7.1 परिचय

हमारे जीवन के प्रारंभिक चरणों में ही हमें इस तथ्य का बोध होता है कि सभी भौतिक वस्तुएँ पृथ्वी की ओर आकर्षित होती हैं। कुछ भी ऊपर फेंका जाए तो वह पृथ्वी की ओर गिरता है, ऊपर चढ़ना नीचे उतरने की तुलना में कहीं अधिक थकाने वाला होता है, ऊपर बादलों से गिरी बूंदें पृथ्वी की ओर गिरती हैं और ऐसे कई अन्य प्रक्रम हैं। ऐतिहासिक रूप से यह तथ्य इटालियन भौतिकविद् गैलीलियो (1564-1642) ने पहचाना कि सभी वस्तुएँ, उनके द्रव्यमान की परवाह किए बिना, एक नियत त्वरण से पृथ्वी की ओर त्वरित होती हैं। ऐसा कहा जाता है कि उन्होंने इस तथ्य का सार्वजनिक प्रदर्शन भी किया। सत्य को जानने के लिए उन्होंने निश्चित रूप से झुकी हुई सतहों पर लुढ़कती वस्तुओं के साथ प्रयोग किए और गुरुत्वाकर्षण के कारण उत्पन्न त्वरण का एक मान प्राप्त किया जो बाद में प्राप्त अधिक सटीक मान के निकट है।

एक प्रतीत होता है असंबंधित घटना, तारों, ग्रहों और उनकी गति का प्रेक्षण प्राचीनतम समय से ही कई देशों का ध्यान आकर्षित करता रहा है। प्रारंभिक समय से किए गए प्रेक्षणों ने उन तारों को पहचाना जो आकाश में वर्ष दर वर्ष अपरिवर्तित स्थिति में प्रकट होते थे। अधिक रोचक वस्तुएँ ग्रह हैं जो तारों की पृष्ठभूमि के विरुद्ध नियमित गति प्रतीत करते हैं। ग्रहों की गति के लिए प्रस्तुत प्रारंभिकतम अभिलिखित मॉडल, जिसे लगभग 2000 वर्ष पूर्व टॉलेमी ने प्रस्तुत किया, एक ‘भूकेंद्रित’ मॉडल था जिसमें सभी खगोलीय वस्तुएँ—तारे, सूर्य और ग्रह—सभी पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करते थे। खगोलीय वस्तुओं के लिए संभव मानी जाने वाली एकमात्र गति वृत्त में गति थी। ग्रहों की प्रेक्षित गति का वर्णन करने के लिए टॉलेमी ने गति की जटिल योजनाएँ प्रस्तुत कीं। ग्रहों को वृत्तों में गतिशील बताया गया जिनके केंद्र स्वयं बड़े वृत्तों में गति करते थे। इसी प्रकार की सिद्धांतों को भारतीय खगोलशास्त्रियों ने लगभग 400 वर्ष बाद भी प्रस्तुत किया। यद्यपि एक अधिक सुंदर मॉडल जिसमें सूर्य केंद्र था जिसके चारों ओर ग्रह परिक्रमा करते थे—‘सूर्यकेंद्रित’ मॉडल—पहले ही आर्यभट्ट (५वीं शताब्दी ई.) ने अपने ग्रंथ में उल्लिखित किया था। एक हज़ार वर्ष बाद, एक पोलिश भिक्षु निकोलस कोपरनिकस (1473-1543) ने एक निश्चित मॉडल प्रस्तुत किया जिसमें ग्रह स्थिर केंद्रीय सूर्य के चारों ओर वृत्तों में गति करते थे। उसका सिद्धांत चर्च द्वारा खारिज कर दिया गया, परंतु इसके समर्थकों में उल्लेखनीय गैलीलियो थे जिन्हें अपने विश्वासों के कारण राज्य द्वारा अभियोग का सामना करना पड़ा।

गैलीलियो के समय के आसपास डेनमार्क के एक कुलीन व्यक्ति टाइको ब्राहे (1546-1601) ने अपना पूरा जीवन ग्रहों की नंगी आँखों से प्रेक्षण करने में बिताया। उसके संकलित आँकड़ों का विश्लेषण बाद में उसके सहायक जोहानेस केपलर (1571-1640) ने किया। उसने इन आँकड़ों से तीन सुंदर नियम निकाले जो आज केपलर के नियमों के नाम से जाने जाते हैं। ये नियम न्यूटन को ज्ञात थे और उन्हें गुरुत्वाकर्षण के सार्वभौमिक नियम को प्रस्तावित करने में एक बड़ी वैज्ञानिक छलांग लगाने में सक्षम बनाए।

7.2 केपलर के नियम

केपलर के तीन नियम इस प्रकार कहे जा सकते हैं:

1. कक्षाओं का नियम: सभी ग्रह सूर्य को एक फोकस पर स्थित करते हुए दीर्घवृत्तीय कक्षाओं में गतिशील रहते हैं (चित्र 7.1a)। यह नियम कोपरनिकस के मॉडल से भिन्न था जो केवल वृत्तीय कक्षाओं की अनुमति देता था। दीर्घवृत्त, जिसका वृत्त एक विशेष प्रकार है, एक बंद वक्र है जिसे बहुत सरलता से इस प्रकार खींचा जा सकता है।

चित्र 7.1(a) सूर्य के चारों ओर एक ग्रह द्वारा खींचा गया दीर्घवृत्त। निकटतम बिंदु P है और सबसे दूर का बिंदु A है, P को पेरीहेलियन और A को अफेलीयन कहा जाता है। अर्ध-प्रमुख अक्ष AP की दूरी का आधा है

चित्र 7.1(b) एक दीर्घवृत्त बनाना। एक डोरी के दोनों सिरों को F₁ और F₂ पर स्थिर कर दिया गया है। पेंसिल की नोक डोरी को तानकर रखती है और चारों ओर घूमती है।

दो बिंदु F₁ और F₂ चुनिए। एक डोरी लीजिए और उसके दोनों सिरों को F₁ और F₂ पर पिनों से स्थिर कर दीजिए। पेंसिल की नोक से डोरी को तानकर रखिए और फिर पेंसिल को चलाते हुए एक वक्र खींचिए, इस बात का ध्यान रखते हुए कि डोरी पूरी तरह तनी रहे। (चित्र 7.1(b)) जो बंद वक्र आपको मिलता है, उसे दीर्घवृत्त कहा जाता है। स्पष्ट है कि दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु T के लिए, F₁ और F₂ से दूरियों का योग स्थिर होता है। F₁, F₂ को फोकस कहा जाता है। बिंदुओं F₁ और F₂ को मिलाइए और रेखा को बढ़ाइए ताकि वह दीर्घवृत्त को बिंदुओं P और A पर काटे जैसा कि चित्र 7.1(b) में दिखाया गया है। रेखा PA का मध्य-बिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र O है और लंबाई PO = AO को दीर्घवृत्त की अर्ध-प्रमुख अक्ष कहा जाता है। एक वृत्त के लिए, दोनों फोकस एक में मिल जाते हैं और अर्ध-प्रमुख अक्ष वृत्त की त्रिज्या बन जाती है।

2. क्षेत्रफलों का नियम: कोई भी ग्रह जो सूर्य से जुड़ी रेखा है, समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल काटती है (चित्र 7.2)। यह नियम इस अवलोकन से आया है कि ग्रह तब धीमी गति से चलते प्रतीत होते हैं जब वे सूर्य से दूर होते हैं, इसकी तुलना में जब वे निकट होते हैं।

चित्र 7.2 ग्रह P सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में चक्कर लगाता है। छायांकित क्षेत्र वह क्षेत्र ∆A है जो समय के एक छोटे अंतराल ∆t में आच्छादित किया गया।

3.कालों का नियम : किसी ग्रह के परिक्रमण की समयावधि का वर्ग उस दीर्घवृत्त की अर्ध-मुख्य अक्ष के घन के समानुपाती होता है जिसे ग्रह अंकित करता है।

तालिका 7.1 सूर्य के चारों ओर आठ* ग्रहों के परिक्रमण की अनुमानित समयावधियाँ तथा उनकी अर्ध-मुख्य अक्षों के मान देती है।

तालिका 7.1

नीचे दिए गए ग्रहों की गति के मापन के आँकड़े केपलर के कालों के नियम की पुष्टि करते हैं

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{अर्ध-मुख्य अक्ष } 10^{10} \mathrm{~m}\text{ के इकाइयों में}. \\ & T \equiv \text{ग्रह की परिक्रमण की समयावधि वर्षों }(y)\text{ में }. \\ & Q \equiv \text{भागफल } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{इकाइयों में } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

