6.1 भूमिका

पिछले अध्यायों में हमने मुख्यतः एक एकल कण की गति पर विचार किया। (एक कण को आदर्शतः एक बिन्दु-द्रव्य के रूप में चित्रित किया जाता है जिसका कोई आकार नहीं होता है।) हमने अपने अध्ययन के परिणामों का प्रयोग सीमित आकार वाले पिण्डों की गति पर भी किया, यह मानकर कि ऐसे पिण्डों की गति को एक कण की गति के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

कोई भी वास्तविक पिण्ड जिससे हम दैनिक जीवन में मिलते हैं, सीमित आकार का होता है। विस्तारित पिण्डों (सीमित आकार वाले पिण्डों) की गति से निपटने में प्रायः कण का आदर्शित मॉडल अपर्याप्त होता है। इस अध्याय में हम इस अपर्याप्तता से परे जाने का प्रयास करेंगे। हम विस्तारित पिण्डों की गति की समझ बनाने का प्रयास करेंगे। एक विस्तारित पिण्ड, सबसे पहले, कणों की एक प्रणाली होता है। हम प्रणाली की सम्पूर्ण गति पर विचार से प्रारम्भ करेंगे। कणों की प्रणाली का द्रव्यमान केन्द्र यहाँ एक प्रमुख संकल्प होगा। हम कणों की प्रणाली के द्रव्यमान केन्द्र की गति और विस्तारित पिण्डों की गति को समझने में इस संकल्प की उपयोगिता पर चर्चा करेंगे।

विस्तारित वस्तुओं से जुड़ी एक बड़ी श्रेणी की समस्याओं को हल किया जा सकता है यदि हम उन्हें दृढ़ वस्तुओं के रूप में विचार करें। आदर्श रूप से एक दृढ़ वस्तु एक ऐसी वस्तु है जिसका आकार पूर्णतया निश्चित और अपरिवर्तनीय हो। ऐसी वस्तु के सभी कणों के बीच की दूरियाँ परिवर्तित नहीं होती हैं। दृढ़ वस्तु की इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि कोई भी वास्तविक वस्तु पूर्णतया दृढ़ नहीं होती, क्योंकि वास्तविक वस्तुएँ बलों के प्रभाव से विरूपित हो जाती हैं। परंतु अनेक परिस्थितियों में विरूपण नगण्य होते हैं। दूसरी ओर, पहियों, लट्टू, इस्पात की धरनाओं, अणुओं और ग्रहों जैसी वस्तुओं से संबंधित अनेक परिस्थितियों में हम यह मान सकते हैं कि वे मुड़ती नहीं, झुकती नहीं या कंपन नहीं करती और उन्हें दृढ़ वस्तु के रूप में व्यवहार कर सकते हैं।

6.1.1 एक दृढ़ वस्तु किस प्रकार की गति कर सकती है?

आइए कुछ उदाहरणों द्वारा इस प्रश्न का अन्वेषण करने का प्रयास करें। आइए एक आयताकार खंड को उतरते हुए ढालवे पर बिना किसी बग़ल की गति के लेते हैं। खंड को एक दृढ़ वस्तु माना गया है। ढालवे पर इसकी गति ऐसी है कि वस्तु के सभी कण एक साथ गति कर रहे हैं, अर्थात् किसी भी क्षण उनकी वेग समान होता है। यहाँ दृढ़ वस्तु शुद्ध रूप से स्थानांतरित गति में है (चित्र 6.1)।

चित्र 6.1 एक ढलान के नीचे ब्लॉक की ट्रांसलेशनल (फिसलने वाली) गति (ब्लॉक का कोई भी बिंदु जैसे P1 या P2 किसी भी क्षण एक समान वेग से चलता है।)

शुद्ध ट्रांसलेशनल गति में किसी भी क्षण शरीर के सभी कण एक समान वेग से चलते हैं।

अब उसी ढलान के नीचे एक ठोस धातु या लकड़ी के बेलन की लुढ़कती गति पर विचार करें (चित्र 6.2)। इस समस्या में कठोर पिंड, अर्थात् बेलन, ढलान के शीर्ष से नीचे की ओर खिसकता है, और इस प्रकार यह ट्रांसलेशनल गति करता प्रतीत होता है। लेकिन जैसा कि चित्र 6.2 दिखाता है, इसके सभी कण किसी भी क्षण एक समान वेग से नहीं चल रहे होते। शरीर, इसलिए, शुद्ध ट्रांसलेशनल गति में नहीं है। इसकी गति ट्रांसलेशनल और ‘कुछ और’ है।

चित्र 6.2 बेलन की लुढ़कती गति। यह शुद्ध ट्रांसलेशनल गति नहीं है। बिंदु P1, P2, P3 और P4 किसी भी क्षण भिन्न-भिन्न वेगों से चलते हैं (तीरों द्वारा दर्शाए गए)। वास्तव में, संपर्क बिंदु P3 का वेग किसी भी क्षण शून्य होता है, यदि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है।

इस ‘कुछ और’ को समझने के लिए, आइए एक कठोर पिंड लें जिसे इस प्रकार बाँधा गया है कि वह स्थानांतरित गति नहीं कर सकता। कठोर पिंड को इस प्रकार बाँधने का सबसे सामान्य तरीका यह है कि उसे एक सीधी रेखा के साथ स्थिर कर दिया जाए। ऐसे कठोर पिंड की केवल एक ही संभव गति है - घूर्णन। वह रेखा या स्थिर अक्ष जिसके परितः पिंड घूम रहा है, उसका घूर्णन अक्ष कहलाता है। यदि आप अपने चारों ओर देखें, तो आपको अक्ष के परितः घूर्णन के कई उदाहरण दिखाई देंगे - एक छत पंखा, एक कुम्हार की चक्की, एक मेले में बड़ा पहिया, एक मेरी-गो-राउंड आदि (चित्र 6.3(a) और (b))।

चित्र 6.3 एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन (a) एक छत पंखा (b) एक कुम्हार की चक्की

चित्र 6.4 z-अक्ष के परितः एक कठोर पिंड का घूर्णन (पिंड का प्रत्येक बिंदु जैसे P1 या P2 एक वृत्त खींचता है जिसका केंद्र (C1 या C2) घूर्णन अक्ष पर होता है। वृत्त की त्रिज्या (r1 या r2) बिंदु (P1 या P2) की अक्ष से लंबवत दूरी होती है। अक्ष पर स्थित कोई बिंदु जैसे P3 स्थिर रहता है)।

आइए हम समझने की कोशिश करें कि घूर्णन क्या है, घूर्णन की विशेषता क्या है। आप देख सकते हैं कि एक निश्चित अक्ष के परितः कठोर पिण्ड के घूर्णन में, पिण्ड का प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लम्बवत् एक समतल में होता है और जिसका केंद्र अक्ष पर होता है। चित्र 6.4 एक निश्चित अक्ष (संदर्भ फ्रेम का $z$-अक्ष) के परितः कठोर पिण्ड की घूर्णी गति दिखाता है। मान लीजिए $P_1$ कठोर पिण्ड का एक इच्छानुसार चुना गया कण है, जो निश्चित अक्ष से $r$ दूरी पर है। कण $P_1$ अपने केंद्र $C_1$ के साथ निश्चित अक्ष पर स्थित, त्रिज्या $r_1$ का एक वृत्त खींचता है। यह वृत्त अक्ष के लम्बवत् एक समतल में होता है। चित्र में पिण्ड का एक अन्य कण $P_2$ भी दिखाया गया है, जो निश्चित अक्ष से $r_2$ दूरी पर है। कण $P_2$ त्रिज्या $r_2$ का वृत्त बनाता है, जिसका केंद्र $C_2$ अक्ष पर है। यह वृत्त भी अक्ष के लम्बवत् एक समतल में होता है। ध्यान दें कि $P_1$ और $P_2$ द्वारा बनाए गए वृत्त भिन्न-भिन्न समतलों में हो सकते हैं; ये दोनों समतल, फिर भी, निश्चित अक्ष के लम्बवत् होते हैं। अक्ष पर स्थित किसी कण, जैसे $P_3$, के लिए $r=0$ होता है। ऐसा कोई भी कण पिण्ड के घूर्णन के दौरान स्थिर रहता है। यह अपेक्षित है क्योंकि घूर्णन अक्ष स्थिर है।

कुछ घूर्णन के उदाहरणों में, हालांकि, अक्ष स्थिर नहीं हो सकता है। इस प्रकार के घूर्णन का एक प्रमुख उदाहरण एक लट्टू है जो एक ही स्थान पर घूम रहा हो [चित्र 6.5(a)]। (हम मान लेते हैं कि लट्टू एक स्थान से दूसरे स्थान पर नहीं फिसलता है और इसलिए इसका स्थानांतरित गति नहीं होता है।) हम अनुभव से जानते हैं कि ऐसे घूमते हुए लट्टू का अक्ष ऊर्ध्वाधर के चारों ओर घूमता है जो जमीन के साथ उसके संपर्क बिंदु से गुजरता है, और एक शंकु आकार बनाता है जैसा कि चित्र 6.5(a) में दिखाया गया है। (लट्टू के अक्ष का ऊर्ध्वाधर के चारों ओर यह घूर्णन प्रीसेशन कहलाता है।) ध्यान दें, लट्टू का जमीन के साथ संपर्क बिंदु स्थिर है। किसी भी क्षण लट्टू का घूर्णन अक्ष संपर्क बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार के घूर्णन का एक और सरल उदाहरण एक दोलन करता हुआ टेबल पंखा या स्टैंड पंखा है [चित्र 6.5(b)]। आपने देखा होगा कि ऐसे पंखे का घूर्णन अक्ष क्षैतिज तल में एक दोलन (बग़ल में) गति करता है, जो ऊर्ध्वाधर के चारों ओफ होती है जिस पर अक्ष को आधारित किया गया है (चित्र 6.5(b) में बिंदु O)।

चित्र 6.5 (a) एक घूमता हुआ लट्टू (लट्टू का जमीन के साथ संपर्क बिंदु, उसकी नोक O, स्थिर है।)

चित्र 6.5 (b) एक दोलायमान टेबल पंखा जिसकी पंखियाँ घूर्णन कर रही हैं। पंखे का स्वीवल बिंदु O स्थिर है। पंखे की पंखियाँ घूर्णी गति में हैं, जबकि पंखे की पंखियों का घूर्णन अक्ष दोलायमान है।

जबकि पंखा घूमता है और उसका अक्ष बग़ल में जाता है, यह बिंदु स्थिर रहता है। इस प्रकार घूर्णन के अधिक सामान्य प्रसंगों में, जैसे कि लट्टू या खंभा-पंखे का घूर्णन, कठोर वस्तु का एक बिंदु निर्धारित रहता है, न कि एक रेखा। इस स्थिति में अचल नहीं है, यद्यपि वह सदैव स्थिर बिंदु से होकर गुज़रता है। हमारे अध्ययन में, हम मुख्यतः घूर्णन के सरल तथा विशिष्ट प्रसंग से संबंधित हैं जिसमें एक रेखा (अर्थात् अक्ष) स्थिर रहती है।

चित्र 6.6(a) कठोर वस्तु की गति जो शुद्ध स्थानांतरण है

चित्र 6.6(b) कठोर वस्तु की गति जो स्थानांतरण तथा घूर्णन का संयोजन है।

चित्र 6.6 (a) और 6.6 (b) एक ही वस्तु की भिन्न गतियों को दर्शाते हैं। ध्यान दें कि $P$ वस्तु का एक स्वेच्छ बिंदु है; $O$ वस्तु का द्रव्यमान केंद्र है, जिसे अगले खंड में परिभाषित किया गया है। यहाँ इतना ही काफी है कि $O$ की प्रक्षेपपथ वस्तु की स्थानांतर प्रक्षेपपथ $\mathrm{Tr_1}$ और $\mathrm{Tr_2}$ हैं। समय के तीन भिन्न क्षणों पर $O$ और $\mathrm{P}$ की स्थितियाँ क्रमशः चित्र 6.6 (a) और (b) दोनों में $O_{1}, O_{2}$, और $O_{3}$, तथा $P_{1}, P_{2}$ और $P_{3}$ द्वारा दिखाई गई हैं। चित्र 6.6(a) से यह स्पष्ट है कि किसी भी क्षण वस्तु के किसी भी कण जैसे $O$ और $P$ के वेग शुद्ध स्थानांतर में समान होते हैं। ध्यान दें, इस स्थिति में $O P$ की अभिविन्यास, अर्थात् $O P$ द्वारा किसी निश्चित दिशा, मान लीजिए क्षैतिज, से बनाया गया कोण, समान रहता है, अर्थात् $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$। चित्र 6.6 (b) स्थानांतर और घूर्णन के संयोजन की एक स्थिति को दर्शाता है। इस स्थिति में, किसी भी क्षण $O$ और $P$ के वेग भिन्न होते हैं। साथ ही, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ और $\alpha_{3}$ सभी भिन्न हो सकते हैं। इस प्रकार, जब तक अन्यथा न कहा जाए, हमारे लिए घूर्णन केवल एक निश्चित अक्ष के परितः ही होगा।

एक तल से झुकी हुई सतह पर बेलन का लुढ़कना एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन और स्थानांतरण का संयुक्त गति है। इस प्रकार, लुढ़कने की गति में ‘कुछ और’ जिसकी हमने पहले चर्चा की थी, वह घूर्णी गति है। आपको इस दृष्टिकोण से चित्र 6.6(a) और (b) शिक्षाप्रद लगेंगे। ये दोनों चित्र एक ही वस्तु की समान स्थानांतरणीय पथ पर गति को दर्शाते हैं। एक स्थिति में, चित्र 6.6(a), गति शुद्ध स्थानांतरण है; दूसरी स्थिति में [चित्र 6.6(b)] यह स्थानांतरण और घूर्णन का संयोजन है। (आप एक कठोर वस्तु जैसे भारी पुस्तक का उपयोग करके दिखाए गए दोनों प्रकार की गति को पुनः उत्पन्न करने का प्रयास कर सकते हैं।)

हम अब इस खंड की सबसे महत्वपूर्ण प्रेक्षणों को संक्षेप में दोहराते हैं: एक कठोर वस्तु की गति जो किसी प्रकार से न तो धुरी पर टिकी है और न ही निश्चित है, या तो शुद्ध स्थानांतरण होती है या स्थानांतरण और घूर्णन का संयोजन होता है। एक कठोर वस्तु की गति जो किसी प्रकार से धुरी पर टिकी हुई या निश्चित है, वह घूर्णन होती है। घूर्णन एक ऐसे अक्ष के परितः हो सकता है जो निश्चित हो (जैसे छत का पंखा) या गतिशील हो (जैसे दोलायमान टेबल पंखा [चित्र 6.5(b)])। हम इस अध्याय में केवल निश्चित अक्ष के परितः घूर्णी गति पर विचार करेंगे।

6.2 द्रव्यमान केंद्र

हम पहले देखेंगे कि कणों की एक प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र क्या होता है और फिर इसके महत्व पर चर्चा करेंगे। सरलता के लिए हम दो कणों की प्रणाली से प्रारंभ करेंगे। हम दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा को $x$-अक्ष मानेंगे।

चित्र 6.7

मान लीजिए दो कणों की दूरियाँ किसी मूल बिंदु O से क्रमशः $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। मान लीजिए दोनों कणों के द्रव्यमान क्रमशः $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं। निकाय का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु C है जो O से X दूरी पर है, जहाँ X निम्न द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}} \tag{6.1} \end{equation*} $$

समीकरण (6.1) में, X को $x_{1}$ और $x_{2}$ का द्रव्यमान-भारित औसत माना जा सकता है। यदि दोनों कणों का द्रव्यमान समान है $m_{1}=m_{2}=m$ तो

$$ X=\frac{m x_{1}+m x_{2}}{2 m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} $$

इस प्रकार, दो समान द्रव्यमान वाले कणों के लिए द्रव्यमान केंद्र ठीक उनके बीच में स्थित होता है।

यदि हमारे पास $n$ कण हैं जिनके द्रव्यमान क्रमशः $m_{1}, m_{2}$, … $m_{n}$ हैं, और वे सीधी रेखा में x-अक्ष के अनुदार स्थित हैं, तो परिभाषा के अनुसार कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति निम्न द्वारा दी जाती है।

$$X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}} \tag {6.2}$$

जहाँ $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ कणों की मूलबिंदु से दूरियाँ हैं; $X$ भी उसी मूलबिंदु से मापा जाता है। प्रतीक $\sum$ (ग्रीक अक्षर सिग्मा) योग को दर्शाता है, इस मामले में $n$ कणों पर। योग

$$ \sum m_{i}=M $$

प्रणाली का कुल द्रव्यमान है।

मान लीजिए हमारे पास तीन कण हैं, जो सीधी रेखा में नहीं हैं। हम समतल में $x$- और $y$- अक्ष परिभाषित कर सकते हैं जिसमें कण स्थित हैं और तीनों कणों की स्थितियों को निर्देशांक $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ द्वारा दर्शा सकते हैं क्रमशः। मान लीजिए तीनों कणों के द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}$ और $m_{3}$ हैं क्रमशः। तीन कणों की प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र $\mathrm{C}$ निर्देशांक $(X, Y)$ द्वारा परिभाषित और स्थित है जो दिए गए हैं

$$ \begin{align*} & X=\frac{m _{1} x _{1}+m _{2} x _{2}+m _{3} x _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3a} \ & Y=\frac{m _{1} y _{1}+m _{2} y _{2}+m _{3} y _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3b} \end{align*} $$

समान द्रव्यमान $m=m_{1}=m_{2} =m_{3}$ वाले कणों के लिए

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m\left(x _{1}+x _{2}+x _{3}\right)}{3 m}=\frac{x _{1}+x _{2}+x _{3}}{3} \ & Y=\frac{m\left(y _{1}+y _{2}+y _{3}\right)}{3 m}=\frac{y _{1}+y _{2}+y _{3}}{3} \end{aligned} $$

इस प्रकार, समान द्रव्यमान वाले तीन कणों के लिए, द्रव्यमान केंद्र कणों द्वारा बनाए गए त्रिभु� के केंद्रक के संपाती होता है।

समीकरणों (6.3a) और (6.3b) के परिणामों को आसानी से किसी $n$ कणों की प्रणाली के लिए व्यापक बनाया जा सकता है, जिन्हें ज़रूरी नहीं कि वे एक ही तल में हों, बल्कि वे सम्पूर्ण स्थान में फैले हों। ऐसी प्रणाली का द्रव्यमान-केन्द्र बिन्दु $(X, Y, Z)$ पर स्थित होता है, जहाँ

$$ \begin{align*} & X=\frac{\sum m _{i} x _{i}}{M} \tag{6.4a} \ & Y=\frac{\sum m _{i} y _{i}}{M} \tag{6.4b} \end{align*} $$

और $Z=\frac{\sum m _{i} z _{i}}{M}$

यहाँ $M=\sum m_{i}$ प्रणाली का कुल द्रव्यमान है। सूचकांक $i$ का मान 1 से $n$ तक चलता है; $m_{i}$ है $i^{\text{वें}}$ कण का द्रव्यमान और $i^{\text{वें}}$ कण की स्थिति $(x_{\mathrm{i}}, y_{\mathrm{i}}, z_{\mathrm{i}})$ द्वारा दी गई है। समीकरणों (6.4a), (6.4b) और (6.4c) को स्थिति सदिशों के संकेत प्रयोग करके एक ही समीकरण में मिलाया जा सकता है। मान लीजिए $\mathbf{r_i}$ है $i^{\text{वें}}$ कण का स्थिति सदिश और $\mathbf{R}$ है द्रव्यमान-केन्द्र का स्थिति सदिश:

$$ \mathbf{r}_i=x_i \hat{\mathbf{i}}+y_i \hat{\mathbf{j}}+z_i \hat{\mathbf{k}} $$

$$\text{और} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=X \hat{\mathbf{i}}+Y \hat{\mathbf{j}}+Z \hat{\mathbf{k}}$$

$$\text{तब} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r_i}}{M} \tag{6.4d}$$

