8.1 प्रस्तावना

अध्याय 6 में, हमने पिण्डों के घूर्णन का अध्ययन किया और तब यह समझा कि किसी पिण्ड की गति इस बात पर निर्भर करती है कि उसके भीतर द्रव्यमान कैसे वितरित है। हमने स्वयं को कठोर पिण्डों की सरल परिस्थितियों तक सीमित रखा। कठोर पिण्ड सामान्यतः किसी कठिन ठोस वस्तु को दर्शाता है जिसकी निश्चित आकृति और आकार होता है। परन्तु वास्तविकता में, पिण्डों को खींचा, दबाया और मोड़ा जा सकता है। पर्याप्त रूप से कठोर इस्पात की छड़ भी जब उस पर पर्याप्त बड़ा बाह्य बल लगाया जाता है, विकृत हो सकती है। इसका अर्थ है कि ठोस पिण्ड पूर्णतः कठोर नहीं होते।

ठोस की निश्चित आकृति और आकार होता है। किसी पिण्ड की आकृति या आकार को बदलने (या विकृत करने) के लिए बल आवश्यक होता है। यदि आप किसी हेलिकल स्प्रिंग को धीरे से उसके सिरों को खींचकर खींचते हैं, तो स्प्रिंग की लम्बाई थोड़ी बढ़ जाती है। जब आप स्प्रिंग के सिरों को छोड़ते हैं, तो वह अपने मूल आकार और आकार को पुनः प्राप्त कर लेती है। किसी पिण्ड का वह गुण, जिसके द्वारा वह यह प्रवृत्ति रखता है कि जब लगाया गया बल हटा लिया जाता है तो वह अपने मूल आकार और आकार को पुनः प्राप्त कर लेता है, को लोच कहा जाता है और जो विकृति उत्पन्न होती है उसे लोची विकृति कहा जाता है। यद्यपि, यदि आप पिट्टी या कीचड़ के गोले पर बल लगाते हैं, तो उनमें अपनी पिछली आकृति को पुनः प्राप्त करने की कोई स्पष्ट प्रवृत्ति नहीं होती, और वे स्थायी रूप से विकृत हो जाते हैं। ऐसे पदार्थों को प्लास्टिक कहा जाता है और इस गुण को प्लास्टिकता कहा जाता है। पिट्टी और कीचड़ आदर्श प्लास्टिक के निकट होते हैं।

अनुवादित हिंदी पाठ:

सामग्रियों की प्रत्यास्थ व्यवहार अभियांत्रिकी डिज़ाइन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, किसी इमारत का डिज़ाइन करते समय इस्पात, कंक्रीट आदि जैसी सामग्रियों की प्रत्यास्थ गुणों का ज्ञान आवश्यक होता है। यही बात पुलों, ऑटोमोबाइलों, रोपवे आदि के डिज़ाइन पर भी लागू होती है। कोई यह भी पूछ सकता है कि क्या हम एक ऐसा विमान डिज़ाइन कर सकते हैं जो बहुत हल्का हो लेकिन पर्याप्त रूप से मजबूत भी हो? क्या हम एक ऐसा कृत्रिम अंग डिज़ाइन कर सकते हैं जो हल्का हो लेकिन अधिक मजबूत हो? रेलवे ट्रैक की आकृति I-आकार की क्यों होती है? कांच भंगुर क्यों होता है जबकि पीतल नहीं? ऐसे प्रश्नों के उत्तर की शुरुआत इस अध्ययन से होती है कि किस प्रकार सरल प्रकार के भार या बल विभिन्न ठोस पिण्डों को विरूपित करते हैं। इस अध्याय में हम ठोसों की प्रत्यास्थ व्यवहार और यांत्रिक गुणों का अध्ययन करेंगे जो ऐसे अनेक प्रश्नों के उत्तर देंगे।

8.2 प्रतिबल और विकृति

जब किसी पिण्ड पर बल इस प्रकार लगाए जाते हैं कि पिण्ड अभी भी स्थिर साम्यावस्था में होता है, तो यह सामग्री की प्रकृति और विरूपण बल की परिमाण के अनुसार थोड़ा या अधिक विकृत हो जाता है। कई सामग्रियों में यह विकृति दृष्टिगोचर रूप से स्पष्ट नहीं होती, लेकिन वह मौजूद होती है। जब कोई पिण्ड किसी विरूपण बल के अधीन किया जाता है, तो उसमें एक पुनर्स्थापन बल उत्पन्न होता है। यह पुनर्स्थापन बल लगाए गए बल के बराबर परिमाण में होता है लेकिन विपरीत दिशा में। प्रति इकाई क्षेत्रफल यह पुनर्स्थापन बल प्रतिबल कहलाता है। यदि $F$ क्रॉस-सेक्शन पर लंबवत लगाया गया बल है और $A$ पिण्ड का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,

$$ \text{तनाव की परिमाण} =F / A \tag{8.1}$$

तनाव का एसआई इकाई $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ या पास्कल $(\mathrm{Pa})$ है और इसकी विमीय सूत्र $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ है।

एक ठोस पदार्थ जब बाह्य बल कार्य करता है तब अपने आयाम तीन प्रकार से बदल सकता है। ये चित्र 8.1 में दिखाए गए हैं। चित्र 8.1(a) में, एक बेलन को उसके अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के लंबवत दो समान बलों से खींचा जा रहा है। इस स्थिति में प्रति इकाई क्षेत्रफल पुनःस्थापक बल को तनाव तनाव (tensile stress) कहा जाता है। यदि बेलन पर आरोपित बलों के कारण संपीड़ित किया जाता है, तो प्रति इकाई क्षेत्रफल पुनःस्थापक बल को संपीड़ी तनाव (compressive stress) कहा जाता है। तनाव या संपीड़ी तनाव को अनुदैर्ध्य तनाव (longitudinal stress) भी कहा जा सकता है।

दोनों ही स्थितियों में बेलन की लंबाई में परिवर्तन होता है। शरीर (इस मामले में बेलन) की मूल लंबाई $L$ में हुआ लंबाई परिवर्तन $\Delta L$ को अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) कहा जाता है।

$$ \begin{equation*} \text { अनुदैर्ध्य विकृति }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2} \end{equation*} $$

