9.1 भूमिका

इस अध्याय में हम द्रवों और गैसों की कुछ सामान्य भौतिक विशेषताओं का अध्ययन करेंगे। द्रव और गैस बह सकते हैं, इसलिए इन्हें द्रव्य (फ़्लुइड) कहा जाता है। यही विशेषता द्रवों और गैसों को ठोसों से मूल रूप से भिन्न करती है।

द्रव्य हमारे चारों ओर सर्वत्र पाए जाते हैं। पृथ्वी के चारों ओर वायु का आवरण है और इसकी दो-तिहाई सतह जल से ढकी है। जल न केवल हमारे अस्तित्व के लिए आवश्यक है, अपितु प्रत्येक स्तनधारी शरीर का अधिकांश भाग जल से बना है। सभी जीवित प्राणियों—पौधों सहित—में होने वाली प्रक्रियाएँ द्रव्यों के माध्यम से संपन्न होती हैं। इस प्रकार द्रव्यों के व्यवहार और गुणों को समझना महत्वपूर्ण है।

द्रव्य ठोसों से किस प्रकार भिन्न हैं? द्रवों और गैसों में क्या समान है? ठोस के विपरीत, द्रव्य का अपना कोई निश्चित आकार नहीं होता। ठोस और द्रव का आयतन निश्चित होता है, जबकि गैस अपने पात्र के सम्पूर्ण आयतन को भर लेती है। हमने पिछले अध्याय में सीखा कि ठोसों का आयतन बल (स्ट्रेस) द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है। ठोस, द्रव या गैस का आयतन उस पर कार्यरत बल या दाब पर निर्भर करता है। जब हम ठोस या द्रव के निश्चित आयतन की बात करते हैं, तो हमारा तात्पर्य वायुमंडलीय दाब के अंतर्गत उसके आयतन से है। गैसों और ठोस/द्रवों के बीच यह अंतर है कि ठोस या द्रवों में बाह्य दाब के परिवर्तन से आयतन में परिवर्तन अपेक्षाकृत बहुत कम होता है। अन्य शब्दों में, ठोस और द्रव गैसों की तुलना में बहुत कम संपीड्यता (कम्प्रेसिबिलिटी) रखते हैं।

अपरूपण तनाव ठोस की आकृति को बदल सकता है, जबकि इसका आयतन अपरिवर्तित रहता है। द्रवों की प्रमुख विशेषता यह है कि वे अपरूपण तनाव के प्रति बहुत कम प्रतिरोध प्रस्तुत करते हैं; बहुत हल्के अपरूपण तनाव लगाने पर भी उनकी आकृति बदल जाती है। द्रवों का अपरूपण तनाव ठोसों की तुलना में लगभग एक लाख गुना कम होता है।

9.2 दाब

एक तेज़ सुई जब हमारी त्वचा पर दबाई जाती है, तो वह छेद कर देती है। परंतु जब कोई धारहीन वस्तु जिसका स्पर्श-क्षेत्र अधिक हो (जैसे चम्मच का पिछला भाग) उतनी ही बल से दबाई जाती है, तो हमारी त्वचा सुरक्षित रहती है। यदि कोई हाथी किसी व्यक्ति की छाती पर कदम रखे, तो उसकी पसलियाँ टूट सकती हैं। सर्कस का एक कलाकार, जिसकी छाती पर पहले एक बड़ी, हल्की परंतु मज़बूत लकड़ी की तख्ती रखी जाती है, इस दुर्घटना से बच जाता है। ऐसे दैनिक अनुभव हमें यह विश्वास दिलाते हैं कि बल और उसके क्षेत्रफल दोनों महत्वपूर्ण हैं। जितना छोटा क्षेत्र जिस पर बल लगता है, प्रभाव उतना ही अधिक होता है। इस प्रभाव को दाब कहा जाता है।

जब कोई वस्तु किसी स्थिर द्रव में डूबी होती है, तो द्रव उसकी सतह पर एक बल लगाता है। यह बल सदैव वस्तु की सतह के लम्बवत् होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि बल का एक घटक सतह के समानांतर होता, तो वस्तु भी द्रव पर न्यूटन के तृतीय नियम के परिणामस्वरूप समानांतर बल लगाती। यह बल द्रव को सतह के समानांतर बहने का कारण बनेगा। चूँकि द्रव स्थिर है, ऐसा हो नहीं सकता। अतः स्थिर द्रव द्वारा लगाया गया बल उस सतह के लम्बवत् होना चाहिए जिससे वह स्पर्श कर रहा है। इसे चित्र 9.1(a) में दिखाया गया है।

आकृति 9.1 (a) बीकर में रहे द्रव द्वारा डूबी हुई वस्तु या दीवारों पर लगाया गया बल सभी बिंदुओं पर सतह के लिए अभिलंब (लंबवत्) होता है।
(b) दाब मापने के लिए एक आदर्श उपकरण।

किसी बिंदु पर द्रव द्वारा लगाया गया अभिलंब बल मापा जा सकता है। ऐसे ही एक दाब-मापक उपकरण का आदर्श रूप आकृति 9.1(b) में दिखाया गया है। इसमें एक निर्वातित कक्ष होता है जिसमें एक स्प्रिंग लगी होती है जो पिस्टन पर काररत बल को मापने के लिए अंशांकित होती है। इस उपकरण को द्रव के भीतर किसी बिंदु पर रखा जाता है। द्रव द्वारा पिस्टन पर लगाया गया अंतर्गामी बल बाहर की ओर स्प्रिंग बल से संतुलित होकर इस प्रकार मापा जाता है।

यदि क्षेत्रफल A वाले पिस्टन पर इस अभिलंब बल का परिमाण F है, तो औसत दाब P_av को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर काररत अभिलंब बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ \begin{equation*} P_{av}=\frac{F}{A} \tag{9.1} \end{equation*} $$

सिद्धांततः पिस्टन का क्षेत्रफल स्वेच्छया छोटा बनाया जा सकता है। तब दाब को सीमित अर्थ में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$ \begin{equation*} P=\lim _{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta A} \tag{9.2} \end{equation*} $$

दबाव एक अदिश राशि है। हम पाठक को याद दिलाते हैं कि यह बल का घटक है जो विचाराधीन क्षेत्रफल के लंबवत होता है, और यह (सदिश) बल नहीं है जो समीकरणों (9.1) और (9.2) के अंश के अंश में दिखाई देता है। इसकी विमाएँ $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ हैं। दबाव का SI मात्रक $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ है। इसे पास्कल $(\mathrm{Pa})$ नाम दिया गया है, फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल (1623-1662) के सम्मान में, जिन्होंने द्रव दबाव पर प्रारंभिक अध्ययन किए। दबाव का एक सामान्य मात्रक वायुमंडल (atm) है, अर्थात् समुद्र तल पर वायुमंडल द्वारा आरोपित दबाव $\left(1 \mathrm{~atm}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{Pa}\right)$।

एक अन्य राशि, जो द्रवों का वर्णन करने में अनिवार्य है, घनत्व $\rho$ है। आयतन $V$ घेरने वाले द्रव के द्रव्यमान $m$ के लिए,

$$ \begin{equation*} \rho=\frac{m}{V} \tag{9.3} \end{equation*} $$

घनत्व की विमाएँ $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ हैं। इसका SI मात्रक $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}$ है। यह एक धनात्मक अदिश राशि है। एक द्रव मुख्यतः असंपीड्य होता है और इसलिए इसका घनत्व सभी दबावों पर लगभग नियत रहता है। दूसरी ओर, गैसें दबाव के साथ घनत्व में बड़ा परिवर्तन दिखाती हैं।

पानी का घनत्व $4^{\circ} \mathrm{C}(277 \mathrm{~K})$ पर $1.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। किसी पदार्थ का आपेक्षिक घनत्व उसके घनत्व का $4^{\circ} \mathrm{C}$ पर पानी के घनत्व से अनुपात होता है। यह एक विहीन आयामी धनात्मक अदिश राशि है। उदाहरण के लिए ऐलुमिनियम का आपेक्षिक घनत्व 2.7 है। इसका घनत्व $2.7 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। कुछ सामान्य द्रवों के घनत्व सारणी 9.1 में दिखाए गए हैं।

सारणी 9.1 कुछ सामान्य द्रवों के घनत्व STP* पर

उदाहरण 9.1 दो जांघ की हड्डियाँ (फीमर) प्रत्येक अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $10 \mathrm{~cm}^{2}$ 40 kg द्रव्यमान के मानव शरीर के ऊपरी भाग को सहारा देती हैं। फीमर द्वारा सही जाने वाली औसत दाब का आकलन कीजिए।

उत्तर फीमरों का कुल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A=2 \times 10 \mathrm{~cm}^{2}=20 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$ है। इन पर कार्यरत बल $F=40 \mathrm{~kg}$ wt $=400 \mathrm{~N}$ है (यह मानते हुए कि $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$)। यह बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्यरत है और इस प्रकार फीमरों पर अभिलंबवत् है। इस प्रकार औसत दाब है

$$ P_{a v}=\frac{F}{A}=2 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} $$

9.2.1 पास्कल का नियम

फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल ने देखा कि विरामावस्था में द्रव में दबाव सभी बिंदुओं पर समान होता है यदि वे समान ऊँचाई पर हों। इस तथ्य को एक सरल तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है।

आकृति 9.2 पास्कल के नियम का प्रमाण। ABC-DEF एक द्रव के अंतःस्थल का अवयव है जो विराम में है। यह अवयव समकोण प्रिज़्म के रूप में है। अवयव छोटा है ताकि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नज़रअंदाज़ किया जा सके, लेकिन स्पष्टता के लिए इसे बड़ा किया गया है।

आकृति 9.2 एक स्थिर द्रव के आंतरिक भाग में एक तत्व दिखाती है। यह तत्व $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ एक समकोणीय प्रिज़्म के रूप में है। सिद्धांत रूप में, यह प्रिज़्मीय तत्व बहुत छोटा होता है ताकि इसके प्रत्येक भाग को द्रव सतह से समान गहराई पर माना जा सके और इसलिए गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव इन सभी बिंदुओं पर समान होता है। लेकिन स्पष्टता के लिए हमने इस तत्व को बड़ा किया है। इस तत्व पर लगने वाले बल वे होते हैं जो शेष द्रव द्वारा लगाए जाते हैं और ये बल तत्व की सतहों पर लंबवत होने चाहिए जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। इस प्रकार, द्रव इस तत्व पर दबाव $P_{\mathrm{a}}, P_{\mathrm{b}}$ और $P_{\mathrm{c}}$ डालता है, जो कि सामान्य बलों $F_{\mathrm{a}}, F_{\mathrm{b}}$ और $F_{\mathrm{c}}$ के अनुरूप है जैसा कि आकृति 9.2 में दिखाया गया है, BEFC, ADFC और ADEB सतहों पर जिन्हें क्रमशः $A_{a}, A_{b}$ और $A_{c}$ द्वारा दर्शाया गया है। तब

$F_{\mathrm{b}} \sin \theta=F_{\mathrm{c}}, \quad F_{\mathrm{b}} \cos \theta=F_{\mathrm{a}} \quad$ (साम्यावस्था द्वारा)

$A_{\mathrm{b}} \sin \theta=A_{\mathrm{c}}, \quad A_{\mathrm{b}} \cos \theta=A_{\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}$ (ज्यामिति द्वारा)

इस प्रकार,

$$ \begin{equation*} \frac{F_{b}}{A_{b}}=\frac{F_{c}}{A_{c}}=\frac{F_{a}}{A_{a}} ; \quad P_{b}=P_{c}=P_{a} \tag{9.4} \end{equation*} $$

इस प्रकार, विरामावस्था में तरल द्वारा सभी दिशाओं में लगाया गया दाब समान होता है। यह हमें फिर से याद दिलाता है कि अन्य प्रकार के तनाव की तरह, दाब एक सदिश राशि नहीं है। इसे कोई दिशा नहीं दी जा सकती। विरामावस्था में और दाब के अंतर्गत किसी तरल के भीतर (या सीमा पर) किसी भी क्षेत्रफल के विरुद्ध लगने वाला बल, क्षेत्रफल के लंबवत होता है, चाहे क्षेत्रफल की अभिविन्यास कुछ भी हो।