क्षेत्रफल का नियम कोणीय संवेग के संरक्षण के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है, जो किसी भी केन्द्राभिमुख बल के लिए वैध है। एक केन्द्राभिमुख बल ऐसा होता है जिसमें ग्रह पर लगने वाला बल सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाले सदिश के अनुदिश होता है। मान लीजिए सूर्य मूलबिंदु पर है और ग्रह की स्थिति तथा संवेग को क्रमशः $\mathbf{r}$ और $\mathbf{p}$ से निरूपित किया गया है। तब समय अंतराल $\Delta t$ में द्रव्यमान $\mathrm{m}$ वाले ग्रह द्वारा क्षेत्रफल (चित्र 7.2) $\Delta \mathbf{A}$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

अतः

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { चूंकि } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{v}$ वेग है, $\mathbf{L}$ कोणीय संवेग है जो $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ के बराबर है। एक केन्द्राभिमुख बल के लिए, जो $\mathbf{r}$ के अनुदिश निर्देशित होता है, $\mathbf{L}$ स्थिरांक होता है जैसे ही ग्रह परिक्रमा करता है। अतः, अंतिम समीकरण के अनुसार $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ एक स्थिरांक है। यही क्षेत्रफल का नियम है। गुरुत्वाकर्षण एक केन्द्राभिमुख बल है और इसलिए क्षेत्रफल का नियम अनुसरण करता है।

उदाहरण 7.1 मान लीजिए कि चित्र 7.1(a) में पेरिहेलियन $P$ पर ग्रह की चाल $V_P$ है और सूर्य-ग्रह दूरी SP, $r_P$ है। पेरिहेलियन पर मात्रक $\{r_P, V_P\}$ को एफेलियन पर संगत मात्राओं $\{r_A, V_A\}$ से संबद्ध कीजिए। क्या ग्रह $B A C$ और $C P B$ को पार करने में समान समय लेगा?

उत्तर $P$ पर कोणीय संवेग का परिमाण $L_p=m_p r_p V_p$ है, क्योंकि निरीक्षण बताता है कि $\mathbf{r}_p$ और $\mathbf{v}_p$ परस्पर लंबवत् हैं। इसी प्रकार, $L_A=m_p r_A V_A$ है। कोणीय संवेग संरक्षण से

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

या $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

चूँकि $r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$।

क्षेत्रफल $S B A C$ जो दीर्घवृत्त और त्रिज्या सदिशों $S B$ और $S C$ से घिरा है, चित्र 7.1 में $\mathrm{SBPC}$ से बड़ा है। केप्लर के द्वितीय नियम से, समान क्षेत्रफल समान समय में स्वीप किए जाते हैं। इसलिए ग्रह $B A C$ को पार करने में $C P B$ की तुलना में अधिक समय लेगा।

7.3 गुरुत्वाकर्षण का सार्वभौमिक नियम

किंवदंती है कि एक वृक्ष से सेब गिरते हुए देखकर, न्यूटन को गुरुत्वाकर्षण के सार्वभौमिक नियम तक पहुँचने की प्रेरणा मिली, जिसने पृथ्वीय गुरुत्वाकर्षण के साथ-साथ केप्लर के नियमों की व्याख्या की। न्यूटन का तर्क था कि त्रिज्या $R_{m}$ के कक्षा में घूमता चंद्रमा पृथ्वी के गुरुत्व के कारण केंद्रापसारी त्वरण के अधीन है जिसका परिमाण

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

जहाँ $V$ चंद्रमा की चाल है जो आवर्तकाल $T$ से सम्बन्ध $V=2 \pi R_{m} / T$ द्वारा सम्बन्धित है। आवर्तकाल $T$ लगभग 27.3 दिन है और $R_{m}$ तब तक लगभग $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ ज्ञात था। यदि हम इन संख्याओं को समी. (7.3) में प्रतिस्थापित करें, तो हमें $a_{m}$ का मान पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण उत्पन्न त्वरण $g$ के मान से बहुत कम मिलता है, जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण भी उत्पन्न होता है। यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि पृथ्वी के गुरुत्व के कारण बल दूरी के साथ घटता है। यदि यह मान लिया जाए कि पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के केंद्र से दूरी के व्युत्क्रम वर्ग के अनुपात में घटता है, तो हमारे पास $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ होगा और हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के मान और समी. (7.3) से $a_{\mathrm{m}}$ के मान के साथ सहमति में। इन प्रेक्षणों ने न्यूटन को निम्नलिखित सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण नियम प्रस्तावित करने के लिए प्रेरित किया :

ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु प्रत्येक अन्य वस्तु को एक बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

यह उद्धरण मूलतः न्यूटन के प्रसिद्ध ग्रंथ ‘Mathematical Principles of Natural Philosophy’ (संक्षेप में प्रिन्सिपिया) से है।

गणितीय रूप से कहा जाए तो न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम इस प्रकार है : बिंदु द्रव्यमान $m_{1}$ के कारण बिंदु द्रव्यमान $m_{2}$ पर लगने वाला बल $\mathbf{F}$ का परिमाण

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

समीकरण (7.5) को सदिश रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

जहाँ $\mathrm{G}$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, $\hat{\mathbf{r}}$ इकाई सदिश है जो $m_1$ से $m_2$ की ओर है और $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ जैसा कि चित्र 7.3 में दिखाया गया है।

चित्र 7.3 $m_2$ के कारण $m_1$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल सदिश $\mathbf{r}$ के अनुदिश है जहाँ सदिश $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$) है।

$m_2$ के कारण $m_1$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल सदिश $\mathbf{r}$ के अनुदिश है जहाँ सदिश $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$) है। गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षी होता है, अर्थात् बल $\mathbf{F}$ सदिश $-\mathbf{r}$ के अनुदिश होता है। $m_2$ के कारण बिंदु द्रव्यमान $m_1$ पर लगने वाला बल निस्संदेह न्यूटन के तीसरे नियम से $-\mathbf{F}$ होगा। इस प्रकार, वस्तु 2 के कारण वस्तु 1 पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल F₁₂ और वस्तु 1 के कारण वस्तु 2 पर लगने वाला बल F₂₁ इस प्रकार संबंधित हैं

F₁₂=-F₂₁.

इससे पहले कि हम समीकरण (7.5) को विचाराधीन वस्तुओं पर लागू करें, हमें सावधान रहना होगा क्योंकि यह नियम बिंदु-द्रव्यमानों पर लागू होता है जबकि हमारे पास सीमित आकार वाली विस्तृत वस्तुएँ हैं। यदि हमारे पास बिंदु-द्रव्यमानों का एक समूह है, तो किसी एक पर लगने वाला बल अन्य सभी बिंदु-द्रव्यमानों द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बलों का सदिश योग होता है, जैसा कि चित्र 7.4 में दिखाया गया है।

चित्र 7.4 बिंदु-द्रव्यमान m1 पर गुरुत्वाकर्षण बल
m2, m3 और m4 द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बलों का सदिश योग है।

$m_1$ पर कुल बल

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

उदाहरण 7.2 तीन समान द्रव्यमान, प्रत्येक $m \mathrm{~kg}$, एक समबाहु त्रिभुज ABC के शीर्षों पर स्थिर हैं।

(a) त्रिभुज के केन्द्रक G पर रखे गए $2 m$ द्रव्यमान पर क्या बल कार्य कर रहा है?

(b) यदि शीर्ष A पर रखा द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए तो बल क्या होगा?

मान लीजिए $\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ (चित्र 7.5 देखें)

उत्तर (a) GC और धनात्मक $x$-अक्ष के बीच का कोण $30^{\circ}$ है और GB और ऋणात्मक $x$-अक्ष के बीच का कोण भी $30^{\circ}$ है। व्यक्तिगत बल सदिश संकेतन में हैं

चित्र 7.5 तीन समान द्रव्यमानों को ∆ ABC के तीन शीर्षों पर रखा गया है। केन्द्रक G पर 2m द्रव्यमान रखा गया है।

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \ & \mathbf{F_\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \ & \mathbf{F_\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत और सदिश योग के नियम से, (2 m) पर परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल $\mathbf{F}_{\mathrm{R}}$ है

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{R}}= \mathbf{F_\mathrm{GA}}+\mathbf{F_\mathrm{GB}}+\mathbf{F_\mathrm{GC}} \ & \mathbf{F_\mathrm{R}}=2 G m^{2} \hat{\mathbf{j}}+2 G m^{2}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \ &+2 G m^{2}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

वैकल्पिक रूप से, सममिति के आधार पर यह अपेक्षा की जाती है कि परिणामी बल शून्य होना चाहिए।