दायीं ओर का योग एक सदिश योग है। ध्यान दीजिए कि सदिशों के प्रयोग से हमें अभिव्यक्ति में कितनी अर्थपूर्ण बचत मिलती है। यदि निर्देशांक तंत्र (संदर्भ फ्रेम) का मूल बिन्दु द्रव्यमान-केन्द्र पर लिया जाए, तो दी गई कणों की प्रणाली के लिए $\sum m_{i} \mathbf{r_i}=0$ होगा।

एक दृढ़ वस्तु, जैसे कि एक मीटर स्केल या एक फ्लाईव्हील, निकटता से पैक किए गए कणों की एक प्रणाली होती है; समीकरण (6.4a), (6.4b), (6.4c) और (6.4d) इसलिए एक दृढ़ वस्तु पर लागू होते हैं। ऐसी वस्तु में कणों (परमाणुओं या अणुओं) की संख्या इतनी अधिक होती है कि इन समीकरणों में व्यक्तिगत कणों पर योग करना असंभव हो जाता है। चूंकि कणों के बीच की दूरी बहुत कम होती है, हम वस्तु को द्रव्यमान का एक सतत वितरण मान सकते हैं। हम वस्तु को $n$ छोटे द्रव्यमान तत्वों में विभाजित करते हैं; $\Delta m_{1}, \Delta m_{2} \ldots \Delta m_{n}$; $i^{\text {th }}$ तत्व $\Delta m_{i}$ को बिंदु $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ के पास स्थित माना जाता है। द्रव्यमान के केंद्र के निर्देश तब लगभग निम्नलिखित द्वारा दिए जाते हैं

$$ X=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i}}{\sum \Delta m_{i}}, Y=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i}}{\sum \Delta m_{i}}, Z=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i}}{\sum \Delta m_{i}} $$

जब हम $n$ को बड़ा और बड़ा और प्रत्येक $\Delta m_{i}$ को छोटा और छोटा करते हैं, तो ये व्यंजक सटीक हो जाते हैं। उस स्थिति में, हम $i$ पर योग को समाकलों द्वारा दर्शाते हैं। इस प्रकार,

$$ \begin{aligned} & \sum \Delta m_{i} \rightarrow \int \mathrm{d} m=M, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i} \rightarrow \int x \mathrm{~d} m, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i} \rightarrow \int y \mathrm{~d} m, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{और } \quad\quad& \sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i} \rightarrow \int z \mathrm{~d} m \end{aligned} $$

यहाँ $M$ पिण्ड का कुल द्रव्यमान है। केन्द्र-द्रव्यमान के निर्देशांक अब

$X=\frac{1}{M} \int x \mathrm{~d} m, Y=\frac{1}{M} \int y \mathrm{~d} m$ और $Z=\frac{1}{M} \int z \mathrm{~d} m$ $\quad \quad \quad \text{6.5a}$

इन तीन अदिश व्यंजकों के तुल्य सदिश रूप हैं

$$ \begin{equation*} \mathbf{R}=\frac{1}{M} \int \mathbf{r} \mathrm{d} m \tag{6.5b} \end{equation*} $$

यदि हम केन्द्र-द्रव्यमान को अपने निर्देशांक तंत्र का मूलबिन्दु चुनें,

$$ \begin{align*} & \mathbf{R}=\mathbf{0} \\ & \text { अर्थात् } \int \mathbf{r} \mathrm{d} m=\mathbf{0} \\ & \text { या } \int x \mathrm{~d} m=\int y \mathrm{~d} m=\int z \mathrm{~d} m=0 \tag{6.6} \end{align*} $$

अक्सर हम वलय, डिस्क, गोले, छड़ आदि जैसे सममित आकृतियों के समांग पिण्डों का केन्द्र-द्रव्यमान निकालते हैं। (समांग पिण्ड से तात्पर्य एक ऐसे पिण्ड से है जिसका द्रव्यमान एकसार वितरित है।) सममिति के विचारों का उपयोग कर हम सरलता से दिखा सकते हैं कि इन पिण्डों के केन्द्र-द्रव्यमान उनके ज्यामितीय केन्द्रों पर स्थित होते हैं।

आकृति 6.8 पतली छड़ का केन्द्र-द्रव्यमान ज्ञात करना

आइए एक पतली छड़ पर विचार करें, जिसकी चौड़ाई और मोटाई (यदि छड़ का अनुप्रस्थ काट आयताकार है) या त्रिज्या (यदि अनुप्रस्थ काट बेलनाकार है) इसकी लंबाई की तुलना में बहुत कम है। मूल बिंदु को छड़ के ज्यामितीय केंद्र पर लेते हुए और $x$-अक्ष को छड़ की लंबाई के अनुदिश रखते हुए, हम कह सकते हैं कि परावर्तन सममिति के कारण, छड़ के प्रत्येक तत्व $d m$ जो $x$ पर है, उसके लिए समान द्रव्यमान $d m$ का एक तत्व $-x$ पर स्थित है (चित्र 6.8)। इस तरह की प्रत्येक युग्म का समाकलन में निवल योगदान और इस प्रकार समाकलन $\int x \mathrm{~d} m$ स्वयं शून्य है। समीकरण (6.6) से, वह बिंदु जिसके लिए समाकलन स्वयं शून्य है, वह द्रव्यमान केंद्र है। इस प्रकार, एक समरूप पतली छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र के संपाती होता है। यह परावर्तन सममिति के आधार पर समझा जा सकता है।

वही सममिति तर्क समरूप वलयों, डिस्कों, गोलों, या यहां तक कि गोलाकार या आयताकार अनुप्रस्थ काट वाली मोटी छड़ों पर भी लागू होगा। ऐसे सभी पिण्डों के लिए आप महसूस करेंगे कि प्रत्येक तत्व $d m$ जो बिंदु $(x, y, z)$ पर है, उसके लिए हमेशा एक समान द्रव्यमान का तत्व बिंदु $(-x,-y,-z)$ पर लिया जा सकता है। (दूसरे शब्दों में, मूल बिंदु इन पिण्डों के लिए परावर्तन सममिति का बिंदु है।) परिणामस्वरूप, समीकरण (6.5 a) में सभी समाकलन शून्य हो जाते हैं। इसका अर्थ है कि उपरोक्त सभी पिण्डों का द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्र के संपाती होता है।

उदाहरण 6.1 एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित तीन कणों का द्रव्यमान केंद्र ज्ञात कीजिए। कणों के द्रव्यमान क्रमशः $100 \mathrm{~g}, 150 \mathrm{~g}$, और $200 \mathrm{~g}$ हैं। समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $0.5 \mathrm{~m}$ है।

उत्तर

चित्र 6.9

चित्र 6.9 में दिखाए अनुसार चुने गए $x$-और $y$-अक्षों के साथ, समबाहु त्रिभुज बनाने वाले बिंदुओं $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ के निर्देशक क्रमशः $(0,0)$, $(0.5,0),(0.25,0.25 \sqrt{3})$ हैं। मान लीजिए द्रव्यमान $100 \mathrm{~g}$, $150 \mathrm{~g}$ और $200 \mathrm{~g}$ क्रमशः O, A और B पर स्थित हैं। तब,

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+m_{3} x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\ \\ & =\frac{100(0)+150(0.5)+200(0.25) \mathrm{g} \mathrm{m}}{(100+150+200) \mathrm{g}} \\ \\ & \quad=\frac{75+50}{450} \mathrm{~m}=\frac{125}{450} \mathrm{~m}=\frac{5}{18} \mathrm{~m} \\ \\ & Y=\frac{100(0)+150(0)+200(0.25 \sqrt{3}) \mathrm{g} \mathrm{m}}{450 \mathrm{~g}} \\ \\ & =\frac{50 \sqrt{3}}{450} \mathrm{~m}=\frac{\sqrt{3}}{9} \mathrm{~m}=\frac{1}{3 \sqrt{3}} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

द्रव्यमान केंद्र $\mathrm{C}$ चित्र में दिखाया गया है। ध्यान दें कि यह त्रिभुज OAB का ज्यामितीय केंद्र नहीं है। क्यों?

उदाहरण 6.2 एक त्रिभुजाकार लैमिना का द्रव्यमान-केंद्र ज्ञात कीजिए

उत्तर लैमिना (∆LMN) को आधार (MN) के समानांतर संकीर्ण पट्टियों में विभाजित किया जा सकता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

चित्र 6.10

सममिति के कारण प्रत्येक पट्टी का द्रव्यमान-केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है। यदि हम सभी पट्टियों के मध्य बिंदुओं को मिलाएं तो हमें माध्यिका LP प्राप्त होती है। इसलिए पूरे त्रिभुज का द्रव्यमान-केंद्र माध्यिका LP पर स्थित होना चाहिए। इसी प्रकार, हम यह तर्क दे सकते हैं कि यह माध्यिका MQ और NR पर भी स्थित है। इसका अर्थ है कि द्रव्यमान-केंद्र माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, अर्थात् त्रिभुज के केंद्रक $\mathrm{G}$ पर स्थित है।

उदाहरण 6.3 एक समान L-आकार की लैमिना (एक पतली समतल प्लेट) का द्रव्यमान-केंद्र ज्ञात कीजिए जिसकी विमानाएं चित्र में दिखाई गई हैं। लैमिना का द्रव्यमान $3 \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर चित्र 6.11 में दिखाए अनुसार हमने X और Y अक्ष चुने हैं, जिससे L-आकार की लैमिना के शीर्षों के निर्देशांक चित्र में दिए गए हैं। हम L-आकार को 1 मीटर लंबाई के तीन वर्गों से बना हुआ मान सकते हैं। चूंकि लैमिना एकसमान है, इसलिए प्रत्येक वर्ग का द्रव्यमान 1 किग्रा है। वर्गों के द्रव्यमान केंद्र C₁, C₂ और C₃, सममिति के कारण, उनके ज्यामितीय केंद्र हैं और उनके निर्देशांक क्रमशः (½, ½), (³⁄₂, ½), (½, ³⁄₂) हैं। हम वर्गों के द्रव्यमान को इन बिंदुओं पर केंद्रित मानते हैं। पूरे L-आकार का द्रव्यमान केंद्र (X, Y) इन द्रव्यमान बिंदुओं का केंद्र है।

चित्र 6.11

इसलिए,

$$ \begin{aligned} X &= \frac{[1(½) + 1(³⁄₂) + 1(½)] \mathrm{kg·m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}} = \frac{5}{6} \mathrm{m} \ Y &= \frac{[1(½) + 1(½) + 1(³⁄₂)] \mathrm{kg·m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}} = \frac{5}{6} \mathrm{m} \end{aligned} $$

L-आकार का द्रव्यमान केंद्र रेखा OD पर स्थित है। हम इसे गणना किए बिना भी अनुमान लगा सकते थे। क्या आप बता सकते हैं क्यों? मान लीजिए चित्र 6.11 में दिखाए गए L-आकार की लैमिना बनाने वाले तीनों वर्गों के द्रव्यमान अलग-अलग हैं। तब आप लैमिना का द्रव्यमान केंद्र कैसे निर्धारित करेंगे?

6.3 द्रव्यमान केंद्र की गति

केंद्र-द्रव्यमान की परिभाषा से लैस होकर हम अब $n$ कणों की एक प्रणाली के लिए इसके भौतिक महत्व पर चर्चा करने की स्थिति में हैं। हम समीकरण (6.4d) को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} M R=\sum m_i r_i=m_1 r_1+m_2 r_2+\ldots+m_n r_n \tag{6.7} \end{equation*} $$

समय के सापेक्ष इस समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करने पर हम पाते हैं:

$$ M \frac{d R}{d t}=m_1 \frac{d r_1}{d t}+m_2 \frac{d r_2}{d t}+\ldots+m_n \frac{\mathrm{d} \mathbf{r_n}}{\mathrm{dt}} $$

या

$$ \begin{equation*} M v=m_1 v_1+m_2 v_2+\ldots+m_n v_n \tag{6.8} \end{equation*} $$

जहाँ $v_1\left(=d r_1 / d t\right)$ पहले कण का वेग है, $v_2\left(=d r_2 / d t\right)$ दूसरे कण का वेग है आदि, और $V=d R / d t$ केंद्र-द्रव्यमान का वेग है। ध्यान दीजिए कि हमने यह माना है कि द्रव्यमान $m_1, m_2, \ldots$ आदि समय के साथ परिवर्तित नहीं होते। इसलिए, समीकरणों को समय के सापेक्ष अवकलित करते समय हमने इन्हें अचर के रूप में माना है।

समीकरण (6.8) का समय के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & M \frac{d v}{d t}=m_1 \frac{d v_1}{d t}+m_2 \frac{d v_2}{d t}+\ldots+m_n \frac{dv_n}{d t} \\ & \text { या } \\ & M A=m_1 a_1+m_2 a_2+\ldots+m_n a_n \tag{6.9} \end{align*} $$

जहाँ $a_1\left(=d v_1 / d t\right)$ पहले कण का त्वरण है, $a_2\left(=d v_2 / d t\right)$ दूसरे कण का त्वरण है आदि, और $A(=d V / d t)$ कणों की प्रणाली के केंद्र-द्रव्यमान का त्वरण है।

अब, न्यूटन के द्वितीय नियम से, प्रथम कण पर कार्य कर रहे बल को $F_1=m_1 a_1$ द्वारा दिया गया है। द्वितीय कण पर कार्य कर रहे बल को $F_2=m_2 a_2$ द्वारा दिया गया है और इसी प्रकार आगे। समी. (6.9) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} M A=F_1+F_2+\ldots+F_n \tag{6.10} \end{equation*} $$

इस प्रकार, कणों की एक प्रणाली का कुल द्रव्यमान गुणा इसके द्रव्यमान-केंद्र का त्वरण, प्रणाली के सभी कणों पर कार्य कर रहे सभी बलों का सदिश योग होता है।

ध्यान दें कि जब हम प्रथम कण पर बल $\mathbf{F_1}$ की बात करते हैं, तो यह कोई एकल बल नहीं है, बल्कि प्रथम कण पर कारित सभी बलों का सदिश योग है; इसी प्रकार द्वितीय कण के लिए भी। इनमें से प्रत्येक कण पर कारित बलों में बाह्य बल भी होंगे जो प्रणाली के बाहर की वस्तुओं द्वारा लगाए जाते हैं और आंतरिक बल भी होंगे जो कण एक-दूसरे पर लगाते हैं। हम न्यूटन के तृतीय नियम से जानते हैं कि ये आंतरिक बल समान और विपरीत युग्मों में आते हैं और समी. (6.10) के बलों के योग में इनका योगदान शून्य होता है। केवल बाह्य बल ही समीकरण में योगदान करते हैं। हम तब समी. (6.10) को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} M \mathbf{A}=\mathbf{F_\text {ext }} \tag{6.11} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{F_\text {ext }}$ प्रणाली के कणों पर कारित सभी बाह्य बलों का योग दर्शाता है।

समी. (6.11) कहती है कि कणों की एक प्रणाली का द्रव्यमान-केंद्र इस प्रकार गति करता है मानो प्रणाली का सारा द्रव्यमान द्रव्यमान-केंद्र पर केंद्रित हो और सभी बाह्य बल उसी बिंदु पर लगाए गए हों।

ध्यान दीजिए, कणों के निकाय के केन्द्र-द्रव्यमान की गति को निर्धारित करने के लिए निकाय के आंतरिक बलों का कोई ज्ञान आवश्यक नहीं है; इस उद्देश्य के लिए हमें केवल बाह्य बलों को जानना होता है।

समीकरण (6.11) को प्राप्त करने के लिए हमें कणों के निकाय की प्रकृति निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं थी। निकाय कणों का एक समूह हो सकता है जिसमें सभी प्रकार की आंतरिक गतियाँ हो सकती हैं, या यह एक कठोर पिंड हो सकता है जिसमें या तो शुद्ध रूप से रेखीय गति है या रेखीय तथा घूर्णन गति का संयोजन है। निकाय जो भी हो और इसके व्यक्तिगत कणों की गति जो भी हो, केन्द्र-द्रव्यमान समीकरण (6.11) के अनुसार गति करता है।

विस्तृत पिंडों को एकल कणों के रूप में मानने के बजाय जैसा हमने पिछले अध्यायों में किया है, हम अब उन्हें कणों के निकायों के रूप में मान सकते हैं। हम उनकी गति के रेखीय घटक, अर्थात् निकाय के केन्द्र-द्रव्यमान की गति, को प्राप्त कर सकते हैं, पूरे निकाय के द्रव्यमान को केन्द्र-द्रव्यमान पर केन्द्रित मानकर और निकाय पर सभी बाह्य बलों को केन्द्र-द्रव्यमान पर कार्यरत मानकर।

यह वह प्रक्रिया है जिसका हमने पहले किसी वस्तु पर लगने वाले बलों का विश्लेषण करने और समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया था, बिना इस प्रक्रिया को स्पष्ट रूप से रेखांकित और औचित्य दिए। अब हमें एहसास होता है कि पहले के अध्ययनों में हमने बिना कहे यह मान लिया था कि कणों की घूर्णी गति और/या आंतरिक गति या तो अनुपस्थित है या नगण्य है। अब हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है। हमने न केवल उस प्रक्रिया का औचित्य खोजा है जिसका हमने पहले अनुसरण किया था, बल्कि यह भी पाया है कि (1) एक ऐसे कठोर पिंड के संचालन गति का वर्णन और पृथक्करण कैसे करें जो घूर्णन भी कर सकता है, या (2) सभी प्रकार की आंतरिक गति वाले कणों की प्रणाली का वर्णन और पृथक्करण कैसे करें।

चित्र 6.12 प्रक्षेप्य के टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्र उसी परवलयिक पथ पर आगे बढ़ता है जिसे वह तब अपनाता यदि कोई विस्फोट न होता।

आकृति 6.12 समीकरण (6.11) की एक अच्छी व्याख्या है। एक प्रक्षेप्य, सामान्य परवलयिक पथ का अनुसरण करते हुए, हवा में आधे रास्ते में टुकड़ों में फट जाता है। विस्फोट के कारण बल आंतरिक बल होते हैं। वे द्रव्यमान-केंद्र की गति में कुछ भी योगदान नहीं देते हैं। कुल बाह्य बल, अर्थात् पिण्ड पर कार्यरत गुरुत्वाकर्षण बल, विस्फोट से पहले और बाद में समान रहता है। बाह्य बल के प्रभाव में द्रव्यमान-केंद्र, इसलिए, उसी परवलयिक पथ का अनुसरण करता रहता है जैसा कि वह तब करता यदि कोई विस्फोट न होता।

6.4 कणों के निकाय का रेखीय संवेग

आइए याद करें कि एक कण का रेखीय संवेग इस प्रकार परिभाषित होता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{p}=m \mathbf{v} \tag{6.12} \end{equation*} $$

आइए यह भी याद करें कि न्यूटन का द्वितीय नियम एकल कण के लिए प्रतीकात्मक रूप में इस प्रकार लिखा जाता है

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} \tag{6.13} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{F}$ कण पर कार्यरत बल है। आइए हम $n$ कणों के एक निकाय पर विचार करें जिनके द्रव्यमान क्रमशः $m_1$, $m_2, \ldots m_{\mathrm{n}}$ हैं और वेग क्रमशः $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots \ldots . . \mathbf{v_n}$ हैं। कण परस्पर अन्योन्यक्रिया कर सकते हैं और उन पर बाह्य बल कार्यरत हो सकते हैं। प्रथम कण का रेखीय संवेग $m_{1} \mathbf{v_1}$ है, द्वितीय कण का $m_{2} \mathbf{v_2}$ है और इसी प्रकार आगे।