हालांकि, यदि बेलन के अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल के समानांतर दो समान तथा विपरीत विरूपण बल लगाए जाते हैं, जैसा कि चित्र 8.1(b) में दिखाया गया है, तो बेलन के विपरीत फलकों के बीच सापेक्ष विस्थापन होता है। लगाए गए स्पर्शीय बल के कारण उत्पन्न प्रति इकाई क्षेत्रफल की पुनर्स्थापन बल को स्पर्शीय या कतरनी तनाव (tangential or shearing stress) कहा जाता है।
लगाए गए स्पर्शीय बल के परिणामस्वरूप चित्र 8.1(b) में दिखाए अनुसार बेलन के विपरीत फलकों के बीच $\Delta x$ का सापेक्ष विस्थापन होता है। इससे उत्पन्न विकृति को कतरनी विकृति (shearing strain) कहा जाता है और इसे फलकों के सापेक्ष विस्थापन $\Delta x$ का बेलन की लंबाई $L$ से अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ \begin{equation*} \text { कतरनी विकृति }=\frac{\Delta x}{L}=\tan \theta \tag{8.3} \end{equation*} $$

जहाँ $\theta$ बेलन का ऊध्र्वाधर (मूल स्थिति) से कोणीय विस्थापन है। सामान्यतः $\theta$ बहुत छोटा होता है, $\tan \theta$ लगभग कोण $\theta$ के बराबर होता है, (यदि $\theta=10^{\circ}$ है, उदाहरण के लिए, $\theta$ और $\tan \theta$ के बीच केवल $1 \%$ का अंतर होता है)।
इसे यह भी देखा जा सकता है, जब किसी पुस्तक को हाथ से दबाकर क्षैतिज रूप से धकेलते हैं, जैसा कि चित्र 8.2(c) में दिखाया गया है।

$$\text{इस प्रकार, कतरनी विकृति } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$

चित्र 8.1 (d) में, एक ठोस गोले को उच्च दबाव वाले द्रव में रखा गया है जो सभी ओर से समान रूप से संपीड़ित होता है। द्रव द्वारा लगाया गया बल सतह के प्रत्येक बिंदु पर लंबवत दिशा में कार्य करता है और इसे हाइड्रोलिक संपीड़न (hydraulic compression) में कहा जाता है। इससे इसके आयतन में कमी आती है लेकिन इसकी ज्यामितीय आकृति में कोई परिवर्तन नहीं होता।

चित्र 8.1 (a) एक तनाव प्रतिबल (tensile stress) के अंतर्गत बेलनाकार पिण्ड ∆L से लम्बा हो जाता है (b) बेलन पर अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) इसे कोण θ तक विरूपित करता है (c) एक पिण्ड जो अपरूपण प्रतिबल के अधीन है (d) एक ठोस पिण्ड जो प्रत्येक बिंदु पर सतह के लंबवत प्रतिबल के अधीन है (हाइड्रोलिक प्रतिबल)। आयतनी विकृति ∆V/V है, लेकिन आकृति में कोई परिवर्तन नहीं होता।

पिण्ड आंतरिक पुनःस्थापन बल विकसित करता है जो द्रव द्वारा लगाए गए बलों के बराबर और विपरीत होते हैं (जब पिण्ड को द्रव से बाहर निकाला जाता है तो यह अपनी मूल आकृति और आकार को पुनः प्राप्त कर लेता है)। इस स्थिति में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आंतरिक पुनःस्थापन बल को हाइड्रोलिक प्रतिबल (hydraulic stress) कहा जाता है और इसका परिमाण हाइड्रोलिक दाब (प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगाया गया बल) के बराबर होता है।

हाइड्रोलिक दाब द्वारा उत्पन्न विकृति को आयतनी विकृति (volume strain) कहा जाता है और इसे आयतन में परिवर्तन $(\Delta V)$ का मूल आयतन $(V)$ से अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ \begin{equation*} \text { आयतनी विकृति }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$

चूँकि विकृति (strain) विमान में परिवर्तन और मूल विमान का अनुपात होता है, इसकी कोई इकाई या विमीय सूत्र नहीं होता।

8.3 हुक का नियम

आकृति (8.1) में दर्शाए गए परिदृश्यों में प्रतिबल और विकृति विभिन्न रूप लेते हैं। छोटे विकृतियों के लिए प्रतिबल और विकृति एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं। इसे हुक का नियम कहा जाता है।

इस प्रकार,

प्रतिबल $\propto$ विकृति

$$ \begin{equation*} \text { प्रतिबल }=k \times \text { विकृति } \tag{8.6} \end{equation*} $$

जहाँ $k$ समानुपात नियतांक है और इसे प्रत्यास्थता गुणांक (modulus of elasticity) कहा जाता है।

हुक का नियम एक प्रयोगसिद्ध नियम है और यह अधिकांश पदार्थों के लिए वैध पाया गया है। तथापि, कुछ ऐसे पदार्थ भी हैं जो इस रैखिक संबंध को प्रदर्शित नहीं करते।

8.4 प्रतिबल-विकृति वक्र

किसी दिए गए पदार्थ के लिए तनाव प्रतिबल (tensile stress) के अंतर्गत प्रतिबल और विकृति के बीच संबंध प्रायोगिक रूप से ज्ञात किया जा सकता है। तनाव गुणों के एक मानक परीक्षण में, एक परीक्षण बेलन या तार को आरोपित बल से खींचा जाता है। लंबाई में अंशतः परिवर्तन (विकृति) और उस विकृति को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक आरोपित बल को अभिलिखित किया जाता है। आरोपित बल को क्रमिक रूप से बढ़ाया जाता है और लंबाई में परिवर्तन को नोट किया जाता है। प्रतिबल (जो कि प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आरोपित बल के बराबर होता है) और उत्पन्न विकृति के बीच एक ग्राफ खींचा जाता है। धातु के लिए एक विशिष्ट ग्राफ आकृति 8.2 में दिखाया गया है। संपीड़न और अपरूपण प्रतिबल के लिए भी समान ग्राफ प्राप्त किए जा सकते हैं। प्रतिबल-विकृति वक्र पदार्थ से पदार्थ में भिन्न होते हैं। ये वक्र हमें यह समझने में सहायता करते हैं कि कोई दिया गया पदार्थ बढ़ते भार के साथ कैसे विरूपित होता है। ग्राफ से हम देख सकते हैं कि बिंदु $\mathrm{O}$ से $\mathrm{A}$ तक के क्षेत्र में वक्र रेखीय है। इस क्षेत्र में हुक का नियम पालन किया जाता है। जब आरोपित बल हटा दिया जाता है तो पिण्ड अपनी मूल विमाओं को प्राप्त कर लेता है। इस क्षेत्र में ठोस एक लोची पिण्ड के समान व्यवहार करता है।