(b) अब यदि शीर्ष A पर द्रव्यमान को दोगुना कर दिया जाए तो

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F_{G A}^{\prime}}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^{2} \hat{\mathrm{j}} \ & \mathrm{F_{G B}^{\prime}}=\mathrm{F_G B} \text{ और } \mathrm{F_G C}^{\prime}=\mathrm{F_G C} \ & \mathrm{~F_{R}^{\prime}}=\mathrm{F_G A}^{\prime}+\mathrm{F_G B}^{\prime}+\mathrm{F_G C}^{\prime} \ & \mathrm{F_{\mathrm{R}}^{\prime}}=2 G m^{2} \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

एक विस्तृत वस्तु (जैसे पृथ्वी) और एक बिंदु द्रव्यमान के बीच गुरुत्वाकर्षण बल के लिए, समीकरण (7.5) सीधे लागू नहीं होता। विस्तृत वस्तु में मौजूद प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान दिए गए बिंदु द्रव्यमान पर एक बल लगाएगा और ये सभी बल एक ही दिशा में नहीं होंगे। हमें कुल बल प्राप्त करने के लिए इन बलों को सभी बिंदु द्रव्यमानों के लिए सदिश रूप से जोड़ना होगा। यह कलन की सहायता से आसानी से किया जा सकता है। दो विशेष स्थितियों के लिए, जब आप ऐसा करते हैं तो एक सरल नियम प्राप्त होता है:

(1) एकसमान घनत्व वाले खोखले गोलीय पोल और एक बाहरी बिंदु द्रव्यमान के बीच आकर्षण बल ठीक वैसा ही होता है जैसे कि पोल का संपूर्ण द्रव्यमान पोल के केंद्र पर केंद्रित हो।

गुणात्मक रूप से इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: खोल के विभिन्न क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण बलों में एक घटक बिंदु द्रव्य से केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है तथा एक घटक इस रेखा के लंबवत् दिशा में होता है। जब खोल के सभी क्षेत्रों का योग किया जाता है तो इस रेखा के लंबवत् घटक परसे निरस्त हो जाते हैं और केवल बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश एक परिणामी बल शेष रहता है। इस बल का परिमाण ऊपर बताए अनुसार निकलता है।

(2) एकसमान घनत्व वाले खोखले गोलीय खोल द्वारा अपने भीतर स्थित बिंदु द्रव्य पर आकर्षण बल शून्य होता है।

गुणात्मक रूप से हम इस परिणाम को फिर से समझ सकते हैं। गोलीय खोल के विभिन्न क्षेत्र भीतर स्थित बिंदु द्रव्य को विभिन्न दिशाओं में आकर्षित करते हैं। ये बल एक-दूसरे को पूरी तरह से निरस्त कर देते हैं।

7.4 गुरुत्वाकर्षण नियतांक

सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम में प्रवेश करने वाले गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का मान प्रायोगिक रूप से निर्धारित किया जा सकता है और यह कार्य सर्वप्रथम 1798 में अंग्रेज वैज्ञानिक हेनरी कैवेंडिश ने किया। उनके द्वारा प्रयुक्त उपकरण को आरेखीय रूप से चित्र 7.6 में दिखाया गया है।

आकृति 7.6 कैवेंडिश प्रयोग का आरेख। S₁ और S₂ बड़े गोले हैं जो A तथा B पर स्थित द्रव्यमानों के दोनों ओर रखे जाते हैं (छायांकित दिखाए गए हैं)। जब बड़े गोलों को द्रव्यमानों के दूसरी ओर ले जाया जाता है (छिद्रित वृत्तों से दिखाया गया है), तब डंडा AB थोड़ा घूम जाता है क्योंकि आघूर्ण की दिशा उलट जाती है। घूर्णन कोण को प्रयोग द्वारा मापा जा सकता है।

दंड $\mathrm{AB}$ के दोनों सिरों पर दो छोटे सीसे के गोले लगे हैं। दंड को एक पतले तार द्वारा एक कठोर सहारे से लटकाया गया है। दो बड़े सीसे के गोले छोटे गोलों के निकट लाए जाते हैं, पर विपरीत दिशाओं में जैसा चित्र में दिखाया गया है। बड़े गोले निकटवर्ती छोटे गोलों को बराबर और विपरीत बलों से आकर्षित करते हैं जैसा चित्र में दिखाया गया है। दंड पर कोई नेट बल नहीं है, केवल एक टॉर्क है जो स्पष्ट रूप से $\mathrm{F}$ गुना दंड की लंबाई के बराबर है, जहाँ $\mathrm{F}$ एक बड़े गोले और उसके निकटवर्ती छोटे गोले के बीच आकर्षण बल है। इस टॉर्क के कारण, लटका हुआ तार मुड़ता है जब तक कि तार का पुनर्स्थापन टॉर्क गुरुत्वाकर्षण टॉर्क के बराबर न हो जाए। यदि $\theta$ लटके हुए तार का मोड़ कोण है, तो पुनर्स्थापन टॉर्क $\theta$ के समानुपाती है, $\tau \theta$ के बराबर है। जहाँ $\tau$ प्रति इकाई मोड़ कोण का पुनर्स्थापन युग्म है। $\tau$ को स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक ज्ञात टॉर्क लगाकर और मोड़ कोण मापकर। गोलाकार गेंदों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल वैसा ही है जैसे उनके द्रव्यमान उनके केंद्रों पर केंद्रित हैं। इस प्रकार यदि $d$ बड़े और उसके निकटवर्ती छोटे गोले के केंद्रों के बीच की दूरी है, $\mathrm{M}$ और $\mathrm{m}$ उनके द्रव्यमान हैं, तो बड़े गोले और उसके निकटवर्ती छोटे गोले के बीच गुरुत्वाकर्षण बल है।

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M m}{d^{2}} \tag{7.6} \end{equation*} $$

यदि $L$ डंडे $A B$ की लंबाई है, तो $F$ से उत्पन्न होने वाला टॉर्क $F$ गुणा $L$ होता है। संतुलन पर, यह पुनःस्थापन टॉर्क के बराबर होता है और इसलिए

$$ \begin{equation*} G \frac{M m}{d^{2}} L=\tau \theta \tag{7.7} \end{equation*} $$

इस प्रकार $\theta$ का प्रेक्षण इस समीकरण से $G$ की गणना करने में सक्षम बनाता है।

कैवेंडिश के प्रयोग के बाद से, $G$ की माप को परिष्कृत किया गया है और वर्तमान में स्वीकृत मान है

$$ \begin{equation*} G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} \tag{7.8} \end{equation*} $$

7.5 पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

पृथ्वी को एक ऐसे गोले के रूप में कल्पना की जा सकती है जो बड़ी संख्या में संकेन्द्री गोलीय कोशों से बना है, जिसमें सबसे छोटी कोश केंद्र पर है और सबसे बड़ी कोश इसकी सतह पर है। पृथ्वी के बाहर एक बिंदु स्पष्ट रूप से सभी कोशों के बाहर है। इस प्रकार, सभी कोशें एक बाहरी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती हैं जैसे कि उनके द्रव्यमान उनके सामान्य केंद्र पर केन्द्रित हैं, खंड 7.3 में दिए गए परिणाम के अनुसार। सभी कोशों का कुल द्रव्यमान पृथ्वी का द्रव्यमान ही है। इसलिए, पृथ्वी के बाहर एक बिंदु पर, गुरुत्वाकर्षण बल ऐसा होता है जैसे पृथ्वी का संपूर्ण द्रव्यमान इसके केंद्र पर केन्द्रित हो।

पृथ्वी के अंदर एक बिंदु के लिए, स्थिति भिन्न है। इसे चित्र 7.7 में दर्शाया गया है।

चित्र 7.7 द्रव्यमान m पृथ्वी की सतह से d गहराई पर स्थित एक खान में है। हम पृथ्वी को गोलाकार सममित मानते हैं।

पुनः पृथ्वी को पहले की तरह संकेन्द्रीय कोशों से बना हुआ मानें और एक बिंदु द्रव्यमान $m$ केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित है। बिंदु $\mathrm{P}$ त्रिज्या $r$ के गोले के बाहर स्थित है। $r$ से अधिक त्रिज्या वाले कोशों के लिए, बिंदु $\mathrm{P}$ उनके अंदर स्थित है। अतः पिछले खंड में दिए गए परिणाम के अनुसार, वे बिंदु $\mathrm{P}$ पर रखे द्रव्यमान $m$ पर कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लगाते हैं। त्रिज्या $\leq r$ वाले कोश एक त्रिज्या $r$ का गोला बनाते हैं जिसके लिए बिंदु $P$ सतह पर स्थित है। यह छोटा गोला इसलिए बिंदु $\mathrm{P}$ पर द्रव्यमान $m$ पर एक बल लगाता है जैसे उसका द्रव्यमान $M_{r}$ केंद्र में केन्द्रित हो। इस प्रकार बिंदु $\mathrm{P}$ पर द्रव्यमान $m$ पर बल का परिमाण है

$$ \begin{equation*} F=\frac{G m\left(M_{\mathrm{r}}\right)}{r^{2}} \tag{7.9} \end{equation*} $$