अब एक समान अनुप्रस्थ काट वाले क्षैतिज दंड के रूप में एक तरल तत्व पर विचार करें। दंड साम्यावस्था में है। इसके दोनों सिरों पर लगने वाले क्षैतिज बल संतुलित होने चाहिए अथवा दोनों सिरों पर दाब समान होना चाहिए। यह सिद्ध करता है कि साम्यावस्था में किसी द्रव के लिए क्षैतिज तल में सभी बिंदुओं पर दाब समान होता है। मान लीजिए कि तरल के विभिन्न भागों में दाब समान नहीं है, तब तरल में प्रवाह होगा क्योंकि उस पर कुछ निवल बल कार्य करेगा। इसलिए प्रवाह की अनुपस्थिति में तरल में क्षैतिज तल में हर जगह दाब समान होना चाहिए।

9.2.2 गहराई के साथ दाब में परिवर्तन

एक पात्र में विरामावस्था में एक द्रव पर विचार कीजिए। आकृति 9.3 में बिंदु 1, बिंदु 2 से ऊँचाई $h$ पर है। बिंदु 1 और 2 पर दाब क्रमशः $P_{1}$ और $P_{2}$ हैं। द्रव का एक बेलनाकार अवयव लीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल $A$ और ऊँचाई $h$ है। चूँकि द्रव विराम में है, क्षैतिज बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए और ऊध्र्वाधर बलों का परिणामी अवयव के भार को संतुलित करना चाहिए। ऊध्र्वाधर दिशा में कार्यरत बल ऊपर के द्रव दाब के कारण $\left(P_{1} A\right)$ नीचे की ओर और नीचे के द्रव दाब के कारण $\left(P_{2} A\right)$ ऊपर की ओर कार्यरत हैं। यदि बेलन में द्रव का भार $m g$ है तो हमारे पास

$$ \begin{equation*} \left(P_{2}-P_{1}\right) A=m g \tag{9.5} \end{equation*} $$

अब, यदि $\rho$ द्रव का द्रव्यमान घनत्व है तो द्रव का द्रव्यमान $m=\rho V=\rho h A$ होगा, इसलिए

$$ \begin{equation*} P_{2}-P_{1}=\rho g h \tag{9.6} \end{equation*} $$

आकृति 9.3 गुरुत्वाकर्षण के अधीन द्रव। गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव एक ऊध्र्वाधर बेलनाकार स्तंभ पर दाब के माध्यम से दर्शाया गया है।

दाब अंतर बिंदुओं (1 और 2) के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $h$, द्रव का द्रव्यमान घनत्व $\rho$ और गुरुत्वाकर्षण त्वरण $g$ पर निर्भर करता है। यदि चर्चा में आया बिंदु 1 द्रव (मान लीजिए, पानी) के शीर्ष पर ले जाया जाता है, जो वातावरण के लिए खुला है, तो $\mathrm{P}_1$ को वायुमंडलीय दाब $\left(\mathrm{P}_a\right)$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है और हम $\mathrm{P}_2$ को P से प्रतिस्थापित करते हैं। तब समी. (9.6) देता है

$$ \begin{equation*} P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h \tag{9.7} \end{equation*} $$

इस प्रकार, वायुमंडल के लिए खुले द्रव की सतह से नीचे गहराई पर दाब $P$, वायुमंडलीय दाब से $\rho g h$ राशि से अधिक होता है। गहराई $h$ पर दाब की अधिकता, $P-P_{\mathrm{a}}$, को उस बिंदु पर मापन दाब कहा जाता है।

समी. (9.7) में निरपेक्ष दाब के व्यंजक में बेलन का क्षेत्रफल प्रकट नहीं हो रहा है। इस प्रकार, द्रव स्तंभ की ऊँचाई महत्वपूर्ण है और न कि अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल या आधार क्षेत्रफल या पात्र की आकृति। द्रव दाब समान क्षैतिज स्तर (समान गहराई) पर सभी बिंदुओं पर समान होता है। इस परिणाम की सराहना हाइड्रोस्टेटिक विरोधाभास के उदाहरण के माध्यम से की जाती है। तीन पात्र A, B और C [चित्र 9.4] जिनकी आकृतियाँ भिन्न हैं, पर विचार करें। उन्हें नीचे एक क्षैतिज नली से जोड़ा गया है। पानी से भरने पर, तीनों पात्रों में स्तर समान है, यद्यपि उनमें पानी की मात्रा भिन्न है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नीचे पानी का दाब पात्र के प्रत्येक अनुभाग के नीचे समान है।

आकृति 9.4 हाइड्रोस्टेटिक विरोधाभास का चित्रण। तीन बर्तन A, B और C में विभिन्न मात्राओं में द्रव हैं, सभी समान ऊँचाई तक।

उदाहरण 9.2 एक झील की सतह से 10 m नीचे तैरने वाले तैराक पर दाब क्या है?

उत्तर यहाँ

h = 10 m और ρ = 1000 kg m⁻³।

g = 10 m s⁻² लीजिए।

समीकरण (9.7) से

P = Pₐ + ρ g h

= 1.01 × 10⁵ Pa + 1000 kg m⁻³ × 10 m s⁻² × 10 m

= 2.01 × 10⁵ Pa

≈ 2 atm

यह सतह के स्तर से दाब में 100% वृद्धि है। 1 km गहराई पर दाब में वृद्धि 100 atm होती है! पनडुब्बियाँ इतने विशाल दाब को सहने के लिए डिज़ाइन की जाती हैं।

9.2.3 वायुमंडलीय दाब और मापित दाब

वायुमंडल का दबाव किसी बिंदु पर उस बिंदु से वायुमंडल के शीर्ष तक फैले हुए इकाई अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल वाले वायु स्तंभ के भार के बराबर होता है। समुद्र तल पर यह $1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \mathrm{(1} \mathrm{atm)}$ होता है। इतालवी वैज्ञानिक एवेंजेलिस्टा टॉरिसेली (1608-1647) ने पहली बार वायुमंडलीय दबाव मापने की एक विधि बनाई। एक लंबा काँच का नलिका जिसका एक सिरा बंद हो और जो पारे से भरा हो, उसे पारे से भरे ट्रफ में इस प्रकार उल्टा किया जाता है जैसा कि चित्र 9.5 (a) में दिखाया गया है। इस उपकरण को ‘पारा बैरोमीटर’ कहा जाता है। नलिका में पारे के स्तंभ के ऊपर का स्थान केवल पारे के वाष्प से भरा होता है जिसका दबाव $P$ इतना कम होता है कि उसे नज़रअंदाज़ किया जा सकता है। इस प्रकार, बिंदु $\mathrm{A}$ पर दबाव $=0$ होता है। नलिका में बिंदु B के अंदर का दबाव बिंदु $\mathrm{C}$ के दबाव के बराबर होना चाहिए, जो वायुमंडलीय दबाव $\mathrm{P}_{a}$ है।

$$ \begin{equation*} P_{\mathrm{a}}=\rho g h \tag{9.8} \end{equation*} $$

जहाँ $\rho$ पारे का घनत्व है और $h$ नलिका में पारे के स्तंभ की ऊँचाई है।

प्रयोग में यह पाया गया है कि बैरोमीटर में पारे का स्तंभ समुद्र तल पर लगभग $76 \mathrm{~cm}$ ऊँचा होता है जो एक वायुमंडल (1 atm) के समतुल्य है। यह मान Eq. (9.8) में $\rho$ के मान का प्रयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। दबाव को व्यक्त करने का एक सामान्य तरीका $\mathrm{cm}$ या $\mathrm{mm}$ पारे $(\mathrm{Hg})$ के रूप में होता है। $1 \mathrm{~mm}$ के समतुल्य दबाव को टॉर (टॉरिसेली के नाम पर) कहा जाता है।

1 टॉर = 133 पा।

एचजी का मिमी और टॉर चिकित्सा और शरीर-क्रिया विज्ञान में प्रयोग होते हैं। मौसम विज्ञान में सामान्य इकाई बार और मिलीबार है।

1 बार = 10⁵ पा

एक खुली नली वाला मैनोमीटर दाब अंतर मापने के लिए उपयोगी उपकरण है। इसमें एक यू-नली होती है जिसमें उपयुक्त द्रव भरा होता है, अर्थात् कम घनत्व वाला द्रव (जैसे तेल) छोटे दाब अंतर मापने के लिए और उच्च घनत्व वाला द्रव (जैसे पारा) बड़े दाब अंतर मापने के लिए। नली का एक सिरा वातावरण के लिए खुला रहता है और दूसरा सिरा उस तंत्र से जुड़ा होता है जिसका दाब हम मापना चाहते हैं [देखें चित्र 9.5 (b)]। बिंदु A पर दाब P, बिंदु B के दाब के बराबर है। हम सामान्यतः गेज दाब मापते हैं, जो P-Pₐ है, जो समीकरण (9.8) द्वारा दिया गया है और यह मैनोमीटर की ऊँचाई h के समानुपाती है।

चित्र 9.5 (a) पारा बैरोमीटर।

(b) खुली नली वाला मैनोमीटर

चित्र 9.5 दो दाब मापने वाले उपकरण।

U-ट्यूब में द्रव भरे होने पर दोनों ओर एक ही स्तर पर दबाव समान होता है। द्रवों के लिए घनत्व दबाव और तापमान के व्यापक परिसरों में बहुत कम बदलता है और हम इसे सुरक्षित रूप से अपने वर्तमान उद्देश्यों के लिए नियत मान सकते हैं। दूसरी ओर गैसें दबाव और तापमान में परिवर्तन के साथ घनत्व में बड़े बदलाव दिखाती हैं। गैसों के विपरीत, द्रवों को इसलिए अक्सर असंपीड़नीय माना जाता है।

उदाहरण 9.3 समुद्र तल पर वायुमंडल का घनत्व 1.29 kg/m³ है। मान लीजिए यह ऊँचाई के साथ नहीं बदलता। तब वायुमंडल कितनी ऊँचाई तक फैला होगा?

उत्तर हम समीकरण (9.7) का उपयोग करते हैं

$\rho g h=1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{2} \times h \mathrm{~m}=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$\therefore h=7989 \mathrm{~m} \approx 8 \mathrm{~km}$

वास्तव में हवा का घनत्व ऊँचाई के साथ घटता है। $g$ का मान भी घटता है। वायुमंडल का आवरण घटते दबाव के साथ $100 \mathrm{~km}$ से अधिक तक फैला है। हमें यह भी ध्यान रखना चाहिए कि समुद्र तल का वायुमंडलीय दबाव हमेशा $760 \mathrm{~mm}$ पारे का नहीं होता। पारे के स्तर में $10 \mathrm{~mm}$ या अधिक की गिरावट आने वाले तूफ़ान का संकेत होती है।

उदाहरण 9.4 समुद्र की $1000 \mathrm{~m}$ गहराई पर (a) निरपेक्ष दाब क्या है? (b) मापदाब क्या है? (c) इस गहराई पर पनडुब्बी की $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ क्षेत्रफल की खिड़की पर लगने वाला बल ज्ञात कीजिए, जिसका आंतरिक भाग समुद्र-तल वायुमंडलीय दाब पर रखा गया है। (समुद्री जल का घनत्व $1.03 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है, $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$।)

उत्तर यहाँ $h=1000 \mathrm{~m}$ और $\rho=1.03 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है।

(a) समी. (9.6) से, निरपेक्ष दाब $P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$

$=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} +1.03 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \times 1000 \mathrm{~m}$

$=104.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$\approx 104 \mathrm{~atm}$

(b) मापदाब है $P-P_{\mathrm{a}}=\rho g h=P_{\mathrm{g}}$

$P_{\mathrm{g}}=1.03 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~ms}^{2} \times 1000 \mathrm{~m}$

$=103 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$\approx 103 \mathrm{~atm}$

(c) पनडुब्बी के बाहर दाब है $P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$ और इसके अंदर दाब है $P_{\mathrm{a}}$। अतः खिड़की पर कार्यरत कुल दाब मापदाब है, $P_{g}=\rho g h}$। चूँकि खिड़की का क्षेत्रफल $A=0.04 \mathrm{~m}^{2}$ है, इस पर लगने वाला बल है

$F=P_{\mathrm{g}} A=103 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \times 0.04 \mathrm{~m}^{2}=4.12 \times 10^{5} \mathrm{~N}$