आकृति 8.2 धातु के लिए एक विशिष्ट प्रतिबल-विकृति वक्र।

A से B तक के क्षेत्र में, तनाव और विकृति आनुपातिक नहीं होते हैं। फिर भी, भार हटाने पर वस्तु अपने मूल आयाम पर लौट आती है। वक्र में बिंदु $\mathrm{B}$ को यील्ड बिंदु (जिसे लोच्य सीमा भी कहा जाता है) कहा जाता है और संगत तनाव को पदार्थ की यील्ड सामर्थ्य $\left(\sigma_{y}\right)$ कहा जाता है।

यदि भार को और बढ़ाया जाता है, तो विकसित तनाव यील्ड सामर्थ्य से अधिक हो जाता है और तनाव में थोड़े-से परिवर्तन के लिए भी विकृति तेजी से बढ़ती है। वक्र का $B$ और $D$ के बीच का भाग यह दर्शाता है। जब भार को हटाया जाता है, मान लीजिए बिंदु $\mathrm{B}$ और $\mathrm{D}$ के बीच किसी बिंदु $\mathrm{C}$ पर, वस्तु अपने मूल आयाम को प्राप्त नहीं करती है। इस स्थिति में, जब तनाव शून्य होता है, तब भी विकृति शून्य नहीं होती है। ऐसे पदार्थ को स्थायी सेट कहा जाता है। इस विकृति को प्लास्टिक विकृति कहा जाता है। ग्राफ पर बिंदु $D$ पदार्थ की परम तानक सामर्थ्य $\left(\sigma_{u}\right)$ है। इस बिंदु से आगे, कम लगाए गए बल से भी अतिरिक्त विकृति उत्पन्न होती है और फ्रैक्चर बिंदु $\mathrm{E}$ पर होता है। यदि परम सामर्थ्य और फ्रैक्चर बिंदु $\mathrm{D}$ और $\mathrm{E}$ निकट हैं, तो पदार्थ को भंगुर कहा जाता है। यदि वे दूर हैं, तो पदार्थ को तन्य कहा जाता है।

आकृति 8.3 आर्टा, हृदय से रक्त ले जाने वाली बड़ी नली (वाहिका), के लोचदार ऊतक के लिए तनाव-विकृति वक्र।

जैसा पहले कहा गया है, तनाव-विकृति व्यवहार पदार्थ से पदार्थ भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, रबड़ को उसकी मूल लंबाई के कई गुना तक खींचा जा सकता है और फिर भी वह अपने मूल आकार पर लौट आता है। आकृति 8.3 हृदय में उपस्थित आर्टा के लोचदार ऊतक के लिए तनाव-विकृति वक्र दिखाती है। ध्यान दें कि यद्यपि लोचदार क्षेत्र बहुत बड़ा है, यह पदार्थ अधिकांश क्षेत्र में हुक के नियम का पालन नहीं करता। दूसरे, कोई सुव्यवस्थित प्लास्टिक क्षेत्र नहीं है। आर्टा के ऊतक, रबड़ आदि जैसे पदार्थ जिन्हें बड़ी विकृतियाँ उत्पन्न करने के लिए खींचा जा सकता है, लोचिक (elastomers) कहलाते हैं।

8.5 लोचदार मापांक (ELASTIC MODULI)

तनाव-विकृति वक्र की लोचदार सीमा के भीतर समानुपाती क्षेत्र (आकृति 8.2 में क्षेत्र OA) संरचनात्मक और विनिर्माण अभियांत्रिकी डिज़ाइनों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। तनाव और विकृति का अनुपात, जिसे लोचदारता मापांक कहा जाता है, पदार्थ की एक विशेषता पायी गयी है।

8.5.1 यंग का मापांक (Young’s Modulus)

प्रायोगिक प्रेक्षण बताते हैं कि एक दी गई सामग्री के लिए, उत्पन्न होने वाले विकृति का परिमाण समान होता है चाहे प्रतिबल तनावी हो या संपीड़नी। तनावी (या संपीड़नी) प्रतिबल $(\sigma)$ को अनुदैर्घ्य विकृति $(\varepsilon)$ से परिभाषित अनुपात को यंग गुणांक कहा जाता है और इसे प्रतीक $Y$ द्वारा दर्शाया जाता है।

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\varepsilon} \tag{8.7} \end{equation*} $$

समीकरणों (8.1) और (8.2) से, हम पाते हैं

$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$

चूंकि विकृति एक विहीन आयामी राशि है, यंग गुणांक की इकाई प्रतिबल की इकाई के समान होती है, अर्थात् $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ या पास्कल (Pa)। तालिका 8.1 कुछ सामग्रियों के यंग गुणांकों और प्रवाह सीमाओं के मान देती है।

तालिका 8.1 में दिए गए आंकड़ों से यह देखा जाता है कि धातुओं के लिए यंग गुणांक बड़े होते हैं।

तालिका 8.1 कुछ सामग्रियों के यंग गुणांक और प्रवाह सीमाएँ

# संपीड़न के अंतर्गत परीक्षित पदार्थ

इसलिए, इन पदार्थों की लंबाई में छोटे परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बड़ा बल आवश्यक होता है। $0.1 \mathrm{~cm}^{2}$ अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल वाली पतली इस्पात की तार की लंबाई को $0.1 \%$ बढ़ाने के लिए $2000 \mathrm{~N}$ बल आवश्यक होता है। एल्युमिनियम, पीतल और तांबे की तारों में, जिनका अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल समान है, समान विकृति उत्पन्न करने के लिए आवश्यक बल क्रमशः $690 \mathrm{~N}$, $900 \mathrm{~N}$ और $1100 \mathrm{~N}$ हैं। इसका अर्थ है कि इस्पात तांबे, पीतल और एल्युमिनियम से अधिक प्रत्यास्थ है। इसी कारण भारी-भरकम मशीनों और संरचनात्मक डिज़ाइनों में इस्पात को प्राथमिकता दी जाती है। लकड़ी, हड्डी, कंक्रीट और काँच का यंग गुणांक अपेक्षाकृत कम होता है।

