10.1 परिचय

1637 में डेकार्टेस ने प्रकाश का कण-मॉडल प्रस्तुत किया और स्नेल का नियम व्युत्पन्न किया। इसने किसी सतह पर प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के नियमों की व्याख्या की। कण-मॉडल ने भविष्यवाणी की कि यदि प्रकाश की किरण (अपवर्तन के समय) अभिलंब की ओर मुड़ती है तो प्रकाश की चाल दूसरे माध्यम में अधिक होगी। प्रकाश के इस कण-मॉडल को आइज़ेक न्यूटन ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक OPTICKS में और विकसित किया और इस पुस्तक की अत्यधिक लोकप्रियता के कारण कण-मॉडल को प्रायः न्यूटन से जोड़ा जाता है।

1678 में डच भौतिकविद् क्रिस्टियन हाइगेंस ने प्रकाश की तरंग-सिद्धांत प्रस्तुत किया—यही तरंग-मॉडल इस अध्याय में हम चर्चा करेंगे। जैसा कि हम देखेंगे, तरंग-मॉडल परावर्तन और अपवर्तन की घटनाओं को संतोषजनक रूप से समझा सकता है; हालाँकि, इसने भविष्यवाणी की कि अपवर्तन के समय यदि तरंग अभिलंब की ओर मुड़ती है तो प्रकाश की चाल दूसरे माध्यम में कम होगी। यह कण-मॉडल द्वारा की गई भविष्यवाणी के विपरीत है। बहुत बाद में प्रयोगों द्वारा इसकी पुष्टि हुई जिसमें दिखाया गया कि पानी में प्रकाश की चाल वायु से कम है, जिससे तरंग-मॉडल की भविष्यवाणी सही सिद्ध हुई; यह प्रयोग फूको ने 1850 में किया।

तरंग सिद्धांत को तुरंत स्वीकार नहीं किया गया, मुख्यतः न्यूटन के प्रभाव के कारण और यह भी क्योंकि प्रकाश निर्वात से होकर यात्रा कर सकता था और ऐसा माना जाता था कि तरंग को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक फैलने के लिए हमेशा एक माध्यम की आवश्यकता होती है। हालांकि, जब थॉमस यंग ने 1801 में अपना प्रसिद्ध व्यतिकरण प्रयोग किया, तो यह पक्के तौर पर स्थापित हो गया कि प्रकाश वास्तव में एक तरंग घटना है। दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य को मापा गया और यह अत्यंत छोटा पाया गया; उदाहरण के लिए, पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लगभग $0.6 \mu \mathrm{m}$ है। दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की छोटाई के कारण (सामान्य दर्पणों और लेंसों के आयामों की तुलना में), यह माना जा सकता है कि प्रकाश लगभग सीधी रेखाओं में चलता है। यह ज्यामितीय प्रकाशिकी का क्षेत्र है, जिसकी हमने पिछले अध्याय में चर्चा की थी। वास्तव में, प्रकाशिकी की वह शाखा जिसमें तरंगदैर्ध्य की सीमितता को पूरी तरह से नजरअंदाज किया जाता है, ज्यामितीय प्रकाशिकी कहलाती है और एक किरण को ऊर्जा प्रसार का वह पथ माना जाता है जब तरंगदैर्ध्य शून्य की ओर जाती है।

1801 में यंग के व्यतिकरण प्रयोग के बाद, अगले लगभग 40 वर्षों तक प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण और विवर्तन से संबंधित कई प्रयोग किए गए; इन प्रयोगों को केवल यह मानकर ही संतोषजनक रूप से समझाया जा सका कि प्रकाश का एक तरंग मॉडल है। इस प्रकार, उन्नीसवीं सदी के मध्य तक तरंग सिद्धांत बहुत अच्छी तरह स्थापित प्रतीत होता था। एकमात्र प्रमुख कठिनाई यह थी कि चूँकि यह माना जाता था कि एक तरंग के प्रसार के लिए माध्यम आवश्यक होता है, प्रकाश तरंगें निर्वात में कैसे प्रसारित हो सकती हैं। यह समस्या तब सुलझी जब मैक्सवेल ने प्रकाश के प्रसिद्ध विद्युत-चुंबकीय सिद्धांत को प्रस्तुत किया। मैक्सवेल ने विद्युत और चुंबकत्व के नियमों का वर्णन करने वाले समीकरणों का एक समूह विकसित किया और इन समीकरणों का उपयोग करके उसने जिसे तरंग समीकरण कहा जाता है, उसे व्युत्पन्न किया, जिससे उसने विद्युत-चुंबकीय तरंगों के अस्तित्व की भविष्यवाणी की*। तरंग समीकरण से मैक्सवेल निर्वात में विद्युत-चुंबकीय तरंगों की चाल की गणना कर सका और उसने पाया कि सैद्धांतिक मान प्रकाश की चाल के मापे गए मान के बहुत निकट था। इससे उसने प्रतिपादित किया कि प्रकाश एक विद्युत-चुंबकीय तरंग होनी चाहिए। इस प्रकार, मैक्सवेल के अनुसार, प्रकाश तरंगें परिवर्तित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से जुड़ी होती हैं; परिवर्तित विद्युत क्षेत्र समय और स्थान के साथ परिवर्तित चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है और परिवर्तित चुंबकीय क्षेत्र समय और स्थान के साथ परिवर्तित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। परिवर्तित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के परिणामस्वरूप विद्युत-चुंबकीय तरंगें (या प्रकाश तरंगें) निर्वात में भी प्रसारित होती हैं।

इस अध्याय में हम पहले हाइगेंस सिद्धांत की मूल व्याख्या पर चर्चा करेंगे और परावर्तन तथा अपवर्तन के नियमों को व्युत्पन्न करेंगे। खंड 10.4 और 10.5 में हम व्यतिकरण की घटना पर चर्चा करेंगे जो अध्यारोपण के सिद्धांत पर आधारित है। खंड 10.6 में हम विवर्तन की घटना पर चर्चा करेंगे जो हाइगेंस-फ्रेनेल सिद्धांत पर आधारित है। अंत में खंड 10.7 में हम ध्रुवण की घटना पर चर्चा करेंगे जो इस तथ्य पर आधारित है कि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ विद्युतचुंबकीय तरंगें होती हैं।

• मैक्सवेल ने लगभग 1855 में विद्युतचुंबकीय तरंगों के अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी; यह बहुत बाद में (लगभग 1890) हेनरिक हर्ट्ज़ ने प्रयोगशाला में रेडियो तरंगें उत्पन्न कीं। जे.सी. बोस और जी. मार्कोनी ने हर्ट्ज़ीय तरंगों के व्यावहारिक अनुप्रयोग बनाए।

10.2 हाइगेंस सिद्धांत

हम पहले वेवफ्रंट को परिभाषित करेंगे: जब हम शांत पानी के तालाब में एक छोटा पत्थर गिराते हैं, तो प्रभाव बिंदु से तरंगें चारों ओर फैलती हैं। सतह का प्रत्येक बिंदु समय के साथ दोलन करना शुरू कर देता है। किसी भी क्षण, सतह का एक फोटोग्राफ ऐसे वृत्तीय वलय दिखाएगा जिन पर व्यवधान अधिकतम है। स्पष्ट है कि ऐसे वृत्त के सभी बिंदु एक ही स्रोत से समान दूरी पर होने के कारण समान चरण में दोलन कर रहे हैं। ऐसे बिंदुओं का स्थान, जो समान चरण में दोलन करते हैं, वेवफ्रंट कहलाता है; इस प्रकार वेवफ्रंट को स्थिर चरण की सतह के रूप में परिभाषित किया जाता है। वह गति जिससे वेवफ्रंट स्रोत से बाहर की ओर बढ़ता है, तरंग की गति कहलाती है। तरंग की ऊर्जा वेवफ्रंट के लंबवत दिशा में यात्रा करती है।

चित्र 10.1 (a) एक बिंदु स्रोत से निकलने वाली विचित्र गोलाकार तरंग। वेवफ्रंट्स गोलाकार होते हैं।

चित्र 10.1 (b) स्रोत से बड़ी दूरी पर, गोलाकार तरंग का एक छोटा भाग समतल तरंग के रूप में सन्निकटित किया जा सकता है।