9.2.4 हाइड्रोलिक मशीनें

आइए अब विचार करें कि जब हम किसी बर्तन में रखे द्रव पर दबाव बदलते हैं तो क्या होता है। एक क्षैतिज बेलन को ध्यान में लीजिए जिसमें एक पिस्टन है और विभिन्न बिंदुओं पर तीन ऊर्ध्वाधर नलिकाएँ लगी हैं [चित्र 9.6 (a)]। क्षैतिज बेलन में दबाव ऊर्ध्वाधर नलिकाओं में द्रव स्तर की ऊँचाई से दर्शाया जाता है। यह सभी में अनिवार्यतः समान होता है। यदि हम पिस्टन को धकेलते हैं, तो सभी नलिकाओं में द्रव स्तर बढ़ जाता है और फिर से प्रत्येक में समान स्तर पर पहुँच जाता है।

चित्र 9.6 (a) जब भी किसी बर्तन में रखे द्रव के किसी भाग पर बाह्य दबाव लगाया जाता है, वह सभी दिशाओं में समान रूप से संचरित होता है।

यह दर्शाता है कि जब बेलन पर दबाव बढ़ाया गया, तो वह समान रूप से पूरे द्रव में वितरित हो गया। हम कह सकते हैं कि जब भी किसी बर्तन में रखे द्रव के किसी भाग पर बाह्य दबाव लगाया जाता है, वह अनकमित और समान रूप से सभी दिशाओं में संचरित होता है। यह पास्कल के नियम का एक अन्य रूप है और इसके दैनिक जीवन में कई अनुप्रयोग हैं।

कई उपकरण, जैसे कि हाइड्रोलिक लिफ्ट और हाइड्रोलिक ब्रेक, पास्कल के नियम पर आधारित होते हैं। इन उपकरणों में दबाव संचारित करने के लिए द्रवों का उपयोग किया जाता है। एक हाइड्रोलिक लिफ्ट में, जैसा कि चित्र 9.6 (b) में दिखाया गया है, दो पिस्टनों के बीच का स्थान द्रव से भरा होता है। एक छोटे क्रॉस-सेक्शन $A_{1}$ वाला पिस्टन द्रव पर सीधा बल $F_{1}$ लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। दबाव $P=\frac{F_{1}}{A_{1}}$ पूरे द्रव में संचारित होता है और बड़े सिलेंडर तक पहुंचता है जो क्षेत्रफल $A_{2}$ वाले बड़े पिस्टन से जुड़ा होता है, जिससे ऊपर की ओर $P \times A_{2}$ का बल उत्पन्न होता है। इसलिए, पिस्टन एक बड़े बल (जैसे कि एक कार या ट्रक का भार, जो मंच पर रखा हो) $F_{2}=P A_{2}=\frac{F_{1} A_{2}}{A_{1}}$ को सहारा देने में सक्षम होता है। $A_{1}$ पर बल बदलकर मंच को ऊपर या नीचे ले जाया जा सकता है। इस प्रकार, लगाए गए बल को $\frac{A_{2}}{A_{1}}$ गुना बढ़ाया गया है और यह गुणांक उपकरण का यांत्रिक लाभ है। नीचे दिया गया उदाहरण इसे स्पष्ट करता है।

चित्र 9.6 (b) भारी भार उठाने वाले उपकरण, हाइड्रोलिक लिफ्ट के पीछे के सिद्धांत को दर्शाता आरेख

उदाहरण 9.5 विभिन्न अनुप्रस्थ-काट वाले दो सिरिंज (बिना सुई के) जिनमें पानी भरा है, एक कसकर फिट की गई रबर नली से जोड़े गए हैं जिसमें पानी भरा है। छोटे पिस्टन और बड़े पिस्टन के व्यास क्रमशः $1.0 \mathrm{~cm}$ और $3.0 \mathrm{~cm}$ हैं। (a) जब छोटे पिस्टन पर $10 \mathrm{~N}$ का बल लगाया जाता है, तो बड़े पिस्टन पर लगने वाला बल ज्ञात कीजिए। (b) यदि छोटे पिस्टन को $6.0 \mathrm{~cm}$ अंदर धकला जाता है, तो बड़ा पिस्टन कितना बाहर आता है?

उत्तर (a) चूँकि दबाव पूरे द्रव में अविकृत संचरित होता है,

$$ \begin{aligned} F_{2}=\frac{A_{2}}{A_{1}} F_{1}= & \frac{\pi\left(3 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\pi\left(1 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \times 10 \mathrm{~N} \ & =90 \mathrm{~N} \end{aligned} $$

(b) पानी को पूर्णतः असंपीड्य माना जाता है। छोटे पिस्टन के अंदर की ओर आने से आयतित आयतन, बड़े पिस्टन के बाहर की ओर जाने से आयतित आयतन के बराबर होता है।

$$ \begin{aligned} & L_{1} A_{1}=L_{2} A_{2} \ & \begin{aligned} L_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}} L_{1} & =\frac{\pi\left(1 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\pi\left(3 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \times 6 \times 10^{-2} \mathrm{~m} \ & \simeq 0.67 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=0.67 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned} $$

ध्यान दें, वायुमंडलीय दबाव दोनों पिस्टनों पर समान है और इसे उपेक्षित किया गया है।

उदाहरण 9.6 एक कार लिफ्ट में संपीड़ित वायु एक छोटे पिस्टन पर 5.0 सेमी त्रिज्या के साथ बल F₁ लगाती है। यह दाब एक दूसरे पिस्टन तक 15 सेमी त्रिज्या तक पहुँचता है (चित्र 9.7)। यदि उठाई जाने वाली कार का द्रव्यमान 1350 किग्रा है, तो F₁ की गणना कीजिए। यह कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दाब क्या है? (g = 9.8 मी/से²)।

उत्तर चूँकि दाब पूरे द्रव में बिना कम हुए संचरित होता है,

$$ \begin{gathered} F_{1}=\frac{A_{1}}{A_{2}} F_{2}=\frac{\pi\left(5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\pi\left(15 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}\left(1350 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \ =1470 \mathrm{~N} \ \approx 1.5 \times 10^{3} \mathrm{~N} \end{gathered} $$

वह वायु दाब जो यह बल उत्पन्न करेगा,

$$ P=\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{1.5 \times 10^{3} \mathrm{~N}}{\pi\left(5 \times 10^{-2}\right)^{2} \mathrm{~m}}=1.9 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} $$

यह वायुमंडलीय दाब का लगभग दोगुना है।

ऑटोमोबाइल में हाइड्रॉलिक ब्रेक भी इसी सिद्धांत पर काम करते हैं। जब हम पैडल पर अपने पैर से थोड़ा सा बल लगाते हैं तो मास्टर पिस्टन मास्टर सिलेंडर के अंदर चलता है, और उत्पन्न दबाव ब्रेक ऑयल के माध्यम से बड़े क्षेत्रफल के पिस्टन पर कार्य करता है। पिस्टन पर एक बड़ा बल कार्य करता है और यह नीचे धकेल दिया जाता है जिससे ब्रेक शूज़ ब्रेक लाइनिंग के खिलाफ फैल जाते हैं। इस तरह, पैडल पर एक छोटा बड़े पहियों पर एक बड़ा रोकने वाला बल उत्पन्न करता है। इस प्रणाली का एक महत्वपूर्ण लाभ यह है कि पैडल दबाने से उत्पन्न दबाव चारों पहियों से जुड़े सभी सिलेंडरों पर समान रूप से प्रेषित होता है ताकि सभी पहियों पर ब्रेकिंग प्रयास समान हो।

9.3 स्ट्रीमलाइन प्रवाह

अब तक हमने स्थिर द्रवों का अध्ययन किया है। द्रवों के गति में होने का अध्ययन द्रव गतिकी (fluid dynamics) कहलाता है। जब पानी का नल धीरे-धीरे खोला जाता है, तो प्रारंभ में पानी का प्रवाह सुचारू होता है, परंतु बाहर निकलने की चाल बढ़ाने पर यह सुचारूता समाप्त हो जाती है। द्रवों की गति का अध्ययन करते समय हम अपना ध्यान इस बात पर केंद्रित करते हैं कि किसी विशिष्ट समय पर अंतरिक्ष के किसी विशिष्ट बिंदु पर विभिन्न द्रव कणों के साथ क्या हो रहा है। यदि किसी दिए गए बिंदु पर प्रत्येक गुजरते हुए द्रव कण का वेग समय के साथ अचर रहता है, तो द्रव के प्रवाह को स्थिर (steady) कहा जाता है। इसका अर्थ यह नहीं है कि अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर वेग समान है। किसी विशिष्ट कण का वेग तब बदल सकता है जब वह एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाता है। अर्थात्, किसी अन्य बिंदु पर वह कण भिन्न वेग रख सकता है, परंतु दूसरे बिंदु से गुजरने वाला प्रत्येक अन्य कण ठीक वैसा ही व्यवहार करता है जैसा कि अभी-अभी उस बिंदु से गुजरा पिछला कण। प्रत्येक कण एक सुचारू पथ का अनुसरण करता है और कणों के पथ एक-दूसरे को काटते नहीं हैं।

आकृति 9.7 स्ट्रीमलाइनों का अर्थ। (a) एक द्रव कण की एक विशिष्ट प्रक्षेपपथ।
(b) एक स्ट्रीमलाइन प्रवाह क्षेत्र।

एक स्थिर प्रवाह के अंतर्गत किसी द्रव कण द्वारा लिया गया मार्ग एक स्ट्रीमलाइन होता है। इसे एक ऐसे वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा उस बिंदु पर द्रव के वेग की दिशा में होती है। चित्र 9.7 (a) में दिखाए गए कण के मार्ग पर विचार करें, यह वक्र बताता है कि कोई द्रव कण समय के साथ कैसे चलता है। वक्र $P Q$ द्रव प्रवाह का एक स्थायी नक्शा है, जो यह दर्शाता है कि द्रव कैसे बह रहा है। कोई दो स्ट्रीमलाइनें एक-दूसरे को काट नहीं सकतीं, क्योंकि यदि वे काटती हैं तो आने वाला द्रव कण किसी एक रास्ते पर जा सकता है और प्रवाह स्थिर नहीं रहेगा। इसलिए, स्थिर प्रवाह में प्रवाह का नक्शा समय के साथ स्थिर रहता है। हम निकटतम स्ट्रीमलाइनें कैसे खींचते हैं? यदि हम प्रत्येक बहते हुए कण की स्ट्रीमलाइन दिखाना चाहें, तो हमारे पास रेखाओं का एक सतत समूह हो जाएगा। द्रव प्रवाह की दिशा के लंबवत तलों पर विचार करें, उदाहरण के लिए चित्र 9.7 (b) में तीन बिंदुओं P, R और $\mathrm{Q}$ पर। तलों के टुकड़े इस प्रकार चुने गए हैं कि उनकी सीमाएँ एक ही समूह की स्ट्रीमलाइनों द्वारा निर्धारित हों। इसका अर्थ है कि $P, R$ और $Q$ पर दर्शाए गए सतहों को पार करने वाले द्रव कणों की संख्या समान है। यदि इन बिंदुओं पर अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A_{\mathrm{P}}, A_{\mathrm{R}}$ और $A_{Q}$ हैं और द्रव कणों की चालें $v_{\mathrm{P}}, v_{\mathrm{R}}$ और $v_{Q}$ हैं, तो समय के एक छोटे अंतराल $\Delta t$ में $A_{\mathrm{P}}$ पर पार करने वाले द्रव का द्रव्यमान $\Delta m_{\mathrm{P}}$ है $\rho_{\mathrm{P}} A_{\mathrm{P}} V_{\mathrm{P}} \Delta t$। इसी प्रकार, समय के एक छोटे अंतराल $\Delta t$ में $A_{\mathrm{R}}$ पर पार करने वाले द्रव का द्रव्यमान $\Delta m_{\mathrm{R}}$ है $\rho_{\mathrm{R}} A_{\mathrm{R}} V_{\mathrm{R}} \Delta t$ और $A_{\mathrm{Q}}$ पर पार करने वाले द्रव का द्रव्यमान $\Delta m_{Q}$ है $\rho_{Q} A_{Q} V_{Q} \Delta t$। बाहर बहने वाले द्रव का द्रव्यमान अंदर बहने वाले द्रव के द्रव्यमान के बराबर होता है, यह सभी स्थितियों में लागू होता है।