$n$ कणों की प्रणाली के लिए, प्रणाली का रेखीय संवेग उसके सभी कणों के संवेगों के सदिश योग के रूप में परिभाषित किया जाता है,

$$ \begin{align*} & \mathbf{P}=\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+\ldots+\mathbf{p_n} \\ & =m_{1} \mathbf{v_1}+m_{2} \mathbf{v_2}+\ldots+m_{n} \mathbf{v_n} \tag{6.14}\\ & \text { इसकी तुलना समी. (6.8) से करने पर } \\ & \mathbf{P}=M \mathbf{V} \tag{6.15} \end{align*} $$

इस प्रकार, कणों की प्रणाली का कुल संवेग प्रणाली के कुल द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केन्द्र के वेग के गुणनफल के बराबर होता है। समी. (6.15) को समय के सापेक्ष अवकलित करने पर,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=M \frac{\mathrm{d} \mathbf{V}}{\mathrm{d} t}=M \mathbf{A} \tag{6.16} \end{equation*} $$

समी. (6.16) और समी. (6.11) की तुलना करने पर,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F_{e x t}} \tag{6.17} \end{equation*} $$

यह कणों की प्रणाली तक विस्तारित न्यूटन का द्वितीय गति नियम है।

मान लीजिए अब, कणों की प्रणाली पर कार्यरत बाह्य बलों का योग शून्य है। तब समी. (6.17) से

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=0 \quad \text { या } \quad \mathbf{P}=\text { नियतांक } \tag{6.18a} \end{equation*} $$

इस प्रकार, जब कणों की एक निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होता है, तो निकाय का कुल रेखीय संवेग स्थिर रहता है। यह कणों के निकाय के कुल रेखीय संवेग के संरक्षण का नियम है। समीकरण (6.15) के कारण, इसका यह भी अर्थ है कि जब निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होता है तो द्रव्यमान केन्द्र का वेग स्थिर रहता है। (हम इस अध्याय में कणों के निकाय पर चर्चा के दौरान यह मानते हैं कि निकाय का कुल द्रव्यमान स्थिर रहता है।)

ध्यान दें कि आंतरिक बलों के कारण, अर्थात् कणों द्वारा एक-दूसरे पर लगाए गए बलों के कारण, व्यक्तिगत कणों की कक्षाएँ जटिल हो सकती हैं। फिर भी, यदि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है, तो द्रव्यमान केन्द्र एक स्थिर वेग से गति करता है, अर्थात् एक मुक्त कण की तरह सरल रेखा में एकसमान गति से चलता है।

सदिश समीकरण (6.18a) तीन अदिश समीकरणों के समतुल्य है,

$$ \begin{equation*} P_{x}=c_{1}, P_{y}=c_{2} \text{ और } P_{z}=c_{3} \tag{6.18b} \end{equation*} $$

यहाँ $P_{x}, P_{y}$ और $P_{z}$ कुल रेखीय संवेग सदिश $\mathbf{P}$ के क्रमशः $x-, y-$ और $z$-अक्षों के अनुदिश घटक हैं; $c_{1}, c_{2}$ और $c_{3}$ स्थिरांक हैं।

आकृति 6.13 (a) एक भारी नाभिक रेडियम (Ra) एक हल्के नाभिक रेडॉन (Rn) और एक अल्फा कण (हीलियम परमाणु का नाभिक) में विभाजित होता है। तंत्र का क्रय-बिंदु एकसमान गति में है। (b) भारी नाभिक रेडियम (Ra) का वही विभाजन, जब क्रय-बिंदु विराम में है। दो उत्पाद कण पीठ-से-पीठ उड़ते हैं

उदाहरण के तौर पर, आइए एक गतिशील अस्थिर कण, जैसे रेडियम का नाभिक, के रेडियोधर्मी क्षय पर विचार करें। एक रेडियम नाभिक रेडॉन के नाभिक और एक अल्फा कण में विघटित हो जाता है। क्षय का कारण बनने वाले बल तंत्र के आंतरिक होते हैं और तंत्र पर बाह्य बल नगण्य होते हैं। इसलिए क्षय से पहले और बाद में तंत्र का कुल रेखीय संवेग समान रहता है। क्षय में उत्पन्न दो कण, रेडॉन नाभिक और अल्फा कण, विभिन्न दिशाओं में इस प्रकार गतिशील होते हैं कि उनका क्रय-बिंदु उसी पथ के अनुदेश चलता है जिस पर मूल क्षयी रेडियम नाभिक गतिशील था [आकृति 6.13(a)]।

यदि हम क्षय को उस संदर्भ-फ्रेम से देखें जिसमें क्रय-बिंदु विराम में है, तो क्षय में संलग्न कणों की गति विशेष रूप से सरल प्रतीत होती है; उत्पाद कण पीठ-से-पीठ गतिशील होते हैं और उनका क्रय-बिंदु विराम में बना रहता है जैसा कि आकृति 6.13(b) में दिखाया गया है।

चित्र 6.14 दो तारों S (बिंदीदार रेखा) और S (ठोस रेखा) के पथ जो एक द्वैध प्रणाली बनाते हैं और उनका द्रव्यमान-केंद्र C एकसमान गति में है (b) वही द्वैध प्रणाली, जिसका द्रव्यमान-केंद्र C स्थिर है

कणों की प्रणाली पर कई समस्याओं में, जैसे कि उपरोक्त रेडियोधर्मी क्षय समस्या, प्रयोगशाला संदर्भ-तंत्र की अपेक्षा द्रव्यमान-केंद्र संदर्भ-तंत्र में कार्य करना सुविधाजनक होता है।

खगोलशास्त्र में, द्वैध (दोहरे) तारे एक सामान्य घटना हैं। यदि कोई बाह्य बल नहीं हैं, तो एक द्वैध तारे का द्रव्यमान-केंद्र एक स्वतंत्र कण की भांति गति करता है, जैसा कि चित्र 6.14(a) में दिखाया गया है। समान द्रव्यमान वाले दोनों तारों की प्रक्षेपपथ भी चित्र में दिखाई गई हैं; वे जटिल प्रतीत होती हैं। यदि हम द्रव्यमान-केंद्र संदर्भ-तंत्र में चले जाते हैं, तो हम पाते हैं कि वहां दोनों तारे द्रव्यमान-केंद्र के परितः एक वृत्त में गति कर रहे हैं, जो स्थिर है। ध्यान दें कि तारों की स्थिति आपस में व्यास के विपरीत होनी चाहिए [चित्र 6.14(b)]। इस प्रकार हमारे संदर्भ-तंत्र में, तारों की प्रक्षेपपथ (i) द्रव्यमान-केंद्र की सीधी रेखा में एकसमान गति और (ii) द्रव्यमान-केंद्र के परितः तारों की वृत्ताकार कक्षाओं का संयोजन है।

जैसा कि दोनों उदाहरणों से देखा जा सकता है, किसी प्रणाली के विभिन्न भागों की गति को द्रव्यमान-केंद्र की गति और द्रव्यमान-केंद्र के परितः गति में पृथक करना एक अत्यंत उपयोगी तकनीक है जो प्रणाली की गति को समझने में सहायक होती है।

6.5 दो सदिशों का सदिश गुणनफल

हम पहले से ही सदिशों और उनके भौतिकी में उपयोग से परिचित हैं। अध्याय 5 (कार्य, ऊर्जा, शक्ति) में हमने दो सदिशों का अदिश गुणनफल परिभाषित किया था। एक महत्वपूर्ण भौतिक राशि, कार्य, को दो सदिश राशियों, बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

अब हम दो सदिशों का एक अन्य गुणनफल परिभाषित करेंगे। यह गुणनफल एक सदिश है। घूर्णन गति के अध्ययन में दो महत्वपूर्ण राशियाँ, अर्थात् बल का आघूर्ण और कोणीय संवेग, सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित की जाती हैं।

सदिश गुणनफल की परिभाषा

दो सदिशों $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ का सदिश गुणनफल एक सदिश c है जैसे कि

(i) $\mathbf{c}=c=a b \sin \theta$ जहाँ $a$ और $b$, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के परिमाण हैं और $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।

(ii) c, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ को समतल वाले तल के लंबवत् है।

(iii) यदि हम एक दक्षिणावर्त पेंच लेते हैं जिसका सिर $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल में स्थित हो और पेंच इस तल के लंबवत् हो, और यदि हम सिर को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की दिशा में घुमाते हैं, तो पेंच की नोक c की दिशा में आगे बढ़ती है। यह दक्षिणावर्त पेंच नियम चित्र 6.15a में दिखाया गया है। वैकल्पिक रूप से, यदि कोई अपने दाएँ हाथ की उंगलियों को $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल के लंबवत् एक रेखा के चारों ओर मोड़ता है और यदि उंगलियों को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की दिशा में मोड़ा जाता है, तो फैला हुआ अंगूठा c की दिशा में इशारा करता है, जैसा कि चित्र 6.15b में दिखाया गया है।

आकृति 6.15 (a) दो सदिशों के सदिश गुणनफल की दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के पेंच का नियम। (b) सदिश गुणनफल की दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ का नियम।

दाहिने हाथ के नियम का एक सरल संस्करण इस प्रकार है: अपने दाहिने हाथ की हथेली खोलें और उंगलियों को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर मोड़ें। आपका फैला हुआ अंगूठा $\mathbf{c}$ की दिशा में इशारा करता है। यह याद रखना चाहिए कि किन्हीं दो सदिशों $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच दो कोण होते हैं। आकृति 6.15 (a) या (b) में वे $\theta$ (जैसा दिखाया गया है) और $\left(360^{\circ}-\theta\right)$ के अनुरूप हैं। उपरोक्त में से किसी भी नियम को लागू करते समय, घूर्णन को $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच के छोटे कोण $\left(<180^{\circ}\right)$ के माध्यम से लिया जाना चाहिए। यहाँ वह $\theta$ है।

सदिश गुणनफल को दर्शाने के लिए प्रयुक्त क्रॉस $(x)$ के कारण इसे क्रॉस गुणनफल भी कहा जाता है।

• ध्यान दें कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है जैसा पहले कहा गया है, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ सदिश गुणनफल, हालांकि, क्रमविनिमेय नहीं होता है, अर्थात् $\mathbf{a} \times \mathbf{b} \neq \mathbf{b} \times \mathbf{a}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ और $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ दोनों का परिमाण समान होता है $(a b \sin \theta)$; साथ ही, ये दोनों $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के समतल के लंबवत होते हैं। लेकिन दक्षिणावर्त पेंच की घूर्णन दिशा $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के मामले में $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर होती है, जबकि $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ के मामले में यह $\mathbf{b}$ से $\mathbf{a}$ की ओर होती है। इसका अर्थ है कि ये दो सदिश विपरीत दिशाओं में हैं। हमारे पास है

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=-\mathbf{b} \times \mathbf{a} $$

• सदिश गुणनफल की एक अन्य रोचक संपत्ति इसका परावर्तन के अंतर्गत व्यवहार है। परावर्तन के अंतर्गत (अर्थात् समतल दर्पण प्रतिबिंब लेने पर) हमारे पास $x \rightarrow-x, y \rightarrow-y$ और $z \rightarrow-z$ होता है। परिणामस्वरूप एक सदिश के सभी घटक चिह्न बदल देते हैं और इस प्रकार $a \rightarrow-a, b \rightarrow-b$ हो जाता है। परावर्तन के अंतर्गत $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ का क्या होता है?

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rightarrow(-\mathbf{a}) \times(-\mathbf{b})=\mathbf{a} \times \mathbf{b} $$

इस प्रकार, परावर्तन के अंतर्गत $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ चिह्न नहीं बदलता।

• अदिश और सदिश दोनों गुणनफल सदिश योग के प्रति वितरणशील होते हैं। इस प्रकार,

$$ \begin{gathered} \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \ \mathbf{a} \times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{c} \end{gathered} $$

• हम $\mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ को घटक रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए हमें पहले कुछ प्रारंभिक क्रॉस गुणनफल प्राप्त करने होंगे:

(i) $\mathbf{a} \times \mathbf{a}=\mathbf{0}$ (0 एक शून्य सदिश है, अर्थात् एक सदिश जिसका परिमाण शून्य है)

यह इसलिए है क्योंकि $\mathbf{a} \times \mathbf{a}$ का परिमाण $a^{2} \sin 0^{\circ}=0$ है।

इससे निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं

(i) $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\mathbf{0}, \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}=\mathbf{0}, \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{0}$

(ii) $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}$

ध्यान दें कि $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$ का परिमाण $\sin 90^{\circ}$ अर्थात् 1 है, क्योंकि $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ दोनों का परिमाण इकाई है और उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है। इस प्रकार, $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$ एक इकाई सदिश है। $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के समतल के लंबवत एक इकाई सदिश जो दाएं हाथ के पेंच नियम से उनसे संबंधित है, वह $\hat{\mathbf{k}}$ है। इसलिए उपरोक्त परिणाम। आप इसी प्रकार सत्यापित कर सकते हैं,

$$ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} \text { और } \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} $$

क्रॉस गुणनफल के क्रम-विनिमय नियम से यह अनुसरण करता है:

$$ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}, \quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{-\mathbf{i}}, \quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}} $$

ध्यान दें: यदि उपरोक्त सदिश गुणनफल संबंध में $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ चक्रवत् क्रम में आते हैं, तो सदिश गुणनफल धनात्मक होता है। यदि $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ चक्रवत् क्रम में नहीं आते, तो सदिश गुणनफल ऋणात्मक होता है।

अब,

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left(a_{x} \hat{\mathbf{i}}+a_{y} \hat{\mathbf{j}}+a_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \times\left(b_{x} \hat{\mathbf{i}}+b_{y} \hat{\mathbf{j}}+b_{z} \hat{\mathbf{k}}\right)$

$=a_{x} b_{y} \hat{\mathbf{k}}-a_{x} b_{z} \hat{\mathbf{j}}-a_{y} b_{x} \hat{\mathbf{k}}+a_{y} b_{z} \hat{\mathbf{i}}+a_{z} b_{x} \hat{\mathbf{j}}-a_{z} b_{y} \hat{\mathbf{i}}$

$=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) \mathbf{i}+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) \mathbf{j}+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) \mathbf{k}$

हमने उपरोक्त संबंध प्राप्त करने के लिए प्राथमिक क्रॉस गुणनफलों का प्रयोग किया है। $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के लिए व्यंजक को सारणिक रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे याद रखना सरल होता है।

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array}\right| $$

उदाहरण 6.4 दो सदिशों $\mathbf{a}=(3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}})$ और $\mathbf{b}=(-2 \hat{\mathbf{i}}+\mathbf{j}+3 \hat{\mathbf{k}})$ का अदिश और सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर

$$ \begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & =(3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}) \cdot(-2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-3 \hat{\mathbf{k}}) \ & =-6-4-15 \ & =-25 \end{aligned} $$

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \ 3 & -4 & 5 \ -2 & 1 & -3 \end{array}\right|=7 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}} $$

नोट $\mathbf{b} \times \mathbf{a}=-7 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}$

6.6 कोणीय वेग और इसका रैखिक वेग से संबंध

इस खंड में हम अध्ययन करेंगे कि कोणीय वेग क्या है और घूर्णन गति में इसकी क्या भूमिका है। हमने देखा है कि घूर्णी पिण्ड के प्रत्येक कण वृत्त में गति करता है। कण का रैखिक वेग कोणीय वेग से संबंधित होता है। इन दो राशियों के बीच संबंध में एक सदिश गुणनफल सम्मिलित होता है जिसे हमने पिछले खंड में सीखा है।

आकृति 6.16 एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन। (एक दृढ़ पिण्ड का कण (P) निश्चित (z-) अक्ष के परितः घूर्णन करते हुए एक वृत्त में गति करता है जिसका केंद्र (C) अक्ष पर होता है।)

आइए हम Fig. 6.4 पर वापस जाएं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, किसी दृढ़ वस्तु के निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति में, वस्तु का प्रत्येक कण एक वृत्त में चलता है, जो अक्ष के लंबवत् एक समतल में स्थित होता है और जिसका केंद्र अक्ष पर होता है। Fig. 6.16 में हम Fig. 6.4 को पुनः आरेखित कर रहे हैं, जिसमें दृढ़ वस्तु का एक विशिष्ट कण (बिंदु $\mathrm{P}$ पर) निश्चित अक्ष (जिसे $z$-अक्ष माना गया है) के परितः घूर्णन करता हुआ दिखाया गया है।
कण अक्ष पर स्थित केंद्र $\mathrm{C}$ के साथ एक वृत्त खींचता है। वृत्त की त्रिज्या $r$ है, जो बिंदु $\mathrm{P}$ का अक्ष से लंबवत् दूरी है। हम कण का रैखिक वेग सदिश $\mathbf{v}$ को भी $P$ पर दिखा रहे हैं। यह वृत्त के $P$ पर स्पर्श रेखा के अनुदिश है।

मान लीजिए $\mathrm{P}^{\prime}$ समय अंतराल $\Delta t$ के बाद कण की स्थिति है (चित्र 6.16)। कोण $\mathrm{PCP}^{\prime}$ समय $\Delta t$ में कण के कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ को दर्शाता है। अंतराल $\Delta t$ पर कण की औसत कोणीय वेग $\Delta \theta / \Delta t$ है। जैसे-जैसे $\Delta t$ शून्य की ओर जाता है (अर्थात् छोटे और छोटे मान लेता है), अनुपात $\Delta \theta / \Delta t$ एक सीमा की ओर बढ़ता है जो स्थिति $\mathrm{P}$ पर कण का तात्कालिक कोणीय वेग $\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ है। हम तात्कालिक कोणीय वेग को $\omega$ (ग्रीक अक्षर ओमेगा) द्वारा दर्शाते हैं। हम वृत्तीय गति के अध्ययन से जानते हैं कि एक कण का रैखिक वेग $v$ का परिमाण, कण के कोणीय वेग $\omega$ से सरल संबंध $v=\omega r$ द्वारा संबंधित होता है, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।

हम देखते हैं कि किसी दिए गए क्षण संबंध $v=\omega r$ कठोर पिण्ड के सभी कणों पर लागू होता है। इस प्रकार, एक कण जो निश्चित अक्ष से लम्बवत् दूरी $r_{i}$ पर है, उसका दिए गए क्षण का रैखिक वेग $v_{i}$ इस प्रकार दिया जाता है

$$ \begin{equation*} v_{i}=\omega r_{i} \tag{6.19} \end{equation*} $$

सूचकांक $i$ 1 से $n$ तक चलता है, जहाँ $n$ पिण्ड के कुल कणों की संख्या है।

अक्ष पर स्थित कणों के लिए, $r=0$, और इसलिए $v=\omega r=0$। इस प्रकार, अक्ष पर कण स्थिर होते हैं। यह सत्यापित करता है कि अक्ष निश्चित है।

ध्यान दें कि हम सभी कणों के लिए समान कोणीय वेग $\omega$ का उपयोग करते हैं। हम इसलिए, $\omega$ को संपूर्ण पिण्ड का कोणीय वेग कहते हैं।

हमने किसी पिण्ड के शुद्ध रूपान्तरण को इस प्रकार लक्षित किया है कि समय के किसी भी क्षण पिण्ड के सभी भागों का वेग समान होता है। इसी प्रकार, हम शुद्ध घूर्णन को इस बात से लक्षित कर सकते हैं कि समय के किसी भी क्षण पिण्ड के सभी भागों का कोणीय वेग समान होता है। ध्यान दें कि किसी कठोर पिण्ड के निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन की यह लक्षण-वर्णन विधि केवल यह कहने का दूसरा तरीका है, जैसा कि खण्ड 6.1 में है, कि पिण्ड का प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लम्बवत् एक समतल में स्थित होता है और जिसका केन्द्र अक्ष पर होता है।