यदि हमारे पास एक बिंदु स्रोत है जो सभी दिशाओं में समान रूप से तरंगें उत्सर्जित करता है, तो बिंदुओं का स्थान जिनकी समान आयाम होती है और जो एक ही कला में कंपन करते हैं, गोलाकार होता है और हमारे पास वही होता है जिसे गोलाकार तरंग कहा जाता है जैसा कि चित्र 10.1(a) में दिखाया गया है। स्रोत से बड़ी दूरी पर, गोले का एक छोटा भाग समतल के रूप में माना जा सकता है और हमारे पास वही होता है जिसे समतल तरंग कहा जाता है [चित्र 10.1(b)]।

अब, यदि हमें $t=0$ पर तरंगफ्रंट का आकार पता है, तो हाइगेन्स सिद्धांत हमें एक बाद के समय $\tau$ पर तरंगफ्रंट का आकार निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, हाइगेन्स सिद्धांत अनिवार्यतः एक ज्यामितीय रचना है, जो किसी भी समय तरंगफ्रंट का आकार देने पर हमें एक बाद के समय पर तरंगफ्रंट का आकार निर्धारित करने की अनुमति देती है। आइए हम एक विचरित तरंग पर विचार करें और मान लें कि $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ चित्र 10.2 में $t=0$ पर गोलाकार तरंगफ्रंट के एक भाग को दर्शाता है। अब, हाइगेन्स सिद्धांत के अनुसार, तरंगफ्रंट का प्रत्येक बिंदु एक द्वितीयक विघटन का स्रोत है और इन बिंदुओं से निकलने वाली तरंगिकाएं सभी दिशाओं में तरंग की चाल से फैलती हैं। तरंगफ्रंट से निकलने वाली इन तरंगिकाओं को सामान्यतः द्वितीयक तरंगिकाएं कहा जाता है और यदि हम इन सभी गोलों पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खींचें, तो हमें एक बाद के समय पर तरंगफ्रंट की नई स्थिति प्राप्त होती है।

चित्र 10.2 $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ $t=0$ पर गोलाकार तरंगाग्र (जिसका केंद्र $\mathrm{O}$ है) को दर्शाता है। $F_{1} F_{2}$ से निकलने वाले द्वितीयक तरंगुलों के आवरण आगे बढ़ने वाले तरंगाग्र $G_{1} G_{2}$ को उत्पन्न करते हैं। पश्च तरंग $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ अस्तित्व में नहीं होती।

इस प्रकार, यदि हम $t=\tau$ पर तरंगाग्र का आकार निर्धारित करना चाहें, तो हम गोलाकार तरंगाग्र के प्रत्येक बिंदु से त्रिज्या $v \tau$ के गोले खींचते हैं, जहाँ $v$ माध्यम में तरंगों की चाल को दर्शाता है। यदि हम अब इन सभी गोलों पर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खींचें, तो हमें $t=\tau$ पर तरंगाग्र की नई स्थिति प्राप्त होती है। चित्र 10.2 में दिखाया गया नया तरंगाग्र $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ पुनः गोलाकार है जिसका केंद्र बिंदु $\mathrm{O}$ है।

चित्र 10.3 दाएं की ओर प्रसारित हो रही समतल तरंग के लिए हाइगेंस की ज्यामितीय संरचना। $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ $t=0$ पर समतल तरंगाग्र है और $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ बाद के समय $\tau$ पर तरंगाग्र है। रेखाएँ $\mathrm{A_1} \mathrm{~A_2}$, $\mathrm{B_1} \mathrm{~B_2} \ldots$ आदि, $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ और $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ दोनों पर लंबवत हैं और किरणों को दर्शाती हैं।

उपरोक्त मॉडल में एक कमी है: हमें एक पश्चिम तरंग भी प्राप्त होती है जिसे आकृति 10.2 में $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ के रूप में दिखाया गया है। हाइगेंस ने तर्क दिया कि द्वितीयक तरंगों की आयाम अग्र दिशा में अधिकतम होती है और पश्चिम दिशा में शून्य होती है; इस विशेष मान्यता को बनाकर, हाइगेंस पश्चिम तरंग की अनुपस्थिति की व्याख्या कर सकता था। हालांकि, यह विशेष मान्यता संतोषजनक नहीं है और पश्चिम तरंग की अनुपस्थिति वास्तव में अधिक कठोर तरंग सिद्धांत से औचित्यपूर्ण है।

इसी प्रकार, हम हाइगेंस सिद्धांत का उपयोग करके किसी माध्यम से प्रसारित हो रही समतल तरंग के लिए तरंगफ्रंट के आकार को निर्धारित कर सकते हैं (आकृति 10.3)।

10.3 हाइगेंस सिद्धांत का उपयोग करके समतल तरंगों का अपवर्तन और परावर्तन

10.3.1 समतल तरंग का अपवर्तन

अब हम अपवर्तन के नियमों को प्राप्त करने के लिए हाइगेंस सिद्धांत का उपयोग करेंगे। मान लीजिए $\mathrm{PP}^{\prime}$ वह सतह है जो माध्यम 1 और माध्यम 2 को अलग करती है, जैसा कि आकृति 10.4 में दिखाया गया है। मान लीजिए $v_{1}$ और $v_{2}$ क्रमशः माध्यम 1 और माध्यम 2 में प्रकाश की चाल को दर्शाते हैं। हम मानते हैं कि एक समतल तरंगफ्रंट $\mathrm{AB}$ दिशा $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}$ में प्रसारित हो रही है और आकृति में दिखाए अनुसार कोण $i$ पर अंतरापृष्ठ पर आपतित हो रही है। मान लीजिए $\tau$ वह समय है जो तरंगफ्रंट को दूरी BC तय करने में लेती है। इस प्रकार,

$B C=v _{1} \tau$

चित्र 10.4 एक समतल तरंग AB माध्यम 1 और माध्यम 2 को अलग करने वाली सतह PP′ पर कोण i पर आपतित होती है। समतल तरंग अपवर्तन से गुजरती है और CE अपवर्तित तरंगफ्रंट को दर्शाता है। यह चित्र v₂ < v₁ के अनुरूप है ताकि अपवर्तित तरंग सामान्य की ओर मुड़ती है।

क्रिस्टियन हाइगेंस (1629 – 1695) डच भौतिकविद्, खगोलशास्त्री, गणितज्ञ और प्रकाश की तरंग सिद्धांत के संस्थापक। उनकी पुस्तक, ट्रीटाइज़ ऑन लाइट, आज भी रोचक पढ़ाई बनाती है। उन्होंने इस कार्य में परावर्तन और अपवर्तन के अतिरिक्त खनिज कैल्साइट द्वारा दिखाए गए द्विअपवर्तन को शानदार ढंग से समझाया। वे वृत्तीय और सरल आवर्त गति का विश्लेषण करने वाले पहले व्यक्ति थे और बेहतर घड़ियों और दूरबीनों को डिज़ाइन और निर्मित किया। उन्होंने शनि की वलयों की सही ज्यामिति की खोज की।

अपवर्तित तरंगफ्रंट के आकार को निर्धारित करने के लिए, हम दूसरे माध्यम में बिंदु A से v₂τ त्रिज्या का एक गोला खींचते हैं (दूसरे माध्यम में तरंग की चाल v₂ है)। मान लीजिए CE बिंदु C से गोले पर खींचा गया स्पर्श समतल है। तब, AE = v₂τ और CE अपवर्तित तरंगफ्रंट को दर्शाएगा। यदि हम अब त्रिभुज ABC और AEC पर विचार करें, तो हम तुरंत प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \sin i=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_{1} \tau}{\mathrm{AC}} \tag{10.1} \end{equation*} $$

और

$$ \begin{equation*} \sin r=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_{2} \tau}{\mathrm{AC}} \tag{10.2} \end{equation*} $$

जहाँ $i$ और $r$ क्रमशः आपतन और अपवर्तन कोण हैं। इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{1}}{v_{2}} \tag{10.3} \end{equation*} $$