इसलिए,

$\rho _{\mathrm{P}} A _{\mathrm{p}} v _{\mathrm{P}} \Delta t=\rho _{\mathrm{R}} A _{\mathrm{R}} v _{\mathrm{R}} \Delta t=\rho _{\mathrm{g}} A _{\mathrm{g}} v _{\mathrm{g}} \Delta t$

असंपीड्येय द्रवों के प्रवाह के लिए

$\rho_{\mathrm{P}}=\rho_{\mathrm{R}}=\rho_{\mathrm{Q}}$

समीकरण (9.9) इस प्रकार सरल हो जाता है

$A _{\mathrm{P}} v _{\mathrm{P}}=A _{\mathrm{R}} v _{\mathrm{R}}=A _{\mathrm{g}} v _{\mathrm{B}}$

जिसे संतुलन समीकरण कहा जाता है और यह असंपीड्येय द्रवों के प्रवाह में द्रव्यमान संरक्षण का कथन है। सामान्यतया

$A v=$ अचर

$A v$ आयतन प्रवाह या प्रवाह दर देता है और प्रवाह की पाइप भर में अचर रहता है। इस प्रकार, संकरी भागों जहां स्ट्रीमलाइन निकट होती हैं, वेग बढ़ता है और इसका विपरीत भी सत्य है। (चित्र 9.7b) से स्पष्ट है कि $A_{\mathrm{R}}>A_{\mathrm{Q}}$ या $v_{\mathrm{R}}<v_{\mathrm{Q}}$, द्रव $\mathrm{R}$ से $\mathrm{Q}$ जाते समय त्वरित होता है। इसके साथ क्षैतिज पाइपों में द्रव प्रवाह में दाब में परिवर्तन संबद्ध होता है।

स्थिर प्रवाह कम प्रवाह चाल पर प्राप्त होता है। एक सीमित मान, जिसे क्रांतिक चाल कहा जाता है, से परे यह प्रवाह स्थिरता खो देता है और अशांत हो जाता है। यह तब दिखाई देता है जब एक तीव्र प्रवाह धारा चट्टानों से टकराती है, छोटे झागदार भँवर-जैसे क्षेत्र जिन्हें ‘सफेद पानी की तेज धाराएँ’ कहा जाता है, बनते हैं।

चित्र 9.8 कुछ विशिष्ट प्रवाहों के लिए स्ट्रीमलाइन दिखाता है। उदाहरण के लिए, चित्र 9.8(ए) एक लैमिनार प्रवाह का वर्णन करता है जहाँ द्रव में विभिन्न बिंदुओं पर वेगों की परिमाण भिन्न हो सकते हैं, परंतु उनकी दिशाएँ समानांतर होती हैं। चित्र 9.8(ब) एक अशांत प्रवाह की रूपरेखा प्रस्तुत करता है।

चित्र 9.8 (ए) द्रव प्रवाह के लिए कुछ स्ट्रीमलाइन।
(ब) हवा की एक धारा जो तिर्यक रखी गई समतल प्लेट से टकराती है। यह अशांत प्रवाह का एक उदाहरण है।

9.4 बर्नौली का सिद्धांत

द्रव प्रवाह एक जटिल घटना है। परंतु हम ऊर्जा के संरक्षण का उपयोग करते हुए स्थिर या स्ट्रीमलाइन प्रवाहों के लिए कुछ उपयोगी गुण प्राप्त कर सकते हैं।

एक ऐसे पाइप में द्रव को विचारें जिसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बदलता है। मान लीजिए पाइप विभिन्न ऊँचाइयों पर है जैसा कि चित्र 9.9 में दिखाया गया है। हम अब मानते हैं कि एक असंपीड्य द्रव पाइप से स्थिर प्रवाह में बह रहा है। संविरति समीकरण के परिणामस्वरूप इसका वेग बदलना चाहिए। इस त्वरण को उत्पन्न करने के लिए एक बल आवश्यक है, जो इसे घेरे हुए द्रव द्वारा लगाया जाता है, इसलिए विभिन्न क्षेत्रों में दाब भिन्न होना चाहिए। बर्नौली समीकरण एक सामान्य व्यंजक है जो पाइप के दो बिंदुओं के बीच दाब अंतर को वेग परिवर्तनों (गतिज ऊर्जा परिवर्तन) और ऊँचाई परिवर्तनों (स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन) दोनों से संबद्ध करता है। स्विस भौतिकशास्त्री डैनियल बर्नौली ने 1738 में इस संबंध को विकसित किया।

दो क्षेत्रों 1 (अर्थात् BC) और 2 (अर्थात् DE) में प्रवाह पर विचार करें। मान लीजिए कि प्रारंभ में द्रव B और D के बीच स्थित है। एक अत्यल्प समय अंतराल Δt में यह द्रव आगे बढ़ गया होता। मान लीजिए B पर वेग v₁ है और D पर v₂ है, तो प्रारंभ में B पर स्थित द्रव v₁ Δt दूरी तय कर C तक पहुँचता है (v₁ Δt इतना छोटा है कि BC के अनुदेश अच्छर-परिच्छेद नियत माना जा सकता है)। उसी अंतराल Δt में प्रारंभ में D पर स्थित द्रव E तक जाता है, जिसकी दूरी v₂ Δt है। दाब P₁ और P₂ चित्रानुसार क्षेत्रफल A₁ और A₂ वाले समतल पृष्ठों पर कार्यरत हैं जो दोनों क्षेत्रों को सीमित करते हैं। बाएँ सिरे (BC) पर द्रव पर किया गया कार्य W₁ = P₁ A₁ (v₁ Δt) = P₁ ΔV है। चूँकि समान आयतन ΔV दोनों क्षेत्रों से गुजरता है (संततता समीकरण से), दूसरे सिरे (DE) पर द्रव द्वारा किया गया कार्य W₂ = P₂ A₂ (v₂ Δt) = P₂ ΔV है, अथवा द्रव पर किया गया कार्य −P₂ ΔV है। इसलिए द्रव पर कुल किया गया कार्य

$$ W_{1}-W_{2}=\left(P_{1}-P_{2}\right) \Delta V $$

इस कार्य का एक भाग द्रव की गतिज ऊर्जा को बदलने में जाता है, और एक भाग गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा को बदलने में जाता है। यदि द्रव का घनत्व $\rho$ है और $\Delta m=\rho A_{1} v_{1} \Delta t=\rho \Delta V$ समय $\Delta t$ में पाइप से गुजरने वाला द्रव्यमान है, तो गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन

$$ \Delta U=\rho g \Delta V\left(h_{2}-h_{1}\right) $$

इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

$$ \Delta K=\frac{1}{2} \quad \rho \Delta V\left(V_{2}^{2}-V_{1}^{2}\right) $$

हम इस द्रव के आयतन पर कार्य-ऊर्जा प्रमेय (अध्याय 6) लागू कर सकते हैं और यह देता है

$$ \left(P_{1}-P_{2}\right) \Delta V=\frac{1}{2} \rho \Delta V\left(v_{2}^{2}-V_{1}^{2}\right)+\rho g \Delta \mathrm{V}\left(h_{2}-h_{1}\right) $$

अब हम प्रत्येक पद को $\Delta V$ से विभाजित करते हैं

$$ \left(P_{1}-P_{2}\right)=\frac{1}{2} \rho\left(V_{2}^{2}-V_{1}^{2}\right)+\rho g\left(h_{2}-h_{1}\right) $$

हम उपरोक्त पदों को पुनः व्यवस्थित कर सकते हैं

$$ \begin{equation*} P_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}+\rho g h_{1}=P_{2}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}+\rho g h_{2} \tag{9.12} \end{equation*} $$

यह बर्नौली का समीकरण है। चूंकि 1 और 2 पाइपलाइन के किन्हीं दो स्थानों को संदर्भित करते हैं, हम इस अभिव्यक्ति को सामान्य रूप में लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} P+\left(\frac{1}{2}\right) \rho v^{2}+\rho g h=\text { नियतांक } \tag{9.13} \end{equation*} $$

आकृति 9.9 परिवर्ती अनुप्रस्थ काट वाले नलिका में एक आदर्श द्रव का प्रवाह। लंबाई v1 ∆t वाले खंड में स्थित द्रव समय ∆t में लंबाई v2 ∆t वाले खंड तक पहुँच जाता है।

शब्दों में, बर्नौली के संबंध को इस प्रकार कहा जा सकता है: जब हम एक स्ट्रीमलाइन के साथ आगे बढ़ते हैं, तो दाब (P), प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $\frac{\rho v^{2}}{2}$ और प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा ($\rho g h$) का योग अचर बना रहता है।

ध्यान दें कि ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करते समय यह मान लिया जाता है कि घर्षण के कारण कोई ऊर्जा नष्ट नहीं होती। लेकिन वास्तव में, जब द्रव बहते हैं, तो कुछ ऊर्जा आंतरिक घर्षण के कारण नष्ट हो जाती है। यह इस तथ्य के कारण होता है कि द्रव प्रवाह में द्रव की विभिन्न परतें विभिन्न वेगों से बहती हैं। ये परतें एक-दूसरे पर घर्षण बल लगाती हैं जिससे ऊर्जा की हानि होती है। द्रव की यह संपत्ति श्यानता कहलाती है और इस पर बाद के अनुभाग में विस्तार से चर्चा की गई है। द्रव की जो गतिज ऊर्जा नष्ट होती है वह ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इस प्रकार, बर्नौली समीकरण आदर्श रूप से उन द्रवों पर लागू होता है जिनकी श्यानता शून्य होती है या अश्यान द्रव। बर्नौली प्रमेय के प्रयोग पर एक अन्य प्रतिबंध यह है कि द्रव असंपीड्य होने चाहिए, क्योंकि द्रव की प्रत्यास्थ ऊर्जा को भी ध्यान में नहीं रखा गया है। व्यवहार में इसके बहुत सारे उपयोगी अनुप्रयोग हैं और यह कम श्यानता वाले असंपीड्य द्रवों के लिए विविध प्रकार की घटनाओं को समझाने में सहायक होता है। बर्नौली समीकरण अस्थिर या अशांत प्रवाहों के लिए भी लागू नहीं होता, क्योंकि उस स्थिति में वेग और दाब समय के साथ निरंतर उतार-चढ़ाव करते रहते हैं।

जब कोई द्रव विराम में हो, अर्थात् इसका वेग हर जगह शून्य हो, तब बर्नौली समीकरण बन जाता है

$$ \begin{aligned} & P_{1}+\rho g h_{1}=P_{2}+\rho g h_{2} \\ & \left(P_{1}-P_{2}\right)=\rho g\left(h_{2}-h_{1}\right) \end{aligned} $$

जो कि समी. (9.6) के समान है।

9.4.1 निःसृत वेग: टॉरिसेली का नियम

शब्द ‘एफ्लक्स’ का अर्थ है द्रव का बहिर्वाह। टॉरिसेली ने खोज की कि एक खुले टैंक से बहिर्वाह की गति उस सूत्र द्वारा दी जाती है जो एक स्वतंत्र रूप से गिरते पिंड के समान होता है। एक टैंक पर विचार करें जिसमें घनत्व $\rho$ का द्रव है और उसकी एक तरफ तल से ऊँचाई $y_1$ पर एक छोटा छिद्र है (देखें चित्र 9.10)। द्रव के ऊपर वायु, जिसकी सतह ऊँचाई $y_2$ पर है, दाब $P$ पर है। निरंतरता के समीकरण [समी. (9.10)] से हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & v _{1} A _{1}=v _{2} A _{2} \\ & v _{2}=\frac{A _{1}}{A _{2}} v _{1} \end{aligned} $$

चित्र 9.10 टॉरिसेली का नियम। बाहर निकलने की गति, v1 , पात्र की तरफ से बर्नौली के समीकरण के प्रयोग द्वारा दी जाती है। यदि पात्र ऊपर से वायुमंडल के लिए खुला है तो 1 v g 2 h = .