हम मानते हैं कि संपूर्ण पृथ्वी एकसमान घनत्व की है और इसलिए इसका द्रव्यमान $M_{\mathrm{E}}=\frac{4 \pi}{3} R_{E}^{3} \rho$ है जहाँ $M_{\mathrm{E}}$ पृथ्वी का द्रव्यमान है, $R_{\mathrm{E}}$ इसकी त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है। दूसरी ओर त्रिज्या $r$ के गोले $M_{r}$ का द्रव्यमान $\frac{4 \pi}{3} \rho r^{3}$ है और इसलिए

$$ \begin{align*} F & =G m\left(\frac{4 p}{3} r\right) \frac{r^{3}}{r^{2}}=G m\left(\frac{M_{E}}{R_{E}^{3}}\right) \frac{r^{3}}{r^{2}} \\ & =\frac{G m M_{\mathrm{E}}}{R_{E}{ }^{3}} r \tag{7.10} \end{align*} $$

यदि द्रव्यमान $m$ पृथ्वी की सतह पर स्थित है, तो $r=R_{E}$ और इस पर गुरुत्वाकर्षण बल, समीकरण (7.10) से

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M_{E} m}{R_{E}^{2}} \tag{7.11} \end{equation*} $$

द्रव्यमान $\mathrm{m}$ द्वारा अनुभव किया गया त्वरण, जिसे सामान्यतः प्रतीक $g$ द्वारा दर्शाया जाता है, न्यूटन के द्वितीय नियम के संबंध $F=m g$ द्वारा $\mathrm{F}$ से संबद्ध है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} g=\frac{F}{m}=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \tag{7.12} \end{equation*} $$

त्वरण $g$ सरलता से मापा जा सकता है। $R_{E}$ एक ज्ञात राशि है। कैवेंडिश प्रयोग (या अन्यथा) द्वारा $G$ का मापन, $g$ और $R_{E}$ के ज्ञान के साथ मिलकर, समीकरण (7.12) से $M_{E}$ का आकलन करने में सक्षम बनाता है। यही कारण है कि कैवेंडिश के संबंध में एक लोकप्रिय कथन है: “कैवेंडिश ने पृथ्वी को तौला”।

7.6 पृथ्वी की सतह के ऊपर और नीचे गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

एक बिंदु द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर विचारें जैसा कि चित्र 7.8(a) में दिखाया गया है। पृथ्वी की त्रिज्या को $R_{E}$ द्वारा दर्शाया गया है। चूँकि यह बिंदु पृथ्वी के बाहर है, इसकी पृथ्वी के केंद्र से दूरी $\left(R_{E}+h\right)$ है। यदि $F(h)$ बिंदु द्रव्यमान $m$ पर बल के परिमाण को दर्शाता है, तो हम समीकरण (7.5) से प्राप्त करते हैं:

चित्र 7.8 (a) पृथ्वी की सतह से h ऊँचाई पर g

$$ \begin{equation*} F(h)=\frac{G M_{E} m}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \tag{7.13} \end{equation*} $$

बिंदु द्रव्यमान द्वारा अनुभव किया गया त्वरण $F(h) / m \equiv g(h)$ है और हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} g(h)=\frac{F(h)}{m}=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} . \tag{7.14} \end{equation*} $$

यह स्पष्ट रूप से पृथ्वी की सतह पर g के मान से कम है : $g=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$. $h \ll R_{E}$ के लिए, हम समीकरण (7.14) के दायें पक्ष को विस्तारित कर सकते हैं :

$$ g(h)=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}\left(1+h / R_{E}\right)^{2}}=g\left(1+h / R_{E}\right)^{-2} $$

$\text{जब}\frac{h}{R _{E}} \ll 1$,द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए

$$ \begin{equation*} g(h) \cong g \quad 1-\frac{2 h}{R _{E}} \tag{7.15} \end{equation*} $$

समीकरण (7.15) इस प्रकार हमें बताता है कि छोटी ऊँचाइयों h पर g का मान $\left(1-2 h / R_{E}\right)$ गुणक से घटता है।

अब, पृथ्वी की सतह के नीचे गहराई $d$ पर एक बिंदु-द्रव्यमान $m$ पर विचार करें (चित्र 7.8(b)), ताकि पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी चित्र में दिखाए अनुसार $\left(R_{E}-d\right)$ हो। पृथ्वी को एक छोटी त्रिज्या $\left(R_{E}-d\right)$ वाले गोले और मोटाई $d$ वाले गोलाकार कोश के रूप में माना जा सकता है। मोटाई $d$ वाले बाहरी कोश द्वारा $m$ पर बल शून्य है क्योंकि पिछले खंड में उद्धृत परिणाम। जहाँ तक त्रिज्या $\left(R_{E}-d\right)$ वाले छोटे गोले का प्रश्न है, बिंदु-द्रव्यमान इसके बाहर है और इसलिए पहले उद्धृत परिणाम के अनुसार, इस छोटे गोले द्वारा बल ऐसा है जैसे छोटे गोले का सम्पूर्ण द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित हो। यदि $M_{s}$ छोटे गोले का द्रव्यमान है, तो

$$ \begin{equation*} M_{s} / M_{E}=\left(R_{E}-\mathrm{d}\right)^{3} / R_{E}^{3} \tag{7.16} \end{equation*} $$

चूँकि गोले का द्रव्यमान इसकी त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है।

(b)

चित्र 7.8 (b) गहराई d पर g। इस स्थिति में केवल त्रिज्या $(R_{E}–d)$ वाला छोटा गोला ही g में योग देता है।

इस प्रकार बिंदु-द्रव्यमान पर बल

$$ \begin{equation*} F(d)=G M_{s} m /\left(R_{E}-d\right)^{2} \tag{7.17} \end{equation*} $$

ऊपर से $M_{s}$ का मान रखने पर हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} F(d)=G M_{E} m\left(R_{E}-d\right) / R_{E}^{3} \tag{7.18} \end{equation*} $$

और इसलिए गहराई $d$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण,

$$ \begin{align*} & g(d)=\frac{F(d)}{m} \text { है } \\ & g(d)=\frac{F(d)}{m}=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{3}}\left(R_{E}-d\right) \\ & =g \frac{R_{E}-d}{R_{E}}=g\left(1-d / R_{E}\right) \tag{7.19} \end{align*} $$

इस प्रकार, जब हम पृथ्वी की सतह के नीचे जाते हैं, तो गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक गुणक $\left(1-d / R_{E}\right)$ से घटता है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि यह इसकी सतह पर अधिकतम होता है, चाहे आप ऊपर जाएँ या नीचे।

7.7 गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा

हमने पहले स्थितिज ऊर्जा की धारणा पर चर्चा की थी जिसे किसी निकाय द्वारा अपनी दी गई स्थिति में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया था। यदि कण की स्थिति इस पर कार्यरत बलों के कारण बदलती है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन वह राशि है जो बल द्वारा निकाय पर किया गया कार्य है। जैसा कि हमने पहले चर्चा की थी, बल जिनके लिए किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र होता है, वे संरक्षी बल होते हैं।

गुरुत्वाकर्षण बल एक रूढ़ बल है और हम इस बल के कारण उत्पन्न होने वाली किसी वस्तु की स्थितिज ऊर्जा की गणना कर सकते हैं, जिसे गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है। पृथ्वी की सतह के निकट बिंदुओं पर विचार करें, जो सतह से पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत कम दूरी पर हैं। ऐसे मामलों में गुरुत्वाकर्षण बल व्यावहारिक रूप से एक नियतांक $\mathrm{mg}$ के बराबर होता है, जो पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। यदि हम पृथ्वी की सतह से $h_{1}$ ऊंचाई पर एक बिंदु और उसके ठीक ऊपर पृथ्वी की सतह से $h_{2}$ ऊंचाई पर एक अन्य बिंदु पर विचार करें, तो कण जिसका द्रव्यमान $m$ है, को पहली स्थिति से दूसरी स्थिति तक उठाने में किया गया कार्य $W_{12}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

$$ \begin{align*} W_{12} & =\text { बल } \times \text { विस्थापन } \ & =m g\left(h_{2}-h_{1}\right) \tag{7.20} \end{align*} $$

यदि हम सतह से $h$ ऊंचाई पर किसी बिंदु पर एक स्थितिज ऊर्जा $W(h)$ इस प्रकार संबद्ध करें कि

$$ \begin{equation*} W(h)=m g h+W_{o} \tag{7.21} \end{equation*} $$

(जहाँ $W_{\mathrm{o}}=$ नियतांक) ;

