर है। एक प्रचलित कथन है: “चूँकि W = R, बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और, इसलिए, किताब विराम में है।” यह तर्क गलत है। सही कथन है: “चूँकि किताब को विराम में देखा गया है, इस पर लगने वाला कुल बाह्य बल शून्य होना चाहिए, प्रथम नियम के अनुसार। इसका तात्पर्य है कि अभिलंब बल R का भार W के बराबर और विपरीत होना चाहिए”।

चित्र 4.2 (a) मेज़ पर विराम में एक किताब, और (b) एक कार समान वेग से चल रही है। प्रत्येक स्थिति में कुल बल शून्य है।

एक कार को विराम से प्रारंभ कर, गति बढ़ाते हुए और फिर एक चिकनी सीधी सड़क पर एकसमान गति से चलते हुए देखें (चित्र 4.2(b))। जब कार स्थिर होती है, तो उस पर कोई नेट बल कार्य नहीं करता। गति बढ़ाने के दौरान, यह त्वरण करती है। यह किसी नेट बाह्य बल के कारण होना चाहिए। ध्यान दें, यह एक बाह्य बल होना चाहिए। कार के त्वरण की व्याख्या किसी आंतरिक बल द्वारा नहीं की जा सकती। यह आश्चर्यजनक लग सकता है, लेकिन यह सत्य है। सड़क के अनुदिश एकमात्र संभावित बाह्य बल घर्षण बल है। यह घर्षण बल ही है जो कार को समग्र रूप से त्वरित करता है। (आप घर्षण के बारे में अनुभाग 5.9 में सीखेंगे)। जब कार नियत वेग से चलती है, तो कोई नेट बाह्य बल नहीं होता।

प्रथम नियम में निहित जड़ता का गुण अनेक स्थितियों में स्पष्ट होता है। मान लीजिए हम एक स्थिर बस में खड़े हैं और चालक अचानक बस चला देता है। हम झटके के साथ पीछे की ओर झुक जाते हैं। क्यों? हमारे पैर फर्श के संपर्क में हैं। यदि घर्षण न होता, तो हम वहीं रहते जहाँ हम थे, जबकि बस का फर्श हमारे पैरों के नीचे फिसलता चला जाता और बस का पिछला भाग हमें टकराता। परंतु, सौभाग्य से, पैरों और फर्श के बीच कुछ घर्षण होता है। यदि आरंभ बहुत अचानक न हो, अर्थात त्वरण मध्यम हो, तो घर्षण बल हमारे पैरों को बस के साथ त्वरित करने के लिए पर्याप्त होगा। परंतु हमारा शरीर कठोर पिंड नहीं है। यह विकृत हो सकता है, अर्थात् इसमें विभिन्न भागों के बीच कुछ सापेक्ष विस्थापन संभव है। इसका अर्थ यह है कि जबकि हमारे पैर बस के साथ चलते हैं, शरीर का शेष भाग जड़ता के कारण वहीं रहता है। बस के सापेक्ष, इसलिए, हम पीछे की ओर फेंके जाते हैं। जैसे ही यह होता है, तुरंत ही शरीर के शेष भाग पर पैरों द्वारा लगने वाली पेशीय बलें कार्य करना आरंभ कर देती हैं ताकि शरीर को बस के साथ चलाया जा सके। इसी प्रकार की घटना तब होती है जब बस अचानक रुकती है। हमारे पैर घर्षण के कारण रुक जाते हैं जो पैरों और बस के फर्श के बीच सापेक्ष गति की अनुमति नहीं देता। परंतु शरीर का शेष भाग जड़ता के कारण आगे बढ़ता रहता है। हम आगे की ओर फेंके जाते हैं। पुनः पेशीय बल कार्य करते हैं और शरीर को विराम अवस्था में ला देते हैं।

उदाहरण 4.1 एक अंतरिक्ष यात्री गलती से अपने छोटे अंतरिक्ष यान से अलग हो जाता है, जो तारकीय अंतरिक्ष में 100 मीटर प्रति सेकंड^–2 की स्थिर दर से त्वरण कर रहा है। अंतरिक्ष यात्री के यान से बाहर आने के ठीक बाद उसका त्वरण क्या है? (मान लीजिए कि उस पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाने के लिए कोई निकटवर्ती तारे नहीं हैं।)

उत्तर चूँकि उस पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाने के लिए कोई निकटवर्ती तारे नहीं हैं और छोटा अंतरिक्ष यान उस पर नगण्य गुरुत्वाकर्षण बल लगाता है, अंतरिक्ष यात्री पर यान से बाहर आने के बाद कुल बल शून्य है। गति के पहले नियम के अनुसार अंतरिक्ष यात्री का त्वरण शून्य है।

4.5 न्यूटन का द्वितीय गति नियम

पहला नियम उस सरल स्थिति को संदर्भित करता है जब किसी वस्तु पर कुल बाह्य बल शून्य हो। गति का द्वितीय नियम उस सामान्य स्थिति को संदर्भित करता है जब वस्तु पर कुल बाह्य बल कार्य कर रहा हो। यह कुल बाह्य बल को वस्तु के त्वरण से संबंधित करता है।

संवेग

किसी वस्तु का संवेग उसके द्रव्यमान m और वेग v के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, और इसे p द्वारा दर्शाया जाता है:

$$ \begin{equation*} \mathbf{p}=m \mathbf{v} \tag{4.1} \end{equation*} $$

संवेग स्पष्ट रूप से एक सदिश राशि है। निम्नलिखित सामान्य अनुभव इस राशि के महत्व को इंगित करते हैं जब बल को गति पर प्रभावित करने पर विचार किया जाता है।

• मान लीजिए एक हल्के वाहन (मान लीजिए एक छोटी कार) और एक भारी वाहन (मान लीजिए एक लोडेड ट्रक) क्षैतिज सड़क पर खड़े हैं। हम सभी जानते हैं कि ट्रक को कार की तुलना में अधिक बल लगाना पड़ता है ताकि उन्हें समान समय में समान गति पर लाया जा सके। इसी प्रकार, यदि वे समान गति से चल रहे हों, तो भारी वस्तु को रोकने के लिए हल्की वस्तु की तुलना में अधिक प्रतिरोधक बल की आवश्यकता होती है, यदि उन्हें समान समय में रोकना हो।

• यदि दो पत्थर, एक हल्का और दूसरा भारी, किसी इमारत की छत से गिराए जाते हैं, तो जमीन पर खड़ा व्यक्ति हल्के पत्थर को पकड़ने में भारी पत्थर की तुलना में अधिक आसानी पाएगा। किसी वस्तु का द्रव्यमान इस प्रकार एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है जो बल के उसके गति पर प्रभाव को निर्धारित करता है।

• गति एक अन्य महत्वपूर्ण पैरामीटर है जिस पर विचार किया जाना चाहिए। बंदूक से चलाई गई गोली रुकने से पहले आसानी से मानव ऊतक को भेद सकती है, जिससे हानि होती है। समान गोली यदि मध्यम गति से चलाई जाए तो अधिक हानि नहीं करेगी। इस प्रकार, किसी दिए गए द्रव्यमान के लिए, जितनी अधिक गति होगी, उतना ही अधिक प्रतिरोधक बल लगाना होगा ताकि वस्तु को निश्चित समय में रोका जा सके। दोनों को मिलाकर, द्रव्यमान और वेग का गुणनफल, अर्थात् संवेग, स्पष्ट रूप से गति का एक प्रासंगिक चर है। किसी दिए गए समय में संवेग में जितना अधिक परिवर्तन होता है, उतना ही अधिक बल लगाना होता है।

• एक अनुभवी क्रिकेटर एक तेज़ आती हुई क्रिकेट गेंद को नए खिलाड़ी की तुलना में कहीं आसानी से कैच कर लेता है, जिसके हाथ इस प्रक्रिया में चोटिल हो सकते हैं। एक कारण यह है कि क्रिकेटर अपने हाथों को गेंद को रोकने के लिए अधिक समय देता है। जैसा कि आपने देखा होगा, वह गेंद को पकड़ते समय अपने हाथों को पीछे की ओर खींचता है (चित्र 4.3)। दूसरी ओर, नया खिलाड़ी अपने हाथों को स्थिर रखता है और गेंद को लगभग तुरंत पकड़ने की कोशिश करता है। उसे गेंद को तुरंत रोकने के लिए बहुत अधिक बल लगाना पड़ता है, और इससे उसे चोट लगती है। निष्कर्ष स्पष्ट है: बल केवल संवेग में परिवर्तन पर ही निर्भर नहीं करता, बल्कि यह भी निर्भर करता है कि वह परिवर्तन कितनी तेज़ी से किया जाता है। एक ही संवेग परिवर्तन यदि कम समय में किया जाए तो इसके लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है। संक्षेप में, संवेग में परिवर्तन की दर जितनी अधिक होगी, बल भी उतना ही अधिक होगा।

चित्र 4.3 बल केवल संवेग में परिवर्तन पर ही निर्भर नहीं करता, बल्कि यह भी निर्भर करता है कि वह परिवर्तन कितनी तेज़ी से किया जाता है। एक अनुभवी क्रिकेटर कैच के दौरान अपने हाथों को खींचता है, जिससे गेंद को रुकने के लिए अधिक समय मिलता है और इसलिए कम बल की आवश्यकता होती है।

• प्रेक्षण पुष्टि करते हैं कि द्रव्यमान और वेग का गुणनफल (अर्थात् संवेग) गति पर बल के प्रभाव के लिये मूलभूत है। मान लीजिये एक निश्चित समय अन्तराल तक दो भिन्न द्रव्यमानों की वस्तुओं पर एक स्थिर बल लगाया जाता है, जो प्रारम्भ में विराम पर हैं; हल्की वस्तु भारी वस्तु की तुलना में अधिक चाल पकड़ती है। तथापि, समय अन्तराल के अन्त में प्रेक्षण दिखाते हैं कि प्रत्येक वस्तु एक ही संवेग प्राप्त करती है। इस प्रकार समान समय के लिये समान बल भिन्न वस्तुओं में संवेग का समान परिवर्तन उत्पन्न करता है। यह गति के द्वितीय नियम के लिये एक निर्णायक संकेत है।

• उपर्युक्त प्रेक्षणों में संवेग के सदिश लक्षण स्पष्ट नहीं हुए हैं। अब तक के उदाहरणों में संवेग और संवेग-परिवर्तन दोनों की दिशा समान रही है, परन्तु ऐसा सदैव नहीं होता। मान लीजिये एक पत्थर को किसी डोरी द्वारा क्षैतिज तल में एकसमान चाल से घुमाया जाता है; संवेग का परिमाण स्थिर रहता है परन्तु इसकी दिशा बदलती है (चित्र 4.4)। संवेग सदिश में इस परिवर्तन के लिये बल की आवश्यकता होती है। यह बल डोरी के माध्यम से हमारे हाथ द्वारा प्रदान किया जाता है। अनुभव बताता है कि यदि पत्थर को अधिक चाल से या छोटी त्रिज्या के वृत्त में या दोनों ही घुमाया जाये तो हमारे हाथ को अधिक बल लगाना पड़ता है। यह अधिक त्वरण या तुल्यतः संवेग सदिश के परिवर्तन की अधिक दर से सम्बन्धित है। यह सुझाव देता है कि संवेग सदिश में परिवर्तन की दर जितनी अधिक होगी, लगाया गया बल उतना ही अधिक होगा।