यदि टैंक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_{2}$ छिद्र के क्षेत्रफल से बहुत बड़ा है $\left(A_{2} > > A_{1}\right)$, तो हम द्रव को ऊपर लगभग विराम पर मान सकते हैं, अर्थात् $v_{2}=0$। अब, बिंदुओं 1 और 2 पर बर्नौली समीकरण लगाते हुए और यह नोट करते हुए कि छिद्र पर $P_{1}=P_{a}$, वायुमंडलीय दाब, हमें समी. (9.12) से प्राप्त होता है

$$ \begin{align*} & P _{a}+\frac{1}{2} \rho v _{1}^{2}+\rho g y _{1}=P+\rho g y _{2} \\ & \text { लेते हुए }y _{2}-y _{1}=h \\ & v _{1}=\sqrt{2 g h+\frac{2\left(P-P _{a}\right)}{\rho}} \tag{9.14} \end{align*} $$

जब $P > > P_{a}$ और $2 g h$ को नज़रअंदाज़ किया जा सकता है, तो निकास की गति कंटेनर के दबाव द्वारा निर्धारित होती है। ऐसी स्थिति रॉकेट प्रोपल्शन में होती है। दूसरी ओर, यदि टैंक वायुमंडल के लिए खुला है, तो $P=P_{a}$ और

$$ \begin{equation*} v_{1}=\sqrt{2 g h} \tag{9.15} \end{equation*} $$

यह एक स्वतंत्र रूप से गिरते हुए पिंड की गति भी है। समीकरण (9.15) टॉरिसेली का नियम दर्शाता है।

9.4.2 गतिज उत्थान

गतिज उत्थान वह बल है जो किसी पिंड पर, जैसे कि हवाई जहाज़ की पंख, हाइड्रोफॉयल या घूर्णी गेंद, किसी द्रव के माध्यम से गति करने के कारण कार्य करता है। कई खेलों जैसे क्रिकेट, टेनिस, बेसबॉल या गोल्फ़ में हम देखते हैं कि एक घूर्णी गेंद हवा में चलते समय अपने परवलयिक पथ से विचलित हो जाती है। इस विचलन को आंशिक रूप से बर्नौली के सिद्धांत के आधार पर समझाया जा सकता है।

(i) बिना घूर्णन गेंद: चित्र 9.11(a) एक बिना घूर्णन वाली गेंद के चारों ओर की स्ट्रीमलाइन दिखाता है जो द्रव के सापेक्ष चल रही है। स्ट्रीमलाइन की समरूपता से यह स्पष्ट है कि गेंद के ऊपर और नीचे संगत बिंदुओं पर द्रव (हवा) का वेग समान है, जिससे दबाव अंतर शून्य होता है। इसलिए हवा गेंद पर कोई ऊपर या नीचे की ओर बल नहीं लगाती।

(ii) घूर्णन के साथ गेंद: एक गेंद जो घूर्णन कर रही है, वायु को अपने साथ खींचती है। यदि सतह खुरदरी हो तो अधिक वायु खींची जाती है। आकृति 9.11(b) एक ऐसी गेंद के लिए वायु की स्ट्रीमलाइन दिखाती है जो एक साथ गति और घूर्णन कर रही है। गेंद आगे बढ़ रही है और इसके सापेक्ष वायु पीछे की ओर गति कर रही है। इसलिए, गेंद के ऊपर वायु का वेग गेंद के सापेक्ष अधिक है और नीचे कम है (अनुभाग 9.3 देखें)। इस प्रकार, स्ट्रीमलाइन ऊपर अधिक घनीभूत हो जाती हैं और नीचे विरल।

वायु के वेगों में यह अंतर निचले और ऊपरी पृष्ठों के बीच दाब अंतर का कारण बनता है और गेंद पर एक उर्ध्वाधर बल कार्य करता है। घूर्णन के कारण यह गतिशील उत्थान बल मैग्नस प्रभाव कहलाता है।

एरोफॉइल या वायुयान के पंख पर उत्थान: आकृति 9.11(c) एक एरोफॉइल दिखाती है, जो एक ठोस टुकड़ा है जिसे इस प्रकार आकार दिया गया है कि जब यह क्षैतिज रूप से वायु में गति करता है तो एक उर्ध्वाधर गतिशील उत्थान प्रदान करता है। एक वायुयान के पंखों का अनुप्रस्थ काट आकृति 9.11(c) में दिखाए गए एरोफॉइल जैसा दिखता है जिसके चारों ओर स्ट्रीमलाइन हैं। जब एरोफॉइल हवा के विरुद्ध गति करता है, तो प्रवाह दिशा के सापेक्ष पंख की अभिविन्यासता के कारण पंख के ऊपर स्ट्रीमलाइन नीचे की तुलना में अधिक घनीभूत हो जाती हैं। ऊपर प्रवाह की गति नीचे की तुलना में अधिक होती है। इससे एक उर्ध्वाधर बल उत्पन्न होता है जिससे पंखों को गतिशील उत्थान मिलता है और यह वायुयान के भार को संतुलित करता है। निम्न उदाहरण इसे दर्शाता है।

आकृति 9.11 (a) एक स्थिर गोले के पास बहता हुआ द्रव। (b) घड़ी की सुई की दिशा में घूर्णन करते गोले के चारों ओर द्रव की स्ट्रीमलाइनें। (c) एक एयरफॉइल के पास बहता हुआ वायु।

उदाहरण 9.7 एक पूरी तरह से लोड किया गया बोइंग विमान का द्रव्यमान 3.3 × 10⁵ kg है। इसके पंखों का कुल क्षेत्रफल 500 m² है। यह 960 km/h की गति से क्षैतिज उड़ान भर रहा है। (a) पंखों की निचली और ऊपरी सतहों के बीच दाब अंतर का आकलन कीजिए। (b) पंख की ऊपरी सतह पर निचली सतह की तुलना में वायु की गति की अंशद्वारा वृद्धि का आकलन कीजिए। [वायु का घनत्व ρ = 1.2 kg m⁻³ है]

उत्तर (a) बोइंग विमान का भार दाब अंतर के कारण ऊपर की ओर लगने वाले बल से संतुलित है।

$$ \begin{aligned} \Delta P \times A & = 3.3 \times 10^{5}\ \text{kg} \times 9.8 \ \Delta P & = (3.3 \times 10^{5}\ \text{kg} \times 9.8\ \text{m s}^{-2}) / 500\ \text{m}^{2} \ & = 6.5 \times 10^{3}\ \text{N m}^{-2} \end{aligned} $$

(b) हम समीकरण (9.12) में ऊपरी और निचली सतहों के बीच की छोटी ऊँचाई के अंतर को नज़रअंदाज़ करते हैं। उनके बीच का दाब अंतर तब

$$ \Delta P = \frac{\rho}{2}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}) $$

जहाँ (v_{2}) ऊपरी सतह के ऊपर वायु की चाल है और (v_{1}) निचली सतह के नीचे की चाल है।

$$ \left(v_{2}-v_{1}\right)=\frac{2 \Delta P}{\rho\left(v_{2}+v_{1}\right)} $$

औसत चाल लेते हुए

$$ v _{\mathrm{av}}=\left(v _{2}+v _{1}\right) / 2=960 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=267 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$$\left(v_{2}-v_{1}\right) / v_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta P}{\rho v_{\mathrm{av}}^{2}} \approx 0.08$$

पंख के ऊपर चाल को नीचे की चाल से केवल 8 $%$ अधिक होने की आवश्यकता है।

9.5 श्यानता

अधिकांश द्रव आदर्श नहीं होते और गति में कुछ प्रतिरोध प्रस्तुत करते हैं। द्रव गति में यह प्रतिरोध आंतरिक घर्षण के समान होता है, जैसे कोई ठोस सतह पर खिसकता है। इसे श्यानता (viscosity) कहते हैं। यह बल तब उत्पन्न होता है जब द्रव की परतों के बीच सापेक्ष गति होती है। मान लीजिए हम तेल जैसे द्रव पर विचार करते हैं जो दो काँच की प्लेटों के बीच बंद है जैसा कि चित्र 9.12 (a) में दिखाया गया है। निचली प्लेट स्थिर है जबकि ऊपरी प्लेट स्थिर प्लेट के सापेक्ष नियत वेग $\mathbf{v}$ से चलाई जाती है। यदि तेल की जगह शहद रखा जाए, तो उसी वेग से प्लेट चलाने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है। इसलिए हम कहते हैं कि शहद तेल की तुलना में अधिक श्यान है। किसी सतह के संपर्क में आने वाला द्रव उसी वेग से चलता है जिससे सतह चल रही है। इसलिए, ऊपरी सतह के संपर्क में आने वाली द्रव की परत वेग $\mathbf{v}$ से चलती है और स्थिर सतह के संपर्क में आने वाली परत स्थिर रहती है। परतों के वेग निचले भाग से (शून्य वेग) ऊपरी परत तक (वेग v) समान रूप से बढ़ते हैं। किसी द्रव की परत के लिए, उसकी ऊपरी परत उसे आगे खींचती है जबकि निचली परत पीछे खींचती है। इससे परतों के बीच बल उत्पन्न होता है। इस प्रकार के प्रवाह को स्तरीय (laminar) प्रवाह कहा जाता है। द्रव की परतें एक-दूसरे पर फिसलती हैं जैसे किसी किताब के पृष्ठ तब फिसलते हैं जब उसे मेज़ पर सपाट रखा जाता है और ऊपरी आवरण पर क्षैतिज बल लगाया जाता है। जब कोई द्रव किसी नली या ट्यूब में बह रहा होता है, तो ट्यूब की अक्ष के अनुदर द्रव परत का वेग अधिकतम होता है और दीवारों की ओर बढ़ने पर धीरे-धीरे घटता है जहाँ यह शून्य हो जाता है, चित्र 9.12 (b)। ट्यूब में बेलनाकार सतह पर वेग नियत रहता है।

आकृति 9.12 (a) दो समानांतर काँच की प्लेटों के बीच दबा हुआ द्रव की एक परत, जिसमें निचली प्लेट स्थिर है और ऊपरी प्लेट वेग v से दाएँ चल रही है (b) एक नलिका में श्यान प्रवाह के लिए वेग वितरण.

इस गति के कारण, द्रव का एक भाग, जो किसी क्षण आकृति $A B C D$ रखता है, समय के एक लघु अंतराल $(\Delta t)$ के बाद AEFD आकृति ग्रहण कर लेता है। इस समय अंतराल के दौरान द्रव एक अपरूपण विकृति $\Delta x / 1$ से गुजरा है। चूँकि प्रवाहित द्रव में समय के साथ विकृति निरंतर बढ़ती है। एक ठोस के विपरीत, यहाँ प्रयोगात्मक रूप से पाया गया है कि प्रतिबल ‘विकृति के परिवर्तन की दर’ या ‘विकृति दर’ अर्थात् $\Delta x /(1 \Delta t)$ या $v / 1$ पर निर्भर करता है, न कि स्वयं विकृति पर। किसी द्रव के लिए श्यानता गुणांक (उच्चारण ‘एटा’) अपरूपण प्रतिबल और विकृति दर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ \begin{equation*} \eta=\frac{F / A}{v / l}=\frac{F l}{v A} \tag{9.16} \end{equation*} $$

द्रव्यमान की एसआई इकाई प्वाज़ैल (Pl) है। इसकी अन्य इकाइयाँ $\mathrm{N} \mathrm{s} \mathrm{m}^{-2}$ या $\mathrm{Pa} \mathrm{s}$ हैं। द्रव्यमान के आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-1}\right]$ हैं। आमतौर पर पतले द्रव, जैसे पानी, अल्कोहल आदि, गाढ़े द्रवों, जैसे कोलतार, रक्त, ग्लिसरिन आदि की तुलना में कम श्यान होते हैं। कुछ सामान्य द्रवों के श्यानता गुणांक सारणी 9.2 में सूचीबद्ध हैं। हम रक्त और पानी के बारे में दो तथ्यों की ओर ध्यान दिलाते हैं जो आपको रोचक लग सकते हैं। जैसा कि सारणी 9.2 दर्शाती है, रक्त पानी की तुलना में ‘गाढ़ा’ (अधिक श्यान) होता है। इसके अतिरिक्त, रक्त की सापेक्ष श्यानता $\left(\eta / \eta_{\text {water }}\right)$ $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ और $37{ }^{\circ} \mathrm{C}$ के बीच स्थिर रहती है।