अब तक की हमारी चर्चा में कोणीय वेग एक अदिश प्रतीत होता है। वास्तव में, यह एक सदिश है। हम इस तथ्य को औचित्य नहीं देंगे, परन्तु हम इसे स्वीकार करते हैं। निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कोणीय वेग सदिश घूर्णन के अक्ष के अनुदिश होता है, और उस दिशा में बाहर की ओर इंगित करता है जिसमें एक दक्षिणावर्त पेंच आगे बढ़ेगा, यदि पेंच का सिरा पिण्ड के साथ घूमता है। (देखें चित्र 6.17a)।

इस सदिश का परिमाण $\omega=d \theta / d t$ है, जैसा ऊपर उल्लेखित है।

चित्र 6.17 (a) यदि दाहिने हाथ के पेंच का सिरा शरीर के साथ घूमता है, तो पेंच कोणीय वेग ω की दिशा में आगे बढ़ता है। यदि शरीर के घूर्णन की दिशा (घड़ी की सुई के अनुसार या विपरीत) बदलती है, तो ω की दिशा भी बदल जाती है।

चित्र 6.17 (b) कोणीय वेग सदिश ω स्थिर अक्ष के अनुदर्शित है जैसा दिखाया गया है। बिंदु P पर कण का रेखीय वेग v = ω × r है। यह ω और r दोनों के लंबवत है और कण द्वारा वर्णित वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदर्शित है।

अब हम देखेंगे कि सदिश गुणनफल $\omega \times \mathbf{r}$ किससे संगत है। चित्र 6.17(b) देखें जो चित्र 6.16 का एक भाग है जिसे कण $P$ के पथ को दिखाने के लिए पुनः उत्पन्न किया गया है। यह चित्र सदिश $\omega$ को स्थिर $\left(z^{-}\right)$ अक्ष के अनुदर्शित दिखाता है और साथ ही मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष दृढ़ शरीर के कण $\mathrm{P}$ की स्थिति सदिश $\mathbf{r}=\mathbf{O P}$ को भी दिखाता है। ध्यान दें कि मूल बिंदु घूर्णन अक्ष पर चुना गया है।

अब

$$ \omega \quad \mathrm{r}=\omega \quad \mathrm{OP}=\boldsymbol{\omega} \quad(\mathrm{OC}+\mathrm{CP}) $$

लेकिन $\boldsymbol{\omega} \times \mathrm{OC}=0$ क्योंकि ω $\boldsymbol{\omega} \mathrm{OC}$ के अनुदर्शित है

इसलिए $: \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}=\boldsymbol{\omega} \times \mathrm{CP}$

वेक्टर $\omega \times \mathbf{C P}$ वेक्टर $\omega$ के लंबवत है, अर्थात् $z$-अक्ष के लंबवत तथा $\mathbf{C P}$ के भी लंबवत है, जो बिंदु $P$ पर कण द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या है। अतः यह बिंदु $\mathrm{P}$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में है। साथ ही, $\omega \times \mathbf{C P}$ का परिमाण $\omega$ (CP) है, क्योंकि $\omega$ और $\mathbf{C P}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं। हम $\mathbf{C P}$ को $\mathbf{r_\perp}$ द्वारा प्रदर्शित करेंगे, न कि $\mathbf{r}$ से, जैसा हमने पहले किया था।

इस प्रकार, $\omega \times \mathbf{r}$ एक ऐसा वेक्टर है जिसका परिमाण $\omega r_{\perp}$ है और यह बिंदु $P$ पर कण द्वारा वर्णित वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में है। बिंदु $\mathrm{P}$ पर रैखिक वेग वेक्टर $\mathbf{v}$ का परिमाण तथा दिशा दोनों समान हैं। अतः,

$$ \begin{equation*} \mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r} \tag{6.20} \end{equation*} $$

वास्तव में, सम्बन्ध, समी. (6.20), एक कठोर वस्तु के एक बिंदु को स्थिर रखते हुए घूर्णन के लिए भी सही है, जैसे कि लट्टू का घूर्णन [चित्र 6.6(a)]। इस स्थिति में $\mathbf{r}$ स्थिर बिंदु को मूलबिंदु मानते हुए कण का स्थिति वेक्टर दर्शाता है।

हम ध्यान दें कि एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, वेक्टर $\omega$ की दिशा समय के साथ नहीं बदलती। इसका परिमाण क्षण-क्षण पर बदल सकता है। अधिक सामान्य घूर्णन के लिए, $\omega$ का परिमाण तथा दिशा दोनों क्षण-क्षण पर बदल सकते हैं।

6.6.1 कोणीय त्वरण

आपने देखा होगा कि हम घूर्णन गति का अध्ययन उसी तरह विकसित कर रहे हैं जिस तरह से हम पहले से ही परिचित रेखीय गति का अध्ययन करते हैं। रेखीय गति में रेखीय विस्थापन (s) और वेग (v) के समान, घूर्णन गति में कोणीय विस्थापन $(\theta)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ होते हैं। यह स्वाभाविक है कि हम घूर्णन गति में कोणीय त्वरण की अवधारणा को परिभाषित करें, जो रेखीय त्वरण के समान है, जिसे रेखीय गति में वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है। हम कोणीय त्वरण $\alpha$ को कोणीय वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित करते हैं। इस प्रकार,

$$ \begin{equation*} \alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \tag{6.21} \end{equation*} $$

यदि घूर्णन का अक्ष स्थिर है, तो $\omega$ की दिशा और इसलिए $\boldsymbol{\alpha}$ की दिशा भी स्थिर होती है। इस स्थिति में सदिश समीकरण एक अदिश समीकरण में बदल जाता है

$$ \begin{equation*} \alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \tag{6.22} \end{equation*} $$

6.7 टॉर्क और कोणीय संवेग

इस खंड में, हम दो भौतिक राशियों (टॉर्क और कोणीय संवेग) से परिचित होंगे, जिन्हें दो सदिशों के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है। जैसा कि हम देखेंगे, ये विशेष रूप से कणों के निकायों, विशेष रूप से दृढ़ वस्तुओं की गति की चर्चा में महत्वपूर्ण हैं।

6.7.1 बल का आघूर्ण (टॉर्क)

हमने सीखा है कि एक दृढ़ वस्तु की गति, सामान्यतः, घूर्णन और स्थानांतरण का संयोजन होती है। यदि वस्तु किसी बिंदु या रेखा पर स्थिर है, तो उसमें केवल घूर्णी गति होती है। हम जानते हैं कि वस्तु के स्थानांतरणीय अवस्था को बदलने, अर्थात् रेखीय त्वरण उत्पन्न करने के लिए बल की आवश्यकता होती है। हम तब पूछ सकते हैं, घूर्णी गति के मामले में बल का समकक्ष क्या है? इस प्रश्न को एक ठोस परिस्थिति में देखने के लिए आइए दरवाजे के खुलने या बंद होने के उदाहरण को लें। एक दरवाजा एक दृढ़ वस्तु है जो कब्जों से गुजरने वाली एक स्थिर ऊध्र्वाधर अक्ष के परितः घूम सकता है। दरवाजे को घुमाने के लिए क्या कारक उत्तरदायी है? यह स्पष्ट है कि जब तक कोई बल आरोपित नहीं किया जाता, दरवाजा घूर्णन नहीं करता। लेकिन कोई भी बल कार्य नहीं करता। कब्जे की रेखा पर आरोपित बल किसी भी घूर्णन का उत्पादन नहीं कर सकता, जबकि दिए गए परिमाण का बल, दरवाजे के बाहरी किनारे पर लंबवत आरोपित होने पर, घूर्णन उत्पन्न करने में सर्वाधिक प्रभावी होता है। घूर्णी गति में केवल बल ही नहीं, बल्कि बल कहाँ और कैसे आरोपित किया जाता है, यह भी महत्वपूर्ण है।

रेखीय गति में बल का घूर्णी समकक्ष बल का आघूर्ण है। इसे टॉर्क या युग्म भी कहा जाता है। (हम ‘बल का आघूर्ण’ और ‘टॉर्क’ शब्दों का परस्पर प्रयोग करेंगे।) हम पहले बल के आघूर्ण की परिभाषा एकल कण की विशेष परिस्थिति के लिए करेंगे। बाद में हम इस अवधारणा को कणों के तंत्रों तक, जिनमें दृढ़ वस्तुएँ भी सम्मिलित हैं, विस्तारित करेंगे। हम इसे घूर्णी गति की अवस्था में परिवर्तन, अर्थात् एक दृढ़ वस्तु के कोणीय त्वरण से भी संबद्ध करेंगे।

चित्र 6.18 τ = r × F, τ सदिश r और F को सम्मिलित करने वाले समतल के लंबवत् होता है और इसकी दिशा दक्षिणावर्त पेंच नियम द्वारा दी जाती है।

यदि एक बल किसी एकल कण पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर कार्य करता है जिसकी स्थिति मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ द्वारा दी गई है (चित्र 6.18), तो मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष कण पर कार्य कर रहे बल का आघूर्ण सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है

$$ \begin{equation*} \tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F} \tag{6.23} \end{equation*} $$

बल का आघूर्ण (या टॉर्क) एक सदिश राशि है। प्रतीक $\tau$ ग्रीक अक्षर ताउ को दर्शाता है। $\tau$ का परिमाण

$$ \begin{equation*} \tau=r F \sin \theta \tag{6.24a} \end{equation*} $$

है, जहाँ $r$ स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ का परिमाण है, अर्थात् रेखा $\mathrm{OP}$ की लंबाई, $F$ बल सदिश $\mathbf{F}$ का परिमाण है और $\theta$ सदिश $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ के बीच का कोण है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

बल के आघूर्ण की विमाएँ $\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}$ हैं। इसकी विमाएँ कार्य या ऊर्जा की विमाओं के समान हैं। यह, हालाँकि, कार्य से एक भिन्न भौतिक राशि है। बल का आघूर्ण एक सदिश है, जबकि कार्य एक अदिश है। बल के आघूर्ण का SI मात्रक न्यूटन मीटर $(\mathrm{N} \mathrm{m})$ है। बल के आघूर्ण का परिमाण इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{align*} & \tau=(r \sin \theta) F=r _{\perp} F \tag{6.24b} \\ & \text { या } \quad \tau=r F \sin \theta=r F _{\perp} \tag{6.24c} \end{align*} $$

जहाँ $r_{\perp}=r \sin \theta$ मूल बिंदु से $\mathbf{F}$ की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी है और $F_{\perp}(=F \sin \theta)$ $\mathbf{r}$ के लंबवत दिशा में $\mathbf{F}$ का घटक है। ध्यान दें कि $\tau=0$ यदि $r=0$, $F=0$ या $\theta=0^{\circ}$ या $180^{\circ}$। इस प्रकार, बल का आघूर्ण शून्य हो जाता है यदि या तो बल का परिमाण शून्य है, या बल की क्रिया रेखा मूल बिंदु से गुजरती है।

ध्यान दिया जा सकता है कि चूँकि $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ एक सदिश गुणनफल है, दो सदिशों के सदिश गुणनफल के गुण इस पर लागू होते हैं। यदि $\mathbf{F}$ की दिशा उलट दी जाए, तो बल के आघूर्ण की दिशा उलट जाती है। यदि $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ दोनों की दिशाएँ उलट दी जाएँ, तो बल के आघूर्ण की दिशा समान रहती है।

6.7.2 कण का कोणीय संवेग

जैसे बल का आघूर्ण रेखीय गति में बल का घूर्णन समकक्ष है, वैसे ही कोणीय संवेग रेखीय संवेग का घूर्णन समकक्ष है। हम पहले एकल कण के विशेष मामले के लिए कोणीय संवेग को परिभाषित करेंगे और एकल कण गति के संदर्भ में इसकी उपयोगिता देखेंगे। फिर हम कोणीय संवेग की परिभाषा को कणों की प्रणालियों तक, जिनमें दृढ़ वस्तुएँ भी शामिल हैं, विस्तारित करेंगे।

बल के आघूर्ण की तरह, कोणीय संवेग भी एक सदिश गुणनफल है। इसे (रेखीय) संवेग का आघूर्ण भी कहा जा सकता है। इस पद से आप अनुमान लगा सकते हैं कि कोणीय संवेग को कैसे परिभाषित किया गया है।

मान लीजिए मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष स्थिति $\mathbf{r}$ पर द्रव्यमान $m$ और रेखीय संवेग $\mathbf{p}$ वाला एक कण है। मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $l$ इस प्रकार परिभाषित है

$$l=\mathbf{r} \times \mathbf{p} \tag{6.25a}$$

कोणीय संवेग सदिश का परिमाण

$$ \begin{equation*} l=r p \sin \theta \tag{6.26a} \end{equation*} $$

है, जहाँ $p$, $\mathbf{p}$ का परिमाण है और $\theta$, $\mathbf{r}$ और $\mathbf{p}$ के बीच का कोण है। हम लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} l=r p_{\perp} \text { या } r_{\perp} p \tag{6.26b} \end{equation*} $$

जहाँ $r_{\perp}(=r \sin \theta)$ मूलबिंदु से $\mathbf{p}$ की दिशात्मक रेखा की लंबवत दूरी है और $p_{\perp}(=p \sin \theta)$ $\mathbf{r}$ के लंबवत दिशा में $\mathbf{p}$ का घटक है। हम अपेक्षा करते हैं कि कोणीय संवेग शून्य $(1=0)$ होगा, यदि रेखीय संवेग शून्य हो जाए $(p=0)$, यदि कण मूलबिंदु पर हो $(r=0)$, या यदि $\mathbf{p}$ की दिशात्मक रेखा मूलबिंदु से होकर गुजरे $\theta=0^{\circ}$ या $180^{\circ}$।

भौतिक राशियाँ, बल का आघूर्ण और कोणीय संवेग, इनके बीच एक महत्वपूर्ण संबंध होता है। यह बल और रेखीय संवेग के संबंध का घूर्णन समकक्ष है। एकल कण के संदर्भ में संबंध प्राप्त करने के लिए, हम $\boldsymbol{l}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ को समय के सापेक्ष अवकलित करते हैं,

$$ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) $$

दायीं ओर के लिए अवकलन के गुणनफल नियम को लागू करने पर,

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{p}+\mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} $$

अब, कण का वेग $\mathbf{v}=d \mathbf{r} / d t$ है और $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$

$$ इस कारण \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{p}=\mathbf{v} \times m \mathbf{v}=0 \text {, } $$

चूँकि दो समानांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूँकि $\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\mathbf{F}$,

$$ \begin{align*} & \mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{r} \times \mathbf{F}=\mathbf{t} \ & \text { इसलिए } \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})=\tau \ & \text { या } \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\tau \tag{6.27} \end{align*} $$

इस प्रकार, किसी कण के कोणीय संवेग में समय दर परिवर्तन उस पर कार्यरत बलाघूर्ण के बराबर होता है। यह समीकरण $\mathbf{F}=\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t$ का घूर्णन समतुल्य है, जो एकल कण के रेखीय गति के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम व्यक्त करता है।

कणों की प्रणाली के लिए बलाघूर्ण और कोणीय संवेग

किसी दिए गए बिंदु के सापेक्ष कणों की प्रणाली के कुल कोणीय संवेग को प्राप्त करने के लिए हमें व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेगों का सदिश योग करना होता है। इस प्रकार, $n$ कणों की प्रणाली के लिए,

$$ \mathbf{L}=\boldsymbol{l_1}+\boldsymbol{l_2}+\ldots+\boldsymbol{l_n}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{l_i} $$

$t^{\text {वें }}$ कण का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया गया है

$$ l_{i}=\mathbf{r_i} \mathbf{p_i} $$

जहाँ $\mathbf{r_i}$ दी गई मूलबिंदु के सापेक्ष $i^{\text {th }}$ कण का स्थिति सदिश है और $\mathbf{p}=\left(m_{i} \mathbf{v}\right)$ कण का रेखीय संवेग है। (कण का द्रव्यमान $m_{i}$ और वेग $\mathbf{v_i}$ है) हम कणों की एक प्रणाली के कुल कोणीय संवेग को इस प्रकार लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\sum \boldsymbol{l_i}=\sum_{i} \mathbf{r_i} \times \mathbf{p_i} \tag{6.25b} \end{equation*} $$

यह एक कण के कोणीय संवेग की परिभाषा (समी. 6.25a) को कणों की एक प्रणाली के लिए व्यापकीकरण है।

समीकरणों (6.23) और (6.25b) का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं

$$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum \boldsymbol{l}_{i}\right)=\sum_i \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\sum_i \tau_i \tag{6.28a}$$

जहाँ $\tau_{i}$ $i^{\text {th }}$ कण पर कार्यरत बल आघूर्ण है;

$$ \tau_{i}=\mathbf{r_i} \times \mathbf{F_i} $$

$i^{\text {th }}$ कण पर बल $\mathbf{F_i}$ कण पर कार्यरत बाह्य बलों $\mathbf{F_i}^{\text {ext }}$ और प्रणाली के अन्य कणों द्वारा उस पर आरोपित आंतरिक बलों $\mathbf{F_i}^{\text {int }}$ के सदिश योग है। इसलिए हम कुल बल आघूर्ण में बाह्य और आंतरिक बलों के योगदान को पृथक कर सकते हैं

$$ \begin{aligned} & \tau=\sum _{i} \tau _{i}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i} \text { अर्थात् } \ & \tau=\tau _{e x t}+\tau _{\text {int }}, \ & \text{जहां} \quad \tau _{\text {ext }}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i}^{e x t} \ & \text{और} \quad \tau _{\text {int }}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i}^{\text {int }} \end{aligned} $$

हम न केवल न्यूटन के गति के तीसरे नियम को मानेंगे, अर्थात् तंत्र के किन्हीं दो कणों के बीच लगने वाले बल समान और विपरीत दिशा में हैं, बल्कि यह भी मानेंगे कि ये बल उन दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा की दिशा में हैं। इस स्थिति में आंतरिक बलों का कुल टॉर्क में योगदान शून्य होता है, क्योंकि प्रत्येक क्रिया-प्रतिक्रिया बल युग्म से उत्पन्न टॉर्क शून्य होता है। इस प्रकार हमारे पास, $\tau_{\text {int }}=$ $\mathbf{0}$ और इसलिए $\tau=\tau_{\text {ext }}$ है।

चूँकि $\tau=\sum \tau_{i}$, समी. (6.28a) से यह अनुसरण करता है कि

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\tau_{e x t} \tag{6.28b} \end{equation*} $$

इस प्रकार, किसी निकाय के कणों के कुल कोणीय संवेग में समय दर परिवर्तन, किसी बिन्दु (जिसे हम अपने संदर्भ फ्रेम का मूल बिन्दु मानते हैं) के सापेक्ष, बाह्य बलों के कारण उत्पन्न बाह्य टॉर्क के योग के बराबर होता है। समीकरण (6.28 b) समीकरण (6.23) के एकल कण प्रकरण का निकाय के कणों पर व्यापकीकरण है। ध्यान दें कि जब हमारे पास केवल एक कण होता है, तो कोई आंतरिक बल या टॉर्क नहीं होता। समीकरण (6.28 b) इसका घूर्णन समकक्ष है

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F}_{e x t} \tag{6.17} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि समीकरण (6.17) की तरह, समीकरण (6.28 b) किसी भी प्रकार के निकाय के कणों के लिए सही है, चाहे वह एक कठोर पिण्ड हो या उसके कणों में सभी प्रकार की आंतरिक गति हो।

कोणीय संवेग का संरक्षण

यदि $\boldsymbol{\tau}_{\text {ext }}=\mathbf{0}$, तो समीकरण (6.28 b) इस प्रकार सरल हो जाता है

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=0 \end{equation*} $$

$$\text{या}\quad \mathbf{L}= \text{ नियतांक.} \tag{6.29a}$$

इस प्रकार, यदि कणों के निकाय पर कुल बाह्य टॉर्क शून्य है, तो निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, अर्थात् नियत रहता है। समीकरण (6.29a) तीन अदिश समीकरणों के समतुल्य है,

$$ \begin{equation*} L_{x}=K_{1}, L_{y}=K_{2} \text { और } L_{z}=K_{3} \tag{6.29b} \end{equation*} $$