Here is the literal, sentence-by-sentence Hindi translation of the provided text chunk, preserving Markdown, HTML, code blocks, URLs, and [[SC_MARKER_X]] markers:

चित्र 4.4 संवेग की दिशा बदलने के लिए बल आवश्यक होता है, भले ही उसका परिमाण स्थिर हो। हम इसे तब अनुभव कर सकते हैं जब किसी पत्थर को एक डोरी की सहायता से क्षैतिज वृत्त में समान चाल से घुमाया जाता है।

ये गुणात्मक प्रेक्षण न्यूटन द्वारा व्यक्त किए गए गति के दूसरे नियम की ओर ले जाते हैं: किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर लगाए गए बल के समानुपाती होती है और यह परिवर्तन बल की दिशा में होता है।

इस प्रकार, यदि बल $\mathbf{F}$ के प्रभाव से समय अंतराल $\Delta t$ के दौरान, द्रव्यमान $m$ की वस्तु का वेग $\mathbf{v}$ से बदलकर $\mathbf{v}+\Delta \mathbf{v}$ हो जाता है, अर्थात् इसका प्रारंभिक संवेग $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$ परिवर्तित होकर $\Delta \mathbf{p}=m \Delta \mathbf{v}$ हो जाता है। द्वितीय नियम के अनुसार,

$$ \mathbf{F} \propto \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} \text { या } \mathbf{F}=k \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} $$

जहाँ $k$ अनुपात स्थिरांक है। सीमा $\Delta t \rightarrow 0$ लेने पर, पद $\frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t}$ व्युत्पन्न या अवकलज गुणांक बन जाता है, जिसे $\mathbf{p}$ का $t$ के सापेक्ष अवकलज कहा जाता है और इसे $\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार

$$ \mathbf{F}=k \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} \quad \quad \quad \quad \quad \text{(4.2)} $$

निश्चित द्रव्यमान $m$ वाले पिण्ड के लिए,

$$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m \mathbf{v})=m \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}=m \mathbf{a} \quad \quad \quad \quad \quad \text{(4.3)} $$

अर्थात् द्वितीय नियम को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$$ \mathbf{F}=k m \mathbf{a} \quad \quad \quad \quad \quad \text{(4.4)} $$

जो दर्शाता है कि बल, द्रव्यमान $m$ और त्वरण $\mathbf{a}$ के गुणनफल के समानुपाती है।

बल की इकाई अब तक परिभाषित नहीं की गई है। वास्तव में, हम बल की इकाई को परिभाषित करने के लिए समी. (4.4) का उपयोग करते हैं। इसलिए हमारे पास $k$ के लिए कोई भी नियतांक मान चुनने की स्वतंत्रता है। सरलता के लिए हम $k=1$ चुनते हैं। तब द्वितीय नियम है

$$ \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=m \mathbf{a} \quad \quad \quad \quad \quad \text{(4.5)} $$

SI इकाई में वह बल एक न्यूटन कहलाता है जो $1 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान को $1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ का त्वरण देता है: $1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$।

आइए इस चरण पर द्वितीय नियम के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बिंदु नोट करें:

1. द्वितीय नियम में, F = 0 का अर्थ है a = 0। द्वितीय नियम स्पष्ट रूप से प्रथम नियम के अनुरूप है।

2. गति का द्वितीय नियम एक सदिश नियम है। यह तीन समीकरणों के तुल्य है, सदिशों के प्रत्येक घटक के लिए एक:

$$ F _{x}=\frac{\mathrm{d} p _{x}}{\mathrm{~d} t}=m a _{x} $$

$$ \begin{align*} & F _{y}=\frac{\mathrm{d} p _{y}}{\mathrm{~d} t}=m a _{y} \\ & F _{z}=\frac{\mathrm{d} p _{z}}{\mathrm{~d} t}=m a _{z} \tag{4.6} \end{align*} $$

इसका अर्थ है कि यदि कोई बल किसी वस्तु के वेग के समानांतर नहीं है, बल्कि इससे कोई कोण बनाता है, तो यह केवल वेग के उस घटक को बदलता है जो बल की दिशा में है। बल के लंबवत वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है। उदाहरण के लिए, किसी प्रक्षेप्य के गति में ऊर्ध्वाधर गुरुत्वाकर्षण बल के अंतर्गत, वेग का क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहता है (चित्र 4.5)।

3. गति का द्वितीय नियम, जो समीकरण (4.5) द्वारा दिया गया है, एक एकल बिंदु कण पर लागू होता है। नियम में दिया गया बल $F$ कण पर कार्यरत कुल बाह्य बल को दर्शाता है और a कण का त्वरण दर्शाता है। यह पाया गया है, हालांकि, कि यह नियम समान रूप से एक कठोर वस्तु पर या और भी सामान्य रूप से, कणों की एक प्रणाली पर लागू होता है। उस स्थिति में, $F$ प्रणाली पर कार्यरत कुल बाह्य बल को दर्शाता है और a पूरी प्रणाली के त्वरण को दर्शाता है। अधिक सटीक रूप से, $a$ प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है, जिसके बारे में हम अध्याय 6 में विस्तार से अध्ययन करेंगे। प्रणाली के भीतर कोई भी आंतरिक बल $\mathrm{F}$ में शामिल नहीं किए जाते हैं।

चित्र 4.5 त्वरण उस क्षण बल द्वारा निर्धारित होता है। जैसे ही एक पत्थर त्वरित ट्रेन से गिराया जाता है, यदि वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ किया जाए तो उसमें कोई क्षैतिज त्वरण या बल नहीं होता। पत्थर अपने साथ ट्रेन के त्वरण की कोई स्मृति नहीं रखता।

4. गति का द्वितीय नियम एक स्थानीय संबंध है, जिसका अर्थ है कि किसी क्षण पर स्थान (कण की स्थिति) पर बल F उसी क्षण उस स्थान पर त्वरण a से संबंधित है। यहाँ और अभी का त्वरण यहाँ और अभी के बल द्वारा निर्धारित होता है, न कि कण की गति के इतिहास द्वारा (चित्र 4.5 देखें)।

उदाहरण 4.2 0.04 kg द्रव्यमान की एक गोली 90 m s⁻¹ की चाल से चलते हुए एक भारी लकड़ी के ब्लॉक में प्रवेश करती है और 60 cm की दूरी के बाद रुक जाती है। गोली पर ब्लॉक द्वारा लगाया गया औसत प्रतिरोधी बल क्या है?

उत्तर गोली का मंदन (माना गया नियत) ‘a’ इस प्रकार है:

$$ a=\frac{-u^2}{2 \mathrm{~s}}=\frac{-90 \times 90}{2 \times 0.6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=-6750 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $$

गति के द्वितीय नियम से मंदन बल:

$$ =0.04 \mathrm{~kg} \times 6750 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=270 \mathrm{~N} $$

वास्तविक प्रतिरोधी बल, और इसलिए गोली का मंदन, एकसमान नहीं हो सकता। उत्तर केवल औसत प्रतिरोधी बल को दर्शाता है।

उदाहरण 4.3 किसी m द्रव्यमान के कण की गति y = u t + ½ g t² द्वारा वर्णित है। कण पर लगने वाला बल ज्ञात कीजिए।

उत्तर हम जानते हैं
y = u t + ½ g t²

अब
v = dy/dt = u + g t
त्वरण, a = dv/dt = g

इसलिए समीकरण (4.5) से बल
F = m a = m g

अतः दिया गया समीकरण गुरुत्वीय त्वरण के अधीन कण की गति को दर्शाता है, तथा y, g की दिशा में स्थान निर्देशांक है।

आवेग (Impulse)

कभी-कभी हम ऐसी घटनाएँ देखते हैं जहाँ एक बड़ा बल अत्यंत क्षणिक समय तक कार्य करके पिण्ड के संवेग में परिमित परिवर्तन उत्पन्न कर देता है। उदाहरणस्वरूप, जब गेंद दीवार से टकराकर लौटती है, तब दीवार द्वारा गेंड पर लगने वाला बल अत्यंत क्षणिक होता है—जब दोनों संपर्क में होती हैं—फिर भी वह बल इतना बड़ा होता है कि गेंड का संवेग उलट जाता है। अक्सर ऐसी स्थितियों में बल तथा समयावधि को पृथक्-पृथक् ज्ञात करना कठिन होता है; परन्तु बल तथा समय का गुणनफल, जो कि पिण्ड के संवेग में परिवर्तन होता है, एक मापनीय राशि बनी रहती है। इस गुणनफल को आवेग कहते हैं:

आवेग = बल × समयावधि
= संवेग में परिवर्तन

एक बड़ा बल जो थोड़े समय के लिए कार्य करता है और संवेग में एक परिमित परिवर्तन उत्पन्न करता है, आवेगी बल कहलाता है। विज्ञान के इतिहास में, आवेगी बलों को सामान्य बलों से अवधारणात्मक रूप से भिन्न श्रेणी में रखा गया था। न्यूटonian यांत्रिकी में ऐसा कोई भेद नहीं है। आवेगी बल किसी अन्य बल की तरह ही होता है—सिवाय इसके कि यह बड़ा होता है और थोड़े समय के लिए कार्य करता है।

उदाहरण 4.4 एक बल्लेबाज गेंद को गेंदबाज की दिशा में सीधे वापस मारता है बिना इसकी प्रारंभिक चाल 12 m s^–1 बदले। यदि गेंद का द्रव्यमान 0.15 kg है, तो गेंद पर आरोपित आवेग ज्ञात कीजिए। (गेंद की रेखीय गति मान लीजिए)

उत्तर संवेग में परिवर्तन = 0.15 × 12–(–0.15×12) = 3.6 N s, आवेग = 3.6 N s,

बल्लेबाज से गेंदबाज की दिशा में। यह एक ऐसा उदाहरण है जहाँ बल्लेबाज द्वारा गेंद पर लगाया गया बल और बल्ले तथा गेंद के संपर्क का समय जानना कठिन है, परंतु आवेग को सरलता से परिकलित किया जा सकता है।