उदाहरण 8.1 एक संरचनात्मक इस्पात की छड़ की त्रिज्या 10 mm और लंबाई 1.0 m है। इस पर 100 kN का बल इसकी लंबाई के अनुदिश लगाया जाता है। परिकलन कीजिए (a) प्रतिबल, (b) विस्तार, और (c) छड़ पर विकृति। संरचनात्मक इस्पात का यंग गुणांक 2.0 × 10¹¹ N m⁻² है।

उत्तर हम मानते हैं कि छड़ को एक सिरे पर क्लैंप द्वारा पकड़ा गया है, और बल F दूसरे सिरे पर लगाया गया है, जो छड़ की लंबाई के समानांतर है। तब छड़ पर प्रतिबल दिया जाता है

$$ \begin{aligned} \text { प्रतिबल } & =\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi r^{2}} \ & =\frac{100 \times 10^{3} \mathrm{~N}}{3.14 \times\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \ & =3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$

विस्तार,

$$ \begin{aligned} \Delta L & =\frac{(F / A) L}{Y} \ & =\frac{\left(3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)(1 \mathrm{~m})}{2 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}} \ & =1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \ & =1.59 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

विकृति दी जाती है

$$ \begin{aligned} \text{विकृति }& = \Delta L / L \ & =\left(1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) /(1 \mathrm{~m}) \ & =1.59 \times 10^{-3} \ & =0.16 \% \end{aligned} $$

उदाहरण 8.2 तांबे का एक तार जिसकी लंबाई $2.2 \mathrm{~m}$ है और इस्पात का एक तार जिसकी लंबाई $1.6 \mathrm{~m}$ है, दोनों का व्यास $3.0 \mathrm{~mm}$ है, और वे अंत से अंत तक जुड़े हुए हैं। जब इन्हें एक भार द्वारा खींचा जाता है, तो कुल विस्तार $0.70 \mathrm{~mm}$ पाया जाता है। लगाए गए भार को ज्ञात कीजिए।

उत्तर तांबे और इस्पात के तार तनाव तनाव के अधीन हैं क्योंकि उन पर समान तनाव है (जो भार $W$ के बराबर है) और समान अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। समीकरण (8.7) से हमें प्राप्त होता है कि तनाव $=$ विकृति $\times$ यंग गुणांक। इसलिए

$$ W / A=Y_{c} \times\left(\Delta L_{c} / L_{c}\right)=Y_{s} \times\left(\Delta L_{s} / L_{s}\right) $$

जहां उपसर्ग $c$ और $s$ क्रमशः तांबे और स्टेनलेस स्टील को संदर्भित करते हैं। या,

$$ \Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(Y_{s} / Y_{c}\right) \times\left(L_{c} / L_{s}\right) $$

दिया गया है $$ L_{c}=2.2 \mathrm{~m}, L_{s}=1.6 \mathrm{~m} , $$

तालिका $$9.1 से Y_{c}=1.1 \times 10^{11} \mathrm{~N}^{-2}$$, और

$$ Y_{s}^{c}=2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} . $$

$$\Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(2.0 \times 10^{11} / 1.1 \times 10^{11}\right) \times(2.2 / 1.6)=2.5$$.

कुल विस्तार दिया गया है

$$ \Delta L_{c}+\Delta L_{s}=7.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर,

$$ \Delta L _{c}=5.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \text {, और } \Delta L _{s}=2.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

इसलिए

$W=\left(A \times Y_{c} \times \Delta L_{c}\right) / L_{c}$

$=\pi\left(1.5 \times 10^{-3}\right)^{2} \times\left[\left(5.0 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}\right) / 2.2\right]$

$=1.8 \times 10^{2} \mathrm{~N}$

उदाहरण 8.3 सर्कस में एक मानव पिरामिड में, संतुलित समूह का संपूर्ण भार उस कलाकार की पीठ पर लेटे हुए टांगों द्वारा सहारा जाता है (जैसा कि चित्र 8.4 में दिखाया गया है)। प्रदर्शन करने वाले सभी व्यक्तियों, और मेजों, तख्तों आदि का संयुक्त द्रव्यमान $280 \mathrm{~kg}$ है। पिरामिड के नीचे पीठ पर लेटे हुए कलाकार का द्रव्यमान $60 \mathrm{~kg}$ है। इस कलाकार की प्रत्येक जांघ की हड्डी (फीमर) की लंबाई $50 \mathrm{~cm}$ और प्रभावी त्रिज्या $2.0 \mathrm{~cm}$ है। निर्धारित कीजिए कि अतिरिक्त भार के अंतर्गत प्रत्येक जांघ की हड्डी कितनी दबती है।

चित्र 8.4 सर्कस में मानव पिरामिड।

उत्तर सभी कलाकारों, मेजों, तख्तों आदि का कुल द्रव्यमान $\quad=280 \mathrm{~kg}$

कलाकार का द्रव्यमान $=60 \mathrm{~kg}$

पिरामिड के नीचे स्थित कलाकार की टांगों द्वारा सहारा गया द्रव्यमान

$=280-60=220 \mathrm{~kg}$

इस सहारे गए द्रव्यमान का भार

$=220 \mathrm{~kg} \mathrm{wt} .=220 \times 9.8 \mathrm{~N}=2156 \mathrm{~N}$।

कलाकार की प्रत्येक जांघ की हड्डी द्वारा सहारा गया भार $=1 / 2(2156) \mathrm{N}=1078 \mathrm{~N}$।

टेबल 9.1 से, अस्थि के लिए यंग मापांक दिया गया है

$$ Y=9.4 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \text {. } $$

प्रत्येक जांघ की हड्डी की लंबाई $L=0.5 \mathrm{~m}$ जांघ की हड्डी की त्रिज्या $=2.0 \mathrm{~cm}$

इस प्रकार जांघ की हड्डी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A=\pi \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^{2} \mathrm{~m}^{2}=1.26 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$.