यहाँ $K_{1}, K_{2}$ और $3$ स्थिरांक हैं; $L_{x}, L_{V}$ और $L_{z}$ कुल कोणीय संवेग सदिश $\mathbf{L}$ के $x, y$ और $z$ अक्षों के अनुद्रेश घटक हैं। यह कथन कि कुल कोणीय संवेग संरक्षित है, इसका अर्थ है कि इन तीनों घटकों में से प्रत्येक संरक्षित है।
समी. (6.29a) समी. (6.18a) की घूर्णन समानता है, अर्थात् कणों की एक प्रणाली के लिए कुल रेखीय संवेग का संरक्षण नियम। समी. (6.18a) की भाँति, इसके भी अनेक व्यावहारिक परिस्थितियों में अनुप्रयोग हैं। हम इस अध्याय के आगे कुछ रोचक अनुप्रयोगों पर दृष्टि डालेंगे।

उदाहरण 6.5 एक बल $7 \tilde{\mathbf{i}}$ $+3 \tilde{\mathbf{j}}-5 \tilde{\mathbf{k}}$ का मूल-बिंदु के परितः टॉर्क ज्ञात कीजिए। यह बल एक ऐसे कण पर कार्य करता है जिसका स्थिति सदिश $\tilde{\mathbf{i}}-\tilde{\mathbf{j}}+\tilde{\mathbf{k}}$ है।

उत्तर यहाँ

$$\mathbf{r}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$$

$$ \text { और } \mathbf{F}=7 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}} $$

हम टॉर्क $\tau=\mathrm{r} \times \mathrm{F}$ ज्ञात करने के लिए सारणिक नियम का प्रयोग करेंगे

$$ \begin{aligned} \tau= & \left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \ 1 & -1 & 1 \ 7 & 3 & -5 \end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathbf{i}}-(-5-7) \hat{\mathbf{j}}+(3-(-7)) \hat{\mathbf{k}} \ & \quad \text { या } \tau=2 \hat{\mathbf{i}}+12 \hat{\mathbf{j}}+10 \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

उदाहरण 6.6 दिखाइए कि निरंतर वेग से गतिशील एकल कण का कोई बिंदु लेकर कोणीय संवेग गति के दौरान स्थिर रहता है।

उत्तर मान लीजिए किसी क्षण t पर वेग v वाला कण बिंदु P पर है। हमें कण का कोई स्वेच्छ बिंदु O लेकर कोणीय संवेग ज्ञात करना है।

चित्र 6.19

कोणीय संवेग l = r × mv है। इसका परिमाण m v r sin θ है, जहाँ θ चित्र 6.19 में दिखाए अनुसार r और v के बीच का कोण है। यद्यपि कण समय के साथ स्थान बदलता है, v की दिशा रेखा वही रहती है और इसलिए OM = r sin θ एक नियतांक है। इसके अतिरिक्त, l की दिशा r और v के तल के लंबवत् है। यह आकृति के पृष्ठ में अंदर की ओर है। यह दिशा समय के साथ नहीं बदलती।

इस प्रकार, l परिमाण और दिशा दोनों में समान रहता है और इसलिए संरक्षित है। क्या कण पर कोई बाह्य बलआघूर्ण है?

6.8 दृढ़ वस्तु की साम्यावस्था

अब हम सामान्य कण निकायों की गति के बजाय दृढ़ वस्तुओं की गति पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

हम संक्षेप में बताएंगे कि बाह्य बल किसी दृढ़ वस्तु पर क्या प्रभाव डालते हैं। (आगे से हम विशेषण ‘बाह्य’ छोड़ देंगे क्योंकि जब तक अन्यथा न कहा जाए, हम केवल बाह्य बलों और टॉर्क पर विचार करेंगे।) ये बल दृढ़ वस्तु की गतिज अवस्था को बदलते हैं, अर्थात् वे समीकरण (6.17) के अनुसार उसके कुल रेखीय संवेग को बदलते हैं। पर यह इकलौता प्रभाव नहीं है। वस्तु पर कुल टॉर्क शून्य नहीं भी हो सकता। ऐसा टॉर्क दृढ़ वस्तु की घूर्णी गतिज अवस्था को बदलता है, अर्थात् यह समीकरण (6.28 b) के अनुसार वस्तु के कुल कोणीय संवेग को बदलता है।

एक दृढ़ वस्तु को यांत्रिक साम्यावस्था में कहा जाता है, यदि उसका रेखीय संवेग और कोणीय संवेग दोनों समय के साथ नहीं बदल रहे हों, या समतुल्य रूप से, वस्तु में न तो रेखीय त्वरण है और न ही कोणीय त्वरण। इसका अर्थ है

(1) दृढ़ वस्तु पर कुल बल, अर्थात् बलों का सदिश योग, शून्य है;

$$ \begin{equation*} \mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\ldots+\mathbf{F_n}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{F_i}=\mathbf{0} \tag{6.30a} \end{equation*} $$

यदि वस्तु पर कुल बल शून्य है, तो वस्तु का कुल रेखीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता। समीकरण (6.30a) वस्तु के स्थानांतर साम्य की स्थिति देता है।

(2) दृढ़ वस्तु पर कुल टॉर्क, अर्थात् टॉर्कों का सदिश योग, शून्य है,

$$ \begin{equation*} \tau_{1}+\tau_{2}+\cdots+\tau_{n}=\sum_{i=1}^{n} \tau_{i}=\mathbf{0} \tag{6.30b} \end{equation*} $$

यदि कठोर वस्तु पर कुल बलआघूर्ण शून्य है, तो वस्तु का कुल कोणीय संवेग समय के साथ नहीं बदलता। समी. (6.30 b) वस्तु की घूर्णन साम्यावस्था की शर्त देती है। कोई यह प्रश्न उठा सकता है कि क्या घूर्णन साम्य की शर्त [समी. 6.30(b)] वैध रहती है, यदि वह मूलबिन्दु जिसके सापेक्ष बलआघूर्ण लिए गए हैं, स्थानांतरित कर दिया जाए। यह दिखाया जा सकता है कि यदि कठोर वस्तु के लिए स्थानांतर साम्य की शर्त [समी. 6.30(a)] लागू होती है, तो ऐसा मूलबिन्दु-स्थानांतर कोई फर्क नहीं डालता, अर्थात् घूर्णन साम्य की शर्त उस मूलबिन्दु के स्थान पर निर्भर नहीं करती जिसके सापेक्ष बलआघूर्ण लिए गए हैं। उदाहरण 6.7 इस परिणाम का एक विशेष प्रकरण—एक युग्म (couple), अर्थात् दो बल जो स्थानांतर साम्य में कठोर वस्तु पर कार्यरत हैं—में प्रमाण देता है। इस परिणाम को $n$ बलों तक सामान्यीकृत करना अभ्यास के लिए छोड़ा गया है।

समी. (6.30a) और समी. (6.30b) दोनों सदिश समीकरण हैं। ये प्रत्येक तीन अदिश समीकरणों के तुल्य हैं। समी. (6.30a) निम्नलिखित से संगत है

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} F_{i x}=0, \sum_{i=1}^{n} F_{i y}=0 \text { और } \sum_{i=1}^{n} F_{i z}=0 \tag{6.31a} \end{equation*} $$

जहाँ $F_{i x}, F_{i y}$ और $F_{i z}$ क्रमशः बलों $\mathbf{F}_{\text {. }}$ के $x, y$ और $z$ घटक हैं। इसी प्रकार, समी. (6.30b) तीन अदिश समीकरणों

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} \tau_{i x}=0, \sum_{i=1}^{n} \tau_{i y}=0 \text { और } \sum_{i=1}^{n} \tau_{i z}=0 \tag{6.31b} \end{equation*} $$

के तुल्य है।

जहाँ $\tau_{i x}, \tau_{i \bar{y}}$ और $\tau_{i z}$ क्रमशः टॉर्क $\tau_{i}$ के $x, y$ और $z$ घटक हैं।

समीकरण (6.31a) और (6.31b) एक कठोर पिण्ड की यांत्रिक साम्यावस्था के लिए पूरा होने वाली छह स्वतंत्र शर्तें देते हैं। अनेक समस्याओं में पिण्ड पर कार्य करने वाली सभी समतलीय बल होती हैं। तब हमें यांत्रिक साम्यावस्था के लिए केवल तीन शर्तों को पूरा करना होता है। इनमें से दो शर्तें स्थानांतर साम्यावस्था से सम्बद्ध हैं; समतल में किन्हीं दो लम्बवत् अक्षों के अनुदिश बलों के घटकों का योग शून्य होना चाहिए। तीसरी शर्त घूर्णन साम्यावस्था से सम्बद्ध है। बलों के समतल के लम्बवत् किन्हीं अक्षों के अनुदिश टॉर्क घटकों का योग शून्य होना चाहिए।

कठोर पिण्ड की साम्यावस्था की शर्तों की तुलना हम कण की शर्तों से कर सकते हैं, जिन पर हमने पिछले अध्यायों में विचार किया था। चूँकि घूर्णन गति का विचार कण पर लागू नहीं होता, केवल स्थानांतर साम्यावस्था की शर्तें (समी. 6.30 a) ही कण पर लागू होती हैं। इस प्रकार, कण की साम्यावस्था के लिए उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। चूँकि ये सभी बल एकल कण पर कार्य करते हैं, वे अनिवार्यतः संगामी होने चाहिए। संगामी बलों के अंतर्गत साम्यावस्था पर पिछले अध्यायों में चर्चा की गई थी।

कोई पिण्ड आंशिक साम्यावस्था में भी हो सकता है, अर्थात् वह स्थानांतर साम्यावस्था में हो सकता है पर घूर्णन साम्यावस्था में नहीं, या वह घूर्णन साम्यावस्था में हो सकता है पर स्थानांतर साम्यावस्था में नहीं।

एक हल्की (अर्थात् नगण्य द्रव्यमान वाली) छड़ $(A B)$ पर विचार करें जैसा कि चित्र 6.20(a) में दिखाया गया है। इसके दोनों सिरों (A और B) पर दो समानांतर बल लगाए गए हैं, जो दोनों परिमाण में समान हैं और एक ही दिशा में छड़ के लंबवत कार्य कर रहे हैं।

चित्र 6.20 (a)

मान लीजिए $\mathrm{C}$, $\mathrm{AB}$ का मध्य बिंदु है, $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=a$। बिंदु $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ पर लगे बलों के आघूर्ण दोनों परिमाण में समान $(a F)$ होंगे, लेकिन दिशा में विपरीत जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। छड़ पर कुल आघूर्ण शून्य होगा। यह प्रणाली घूर्णन साम्यावस्था में होगी, लेकिन यह स्थानांतर साम्यावस्था में नहीं होगी; $\sum \mathbf{F} \neq \mathbf{0}$

चित्र 6.20 (b)

चित्र 6.20(a) में बिंदु B पर लगा बल चित्र 6.20(b) में उलट दिया गया है। इस प्रकार, हमारे पास वही छड़ है जिस पर समान परिमाण के दो बल, लेकिन विपरीत दिशाओं में, छड़ के लंबवत् लगाए गए हैं—एक सिरे A पर और दूसरा सिरे B पर। यहाँ दोनों बलों के आघूर्ण समान हैं, लेकिन वे विपरीत नहीं हैं; वे एक ही दिशा में कार्य करते हैं और छड़ की वामावर्त घूर्णन उत्पन्न करते हैं। पिण्ड पर कुल बल शून्य है; अतः पिण्ड स्थानांतरित साम्यावस्था में है; परंतु यह घूर्णी साम्यावस्था में नहीं है। यद्यपि छड़ किसी भी प्रकार से स्थिर नहीं है, वह शुद्ध घूर्णन (अर्थात् बिना स्थानांतरण के घूर्णन) करती है।

समान परिमाण के, विपरीत दिशाओं में तथा भिन्न क्रियारेखाओं पर कार्य करने वाले बलों के युग्म को युग्म या आघूर्ण (टॉर्क) कहा जाता है। एक युग्म घूर्णन उत्पन्न करता है, परंतु स्थानांतरण नहीं।

जब हम किसी बोतल का ढक्कन घुमा कर खोलते हैं, तब हमारी उँगलियाँ ढक्कन पर एक युग्म लगाती हैं [चित्र 6.21(a)]। एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में कम्पास की सुई है, जैसा कि चित्र 6.21(b) में दिखाया गया है। पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र उत्तर और दक्षिण ध्रुवों पर समान बल लगाता है। उत्तर ध्रुव पर बल उत्तर की ओर तथा दक्षिण ध्रुव पर बल दक्षिण की ओर होता है। जब तक सुई उत्तर-दक्षिण दिशा में नहीं होती; तब तक दोनों बलों की क्रियारेखा एक ही नहीं होती। इस प्रकार पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के कारण सुई पर एक युग्म कार्य करता है।

आकृति 6.21(a) हमारी उंगलियाँ ढक्कन को घुमाने के लिए एक युग्म लगाती हैं।

आकृति 6.21(b) पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र कम्पास की सुई के ध्रुवों पर समान और विपरीत बल लगाता है। ये दो बल एक युग्म बनाते हैं।

उदाहरण 6.7 दिखाइए कि युग्म का आघूर्ण उस बिंदु पर निर्भर नहीं करता जिसके बारे में आप आघूर्ण लेते हैं।

उत्तर

आकृति 6.22

आकृति 6.22 में दिखाए गए अनुसार एक कठोर वस्तु पर कार्य करते हुए एक युग्म पर विचार करें। बल $\mathbf{F}$ और $-\mathbf{F}$ क्रमशः बिंदुओं $\mathrm{B}$ और $\mathrm{A}$ पर कार्य करते हैं। ये बिंदु मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के सापेक्ष स्थिति सदिश $\mathbf{r_1}$ और $\mathbf{r_2}$ रखते हैं। आइए बलों के आघूर्ण मूल बिंदु के बारे में लें।

युग्म का आघूर्ण $=$ युग्म बनाने वाले दो बलों के आघूर्णों का योग

$$ \begin{aligned} & =\mathbf{r}_1 \times(-\mathbf{F})+\mathbf{r}_2 \times \mathbf{F} \ & =\mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}-\mathbf{r}_1 \times \mathbf{F} \ & =\left(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\right) \times \mathbf{F} \end{aligned} $$

लेकिन $\mathbf{r}_1+\mathbf{A B}=\mathbf{r}_2$, और इसलिए $\mathbf{A B}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$। युग्म का आघूर्ण, इसलिए, $\mathbf{A B} \times \mathbf{F}$ है।

स्पष्ट है कि यह मूलबिंदु से स्वतंत्र है, उस बिंदु से जिसके परितः हमने बलों के आघूर्ण लिए थे।

6.8.1 आघूर्णों का सिद्धांत

एक आदर्श लीवर अनिवार्यतः एक हल्की (अर्थात् नगण्य द्रव्यमान की) छड़ होती है जो अपनी लंबाई के किसी बिंदु पर घूर्णन-बिंदु पर टिकी होती है। इस बिंदु को कांटा कहा जाता है। बच्चों के खेल के मैदान में झूला-तराजू लीवर का एक विशिष्ट उदाहरण है। दो बल $F_{1}$ और $F_{2}$, एक-दूसरे के समांतर और सामान्यतः लीवर के लंबवत्, जैसा यहाँ दिखाया गया है, लीवर पर क्रियाशील होते हैं और क्रमशः कांटे से $d_{1}$ और $d_{2}$ दूरी पर कार्य करते हैं जैसा कि चित्र 6.23 में दिखाया गया है।

चित्र 6.23

लीवर एक यांत्रिक साम्यावस्था में तंत्र है। मान लीजिए $\mathbf{R}$ कांटे पर आधारित प्रतिक्रिया है; $\mathbf{R}$ बलों $F_{1}$ और $F_{2}$ के विपरीत दिशा में है। स्थानांतरित साम्य के लिए,

$$ \begin{equation*} R-F_{1}-F_{2}=0 \tag{i} \end{equation*} $$

घूर्णी साम्यावस्था पर विचार करते समय हम कांटे (fulcrum) के बारे में आघूर्ण लेते हैं; आघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए,

$$d_{1} F_{1}-d_{2} F_{2}=0 \tag{ii}$$

सामान्यतः वामावर्त (दक्षिणावर्त) आघूर्ण धनात्मक (ऋणात्मक) माने जाते हैं। ध्यान दें कि $R$ स्वयं कांटे पर कार्य करता है और कांटे के बारे में इसका आघूर्ण शून्य होता है।

लीवर के मामले में बल $F_{1}$ सामान्यतः उठाया जाने वाला भार होता है। इसे भार (load) कहा जाता है और कांटे से इसकी दूरी $d_{1}$ को भार भुजा (load arm) कहा जाता है। बल $F_{2}$ भार को उठाने के लिए लगाया गया प्रयास (effort) है; कांटे से प्रयास की दूरी $d_{2}$ प्रयास भुजा (effort arm) है।

समी. (ii) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$d_{1} F_1=\mathrm{d}_{2} F_2\tag{6.32a}$$

या भार भुजा $\times$ भार $=$ प्रयास भुजा $\times$ प्रयास

उपरोक्त समीकरण एक लीवर के लिए आघूर्ण सिद्धांत को व्यक्त करता है। संयोगवश अनुपात $F_{1} / F_{2}$ को यांत्रिक लाभ (M.A.) कहा जाता है;

$$ \begin{equation*} \text { M.A. }=\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{d_{2}}{d_{1}} \tag{6.32b} \end{equation*} $$

यदि प्रयास भुजा $d_{2}$ भार भुजा से बड़ी हो, तो यांत्रिक लाभ एक से अधिक होता है। एक से अधिक यांत्रिक लाभ का अर्थ है कि एक छोटे प्रयास से एक बड़ा भार उठाया जा सकता है। सी-सॉ के अलावा आपके चारोंओर लीवर के कई उदाहरण हैं। तराजू की बीम एक लीवर होती है। ऐसे और अधिक उदाहरण खोजने का प्रयास करें और प्रत्येक स्थिति में लीवर का कांटा, प्रयास और प्रयास भुजा, तथा भार और भार भुजा पहचानें।

आप आसानी से दिखा सकते हैं कि आघूर्ण का सिद्धांत तब भी लागू होता है जब समानांतर बल $F_{1}$ और $F_{2}$ डंडे पर लंबवत न हों, बल्कि किसी कोण पर कार्य कर रहे हों।

6.8.2 गुरुत्वाकर्षण केंद्र

आपमें से कई लोगों ने अपनी नोटबुक को किसी उंगली की नोक पर संतुलित करने का अनुभव किया होगा। आकृति 6.24 एक ऐसे ही प्रयोग को दर्शाती है जिसे आप आसानी से कर सकते हैं। एक अनियमित आकार का कार्डबोर्ड लें जिसका द्रव्यमान $M$ है और एक पतली नोक वाली वस्तु जैसे पेंसिल लें। आप प्रयास और त्रुटि द्वारा कार्डबोर्ड पर एक बिंदु $G$ खोज सकते हैं जहाँ उसे पेंसिल की नोक पर संतुलित किया जा सकता है। (इस स्थिति में कार्डबोर्ड क्षैतिज रहता है।) यह संतुलन बिंदु कार्डबोर्ड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र (CG) है। पेंसिल की नोक एक ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर बल प्रदान करती है जिसके कारण कार्डबोर्ड यांत्रिक साम्यावस्था में है। जैसा कि आकृति 6.24 में दिखाया गया है, नोक की प्रतिक्रिया $\boldsymbol{M g}$ के बराबर और विपरीत है और इसलिए कार्डबोर्ड स्थानांतर साम्यावस्था में है। यह घूर्णन साम्यावस्था में भी है; यदि ऐसा नहीं होता, तो असंतुलित टॉर्क के कारण यह झुकता और गिर जाता। कार्डबोर्ड पर गुरुत्वाकर्षण के बलों जैसे $m_{1} \mathbf{g}, m_{2} \mathbf{g} \ldots$ आदि के कारण टॉर्क लगते हैं, जो कार्डबोर्ड बनाने वाले व्यक्तिगत कणों पर कार्य करते हैं।