4.6 न्यूटन का गति का तृतीय नियम

दूसरा नियम किसी पिण्ड पर बाह्य बल को उसके त्वरण से सम्बद्ध करता है। पिण्ड पर बाह्य बल की उत्पत्ति कहाँ से होती है? बाह्य बल कौन-सा कारक प्रदान करता है? न्यूटोनियन यांत्रिकी में सरल उत्तर यह है कि किसी पिण्ड पर बाह्य बल सदैव किसी अन्य पिण्ड के कारण उत्पन्न होता है। दो पिण्डों A और B पर विचार कीजिए। B, A पर एक बाह्य बल उत्पन्न करता है। एक स्वाभाविक प्रश्न यह है: क्या A भी B पर बदले में बाह्य बल उत्पन्न करता है? कुछ उदाहरणों में उत्तर स्पष्ट प्रतीत होता है। यदि आप एक संकुचित स्प्रिंग को दबाते हैं, तो आपके हाथ का बल स्प्रिंग को संकुचित करता है। संकुचित स्प्रिंग बदले में आपके हाथ पर बल लगाती है और आप इसे महसूस कर सकते हैं। परन्तु यदि पिण्ड आपस में स्पर्श में नहीं हैं तो क्या होता है? पृथ्वी एक पत्थर को गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर खींचती है। क्या पत्थर भी पृथ्वी पर बल लगाता है? उत्तर स्पष्ट नहीं है, क्योंकि हम पत्थर के पृथ्वी पर प्रभाव को लगभग देखते ही नहीं हैं। न्यूटन के अनुसार उत्तर है: हाँ, पत्थर पृथ्वी पर बराबर और विपरीत बल लगाता है। हम इसे नोटिस नहीं करते, क्योंकि पृथ्वी बहुत भारी है और एक छोटे बल का उसकी गति पर प्रभाव नगण्य है।

इस प्रकार, न्यूटनियन यांत्रिकी के अनुसार बल प्रकृति में कभी एकाकी नहीं उत्पन्न होता। बल दो पिण्डों के बीच पारस्परिक अन्योन्यक्रिया है। बल सदैव युग्मों में उत्पन्न होते हैं। इसके अतिरिक्त, दो पिण्डों के बीच पारस्परिक बल सदैव बराबर और विपरीत होते हैं। इस विचार को न्यूटन ने गति के तीसरे नियम के रूप में व्यक्त किया था।

प्रत्येक क्रिया के समान बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

न्यूटन का तीसरे नियम का शब्दों में इतना सुंदर और सटीक वर्णन है कि वह आम भाषा का हिस्सा बन गया है। शायद इसी कारण तीसरे नियम के बारे में भ्रांतियाँ भी बहुत हैं। आइए तीसरे नियम के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बिंदुओं को नोट करें, विशेष रूप से ‘एक्शन’ और ‘रिएक्शन’ शब्दों के प्रयोग के संदर्भ में।

1. तीसरे नियम में ‘एक्शन’ और ‘रिएक्शन’ शब्दों का अर्थ कुछ और नहीं बल्कि ‘बल’ ही है। एक ही भौतिक अवधारणा के लिए अलग-अलग शब्दों का प्रयोग कभी-कभी भ्रम पैदा कर सकता है। तीसरे नियम को सरल और स्पष्ट तरीके से इस प्रकार कहा जा सकता है:

बल हमेशा युग्मों में आते हैं। किसी वस्तु A पर वस्तु B द्वारा लगाया गया बल, वस्तु B पर वस्तु A द्वारा लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है।

2. तीसरे नियम में ‘एक्शन’ और ‘रिएक्शन’ शब्दों से यह गलत धारणा हो सकती है कि एक्शन पहले आता है और रिएक्शन बाद में, अर्थात् एक्शन कारण है और रिएक्शन प्रभाव। तीसरे नियम में कोई कारण-प्रभाव संबंध निहित नहीं है। A पर B द्वारा लगाया गया बल और B पर A द्वारा लगाया गया बल एक ही क्षण कार्य करते हैं। इसी तर्क से, इनमें से किसी एक को एक्शन और दूसरे को रिएक्शन कहा जा सकता है।

3. एक्शन और रिएक्शन के बल अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं, एक ही वस्तु पर नहीं। मान लीजिए A और B दो वस्तुएँ हैं। तीसरे नियम के अनुसार,

$\begin{aligned} & \quad \mathbf{F_{AB}}=-\mathbf{F_{BA}} \quad \quad & \text{(4.8)}\\ & (\text {A पर B द्वारा लगाया गया बल})=-\left(\text {B पर A द्वारा लगाया गया बल} \right) \end{aligned}$

इस प्रकार यदि हम किसी एक वस्तु (A या B) की गति पर विचार कर रहे हैं, तो दो बलों में से केवल एक ही प्रासंगिक है। दोनों बलों को जोड़कर यह कहना कि नेट बल शून्य है, एक त्रुटि होगी। यदि, हालांकि, आप दो वस्तुओं की संपूर्ण प्रणाली पर विचार कर रहे हैं, तो (\mathbf{F_{AB}}) और (\mathbf{F_{BA}}) प्रणाली (A + B) के आंतरिक बल हैं। ये युग्मों में परस्पर रद्द हो जाते हैं। किसी वस्तु या कणों की प्रणाली के आंतरिक बल युग्मों में परस्पर रद्द हो जाते हैं। यह एक महत्वपूर्ण तथ्य है जो द्वितीय नियम को किसी वस्तु या कणों की प्रणाली पर लागू करने योग्य बनाता है (अध्याय 6 देखें)।

उदाहरण 5.5 दो समान बिलियर्ड की गेंदें समान चाल से लेकिन भिन्न कोणों पर एक कठोर दीवार से टकराती हैं और बिना चाल में कोई परिवर्तन हुए परावर्तित होती हैं, जैसा कि आकृति 4.6 में दिखाया गया है। (i) प्रत्येक गेंद के कारण दीवार पर बल की दिशा क्या है? (ii) दीवार द्वारा गेंदों को दिए गए आवेगों के परिमाणों का अनुपात क्या है?

आकृति 4.6

उत्तर (i) के लिए एक सहज उत्तर यह हो सकता है कि प्रकरण (a) में दीवार पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत् है, जबकि प्रकरण (b) में वह बल अभिलंब से 30° झुका हुआ है। यह उत्तर गलत है। दोनों ही प्रकरणों में दीवार पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत् होता है। दीवार पर लगने वाला बल कैसे ज्ञात करें? चालाकी यह है कि दीवार के कारण गेंद पर लगने वाले बल (या आवेग) को द्वितीय नियम से विचारें, फिर तृतीय नियम से (i) का उत्तर दें। मान लीजिए प्रत्येक गेंद की दीवार से टक्कर से पहले और बाद की चाल u है, और प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान m है। चित्र में दिखाए अनुसार x और y अक्ष चुनें, और प्रत्येक प्रकरण में गेंद के संवेग में परिवर्तन पर विचार करें:

प्रकरण (a)

$$ \begin{aligned} & \left(p _{x}\right) _{\text {प्रारंभिक } 1}=m u \quad\left(p _{y}\right) _{\text {प्रारंभिक }}=0 \ & \left(p _{x}\right) _{\text {अंतिम }}=-m u \quad\left(p _{y}\right) _{\text {अंतिम }}=0 \end{aligned} $$

आवेग संवेग सदिश में परिवर्तन है। इसलिए,

$ \begin{aligned} & x \text {-घटक आवेग }=-2 m u \ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & y \text {-घटक आवेग }=0 \end{aligned} $

आवेग और बल एक ही दिशा में होते हैं। उपर्युक्त से स्पष्ट है कि दीवार के कारण गेंद पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत्, ऋणात्मक x-दिशा में है। न्यूटन के गति के तृतीय नियम से, गेंद के कारण दीवार पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत्, धनात्मक x-दिशा में है। बल का परिमाण निश्चित नहीं किया जा सकता क्योंकि टक्कर में लगने वाला लघु समय प्रश्न में दिया नहीं गया है।

केस (b)

$\begin{aligned} & \left(p _x\right) _{\text {प्रारंभिक}}=m u \cos 30^{\circ},\left(p _y\right) _{\text {प्रारंभिक}}=-m u \sin 30^{\circ} \end{aligned} $ $\begin{aligned} &\left(p _x\right) _{\text {अंतिम}}=-m u \cos 30^{\circ},\left(p _y\right) _{\text {अंतिम}}=-m u \sin 30^{\circ}\end{aligned}$

ध्यान दें, टक्कर के बाद $p_x$ चिह्न बदलता है, $p_y$ नहीं। इसलिए,

$x$-घटक आवेग $=-2 m u \cos 30$

$y$-घटक आवेग $=0$

आवेग (और बल) की दिशा (a) के समान है और दीवार के अनुदिश ऋणात्मक x दिशा में लंबवत है। पहले की तरह, न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए, गेंद के कारण दीवार पर बल दीवार के अनुदिश धनात्मक x दिशा में लंबवत है। (a) और (b) में गेंदों को दिए गए आवेगों की परिमाणों का अनुपात

$$ 2 m u /\left(2 m u \cos 30^{\circ}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.2 $$

4.7 संवेग का संरक्षण

दूसरा और तीसरा गति नियम एक महत्वपूर्ण परिणाम की ओर ले जाते हैं: संवेग संरक्षण का नियम। एक परिचित उदाहरण लीजिए। एक बंदूक से एक गोली चलाई जाती है। यदि बंदूक द्वारा गोली पर लगाया गया बल $\mathbf{F}$ है, तो गोली द्वारा बंदूक पर लगाया गया बल $-\mathbf{F}$ है, तीसरे नियम के अनुसार। दोनों बल एक समान समय अंतराल $\Delta t$ तक कार्य करते हैं। दूसरे नियम के अनुसार, $\mathbf{F} \Delta t$ गोली के संवेग में परिवर्तन है और $-\mathbf{F} \Delta t$ बंदूक के संवेग में परिवर्तन है। चूँकि प्रारंभ में दोनों विश्राम पर हैं, संवेग में परिवर्तन प्रत्येक के लिए अंतिम संवेग के बराबर होता है। इस प्रकार यदि $\mathbf{p_{b}}$ गोली का संवेग है तथा $\mathbf{p_{g}}$ बंदूक का प्रतिकर्षण संवेग है, तो $\mathbf{p_{g}}=-\mathbf{p_{b}}$ अर्थात् $\mathbf{p_b}+\mathbf{p_{g}}$ $=0$। अर्थात् (गोली + बंदूक) तंत्र का कुल संवेग संरक्षित रहता है।

इस प्रकार एक पृथक् तंत्र में (अर्थात् ऐसा तंत्र जिस पर कोई बाह्य बल नहीं है), तंत्र के भीतर कणों के युग्मों के बीच पारस्परिक बल व्यक्तिगत कणों में संवेग परिवर्तन उत्पन्न कर सकते हैं, किंतु चूँकि प्रत्येक युग्म के लिए पारस्परिक बल समान और विपरीत होते हैं, संवेग परिवर्तन युग्मों में निरस्त हो जाते हैं और कुल संवेग अपरिवर्तित रहता है। इस तथ्य को संवेग संरक्षण का नियम कहा जाता है:

परस्पर क्रिया करने वाले कणों के एक पृथक् तंत्र का कुल संवेग संरक्षित रहता है।

गति के संरक्षण के नियम के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण उदाहरण दो वस्तुओं की टक्कर है। दो वस्तुओं A और B पर विचार करें, जिनकी प्रारंभिक संवेग क्रमशः $\mathbf{p_{A}}$ और $\mathbf{p_{B}}$ हैं। वस्तुएं टकराती हैं, अलग हो जाती हैं, अंतिम संवेगों $\mathbf{p_{A}}^{\prime}$ और $\mathbf{p_{B}}^{\prime}$ के साथ क्रमशः। द्वितीय नियम द्वारा

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_{A B}} \Delta t=\mathbf{p_{A}}^{\prime}-\mathbf{p_{A}} \text { और } \ & \mathbf{F_{B A}} \Delta t=\mathbf{p_{B}}^{\prime}-\mathbf{p_{B}} \end{aligned} $$

(जहाँ हमने दोनों बलों के लिए समय का एक सामान्य अंतराल लिया है अर्थात् वह समय जिसके लिए दोनों वस्तुएं संपर्क में हैं।)

चूँकि $\mathbf{F_{A B}}=-\mathbf{F_{B A}}$ तृतीय नियम द्वारा,

$$ \begin{array}{l} \textbf{P}_{A}^{\prime} - \textbf{P}_A = - (\textbf{P}_B^{\prime} -\textbf{P}_B ) \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text{अर्थात्} \quad \quad \textbf{P}_{A}^{\prime} - \textbf{P}_B^\prime = - \textbf{P}_A -\textbf{P}_B \quad \quad \quad \text{(4.9)} \end{array} $$

जो दर्शाता है कि एकांकित प्रणाली का कुल अंतिम संवेग उसके प्रारंभिक संवेग के बराबर है। ध्यान दें कि यह सत्य है चाहे टक्कर प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ। प्रत्यास्थ टक्करों में, एक दूसरी शर्त होती है कि प्रणाली का कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा कुल अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है (अध्याय 5 देखें)।

4.8 कण की साम्यावस्था

यांत्रिकी में कण का साम्यावस्था (Equilibrium) उस स्थिति को कहते हैं जब कण पर कुल बाह्य बल शून्य होता है*। प्रथम नियम के अनुसार इसका अर्थ है कि कण या तो विराम में है या एकसमान गति में है।
यदि दो बल $\mathbf{F}_1$ और $\mathbf{F}_2$ कण पर कार्यरत हों, तो साम्यावस्था के लिए

$$ \mathbf{F}_1=-\mathbf{F}_2 \tag{4.10} $$

अर्थात् कण पर लगे दोनों बलों की मात्रा समान तथा दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए। तीन समवर्ती बलों $\textbf{F}_1, \textbf{F}_2$ और $\textbf{F}_3$ के अंतर्गत साम्यावस्था के लिए तीनों बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए।

$$ \textbf{F}_1+\textbf{F}_2+\textbf{F}_3=0 \tag{4.11} $$

आकृति 4.7 समवर्ती बलों के अंतर्गत साम्यावस्था।

अन्य शब्दों में, किन्हीं दो बलों—मान लीजिए $\mathbf{F}_1$ और $\mathbf{F}_2$—का परिणामी, जो बल-समान्तर चतुर्भुज नियम से प्राप्त होता है, तीसरे बल $\mathbf{F}_3$ के समान तथा विपरीत होना चाहिए। जैसा कि आकृति 4.7 में दिखाया गया है, साम्यावस्था में तीनों बलों को एक त्रिभुज की भुजाओं के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जिसमें सदिश तीरों की दिशाएँ एक ही क्रम में ली गई हैं। इस परिणाम को किसी भी संख्या के बलों के लिए व्यापक बनाया जा सकता है। एक कण बलों $\mathbf{F}_1$, $\mathbf{F}_2$, $\ldots \mathbf{F}_n$ के अंतर्गत तब साम्यावस्था में होता है, जब उन्हें एक बंद n-भुजीय बहुभुज की भुजाओं के रूप में, एक ही क्रम में तीरों के साथ, चित्रित किया जा सके।

समीकरण (4.11) से तात्पर्य है कि

$$ \begin{align*} & F_{1 x}+F_{2 x}+F_{3 x}=0 \\ & F_{1 y}+F_{2 y}+F_{3 y}=0 \\ & F_{1 z}+F_{2 z}+F_{3 z}=0 \tag{4.12} \end{align*} $$

जहाँ (F_{1 \mathrm{x}}, F_{1 \mathrm{y}}) और (F_{1 \mathrm{z}}) क्रमशः (F_{1}) के (x, y) और (z) दिशाओं में घटक हैं।

उदाहरण 4.6 देखें चित्र 4.8। 6 kg का एक द्रव्यमान 2 m लंबाई की रस्सी से छत से लटकाया गया है। रस्सी के मध्य बिंदु P पर क्षैतिज दिशा में 50 N का एक बल लगाया गया है, जैसा दिखाया गया है। साम्यावस्था में रस्सी ऊध्र्वाधर से कितना कोण बनाती है? (g = 10 m s⁻² लें)। रस्सी के द्रव्यमान को नगण्य मानें।

चित्र 4.8

उत्तर चित्र 4.8(b) और 4.8(c) को मुक्त-देह आरेख कहा जाता है। चित्र 4.8(b) W का मुक्त-देह आरेख है और चित्र 4.8(c) बिंदु P का मुक्त-देह आरेख है। द्रव्यमान W के साम्य पर विचार करें। स्पष्ट है, T₂ = 6 × 10 = 60 N। बिंदु P के साम्य पर विचार करें जो तीन बलों—तनाव T₁ और T₂, और क्षैतिज बल 50 N—के अधीन है। परिणामी बल के क्षैतिज और ऊध्र्वाधर घटकों का अलग-अलग शून्य होना चाहिए:

$$ \begin{aligned} & T _{1} \cos \theta=T _{2}=60 \mathrm{~N} \\ & T _{1} \sin \theta=50 \mathrm{~N} \\ & \therefore \tan \theta=\frac{5}{6} \text { जिससे प्राप्त होता है } \theta=\tan ^{-1} \frac{5}{6}=40^{\circ} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि उत्तर रस्सी की लंबाई (द्रव्यमानहीन मानी गई) पर निर्भर नहीं करता और न ही उस बिंदु पर निर्भर करता है जहाँ क्षैतिज बल लगाया गया है।

4.9 यांत्रिकी में सामान्य बल

यांत्रिकी में हम कई प्रकार के बलों का सामना करते हैं। गुरुत्वाकर्षण बल, निश्चित रूप से, सर्वव्यापी है। पृथ्वी पर प्रत्येक वस्तु पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करती है। गुरुत्वाकर्षण खगोलीय पिंडों की गति को भी नियंत्रित करता है। गुरुत्वाकर्षण बल किसी भी माध्यम की आवश्यकता के बिना दूरी पर कार्य कर सकता है।

सभी अन्य यांत्रिकी में प्रचलित बल संपर्क बल हैं।* जैसा कि नाम से स्पष्ट है, किसी वस्तु पर संपर्क बल किसी अन्य वस्तु—ठोस या द्रव—के संपर्क में आने के कारण उत्पन्न होता है। जब वस्तुएँ संपर्क में हों (उदाहरण के लिए कोई पुस्तक मेज़ पर रखी हो, या ठोस वस्तुओं की एक प्रणाली जो छड़ों, कुंडों और अन्य प्रकार के आधारों से जुड़ी हो), तो परस्पर संपर्क बल (प्रत्येक वस्तु युग्म के लिए) होते हैं जो तृतीय नियम को संतुष्ट करते हैं। संपर्कित सतहों के लम्बवत् संपर्क बल के घटक को अभिलम्ब प्रतिक्रिया कहा जाता है। सतहों के समानांतर घटक को घर्षण कहा जाता है। संपर्क बल तब भी उत्पन्न होते हैं जब ठोस वस्तुएँ द्रवों के संपर्क में हों। उदाहरण के लिए, किसी ठोस वस्तु के द्रव में डूबे होने पर एक ऊपर की ओर उत्प्लावन बल लगता है जो विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। श्यान बल, वायर प्रतिरोध आदि भी संपर्क बल के उदाहरण हैं (चित्र 4.9)।

दो अन्य सामान्य बल तार में तनाव और स्प्रिंग के कारण उत्पन्न बल हैं। जब कोई बाह्य बल स्प्रिंग को संपीड़ित या खींचता है, तो एक पुनःस्थापन बल उत्पन्न होता है। यह बल सामान्यतः संपीड़न या विस्तार के समानुपाती होता है (छोटे विस्थापनों के लिए)। स्प्रिंग बल $F$ को $F=-k x$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $x$ विस्थापन है और $k$ बल नियतांक है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि बल विस्थापन के विपरीत है अतिरिक्त लंबाई वाली स्थिति से। एक अविस्तार्य तार के लिए, बल नियतांक बहुत अधिक होता है। तार में पुनःस्थापन बल को तनाव कहा जाता है। यह परंपरा है कि पूरे तार में एक समान तनाव माना जाता है। यह मान्यता नगण्य द्रव्यमान वाले तार के लिए सत्य है।

हमने सीखा कि प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं। इनमें से कमजोर और मजबूत बल ऐसे क्षेत्रों में आते हैं जिनसे यहाँ हमारा कोई सरोकार नहीं है। केवल गुरुत्वाकर्षण और विद्युत बल ही यांत्रिकी के संदर्भ में प्रासंगिक हैं। ऊपर उल्लिखित यांत्रिकी के विभिन्न संपर्क बल मूलतः विद्युत बलों से उत्पन्न होते हैं। यह आश्चर्यजनक लग सकता है क्योंकि हम यांत्रिकी में अनावेशित और अचुंबकीय पिंडों की बात कर रहे हैं। सूक्ष्म स्तर पर, सभी पिंड आवेशित घटकों (नाभिक और इलेक्ट्रॉनों) से बने होते हैं और पिंडों की लोच, आणविक टक्करों और प्रभावों आदि के कारण उत्पन्न होने वाले विभिन्न संपर्क बल अंततः विभिन्न पिंडों के आवेशित घटकों के बीच के विद्युत बलों पर आधारित होते हैं। इन बलों की विस्तृत सूक्ष्म उत्पत्ति हालांकि जटिल है और स्थूल स्तर पर यांत्रिकी की समस्याओं को हल करने में उपयोगी नहीं है। यही कारण है कि इन्हें अलग-अलग प्रकार के बलों के रूप में माना जाता है जिनकी विशेषताएँ प्रायोगिक रूप से निर्धारित की गई हैं।