चित्र 9.13 द्रव के श्यानता गुणांक का मापन

द्रवों की श्यानता तापमान के साथ घटती है, जबकि गैसों के मामले में यह बढ़ती है।

उदाहरण 9.8 0.10 m² क्षेत्रफल का एक धातु ब्लॉक एक 0.010 kg द्रव्यमान से एक डोरी द्वारा जुड़ा है जो एक आदर्श पुल्ली (द्रव्यमानहीन और घर्षणरहित मानी जाती है) पर से गुजरती है, जैसा कि चित्र 9.13 में दिखाया गया है। ब्लॉक और मेज़ के बीच 0.30 mm मोटाई की एक तरल परत रखी जाती है। जब छोड़ा जाता है, ब्लॉक 0.085 m s⁻¹ की स्थिर चाल से दाईं ओर चलता है। तरल की श्यानता गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर धातु ब्लॉक डोरी में तनाव के कारण दाईं ओर चलता है। तनाव T लटकते हुए द्रव्यमान m के भार के परिमाण में बराबर है। इस प्रकार, कतरनी बल F है

F = T = m g = 0.010 kg × 9.8 m s⁻² = 9.8 × 10⁻² N

तरल पर कतरनी प्रतिबल = F/A = (9.8 × 10⁻²)/(0.10) N/m²

विकृति दर = v/l = 0.085/(0.30 × 10⁻³)

η = प्रतिबल/विकृति दर
= (9.8 × 10⁻² N)(0.30 × 10⁻³ m)/(0.085 m s⁻¹)(0.10 m²)
= 3.46 × 10⁻³ Pa s

तालिका 9.2 कुछ तरलों की श्यानताएँ

9.5.1 स्टोक्स का नियम

जब कोई पिण्ड किसी द्रव के माध्यम से गिरता है तो वह अपने संपर्क में आने वाली द्रव की परत को अपने साथ खींचता है। द्रव की विभिन्न परतों के बीच एक सापेक्ष गति उत्पन्न हो जाती है और, परिणामस्वरूप, पिण्ड एक अवरोधक बल का अनुभव करता है। वर्षा की बूंद का गिरना और एक लोलक गोलक का दोलन ऐसी गति के कुछ सामान्य उदाहरण हैं। यह देखा गया है कि श्यान बल वस्तु के वेग के समानुपाती होता है और गति की दिशा के विपरीत होता है। अन्य मात्राएँ जिन पर बल $F$ निर्भर करता हैं वे हैं द्रव की श्यानता $\eta$ और गोले की त्रिज्या a। सर जॉर्ज जी. स्टोक्स (1819-1903), एक अंग्रेज वैज्ञानिक ने श्यान ड्रैग बल $F$ को स्पष्ट रूप से व्यक्त किया है

$$ \begin{equation*} F=6 \pi \eta a v \tag{9.17} \end{equation*} $$

इसे स्टोक्स का नियम कहा जाता है। हम स्टोक्स का नियम व्युत्पन्न नहीं करेंगे।

यह नियम वेग के समानुपाती एक रुकावट बल का रोचक उदाहरण है। हम इसके प्रभाव को किसी वस्तु के श्यान माध्यम से गिरने पर अध्ययन कर सकते हैं। हम एक वर्षा बूंद को हवा में लेते हैं। यह प्रारंभ में गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित होती है। जैसे-जैसे वेग बढ़ता है, रुकावट बल भी बढ़ता है। अंततः जब श्यान बल और उत्प्लावन बल मिलकर गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाते हैं, तो कुल बल शून्य हो जाता है और त्वरण भी शून्य हो जाता है। गोला (वर्षा बूंद) तब एक नियत वेग से गिरती है। इस प्रकार साम्यावस्था में यह अंतिम वेग (v_{t}) निम्नलिखित है

[ 6 \pi \eta a v_{\mathrm{t}}=(4 \pi / 3) a^{3}(\rho-\sigma) g ]

जहाँ (\rho) और (\sigma) क्रमशः गोले और द्रव के द्रव्यमान घनत्व हैं। हम प्राप्त करते हैं

[ \begin{equation*} v_{\mathrm{t}}=2 a^{2}(\rho-\sigma) g /(9 \eta) \tag{9.18} \end{equation*} ]

इस प्रकार अंतिम वेग (v_{\mathrm{t}}) गोले की त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती और माध्यम की श्यानता के व्युत्क्रमानुपाती होता है। आप इस संदर्भ में उदाहरण 6.2 को फिर से देखना चाहेंगे।

उदाहरण 9.9 ताँबे की एक गेंद जिसकी त्रिज्या (2.0 \mathrm{~mm}) है, का (20^{\circ} \mathrm{C}) पर तेल की टंकी में गिरने पर अंतिम वेग (6.5 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}) है। (20^{\circ} \mathrm{C}) पर तेल की श्यानता परिकलित कीजिए। तेल का घनत्व (1.5 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}) है, ताँबे का घनत्व (8.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}) है।

उत्तर हमारे पास $v_{\mathrm{t}}=6.5 \times 10^{-2} \mathrm{~ms}^{-1}, a=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$,

$g=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}, \rho=8.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$,

$\sigma=1.5 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। समीकरण (9.18) से

$$ \begin{aligned} \eta & =\frac{2}{9} \times \frac{\left(2 \times 10^{-3}\right)^{2} \mathrm{~m}^{2} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}}{6.5 \times 10^{-2} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}} \times 7.4 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \\ \\ & =9.9 \times 10^{-1} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

9.6 पृष्ठ तनाव

आपने देखा होगा कि तेल और पानी मिलते नहीं हैं; पानी आपको और मुझे गीला करता है लेकिन बत्तखों को नहीं; पारा काँच को गीला नहीं करता लेकिन पानी उससे चिपकता है, तेल रुई की बत्ती में गुरुत्वाकर्षण के बावजूद ऊपर चढ़ता है, पेड़ की पत्तियों के शीर्ष तक रस और पानी ऊपर चढ़ते हैं, पेंट ब्रश के बाल सूखे रहने पर और पानी में डुबोने पर भी एक साथ नहीं चिपकते लेकिन जब उसे बाहर निकाला जाता है तो एक पतली नोक बनाते हैं। ये सभी और ऐसे कई और अनुभव द्रवों की मुक्त सतहों से संबंधित हैं। चूँकि द्रवों का कोई निश्चित आकार नहीं होता है लेकिन एक निश्चित आयतन होता है, वे किसी बर्तन में डालने पर एक मुक्त सतह प्राप्त करते हैं। इन सतहों में कुछ अतिरिक्त ऊर्जा होती है। इस घटना को पृष्ठ तनाव कहा जाता है और यह केवल द्रवों से संबंधित है क्योंकि गैसों की कोई मुक्त सतह नहीं होती है। आइए अब हम इस घटना को समझें।

9.6.1 पृष्ठ ऊर्जा

एक द्रव अणुओं के बीच आकर्षण के कारण एक साथ बना रहता है। एक ऐसे अणु पर विचार कीजिए जो द्रव के अंदर गहराई में स्थित है। अंतर-अणु दूरियाँ ऐसी होती हैं कि वह चारों ओर के सभी अणुओं से आकर्षित होता है [चित्र 9.14(a)]। यह आकर्षण परिणामस्वरूप उस अणु के लिए एक ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा उत्पन्न करता है, जो चुने गए अणु के चारों ओर उपस्थित अणुओं की संख्या और वितरण पर निर्भर करती है। लेकिन सभी अणुओं की औसत स्थितिज ऊर्जा समान होती है। यह तथ्य इस बात से समर्थित है कि ऐसे अणुओं के समूह (द्रव) को लेकर और उन्हें एक-दूसरे से दूर-दूर तितर-बितर करने के लिए, जिससे कि वे वाष्पित या वाष्पीकृत हो सकें, आवश्यक वाष्पीकरण ऊष्मा काफी अधिक होती है। पानी के लिए यह लगभग $40 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$ के क्रम की होती है।

आइए एक अणु पर विचार करें जो सतह के पास है (चित्र 9.14(b))। इसके केवल निचले आधे भाग को ही द्रव अणुओं से घेरा गया है। इनके कारण इसकी कुछ ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा है, लेकिन स्पष्ट है कि यह आंतरिक, अर्थात् पूरी तरह भीतर स्थित किसी अणु की तुलना में कम है। लगभग यह आंतरिक अणु की आधी होती है। इस प्रकार, द्रव की सतह पर उपस्थित अणुओं की तुलना भीतरी अणुओं से कुछ अतिरिक्त ऊर्जा होती है। इसलिए द्रव बाह्य परिस्थितियों की अनुमति के अंतर्गत न्यूनतम सतह क्षेत्रफल रखने का प्रयास करता है। सतह क्षेत्रफल बढ़ाने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है। अधिकांश सतह-संबंधी घटनाओं को इस तथ्य के आधार पर समझा जा सकता है। किसी अणु को सतह पर रखने के लिए कितनी ऊर्जा चाहिए? जैसा ऊपर उल्लेखित है, लगभग यह उस ऊर्जा की आधी होती है जो उसे द्रव से पूरी तरह बाहर निकालने के लिए चाहिए, अर्थात् वाष्पन ऊष्मा की आधी।

अंततः, सतह क्या है? चूँकि द्रव में अणु गतिशील हैं, इसलिए कोई पूर्णतः तीव्र सतह नहीं हो सकती। जैसे ही हम चित्र 9.14(c) में दिखाए गए दिशा में आगे बढ़ते हैं, द्रव अणुओं की घनत्व $z=0$ के आसपास कुछ अणु-आकार की दूरी में तेजी से शून्य तक गिर जाती है।

आकृति 9.14 द्रव में अणुओं की सतह पर और बलों के सन्तुलन की आरेखीय तस्वीर। (क) द्रव के अन्दर एक अणु। अन्य अणुओं के कारण एक अणु पर बल दिखाए गए हैं। तीरों की दिशा आकर्षण या प्रतिकर्षण को दर्शाती है। (ख) वही, एक सतह पर स्थित अणु के लिए। (ग) आकर्षी (A) और प्रतिकर्षी (R) बलों का सन्तुलन।

9.6.2 सतही ऊर्जा और सतही तनाव

जैसा कि हमने चर्चा की है कि द्रवों की सतह से सम्बद्ध एक अतिरिक्त ऊर्जा होती है, सतह का और अधिक विस्तार (सतह का फैलाव) अन्य चीज़ों जैसे आयतन को स्थिर रखते हुए करने के लिए एक क्षैतिज द्रवीय फिल्म की आवश्यकता होती है जो समानान्तर गाइड्स पर फिसलने वाले एक स्वतंत्र बार पर समाप्त होती है आकृति (9.15)।

आकृति 9.15 एक फिल्म को खींचना। (क) सन्तुलन में एक फिल्म;

मान लीजिए हम बार को एक छोटी दूरी $d$ तक इस प्रकार खिसकाते हैं जैसा चित्र में दिखाया गया है। चूँकि सतह का क्षेत्रफल बढ़ गया है, इसलिए सिस्टम में अब अधिक ऊर्जा है, इसका अर्थ है कि किसी आंतरिक बल के विरुद्ध कुछ कार्य किया गया है। मान लीजिए यह आंतरिक बल $\mathbf{F}$ है, आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य F.d $=F d$ है। ऊर्जा के संरक्षण से, यह फिल्म में अतिरिक्त ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। यदि फिल्म की सतही ऊर्जा प्रति इकाई क्षेत्रफल $S$ है, तो अतिरिक्त क्षेत्रफल $2 d l$ है। एक फिल्म के दो पक्ष होते हैं और बीच में द्रव होता है, इसलिए दो सतहें होती हैं और अतिरिक्त ऊर्जा है

$$ \begin{align*} & S(2 d)=F d \tag{9.19}\\ & \text { अथवा, } S=F d / 2 d l=F / 21 \tag{9.20} \end{align*} $$

यह राशि $S$ पृष्ठ तनाव का परिमाण है। यह द्रव इंटरफेस के प्रति इकाई क्षेत्रफल की पृष्ठ ऊर्जा के बराबर है और साथ ही चलने योग्य बार पर द्रव द्वारा प्रति इकाई लंबाई लगाए गए बल के भी बराबर है।