समीकरण (9.8) का उपयोग करते हुए, प्रत्येक जांघ की हड्डी में संपीड़न $(\Delta L)$ की गणना की जा सकती है

$$ \begin{aligned} \Delta L & =[(F \times L) /(Y \times A)] \ & =\left[(1078 \times 0.5) /\left(9.4 \times 10^{9} \times 1.26 \times 10^{-3}\right)\right] \ & =4.55 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \text{ या } 4.55 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

यह एक बहुत छोटा परिवर्तन है! जांघ की हड्डी में अंशतः कमी $\Delta L / L=0.000091$ या $0.0091 \%$ है।

8.5.2 शियर मापांक

कतरन प्रतिबल और संगत कतरन विकृति का अनुपात सामग्री का शियर मापांक कहलाता है और इसे $G$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसे दृढ़ता मापांक भी कहा जाता है।

$$ \begin{align*} G & = \text{कतरन प्रतिबल}\left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) / \text{कतरन विकृति} \ G & =(F / A) /(\Delta x / L) \ & =(F \times L) /(A \times \Delta x) \tag{8.10} \end{align*} $$

इसी प्रकार, समीकरण (9.4) से

$$ \begin{align*} G & =(F / A) / \theta \ & =F /(A \times \theta) \tag{8.11} \end{align*} $$

कतरन प्रतिबल $\sigma_{\mathrm{s}}$ को यह भी व्यक्त किया जा सकता है

$$ \begin{equation*} \sigma_{\mathrm{s}}=G \times \theta \tag{8.12} \end{equation*} $$

अपरूपण मापांक की SI इकाई $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ या $\mathrm{Pa}$ है। कुछ सामान्य पदार्थों के अपरूपण मापांक Table 9.2 में दिए गए हैं। इससे देखा जा सकता है कि अपरूपण मापांक (या दृढ़ता मापांक) सामान्यतः यंग के मापांक से कम होता है (Table 9.1 से)। अधिकांश पदार्थों के लिए $G \approx Y / 3$।

Table 8.2 कुछ सामान्य पदार्थों के अपरूपण मापांक (G)

उदाहरण 8.4 50 $\mathrm{cm}$ भुजा और $10 \mathrm{~cm}$ मोटाई वाले एक वर्गाकार सीसे की पट्टिका पर इसके संकीर्ण फलक पर $9.0 \times$ $10^{4} \mathrm{~N}$ का अपरूपण बल लगाया जाता है। निचला किनारा फर्श पर रिवेट किया गया है। ऊपरी किनारा कितना विस्थापित होगा?

उत्तर सीसे की पट्टिका स्थिर है और बल संकीर्ण फलक के समांतर लगाया गया है जैसा कि Fig. 8.6 में दिखाया गया है। उस फलक का क्षेत्रफल जिसके समांतर यह बल लगाया गया है

$$ \begin{aligned} A & =50 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \ & =0.5 \mathrm{~m} \times 0.1 \mathrm{~m} \ & =0.05 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

इसलिए लगाया गया प्रतिबल

$$ \begin{aligned} & =\left(9.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / 0.05 \mathrm{~m}^{2}\right) \ & =1.80 \times 10^{6} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} \end{aligned} $$

चित्र 8.5

हम जानते हैं कि कतरनी विकृति $=(\Delta x / L)=$ प्रतिबल $/ G$।

इसलिए विस्थापन $\Delta x=($ प्रतिबल $\times L) / G$

$=\left(1.8 \times 10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \times 0.5 \mathrm{~m}\right) /\left(5.6 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$ $=1.6 \times 10^{-4} \mathrm{~m}=0.16 \mathrm{~mm}$

8.5.3 आयताकार मापांक

अनुभाग (8.3) में हमने देखा है कि जब कोई पिण्ड किसी द्रव में डुबोया जाता है, तो उस पर द्रवीय प्रतिबल आता है (जो द्रवीय दाब के परिमाण में बराबर होता है)। इससे पिण्ड का आयतन घट जाता है, जिससे एक विकृति उत्पन्न होती है जिसे आयतन विकृति कहा जाता है [समी. (8.5)]। द्रवीय प्रतिबल और संगत द्रवीय विकृति का अनुपात आयताकार मापांक कहलाता है। इसे प्रतीक $B$ द्वारा दर्शाया जाता है।

$$ \begin{equation*} B=-p /(\Delta V / V) \tag{8.12} \end{equation*} $$

ऋणात्मक चिह्न इस तथ्य को दर्शाता है कि दाब बढ़ने पर आयतन घटता है। अर्थात् यदि $p$ धनात्मक है, तो $\Delta V$ ऋणात्मक होता है। इस प्रकार साम्यावस्था में पदार्थ के लिए आयताकार मापांक $B$ का मान सदैव धनात्मक होता है। आयताकार मापांक की SI इकाई दाब की SI इकाई के समान होती है, अर्थात् $\mathrm{N} \mathrm{~m}^{-2}$ या $\mathrm{Pa}$। कुछ सामान्य पदार्थों के आयताकार मापांक सारणी 8.3 में दिए गए हैं।

बल्क मापांक का व्युत्क्रम संपीड्यता कहलाता है और इसे $k$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसे दबाव में इकाई वृद्धि प्रति आयतन के अंशात्मक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है।

$$ \begin{equation*} k=(1 / B)=-(1 / \Delta p) \times(\Delta V / V) \tag{8.13} \end{equation*} $$

तालिका 8.3 में दिए गए आंकड़ों से यह देखा जा सकता है कि ठोसों के बल्क मापांक द्रवों की तुलना में कहीं अधिक होते हैं, और द्रवों के बल्क मापांक गैसों (वायु) के बल्क मापांक की तुलना में कहीं अधिक होते हैं।

तालिका 8.3 कुछ सामान्य पदार्थों के बल्क मापांक (B)

तालिका 8.4 प्रतिबल, विकृति और विभिन्न प्रत्यास्थ मापांक

इस प्रकार, ठोस सबसे कम संपीड़नीय होते हैं, जबकि गैसें सबसे अधिक संपीड़नीय होती हैं। गैसें ठोसों की तुलना में लगभग एक लाख गुना अधिक संपीड़नीय होती हैं! गैसों में बड़ी संपीड्यताएँ होती हैं, जो दाब और तापमान के साथ बदलती हैं। ठोसों की असंपीड़नीयता मुख्यतः पड़ोसी परमाणुओं के बीच कसकर बंधने के कारण होती है। द्रवों में अणु भी अपने पड़ोसियों से बंधे होते हैं, लेकिन ठोसों की तरह मजबूत नहीं। गैसों में अणु अपने पड़ोसियों से बहुत कमजोर रूप से बंधे होते हैं।