चित्र 4.9 यांत्रिकी में संपर्क बलों के कुछ उदाहरण।

4.9.1 घर्षण

आइए हम उस उदाहरण पर लौटते हैं जहाँ द्रव्यमान $m$ का एक पिण्ड क्षैतिज मेज़ पर विश्रामावस्था में है। गुरुत्वाकर्षण बल $(m g)$ मेज़ की अभिलंब प्रतिक्रिया बल $(N)$ द्वारा रद्द हो जाता है। अब मान लीजिए पिण्ड पर एक बल $F$ क्षैतिज रूप से लगाया जाता है। हम अनुभव से जानते हैं कि एक छोटा लगाया गया बल पिण्ड को हिलाने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता। लेकिन यदि लगाया गया बल $F$ पिण्ड पर एकमात्र बाह्य बल होता, तो यह चाहे जितना छोटा हो, त्वरण $F / m$ के साथ अवश्य गति करता। स्पष्ट है कि पिण्ड विश्रामावस्था में इसलिए रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई अन्य बल कार्य करता है और लगाए गए बल $F$ का विरोध करता है, जिससे पिण्ड पर निवल बल शून्य हो जाता है। यह बल $f_{\mathrm{s}}$, जो पिण्ड की सतह के समानांतर और मेज़ के संपर्क में कार्य करता है, घर्षण बल, या सरलतः घर्षण (Fig. 4.10(a)) कहलाता है। उपसर्ग ’s’ स्थिर घर्षण को गतिशील घर्षण $f_{k}$ से भिन्न करने के लिए है, जिस पर हम बाद में विचार करेंगे (Fig. 4.10(b))। ध्यान दीजिए कि स्थिर घर्षण स्वयं में अस्तित्व नहीं रखता। जब कोई बाह्य बल नहीं लगाया जाता, तब कोई स्थिर घर्षण नहीं होता। यह तब कार्य करना प्रारंभ करता है जब कोई बाह्य बल लगाया जाता है। जैसे-जैसे लगाया गया बल $F$ बढ़ता है, $f_{s}$ भी बढ़ता है, लगाए गए बल के बराबर और विपरीत (एक निश्चित सीमा तक) रहता है, और पिण्ड को विश्रामावस्था में रखता है। इसीलिए इसे स्थिर घर्षण कहा जाता है। स्थिर घर्षण आगामी गति का विरोध करता है। आगामी गति से तात्पर्य ऐसी गति से है जो लगाए गए बल के अंतर्गत घटित होती (लेकिन वास्तव में नहीं होती), यदि घर्षण अनुपस्थित होता।

चित्र 4.10 स्थिर और स्लाइडिंग घर्षण: (a) शरीर की आसन्न गति को स्थिर घर्षण द्वारा विरोधित किया जाता है। जब बाह्य बल स्थिर घर्षण की अधिकतम सीमा से अधिक हो जाता है, तो शरीर गति करना शुरू करता है। (b) एक बार शरीर गति में आ जाने पर, यह स्लाइडिंग या गतिशील घर्षण के अधीन होता है जो संपर्क में आने वाली दो सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है। गतिशील घर्षण आमतौर पर स्थिर घर्षण के अधिकतम मान से कम होता है।

हम अनुभव से जानते हैं कि जैसे ही आरोपित बल एक निश्चित सीमा से अधिक हो जाता है, शरीर गति करना शुरू कर देता है। प्रयोगात्मक रूप से यह पाया गया है कि स्थिर घर्षण $\left(f_{s}\right)_{\text {max }}$ की सीमित मान संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है और सामान्य बल $(N)$ के साथ लगभग इस प्रकार विचरण करता है:

$$(f_s)_{\text{max}} = \mu_sN \tag{4.143}$$

जहां $\mu_{\mathrm{s}}$ अनुपात स्थिरांक है जो केवल संपर्क में आने वाली सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है। स्थिरांक $\mu_{\mathrm{s}}$ को स्थिर घर्षण गुणांक कहा जाता है। इस प्रकार स्थिर घर्षण का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} f_{s} \leq \mu_{s} N \tag{4.14} \end{equation*} $$

यदि आरोपित बल $F$, $(f_s)_{\text{max}}$ से अधिक हो जाता है तो शरीर सतह पर स्लाइड करना शुरू कर देता है।

प्रयोगों से पाया गया है कि जब सापेक्ष गति प्रारंभ हो जाती है, तो घर्षण बल स्थिर अधिकतम मान $\left(f_{s}\right)_{\max }$ से घट जाता है। घर्षण बल जो संपर्क में आई सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है, उसे गतिशील या स्कidding घर्षण कहा जाता है और इसे $\mathbf{f}_k$ द्वारा दर्शाया जाता है। गतिशील घर्षण, स्थिर घर्षण की तरह, संपर्क क्षेत्रफल से स्वतंत्र पाया गया है। इसके अतिरिक्त, यह वेग से लगभग स्वतंत्र होता है। यह स्थिर घर्षण के समान एक नियम को संतुष्ट करता है:

$$ \mathbf{f}_{\mathrm{k}}=\mu_k \mathbf{N} \tag{4.15} $$

जहाँ $\mu_{k^{\prime}}$ गतिशील घर्षण गुणांक, केवल संपर्क में आई सतहों पर निर्भर करता है। जैसा ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रयोगों से पता चलता है कि $\mu_{k}$ $\mu_{\mathrm{s}}$ से कम होता है। जब सापेक्ष गति प्रारंभ हो जाती है, तो द्वितीय नियम के अनुसार पिण्ड का त्वरण $\left(F-f_{k}\right) / m$ होता है। एक पिण्ड जो नियत वेग से गति कर रहा है, के लिए $F=f_{k}$। यदि पिण्ड पर आरोपित बल हटा दिया जाता है, तो इसका त्वरण $-f_{k} / m$ होता है और यह अंततः रुक जाता है।

ऊपर दिए गए घर्षण के नियमों की स्थिति गुरुत्वाकर्षण, विद्युत और चुंबकीय बलों के नियमों जैसी मौलिक नियमों की नहीं है। ये प्रयोगसिद्ध संबंध हैं जो केवल सन्निकट रूप से सत्य हैं। फिर भी ये यांत्रिकी में व्यावहारिक गणनाओं में बहुत उपयोगी हैं।

इस प्रकार, जब दो वस्तुएँ संपर्क में होती हैं, तो प्रत्येक दूसरे द्वारा एक संपर्क बल अनुभव करती है। घर्षण, परिभाषा के अनुसार, संपर्क बल का वह घटक है जो संपर्क में आई सतहों के समानांतर होता है और दोनों सतहों के बीच आगामी या वास्तविक सापेक्ष गति का विरोध करता है। ध्यान दें कि यह गति नहीं, बल्कि सापेक्ष गति है जिसका घर्षण बल विरोध करता है। एक डिब्बे में पड़े डिब्बे पर विचार करें जो तेजी से चल रही ट्रेन में है। यदि डिब्बा ट्रेन के सापेक्ष स्थिर है, तो वास्तव में यह ट्रेन के साथ तेजी से गति कर रहा है। डिब्बे के त्वरण का कारण बनने वाले बल कौन से हैं? स्पष्ट रूप से, क्षैतिज दिशा में केवल कल्पनीय बल घर्षण बल है। यदि कोई घर्षण न होता, तो ट्रेन की फर्श फिसल जाती और डिब्बा जड़त्व के कारण अपनी प्रारंभिक स्थिति पर बना रहता (और ट्रेन के पिछले हिस्से से टकराता)। यह आगामी सापेक्ष गति स्थिर घर्षण $f_{s}$ द्वारा विरोधित होती है। स्थिर घर्षण डिब्बे को ट्रेन के समान त्वरण प्रदान करता है, जिससे वह ट्रेन के सापेक्ष स्थिर बना रहता है।

उदाहरण 4.7 उस ट्रेन का अधिकतम त्वरण निर्धारित कीजिए जिसमें फर्श पर पड़ा डिब्बा स्थिर बना रहेगा, यह दिया गया है कि डिब्बे और ट्रेन की फर्श के बीच स्थिर घर्षण गुणांक 0.15 है।

उत्तर चूँकि डिब्बे का त्वरण स्थिर घर्षण के कारण होता है,

$$ \begin{aligned} \quad m a & =f_{s} \leq \mu_{s} N=\mu_{s} m g \ \text { अर्थात् } \quad a & \leq \mu_{s} g \ \therefore a_{\text {अधिकतम }} & =\mu_{s} g=0.15 \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \ & =1.5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \end{aligned} $$

उदाहरण 4.8 चित्र 4.11 देखें। 4 kg का एक द्रव्यमान क्षैतिज तल पर स्थित है। तल को धीरे-धीरे झुकाया जाता है जब तक कि यह क्षैतिज से $\theta=15^{\circ}$ का कोण बनाता है, तब द्रव्यमान सिर्फ सरकना प्रारम्भ करता है। खंड और सतह के बीच स्थिर घर्षण गुणांक क्या है?

उत्तर एक झुके हुए तल पर विरामावस्था में रखे द्रव्यमान $m$ पर कार्य कर रहे बल हैं: (i) भार $\mathrm{mg}$ ऊध्र्वाधर नीचे की ओर, (ii) तल द्वारा खंड पर लगाया गया अभिलंब बल $N$, और (iii) आगामी गति का विरोध करने वाला स्थिर घर्षण बल $f_{s}$। संतुलन में इन बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए। भार $\mathrm{mg}$ को दिखाए गए दो दिशाओं में विघटित करने पर हमें मिलता है

$$ m g \sin \theta=f_{s}, \quad m g \cos \theta=N $$

जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है, स्व-समायोजित घर्षण बल $f_{s}$ बढ़ता है जब तक कि $\theta=\theta_{\text {अधिकतम }}$ पर, $f_{s}$ अपना अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है, $\left(f _{s}\right) _{\text {अधिकतम }}=\mu _{s} N$।

इसलिए,

$$ \tan \theta_{\text {अधिकतम }}=\mu_{\mathrm{s}} \text{ या } \theta_{\text {अधिकतम }}=\tan ^{-1} \mu_{\mathrm{s}} $$

जब $\theta$ थोड़ा-सा $\theta_{\max }$ से अधिक हो जाता है, तो ब्लॉक पर एक छोटा नेट बल आता है और वह स्लाइड करने लगता है। ध्यान दें कि $\theta_{\max }$ केवल $\mu_{s}$ पर निर्भर करता है और ब्लॉक के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

$$ \begin{aligned} \text { के लिए } & \theta _{\text {max }}=15^{\circ} \\ & \begin{aligned} & \mu _{\mathrm{s}}=\tan 15^{\circ} \\ &=0.27 \end{aligned} \end{aligned} $$

उदाहरण 4.9 ब्लॉक और ट्रॉली प्रणाली का त्वरण क्या है जैसा कि चित्र 4.12(a) में दिखाया गया है, यदि ट्रॉली और सतह के बीच गतिश घर्षण गुणांक 0.04 है? डोरी में तनाव कितना है? ($\mathrm{g}=$ $10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$) लीजिए। डोरी के द्रव्यमान को नगण्य मानिए।

चित्र 4.12

उत्तर चूँकि डोरी अविस्तारीय है और पुल्ली चिकनी है, $3 \mathrm{~kg}$ ब्लॉक और $20 \mathrm{~kg}$ ट्रॉली दोनों का त्वरण समान परिमाण का है। ब्लॉक की गति पर द्वितीय नियम लगाने पर (चित्र 4.12(b)),

$$ 30-T=3 a $$

ट्रॉली की गति पर द्वितीय नियम लगाने पर (चित्र $4.12(\mathrm{c})$ ),

$$ \begin{aligned} & \text { अब } \quad T-f_{\mathrm{k}}=20 a . \\ & \text { यहाँ } \quad \mu_{k}=0.04 \text {, } \\ & N=20 \times 10 \\ & =200 \mathrm{~N} \end{aligned} $$

इस प्रकार ट्रॉली की गति के लिए समीकरण है $T-0.04 \times 200=20 a \quad$ या $T-8=20 a$.