चित्र 6.24 पेंसिल की नोक पर कार्डबोर्ड को संतुलित करना। सहारा बिंदु, G, गुरुत्वाकर्षण केंद्र है। कार्डबोर्ड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र इस प्रकार स्थित है कि इस पर m1 g, m2 g …. आदि बलों के कारण कुल टॉर्क शून्य होता है।

यदि $\mathbf{r}_i$ किसी विस्तृत पिण्ड के ith कण का स्थिति सदिश है, जो उसके $\mathrm{CG}$ के सापेक्ष है, तो गुरुत्वाकर्षण बल के कारण CG पर टॉर्क $\tau_i=\mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{g}$ है। CG के परितः कुल गुरुत्वाकर्षण टॉर्क शून्य होता है, अर्थात्

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\tau}_g=\sum \boldsymbol{\tau}_i=\sum \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{g}=\mathbf{0} \tag{6.33} \end{equation*} $$

इसलिए हम किसी पिण्ड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र को वह बिंदु परिभाषित कर सकते हैं जहाँ पिण्ड पर कुल गुरुत्वाकर्षण टॉर्क शून्य होता है।

हम देखते हैं कि समीकरण (6.33) में, $\mathbf{g}$ सभी कणों के लिए समान है, और इसलिए यह समाकलन से बाहर आ जाता है। इससे, चूँकि $\mathbf{g}$ शून्य नहीं है, $\sum m_i \mathbf{r}_i=\mathbf{0}$ प्राप्त होता है। याद रखें कि स्थिति सदिशों $\left(\mathbf{r}_i\right)$ को CG के सापेक्ष लिया गया है। अब, खंड 6.2 में समीकरण (6.4a) के नीचे दिए गए तर्क के अनुसार, यदि योग शून्य है, तो मूल बिंदु शरीर के द्रव्यमान केंद्र पर होना चाहिए। इस प्रकार, समान गुरुत्वाकर्षण या गुरुत्वाकर्षण रहित स्थान में शरीर का गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र के संपाती होता है।

हम नोट करते हैं कि यह सच है क्योंकि शरीर छोटा होने के कारण, शरीर के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक g परिवर्तित नहीं होता है। यदि शरीर इतना विस्तृत है कि शरीर के एक भाग से दूसरे भाग तक $\mathbf{g}$ परिवर्तित होता है, तो गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र संपाती नहीं होंगे। मूल रूप से, ये दोनों भिन्न संकल्पनाएँ हैं। द्रव्यमान केंद्र का गुरुत्वाकर्षण से कोई लेना-देना नहीं है। यह केवल शरीर के द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।

आकृति 6.25 अनियमित आकृति के शरीर के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण। गुरुत्व केंद्र G, शरीर के निलंबन बिंदु A से होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर AA1 पर स्थित है।

धारा 6.2 में हमने कई नियमित, समरूप वस्तुओं के द्रव्यमान-केंद्र की स्थिति ज्ञात की थी। स्पष्ट है कि वहाँ प्रयुक्त विधि हमें इन वस्तुओं का गुरुत्वाकर्षण-केंद्र भी देती है, यदि वे पर्याप्त छोटी हैं।

आकृति 6.25 एक अनियमित आकृति की वस्तु जैसे कार्डबोर्ड का गुरुत्वाकर्षण-केंद्र (CG) निर्धारित करने की एक अन्य विधि को दर्शाती है। यदि आप वस्तु को किसी बिंदु A से लटकाते हैं, तो A से जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $\mathrm{CG}$ से होकर गुजरती है। हम ऊर्ध्वाधर $\mathrm{AA}_{1}$ को चिह्नित करते हैं। फिर हम वस्तु को अन्य बिंदुओं B और C से लटकाते हैं। ऊर्ध्वाधर रेखाओं का प्रतिच्छेदन CG देता है। समझाइए कि यह विधि क्यों कार्य करती है। चूँकि वस्तु पर्याप्त छोटी है, यह विधि हमें इसके द्रव्यमान-केंद्र को भी निर्धारित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण 6.8 एक धातु की छड़ 70 cm लंबी और 4.00 kg द्रव्यमान की है, जिसे दो चाकू-धाराओं पर रखा गया है जो प्रत्येक सिरे से 10 cm दूर हैं। एक 6.00 kg का भार एक सिरे से 30 cm दूर लटकाया गया है। चाकू-धाराओं पर प्रतिक्रियाएँ ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि छड़ एकसमान अनुप्रस्थ काट और समरूप है।)

उत्तर

आकृति 6.26

आकृति 6.26 छड़ $\mathrm{AB}$, चाकू-धाराओं $K_{1}$ और $K_{2}$ की स्थितियाँ, छड़ का गुरुत्वाकर्षण-केंद्र $\mathrm{G}$ पर और लटकाया गया भार $\mathrm{P}$ पर दिखाती है।

ध्यान दें कि छड़ का भार $\mathrm{W}$ इसके गुरुत्वाकर्षण केन्द्र $\mathrm{G}$ पर कार्य करता है। छड़ अनुप्रस्थ काट में समान और समांगी है; इसलिए $G$ छड़ के मध्य में है; $\mathrm{AB}=70 \mathrm{~cm} . \mathrm{AG}=35 \mathrm{~cm}, \mathrm{AP}$ $=30 \mathrm{~cm}, \mathrm{PG}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{AK}_1=\mathrm{BK}_2=10 \mathrm{~cm}$ और $\mathrm{K}_1 \mathrm{G}=$ $\mathrm{K}_2 \mathrm{G}=25 \mathrm{~cm}$। साथ ही, $W=$ छड़ का भार $=4.00$ $\mathrm{kg}$ और $W_1=$ लटकाया गया भार $=6.00 \mathrm{~kg}$; $R_1$ और $R_2$ चाकू किनारों पर सहारे की अभिक्रियाएँ हैं।

छड़ के स्थानांतरात्मक साम्य के लिए,

$$R_{1}+R_{2}-W_{1}-W=0 \tag{i}$$

ध्यान दें $W_{1}$ और $W$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करते हैं और $\mathrm{R}_1$ और $\mathrm{R}_2$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करते हैं।

घूर्णन साम्य पर विचार करने के लिए, हम बलों के आघूर्ण लेते हैं। आघूर्ण लेने के लिए एक सुविधाजनक बिंदु $G$ है। $\mathrm{R}_2$ और $\mathrm{W}_1$ के आघूर्ण वामावर्त (+ve) हैं, जबकि $R_1$ का आघूर्ण दक्षिणावर्त (-ve) है।

घूर्णन साम्य के लिए,

$$-R_1\left(\mathrm{~K}_1 \mathrm{G}\right)+W_1(\mathrm{PG})+R_2\left(\mathrm{K}_2 \mathrm{G}\right)=0 \tag{ii}$$

यह दिया गया है कि $W=4.00 \mathrm{~g} \mathrm{~N}$ और $W_{1}=6.00 \mathrm{g}$ $\mathrm{N}$, जहाँ $g=$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण। हम $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ लेते हैं।

संख्यात्मक मान डालने पर, (i) से

$$ \begin{gather*} R _{1}+R _{2}-4.00 g-6.00 g=0 \\ \text { या } R _{1}+R _{2}=10.00 g \mathrm{~N} \tag{iii} \\ =98.00 \mathrm{~N} \end{gather*} $$

(ii) से, $-0.25 R_{1}+0.05 W_{1}+0.25 R_{2}=0$

या $$R_{1}-R_{2}=1.2 \mathrm{~g} \mathrm{~N}=11.76 \mathrm{~N} \tag{iv}$$

(iii) और (iv) से, $R_{1}=54.88 \mathrm{~N}$,

$$ \begin{equation*} R_{2}=43.12 \mathrm{~N} \end{equation*} $$

इस प्रकार सहारों की प्रतिक्रियाएँ लगभग $\mathrm{K}_1$ पर $55 \mathrm{~N}$ और $\mathrm{K_2}$ पर $43 \mathrm{~N}$ हैं।

उदाहरण 6.9 3 m लंबी, 20 kg वाली एक सीढ़ी बिना घर्षण वाली दीवार पर टिकी है। इसके पैर फर्श पर दीवार से 1 m दूर टिके हैं जैसा कि आकृति 6.27 में दिखाया गया है। दीवार और फर्श की प्रतिक्रिया बल ज्ञात कीजिए।

उत्तर

आकृति 6.27

सीढ़ी $\mathrm{AB}$ की लंबाई $3 \mathrm{~m}$ है, इसका पैरा $\mathrm{A}$ दीवार से $AC=1 \mathrm{~m}$ की दूरी पर है। पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{BC}=2 \sqrt{2} \mathrm{~m}$ है। सीढ़ी पर इसका भार $\mathrm{W}$ जो इसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र D पर कार्यरत है, दीवार और फर्श की प्रतिक्रिया बल $F_1$ और $F_2$ क्रमशः लगे हैं। बल $F_1$ दीवार के लंबवत है, क्योंकि दीवार घर्षणरहित है। बल $F_2$ को दो घटकों में विघटित किया गया है, अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और घर्षण बल $F$। ध्यान दें कि $F$ सीढ़ी को दीवार से दूर फिसलने से रोकता है और इसलिए यह दीवार की ओर निर्देशित है।

स्थानांतरित साम्य के लिए, ऊर्ध्वाधर दिशा में बल लेते हुए,

$$ \begin{equation*} N-W=0 \tag{i} \end{equation*} $$

क्षैतिज दिशा में बल लेते हुए,

$$F-F_{1}=0\tag{ii}$$

घूर्णन साम्य के लिए, A के बारे में बलों के क्षण लेते हुए,

$$ \begin{equation*} 2 \sqrt{2} F_{1}-(1 / 2) W=0 \tag{iii} \end{equation*} $$

अब $\quad W=20 \mathrm{~g}=20 \quad 9.8 \mathrm{~N}=196.0 \mathrm{~N}$

(i) से $N=196.0 \mathrm{~N}$

(iii) से $F_{1}=W / 4 \sqrt{2}=196.0 / 4 \sqrt{2}=34.6 \mathrm{~N}$

(ii) से $F=F_{1}=34.6 \mathrm{~N}$

$$ F_{2}=\sqrt{F^{2}+N^{2}}=199.0 \mathrm{~N} $$

बल $F_{2}$ क्षैतिज के साथ कोण $\alpha$ बनाता है,

$$ \tan \alpha=N / F=4 \sqrt{2}, \quad \alpha=\tan ^{-1}(4 \sqrt{2}) \approx 80^{\circ} $$

6.9 जड़त्व आघूर्ण

हमने पहले ही उल्लेख किया है कि हम घूर्णन गति का अध्ययन उस स्थानांतर गति के समानांतर विकसित कर रहे हैं जिससे हम परिचित हैं। हमें इस संबंध में एक प्रमुख प्रश्न का उत्तर अभी देना बाकी है। घूर्णन गति में द्रव्यमान का समकक्ष क्या है? हम इस प्रश्न का उत्तर वर्तमान खंड में देने का प्रयास करेंगे। चर्चा को सरल रखने के लिए हम केवल एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन पर विचार करेंगे। आइए घूर्णन करते हुए निकाय की गतिज ऊर्जा के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने का प्रयास करें। हम जानते हैं कि एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करते हुए निकाय के लिए, निकाय का प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है जिसका रैखिक वेग समी. (6.19) द्वारा दिया जाता है। (चित्र 6.16 देखें)। अक्ष से दूरी पर स्थित कण के लिए, रैखिक वेग $v_{i}=r_{i} \omega$ है। इस कण की गति की गतिज ऊर्जा

$$ k_{i}=\frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2} $$

जहाँ $m_{i}$ कण का द्रव्यमान है। निकाय की कुल गतिज ऊर्जा $K$ तब व्यक्तिगत कणों की गतिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है,

$$ K=\sum_{i=1}^{n} k_{i}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2}\right) $$

यहाँ $n$ निकाय में कणों की संख्या है। ध्यान दें $\omega$ सभी कणों के लिए समान है। इसलिए $\omega$ को योग से बाहर निकालते हुए,

$$ K=\frac{1}{2} \omega^{2}\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}\right) $$

हम एक नया प्राचल परिभाषित करते हैं जो दृढ़ निकाय को चिह्नित करता है, जिसे जड़त्व आघूर्ण $I$ कहा जाता है, जो दिया जाता है

Here is the Hindi translation of the provided text:

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इस परिभाषा के साथ,

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} I \omega^{2} \tag{6.35} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि पैरामीटर (I) कोणीय वेग के मान पर निर्भर नहीं करता। यह एक कठोर पिंड और उस अक्ष की विशेषता है जिसके चारों ओर वह घूमता है।

एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा के लिए समीकरण (6.35) की तुलना रैखिक (स्थानांतरित) गति में एक पिंड की गतिज ऊर्जा के सूत्र से करें: (K=\frac{1}{2} m v^{2})। यहाँ, (m) पिंड का द्रव्यमान है और (v) इसका वेग है। हम पहले ही कोणीय वेग (\omega) (एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति के संदर्भ में) और रैखिक वेग (v) (रैखिक गति के संदर्भ में) के बीच समानता देख चुके हैं। यह स्पष्ट है कि पैरामीटर, जड़ता आघूर्ण (I), रैखिक गति में द्रव्यमान का अनुरूप घूर्णन गति में है। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन में, जड़ता आघूर्ण वही भूमिका निभाता है जो रैखिक गति में द्रव्यमान निभाता है।

अब हम परिभाषा समीकरण (6.34) का उपयोग करके दो सरल उदाहरणों में जड़ता आघूर्ण की गणना करेंगे।

(a) एक पतले वलय पर विचार करें जिसकी त्रिज्या (R) और द्रव्यमान (M) है, जो अपने तल में अपने केंद्र के चारों ओर कोणीय वेग (\omega) से घूम रहा है। वलय के प्रत्येक द्रव्यमान तत्व की अक्ष से दूरी (\mathrm{R}) है, और यह वेग (R \omega) से गति करता है। इसलिए गतिज ऊर्जा है,

$$ K=\frac{1}{2} M v^{2}=\frac{1}{2} M R^{2} \omega^{2} $$

इसे समीकरण (6.35) से तुलना करने पर हमें वलय के लिए (I=M R^{2}) प्राप्त होता है।

चित्र 6.28 लंबाई l की एक हल्की छड़ जिस पर द्रव्यमानों का एक युग्म है, तंत्र के द्रव्यमान-केन्द्र से होकर जाने वाली और छड़ के लंबवत् अक्ष के परितः घूर्णन कर रहा है। तंत्र का कुल द्रव्यमान M है

(b) अब, नगण्य द्रव्यमान की 1 लंबाई की एक कठोर छड़ लीजिए जिस पर दो छोटे द्रव्यमान हैं, द्रव्यमान-केन्द्र से होकर जाने वाले और छड़ के लंबवत् अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे हैं (चित्र 6.28)। प्रत्येक द्रव्यमान $M / 2$ अक्ष से $1 / 2$ दूरी पर है। इसलिए द्रव्यमानों का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार दिया जाता है

$$ (M / 2)(1 / 2)^{2}+(M / 2)(1 / 2)^{2} $$

इस प्रकार, द्रव्यमानों के इस युग्म के लिए, द्रव्यमान-केन्द्र से होकर जाने वाले और छड़ के लंबवत् अक्ष के परितः घूर्णन करते हुए

$$ I=M l^{2} / 4 $$

सारणी 6.1 विभिन्न परिचित नियमित आकृतियों के निकायों के विशिष्ट अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण को सरलता से देती है। (इन अभिव्यक्तियों की व्युत्पत्ति इस पाठ्यपुस्तक की सीमा से परे है और आप उन्हें उच्च कक्षाओं में पढ़ेंगे।)

जैसे किसी वस्तु का द्रव्यमान उसकी रेखीय गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करता है, वह उसकी रेखीय गति में जड़ता का माप है। इसी प्रकार, घूर्णन अक्ष के सापेक्‍ष वस्तु का जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) उसकी घूर्णन गति में परिवर्तन का विरोध करता है; इसे वस्तु की घूर्णन जड़ता का माप माना जा सकता है; यह इस बात का माप है कि वस्तु के विभिन्न भाग अक्ष से भिन्न-भिन्न दूरियों पर कैसे वितरित हैं। किसी वस्तु के द्रव्यमान के विपरीत, जड़त्व आघूर्ण एक निश्चित मात्रा नहीं होता, बल्कि यह घूर्णन अक्ष के सापेक्‍ष द्रव्यमान के वितरण, तथा अक्ष की अभिविन्यास और स्थिति पर निर्भर करता है। घूर्णन करते कठोर वस्तु के द्रव्यमान के वितरण को घूर्णन अक्ष के सापेक्‍ष मापने के लिए हम एक नया पैरामीटर, भ्रमण त्रिज्या (radius of gyration) परिभाषित कर सकते हैं। यह वस्तु के कुल द्रव्यमान और जड़त्व आघूर्ण से संबंधित है।

तालिका 6.1 कुछ नियमित आकृति वाली वस्तुओं के विशिष्ट अक्षों के सापेक्‍ष जड़त्व आघूर्ण

टेबल 6.1 से स्पष्ट है कि सभी स्थितियों में हम $\mathrm{I}=M k^{2}$ लिख सकते हैं, जहाँ $k$ की विमा लंबाई की है। एक छड़ के लिए, इसके मध्य बिंदु से लंबवत् अक्ष के परितः, $k^{2}=L^{2} / 12$, अर्थात् $k=L / \sqrt{12}$। इसी प्रकार, वृत्तीय डिस्क के व्यास के परितः $k=R / 2$ है। लंबाई $k$ निकाय और घूर्णन अक्ष की एक ज्यामितीय विशेषता है। इसे घूर्णन त्रिज्या कहा जाता है। किसी निकाय के घूर्णन अक्ष के परितः घूर्णन त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: वह दूरी जो अक्ष से एक ऐसे द्रव्यमान बिंदु की हो, जिसका द्रव्यमान पूरे निकाय के द्रव्यमान के बराबर हो और जिसका जड़त्व आघूर्ण अक्ष के परितः निकाय के जड़त्व आघूर्ण के बराबर हो।

इस प्रकार, किसी दृढ़ निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस पर निर्भर करता है: निकाय का द्रव्यमान, इसका आकार और आकारमाप; घूर्णन अक्ष के परितः द्रव्यमान का वितरण; तथा घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास। परिभाषा, समी. (6.34) से हम अनुमान लगा सकते हैं कि जड़त्व आघूर्ण की विमाएँ $\mathrm{ML}^{2}$ हैं और इसके SI मात्रक $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2}$ हैं।

इस अत्यंत महत्वपूर्ण राशि $I$ के गुणधर्म, जो कि निकाय की घूर्णन जड़ता का माप है, का बड़े व्यावहारिक उपयोग में लाभ उठाया गया है। वे मशीनें, जैसे कि स्टीम इंजन और ऑटोमोबाइल इंजन आदि, जो घूर्णन गति उत्पन्न करती हैं, उनमें एक बड़े घूर्णन जड़ता वाला डिस्क होता है, जिसे फ्लाईव्हील कहा जाता है। अपने बड़े घूर्णन जड़ता के कारण, फ्लाईव्हील वाहन की गति के अचानक बढ़ने या घटने का विरोध करता है। यह गति में क्रमिक परिवर्तन की अनुमति देता है और झटके वाली गति को रोकता है, जिससे वाहन में सवार यात्रियों को एक सहज सवारी सुनिश्चित होती है।