तालिका 8.4 एक नज़र में विभिन्न प्रकार के तनाव, विकृति, प्रत्यास्था गुणांक और लागू पदार्थ की अवस्था दिखाती है।

उदाहरण 8.5 हिंद महासागर की औसत गहराई लगभग $3000 \mathrm{~m}$ है। महासागर के तल पर पानी की अंशिक संपीड़न $\Delta V / V$ की गणना कीजिए, यह दिया गया है कि पानी का आयत गुणांक $2.2 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ है। (ग्रहण कीजिए $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$)

उत्तर $3000 \mathrm{~m}$ पानी के स्तंभ द्वारा तल पर डाला गया दाब

$$ \begin{aligned} p=h \rho g & =3000 \mathrm{~m} \times 1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \ & =3 \times 10^{7} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-2} \ & =3 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$

अंशिक संपीड़न $\Delta V / V$, है

$$ \begin{aligned} \Delta V / V & = \text{तनाव} / B \ = & \left(3 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right) /\left(2.2 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right) \ & =1.36 \times 10^{-2} \text{ या } 1.36 \% \end{aligned} $$

8.5.4 पॉइसॉन अनुपात

आरोपित बल के लंबवत विरूपण को पार्श्विक विरूपण कहा जाता है। साइमन पॉइसॉन ने बताया कि प्रत्यास्थ सीमा के भीतर पार्श्विक विरूपण अनुदैर्घ्य विरूपण के समानुपाती होता है। एक तने हुए तार में पार्श्विक विरूपण तथा अनुदैर्घ्य विरूपण का अनुपात पॉइसॉन अनुपात कहलाता है। यदि तार का मूल व्यास $d$ है और तनाव के कारण व्यास में संकुचन $\Delta d$ हो, तो पार्श्विक विरूपण $\Delta d / d$ है। यदि तार की मूल लंबाई $L$ है और तनाव के कारण विस्तार $\Delta L$ हो, तो अनुदैर्घ्य विरूपण $\Delta L / L$ है। पॉइसॉन अनुपात तब $(\Delta d / d) /(\Delta L / L)$ या $(\Delta d / \Delta L)$ $(L / d)$ होता है। पॉइसॉन अनुपात दो विरूपणों का अनुपात है; यह एक शुद्ध संख्या है और इसका कोई आयाम या इकाई नहीं होती। इसका मान केवल पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है। इस्पातों के लिए यह मान 0.28 से 0.30 के बीच होता है और एल्युमिनियम मिश्रधातुओं के लिए यह लगभग 0.33 है।

8.5.5 एक तने हुए तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा

जब किसी तार को तनाव प्रतिबल (tensile stress) के अंतर्गत रखा जाता है, तो परमाण्विक बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy) के रूप में संचित हो जाता है। जब मूल लंबाई L और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A वाले तार पर उसकी लंबाई के अनुदर एक विरूपण बल F लगाया जाता है, माना कि तार की लंबाई l तक बढ़ जाती है। तब समीकरण (8.8) से हमें प्राप्त होता है: F = Y A × (l/L), जहाँ Y तार के पदार्थ का यंग प्रतिबल (Young’s modulus) है। अब यदि अत्यल्प लंबाई d l की और वृद्धि होती है, तो किया गया कार्य dW = F d l = YA l d l / L होगा। इसलिए, तार की लंबाई को L से L + l तक, अर्थात् l = 0 से l = l तक बढ़ाने में किया गया कुल कार्य

[ \begin{aligned} W &= \int_0^l \frac{YA,l}{L},dl = \frac{YA}{2},\frac{l^2}{L} \ &= \frac{1}{2},Y\left(\frac{l}{L}\right)^2 AL \ &= \frac{1}{2},\text{यंग प्रतिबल} \times \text{विकृति}^2 \times \text{तार का आयतन} \ &= \frac{1}{2},\text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times \text{तार का आयतन} \end{aligned} ]

यह कार्य तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा U के रूप में संचित होता है। इसलिए तार की प्रति इकाई आयतन यह ऊर्जा u

[ u = \frac{1}{2},\sigma,\varepsilon \tag{8.14} ]

8.6 पदार्थों की प्रत्यास्थ व्यवहार के अनुप्रयोग

पदार्थों की लोची व्यवहार दैनिक जीवन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। सभी इंजीनियरिंग डिज़ाइनों के लिए पदार्थों के लोची व्यवहार का सटीक ज्ञान आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, किसी इमारत के डिज़ाइन करते समय स्तंभों, बीमों और सपोर्टों की संरचनात्मक डिज़ाइन के लिए प्रयुक्त पदार्थों की सामर्थ्य का ज्ञान आवश्यक होता है। क्या आपने कभी सोचा है कि पुलों के निर्माण में प्रयुक्त बीमों, सपोर्ट आदि का अनुप्रस्थ काट I प्रकार का क्यों होता है? रेत का ढेर या पहाड़ी पिरामिडाकार आकार की क्यों होती है? इन प्रश्नों के उत्तर संरचनात्मक इंजीनियरिंग के अध्ययन से प्राप्त किए जा सकते हैं, जो यहाँ विकसित अवधारणाओं पर आधारित है।
भारी भारों को एक स्थान से दूसरे स्थान पर उठाने और स्थानांतरित करने के लिए प्रयुक्त क्रेनों में एक मोटी धातु की रस्सी होती है जिससे भार बांधा जाता है। रस्सी को पुलियों और मोटरों की सहायता से ऊपर खींचा जाता है। मान लीजिए हम एक ऐसी क्रेन बनाना चाहते हैं जिसकी उठाने की क्षमता 10 टन या मीट्रिक टन (1 मीट्रिक टन = 1000 kg) हो। इस्पात की रस्सी कितनी मोटी होनी चाहिए? हम स्पष्ट रूप से चाहते हैं कि भार रस्सी को स्थायी रूप से विकृत न करे। इसलिए, विस्तार लोची सीमा से अधिक नहीं होना चाहिए। तालिका 8.1 से हम पाते हैं कि माइल्ड स्टील की यील्ड सामर्थ्य (σγ) लगभग 300 × 10⁶ N m⁻² है। इस प्रकार, रस्सी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल (A) कम से कम होना चाहिए

$$ \begin{align*} & A \geq W / \sigma _{y}=M g / \sigma _{y} \tag{8.15} \\ & =\left(10^{4} \mathrm{~kg} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) /\left(300 \times 10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right) \\ & =3.3 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \end{align*} $$