ये समीकरण देते हैं $a=\frac{22}{23} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=0.96 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ और $T=27.1 \mathrm{~N}$।

रोलिंग घर्षण

एक वलय या गोला जैसा पिण्ड किसी क्षैतिज तल पर बिना फिसले लुढ़क रहा हो, तो सिद्धांततः उस पर कोई घर्षण नहीं लगता। हर क्षण पिण्ड और तल के बीच केवल एक ही स्पर्श-बिन्दु होता है और यह बिन्दु तल के सापेक्ष विराम में होता है। इस आदर्श स्थिति में गतिशील या स्थैतिक घर्षण शून्य होता है और पिण्ड निरन्तर वेग से लुढ़कता रहना चाहिए। पर हम जानते हैं कि व्यवहार में ऐसा नहीं होता और गति का कुछ प्रतिरोध (रोलिंग घर्षण) अवश्य होता है, अर्थात् पिण्ड को लुढ़कते रखने के लिए किसी बाह्य बल की आवश्यकता होती है। समान भार के लिए रोलिंग घर्षण स्थैतिक या स्कidding घर्षण से बहुत कम होता है (कभी-कभी 2 या 3 कोटि तक)। यही कारण है कि पहिये की खोज मानव इतिहास में एक प्रमुख मोड़ रही है।

रोलिंग घर्षण का उद्भव भी जटिल है, यद्यपि यह स्थैतिक और स्कidding घर्षण से कुछ भिन्न है। लुढ़कते समय स्पर्श में आने वाली सतहें क्षणिक रूप से थोड़ी-सी विकृत हो जाती हैं, जिससे पिण्ड की एक सीमित सतह (न कि केवल एक बिन्दु) तल के साथ स्पर्श में आती है। इसका कुल प्रभाव यह होता है कि सतह के समानान्तर घर्षण-बल का घटक गति का विरोध करता है।

हम अक्सर घर्षण को किसी अवांछित चीज़ के रूप में देखते हैं। कई परिस्थितियों में, जैसे किसी मशीन के विभिन्न चलते हुए भागों में, घर्षण की भूमिका नकारात्मक होती है। यह सापेक्ष गति का विरोध करता है और इस प्रकार ऊष्मा आदि के रूप में ऊर्जा को अपव्ययित करता है। स्नेहक (लुब्रिकेंट) किसी मशीन में गतिज घर्षण को कम करने का एक तरीका है। एक अन्य तरीका मशीन के दो चलते हुए भागों के बीच बॉल बेयरिंग्स का प्रयोग करना है [चित्र 4.13(a)]। चूँकि बॉल बेयरिंग्स और संपर्क में आने वाली सतहों के बीच लोटन घर्षण बहुत कम होता है, अतः ऊर्जा का अपव्यय घट जाता है। सापेक्ष गति में रही ठोस सतहों के बीच हवा की एक पतली परत बनाए रखना घर्षण को कम करने का एक अन्य प्रभावी तरीका है (चित्र 4.13(a))।

कई व्यावहारिक परिस्थितियों में, फिर भी, घर्षण अत्यावश्यक होता है। गतिज घर्षण, जो ऊर्जा को अपव्ययित करता है, फिर भी सापेक्ष गति को शीघ्र रोकने के लिए महत्वपूर्ण है। मशीनों और ऑटोमोबाइलों में ब्रेक इसका उपयोग करते हैं। इसी प्रकार, स्थिर घर्षण दैनिक जीवन में महत्वपूर्ण है। हम घर्षण के कारण ही चल पाते हैं। एक कार का बहुत फिसलन भरी सड़क पर चलना असंभव है। एक सामान्य सड़क पर, टायरों और सड़क के बीच का घर्षण कार को त्वरित करने के लिए आवश्यक बाह्य बल प्रदान करता है।

चित्र 4.13 घर्षण को कम करने के कुछ तरीके। (a) मशीन के चलते हुए भागों के बीच रखे गए बॉल बेयरिंग्स। (b) सापेक्ष गति में रही सतहों के बीच संपीड़ित हवा की परत।

4.10 वृत्तीय गति

हमने अध्याय 4 में देखा है कि त्रिज्या $R$ के वृत्त में एकसमान चाल $V$ से घूमते हुए किसी वस्तु का त्वरण $v^{2} / R$ होता है, जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है। द्वितीय नियम के अनुसार, इस त्वरण को प्रदान करने वाला बल $f$ है:

$$ \begin{equation*} f_{c}=\frac{m v^{2}}{R} \tag{4.16} \end{equation*} $$

जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है। केंद्र की ओर निर्देशित यह बल केंद्रापसारी बल कहलाता है। किसी पत्थर को रस्सी से वृत्त में घुमाने पर केंद्रापसारी बल रस्सी में लगने वाले तन द्वारा प्रदान किया जाता है। किसी ग्रह की सूर्य के चारों ओर गति के लिए केंद्रापसारी बल सूर्य के कारण ग्रह पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है। किसी कार के क्षैतिज सड़क पर वृत्तीय मोड़ लेने पर केंद्रापसारी बल घर्षण बल होता है।

समतल और झुकी हुई सड़क पर कार का वृत्तीय गति गति के नियमों का रोचक अनुप्रयोग देता है।

आकृति 4.14 कार का (a) समतल सड़क पर, (b) झुकी हुई सड़क पर वृत्तीय गति।

समतल सड़क पर कार की गति

कार पर तीन बल कार्य करते हैं (आकृति 4.14(a)):

(i) कार का भार, $m g$

(ii) प्रतिक्रिया बल, $N$

(iii) घर्षण बल, $f$

चूँकि ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई त्वरण नहीं है

$$ \begin{align*} N-m g & = 0 \\ N & = m g \tag{4.17} \end{align*} $$

वृत्तीय गति के लिए आवश्यक केन्द्रापसारक बल सड़क की सतह के अनुदिश होता है, और यह सड़क तथा कार के टायरों के बीच के संपर्क बल के सतह के अनुदिश घटक द्वारा प्रदान किया जाता है। परिभाषा के अनुसार यह घर्षण बल है। ध्यान दें कि यह स्थिर घर्षण ही केन्द्रापसारी त्वरण प्रदान करता है। स्थिर घर्षण वृत्त से दूर जाने वाली कार की आसन्न गति का विरोध करता है। समीकरण (4.14) और (4.16) का प्रयोग कर हम परिणाम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & f=\frac{m v^{2}}{R} \leq \mu_{s} N \ & v^{2} \leq \frac{\mu_{s} R N}{m}=\mu_{s} R g \quad \quad[\because N=m g] \end{aligned} $$

जो कार के द्रव्यमान से स्वतंत्र है। यह दर्शाता है कि $\mu_{\mathrm{s}}$ और $R$ के एक दिए मान के लिए, कार की वृत्तीय गति की एक अधिकतम चाल संभव है, अर्थात्

$$v_{\text {max }}=\sqrt{\mu_{s} R g}\tag{4.18}$$

झुकी हुई सड़क पर कार की गति

हम कार की वृत्तीय गति में घर्षण के योगदान को कम कर सकते हैं यदि सड़क झुकी हुई हो (चित्र 4.14(b))। चूँकि ऊध्र्वाधर दिशा में कोई त्वरण नहीं है, इस दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए। अतः,

$$N \cos \theta=m g+f \sin \theta \tag{4.19a}$$

केन्द्रापसारक बल $N$ और $f$ के क्षैतिज घटकों द्वारा प्रदान किया जाता है।

$$N \sin \theta+f \cos \theta=\frac{m v^{2}}{R} \tag{4.19b}$$ \

परन्तु $f \leq \mu_{s} N$

इस प्रकार $v_{\text {max }}$ प्राप्त करने के लिए हम $f=\mu_{s} N$ रखते हैं।

तब समीकरण (4.19a) और (4.19b) बन जाते हैं

$$N \cos \theta=m g+\mu_{s} N \sin \theta \tag{4.20a}$$

$$N \sin \theta+\mu_{\mathrm{s}} N \cos \theta=m v^{2} / R \tag{4.20b}$$

समीकरण (4.20a) से हम प्राप्त करते हैं $$ N=\frac{m g}{\cos \theta-\mu_{s} \sin \theta} $$

समीकरण (4.20b) में $N$ का मान रखने पर हम पाते हैं

$\frac{m g\left(\sin \theta+\mu_{s} \cos \theta\right)}{\cos \theta-\mu_{s} \sin \theta}=\frac{m v_{\max }^{2}}{R}$

या $v_{\max }=R g{\frac{\mu_{s}+\tan \theta}{1-\mu_{s} \tan \theta}}^{\frac{1}{2}}$

इसे समीकरण (4.18) से तुलना करने पर हम देखते हैं कि बैंक वाली सड़क पर कार की अधिकतम संभावित गति समतल सड़क की तुलना में अधिक होती है। समीकरण (4.21) में $\quad \mu_{\mathrm{s}}=O$ रखने पर,

$$ \begin{equation*} v_{\mathrm{o}}=(R g \tan \theta)^{1 / 2} \tag{4.22} \end{equation*} $$

इस गति पर, आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करने के लिए घर्षण बल की आवश्यकता बिल्कुल भी नहीं होती है। बैंक वाली सड़क पर इस गति से चलने से टायरों का बहुत कम घिसाव होगा। यही समीकरण यह भी बताता है कि $v<v_{o}$ के लिए घर्षण बल ढलान की ओर ऊपर होगा और यह कि कार तभी पार्क की जा सकती है जब $\tan \theta \leq \mu_{\mathrm{s}}$ हो।

उदाहरण 4.10 एक साइकिल चालक समतल सड़क पर $18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ की गति से चल रहा है और बिना गति घटाए त्रिज्या $3 \mathrm{~m}$ का एक तेज वृत्तीय मोड़ लेता है। टायरों और सड़क के बीच स्थिर घर्षण का गुणांक 0.1 है। क्या साइकिल चालक मोड़ लेते समय फिसलेगा?