उपरोक्त समीकरण से, हम महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त करते हैं कि यदि $r<i$ (अर्थात् यदि किरण अभिलम्ब की ओर झुकती है), तो द्वितीय माध्यम में प्रकाश तरंग की चाल $(v_{2})$ प्रथम माध्यम में प्रकाश तरंग की चाल $(v_{1})$ से कम होगी। यह भविष्यवाणी प्रकाश के कण मॉडल की भविष्यवाणी के विपरीत है और जैसा कि बाद के प्रयोगों ने दिखाया, तरंग सिद्धांत की भविष्यवाणी सही है। अब, यदि $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल को निरूपित करता है, तब,

$$ \begin{equation*} n_{1}=\frac{c}{v_{1}} \tag{10.4} \end{equation*} $$

और

$$ \begin{equation*} n_{2}=\frac{c}{v_{2}} \tag{10.5} \end{equation*} $$

को क्रमशः माध्यम 1 और माध्यम 2 के अपवर्तनांक के रूप में जाना जाता है। अपवर्तनांकों के पदों में, समी. (10.3) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} n_{1} \sin i=n_{2} \sin r \tag{10.6} \end{equation*} $$

यह अपवर्तन का स्नेल नियम है। आगे, यदि $\lambda_{1}$ और $\lambda_{2}$ क्रमशः माध्यम 1 और माध्यम 2 में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य को दर्शाते हैं और यदि दूरी $\mathrm{BC}$ बराबर है $\lambda_{1}$ तो दूरी $\mathrm{AE}$ बराबर होगी $\lambda_{2}$ (क्योंकि यदि $\mathrm{B}$ से तरंग-शिखर समय $\tau$ में $\mathrm{C}$ तक पहुँच गया है, तो $\mathrm{A}$ से तरंग-शिखर को भी समय $\tau$ में $E$ तक पहुँच जाना चाहिए); इस प्रकार,

$$ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AE}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} $$

या

$$ \begin{equation*} \frac{v_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{v_{2}}{\lambda_{2}} \tag{10.7} \end{equation*} $$

उपरोक्त समीकरण का तात्पर्य है कि जब कोई तरंग किसी अधिक घने माध्यम में अपवर्तित होती है $\left(v_{1}>v_{2}\right)$ तो तरंगदैर्ध्य और प्रसरण की चाल घट जाती हैं, परन्तु आवृत्ति $v(=v / \lambda)$ अपरिवर्तित रहती है।

10.3.2 विरल माध्यम पर अपवर्तन

अब हम एक समतल तरंग के विरल माध्यम पर अपवर्तन पर विचार करते हैं, अर्थात् $v_{2}>v_{1}$। ठीक इसी प्रकार आगे बढ़कर हम एक अपवर्तित तरंगाग्र का निर्माण कर सकते हैं जैसा कि चित्र 10.5 में दिखाया गया है। अपवर्तन कोण अब आपतन कोण से अधिक होगा; फिर भी, हमारे पास अभी भी $n_{1} \sin i=n_{2} \sin r$ होगा। हम एक कोण $i_{c}$ को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित करते हैं

$$ \begin{equation*} \sin i_{c}=\frac{n_{2}}{n_{1}} \tag{10.8} \end{equation*} $$

इस प्रकार, यदि $i=i_{c}$ तो $\sin r=1$ और $r=90^{\circ}$। स्पष्ट है कि $i>i_{c}$ के लिए कोई अपवर्तित तरंग नहीं हो सकती। कोण $i_{c}$ को क्रांतिक कोण कहा जाता है और क्रांतिक कोण से अधिक सभी आपतन कोणों के लिए हमें कोई अपवर्तित तरंग नहीं मिलेगी और तरंग पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहलाने वाली प्रक्रिया से गुजरेगी। पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना और इसके अनुप्रयोगों पर अनुभाग 9.4 में चर्चा की गई थी।

आकृति 10.5 एक विरल माध्यम पर आपतित समतल तरंग का अपवर्तन जिसके लिए $v_{2}>v_{1}$ है। समतल तरंग अभिलंब से दूर मुड़ जाती है।

10.3.3 समतल सतह द्वारा समतल तरंग का परावर्तन

अगले हम एक समतल तरंग $\mathrm{AB}$ को परावर्तक सतह MN पर कोण $i$ पर आपतित मानते हैं। यदि $v$ माध्यम में तरंग की चाल को दर्शाता है और यदि $\tau$ वह समय है जो तरंग मोर्चे को बिंदु $B$ से $C$ तक बढ़ने में लगता है तो दूरी

$$ \mathrm{BC}=v \tau $$

परावर्तित तरंग मोर्चे की रचना करने के लिए हम बिंदु $\mathrm{A}$ से त्रिज्या $v \tau$ का एक गोला खींचते हैं जैसा कि आकृति 10.6 में दिखाया गया है। मान लीजिए $\mathrm{CE}$ वह स्पर्श तल है जो बिंदु $\mathrm{C}$ से इस गोले पर खींचा गया है। स्पष्ट है कि

$$ \mathrm{AE}=\mathrm{BC}=v \tau $$

आकृति 10.6 समतल तरंग AB का परावर्तक सतह MN द्वारा परावर्तन। AB और CE क्रमशः आपतित और परावर्तित तरंगाग्र को दर्शाते हैं।

यदि हम अब त्रिभुजों EAC और BAC पर विचार करें तो हम पाएंगे कि वे सर्वांगसम हैं और इसलिए, कोण i और r (जैसा कि आकृति 10.6 में दिखाया गया है) बराबर होंगे। यही परावर्तन का नियम है।

एक बार जब हमारे पास परावर्तन और अपवर्तन के नियम हो जाते हैं, तो प्रिज्मों, लेंसों और दर्पणों के व्यवहार को समझा जा सकता है। इन घटनाओं को विस्तार से अध्याय 9 में प्रकाश की सीधी रेखा में प्रसार के आधार पर चर्चा की गई थी। यहाँ हम केवल तरंगाग्रों के व्यवहार का वर्णन करते हैं जैसे वे परावर्तन या अपवर्तन से गुजरते हैं। चित्र 10.7(a) में हम एक समतल तरंग को एक पतले प्रिज्म से गुजरते हुए मानते हैं। स्पष्ट है कि, चूंकि काँच में प्रकाश तरंगों की गति कम होती है, आने वाले तरंगाग्र का निचला भाग (जो काँच की सबसे अधिक मोटाई से गुजरता है) विलंबित हो जाएगा, जिससे निकलने वाला तरंगाग्र झुक जाएगा जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। चित्र 10.7(b) में हम एक समतल तरंग को एक पतले उत्तल लेंस पर आपतित मानते हैं; आपतित समतल तरंग का केंद्रीय भाग लेंस के सबसे मोटे भाग से गुजरता है और सबसे अधिक विलंबित होता है। निकलने वाला तरंगाग्र केंद्र में एक अवसाद रखता है और इसलिए तरंगाग्र गोलाकार हो जाता है और बिंदु F पर अभिसरित होता है जिसे फोकस कहा जाता है। चित्र 10.7(c) में एक समतल तरंग एक अवतल दर्पण पर आपतित होती है और परावर्तन पर हमें एक गोलाकार तरंग मिलती है जो फोकल बिंदु $\mathrm{F}$ पर अभिसरित होती है। इसी प्रकार, हम अवतल लेंसों और उत्तल दर्पणों द्वारा अपवर्तन और परावर्तन को समझ सकते हैं।

ऊपर की चर्चा से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी वस्तु के बिंदु से उसके संगत प्रतिबिंब के बिंदु तक लिया गया कुल समय किसी भी किरण के अनुदाग समान होता है। उदाहरण के लिए, जब एक उत्तल लेंस प्रकाश को केंद्रित करके एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है, तो यद्यपि केंद्र से गुजरने वाली किरण छोटा पथ तय करती है, किंतु काँच में धीमी चाल के कारण लिया गया समय लेंस के किनारे के पास से गुजरने वाली किरणों के समान ही होता है।

आकृति 10.7 एक समतल तरंग का अपवर्तन (a) एक पतले प्रिज्म द्वारा, (b) एक उत्तल लेंस द्वारा। (c) एक समतल तरंग का परावर्तन एक अवतल दर्पण द्वारा।

उदाहरण 10.1 (a) जब एक रंगद्रव्य प्रकाश दो माध्यमों को अलग करने वाली सतह पर आपतित होता है, तो परावर्तित और अपवर्तित प्रकाश दोनों की आवृत्ति आपतित आवृत्ति के समान ही होती है। क्यों?