6.10 एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति की गतिकी

हम पहले ही घूर्णन गति और रेखीय गति के बीच सादृश्य संकेत कर चुके हैं। उदाहरण के लिए, कोणीय वेग $\omega$ घूर्णन में वही भूमिका निभाता है जो रेखीय वेग $\mathbf{v}$ रूपांतरण में निभाता है। हम इस सादृश्य को आगे बढ़ाना चाहते हैं। ऐसा करते समय हम चर्चा को केवल निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन तक सीमित रखेंगे। गति का यह मामला केवल एक स्वतंत्रता डिग्री को शामिल करता है, अर्थात् गति का वर्णन करने के लिए केवल एक स्वतंत्र चर की आवश्यकता होती है। यह रूपांतरण में रेखीय गति से संगत है। यह खंड केवल गतिकी तक सीमित है। हम बाद के खंडों में गतिकी की ओर मुड़ेंगे।

हम याद करते हैं कि घूर्णन कर रहे पिण्ड के कोणीय विस्थापन को निर्दिष्ट करने के लिए हम पिण्ड का कोई भी कण P (चित्र 6.29) लेते हैं। उसके तल में इसके कोणीय विस्थापन $\theta$ को पूरे पिण्ड का कोणीय विस्थापन माना जाता है; $\theta$ को उस तल में एक निश्चित दिशा से मापा जाता है जिसमें P गति करता है, जिसे हम $x^{\prime}$-अक्ष मानते हैं, जिसे $x$-अक्ष के समानान्तर चुना गया है। ध्यान दें, जैसा दिखाया गया है, घूर्णन अक्ष $z$-अक्ष है और कण की गति का तल $x-y$ तल है। चित्र 6.29 $\theta_{0}$ भी दिखाता है, जो $t=0$ पर कोणीय विस्थापन है।

हम यह भी याद करते हैं कि कोणीय वेग कोणीय विस्थापन की समय दर है, $\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$। ध्यान दें चूँकि घूर्णन अक्ष स्थिर है, कोणीय वेग को सदिश के रूप में व्यवहार करने की आवश्यकता नहीं है। इसके अतिरिक्त, कोणीय त्वरण, $\alpha=$ $\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$ है।

घूर्णन गति में गतिकीय राशियाँ, कोणीय विस्थापन $(\theta)$, कोणीय वेग $(\omega)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ क्रमशः रेखीय गति में गतिकीय राशियों विस्थापन $(x)$, वेग $(v)$ और त्वरण $(a)$ के समान हैं। हम एकसमान (अर्थात् नियत) त्वरण के साथ रेखीय गति के गतिकीय समीकरण जानते हैं:

$$ \begin{align*} & v=v_{0}+a t \tag{a}\\ & x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{b}\\ & v^{2}=v_{0}^{2}+2 a x \tag{c} \end{align*} $$

जहाँ $x_{0}=$ प्रारंभिक विस्थापन और $v_{0}=$ प्रारंभिक वेग। शब्द ‘प्रारंभिक’ का अर्थ है उन मात्राओं के मान $t=0$ पर।

समान कोणीय त्वरण वाली घूर्णन गति के संगत गतिक समीकरण इस प्रकार हैं:

$$ \begin{align*} & \omega=\omega_{0}+\alpha t \tag{6.36}\\ & \theta=\theta_{0}+\omega_{0} t+\frac{1}{2} \alpha t^{2} \tag{6.37}\\ & \text { और } \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 \alpha\left(\theta-\theta_{0}\right) \tag{6.38} \end{align*} $$

जहाँ $\theta_{0}=$ घूर्णन पिण्ड का प्रारंभिक कोणीय विस्थापन, और $\omega_{0}=$ पिण्ड का प्रारंभिक कोणीय वेग है।

चित्र 6.29 एक दृढ़ पिण्ड की कोणीय स्थिति निर्दिष्ट करना।

उदाहरण 6.10 समीकरण (6.36) को प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त कीजिए।

उत्तर कोणीय त्वरण समान है, इसलिए

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\alpha=\text { नियतांक } \tag{i} \end{equation*} $$

इस समीकरण का समाकलन करने पर,

$$ \begin{aligned} \omega & =\int \alpha \mathrm{d} t+c \\ & =\alpha t+c \quad(\text { चूँकि } \alpha \text{ नियतांक है }) \end{aligned} $$

$t=O$ पर, $\omega=\omega_{0}$ (दिया गया है)

(i) से हमें $t=0$ पर, $\omega=c=\omega_{0}$ प्राप्त होता है

इस प्रकार, $\omega=\alpha t+\omega_{0}$ जैसा कि अभीष्ट है।

$\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ की परिभाषा के साथ हम समीकरण (6.36) का समाकलन करके समीकरण (6.37) प्राप्त कर सकते हैं। यह व्युत्पत्ति और समीकरण (6.38) की व्युत्पत्ति अभ्यास के लिए छोड़ी गई है।

उदाहरण 6.11 एक मोटर के पहिये की कोणीय चाल 1200 rpm से बढ़ाकर 3120 rpm 16 सेकंड में की गई। (i) इसका कोणीय त्वरण क्या है, यह मानते हुए कि त्वरण एकसमान है? (ii) यह इंजन इस अवधि में कितने चक्कर लगाता है?

उत्तर

(i) हम $\omega=\omega_{0}+\alpha t$ का प्रयोग करेंगे
$\omega_{0}=$ प्रारंभिक कोणीय चाल $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ में
$=2 \pi \times$ $\mathrm{rev} / \mathrm{s}$ में कोणीय चाल

$$ =\frac{2 \pi \times \text { कोणीय चाल } \mathrm{rev} / \mathrm{min} \text{ में}}{60 \mathrm{~s} / \mathrm{min}} $$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2 \pi \times 1200}{60} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =40 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

इसी प्रकार $\omega=$ अंतिम कोणीय चाल $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ में

$$ \begin{aligned} & =\frac{2 \pi \times 3120}{60} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =2 \pi \times 52 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =104 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$ $\therefore$ कोणीय त्वरण $$ \alpha=\frac{\omega-\omega_{0}}{t} \quad=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} $$

इंजन का कोणीय त्वरण $=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}$

(ii) समय $t$ में कोणीय विस्थापन दिया जाता है

$$ \theta=\omega _{0} t+\frac{1}{2} \alpha t^{2} $$

$=\left(40 \pi \times 16+\frac{1}{2} \times 4 \pi \times 16^{2}\right) \mathrm{rad}$

$=(640 \pi+512 \pi) \mathrm{rad}$

$=1152 \pi \mathrm{rad}$

चक्करों की संख्या $=\frac{1152 \pi}{2 \pi}=576$

6.11 एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति की गतिकी

तालिका 6.2 रेखीय गति से संबद्ध राशियों और उनके घूर्णन गति में समकक्षों की सूची देती है। हम पहले ही दोनों गतियों की किनेमेटिक्स की तुलना कर चुके हैं। साथ ही, हम जानते हैं कि घूर्णन गति में जड़त्व आघूर्ण और बलाघूर्ण वही भूमिका निभाते हैं जो रेखीय गति में क्रमशः द्रव्यमान और बल निभाते हैं। इसे देखते हुए हमें तालिका में दर्शाए गए अन्य समकक्षों का अनुमान लगाने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि रेखीय गति में किया गया कार्य $F d x$ द्वारा दिया जाता है, एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति में यह $\tau d \theta$ होना चाहिए, क्योंकि हम पहले से ही संगतता जानते हैं $\mathrm{d} x \rightarrow \mathrm{d} \theta$ और $F \rightarrow \tau$। यह, हालांकि, आवश्यक है कि ये संगतियाँ दृढ़ गतिकीय विचारों पर स्थापित हों। यही वह है जिसकी ओर हम अब मुड़ते हैं।

इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, हम एक सरलीकरण को नोट करते हैं जो कि निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति के मामले में उत्पन्न होता है। चूँकि अक्ष स्थिर है, केवल वही टॉर्क के घटक जो निश्चित अक्ष की दिशा में हैं, हमारी चर्चा में विचार किए जाने की आवश्यकता है। केवल ये घटक ही वस्तु को अक्ष के परितः घूर्णित कर सकते हैं। टॉर्क का एक घटक जो घूर्णन अक्ष के लंबवत होता है, वह अक्ष को उसके स्थान से मोड़ने का प्रयास करेगा। हम विशेष रूप से यह मानते हैं कि आवश्यक बंधन बल उत्पन्न होंगे जो (बाह्य) टॉर्क के लंबवत घटकों के प्रभाव को रद्द कर देंगे, ताकि अक्ष की निश्चित स्थिति बनी रहे। टॉर्क के लंबवत घटकों को, इसलिए, विचार में लेने की आवश्यकता नहीं है। इसका अर्थ है कि एक दृढ़ वस्तु पर टॉर्क की हमारी गणना के लिए:

(1) हमें केवल उन बलों पर विचार करना होगा जो अक्ष के लंबवत समतलों में स्थित हैं। बल जो अक्ष के समानांतर हैं, वे अक्ष के लंबवत टॉर्क देंगे और इन्हें विचार में लेने की आवश्यकता नहीं है।

(2) हमें केवल स्थिति सदिशों के उन घटकों पर विचार करना होगा जो अक्ष के लंबवत हैं। स्थिति सदिशों के अक्ष के अनुदिश घटक अक्ष के लंबवत टॉर्क उत्पन्न करेंगे और इन्हें विचार में लेने की आवश्यकता नहीं है।

टॉर्क द्वारा किया गया कार्य

चित्र 6.30 एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे पिण्ड के एक कण पर कार्यरत बल F1 द्वारा किया गया कार्य; कण अक्ष पर केन्द्र C वाला वृत्तीय पथ अनुसरण करता है; चाप P1 P′1 (ds1) कण के विस्थापन को दर्शाती है।

तालिका 6.2 रेखीय तथा घूर्णन गति की तुलना

	रेखीय गति	निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति
1	विस्थापन $x$	कोणीय विस्थापन $\theta$
2	वेग $v=\mathrm{d} x / \mathrm{d} t$	कोणीय वेग $\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$
3	त्वरण $a=\mathrm{d} v / \mathrm{d} t$	कोणीय त्वरण $\alpha=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$
4	द्रव्यमान $M$	जड़त्व आघूर्ण $I$
5	बल $F=M a$	बलाघूर्ण $\tau=I \alpha$
6	कार्य $d W=F \mathrm{~d} s$	कार्य $W=\tau \mathrm{d} \theta$
7	गतिज ऊर्जा $K=M v^{2} / 2$	गतिज ऊर्जा $K=I \omega^{2} / 2$
8	शक्ति $P=F v$	शक्ति $P=\tau \omega$
9	रेखीय संवेग $p=M v$	कोणीय संवेग $L=I \omega$

आकृति 6.30 एक कठोर वस्तु का अनुप्रस्थ काट दिखाती है जो एक स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन कर रही है, जिसे हम $z$-अक्ष मानते हैं (पृष्ठ के तल के लंबवत्; आकृति 6.29 देखें)। जैसा ऊपर कहा गया है, हमें केवल उन बलों पर विचार करना है जो अक्ष के लंबवत् तलों में स्थित हैं। मान लीजिए $\mathbf{F}_1$ एक ऐसा ही प्रतिनिधि बल है जो वस्तु के एक कण पर बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर कार्य कर रहा है और इसकी क्रिया रेखा अक्ष के लंबवत् तल में है। सुविधा के लिए हम इसे $x^{\prime}-y^{\prime}$ तल (पृष्ठ के तल के संपाती) कहते हैं। बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर स्थित कण अक्ष पर केंद्र $\mathrm{C}$ वाली त्रिज्या $r_1$ की वृत्तीय पथ रचता है; $\mathrm{CP}_1=r_1$।

समय $\Delta t$ में, बिंदु स्थिति $\mathrm{P}_1^{\prime}$ पर पहुँचता है। इस प्रकार कण का विस्थापन $d \mathbf{s}_1$ का परिमाण $\mathrm{d} s_1=r_1 \mathrm{~d} \theta$ है और दिशा चित्रानुसार वृत्तीय पथ पर $\mathrm{P}_1$ पर स्पर्शरेखीय है। यहाँ $d \theta$ कण का कोणीय विस्थापन है, $\mathrm{d} \theta=\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{CP}_1^{\prime}$। बल द्वारा कण पर किया गया कार्य

$$ \mathrm{d} W_1=\mathbf{F}_1 \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}_1=F_1 \mathrm{~d} s_1 \cos \phi_1=F_1\left(r_1 \mathrm{~d} \theta\right) \sin \alpha_1 $$

जहाँ $\phi_1$ कोण है $\mathbf{F}_1$ और बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर स्पर्श रेखा के बीच, और $\alpha_1$ कोण है $\mathbf{F}_1$ और त्रिज्या सदिश $\mathbf{O P}_1$ के बीच; $\phi_1+\alpha_1=90^{\circ}$।
मूल बिंदु के सापेक्ष $\mathbf{F}_1$ के कारण बलाघूर्ण $\mathbf{O P}_1 \times \mathbf{F}_1$ है। अब $\mathbf{O P}_1=\mathbf{O C}+\mathbf{O P}_1$। [देखें चित्र 6.17(b)।] चूँकि $\mathbf{O C}$ अक्ष के अनुदिश है, इसके कारण उत्पन्न बलाघूर्ण को हमारे विचार से बाहर रखा गया है। $\mathbf{F}_1$ के कारण प्रभावी बलाघूर्ण $\tau_1=\mathbf{C P} \times \mathbf{F}_1$ है; यह घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशित है और इसका परिमाण $\tau_1=r_1 F_1 \sin \alpha$ है, इसलिए,

$\mathrm{d} W_{1}=\tau_{1} \mathrm{~d} \theta$

यदि वस्तु पर एक से अधिक बल कार्यरत हैं, तो सभी बलों द्वारा किया गया कार्य योग करके कुल कार्य प्राप्त किया जा सकता है। विभिन्न बलों के कारण बलाघूर्णों के परिमाणों को $\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots$ आदि से दर्शाते हुए,

$$ \mathrm{d} W=\left(\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots\right) \mathrm{d} \theta $$

याद रखें, बलाघूर्ण उत्पन्न करने वाले बल विभिन्न कणों पर कार्य करते हैं, लेकिन कोणीय विस्थापन $\mathrm{d} \theta$ सभी कणों के लिए समान है। चूँकि सभी बलाघूर्ण स्थिर अक्ष के समांतर हैं, कुल बलाघूर्ण का परिमाण $\tau$ केवल बलाघूर्णों के परिमाणों का बीजगणितीय योग है, अर्थात् $\tau=\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots$। इसलिए हमारे पास

$$ \begin{equation*} \mathrm{d} W=\tau \mathrm{d} \theta \tag{6.39} \end{equation*} $$

यह व्यंजक उस कुल (बाह्य) टॉर्क (\tau) द्वारा किए गए कार्य को देता है जो निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन कर रहे पिण्ड पर कार्यरत है। इसकी समानता संगत व्यंजक

$$ \mathrm{d} W=F \mathrm{~d} s $$

से रैखिक (गतिशील) गति के लिए स्पष्ट है। समीकरण (6.39) के दोनों पक्षों को (\mathrm{d} t) से भाग देने पर

$$ \begin{equation*} P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{~d} t}=\tau \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\tau \omega \tag{6.40} \end{equation*} $$

या (P=\tau \omega \tag{6.40})$$

यह तात्कालिक शक्ति है। इस व्यंजक को निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति के लिए शक्ति के व्यंजक की तुलना रैखिक गति की शक्ति (P=F_{V}) से कीजिए।

पूर्णतः दृढ़ पिण्ड में कोई आंतरिक गति नहीं होती। बाह्य टॉर्कों द्वारा किया गया कार्य इसलिए, विघटित नहीं होता और पिण्ड की गतिज ऊर्जा बढ़ाने में लग जाता है। पिण्ड पर कार्य करने की दर समीकरण (6.40) द्वारा दी जाती है। इसे गतिज ऊर्जा बढ़ने की दर के बराबर रखना है। गतिज ऊर्जा बढ़ने की दर

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{I \omega^{2}}{2}=I \frac{(2 \omega)}{2} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} $$

हम यह मान लेते हैं कि जड़त्व आघूर्ण समय के साथ नहीं बदलता। इसका अर्थ है कि पिण्ड का द्रव्यमान नहीं बदलता, पिण्ड दृढ़ बना रहता है और अक्ष भी पिण्ड के सापेक्ष अपनी स्थिति नहीं बदलता।

चूँकि $\alpha=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{I \omega^{2}}{2}=I \omega \alpha $$

किए गए कार्य की दर और गतिज ऊर्जा में वृद्धि की दर को समान करने पर,

$$ \begin{align*} & \tau \omega=I \omega \alpha \\ & \tau=I \alpha \tag{6.41} \end{align*} $$

समीकरण (6.41) रैखिक गति के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के समान है जिसे प्रतीकात्मक रूप से $F=m a$ के रूप में व्यक्त किया जाता है

जैसे बल त्वरण उत्पन्न करता है, वैसे ही टॉर्क किसी वस्तु में कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है। कोणीय त्वरण लगाए गए टॉर्क के समानुपाती होता है और वस्तु के जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इस दृष्टि से, समीकरण (6.41) को स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन गति के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम कहा जा सकता है।

उदाहरण 6.12 नगण्य द्रव्यमान की एक डोरी 20 किग्रा द्रव्यमान और 20 सेमी त्रिज्या के एक फ्लाईव्हील के किनारे पर लपेटी गई है। चित्र 6.31 में दिखाए अनुसार डोरी पर 25 N का एक स्थिर खिंचाव लगाया गया है। फ्लाईव्हील को घर्षणरहित बीयरिंग्स वाले क्षैतिज एक्सल पर माउंट किया गया है।

(a) पहिया का कोणीय त्वरण परिकलित कीजिए।

(b) जब डोरी के 2 m खुल जाएँ, तब खिंचाव द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

(c) इस बिंदु पर पहिया की गतिज ऊर्जा भी ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि पहिया विराम से प्रारंभ होता है।

(d) भागों (b) और (c) के उत्तरों की तुलना कीजिए।

उत्तर

चित्र 6.31

$ \begin{array}{lll} \text{(क)} & \text{ हम उपयोग करते हैं }& I \alpha = \tau \\ & \text{टॉर्क} & \tau=F R \\ & & =25 \times 0.20 \mathrm{Nm} (\text{ चूंकि } R=0.20 \mathrm{~m})\\ && =5.0 \mathrm{Nm}\\ \end{array} $

$I=$ फ्लाईव्हील के अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $=\frac{M R^{2}}{2}$

$=\frac{20.0 \times(0.2)^{2}}{2}=0.4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ $\alpha=$ कोणीय त्वरण

$=5.0 \mathrm{~N} \mathrm{~m} / 0.4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}=12.5 \mathrm{~s}^{-2}$

(ख) 2 m डोरी खुलने पर खींचने द्वारा किया गया कार्य

$$ =25 \mathrm{~N} \times 2 \mathrm{~m}=50 \mathrm{~J} $$

(ग) मान लीजिए अंतिम कोणीय वेग $\omega$ है।

प्राप्त गतिज ऊर्जा $=\frac{1}{2} I \omega^{2}$,

चूंकि पहिया विराम से प्रारंभ होता है। अब,

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 \alpha \theta, \quad \omega_{0}=0$

कोणीय विस्थापन $\theta=$ खुली डोरी की लंबाई / पहिए की त्रिज्या

$=2 \mathrm{~m} / 0.2 \mathrm{~m}=10 \mathrm{rad}$

$\omega^{2}=2 \times 12.5 \times 10.0=250(\mathrm{rad} / \mathrm{s})^{2}$

$\therefore$ प्राप्त गतिज ऊर्जा $=\frac{1}{2} \times 0.4 \times 250=50 \mathrm{~J}$

(घ) उत्तर समान हैं, अर्थात् पहिए द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा = बल द्वारा किया गया कार्य। घर्षण के कारण ऊर्जा की हानि नहीं होती।

6.12 एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन की स्थिति में कोणीय संवेग