तो यह स्पष्ट है कि

$$ \begin{equation*} W_{12}=W\left(h_{2}\right)-W\left(h_{1}\right) \tag{7.22} \end{equation*} $$

कण को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य उसकी अंतिम और प्रारंभिक स्थितियों के बीच स्थितिज ऊर्जा का अंतर मात्र होता है। ध्यान दें कि नियतांक $W_{\text{o}}$ समीकरण (7.22) में रद्द हो जाता है। अंतिम समीकरण में $h = 0$ रखने पर हमें प्राप्त होता है $W(h=0) = W_{\text{o}}$। $h = 0$ का अर्थ है पृथ्वी की सतह पर स्थित बिंदु। इस प्रकार, $W_{\mathrm{o}}$ पृथ्वी की सतर पर स्थितिज ऊर्जा है।
यदि हम पृथ्वी की सतह से स्वेच्छ दूरी पर स्थित बिंदुओं पर विचार करें, तो प्राप्त परिणाम वैध नहीं रहता क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को नियत मानने की अनुमति अब सही नहीं रहती। तथापि, हमारी चर्चा से हम जानते हैं कि पृथ्वी के बाहर किसी बिंदु पर, कण पर लगने वाला पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित गुरुत्वाकर्षण बल

$$ \begin{equation*} F=\frac{G M_{E} m}{r^{2}} \tag{7.23} \end{equation*} $$

है, जहाँ $M_{E}$ = पृथ्वी का द्रव्यमान, $m$ = कण का द्रव्यमान और $r$ उसकी पृथ्वी के केंद्र से दूरी है। यदि हम अब कण को $r = r_{1}$ से $r = r_{2}$ ($r_{2} > r_{1}$) तक ऊर्ध्वाधर पथ से उठाने में किए गए कार्य की गणना करें, तो समीकरण (7.20) के स्थान पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} & W_{12}=\int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{G M m}{r^{2}} \mathrm{~d} r \ & =-G M_{\mathrm{E}} m \left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right) \tag{7.24} \end{align*} $$

समीकरण (7.21) के स्थान पर हम इस प्रकार दूरी $r$ पर एक स्थितिज ऊर्जा $W(r)$ जोड़ सकते हैं, जैसे कि

$$ \begin{equation*} W(r)=-\frac{G M_{\mathrm{E}} m}{r}+W_{1} \tag{7.25} \end{equation*} $$

जो $r > R$ के लिए वैध है,

ताकि एक बार फिर $W_{12}=W\left(r_{2}\right)-W\left(r_{1}\right)$। अंतिम समीकरण में $r$ = अनंत रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\mathrm{W}(r=$ अनंत $)=W_{1}$। इस प्रकार, $W_{1}$ अनंत पर स्थितिज ऊर्जा है। यह ध्यान देना चाहिए कि केवल दो बिंदुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा का अंतर ही निश्चित अर्थ रखता है समीकरणों (7.22) और (7.24) से। परंपरागत रूप से $W_{1}$ को शून्य के बराबर माना जाता है, ताकि किसी बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा वह मात्रा हो जो कण को अनंत से उस बिंदु तक विस्थापित करने में किया गया कार्य हो।

हमने पृथ्वी द्वारा कण पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के कारण किसी बिंदु पर कण की स्थितिज ऊर्जा की गणना की है और यह कण के द्रव्यमान के समानुपाती है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण गुरुत्वाकर्षण विभव को उस बिंदु पर इकाई द्रव्यमान के कण की स्थितिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है। पिछली चर्चा से हम सीखते हैं कि द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ के दो कणों से संबंधित गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा, जो दूरी $r$ से अलग हैं, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ V=-\frac{G m_{1} m_{2}}{r} \text { (यदि हम चुनते हैं } V=0 \text { जब } r \rightarrow \infty \text { ) } $$

यह ध्यान देना चाहिए कि कणों की एक एकाकी प्रणाली की कुल स्थितिज ऊर्जा उन सभी संभावित युग्मों के लिए ऊर्जाओं (ऊपर दिए गए समीकरण द्वारा दी गई) के योग के बराबर होगी। यह अध्यारोपण सिद्धांत के अनुप्रयोग का एक उदाहरण है।

उदाहरण 7.3 भुजा $l$ के एक वर्ग के शीर्षों पर रखे चार कणों की एक प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए। साथ ही वर्ग के केंद्र पर स्थितिज प्राप्त कीजिए।

उत्तर भुजा $l$ के एक वर्ग के कोनों पर $m$ द्रव्यमान के चार द्रव्यमानों को मान लीजिए; चित्र 7.9 देखिए। हमारे पास द्रव्यमानों के चार युग्म दूरी $l$ पर हैं और दो विकर्णीय युग्म दूरी $\sqrt{2} l$ पर हैं। इसलिए,

$$ \begin{aligned} & W(r)=-4 \frac{G m^{2}}{l}-2 \frac{G m^{2}}{\sqrt{2} l} \\ & =-\frac{2 G m^{2}}{l} 2+\frac{1}{\sqrt{2}}=-5.41 \frac{G m^{2}}{l} \end{aligned} $$

चित्र 7.9

वर्ग के केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज $(r=\sqrt{2} l / 2)$ है

$$ U(r)=-4 \sqrt{2} \frac{\mathrm{Gm}}{l} . $$

7.8 पलायन वेग

यदि एक पत्थर को हाथ से फेंका जाता है, तो हम देखते हैं कि वह पृथ्वी पर वापस गिरता है। निश्चित रूप से मशीनों का उपयोग करके हम किसी वस्तु को बहुत अधिक वेग से फेंक सकते हैं और जितना अधिक प्रारंभिक वेग होगा, वस्तु उतनी ही अधिक ऊंचाई तक जाएगी। हमारे मन में उठने वाला एक स्वाभाविक प्रश्न है: “क्या हम किसी वस्तु को इतने अधिक प्रारंभिक वेग से फेंक सकते हैं कि वह पृथ्वी पर वापस न गिरे?’

ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत हमें इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करता है। मान लीजिए वस्तु वास्तव में अनंत तक पहुँच गई और उसकी वहाँ गति $\mathrm{V}_{f}$ थी। किसी वस्तु की ऊर्जा स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग होती है। जैसे पहले $W_1$ अनंत पर वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को दर्शाता है। अनंत पर प्रक्षेप्य की कुल ऊर्जा तब है

$$ \begin{equation*} E(\infty)=W_{1}+\frac{m V_{f}^{2}}{2} \tag{7.26} \end{equation*} $$

यदि वस्तु को प्रारंभ में पृथ्वी के केंद्र से दूरी $\left(h+R_{E}\right)$ वाले बिंदु से वेग $V_{i}$ से फेंका गया था $\left(R_{E}=\right.$ पृथ्वी की त्रिज्या $)$, तो प्रारंभ में उसकी ऊर्जा थी

$$ \begin{equation*} E\left(h+R_{E}\right)=\frac{1}{2} m V_{i}^{2}-\frac{G m M_{E}}{\left(h+R_{E}\right)}+W_{1} \tag{7.27} \end{equation*} $$

ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से समीकरण (7.26) और (7.27) समान होने चाहिए। अतः

$$ \begin{equation*} \frac{m V_{i}^{2}}{2}-\frac{G m M_{E}}{\left(h+R_{E}\right)}=\frac{m V_{f}^{2}}{2} \tag{7.28} \end{equation*} $$

दायाँ पक्ष एक धनात्मक राशि है जिसका न्यूनतम मान शून्य है, इसलिए बायाँ पक्ष भी ऐसा ही होना चाहिए। इस प्रकार, एक वस्तु अनंत तक पहुँच सकती है जब तक $\mathrm{V}_i$ इस प्रकार है कि

$$ \begin{equation*} \frac{m V_{i}^{2}}{2}-\frac{G m M_{E}}{\left(h+R_{E}\right)} \geq 0 \tag{7.29} \end{equation*} $$

$\mathrm{V}_i$ का न्यूनतम मान उस स्थिति से संबंधित है जब समी. (7.29) का बायाँ पक्ष शून्य के बराबर होता है। इस प्रकार, किसी वस्तु के लिए अनंत तक पहुँचने (अर्थात् पृथ्वी से बच निकलने) के लिए आवश्यक न्यूनतम चाल

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m(V_i^2)_{\min }=\frac{G m M_E}{h+R_E} \tag{7.30} \end{equation*} $$

यदि वस्तु पृथ्वी की सतह से फेंकी जाती है, तो $h=0$, और हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} (V_i)_{\min }=\sqrt{\frac{2 G M_E}{R_E}} \tag{7.31} \end{equation*} $$