(b) जब प्रकाश एक विरल माध्यम से एक घने माध्यम में जाता है, तो इसकी चाल घट जाती है। क्या चाल में कमी का अर्थ है प्रकाश तरंग द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा में कमी?

(c) प्रकाश के तरंग चित्र में, प्रकाश की तीव्रता तरंग के आयाम के वर्ग द्वारा निर्धारित होती है। प्रकाश के फोटॉन चित्र में प्रकाश की तीव्रता किससे निर्धारित होती है?

हल
(a) परावर्तन और अपवर्तन आपतित प्रकाश की पदार्थ की परमाण्विक संरचनाओं के साथ अन्योन्य क्रिया से उत्पन्न होते हैं। परमाणुओं को दोलकों के रूप में देखा जा सकता है, जो बाहरी एजेंसी (प्रकाश) की आवृत्ति को ग्रहण करते हैं और बाध्य दोलन उत्पन्न करते हैं। आवेशित दोलक द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्ति उसके दोलन की आवृत्ति के बराबर होती है। इस प्रकार, परिक्षिप्त प्रकाश की आवृत्ति आपतित प्रकाश की आवृत्ति के बराबर होती है।

(b) नहीं। एक तरंग द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा तरंग के आयाम पर निर्भर करती है, तरंग प्रसार की चाल पर नहीं।

(c) एक दी गई आवृत्ति के लिए, फोटन चित्र में प्रकाश की तीव्रता उन फोटनों की संख्या से निर्धारित होती है जो एकक क्षेत्रफल को प्रति एकक समय पार करते हैं।

10.4 तरंगों की सुसंगत और असुसंगत संयोजन

आकृति 10.8 (a) पानी में समान चरण में दोलित हो रही दो सुईयाँ दो सुसंगत स्रोतों का प्रतिनिधित्व करती हैं। (b) पानी की सतह पर एक क्षण जल अणुओं के विस्थापन का प्रतिरूप जिसमें नोडल N (कोई विस्थापन नहीं) और एंटिनोडल A (अधिकतम विस्थापन) रेखाएँ दिखाई गई हैं।

इस खण्ड में हम दो तरंगों के अध्यारोपण से उत्पन्न व्यतिकरण-छाया की चर्चा करेंगे। आपको स्मरण होगा कि हमने अध्यारोपण के सिद्धांत को कक्षा XI की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 14 में पढ़ा था। वास्तव में व्यतिकरण की संपूर्ण विषय-वस्तु इसी सिद्धांत पर आधारित है, जिसके अनुसार माध्यम के किसी बिंदु पर कई तरंगों द्वारा उत्पन्न परिणामी विस्थापन, प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापनों का सदिश योग होता है।

आकृति 10.9 (a) बिंदु Q पर रचनात्मक व्यतिकरण जहाँ पथ-अंतर 2λ है। (b) बिंदु R पर विनाशी व्यतिकरण जहाँ पथ-अंतर 2.5λ है।

दो सुईयों S₁ तथा S₂ पर विचार कीजिए जो जल-पात्र में एक समान ढंग से ऊपर-नीचे आवर्ती गति कर रही हैं [आकृति 10.8(a)]। ये दो जल-तरंगें उत्पन्न करती हैं और किसी बिंदु पर दोनों तरंगों द्वारा उत्पन्न विस्थापनों के बीच कालांतर से कोई कलान्तर नहीं बदलता; ऐसी स्थिति में दोनों स्रोत सुसंगत कहलाते हैं। आकृति 10.8(b) किसी निश्चित क्षण पर क्रेटों (ठोस वृत्त) और ट्राफों (बिंदित वृत्त) की स्थिति दर्शाती है। एक बिंदु P पर विचार कीजिए जहाँ

S₁P = S₂P

चूँकि दूरियाँ $\mathrm{S_1} \mathrm{P}$ और $\mathrm{S_2} \mathrm{P}$ समान हैं, $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ से निकलने वाली तरंगें बिंदु $\mathrm{P}$ तक पहुँचने में समान समय लेंगी और जो तरंगें $S_{1}$ और $S_{2}$ से समान चरण में निकलती हैं, वे बिंदु $P$ पर भी समान चरण में पहुँचेंगी।

इस प्रकार, यदि स्रोत $S_{1}$ द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न विस्थापन

$$ y_{1}=a \cos \omega t $$

द्वारा दिया जाता है, तो स्रोत $S_{2}$ द्वारा (बिंदु P पर) उत्पन्न विस्थापन भी

$$ y_{2}=a \cos \omega t $$

द्वारा दिया जाएगा।

इस प्रकार, बिंदु $\mathrm{P}$ पर परिणामी विस्थापन

$$ y=y_{1}+y_{2}=2 a \cos \omega t $$

द्वारा दिया जाएगा।

चूँकि तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है, परिणामी तीव्रता

$$ I=4 I_{0} $$

द्वारा दी जाएगी, जहाँ $I_{0}$ प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत द्वारा उत्पन्न तीव्रता को दर्शाता है; $I_{0}$, $a^{2}$ के समानुपाती है। वास्तव में $\mathrm{S_1} \mathrm{~S_2}$ के लंबवत् द्विभाजक पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $4 I_{0}$ होगी। दोनों स्रोतों को रचनात्मक व्यतिकार (constructive interference) करने वाले कहा जाता है और हमारे पास वही है जिसे रचनात्मक व्यतिकार कहा जाता है। अब हम एक बिंदु $Q$ [चित्र 10.9(a)] पर विचार करते हैं जिसके लिए

$$ \mathrm{S_2} \mathrm{Q}-\mathrm{S_1} \mathrm{Q}=2 \lambda $$

$S_{1}$ से निकलने वाली तरंगें $\mathrm{S_2}$ की तुलना में ठीक दो चक्र पहले आएँगी और फिर से समान चरण में होंगी [चित्र 10.9(a)]। इस प्रकार, यदि $S_{1}$ द्वारा उत्पन्न विस्थापन

$$ y_{1}=a \cos \omega t $$

द्वारा दिया जाता है,

तब स्रोत (\mathrm{S_2}) द्वारा उत्पन्न विस्थापन

[ y_{2}=a \cos (\omega t-4 \pi)=a \cos \omega t ]

द्वारा दिया जाएगा, जहाँ हमने यह तथ्य प्रयुक्त किया है कि (2 \lambda) का पथ अंतर (4 \pi) के कल्प अंतर के समतुल्य है। दोनों विस्थापन पुनः समकल्प में हैं और तीव्रता पुनः (4 I_{0}) होगी, जिससे रचनात्मक व्यतिकरण उत्पन्न होता है। उपरोक्त विश्लेषण में हमने यह मान लिया है कि दूरियाँ (\mathrm{S_1} \mathrm{Q}) और (\mathrm{S_2} \mathrm{Q}), (d) (जो (\mathrm{S_1}) और (\mathrm{S_2}) के बीच की दूरी को दर्शाता है) से बहुत अधिक हैं, ताकि यद्यपि (\mathrm{S_1} \mathrm{Q}) और (\mathrm{S_2} \mathrm{Q}) समान नहीं हैं, प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापन के आयाम लगभग समान हैं।

अगले चरण में हम बिंदु R [चित्र 10.9(b)] पर विचार करते हैं, जिसके लिए

[ \mathrm{S_2} \mathrm{R}-\mathrm{S_1} \mathrm{R}=-2.5 \lambda ]

चित्र 10.10 बिंदुओं का बिंदुपथ, जिनके लिए (\mathrm{S_1} \mathrm{P}-\mathrm{S_2} \mathrm{P}) शून्य, (\pm \lambda, \pm 2 \lambda, \pm 3 \lambda) के बराबर है।

स्रोत (S_{1}) से निकलने वाली तरंगें, स्रोत (\mathrm{S_2}) की तुलना में ठीक ढाई चक्र बाद पहुँचेंगी [चित्र 10.10(b)]। इस प्रकार यदि स्रोत (\mathrm{S_1}) द्वारा उत्पन्न विस्थापन

[ y_{1}=a \cos \omega t ]