उत्तर एक अनबैंक सड़क पर, घर्षण बल अकेले ही केंद्रापसारक बल प्रदान कर सकता है जो साइकिल चालक को बिना फिसले एक वृत्तीय मोड़ पर चलते रहने के लिए आवश्यक है। यदि चाल बहुत अधिक है, या यदि मोड़ बहुत तेज है (अर्थात बहुत कम त्रिज्या का है) या दोनों, तो घर्षण बल आवश्यक केंद्रापसारक बल प्रदान करने के लिए पर्याप्त नहीं होता है, और साइकिल चालक फिसल जाता है। साइकिल चालक के न फिसलने की स्थिति समीकरण (4.18) द्वारा दी गई है:

$$ v^{2} \leq \mu_{s} R g $$

अब, $R=3 \mathrm{~m}, g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \mu_{\mathrm{s}}=0.1$। अर्थात्, $\mu_{\mathrm{s}} R g=2.94 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2} . v=18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$; अर्थात्, $v^{2}=25 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}$। स्थिति का पालन नहीं होता है। साइकिल चालक वृत्तीय मोड़ लेते समय फिसल जाएगा।

उदाहरण 4.11 300 m त्रिज्या का एक वृत्तीय रेस ट्रैक 15° कोण पर बैंक किया गया है। यदि एक रेस-कार के पहियों और सड़क के बीच घर्षण गुणांक 0.2 है, तो (a) उसकी टायरों के टूट-फूट से बचने के लिए रेसकार की इष्टतम चाल क्या है, और (b) फिसलने से बचने के लिए अधिकतम अनुमत चाल क्या है?

उत्तर एक बैंक वाली सड़क पर, नॉर्मल बल का क्षैतिज घटक और घर्षण बल मिलकर केंद्रापसारक बल प्रदान करते हैं ताकि कार बिना फिसले वृत्ताकार मोड़ पर चलती रहे। इष्टतम चाल पर, नॉर्मल प्रतिक्रिया का घटक आवश्यक केंद्रापसारक बल प्रदान करने के लिए पर्याप्त होता है, और घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है। इष्टतम चाल $v_{o}$ समीकरण (4.22) द्वारा दी गई है:

$$ v_{O}=(R g \tan \theta)^{1 / 2} $$

यहाँ $R=300 \mathrm{~m}, \theta=15^{\circ}, g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$; हमें मिलता है

$$ v_{O}=28.1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

अधिकतम अनुमत चाल $v_{\max }$ समीकरण (4.21) द्वारा दी गई है:

$$ v_{\max }=\left(R g \frac{\mu_{s}+\tan \theta}{1-\mu_{s} \tan \theta}\right)^{1 / 2}=38.1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

4.11 यांत्रिकी में समस्याओं को हल करना

इस अध्याय में आपने जो गति के तीन नियम सीखे हैं, वे यांत्रिकी की नींव हैं। अब आप यांत्रिकी की विभिन्न समस्याओं को हल करने में सक्षम होने चाहिए। यांत्रिकी की एक विशिष्ट समस्या आमतौर पर केवल एक पिंड पर दी गई बलों की क्रिया को नहीं दर्शाती। अधिक बार, हमें एक-दूसरे पर बल लगाने वाले विभिन्न पिंडों के समूह पर विचार करना होगा। इसके अतिरिक्त, समूह में प्रत्येक पिंड गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करता है। जब इस प्रकार की समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं, तो यह तथ्य याद रखना उपयोगी होता है कि हम समूह के किसी भी भाग को चुन सकते हैं और गति के नियमों को उस भाग पर लागू कर सकते हैं, बशर्ते हम चुने गए भाग पर समूह के शेष भागों द्वारा लगाए गए सभी बलों को शामिल करें। हम समूह के चुने गए भाग को ‘प्रणाली’ कह सकते हैं और समूह के शेष भाग (बलों के अन्य स्रोतों सहित) को ‘परिवेश’ कह सकते हैं। हमने हल किए गए उदाहरणों में भी यही विधि अपनाई है। यांत्रिकी की एक विशिष्ट समस्या को क्रमबद्ध तरीके से हल करने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग करना चाहिए:

(i) एक आरेख बनाएं जो पिंडों के समूह के विभिन्न भागों, लिंकों, सहारों आदि को आरेखात्मक रूप से दिखाए।

(ii) समूह के एक सुविधाजनक भाग को एक प्रणाली के रूप में चुनें।

(iii) एक अलग आरेख बनाइए जो इस प्रणाली को और विधान के शेष भाग द्वारा प्रणाली पर लगने वाले सभी बलों को दिखाता हो। अन्य एजेंसियों द्वारा प्रणाली पर लगने वाले बलों को भी शामिल कीजिए। प्रणाली द्वारा पर्यावरण पर लगने वाले बलों को शामिल न कीजिए। इस प्रकार के आरेख को ‘मुक्त-वस्तु आरेख’ कहा जाता है। (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि विचाराधीन प्रणाली पर कोई निवल बल नहीं है)।

(iv) मुक्त-वस्तु आरेख में, बलों के बारे में जानकारी शामिल कीजिए (उनके परिमाण और दिशाएँ) जो या तो दिए गए हैं या आप निश्चित हैं (जैसे कि डोरी में तनाव की दिशा उसकी लंबाई के अनुदाह)। शेष को अज्ञात के रूप में माना जाना चाहिए, जिन्हें गति के नियमों का प्रयोग करके निर्धारित किया जाएगा।

(v) यदि आवश्यक हो, तो प्रणाली के किसी अन्य चयन के लिए भी वही प्रक्रिया अपनाइए। ऐसा करते समय न्यूटन का तृतीय नियम प्रयोग कीजिए। अर्थात्, यदि A के मुक्त-वस्तु आरेख में B के कारण A पर लगने वाला बल F के रूप में दिखाया गया है, तो B के मुक्त-वस्तु आरेख में A के कारण B पर लगने वाला बल –F के रूप में दिखाया जाना चाहिए।

निम्नलिखित उदाहरण उपरोक्त प्रक्रिया को स्पष्ट करता है :

उदाहरण 4.12 देखिए चित्र 4.15। 2 kg द्रव्यमान की एक लकड़ी की ब्लॉक एक नरम क्षैतिज फर्श पर विश्राम करती है। जब ब्लॉक के ऊपर 25 kg द्रव्यमान का एक लोहे का सिलेंडर रखा जाता है, तो फर्श धीरे-धीरे दब जाता है और ब्लॉक तथा सिलेंडर मिलकर 0.1 m s⁻² के त्वरण से नीचे जाते हैं। फर्श पर ब्लॉक की क्रिया (a) पहले और (b) फर्श दबने के बाद क्या है? g = 10 m s⁻² लीजिए। समस्या में क्रिया-प्रतिक्रिया युगलों की पहचान कीजिए।

उत्तर

(a) ब्लॉक फर्श पर विश्राम कर रही है। इसका मुक्त-देह आरेख ब्लॉक पर दो बल दिखाता है, पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण का बल जो 2 × 10 = 20 N है; और फर्श द्वारा ब्लॉक पर लगा अभिलंब बल R। प्रथम नियम से ब्लॉक पर कुल बल शून्य होना चाहिए अर्थात् R = 20 N। तृतीय नियम का प्रयोग कर ब्लॉक की क्रिया (अर्थात् ब्लॉक द्वारा फर्श पर लगाया गया बल) 20 N के बराबर है और ऊध्र्वाधर नीचे की ओर निर्देशित है।

(b) निकाय (ब्लॉक + सिलेंडर) 0.1 m s⁻² के त्वरण से नीचे की ओर त्वरित होता है। निकाय का मुक्त-देह आरेख निकाय पर दो बल दिखाता है : पृथ्वी द्वारा गुरुत्व बल (270 N); और फर्श द्वारा लगा अभिलंब बल R′। ध्यान दीजिए, निकाय का मुक्त-देह आरेख ब्लॉक और सिलेंडर के बीच के आंतरिक बल नहीं दिखाता। निकाय पर द्वितीय नियम लगाने पर,

$$ \begin{gathered} 270-R^{\prime}=27 \quad 0.1 \mathrm{~N} \\ \text { अर्थात् } R^{\prime}=267.3 \mathrm{~N} \end{gathered} $$

आकृति 4.15

तीसरे नियम द्वारा, फर्श पर तंत्र द्वारा क्रिया $267.3 \mathrm{~N}$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर बराबर है।

क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म

(a) के लिए: (i) गुरुत्वाकर्षण का बल ($20 \mathrm{~N}$) पृथ्वी द्वारा ब्लॉक पर (मान लीजिए, क्रिया); पृथ्वी पर ब्लॉक द्वारा गुरुत्वाकर्षण का बल (प्रतिक्रिया) $20 \mathrm{~N}$ के बराबर ऊपर की ओर निर्देशित (आकृति में नहीं दिखाया गया है)।

(ii) ब्लॉक द्वारा फर्श पर बल (क्रिया); फर्श द्वारा ब्लॉक पर बल (प्रतिक्रिया)।

(b) के लिए: (i) गुरुत्वाकर्षण का बल $(270 \mathrm{~N})$ पृथ्वी द्वारा तंत्र पर (मान लीजिए, क्रिया); पृथ्वी पर तंत्र द्वारा गुरुत्वाकर्षण का बल (प्रतिक्रिया), $270 \mathrm{~N}$ के बराबर, ऊपर की ओर निर्देशित (आकृति में नहीं दिखाया गया है)।

(ii) तंत्र द्वारा फर्श पर बल (क्रिया); फर्श द्वारा तंत्र पर बल (प्रतिक्रिया)। इसके अतिरिक्त, (b) के लिए, ब्लॉक द्वारा सिलेंडर पर बल और सिलेंडर द्वारा ब्लॉक पर बल भी एक क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म बनाते हैं।

याद रखने वाली महत्वपूर्ण बात यह है कि क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म दो वस्तुओं के बीच सदैव बराबर और विपरीत आपसी बलों से बना होता है। एक ही वस्तु पर लगे दो बल जो संयोगवश बराबर और विपरीत हों, कभी भी क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म नहीं बन सकते। (a) या (b) में द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल और फर्श द्वारा द्रव्यमान पर लगाया गया अभिलंब बल क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म नहीं हैं। ये बल (a) के लिए इसलिए बराबर और विपरीत हैं क्योंकि द्रव्यमान विराम में है। वे (b) के लिए ऐसे नहीं हैं, जैसा पहले ही देखा गया है। तंत्र का भार $270 \mathrm{~N}$ है, जबकि अभिलंब बल $R^{\prime}$ का मान $267.3 \mathrm{~N}$ है।

मुक्त-वस्तु आरेख बनाने की प्रथा यांत्रिकी की समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होती है। यह आपको आपके तंत्र को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने और उन सभी बलों पर विचार करने की अनुमति देता है जो तंत्र पर उन वस्तुओं द्वारा लगते हैं जो स्वयं तंत्र का भाग नहीं हैं। इस और आगामी अध्यायों में कई अभ्यास आपको इस प्रथा को विकसित करने में मदद करेंगे।