सम्बन्ध $g=G M_{E} / R_{E}^{2}$ का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं

$$ \begin{equation*} (V_i)_{\min }=\sqrt{2 g R_E} \tag{7.32} \end{equation*} $$

$g$ और $R_{E}$ के मानों का प्रयोग करने पर, संख्यात्मक रूप से $\left(V_{i}\right)_{\min } \approx 1.2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$। इसे पलायन चाल (escape speed) कहा जाता है, कभी-कभी अस्पष्ट रूप से इसे पलायन वेग (escape velocity) भी कहा जाता है।

समी. (7.32) चंद्रमा की सतह से फेंकी गई वस्तु पर भी समान रूप से लागू होती है, जहाँ $g$ को चंद्रमा की सतह पर उसके गुरुत्वीय त्वरण से और $r_{E}$ को चंद्रमा की त्रिज्या से प्रतिस्थापित किया जाता है। दोनों मान पृथ्वी के मानों से छोटे होते हैं और चंद्रमा के लिए पलायन चाल $2.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ निकलती है, लगभग पाँच गुना कम। यही कारण है कि चंद्रमा पर वातावरण नहीं है। यदि चंद्रमा की सतह पर गैस अणु बनते हैं और उनकी चाल इससे अधिक होती है, तो वे चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण से बच निकलेंगे।

उदाहरण 7.4 समान त्रिज्या $R$ वाले दो एकसमान ठोल गोले, जिनके द्रव्यमान क्रमशः $M$ और $4 M$ हैं, का केंद्र-से-केंदर अंतर $6 R$ है, जैसा कि चित्र 7.10 में दिखाया गया है। दोनों गोलों को स्थिर रखा गया है। द्रव्यमान $m$ की एक प्रक्षेप्य को $M$ द्रव्यमान वाले गोले की सतह से दूसरे गोले के केंद्र की ओर सीधे प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेप्य की न्यूनतम चाल $v$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त करें ताकि वह दूसरे गोले की सतह तक पहुँच सके।

उत्तर प्रक्षेप्य पर दोनों गोलों की दो पारस्परिक विपरीत गुरुत्वाकर्षण बलें कार्य करती हैं। तटस्थ बिंदु N (देखें चित्र 7.10) वह स्थिति है जहाँ ये दोनों बिल्कुल एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं। यदि $\mathrm{ON}=r$ है, तो हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & \frac{G M m}{r^{2}}=\frac{4 G M m}{(6 R-r)^{2}} \\ & (6 R-r)^{2}=4 r^{2} \\ & 6 R-r= \pm 2 r \\ & r=2 R \text{ या }-6 R . \end{aligned} $$

तटस्थ बिंदु $r=-6 R$ इस उदाहरण में हमारे लिए प्रासंगिक नहीं है। इस प्रकार $\mathrm{ON}=r=2 R$ है। यह पर्याप्त है कि कण को ऐसी चाल से प्रक्षेपित किया जाए जो उसे $\mathrm{N}$ तक पहुँचने में सक्षम बनाए। उसके बाद, $4 M$ का अधिक गुरुत्वाकर्षण बल पर्याप्त होगा। $M$ की सतह पर यांत्रिक ऊर्जा है

$$ E_{i}=\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{G M m}{R}-\frac{4 G M m}{5 R} . $$

तटस्थ बिंदु $N$ पर, चाल शून्य के निकट पहुँच जाती है। $\mathrm{N}$ पर यांत्रिक ऊर्जा केवल स्थितिज ऊर्जा है।

$$ E_{N}=-\frac{G M m}{2 R}-\frac{4 G M m}{4 R} $$

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत से

$$ \frac{1}{2} v^{2}-\frac{G M}{R}-\frac{4 G M}{5 R}=-\frac{G M}{2 R}-\frac{G M}{R} $$

या

$$ \begin{aligned} & v^{2}=\frac{2 G M}{R} \frac{4}{5}-\frac{1}{2} \ & v=\frac{3 G M}{5 R}^{1 / 2} \end{aligned} $$

ध्यान देने योग्य एक बात यह है कि प्रक्षेप्य की गति N पर शून्य है, लेकिन जब यह भारी गोले 4 M से टकराता है तो गति शून्य नहीं होती। इस गति की गणना छात्रों के लिए अभ्यास के रूप में छोड़ी गई है।

7.9 पृथ्वी के उपग्रह

पृथ्वी के उपग्रह वस्तुएँ होती हैं जो पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करती हैं। उनकी गति सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति के समान होती है और इसलिए ग्रहों की गति के केप्लर के नियम उन पर समान रूप से लागू होते हैं। विशेष रूप से, पृथ्वी के चारों ओर उनकी कक्षाएँ वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार होती हैं। चंद्रमा पृथ्वी का एकमात्र प्राकृतिक उपग्रह है जिसकी लगभग वृत्ताकार कक्षा है और जिसका आवर्तकाल लगभग 27.3 दिन है जो चंद्रमा के अपने अक्ष के चारों ओर घूर्णन काल के लगभग बराबर है। 1957 से, प्रौद्योगिकी में प्रगति ने कई देशों, जिनमें भारत भी शामिल है, को दूरसंचार, भू-भौतिकी और मौसम विज्ञान जैसे क्षेत्रों में व्यावहारिक उपयोग के लिए कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह प्रक्षेपित करने में सक्षम बनाया है।

हम एक उपग्रह को पृथ्वी के केंद्र से $\left(R_{E}+h\right)$ दूरी की वृत्ताकार कक्षा में मानेंगे, जहाँ $R_{E}=$ पृथ्वी की त्रिज्या है। यदि m उपग्रह का द्रव्यमान है और V इसकी गति है, तो इस कक्षा के लिए आवश्यक केंद्रापसारक बल है

$$ \begin{equation*} \mathrm{F}(\text { केंद्रापसारी })=\frac{m V^{2}}{\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.33} \end{equation*} $$

केंद्र की ओर निर्देशित। यह केंद्रापसारी बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है, जो है

$$ \begin{equation*} \mathrm{F}(\text { गुरुत्वाकर्षण })=\frac{G m M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \tag{7.34} \end{equation*} $$

जहाँ $M_{E}$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।

समीकरणों (7.33) और (7.34) के दायें पक्षों को समान करके $m$ को रद्द करने पर, हमें मिलता है

$$ \begin{equation*} V^{2}=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.35} \end{equation*} $$

इस प्रकार $V$ घटता है जैसे $h$ बढ़ता है। समीकरण (7.35) से, $h=0$ के लिए वेग $V$ है

$$ \begin{equation*} V^{2}(h=0)=G M / R_{E}=g R_{E} \tag{7.36} \end{equation*} $$

जहाँ हमने संबंध $g=G M / R_{E}{}^{2}$ का उपयोग किया है। प्रत्येक कक्षा में, उपग्रह $2 \pi\left(R_{E}+h\right)$ दूरी वेग $V$ से तय करता है। इसकी आवर्तकाल $T$ इसलिए है

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi\left(R_{E}+h\right)}{V}=\frac{2 \pi\left(R_{E}+h\right)^{3 / 2}}{\sqrt{G M_{E}}} \tag{7.37} \end{equation*} $$

समीकरण (7.35) से $V$ के मान प्रतिस्थापित करने पर।

समीकरण (7.37) के दोनों पक्षों को वर्ग करने पर, हमें मिलता है

$T^{2}=k\left(R_{E}+h\right)^{3} \quad\left(\right.$ जहाँ $\left.k=4 \pi^{2} / G M_{E}\right)$

जो कि पृथ्वी के चारों ओर उपग्रहों की गति पर लागू किया गया केपलर का आवर्तकाल नियम है। पृथ्वी की सतह के बहुत निकट स्थित उपग्रह के लिए समीकरण (7.38) में $h$ को $R_{E}$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है। इसलिए, ऐसे उपग्रहों के लिए, $T$ का मान $T_{0}$ होगा, जहाँ

$$ \begin{equation*} T_{0}=2 \pi \sqrt{R_{E} / g} \tag{7.39} \end{equation*} $$

यदि हम संख्यात्मक मान $\mathrm{g} \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ और $R_{E}=6400 \mathrm{km}$ प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होता है

$$ T_{0}=2 \pi \sqrt{\frac{6.4 \times 10^{6}}{9.8}} \mathrm{~s} $$

जो लगभग 85 मिनट है।

उदाहरण 7.5 ग्रह मंगल के दो चंद्रमाएँ हैं, फोबोस और डीमोस। (i) फोबोस का आवर्तकाल 7 घंटे, 39 मिनट है और इसकी कक्षीय त्रिज्या $9.4 \times 10^{3} \mathrm{~km}$ है। मंगल का द्रव्यमान परिकलित कीजिए। (ii) यह मान लीजिए कि पृथ्वी और मंगल सूर्य के चारों ओर वृत्तीय कक्षाओं में चलते हैं, जिसमें मंगल की कक्षा पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या की 1.52 गुनी है। मंगल का वर्ष कितने दिनों का होता है?