द्वारा दिया जाता है, तो स्रोत (\mathrm{S_2}) द्वारा उत्पन्न विस्थापन

$$ y_{2}=a \cos (\omega t+5 \pi)=-a \cos \omega t $$

जहाँ हमने इस तथ्य का प्रयोग किया है कि $2.5 \lambda$ का पथ अंतर $5 \pi$ के कलांतर के अनुरूप होता है। दो विस्थापन अब विपरीत कल में हैं और ये दो विस्थापन एक-दूसरे को रद्द कर देंगे जिससे शून्य तीव्रता प्राप्त होगी। इसे विनाशकारी व्यतिकरण कहा जाता है।

संक्षेप में: यदि हमारे पास दो सुसंगत स्रोत $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ हैं जो समकाल में कम्पन कर रहे हैं, तो किसी स्वेच्छ बिंदु $P$ के लिए जब भी पथ अंतर,

$$ \begin{equation*} \mathrm{S_1} \mathrm{P} \sim \mathrm{S_2} \mathrm{P}=n \lambda \quad(n=0,1,2,3, \ldots) \tag{10.9} \end{equation*} $$

हमारे पास रचनात्मक व्यतिकरण होगा और परिणामी तीव्रता $4 I_{0}$ होगी; $\mathrm{S_1} \mathrm{P}$ और $\mathrm{S_2} \mathrm{P}$ के बीच चिह्न $\sim$ $\mathrm{S_1} \mathrm{P}$ और $\mathrm{S_2} \mathrm{P}$ के बीच के अंतर को दर्शाता है। दूसरी ओर, यदि बिंदु $\mathrm{P}$ इस प्रकार है कि पथ अंतर,

$$ \begin{equation*} \mathrm{S_1} \mathrm{P} \sim \mathrm{S_2} \mathrm{P}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \lambda \quad(n=0,1,2,3, \ldots) \tag{10.10} \end{equation*} $$

हमारे पास विनाशकारी व्यतिकरण होगा और परिणामी तीव्रता शून्य होगी। अब, किसी अन्य स्वेच्छ बिंदु G (चित्र 10.10) के लिए मान लीजिए दो विस्थापनों के बीच कलांतर $\phi$ है। इस प्रकार, यदि $\mathrm{S_1}$ द्वारा उत्पन्न विस्थापन

$$ y_{1}=a \cos \omega t $$

द्वारा दिया गया है, तो $\mathrm{S_2}$ द्वारा उत्पन्न विस्थापन होगा

$$ y_{2}=a \cos (\omega t+\phi) $$

और परिणामी विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाएगा

$$ \begin{aligned} y & =y _{1}+y _{2} \\ & =a[\cos \omega t+\cos (\omega t+\phi)] \\ & =2 a \cos (\phi / 2) \cos (\omega t+\phi / 2)\left[\because \cos \mathrm{A}+\cos \mathrm{B}=2 \cos \left(\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\right) \cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\right)\right] \end{aligned} $$

परिणामी विस्थापन का आयाम $2 a \cos (\phi / 2)$ है और इसलिए उस बिंदु पर तीव्रता होगी

$$ \begin{equation*} I=4 I_{0} \cos ^{2}(\phi / 2) \tag{10.11} \end{equation*} $$

यदि $\phi=0, \pm 2 \pi, \pm 4 \pi, \ldots$ जो कि समीकरण (10.9) द्वारा दी गई स्थिति के अनुरूप है, तो हमारे पास अधिकतम तीव्रता की ओर ले जाने वाला रचनात्मक व्यतिकरण होगा। दूसरी ओर, यदि $\phi= \pm \pi, \pm 3 \pi, \pm 5 \pi \ldots$ [जो कि समीकरण (10.10) द्वारा दी गई स्थिति के अनुरूप है] तो हमारे पास शून्य तीव्रता की ओर ले जाने वाला विनाशकारी व्यतिकरण होगा।

अब यदि दो स्रोत सुसंगत हों (अर्थात् दोनों सुइयाँ नियमित रूप से ऊपर-नीचे गति कर रही हों), तो किसी भी बिंदु पर कलांतर $\phi$ समय के साथ नहीं बदलेगा और हमें एक स्थिर व्यतिकरण चित्र मिलेगा; अर्थात् उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की स्थितियाँ समय के साथ नहीं बदलेंगी। परन्तु यदि दोनों सुइयाँ स्थिर कलांतर नहीं बनाए रखतीं, तो व्यतिकरण चित्र भी समय के साथ बदलेगा और, यदि कलांतर समय के साथ बहुत तेजी से बदले, तो उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की स्थितियाँ भी तेजी से बदलेंगी और हम एक “समय-औसत” तीव्रता वितरण देखेंगे। जब ऐसा होता है, तो हम औसत तीव्रता देखेंगे जो निम्नलिखित होगी

$$ \begin{equation*} I=2 I_{0} \tag{10.12} \end{equation*} $$

जब दो कम्पनशील स्रोतों के बीच कलांतर समय के साथ तेजी से बदलता है, तो हम कहते हैं कि दोनों स्रोत असुसंगत हैं और जब ऐसा होता है तो तीव्रताएँ केवल योग हो जाती हैं। यही वास्तव में होता है जब दो पृथक् प्रकाश स्रोत किसी दीवार को प्रकाशित करते हैं।

10.5 प्रकाश तरंगों का व्यतिकरण और यंग का प्रयोग

हम अब प्रकाश तरंगों का उपयोग करके व्यतिकरण की चर्चा करेंगे। यदि हम दो सोडियम लैंपों का उपयोग करके दो पिनहोल्स को रोशन करते हैं (चित्र 10.11) तो हम कोई भी व्यतिकरण फ्रिंज नहीं देखेंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य स्रोत (जैसे सोडियम लैंप) से उत्सर्जित प्रकाश तरंग $10^{-10}$ सेकंड के क्रम में अचानक क्रांतिव परिवर्तनों से गुजरती है। इस प्रकार दो पिनहोल्स से निकलने वाली प्रकाश तरंगों में कोई स्थिर क्रांतिव संबंध नहीं होता और वे असंगत होंगी, जब ऐसा होता है, तो पिछले खंड में चर्चा किए अनुसार, स्क्रीन पर तीव्रताएं योग हो जाएंगी।

चित्र 10.11 यदि दो सोडियम लैंप दो पिनहोल्स $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ को रोशन करते हैं, तो तीव्रताएं योग हो जाएंगी और स्क्रीन पर कोई व्यतिकरण फ्रिंज नहीं देखी जाएगी।

ब्रिटिश भौतिकविद् थॉमस यंग ने $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ से निकलने वाली तरंगों के कल्पों को “लॉक” करने के लिए एक चतुर तकनीक का प्रयोग किया। उसने एक अपारदर्शी स्क्रीन पर $\mathrm{S_1}$ और $S_{2}$ (एक-दूसरे के बहुत पास) दो पिनहोल बनाए [चित्र 10.12(a)]। इन्हें एक अन्य पिनहोल द्वारा प्रकाशित किया गया जिसे स्वयं एक चमकीला स्रोत रोशन कर रहा था। प्रकाश तरंगें $S$ से फैलकर $S_{1}$ और $S_{2}$ दोनों पर पड़ती हैं। $S_{1}$ और $S_{2}$ तब दो सुसंगत स्रोतों की तरह व्यवहार करते हैं क्योंकि $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ से निकलने वाली प्रकाश तरंगें एक ही मूल स्रोत से उत्पन्न होती हैं और $\mathrm{S}$ में कोई भी अचानक कल्प परिवर्तन $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ से निकलने वाली प्रकाश में ठीक समान रूप से प्रकट होगा। इस प्रकार, दो स्रोत $\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ कल्प में लॉक रहेंगे; अर्थात् वे हमारे जल तरंग उदाहरण [चित्र 10.8(a)] में दो कंपनशील सुईयों की तरह सुसंगत होंगे।

$\mathrm{S_1}$ और $\mathrm{S_2}$ से निकलने वाली गोलीय तरंगें स्क्रीन $\mathrm{GG}^{\prime}$ पर व्यतिकरण फ्रिंज उत्पन्न करेंगी, जैसा कि चित्र 10.12(b) में दिखाया गया है। अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं की स्थितियों की गणना अनुभाग 10.4 में दिए गए विश्लेषण का उपयोग करके की जा सकती है।