यह गोलाकार अनुप्रस्थ-काट वाली रस्सी के लिए लगभग $1 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या के अनुरूप है। आमतौर पर सुरक्षा का एक बड़ा अंतराल (भार में लगभग दस गुना कारक) प्रदान किया जाता है। इस प्रकार लगभग $3 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या वाली एक मोटी रस्सी की सिफारिश की जाती है। इस त्रिज्या का एक एकल तार व्यावहारिक रूप से एक दृढ़ छड़ होगा। इसलिए रस्सियों को हमेशा पतले तारों की संख्या से बुना हुआ बनाया जाता है, जैसे चोटियों में, निर्माण में आसानी, लचीलेपन और मजबूती के लिए।

एक पुल को इस प्रकार डिज़ाइन किया जाना चाहिए कि वह बहती हुई ट्रैफिक के भार, हवाओं के बल और अपने स्वयं के भार को सहन कर सके। इसी प्रकार, इमारतों के डिज़ाइन में बीम और स्तंभों का उपयोग बहुत आम है। दोनों ही मामलों में, भार के अंतर्गत बीम के मोड़ने की समस्या को दूर करना सर्वोपरि महत्व का है। बीम को अधिक नहीं झुकना चाहिए या टूटना नहीं चाहिए। आइए एक बीम के मामले पर विचार करें जो केंद्र में भारित है और इसके सिरों के पास सहारा दिया गया है जैसा कि चित्र 8.6 में दिखाया गया है। लंबाई $l$, चौड़ाई $b$, और गहराई $d$ की एक पट्टी जब केंद्र में एक भार $W$ से भारित होती है तो एक राशि से झुकती है जो दी गई है

$$ \begin{equation*} \delta=W l^{3} /\left(4 b d^{3} Y\right) \tag{8.16} \end{equation*} $$

आकृति 8.6 एक बीम जिसके सिरों पर सहारा दिया गया है और बीच में भार डाला गया है

इस संबंध को आपने जो कुछ अभी तक सीखा है और थोड़े से कलन का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है। समीकरण (8.16) से हम देखते हैं कि एक दिए गए भार के लिए झुकाव को कम करने के लिए, एक ऐसी सामग्री का उपयोग करना चाहिए जिसका यंग मापांक $Y$ बड़ा हो। एक दी गई सामग्री के लिए, चौड़ाई $b$ की अपेक्षा गहराई $d$ को बढ़ाना झुकाव को कम करने में अधिक प्रभावी होता है, क्योंकि $\delta$, $d^{-3}$ के समानुपाती है और केवल $b^{-1}$ के समानुपाती है (निश्चय ही अवधि की लंबाई $l$ यथासंभव कम होनी चाहिए)। लेकिन गहराई बढ़ाने पर, जब तक भार ठीक सही स्थान पर न हो (चलती हुई यातायात वाले पुल में इसे व्यवस्थित करना कठिन होता है), गहरी छड़ आकृति 8.7(b) में दिखाए अनुसार मुड़ सकती है। इसे बकलिंग कहा जाता है। इससे बचने के लिए, एक सामान्य समझौता आकृति 8.7(c) में दिखाया गया अनुप्रस्थ-काट का आकार है। यह काट एक बड़ा भार वहन करने वाला सतह प्रदान करता है और झुकाव को रोकने के लिए पर्याप्त गहराई देता है। यह आकार बीम के भार को बलिदान किए बिना कम करता है और इसलिए लागत को कम करता है।

चित्र 8.7 बीम के विभिन्न अनुप्रस्थ-काट के आकार। (क) एक छड़ का आयताकार काट; (ख) एक पतली छड़ और यह कैसे मुड़ सकती है; (ग) भार वहन करने वाली छड़ के लिए प्रचलित रूप से प्रयुक्त काट

इमारतों और पुलों में स्तंभों या कॉलमों का प्रयोग भी बहुत सामान्य है। चित्र 8.9(क) में दिखाए गए गोलाकार सिरों वाला स्तंभ चित्र 8.9(ख) में दिखाए गए सिरों पर वितरित आकार वाले स्तंभ की तुलना में कम भार सहन करता है। किसी पुल या इमारत की सटीक डिज़ाइन को उन परिस्थितियों को ध्यान में रखना होता है जिनमें वह कार्य करेगी, लागत और दीर्घकालिक अवधि, प्रयुक्त होने वाली सामग्रियों की विश्वसनीयता आदि।

चित्र 8.8 स्तंभ या कॉलम: (क) गोलाकार सिरों वाला स्तंभ, (ख) वितरित सिरों वाला स्तंभ।

पृथ्वी पर किसी पर्वत की अधिकतम ऊँचाई $\sim 10 \mathrm{~km}$ क्यों है, इस प्रश्न का उत्तर भी चट्टानों की प्रत्यास्थ गुणधर्मों पर विचार करके दिया जा सकता है। किसी पर्वत का आधार एकसमान संपीड़न के अधीन नहीं होता और यह नीचे की चट्टानों को कुछ कतरनी प्रतिबल प्रदान करता है जिसके अंतर्गत वे बह सकती हैं। शीर्ष पर स्थित सभी पदार्थ के कारण उत्पन्न प्रतिबल उस क्रिटिकल कतरनी प्रतिबल से कम होना चाहिए जिस पर चट्टानें बहने लगती हैं।

पर्वत की ऊँचाई $h$ के तल पर, पर्वत के भार के कारण प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाला बल $h \rho g$ होता है, जहाँ $\rho$ पर्वत की सामग्री का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। तल की सामग्री इस बल को ऊध्र्वाधर दिशा में सहन करती है, और पर्वत की बाजुएँ मुक्त होती हैं। इसलिए, याँ दाब या आयतन संपीड़न की स्थिति नहीं है। एक कतरनी घटक होती है, लगभग $h \rho g$ स्वयं। अब एक सामान्य चट्टान की प्रत्यास्थ सीमा $30 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ है। इसे $h \rho g$ से समीकरित करने पर, $\rho=3 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ के साथ,

$$ \begin{aligned} h \rho g & =30 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \ h & =30 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} /\left(3 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \ & =10 \mathrm{~km} \end{aligned} $$

जो माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई से भी अधिक है!