उत्तर (i) हम समीकरण (7.38) का प्रयोग करते हैं, जिसमें सूर्य के द्रव्यमान के स्थान पर मंगल का द्रव्यमान $M_{m}$ रखा गया है

$$ \begin{aligned} & T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G M_{m}} R^{3} \\ \\ & \mathrm{M}_m=\frac{4 \pi^{2}}{G} \frac{R^3}{T^2} \\ \\ & =\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times 10^{-11} \times(459 \times 60)^2} \\ \\ & \mathrm{M}_m=\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times(4.59 \times 6)^2 \times 10^{-5}} \\ \\ & =6.48 \times 10^{23} \mathrm{~kg} . \end{aligned} $$

(ii) एक बार फिर कैपलर का तीसरा नियम हमारी सहायता करता है,

$$ \frac{T_{M}^{2}}{T_{E}^{2}}=\frac{R_{M S}^{3}}{R_{E S}^{3}} $$

जहाँ $R_{M S}$ मंगल-सूर्य दूरी है और $R_{E S}$ पृथ्वी-सूर्य दूरी है।

$$ \therefore \quad T _{M}=(1.52)^{3 / 2} \times 365 $$

$$ =684 \text { दिन } $$

हम देखते हैं कि बुध और मंगल को छोड़कर सभी ग्रहों की कक्षाएँ लगभग वृत्ताकार हैं। उदाहरण के लिए, हमारी पृथ्वी के अर्ध-लघु और अर्ध-दीर्घ अक्ष का अनुपात, $b / a=0.99986$ है।

उदाहरण 7.6 पृथ्वी का भार मापना: आपको निम्नलिखित आँकड़े दिए गए हैं: $g=9.81 \mathrm{~ms}^{-2}$, $R_{E}=6.37 \times 10^{6} \mathrm{~m}$, चंद्रमा की दूरी $R$ $=3.84 \times 10^{8} \mathrm{~m}$ और चंद्रमा की परिक्रमा का समय 27.3 दिन है। पृथ्वी का द्रव्यमान $M_{E}$ दो अलग-अलग तरीकों से प्राप्त करें।

उत्तर समीकरण (7.12) से हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & M_{E}=\frac{g R_{E}^{2}}{G} \\ \\ & =\frac{9.81 \times\left(6.37 \times 10^{6}\right)^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} \\ \\ & =5.97 \times 10^{24} \mathrm{~kg} . \end{aligned} $$

चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह है। कैपलर के तीसरे नियम के व्युत्पादन से [देखें समीकरण (7.38)]

$$ \begin{aligned} & T^{2}=\frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G M_{E}} \\ \\ & M_{E}=\frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G T^{2}} \\ \\ & =\frac{4 \times 3.14 \times 3.14 \times(3.84)^{3} \times 10^{24}}{6.67 \times 10^{-11} \times(27.3 \times 24 \times 60 \times 60)^{2}} \\ \\ & =6.02 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \end{aligned} $$

दोनों विधियाँ लगभग एक ही उत्तर देती हैं। इनके बीच का अंतर $1 %$ से कम है।

उदाहरण 7.7 समीकरण (7.38) के नियतांक k को दिनों और किलोमीटरों में व्यक्त कीजिए। दिया गया है $\mathrm{k}=10^{-13} \mathrm{~s}^{2} \mathrm{~m}^{-3}$। चंद्रमा पृथ्वी से $3.84 \times 10^{5} \mathrm{~km}$ की दूरी पर है। इसका परिक्रमा काल दिनों में प्राप्त कीजिए।

उत्तर दिया गया है

$$ \begin{aligned} & k=10^{-13} \mathrm{~s}^{2} \mathrm{~m}^{-3} \\ = & 10^{-13} \frac{1}{(24 \times 60 \times 60)^{2}} \mathrm{~d}^{2} \frac{1}{(1 / 1000)^{3} \mathrm{~km}^{3}} \\ = & 1.33 \times 10^{-14} \mathrm{~d}^{2} \mathrm{~km}^{-3} \end{aligned} $$

समीकरण (7.38) और k के दिए गए मान का उपयोग करते हुए, चंद्रमा का समय-पीरियड

$$ \begin{aligned} & T^{2}=\left(1.33 \times 10^{-14}\right)\left(3.84 \times 10^{5}\right)^{3} \\ & T=27.3 \mathrm{~d} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि समीकरण (7.38) दीर्घवृत्तीय कक्षाओं के लिए भी लागू होता है यदि हम $\left(R_{E}+h\right)$ को दीर्घवृत्त के अर्ध-मुख्य अक्ष से प्रतिस्थापित कर दें। तब पृथ्वी इस दीर्घवृत्त के एक फोकस पर होगी।

7.10 कक्षा में घूम रहे उपग्रह की ऊर्जा

समीकरण (7.35) का उपयोग करते हुए, वेग $v$ के साथ वृत्तीय कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा

$$ K . E=\frac{1}{2} m v^{2} $$

$$ \begin{equation*} =\frac{G m M _{E}}{2\left(R _{E}+h\right)} \tag{7.40} \end{equation*} $$

अनंत से गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानते हुए, पृथ्वी के केंद्र से दूरी $(\mathrm{R}+\mathrm{h})$ पर स्थितिज ऊर्जा है

$$ \begin{equation*} P . E=-\frac{G m M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.41} \end{equation*} $$

K.E धनात्मक है जबकि P.E ऋणात्मक है। हालांकि, परिमाण में K.E, P.E की आधी होती है, ताकि कुल E

$$ \begin{equation*} E=K . E+P . E=-\frac{G m M_{E}}{2\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.42} \end{equation*} $$

एक वृत्तीय कक्षा में परिक्रमा करते उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार ऋणात्मक होती है, जिसमें स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है लेकिन धनात्मक गतिज ऊर्जा की तुलना में दोगुनी होती है।

जब किसी उपग्रह की कक्षा दीर्घवृत्तीय हो जाती है, तो K.E. और P.E. दोनों बिंदु-दर-बिंदु बदलती हैं। कुल ऊर्जा जो स्थिर रहती है, वह वृत्तीय कक्षा की तरह ही ऋणात्मक होती है। यही हम उम्मीद करते हैं, क्योंकि जैसा कि हमने पहले चर्चा की है, यदि कुल ऊर्जा धनात्मक या शून्य हो, तो वस्तु अनंत तक चली जाती है। उपग्रह सदैव पृथ्वी से परिमित दूरी पर रहते हैं और इसलिए उनकी ऊर्जाएँ धनात्मक या शून्य नहीं हो सकतीं।

उदाहरण 7.8 एक 400 kg का उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर 2 R_{E} त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में है। इसे 4 R_{E} त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए कितनी ऊर्जा की आवश्यकता होगी? गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं में क्या परिवर्तन होते हैं?

उत्तर प्रारंभ में,

$$ E_{i}=-\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} $$

अंत में

$$ E_{f}=-\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} $$

कुल ऊर्जा में परिवर्तन

$$\Delta E=E_{f}-E_{i}$$

$$ =\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}}=\left(\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}\right) \frac{m R_{E}}{8} $$

$$ \Delta E=\frac{g m R_{E}}{8}=\frac{9.81 \times 400 \times 6.37 \times 10^{6}}{8}=3.13 \times 10^{9} \mathrm{~J} $$

गतिज ऊर्जा घट जाती है और यह $\Delta E$ की नकल करती है, अर्थात्, $\Delta K=K_{f}-K_{i}=-3.13 \times 10^{9} \mathrm{~J}$।

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल ऊर्जा के परिवर्तन का दोगुना होता है, अर्थात्

$$ \Delta V=V_{f}-V_{i}=-6.25 \times 10^{9} \mathrm{~J} $$

सारांश

1. न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम कहता है कि किसी भी दो कणों जिनके द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं और जो दूरी $r$ से अलग हैं, के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण

$$ F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} $$

होता है, जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, जिसका मान $6.672 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2}$ है।