अब तक हमने एक द्रव की सतह के बारे में बात की है। अधिक सामान्य रूप से, हमें उन द्रव सतहों पर विचार करना होता है जो अन्य द्रवों या ठोस सतहों के संपर्क में हैं। उस स्थित में पृष्ठ ऊर्जा सतह के दोनों ओर के पदार्थों पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, यदि पदार्थों के अणु एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं, तो पृष्ठ ऊर्जा घट जाती है, जबकि यदि वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं तो पृष्ठ ऊर्जा बढ़ जाती है। इस प्रकार, अधिक उपयुक्त रूप से, पृष्ठ ऊर्जा दो पदार्थों के बीच इंटरफेस की ऊर्जा होती है और यह दोनों पर निर्भर करती है।

हम ऊपर से निम्नलिखित प्रेक्षण करते हैं:

(i) पृष्ठ तनाव प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला एक बल है (या प्रति इकाई क्षेत्रफल की पृष्ठ ऊर्जा), जो द्रव और किसी अन्य पदार्थ के बीच इंटरफेस के समतल में कार्य करता है; यह अणुओं के उस अतिरिक्त ऊर्जा के समान भी है जो इंटरफेस पर स्थित अणु आंतरिक भाग में स्थित अणुओं की तुलना में रखते हैं।

(ii) इंटरफेस की सीमा के अलावा किसी भी बिंदु पर, हम एक रेखा खींच सकते हैं और कल्पना कर सकते हैं कि रेखा की प्रति इकाई लंबाई पर समान और विपरीत सतह तनाव बल $S$ रेखा के लंबवत, इंटरफेस के समतल में कार्यरत हैं। रेखा साम्यावस्था में है। अधिक विशिष्ट रूप से, सतह पर परमाणुओं या अणुओं की एक रेखा की कल्पना करें। बाईं ओर के परमाणु रेखा को अपनी ओर खींचते हैं; दाईं ओर के वे इसे अपनी ओर खींचते हैं! यह परमाणुओं की रेखा तनाव के अंतर्गत साम्यावस्था में है। यदि रेखा वास्तव में इंटरफेस के अंत को दर्शाती है, जैसा कि चित्र 9.14 (a) और (b) में है, तो केवल अंतर्गत दिशा में प्रति इकाई लंबाई $S$ बल कार्यरत है।

तालिका 9.3 विभिन्न द्रवों की सतह तनाव देती है। सतह तनाव का मान तापमान पर निर्भर करता है। चिपचिपाहट की तरह, द्रव की सतह तनाव आमतौर पर तापमान के साथ घटती है।

तालिका 9.3 कुछ द्रवों की सतह तनाव उन तापमानों पर जिन पर दर्शाए गए हैं, वाष्पीकरण की ऊष्माओं के साथ

एक द्रव किसी ठोस सतह से चिपक जाएगा यदि द्रव और ठोस के बीच की सतह ऊर्जा, ठोस-वायु और द्रव-वायु के बीच की सतह ऊर्जाओं के योग से कम हो। अब ठोस सतह और द्रव के बीच आकर्षण होता है। इसे प्रत्यक्ष रूप से प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है जैसा कि आकृति 9.16 में आरेखित है। एक समतल ऊध्र्वाधर काँच की प्लेट, जिसके नीचे किसी द्रव का बर्तन रखा गया है, तराजू का एक भाग बनाती है। प्लेट को दूसरी ओर वजनों से संतुलित किया जाता है, इसकी क्षैतिज किनारा ठीक पानी के ऊपर होता है। बर्तन को थोड़ा ऊपर उठाया जाता है जब तक कि द्रव काँच की प्लेट को छू न ले और सतह तनाव के कारण इसे थोड़ा नीचे खींचे। वजन तब तक बढ़ाए जाते हैं जब तक कि प्लेट पानी से ठीक ऊपर न हो जाए।

आकृति 9.16 सतह तनाव को मापना

मान लीजिए अतिरिक्त वजन जिसकी आवश्यकता है वह $W$ है। तब समीकरण 9.20 और वहाँ दी गई चर्चा से, द्रव-वायु सतह का सतह तनाव है

$$ \begin{equation*} S_{1 \mathrm{la}}=(\mathrm{W} / 2 \mathrm{l})=(\mathrm{mg} / 2 \mathrm{l}) \tag{9.21} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{m}$ अतिरिक्त द्रव्यमान है और $l$ प्लेट की किनारे की लंबाई है। उपसर्ग (la) इस तथ्य पर जोर देता है कि द्रव-वायु सतह तनाव शामिल है।

9.6.3 संपर्क कोण

दूसरी माध्यम के संपर्क तल के निकट द्रव की सतह सामान्यतः वक्र होती है। संपर्क बिंदु पर द्रव सतह के स्पर्शरेखा और ठोस सतह के बीच का कोण, जो द्रव के अंदर है, संपर्क कोण कहलाता है। इसे $\theta$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। यह विभिन्न द्रव-ठोस युगलों की सतहों पर भिन्न-भिन्न होता है। $\theta$ का मान निर्धारित करता है कि कोई द्रव ठोस सतह पर फैलेगा या उस पर बूंदें बनाएगा। उदाहरण के लिए, जल कमल के पत्ते पर बूंदें बनाता है जैसा कि चित्र 9.17 (a) में दिखाया गया है, जबकि यह एक स्वच्छ प्लास्टिक की प्लेट पर फैल जाता है जैसा कि चित्र 9.17 (b) में दिखाया गया है।

चित्र 9.17 अंतरापृष्ठीय तनावों के साथ जल बूंदों की विभिन्न आकृतियाँ (a) कमल के पत्ते पर (b) स्वच्छ प्लास्टिक की प्लेट पर।

हम तीनों अंतरापृष्ठों, द्रव-वायु, ठोस-वायु और ठोस-द्रव पर तीनों अंतरापृष्ठीय तनावों को विचार करते हैं, जिन्हें क्रमशः $S_{\mathrm{la}}$, $S_{\mathrm{sa}}$ और $S_{\mathrm{sl}}$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है जैसा कि चित्र 9.17 (a) और (b) में दिया गया है। संपर्क रेखा पर तीनों माध्यमों के बीच की पृष्ठ बलों का साम्य में होना चाहिए। चित्र 9.17 (b) से निम्न संबंध सरलता से व्युत्पन्न किया जाता है।

$$ \begin{equation*} S_{\mathrm{la}} \cos \theta+S_{\mathrm{sl}}=S_{\mathrm{sa}} \tag{9.22} \end{equation*} $$

संपर्क कोण एक अधिक कोण होता है यदि $S_{\mathrm{sl}}>S_{\mathrm{la}}$ जैसे कि पत्ती-जल अंतरापृष्ठ पर होता है, जबकि यह एक न्यून कोण होता है यदि $S_{\mathrm{sl}}<S_{\mathrm{la}}$ जैसे कि प्लास्टिक-जल अंतरापृष्ठ पर। जब $\theta$ एक अधिक कोण होता है तो द्रव के अणु स्वयं से अधिक मजबूती से आकर्षित होते हैं और ठोस के अणुओं से कमजोर रूप से, इसलिए द्रव-ठोस सतह बनाने में अधिक ऊर्जा खर्च होती है और द्रव ठोस को गीला नहीं करता। यही स्थिति मोमी या तैलीय सतह पर पानी और किसी भी सतह पर पारे के साथ होती है। दूसरी ओर, यदि द्रव के अणु ठोस के अणुओं से प्रबल रूप से आकर्षित होते हैं, तो इससे $S_{\mathrm{sl}}$ घटेगा और इसलिए $\cos \theta$ बढ़ सकता है या $\theta$ घट सकता है। इस स्थिति में $\theta$ एक न्यून कोण होता है। यही काँच या प्लास्टिक पर पानी और लगभग किसी भी वस्तु पर मिट्टी के तेल (यह फैल जाता है) के साथ होता है। साबुन, डिटर्जेंट और रंगने वाले पदार्थ गीला बनाने वाले एजेंट होते हैं। जब इन्हें मिलाया जाता है तो संपर्क कोण छोटा हो जाता है ताकि ये अच्छी तरह से प्रवेश कर सकें और प्रभावी हो सकें। दूसरी ओर, जलरोधी एजेंटों को इसलिए मिलाया जाता है ताकि पानी और रेशों के बीच संपर्क कोण बड़ा हो जाए।

9.6.4 बूंदें और बुलबुले

पृष्ठ तनाव का एक परिणाम यह है कि मुक्त तरल बूंदें और बुलबुले गोलाकार होते हैं यदि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नज़रअंदाज़ किया जा सके। आपने यह विशेष रूप से स्पष्ट रूप से उच्च-गति वाली स्प्रे या जेट में बनी छोटी बूंदों में और बचपन में हम में से अधिकांश द्वारा फुलाए गए साबुन के बुलबुलों में देखा होगा। बूंदें और बुलबुले गोलाकार क्यों होते हैं? साबुन के बुलबुले स्थिर क्यों रहते हैं?

जैसा हम बार-बार कह चुके हैं, एक तरल-हवा इंटरफेस में ऊर्जा होती है, इसलिए एक दिए गए आयतन के लिए वह सतह न्यूनतम ऊर्जा वाली होती है जिसका क्षेत्रफल सबसे कम हो। गोले के पास यह गुण होता है। यद्यपि यह इस पुस्तक की सीमा से बाहर है, लेकिन आप यह जांच सकते हैं कि इस दृष्टि से गोला कम से कम एक घन से बेहतर है! इसलिए, यदि गुरुत्वाकर्षण और अन्य बल (जैसे वायु प्रतिरोध) अप्रभावी होते, तो तरल बूंदें गोलाकार होतीं।

पृष्ठ तनाव का एक अन्य रोचक परिणाम यह है कि एक गोलाकार बूंद के अंदर का दबाव चित्र 9.18(a) बाहर के दबाव से अधिक होता है। मान लीजिए त्रिज्या $r$ की एक गोलाकार बूंद साम्यावस्था में है। यदि इसकी त्रिज्या $\Delta r$ से बढ़ जाए। अतिरिक्त सतह ऊर्जा है

$$ \begin{equation*} \left[4 \pi(r+\Delta r)^{2}-4 \pi r^{2}\right] S_{1 \mathrm{a}}=8 \pi r \Delta r S_{\mathrm{la}} \tag{9.23} \end{equation*} $$

यदि बूंद साम्यावस्था में है तो इस ऊर्जा-लागत का संतुलन बुलबुले के अंदर और बाहर के बीच दबाव अंतर $\left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right)$ के अंतर्गत विस्तार के कारण ऊर्जा-लाभ से होता है। किया गया कार्य है

$$ \begin{equation*} W=\left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right) 4 \pi r^{2} \Delta r \tag{9.24} \end{equation*} $$

ताकि

$$ \begin{equation*} \left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right)=\left(2 S_{\mathrm{la}} / r\right) \tag{9.25} \end{equation*} $$

सामान्यतः, किसी द्रव-गैस सीमा के लिए उत्तल पार्श्व अवतल पार्श्व की तुलना में उच्च दाब रखता है। उदाहरण के लिए, किसी द्रव में स्थित वायु बुलबुले का आंतरिक दाब बाहरी दाब से अधिक होता है। देखें चित्र 9.18 (b)

चित्र 9.18 त्रिज्या r का बूंद, गुहिका और बुलबुला

एक बुलबुला चित्र 9.18 (c) बूंद और गुहिका से इस प्रकार भिन्न होता है कि इसमें दो सीमाएँ होती हैं। उपर्युक्त तर्क लागू करने पर बुलबुले के लिए

$$ \begin{equation*} \left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right)=\left(4 S_{\mathrm{la}} / r\right) \tag{9.26} \end{equation*} $$

शायद यही कारण है कि साबुन का बुलबुला बनाने के लिए आपको ज़ोर से, पर अत्यधिक नहीं, फूंकना पड़ता है। इसके अंदर थोड़ा अतिरिक्त वायु दाब आवश्यक होता है!