सारांश

1. अरस्तू का दृष्टिकोण कि एक वस्तु को समान वेग से गति में रखने के लिए बल आवश्यक है, गलत है। व्यवहार में घर्षण के विरोधी बल को प्रतिरोधित करने के लिए बल आवश्यक होता है।

2. गैलीलियो ने झुकी हुई सतहों पर वस्तुओं की गति के सरल प्रेक्षणों को बढ़ाकर जड़ता के नियम तक पहुँचे। न्यूटन का प्रथम गति नियम उसी नियम का पुनः-वर्णन है: “प्रत्येक वस्तु विश्राम की अवस्था या सरल रेखा में एकसमान गति की अवस्था में बनी रहती है, जब तक कि किसी बाह्य बल द्वारा उसे अन्यथा व्यवहार करने के लिए विवश न किया जाए।” सरल शब्दों में, प्रथम नियम है “यदि किसी वस्तु पर बाह्य बल शून्य है, तो उसका त्वरण शून्य है”।

3. किसी वस्तु का संवेग (p) उसके द्रव्यमान $(m)$ और वेग $(\mathbf{v})$ का गुणनफल है:

$$ \mathbf{p}=m \mathbf{v} $$

4. न्यूटन का द्वितीय गति नियम:

किसी वस्तु के संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के अनुकूल होती है और उस दिशा में होती है जिसमें बल कार्य करता है। इस प्रकार

$$ \mathbf{F}=k \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=k m \mathbf{a} $$

जहाँ $\mathbf{F}$ वस्तु पर कुल बाह्य बल है और $\mathbf{a}$ उसका त्वरण। हम अनुपात स्थिरांक $k=1$ SI इकाइयों में निर्धारित करते हैं। तब

$$ \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=m \mathbf{a} $$

बल की SI इकाई न्यूटन है: $1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$।

(a) द्वितीय नियम प्रथम नियम के अनुरूप है ($\mathbf{F}=0$ से $\mathbf{a}=0$ प्राप्त होता है)

(b) यह एक सदिश समीकरण है

(c) यह एक कण पर लागू होता है, और एक वस्तु या कणों के समष्टि पर भी, बशर्ते $\mathbf{F}$ समष्टि पर कुल बाह्य बल हो और $\mathbf{a}$ समष्टि का समग्र त्वरण हो।

(d) एक बिंदु पर किसी निश्चित क्षण पर F उसी बिंदु पर उसी क्षण का तय करता है। अर्थात् द्वितीय नियम एक स्थानीय नियम है; किसी क्षण का तत्काल इतिहास पर निर्भर नहीं करता।

5. आवेग बल और समय का गुणनफल होता है जो संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
आवेग की अवधारणा उपयोगी होती है जब कोई बड़ा बल अल्प समय तक कार्य करके मापने योग्य संवेग-परिवर्तन उत्पन्न करता है। चूँकि बल कार्य करने का समय बहुत कम होता है, हम यह मान सकते हैं कि आवेगी बल के कार्य के दौरान पिण्ड की स्थिति में कोई उल्लेखनीय परिवर्तन नहीं होता।

6. न्यूटन का गति का तृतीय नियम:

प्रत्येक क्रिया के बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

सरल शब्दों में नियम इस प्रकार कहा जा सकता है:

प्रकृति में बल सदा युग्मों में लगते हैं। पिण्ड A पर पिण्ड B द्वारा लगाया गया बल, पिण्ड B पर पिण्ड A द्वारा लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है।

क्रिया और प्रतिक्रिया बल एकसाथ लगते हैं। इनमें कारण-प्रभाव सम्बन्ध नहीं होता। इन दोनों परस्पर बलों में से किसी एक को क्रिया और दूसरे को प्रतिक्रिया कहा जा सकता है। क्रिया और प्रतिक्रिया भिन्न-भिन्न पिण्डों पर लगते हैं, इसलिए ये एक-दूसरे को रद्द नहीं कर सकते। किसी पिण्ड के भिन्न-भिन्न भागों के बीच के आंतरिक क्रिया-प्रतिक्रिया बल, यद्यपि, शून्य के बराबर योग देते हैं।

7. संवेग संरक्षण का नियम

कणों की एक एकांगी प्रणाली का कुल संवेग अचर रहता है। यह नियम गति के द्वितीय और तृतीय नियम से अनुसरण करता है।

8. घर्षण

घर्षण बल दो सतहों के बीच संपर्क में आने पर (आसन्न या वास्तविक) सापेक्ष गति का विरोध करता है। यह संपर्क बल का वह घटक है जो संपर्क में आई सतहों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है। स्थैतिक घर्षण $f_{s}$ आसन्न सापेक्ष गति का विरोध करता है; गतिक घर्षण $f_{k}$ वास्तविक सापेक्ष गति का विरोध करता है। ये संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होते हैं और निम्नलिखित सन्निकट नियमों को संतुष्ट करते हैं:

$$ \begin{gathered} f _{s} \leq\left(f _{s}\right) _{\text {max }}=\mu _{s} R \ f _{k}=\mu _{k} R \end{gathered} $$

$\mu_{s}$ (स्थैतिक घर्षण गुणांक) और $\mu_{k}$ (गतिक घर्षण गुणांक) संपर्क में आई सतहों के युग्म के लिए विशिष्ट स्थिरांक होते हैं। प्रायोगिक रूप से यह पाया गया है कि $\mu_{k}$, $\mu_{s}$ से कम होता है।

विचार करने योग्य बिंदु

1. बल हमेशा गति की दिशा में नहीं होता। परिस्थिति के अनुसार, $\mathbf{F}$ सदिश $\mathbf{v}$ के अनुदिश, $\mathbf{v}$ के विपरीत, $\mathbf{v}$ के लम्बवत् या $\mathbf{v}$ के साथ कोई अन्य कोण बना सकता है। प्रत्येक स्थिति में यह त्वरण के समानान्तर होता है।

2. यदि किसी क्षण $\mathbf{v}=0$ हो, अर्थात् कोई वस्तु क्षणभर के लिए विराम पर हो, तो इसका अर्थ यह नहीं कि उस क्षण बल या त्वरण अवश्य ही शून्य हों। उदाहरण के लिए, जब ऊपर फेंका गया गेंद अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचता है, तो $\mathbf{v}=0$ होता है पर बल उसका भार $\mathrm{mg}$ ही बना रहता है और त्वरण शून्य नहीं बल्कि $g$ होता है।

3. किसी निकाय पर किसी दिए गए समय पर लगने वाला बल उस समय निकाय के स्थान पर मौजूद परिस्थितियों द्वारा निर्धारित होता है। बल निकाय द्वारा अपनी पिछली गति के इतिहास से ‘ले जाया’ नहीं जाता। जैसे ही एक पत्थर त्वरित रेलगाड़ी से छोड़ा जाता है, यदि आसपास की हवा के प्रभावों को नज़रअंदाज़ किया जाए, तो पत्थर पर कोई क्षैतिज बल (या त्वरण) नहीं होता। उस समय पत्थर पर केवल गुरुत्वाकर्षण का ऊर्ध्वाधर बल होता है।

4. गति का दूसरा नियम $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$ में, $\mathbf{F}$ निकाय के बाहरी सभी भौतिक कारकों के कारण कुल बल को दर्शाता है। $\mathbf{a}$ बल का प्रभाव है। ma को $\mathbf{F}$ के अतिरिक्त एक और बल नहीं मानना चाहिए।

5. अभिकेंद्र बल को किसी अन्य प्रकार के बल के रूप में नहीं मानना चाहिए। यह केवल उस बल का नाम है जो किसी निकाय को वृत्तीय गति में अंतः किरणीय त्वरण प्रदान करता है। हमें हमेशा किसी वृत्तीय गति में अभिकेंद्र बल के रूप में तनाव, गुरुत्वाकर्षण बल, विद्युत बल, घर्षण आदि जैसे किसी भौतिक बल की खोज करनी चाहिए।

6. स्थिर घर्षण एक स्व-समायोजी बल होता है जो अपनी सीमा $\mu_{\mathrm{s}} N\left(f_{\mathrm{s}} \leq \mu_{\mathrm{s}} N\right)$ तक। $f_{s}=\mu_{s} N$ न लगाएं जब तक यह सुनिश्चित न हो कि स्थिर घर्षण का अधिकतम मान कार्य कर रहा है।

7. एक मेज़ पर रखे शरीर के लिए प्रचलित समीकरण $m g=R$ तभी सत्य है जब वह शरीर साम्यावस्था में हो। दोनों बल $m g$ और $R$ भिन्न हो सकते हैं (उदाहरण—त्वरित लिफ़्ट में कोई शरीर)। $m g$ और $R$ की समानता का तीसरे नियम से कोई सम्बन्ध नहीं है।

8. गति के तीसरे नियम में ‘क्रिया’ और ‘प्रतिक्रिया’ शब्द केवल एक युग्म-शरीरों के बीच एक साथ उत्पन्न होने वाले पारस्परिक बलों को दर्शाते हैं। सामान्य भाषा के विपरीत, क्रिया प्रतिक्रिया से पहले नहीं होती और न ही उसे उत्पन्न करती है। क्रिया और प्रतिक्रिया भिन्न-भिन्न शरीरों पर कार्य करती हैं।

9. ‘घर्षण’, ‘अभिलंब प्रतिक्रिया’, ‘तनाव’, ‘वायु प्रतिरोध’, ‘चिपचिपा प्रतिरोध’, ‘धक्का’, ‘उत्प्लावन’, ‘भार’, ‘केन्द्रापसारी बल’ जैसे भिन्न-भिन्न पद विभिन्न परिस्थितियों में ‘बल’ को ही दर्शाते हैं। स्पष्टता के लिए, यांत्रिकी में मिलने वाले हर बल और उसके समतुल्य पद को ‘B द्वारा A पर बल’ वाक्यांश में बदल देना चाहिए।

10. गति के दूसरे नियम को लागू करते समय निर्जीव और सजीव वस्तुओं के बीच कोई संकल्पनात्मक भेद नहीं होता। एक सजीव वस्तु, जैसे मनुष्य, को भी त्वरित होने के लिए बाह्य बल की आवश्यकता होती है। उदाहरण—बिना घर्षण के बाह्य बल के हम ज़मीन पर चल नहीं सकते।

11. भौतिकी में बल की वस्तुगत संकल्पना को ‘बल का अनुभव’ जैसी आत्मगत संकल्पना से भ्रमित नहीं करना चाहिए। मेरी-गो-राउंड पर हमारे शरीर के सभी अंगों पर अन्दर की ओर बल लगता है, पर हमें बाहर की ओर धकेले जाने का अनुभव होता है—आगामी गति की दिशा।