2. यदि हमें कण $\mathrm{m}$ पर कई द्रव्यमानों $M_{1}, M_{2}, \ldots . M_{n}$ आदि के कारण लगने वाला परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल ज्ञात करना हो, तो हम अतिशयोजन के सिद्धांत का प्रयोग करते हैं। मान लीजिए $F_{1}, F_{2}, \ldots . F_{n}$ व्यक्तिगत बल हैं जो $M_{1}, M_{2}, \ldots . M_{n}$ के कारण हैं, प्रत्येक गुरुत्वाकर्षण नियम द्वारा दिया गया है। अतिशयोजन के सिद्धांत से प्रत्येक बल स्वतंत्र रूप से कार्य करता है और अन्य निकायों से अप्रभावित रहता है। परिणामी बल $F_{R}$ तब सदिश योग द्वारा प्राप्त किया जाता है

$$ F_{R}=F_{1}+F_{2}+\ldots \ldots+F_{n}=\sum_{i=1}^{n} F_{i} $$

जहाँ प्रतीक ’ $\Sigma$ ’ योग का प्रतिनिधित्व करता है।

3. केप्लर के ग्रहीय गति के नियम कहते हैं कि

(a) सभी ग्रह सूर्य को एक फोकस बिंदु मानकर दीर्घवृत्तीय कक्षाओं में गतिशील रहते हैं

(b) सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या-वेक्टर समान समय अंतरालों में समान क्षेत्रफल काटता है। यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण बल केन्द्राभिमुख है और इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(c) किसी ग्रह की कक्षीय आवर्त की वर्ग, उसके दीर्घवृत्तीय कक्षा के अर्ध-मुख्य अक्ष के घन के समानुपाती होता है। सूर्य के परितः किसी ग्रह की वृत्तीय कक्षा की आवर्त $T$ और त्रिज्या $R$ इस प्रकार संबद्ध हैं

$$ T^{2}=\left(\frac{4 \pi^{2}}{G M_{s}}\right) R^{3} $$

जहाँ $M_{s}$ सूर्य का द्रव्यमान है। अधिकांश ग्रहों की कक्षाएँ लगभग वृत्तीय होती हैं। दीर्घवृत्तीय कक्षाओं के लिए उपरोक्त समीकरण वैध है यदि $R$ के स्थान पर अर्ध-मुख्य अक्ष $a$ लिया जाए।

4. पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण।

(a) पृथ्वी की सतह से ऊँचाई $h$ पर

$$ \begin{aligned} & g(h)=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \\ \\ & = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \left(1-\frac{2 h}{R_{E}}\right) \quad \text { जब } h < < R_{E} \end{aligned} $$

$$ g(h)=g(0) 1-\frac{2 h}{R_{E}} \quad \text{ जहाँ } g(0)=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} $$

(b) पृथ्वी की सतह से गहराई $d$ के नीचे

$ g(d)=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} 1-\frac{d}{R_{E}}=g(0) \quad 1-\frac{d}{R_{E}} $

5. गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है, और इसलिए एक स्थितिज ऊर्जा फलन परिभाषित किया जा सकता है। दो कणों के बीच दूरी $r$ पर संबद्ध गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है

$$ V=-\frac{G m_{1} m_{2}}{r} $$

जहाँ $V$ को $r \rightarrow \infty$ पर शून्य माना जाता है। कणों के एक तंत्र के लिए कुल स्थितिज ऊर्जा सभी कण युगलों की ऊर्जाओं का योग होती है, प्रत्येक युगल को उपरोक्त समीकरण द्वारा दिए गए रूप के एक पद द्वारा दर्शाया जाता है। यह निर्देशन अध्यारोपण के सिद्धांत से आता है।

6. यदि एक एकांकी तंत्र में द्रव्यमान $m$ का एक कण द्रव्यमान $M$ के एक विशाल पिंड के निकट वेग $v$ से गति कर रहा हो, तो कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है

$$ E=\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{G M m}{r} $$

अर्थात्, कुल यांत्रिक ऊर्जा गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग है। कुल ऊर्जा गति का एक अचर है।

7. यदि $m$, $M$ के परितः त्रिज्या $a$ के एक वृत्तीय कक्षा में गति करता है, जहाँ $M \gg m$, तो तंत्र की कुल ऊर्जा

$$ E=-\frac{G M m}{2 a} $$

होती है, स्थितिज ऊर्जा में मनमाने अचर के चयन के साथ जो बिंदु 5 में दिया गया है। किसी भी बद्ध तंत्र, अर्थात् एक ऐसे तंत्र जिसकी कक्षा बंद हो, जैसे दीर्घवृत्तीय कक्षा, के लिए कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है। गतिज और स्थितिज ऊर्जाएँ

$$ \begin{aligned} K & =\frac{G M m}{2 a} \\ \\ V & =-\frac{G M m}{a} \end{aligned} $$

हैं।

8. पृथ्वी की सतह से पलायन वेग है

$$ v_{e}=\sqrt{\frac{2 G M_{E}}{R_{E}}}=\sqrt{2 g R_{E}} $$

और इसका मान $11.2 \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1}$ है।

9. यदि कोई कण एकसमान गोलीय कोश या ठोस गोले के बाहर है जिसमें गोलीय सममित आंतरिक द्रव्यमान वितरण है, तो गोला उस कण को इस प्रकार आकर्षित करता है जैसे गोले या कोश का सारा द्रव्यमान गोले के केंद्र पर केंद्रित हो।

10. यदि कोई कण एकसमान गोलीय कोश के अंदर है, तो कण पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है। यदि कोई कण एकसमान ठोस गोले के अंदर है, तो कण पर बल गोले के केंद्र की ओर कार्य करता है। यह बल कण के आंतरिक गोलीय द्रव्यमान द्वारा आरोपित होता है।

विचार करने योग्य बिंदु

1. जब किसी वस्तु की गति दूसरी वस्तु के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव में विचार की जाती है, तो निम्न राशियाँ संरक्षित रहती हैं:

(a) कोणीय संवेग

(b) कुल यांत्रिक ऊर्जा

रेखीय संवेग संरक्षित नहीं होता

2. कोणीय संवेग का संरक्षण केपलर के द्वितीय नियम की ओर ले जाता है। यह गुरुत्वाकर्षण के व्युत्क्रम वर्ग नियम के लिए विशेष नहीं है। यह किसी भी केन्द्रिय बल के लिए लागू होता है।

3. केपलर के तृतीय नियम में (देखें समी. (7.1) और $T^{2}=K_{S} R^{3}$। स्थिरांक $K_{S}$ सभी ग्रहों के लिए वृत्तीय कक्षाओं में समान है। यह पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे उपग्रहों पर भी लागू होता है [(समी. (7.38)]।

4. कोई अंतरिक्षयात्री अंतरिक्ष उपग्रह में भारहीनता का अनुभव करता है। ऐसा इसलिए नहीं है कि अंतरिक्ष के उस स्थान पर गुरुत्वाकर्षण बल बहुत कम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतरिक्षयात्री और उपग्रह दोनों पृथ्वी की ओर “मुक्त पतन” में हैं।

5. दो कणों के बीच की दूरी $r$ से संबद्ध गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है

$$ V=-\frac{G m_{1} m_{2}}{r}+\text { स्थिरांक } $$

स्थिरांक को कोई भी मान दिया जा सकता है। सबसे सरल चयन इसे शून्य लेना है। इस चयन के साथ

$$ V=-\frac{G m_{1} m_{2}}{r} $$

इस चयन का तात्पर्य है कि $V \rightarrow 0$ जब $r \rightarrow \infty$। गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा के शून्य बिंदु का चयन स्थितिज ऊर्जा में मनमाने स्थिरांक के चयन के समान है। ध्यान दें कि इस स्थिरांक के चयन से गुरुत्वाकर्षण बल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

6. किसी वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा (जो सदैव धनात्मक होती है) और स्थितिज ऊर्जा का योग होती है। अनंतता के सापेक्ष (अर्थात् यदि हम मान लें कि वस्तु की अनंत पर स्थितिज ऊर्जा शून्य है), किसी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है। एक उपग्रह की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है।

7. स्थितिज ऊर्जा के लिए सामान्यतः प्रयुक्त व्यंजक $m g h$ वास्तव में ऊपर बिंदु 6 में चर्चित गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के अंतर का एक सन्निकट मान है।

8. यद्यपि दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल केंद्राभिमुख होता है, दो परिमित कठोर वस्तुओं के बीच बल आवश्यक रूप से उनके द्रव्यमान-केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के अनुदेश नहीं होता। एक गोलाकार सममित वस्तु के लिए, हालांकि, वस्तु के बाहर स्थित कण पर ऐसा बल लगता है जैसे सारा द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित हो, और यह बल इसलिए केंद्राभिमुख होता है।

9. एक गोलाकार खोल के अंदर स्थित कण पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है। तथापि, (एक धातु के खोल के विपरीत जो वैद्युत बलों को ढालता है) खोल बाहर स्थित अन्य वस्तुओं को अंदर के कण पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाने से नहीं रोकता। गुरुत्वाकर्षण ढालना संभव नहीं है।