हमने अनुच्छेद 6.7 में कणों के एक तंत्र के कोणीय संवेग का अध्ययन किया है। हम वहाँ से पहले ही जानते हैं कि कणों के एक तंत्र के कुल कोणीय संवेग में समय के सापेक्ष परिवर्तन उसी बिंदु के परितः लिए गए तंत्र पर कुल बाह्य बलाघूर्ण के बराबर होता है। जब कुल बाह्य बलाघूर्ण शून्य होता है, तो तंत्र का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

अब हम एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के विशेष मामले में कोणीय संवेग का अध्ययन करना चाहते हैं। $n$ कणों के तंत्र के कुल कोणीय संवेग के लिए सामान्य व्यंजक है

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \tag{6.25b} \end{equation*} $$

हम पहले घूर्णनशील दृढ़ वस्तु के एक प्रतिनिधि कण के कोणीय संवेग पर विचार करते हैं। फिर हम पूर्ण वस्तु के $\mathbf{L}$ प्राप्त करने के लिए व्यक्तिगत कणों के योगदानों को जोड़ते हैं।

एक प्रतिनिधि कण के लिए $\boldsymbol{I}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$। जैसा कि पिछले अनुच्छेद में देखा गया है $\mathbf{r}=\mathbf{O P}=\mathbf{O C}+\mathbf{C P}$ [चित्र 6.17(b)]। $\mathbf{p}=\mathrm{m} \mathbf{v}$ के साथ

$$ \boldsymbol{l}=(\mathbf{O C} \times m \mathbf{v})+(\mathbf{C P} \times m \mathbf{v}) $$

बिंदु P पर कण का रेखीय वेग v का परिमाण v = ωr द्वारा दिया जाता है, जहाँ r, CP की लंबाई है या घूर्णन अक्ष से P की लंबवत दूरी है। इसके अतिरिक्त, v, वृत्त पर P पर स्पर्शरेखीय है जो कण वर्णन करता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके यह जांचा जा सकता है कि CP × v स्थिर अक्ष के समानांतर है। स्थिर अक्ष (जिसे z-अक्ष चुना गया है) के अनुदिश इकाई सदिश है (\hat{\mathbf{k}})। इसलिए

[ \mathbf{C P} \times m \mathbf{v}=r_{\perp}(m v) \hat{\mathbf{k}} ] [ =m r_{\perp}^{2} \omega \hat{\mathbf{k}} \quad\left(\text { चूंकि } v=\omega r_{\perp}\right) ]

इसी प्रकार, हम जांच सकते हैं कि OC × v स्थिर अक्ष के लंबवत है। आइए स्थिर अक्ष (अर्थात् z-अक्ष) के अनुदिश l के भाग को (I_{z}) से निरूपित करें, तब

$ \boldsymbol{l_z} = \mathbf{CP} \times m \mathbf{v} = mr_{\perp}^2 \omega \hat{k} $

और (\boldsymbol{l}=\boldsymbol{l}_{z}+\mathbf{O C} \times m \mathbf{v})

हम देखते हैं कि $\boldsymbol{I}_{z}$ स्थिर अक्ष के समानांतर है, लेकिन $l$ नहीं है। सामान्यतः, किसी कण के लिए, कोणीय संवेग $I$ घूर्णन अक्ष के साथ नहीं होता है, अर्थात् किसी कण के लिए, $I$ और $\omega$ आवश्यक रूप से समानांतर नहीं होते। इसे स्थानांतरण के संगत तथ्य से तुलना कीजिए। किसी कण के लिए, $\mathbf{p}$ और $\mathbf{v}$ सदैव एक-दूसरे के समानांतर होते हैं। सम्पूर्ण दृढ़ वस्तु के कुल कोणीय संवेग की गणना करने के लिए, हम वस्तु के प्रत्येक कण के योगदान को जोड़ते हैं। इस प्रकार

$$ \mathbf{L}=\sum \boldsymbol{l_i}=\sum \boldsymbol{l}_{i z}+\sum \mathbf{O} \mathbf{c}_i \times m_i \mathbf{v}_i $$

हम क्रमशः $z$-अक्ष के लंबवत् और $z$-अक्ष के अनुदिश $\mathbf{L}$ के घटकों को $\mathbf{L}_{\perp}$ और $\mathbf{L}_z$ द्वारा दर्शाते हैं;

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}_{\perp}=\sum \mathbf{O} \mathbf{C}_i \times m_i \mathbf{v}_i \tag{6.42a} \end{equation*} $$

जहाँ $m_i$ और $\mathbf{v}_i$ क्रमशः $i^{\text {th }}$ कण का द्रव्यमान और वेग हैं और $\mathrm{C}_i$ वृत्त का केंद्र है जिसे कण वर्णित करता है; और

$$ \begin{equation*} \mathbf{L_z}=\sum \boldsymbol{l}_{i z}=\left(\sum_i m_i r_i^2\right) w \mathbf{k} \end{equation*} $$

या $$\quad \mathbf{L}_z=I \omega \hat{\mathbf{k}}\tag{6.42b}$$

अंतिम चरण इसलिए सही है क्योंकि अक्ष से $i^{\text{वें}}$ कण की लंबवत दूरी $r_{\mathrm{i}}$ है; और परिभाषा के अनुसार घूर्णन अक्ष के सापेक्ष वस्तु की जड़त्व आघूर्ण $I=\sum m_{i} r_{i}^{2}$ है।

नोट $$\mathbf{L}=\mathbf{L_z}+\mathbf{L}_\perp \tag{6.42c}$$

इस अध्याय में हमने मुख्यतः ऐसी कठोर वस्तुओं पर विचार किया है जो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष सममित हैं, अर्थात् घूर्णन अक्ष उनके सममिति अक्षों में से एक है। ऐसी वस्तुओं के लिए, एक दिए गए $\mathbf{O} \mathbf{C_i}$ के लिए, प्रत्येक कण जिसका वेग $\mathbf{v_i}$ है, उसके विपरीत व्यास पर एक अन्य कण है जिसका वेग $-\mathbf{v_i}$ है जो कण द्वारा निर्मित $C_i$ केंद्र वाले वृत्त पर स्थित है। ऐसे युग्म मिलकर $\mathbf{L_{\perp}}$ में शून्य योगदान देते हैं और परिणामस्वरूप सममित वस्तुओं के लिए $\mathbf{L}_{\perp}$ शून्य होता है, और इसलिए

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\mathbf{L}_{z}=I \omega \hat{\mathbf{k}} \tag{6.42~d} \end{equation*} $$

ऐसी वस्तुओं के लिए, जो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष सममित नहीं हैं, $\mathbf{L}$ समान नहीं होता $\mathbf{L}_{z}$ के और इसलिए $\mathbf{L}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश नहीं होता। तालिका 6.1 को देखते हुए, क्या आप बता सकते हैं कि किन स्थितियों में $\mathbf{L}=\mathbf{L} _{z}$ लागू नहीं होगा?

आइए समीकरण (6.42b) का अवकलन करें। चूँकि $\hat{\mathbf{k}}$ एक स्थिर (अचर) सदिश है, हमें मिलता है

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathbf{L}_{z}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega) \hat{\mathbf{k}}$

अब, समीकरण (6.28b) कहता है

$$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\tau $$

जैसा कि हमने पिछले खंड में देखा है, जब हम किसी निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन की चर्चा करते हैं, तो बाह्य टॉर्क के केवल वे घटक जो घूर्णन अक्ष के अनुदिश हों, ही ध्यान में लेने की आवश्यकता होती है। इसका अर्थ है कि हम $\tau=\tau \hat{\mathbf{k}}$ ले सकते हैं। चूँकि $\mathbf{L}=\mathbf{L_z}+\mathbf{L_{\perp}}$ है और $\mathbf{L}_z$ (वेक्टर $\hat{\mathbf{k}}$) की दिशा स्थिर है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{z}}{\mathrm{~d} t}=t \hat{\mathbf{k}} \tag{6.43a} \end{equation*} $$

और $$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{\perp}}{\mathrm{d} t}=0 \tag{6.43b}$$

इस प्रकार, निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कोणीय संवेग का वह घटक जो निश्चित अक्ष के लंबवत है, स्थिर रहता है। चूँकि $\mathbf{L}_{z}=I \omega \hat{\mathbf{k}}$ है, हम समी. (6.43a) से प्राप्त करते हैं,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega)=\tau \tag{6.43c}$$

यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ समय के साथ नहीं बदलता है,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega)=I \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=I \alpha$

और हम समी. (6.43c) से प्राप्त करते हैं,

$$\tau=I \alpha \tag{6.41}$$

हम पहले ही यह समीकरण कार्य-गतिज ऊर्जा मार्ग का प्रयोग करके व्युत्पन्न कर चुके हैं।

6.12.1 कोणीय संवेग का संरक्षण

अब हम निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के संदर्भ में कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत को पुनः देखने की स्थिति में हैं। समी. (6.43c) से, यदि बाह्य टॉर्क शून्य है,

$$L_{\mathrm{z}}=I \omega= \text{स्थिर } \tag{6.44}$$

सममित वस्तुओं के लिए, समीकरण (6.42d) से, $L_{z}$ को $L$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। $L$ और $L_{z}$ क्रमशः $\mathbf{L}$ और $\mathbf{L}_{z}$ के परिमाण हैं।

यह तो आवश्यक रूप है, स्थिर अक्ष घूर्णन के लिए, समीकरण (6.29a) का, जो कणों की एक प्रणाली के कोणीय संवेग के संरक्षण के सामान्य नियम को व्यक्त करता है। समीकरण (6.44) कई ऐसी स्थितियों पर लागू होता है जिनका हम दैनिक जीवन में सामना करते हैं। आप यह प्रयोग अपने मित्र के साथ कर सकते हैं। एक घूर्णन कुर्सी (एक कुर्सी जिसकी सीट एक धुरी के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र हो) पर बैठ जाइए, अपनी भुजाएँ मोड़कर रखिए और पैरों को ज़मीन से दूर, यानी न रखते हुए। अपने मित्र से कुर्सी को तेज़ी से घुमाने को कहिए। जब कुर्सी पर्याप्त कोणीय चाल से घूर्णन कर रही हो तो अपनी भुजाओं को क्षैतिज फैला लीजिए। क्या होता है? आपकी कोणीय चाल घट जाती है। यदि आप भुजाओं को शरीर के पास वापस ले आते हैं, तो कोणीय चाल फिर बढ़ जाती है। यह एक ऐसी स्थिति है जहाँ कोणीय संवेग के संरक्षण का सिद्धांत लागू होता है। यदि घूर्णन तंत्र में घर्षण को नज़रअंदाज़ किया जाए, तो घूर्णन अक्ष के परितः कोई बाह्य बलाघूर्ण नहीं है और इसलिए $I \omega$ स्थिर रहता है। भुजाओं को फैलाने से घूर्णन अक्ष के परितः $I$ बढ़ जाता है, जिससे कोणीय चाल $\omega$ घट जाती है। भुजाओं को शरीर के पास लाने से इसका विपरीत प्रभाव पड़ता है।

चित्र 6.32 (a) कोणीय संवेग के संरक्षण का एक प्रदर्शन। एक लड़की स्विवल कुर्सी पर बैठी है और अपनी बाहों को फैलाती है/अपनी बाहों को शरीर के पास लाती है।

चित्र 6.32 (b) कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करती हुई एक एक्रोबेट।

एक सर्कस एक्रोबेट और एक डाइवर इस सिद्धांत का लाभ उठाते हैं। साथ ही, स्केटर और शास्त्रीय, भारतीय या पाश्चात्य, नर्तक जो एक पैर के पंजों पर पिरौएट (एक टिप-टॉप के चारों ओर घूमना) करते हैं, वे इस सिद्धांत पर ‘प्रभुत्व’ प्रदर्शित करते हैं। क्या आप समझा सकते हैं?

सारांश

1. आदर्श रूप से, एक कठोर वस्तु ऐसी होती है जिसमें विभिन्न कणों के बीच की दूरियां परिवर्तित नहीं होतीं, भले ही उन पर बल लगे हों।

2. एक कठोर वस्तु जो एक बिंदु या एक रेखा के साथ स्थिर है, केवल घूर्णी गति कर सकती है। किसी प्रकार से स्थिर न की गई कठोर वस्तु या तो शुद्ध स्थानांतर गति कर सकती है या स्थानांतर और घूर्णी गति का संयोजन कर सकती है।

3. एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन में, कठोर पिण्ड का प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है जो अक्ष के लम्बवत् तल में स्थित होता है और जिसका केन्द्र अक्ष पर होता है। घूर्णित हो रहे कठोर पिण्ड का प्रत्येक बिन्दु किसी भी समय क्षण पर समान कोणीय वेग रखता है।

4. शुद्ध संचरण में, पिण्ड का प्रत्येक कण किसी भी समय क्षण पर समान वेग से गति करता है।

5. कोणीय वेग एक सदिश है। इसका परिमाण $\omega=d \theta / d t$ है और यह घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशित होता है। एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, इस सदिश $\omega$ की दिशा निश्चित रहती है।

6. दो सदिशों $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ का सदिश अथवा क्रॉस गुणनफल एक सदिश होता है जिसे $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ लिखा जाता है। इस सदिश का परिमाण $a b \sin \theta$ है और इसकी दिशा दक्षिण हस्त पेंच अथवा दक्षिण हस्त नियम द्वारा दी जाती है।

7. एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णित हो रहे कठोर पिण्ड के कण का रेखीय वेग $\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\mathbf{r}$ निश्चित अक्ष पर स्थित मूलबिन्दु के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है। यह सम्बन्ध एक बिन्दु निश्चित रखे गये कठोर पिण्ड के अधिक सामान्य घूर्णन पर भी लागू होता है। उस स्थिति में $\mathbf{r}$ निश्चित बिन्दु को मूलबिन्दु मानकर उसके सापेक्ष कण का स्थिति सदिश है।

8. $n$ कणों की एक निकाय का द्रव्यमान केन्द्र वह बिन्दु है जिसका स्थिति सदिश

$\mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r}_{i}}{M}$

9. कणों की एक प्रणाली के द्रव्यमान-केंद्र का वेग $\mathbf{V}=\mathbf{P} / M$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\mathbf{P}$ प्रणाली का रेखीय संवेग है। द्रव्यमान-केंद्र इस प्रकार गति करता है मानो प्रणाली का सारा द्रव्यमान इस बिंदु पर केंद्रित हो और सभी बाह्य बल इसी पर कार्य कर रहे हों। यदि प्रणाली पर कुल बाह्य बल शून्य है, तो प्रणाली का कुल रेखीय संवेग नियत रहता है।

10. मूलबिंदु के सापेक्ष $n$ कणों की प्रणाली का कोणीय संवेग

$$ \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i $$

है। मूलबिंदु के सापेक्ष $n$ कणों की प्रणाली पर बल का आघूर्ण या टॉर्क

$$ \tau=\sum_1 \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i $$

है। $i^{\text {th }}$ कण पर कार्य करने वाला बल $\mathbf{F}_i$ बाह्य तथा आंतरिक दोनों बलों को सम्मिलित करता है। न्यूटन के गति के तृतीय नियम तथा इस मान्यता को लागू करते हुए कि किन्हीं दो कणों के बीच के बल उनको जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं, हम दिखा सकते हैं

$\tau_\text{int}=\mathbf{0}$

तथा

$ \frac{d \mathbf{L}}{d t}=\tau_{e x t} $

11. एक दृढ़ वस्तु यांत्रिक साम्यावस्था में तब होती है जब

(1) वह रूपांतर साम्यावस्था में हो, अर्थात् उस पर कुल बाह्य बल शून्य हो : $\sum \mathbf{F}_i=\mathbf{0}$, और

(2) वह घूर्णन साम्यावस्था में हो, अर्थात् उस पर कुल बाह्य आघूर्ण शून्य हो :

$$ \sum \tau_i=\sum \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i=\mathbf{0} . $$

12. एक विस्तृत वस्तु का गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जहाँ वस्तु पर कुल गुरुत्वीय आघूर्ण शून्य होता है।

13. एक कठोर पिण्ड की जड़ता आघूर्ण एक अक्ष के परितः सूत्र $I=\sum m_{i} r_{i}^{2}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $r_{\mathrm{i}}$ पिण्ड के $i$ वें बिन्दु की उस अक्ष से लम्बवत् दूरी है। घूर्णन की गतिज ऊर्जा $K=\frac{1}{2} I \omega^{2}$ होती है।

राशि	प्रतीक	विमाएँ	इकाइयाँ	टिप्पणियाँ
कोणीय वेग	$\omega$	$\left[\mathrm{T}^{-1}\right]$	rad s	$\mathrm{v}=\omega \times \mathrm{r}$
कोणीय संवेग	$\mathrm{L}$	$\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-1}\right]$	$\mathrm{J} \mathrm{s}$	$\mathrm{L}=\mathrm{r} \times \mathrm{p}$
बल आघूर्ण	$\tau$	$\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$	$\mathrm{N} \mathrm{m}$	$\tau=\mathrm{r} \times \mathrm{F}$
जड़ता आघूर्ण	$I$	$\left[\mathrm{ML}^{2}\right]$	$\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2}$	$I=\sum m_{i} \mathrm{r}_{i}^{2}$

विचार करने योग्य बिन्दु

1. किसी निकाय के द्रव्यमान केन्द्र की गति निर्धारित करने के लिए निकाय के आंतरिक बलों का कोई ज्ञान आवश्यक नहीं है। इस उद्देश्य के लिए हमें केवल पिण्ड पर बाह्य बलों का ज्ञान होना चाहिए।

2. कणों के एक निकाय की गति को निकाय के द्रव्यमान केन्द्र की गति (अर्थात् निकाय का रेखीय संचरण) और निकाय के द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष गति के रूप में पृथक् करना, कणों के निकाय के गतिकी में एक उपयोगी तकनीक है। इस तकनीक का एक उदाहरण निकाय की गतिज ऊर्जा $K$ को उसके द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष गतिज ऊर्जा $K^{\prime}$ और द्रव्यमान केन्द्र की गतिज ऊर्जा $M V^{2} / 2$ के रूप में पृथक् करना है,

$$ K=K^{\prime}+M V^{2} / 2 $$

3. परिमित आकार के पिण्डों (या कणों के निकायों) के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम कणों के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम और न्यूटन के तृतीय नियम पर आधारित है।

4. यह स्थापित करने के लिए कि कणों के निकाय के कुल कोणीय संवेग का समय दर परिवर्तन निकाय पर कुल बाह्य बलाघूर्ण है, हमें न केवल कणों के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम, बल्कि न्यूटन का तृतीय नियम भी चाहिए, जिसमें यह प्रावधान हो कि किन्हीं दो कणों के बीच के बल उनको जोड़ने वाली रेखा के अनुदाय कार्य करते हैं।

5. कुल बाह्य बल का शून्य होना और कुल बाह्य बलाघूर्ण का शून्य होना स्वतंत्र शर्तें हैं। हमारे पास एक के बिना दूसरा हो सकता है। एक युग्म में कुल बाह्य बल शून्य होता है, परन्तु कुल बलाघूर्ण अशून्य होता है।

6. यदि कुल बाह्य बल शून्य हो तो निकाय पर कुल बलाघूर्ण मूल बिन्दु से स्वतंत्र होता है।

7. किसी वस्तु का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसके द्रव्यमान केंद्र से तभी मेल खाता है जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वस्तु के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक परिवर्तित न हो।

8. कोणीय संवेग $\mathbf{L}$ और कोणीय वेग $\omega$ आवश्यक रूप से समानांतर सदिश नहीं होते हैं। हालांकि, इस अध्याय में चर्चा किए गए सरल परिस्थितियों में जब घूर्णन एक निश्चित अक्ष के परितः होता है जो कि दृढ़ वस्तु का सममिति अक्ष है, तो संबंध $\mathbf{L}=I \omega$ लागू होता है, जहाँ $I$ घूर्णन अक्ष के परितः वस्तु का जड़त्व आघूर्ण है।