चित्र 10.12 यंग की व्यवस्था जो व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करती है।

हमें रचनात्मक व्यतिकरण होगा जिससे एक चमकदार क्षेत्र बनेगा जब (\frac{x d}{D}=n \lambda) होगा। अर्थात्,

[ \begin{equation*} x=x_{n}=\frac{n \lambda D}{d} ; \mathrm{n}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \tag{10.13} \end{equation*} ]

दूसरी ओर, हमें विनाशकारी व्यतिकरण होगा जिससे एक अंधेरा क्षेत्र बनेगा जब

[\frac{x d}{D}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \lambda]

अर्थात्,

[ \begin{equation*} x=x_{\mathrm{n}}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda D}{d} ; n=0, \pm 1, \pm 2 \tag{10.14} \end{equation*} ]

इस प्रकार स्क्रीन पर अंधेरे और चमकदार पट्टियाँ दिखाई देती हैं, जैसा कि चित्र 10.13 में दिखाया गया है। ऐसी पट्टियों को फ्रिंजेस कहा जाता है। समीकरण (10.13) और (10.14) दिखाते हैं कि अंधेरी और चमकदार फ्रिंजेस समान अंतराल पर होती हैं।

थॉमस यंग (1773 – 1829) अंग्रेज़ भौतिकविद्, चिकित्सक और इजिप्टोलॉजिस्ट। यंग ने विज्ञान की विभिन्न समस्याओं पर कार्य किया, जैसे कि आँख की संरचना और दृष्टि की प्रक्रिया से लेकर रोजेटा पत्थर की व्याख्या तक। उसने प्रकाश की तरंग सिद्धांत को पुनर्जीवित किया और पहचाना कि व्यतिकरण घटनाएँ प्रकाश की तरंग प्रकृति के प्रमाण प्रदान करती हैं।

[ d=0.025 \mathrm{~mm}(\beta \approx 1 \mathrm{~mm}) ]

अनुवाद:

चित्र 10.13 कंप्यूटर द्वारा उत्पन्न फ्रिंज पैटर्न जो दो बिंदु स्रोतों (S_1) और (S_2) द्वारा स्क्रीन GG’ पर उत्पन्न होता है (चित्र 10.12); यह (d = 0.025) मिमी, (D = 5) सेमी और (\lambda = 5 \times 10^{-5}) सेमी के अनुरूप है। (स्रोत: OPTICS by A. Ghatak, Tata McGraw Hill Publishing Co. Ltd., नई दिल्ली, 2000.)

10.6 विवर्तन (DIFFRACTION)

यदि हम किसी अपारदर्शी वस्तु द्वारा बनाए गए छाया को ध्यान से देखें, तो ज्यामितीय छाया के निकट हमें प्रकाश और अंधेरे बारी-बारी क्षेत्र दिखाई देते हैं, जैसे कि व्यतिकरण (interference) में होता है। यह विवर्तन नामक घटना के कारण होता है। विवर्तन सभी प्रकार की तरंगों — चाहे वह ध्वनि तरंगें हों, प्रकाश तरंगें, जल तरंगें या पदार्थ तरंगें — का एक सामान्य लक्षण है। चूँकि प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अधिकांश बाधाओं के आयामों की तुलना में बहुत छोटी होती है, इसलिए हमें दैनंदिन जीवन में प्रकाश के विवर्तन प्रभाव स्पष्ट रूप से नहीं दिखते। हालांकि, हमारी आँखों या दूरबीन, सूक्ष्मदर्शी जैसे प्रकाशिक उपकरणों की सीमित स्पष्टता (resolution) विवर्तन घटना के कारण ही होती है। वास्तव में, जब आप किसी CD को देखते हैं और उसमें रंग दिखाई देते हैं, तो यह भी विवर्तन प्रभाव के कारण होता है। अब हम विवर्तन घटना की चर्चा करेंगे।

10.6.1 एकल झिरी (The single slit)

यंग के प्रयोग की चर्चा में हमने कहा कि एक एकल संकीर्ण झिरी नए स्रोत के रूप में कार्य करती है जिससे प्रकाश फैलता है। यंग से पहले भी प्रारंभिक प्रयोगकर्ताओं — न्यूटन सहित — ने देखा था कि संकीर्ण छिद्रों और झिरियों से प्रकाश फैलता है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह कोनों पर मुड़ जाता है और उन क्षेत्रों में प्रवेश कर जाता है जहाँ हम छाया की अपेक्षा करते हैं। इन प्रभावों, जिन्हें विवर्तन कहा जाता है, को केवल तरंग संबंधी विचारों का उपयोग करके ही ठीक से समझा जा सकता है। आखिरकार, आप किसी कोने के पीछे से बात करते हुए ध्वनि तरंगें सुनकर आश्चर्यचकित नहीं होते!

जब यंग के प्रयोग में द्वि-झिरी को एक एकल संकीर्ण झिरी से प्रतिस्थापित किया जाता है (जो एक एकवर्णी स्रोत द्वारा प्रकाशित है), तो एक विस्तृत पैटर्न दिखाई देता है जिसमें केंद्र में एक उज्जल क्षेत्र होता है। दोनों ओर बारी-बारी से अंधेरे और उज्जल क्षेत्र होते हैं, जिनकी तीव्रता केंद्र से दूर जाने पर कम होती जाती है (चित्र 10.15)। इसे समझने के लिए चित्र 10.14 पर जाइए, जो दर्शाता है कि प्रकाश की एक समानांतर किरणें चौड़ाई $a$ की एकल झिरी LN पर लंबवत गिरती हैं। विवर्तित प्रकाश एक स्क्रीन पर जाता है। झिरी का मध्य बिंदु $\mathrm{M}$ है।

M से गुजरने वाली एक सीधी रेखा लंबवत

चित्र 10.14 एकल झिरी के विवर्तन के लिए पथ अंतर की ज्यामिति। झिरी के तल से सीधे स्क्रीन पर C पर मिलने वाली रेखा। हम स्क्रीन पर किसी भी बिंदु P पर तीव्रता जानना चाहते हैं। जैसा पहले, P को झिरी के विभिन्न बिंदुओं L, M, N आदि से जोड़ने वाली सीधी रेखाएं समानांतर मानी जा सकती हैं, जो सामान्य MC के साथ कोण θ बनाती हैं।

मूल विचार यह है कि झिरी को बहुत छोटे भागों में विभाजित किया जाए, और उनके योगदानों को P पर उचित कलांतरों के साथ जोड़ा जाए। हम झिरी पर तरंग मोर्चे के विभिन्न भागों को द्वितीय स्रोतों के रूप में मान रहे हैं। चूंकि आने वाला तरंग मोर्चा झिरी के तल के समानांतर है, ये स्रोत समकालिक हैं।

यह प्रेक्षित किया गया है कि तीव्रता का एक केंद्रीय उच्चतम मान θ=0 पर होता है और अन्य द्वितीय उच्चतम मान θ ≈ (n+1/2) λ/a पर होते हैं, जो n के बढ़ने के साथ कमजोर होते जाते हैं। निम्नतम मान (शून्य तीव्रता) θ ≈ n λ/a, n = ±1, ±2, ±3, … पर होते हैं। इससे संबंधित फोटोग्राफ और तीव्रता पैटर्न चित्र 10.15 में दिखाया गया है।

इन घटनाओं की खोज के बाद से वैज्ञानिकों के बीच व्यतिकरण और विवर्तन के बीच अंतर को लेकर लंबी चर्चा होती रही है। इस संदर्भ में यह उल्लेखनीय है कि रिचर्ड फेनमैन* ने अपने प्रसिद्ध फेनमैन लेक्चर्स ऑन फिजिक्स में क्या कहा है:

चित्र 10.15 एकल स्लिट पर विवर्तन के कारण फ्रिंजों की तीव्रता वितरण और फोटोग्राफ।

किसी भी व्यक्ति कभी भी व्यतिकरण और विवर्तन के बीच अंतर को संतोषजनक रूप से परिभाषित करने में सफल नहीं हुआ है। यह केवल उपयोग का प्रश्न है, और इन दोनों के बीच कोई विशिष्ट, महत्वपूर्ण भौतिक अंतर नहीं है। हम जो कुछ कर सकते हैं, वह यह है कि मोटे तौर पर यह कहना है कि जब केवल कुछ स्रोत होते हैं, मान लीजिए दो व्यतिकरण करने वाले स्रोत, तो परिणाम को आमतौर पर व्यतिकरण कहा जाता है, लेकिन यदि बड़ी संख्या में स्रोत हों, तो ऐसा प्रतीत होता है कि विवर्तन शब्द अधिक प्रयुक्त होता है।