9.6.5 केशिका उन्नयन

एक वक्र तरल-वायु अंतरापृष्ठ पर दबाव अंतर का एक परिणाम यह प्रसिद्ध प्रभाव है कि पानी संकीर्ण नली में गुरुत्वाकर्षण के बावजूद ऊपर चढ़ जाता है। लैटिन में ‘कैपिला’ शब्द का अर्थ होता है बाल; यदि नली बाल जितनी पतली हो, तो चढ़ाव बहुत अधिक होगा। इसे देखने के लिए, एक ऊध्र्वाधर केशिका नली (त्रिज्या a) को एक खुले पानी के बर्तन में डाला गया है (चित्र 9.19)। पानी और काँच के बीच संपर्क कोण न्यून कोण होता है। इस प्रकार केशिका में पानी की सतह अवतल होती है। इसका अर्थ है कि ऊपरी सतह के दोनों ओर दबाव अंतर होता है। यह इस प्रकार दिया गया है

$$ \begin{align*} & \left(P_{i}-P_{o}\right)=(2 S / r)=2 S /(a \sec \theta) \\ & =(2 S / a) \cos \theta \tag{9.27} \end{align*} $$

इस प्रकार नली के अंदर, मेनिस्कस (वायु-जल अंतरापृष्ठ) पर पानी का दबाव वायुमंडलीय दबाव से कम होता है। चित्र 9.19(a) में बिंदु A और B पर विचार करें। इन दोनों का दबाव समान होना चाहिए, अर्थात्

$$ \begin{equation*} P_{O}+h \rho g=P_{i}=P_{A} \tag{9.28} \end{equation*} $$

जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है और h को केशिका चढ़ाव कहा जाता है [चित्र 9.19(a)]। समीकरण (9.27) और (9.28) का उपयोग करने पर हमें मिलता है

$$ \begin{equation*} h \rho g=\left(P_{i}-P_{o}\right)=(2 S \cos \theta) / a \tag{9.29} \end{equation*} $$

यहाँ की चर्चा, और समीकरण (9.24) और (9.25) यह स्पष्ट करते हैं कि केशिकीय उठाव सतह तनाव के कारण होता है। यह छोटे a के लिए अधिक होता है। आमतौर पर यह बारीक केशिकाओं के लिए कुछ cm के क्रम का होता है। उदाहरण के लिए, यदि $a=0.05 \mathrm{~cm}$ है, पानी के सतह तनाव के मान (तालिका 9.3) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि

$$ \begin{aligned} h & =2 S /(\rho g a) \ & =\frac{2 \times\left(0.073 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}\right)}{\left(10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}\right)\left(9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right)\left(5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}\right)} \ & =2.98 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=2.98 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि यदि द्रव मेनिस्कस उत्तल है, जैसे पारे के लिए, अर्थात् यदि $\cos \theta$ ऋणात्मक है तो उदाहरण के लिए समीकरण (9.28) से यह स्पष्ट है कि द्रव केशिका में नीचे होगा!

उदाहरण 9.10 एक केशिका नली जिसका व्यास 2.00 mm है, उसके निचले सिरे को एक बीकर में पानी की सतह से 8.00 cm नीचे डुबोया गया है। नली के अंदर ऐसा दबाव डालना होगा कि इसके सिरे पर पानी के अंदर एक अर्धगोलीय बुलबुला बन सके। प्रयोग के समय पानी की पृष्ठ तनाव 7.30 × 10⁻² N m⁻¹ है। 1 वायुमंडलीय दबाव = 1.01 × 10⁵ Pa, पानी का घनत्व = 1000 kg m⁻³, g = 9.80 m s⁻²। अतिरिक्त दबाव भी परिकलित कीजिए।

उत्तर किसी द्रव में गैस के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव 2S/r होता है, जहाँ S द्रव-गैस सतह का पृष्ठ तनाव है। ध्यान दें कि यहाँ केवल एक ही द्रव सतह है। (यदि गैस में द्रव का बुलबुला होता है, तो दो द्रव सतहें होती हैं, इसलिए उस स्थिति में अतिरिक्त दबाव 4S/r होता है।) बुलबुले की त्रिज्या r है। अब बुलबुले के बाहर का दबाव P₀ वायुमंडलीय दबाव और 8.00 cm पानी के स्तंभ के कारण दबाव के योग के बराबर है, अर्थात्

P₀ = 1.01 × 10⁵ Pa + 0.08 m × 1000 kg m⁻³ × 9.80 m s⁻²
= 1.01784 × 10⁵ Pa

इसलिए बुलबुले के अंदर का दबाव

$$ \begin{aligned} P_{\mathrm{i}}=P_{\mathrm{o}}+2 S / r \\ & =1.01784 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}+\left(2 \times 7.3 \times 10^{-2} \mathrm{~Pa} \mathrm{~m} / 10^{-3} \mathrm{~m}\right) \\ & =(1.01784+0.00146) \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \\ & =1.02 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \end{aligned} $$

जहाँ बुलबुले की त्रिज्या को केशिका नली की त्रिज्या के बराबर माना गया है, क्योंकि बुलबुला अर्धगोलाकार है! (उत्तर को तीन महत्वपूर्ण अंकों तक सीमित किया गया है।) बुलबुले में अतिरिक्त दाब $146 \mathrm{~Pa}$ है।

सारांश

1. द्रव का मूलभूत गुण यह है कि यह बह सकता है। द्रव में अपने आकार को बदलने का कोई प्रतिरोध नहीं होता है। इस प्रकार, द्रव का आकर उसके पात्र के आकार द्वारा नियंत्रित होता है।

2. एक द्रव असंपीड्य होता है और इसका अपना एक मुक्त सतह होती है। एक गैस संपीड्य होती है और यह उपलब्ध सभी स्थान को घेर लेती है।

3. यदि $F$ वह अभिलंब बल है जो द्रव किसी क्षेत्रफल $A$ पर आरोपित करता है, तो औसत दाब $P_{\text {av }}$ को बल और क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है

$$ P_{a v}=\frac{F}{A} $$

4. दाब की इकाई पास्कल (Pa) है। यह $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ के समान है। दाब की अन्य सामान्य इकाइयाँ हैं

$1 \mathrm{~atm}=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$1 \mathrm{bar}=10^{5} \mathrm{~Pa}$

1 टॉर = $133 \mathrm{~Pa}=0.133 \mathrm{kPa}$

$1 \mathrm{~mm}$ पारे का = 1 टॉर = $133 \mathrm{~Pa}$

5. पास्कल का नियम कहता है: एक स्थिर द्रव में दबाव सभी बिंदुओं पर समान होता है जो एक ही ऊँचाई पर हैं। एक बंद द्रव पर लगाए गए दबाव में हुआ परिवर्तन बिना किसी कमी के द्रव के प्रत्येक बिंदु और धारक बर्तन की दीवारों तक पहुँचता है।

6. एक द्रव में दबाव गहराई $\mathrm{h}$ के साथ इस व्यंजक के अनुसार बदलता है $P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$ जहाँ $\rho$ द्रव का घनत्व है, जिसे एकसमान माना गया है।

7. एक असमान अनुप्रस्थ काट वाले नलिका में अपरिवर्तनीय द्रव का आयतन, जो प्रत्येक सेकंड में किसी बिंदु से गुजरता है, स्थिर प्रवाह में समान होता है।

$v A=$ नियतांक ($v$ वेग है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है)

यह समीकरण अपरिवर्तनीय द्रव प्रवाह में द्रव्यमान संरक्षण के कारण है।

8. बर्नौली का सिद्धांत कहता है कि जब हम एक स्ट्रीमलाइन के साथ आगे बढ़ते हैं, तो दबाव $(P)$, प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $\left(\rho v^{2} / 2\right)$ और प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा ($\rho g y$) का योग नियतांक बना रहता है।

$P+\rho v^{2} / 2+\rho g y=$ नियतांक

यह समीकरण मूलतः स्थिर अवस्था में अनाविष्ट द्रव गति पर लागू ऊर्जा संरक्षण है। कोई भी द्रव शून्य श्यानता नहीं रखता, इसलिए उपरोक्त कथन केवल अनुमानतः सत्य है। श्यानता घर्षण की तरह होती है और गतिज ऊर्जा को ऊष्मा ऊर्जा में बदल देती है।

9. यद्यपि द्रव में किसी अपरूपण विकृति (shear strain) के लिए अपरूपण तनाव (shear stress) आवश्यक नहीं होता, जब द्रव पर कोई अपरूपण तनाव लगाया जाता है, तो गति उत्पन्न होती है जिससे समय के साथ बढ़ने वाली अपरूपण विकृति उत्पन्न होती है। अपरूपण तनाव का अपरूपण विकृति की दर से अनुपात सांव्यता गुणांक (coefficient of viscosity), $\eta$ कहलाता है।

जहाँ प्रतीकों का सामान्य अर्थ है और वे पाठ में परिभाषित हैं।

10. स्टोक्स का नियम कहता है कि किसी गोले, जिसकी त्रिज्या a है और जो वेग $\mathbf{v}$ से किसी द्रव में गति कर रहा है, पर द्रव की सांव्यता के कारण लगने वाला विस्कस ड्रैग बल $\mathbf{F}$ इस प्रकार है, $\mathbf{F}=6 \pi \eta \mathbf{v}$।

11. पृष्ठ तनाव प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल है (या प्रति इकाई क्षेत्रफल की पृष्ठ ऊर्जा) जो द्रव और सीमांत सतह के बीच के अंतरापृष्ठ के तल में कार्य करता है। यह अतिरिक्त ऊर्जा है जो अंतरापृष्ठ पर उपस्थित अणुओं के पास आंतरिक अणुओं की तुलना में होती है।

विचार करने योग्य बिंदु

1. दाब एक अदिश राशि है। दाब को “प्रति इकाई क्षेत्रफल बल” के रूप में परिभाषित करने से यह गलत धारणा हो सकती है कि दाब एक सदिश है। परिभाषा के अंश में “बल” वह घटक है जो क्षेत्रफल के लंबवत है जिस पर वह आरोपित है। द्रवों का वर्णन करते समय कण और कठोर पिंड यांत्रिकी से विचार बदलने की आवश्यकता होती है। हम उन गुणों से संबंधित हैं जो द्रव में बिंदु-दर-बिंदु परिवर्तित होते हैं।

2. किसी भी तरल के दाब के बारे में यह नहीं सोचना चाहिए कि यह केवल ठोस पर ही लगता है, जैसे किसी बर्तन की दीवारों पर या तरल में डूबी हुई कोई ठोस वस्तु। तरल के सभी बिंदुओं पर दाब होता है। तरल का एक अवयव (जैसा कि चित्र 9.4 में दिखाया गया है) साम्यावस्था में होता है क्योंकि विभिन्न फलकों पर लगने वाले दाब समान होते हैं।

3. दाब के लिए व्यंजक

$P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$

तब तक सत्य होता है जब तक तरल असंपीड्य होता है। व्यावहारिक रूप से यह द्रवों के लिए सत्य होता है, जो काफी हद तक असंपीड्य होते हैं और इसलिए ऊँचाई के साथ स्थिर रहता है।

4. गेज दाब वास्तविक दाब और वायुमंडलीय दाब का अंतर होता है। $P-P_{\mathrm{a}}=P_{\mathrm{g}}$

कई दाब मापने वाले उपकरण गेज दाब को मापते हैं। इनमें टायर दाब मापक और रक्त दाब मापक (स्फिग्मोमैनोमीटर) शामिल हैं।

5. एक स्ट्रीमलाइन तरल प्रवाह का एक मानचित्र होता है। स्थिर प्रवाह में दो स्ट्रीमलाइन एक-दूसरे को काटती नहीं हैं क्योंकि इसका अर्थ होगा कि तरल कण के पास उस बिंदु पर दो संभव वेग होंगे।

6. बर्नौली का सिद्धांत तरल पर चिपचिपा प्रतिरोध होने की स्थिति में लागू नहीं होता। इस स्थिति में इस विसर्पी चिपचिपे बल द्वारा किए गए कार्य को ध्यान में रखना होगा, और $P_{2}$ [चित्र 9.9] समीकरण (9.12) द्वारा दिए गए मान से कम होगा।

7. जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, द्रव के परमाणु अधिक चलायमान हो जाते हैं और श्यानता गुणांक, $\eta$ घटता है। गैस में तापमान वृद्धि परमाणुओं की यादृच्छिक गति को बढ़ाती है और $\eta$ बढ़ता है।

8. सतह तनाव इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि सतह पर मौजूद अणुओं की स्थितिज ऊर्जा, उनकी आंतरिक भाग में स्थितिज ऊर्जा की तुलना में अधिक होती है। इस प्रकार की सतह ऊर्जा उस सीमा पर मौजूद होती है जहाँ दो पदार्थ अलग होते हैं, जिनमें से कम से कम एक द्रव होता है। यह किसी एकल द्रव की अकेले की संपत्ति नहीं है।