सारांश

1. प्रतिबल प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बहाली बल है और विकृति आयाम में अपेक्षिक परिवर्तन है। सामान्यतः तीन प्रकार के प्रतिबल होते हैं: (क) तनन प्रतिबल - अनुदैर्ध्य प्रतिबल (खिंचाव से संबद्ध) या संपीड़न प्रतिबल (संपीड़न से संबद्ध), (ख) कतरनी प्रतिबल, और (ग) द्रव प्रतिबल।

2. छोटे विकृतियों के लिए, कई पदार्थों में तनाव सीधा तनन के अनुपात में होता है। इसे हुक का नियम कहा जाता है। अनुपात की नियतांक को प्रत्यास्थता मापांक कहा जाता है। तीन प्रत्यास्थ मापांक—यंग मापांक, कतरण मापांक और आयतन मापांक—वस्तुओं की प्रत्यास्थ व्यवहार को वर्णन करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं जब वे उन पर कार्य करने वाले विकृत बलों का उत्तर देती हैं।

एक वर्ग ठोस, जिसे इलास्टोमर कहा जाता है, हुक के नियम का पालन नहीं करता।

3. जब कोई वस्तु तनाव या संपीड़न में होती है, तो हुक का नियम इस रूप में होता है

$$ F / A=Y \Delta L / L $$

जहाँ $\Delta L / L$ वस्तु की तानीय या संपीड़ी तनन है, $F$ वह बल है जो तनन उत्पन्न करता है, $A$ वह अनुप्रस्थ काट क्षेत्र है जिस पर $F$ लगाया जाता है ($A$ के लंबवत्) और $Y$ वस्तु के लिए यंग मापांक है। तनाव $F / A$ है।

4. जब एक युग्म बल ऊपरी और निचले पृष्ठों के समानांतर लगाया जाता है, तो ठोस इस प्रकार विकृत होता है कि ऊपरी पृष्ठ निचले की तुलना में किनारे की ओर खिसकता है। ऊपरी पृष्ठ का क्षैतिज विस्थापन $\Delta L$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $L$ के लंबवत् होता है। इस प्रकार की विकृति को कतरण कहा जाता है और संगत तनाव कतरण तनाव है। यह तनाव केवल ठोसों में ही संभव है।

इस प्रकार की विकृति में हुक का नियम इस रूप में होता है

$$ F / A=G \times \Delta L / L $$

जहाँ $\Delta L$ वस्तु के एक सिरे का विस्थापन है लगाए गए बल $F$ की दिशा में, और $G$ कतरण मापांक है।

5. जब कोई वस्तु परिवर्तित द्रव द्वारा लगाए गए प्रतिबल के कारण द्रवीय संपीडन से गुजरती है, तो हुक का नियम इस रूप में लिखा जाता है

$$ p=B(\Delta V / V) \text {, } $$

जहाँ $p$ द्रव के कारण वस्तु पर दाब (द्रवीय प्रतिबल) है, $\Delta V / V$ (आयतन विकृति) उस दाब के कारण वस्तु के आयतन में निरपेक्ष अंशात्मक परिवर्तन है और $B$ वस्तु का संपीडन गुणांक है।

विचार करने योग्य बिंदु

1. किसी तार के मामले में, जो छत से लटकाया गया है और अपने दूसरे सिरे से लटके भार ($F$) के कार्य के अंतर्गत खिंचा जाता है, छत द्वारा उस पर लगाया गया बल भार के बराबर और विपरीत होता है। हालाँकि, तार के किसी भी अनुप्रस्थ काट $A$ पर तनाव केवल $F$ होता है और $2F$ नहीं। इसलिए, प्रसार प्रतिबल जो तनाव प्रति इकाई क्षेत्रफल के बराबर होता है, $F / A$ के बराबर होता है।

2. हुक का नियम केवल प्रतिबल-विकृति वक्र के रैखिक भाग में ही वैध होता है।

3. यंग गुणांक और कतरनी गुणांक केवल ठोसों के लिए प्रासंगिक होते हैं क्योंकि केवल ठोसों की लंबाई और आकृति होती है।

4. संपीडन गुणांक ठोसों, द्रवों और गैसों के लिए प्रासंगिक होता है। यह आयतन में परिवर्तन को दर्शाता है जब शरीर के प्रत्येक भाग पर समान प्रतिबल होता है ताकि शरीर की आकृति अपरिवर्तित रहे।

5. धातुओं का यंग गुणांक मिश्रधातुओं और लोचदार पदार्थों की तुलना में अधिक होता है। यंग गुणांक के बड़े मान वाला पदार्थ अपनी लंबाई में छोटे परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बड़े बल की आवश्यकता होती है।

6. दैनिक जीवन में हम सोचते हैं कि जो पदार्थ अधिक खिंचता है वह अधिक प्रत्यास्थ होता है, पर यह एक गलत धारणा है। वास्तव में, जो पदार्थ किसी दिए गए भार के लिए कम खिंचता है, उसे अधिक प्रत्यास्थ माना जाता है।

7. सामान्यतः, एक दिशा में आरोपित विरूपण बल अन्य दिशाओं में भी विकृतियाँ उत्पन्न कर सकता है। ऐसी स्थितियों में तनाव और विकृति के बीच अनुपात को केवल एक प्रत्यास्थ स्थिरांक से वर्णित नहीं किया जा सकता। उदाहरणार्थ, किसी तार पर अनुदैर्घ्य विकृति होने पर उसकी पार्श्वीय विमाएँ (अनुप्रस्थ काट का त्रिज्या) भी थोड़ा-सा परिवर्तन अनुभव करती हैं, जिसे पदार्थ के एक अन्य प्रत्यास्थ स्थिरांक (जिसे पॉइसॉन अनुपात कहते हैं) द्वारा वर्णित किया जाता है।

8. तनाव एक सदिश राशि नहीं है, क्योंकि बल के विपरीत तनाव को कोई निश्चित दिशा नहीं दी जा सकती। किसी काट के निर्धारित पार्श्व पर शरीर के एक भाग पर कार्यरत बल की एक निश्चित दिशा होती है।