• रिचर्ड फेनमैन 1965 का भौतिकी का नोबेल पुरस्कार प्राप्त करने वालों में से एक थे, जिन्होंने क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में मौलिक कार्य के लिए यह पुरस्कार प्राप्त किया था।

द्वि-स्लिट प्रयोग में, हमें यह ध्यान देना चाहिए कि स्क्रीन पर पैटर्न वास्तव में प्रत्येक स्लिट या छिद्र से एकल स्लिट विवर्तन और द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न का एक अध्यारोप है।

10.6.2 एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न को देखना

यह देखना आश्चर्यजनक रूप से आसान है कि स्वयं एकल-चीरिका विवर्तन प्रतिरूप कैसा दिखता है। आवश्यक उपकरण अधिकांश घरों में मिल सकते हैं – दो रेज़र ब्लेड और एक साफ़ काँच का बिजली का बल्ब, अधिमानतः सीधे फिलामेंट वाला। दोनों ब्लेडों को इस प्रकार पकड़ना होता है कि उनकी धाराएँ समानांतर हों और बीच में एक संकीर्ण चीरिका बने। यह अंगूठे और तर्जनी-अंगुलियों से आसानी से किया जा सकता है (चित्र 10.16)।

चित्र 10.16 एकल चीरिका बनाने के लिए दो ब्लेडों को पकड़ना। इसके माध्यम से देखा गया बल्ब फिलामेंट स्पष्ट विवर्तन पट्टियाँ दिखाता है।

चीरिका को फिलामेंट के समानांतर, आँख के ठीक सामने रखें। यदि आप चश्मा पहनते हैं तो उसे पहनें। चीरिका की चौड़ाई और किनारों की समानांतरता में थोड़ा-सा समायोजन करने पर प्रतिरूप अपनी उज्ज्वल और अंधकार पट्टियों के साथ दिखाई देना चाहिए। चूँकि सभी पट्टियों की स्थिति (केंद्रीय को छोड़कर) तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है, वे कुछ रंग दिखाएँगी। लाल या नीले रंग का फिल्टर प्रयोग करने से फ्रिंज स्पष्ट दिखेंगे। दोनों फिल्टर उपलब्ध हों तो लाल की तुलना में नीले के लिए संकीर्ण फ्रिंज देखी जा सकती हैं।

इस प्रयोग में फिलामेंट चित्र 10.15 में पहली चीरिका $S$ की भूमिका निभाता है। आँख का लेंस इस प्रतिरूप को स्क्रीन (आँख की रेटिना) पर फोकसित करता है।

थोड़े प्रयास से, एल्युमिनियम फॉयल में ब्लेड से डबल स्लिट काटी जा सकती है। बल्ब के फिलामेंट को पहले की तरह देखकर यंग का प्रयोग दोहराया जा सकता है। दिन के समय, आँख पर छोटा कोण बनाने वाला एक अन्य उपयुक्त उज्ज्वल स्रोत होता है। यह सूर्य का किसी चमकदार उत्तल सतह (जैसे साइकल की घंटी) में परावर्तन है। सीधे सूर्य को देखने की कोशिश न करें — यह आँख को नुकसान पहुँचा सकता है और फ्रिंज भी नहीं देगा क्योंकि सूर्य $(1 / 2)^{\circ}$ का कोण बनाता है।

इंटरफेरेंस और विवर्तन में, प्रकाश की ऊर्जा का पुनर्वितरण होता है। यदि यह किसी क्षेत्र में कम हो जाती है, तो एक डार्क फ्रिंज बनती है, और यह दूसरे क्षेत्र में बढ़ जाती है, जिससे एक ब्राइट फ्रिंज बनती है। ऊर्जा की कोई वृद्धि या हानि नहीं होती है, जो ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुरूप है।[^0]

10.7 ध्रुवण

मान लीजिए आप एक लंबी डोरी को क्षैतिज रूप से पकड़े हुए हैं, जिसका दूसरा सिरा स्थिर माना गया है। यदि हम डोरी के सिरे को ऊपर-नीचे आवर्ती तरीके से हिलाते हैं, तो हम $+x$ दिशा में प्रसारित होने वाली एक तरंग उत्पन्न करेंगे (चित्र 10.17)। ऐसी तरंग को निम्न समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है

चित्र 10.17 (a) ये वक्र एक तार के विस्थापन को $t=0$ और $t=\Delta t$ पर दर्शाते हैं, क्रमशः, जब एक साइनोसॉइडल तरंग $+x$-दिशा में प्रसारित हो रही हो। (b) यह वक्र $x=0$ पर विस्थापन के समय परिवर्तन को दर्शाता है जब एक साइनोसॉइडल तरंग $+x$-दिशा में प्रसारित हो रही हो। $x=\Delta x$ पर, विस्थापन का समय परिवर्तन थोड़ा सा दाईं ओर सरक जाएगा।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{10.15} \end{equation*} $$

जहाँ $a$ और $\omega(=2 \pi v)$ क्रमशः तरंग की आयाम और कोणीय आवृत्ति को दर्शाते हैं; आगे,

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \tag{10.16} \end{equation*} $$

इस तरंग से संबद्ध तरंगदैर्ध्य को दर्शाता है। हमने ऐसी तरंगों के प्रसार पर कक्षा ग्यारहवीं की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 14 में चर्चा की थी। चूँकि विस्थापन (जो $y$ दिशा में है) तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत है, हमारे पास वही है जिसे अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। साथ ही, चूँकि विस्थापन $y$ दिशा में है, इसे प्रायः $y$-ध्रुवित तरंग कहा जाता है। चूँकि तार पर प्रत्येक बिंदु एक सीधी रेखा पर चलता है, तरंग को रेखीय रूप से ध्रुवित तरंग भी कहा जाता है। आगे, तार सदैव $x-y$ तल में सीमित रहता है और इसलिए इसे समतल ध्रुवित तरंग भी कहा जाता है।

इसी प्रकार हम तार के कम्पन को $x$ - $z$ तल में विचार कर सकते हैं जो एक $z$-ध्रुवित तरंग उत्पन्न करता है जिसका विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाएगा

$$ \begin{equation*} z(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{10.17} \end{equation*} $$

यह उल्लेखनीय है कि रेखीय रूप से ध्रुवित तरंगें [जिनका वर्णन समीकरणों (10.15) और (10.17) द्वारा किया गया है] सभी अनुप्रस्थ तरंगें हैं; अर्थात् डोरी के प्रत्येक बिंदु का विस्थापन सदैव तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत् होता है। अंततः, यदि डोरी के कम्पन के तल को अत्यल्प समय अंतरालों में यादृच्छिक रूप से बदला जाए, तो हमारे पास वही होता है जिसे अध्रुवित तरंग कहा जाता है। इस प्रकार, एक अध्रुवित तरंग के लिए विस्थापन समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता रहेगा, यद्यपि यह सदैव प्रसार की दिशा के लंबवत् ही रहेगा।

प्रकाश तरंगें स्वाभाविक रूप से अनुप्रस्थ होती हैं; अर्थात् एक प्रसारित प्रकाश तरंग से संबद्ध विद्युत क्षेत्र सदैव तरंग की प्रसार दिशा के लंबवत् होता है। इसे एक साधारण पोलरॉयड द्वारा सरलता से प्रदर्शित किया जा सकता है। आपने पतली प्लास्टिक जैसी चादरें अवश्य देखी होंगी, जिन्हें पोलरॉयड कहा जाता है। एक पोलरॉयड विशिष्ट दिशा में संरेखित लंबी श्रृंखला अणुओं से बना होता है। संरेखित अणुओं की दिशा के अनुदिश विद्युत सदिश (प्रसारित प्रकाश तरंग से संबद्ध) अवशोषित हो जाते हैं। इस प्रकार, यदि एक अध्रुवित प्रकाश तरंग ऐसे पोलरॉयड पर आपतित होती है, तो प्रकाश तरंग रेखीय रूप से ध्रुवित हो जाएगी, जिसका विद्युत सदिश संरेखित अणुओं के लंबवत् दिशा में दोलन करेगा; इस दिशा को पोलरॉयड का पास-अक्ष कहा जाता है।

इस प्रकार, यदि एक सामान्य स्रोत (जैसे सोडियम लैंप) से प्रकाश एक पोलरॉयड शीट $P_{1}$ से गुजरता है, तो यह देखा जाता है कि इसकी तीव्रता आधी हो जाती है। $P_{1}$ को घुमाने से प्रसारित किरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता और प्रसारित तीव्रता स्थिर रहती है। अब, मान लीजिए एक समान पोलरॉयड $P_{2}$ को $P_{1}$ से पहले रखा जाता है। जैसा कि अपेक्षित है, लैंप से प्रकाश केवल $P_{2}$ से गुजरने पर तीव्रता में कम हो जाता है। लेकिन अब $P_{1}$ को घुमाने से $P_{2}$ से आने वाले प्रकाश पर नाटकीय प्रभाव पड़ता है। एक स्थिति में, $P_{2}$ के बाद $P_{1}$ द्वारा प्रसारित तीव्रता लगभग शून्य होती है। जब इस स्थिति से $90^{\circ}$ घुमाया जाता है, तो $P_{1}$, $P_{2}$ से निकलने वाली पूरी तीव्रता को लगभग पूरी तरह से प्रसारित करता है (चित्र 10.18)।

चित्र 10.18 में दिया गया प्रयोग इस मान्यता से आसानी से समझा जा सकता है कि पोलरॉयड $P_{2}$ से गुजरने वाला प्रकाश $P_{2}$ के पास-अक्ष के अनुदेश ध्रुवित हो जाता है। यदि $P_{2}$ का पास-अक्ष, $P_{1}$ के पास-अक्ष से कोण $\theta$ बनाता है, तो जब ध्रुवित किरण पोलरॉयड $P_{2}$ से गुजरती है, तो घटक $E \cos \theta$ (जो $P_{2}$ के पास-अक्ष के अनुदेश है) $P_{2}$ से गुजर जाएगा। इस प्रकार, जैसे ही हम पोलरॉयड $P_{1}$ (या $P_{2}$) को घुमाते हैं, तीव्रता इस प्रकार बदलेगी:

$$ \begin{equation*} I=I_{0} \cos ^{2} \theta \tag{10.18} \end{equation*} $$

जहाँ $I_{0}$ वह तीव्रता है जो ध्रुवित प्रकाश $P_{1}$ से गुज़रने के बाद प्राप्त होती है। इसे मालस नियम कहा जाता है। उपरोक्त चर्चा दर्शाती है कि एकल पोलरॉइड से निकलने वाली तीव्रता आपतित तीव्रता की आधी होती है। दूसरा पोलरॉइड लगाकर, दोनों पोलरॉइडों के पास-अक्षों के बीच कोण को समायोजित करके तीव्रता को आपतित तीव्रता के 50 % से शून्य तक और नियंत्रित किया जा सकता है।

आकृति 10.18 (a) प्रकाश का दो पोलरॉइडों $P_{2}$ और $P_{1}$ से गुज़रना। उनके बीच का कोण $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बदलने पर संचरित अंश 1 से 0 तक गिरता है। ध्यान दें कि एकल पोलरॉइड $P_{1}$ से दिखाई देने वाला प्रकाश कोण के साथ नहीं बदलता। (b) दो पोलरॉइडों से प्रकाश गुज़रने पर विद्युत सदिश का व्यवहार। संचरित ध्रुवण, पोलरॉइड अक्ष के समांतर घटक होता है। दोहरी तीरें विद्युत सदिश के दोलनों को दर्शाती हैं।

पोलरॉइड तीव्रता को नियंत्रित करने के लिए धूप के चश्मों, खिड़कियों के काँच आदि में प्रयुक्त किए जाते हैं। पोलरॉइड फोटोग्राफिक कैमरों और 3D मूवी कैमरों में भी प्रयोग होते हैं।

उदाहरण 10.2 दो क्रॉस्ड पोलरॉइडों के बीच एक पोलरॉइड शीट घुमाने पर संचरित प्रकाश की तीव्रता पर चर्चा कीजिए।

हल माना कि पहले ध्रुवक $P_{1}$ से गुजरने के बाद ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_{0}$ है। तब दूसरे ध्रुवक $P_{2}$ से गुजरने के बाद प्रकाश की तीव्रता होगी

$I=I_{0} \cos ^{2} \theta$

जहाँ $\theta$ ध्रुवक $P_{1}$ और $P_{2}$ के पास अक्षों के बीच का कोण है। चूँकि $P_{1}$ और $P_{3}$ परस्पर लंबवत हैं, इसलिए $P_{2}$ और $P_{3}$ के पास अक्षों के बीच का कोण $(\pi / 2-\theta)$ होगा। इसलिए $P_{3}$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता होगी

$$ \begin{aligned} I & =I_{0} \cos ^{2} \theta \cos ^{2} \frac{\pi}{2}-\theta \ & =I_{0} \cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta=\left(I_{0} / 4\right) \sin ^{2} 2 \theta \end{aligned} $$

इसलिए, प्रेषित तीव्रता अधिकतम होगी जब $\theta=\pi / 4$।

सारांश

1. हाइगेन्स का सिद्धांत हमें बताता है कि तरंगफ्रंट पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगों का स्रोत होता है, जो एक साथ मिलकर बाद के समय में तरंगफ्रंट बनाते हैं।

2. हाइगेन्स की रचना हमें बताती है कि नया तरंगफ्रंट द्वितीयक तरंगों का अग्रगामी लिफाफा होता है। जब प्रकाश की चाल दिशा पर निर्भर नहीं करती है, तो द्वितीयक तरंगें गोलाकार होती हैं। किरणें तब तरंगफ्रंटों के लंबवत होती हैं और किसी भी किरण के साथ मापा गया समय यात्रा समान होता है। यह सिद्धांत परावर्तन और अपवर्तन के प्रसिद्ध नियमों की ओर ले जाता है।

3. जब भी दो या अधिक प्रकाश स्रोत एक ही बिंदु को प्रकाशित करते हैं, तब तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत लागू होता है। जब हम इन स्रोतों से उस बिंदु पर प्रकाश की तीव्रता पर विचार करते हैं, तो व्यक्तिगत तीव्रताओं के योग के अतिरिक्त एक व्यतिकरण पद भी होता है। लेकिन यह पद तभी महत्वपूर्ण है जब इसका औसत शून्येतर हो, जो तभी संभव है जब स्रोतों की आवृत्ति समान हो और उनके बीच एक स्थिर कलांतर हो।

4. यंग का द्वि-छिद्री प्रयोग, जिसमें दो झिल्लियों के बीच की दूरी d है, समान अंतराल के व्यतिकरण फ्रिंज देता है।

5. चौड़ाई a वाली एकल झिल्ली एक विवर्तन पैटर्न देती है जिसमें एक केंद्रीय अधिकतम होता है। तीव्रता (\pm \frac{\lambda}{a}, \pm \frac{2 \lambda}{a}) आदि कोणों पर शून्य तक गिर जाती है, और इनके बीच क्रमशः कमजोर द्वितीयक अधिकतम होते हैं।

6. प्राकृतिक प्रकाश, उदाहरण के लिए सूर्य से आने वाला, अध्रुवित होता है। इसका अर्थ है कि विद्युत-क्षेत्र सदिश अनुप्रस्थ तल में सभी संभावित दिशाओं में तेजी से और यादृच्छिक रूप से घूमता है, माप के दौरान। एक पोलरॉइड केवल एक घटक (एक विशेष अक्ष के समानांतर) को ही पारगमन करने देता है। परिणामी प्रकाश को रेखीय ध्रुवित या समतल ध्रुवित कहा जाता है। जब इस प्रकार के प्रकाश को एक दूसरे पोलरॉइड से देखा जाता है जिसका अक्ष (2 \pi) तक घूमता है, तो तीव्रता के दो अधिकतम और दो न्यूनतम दिखाई देते हैं।

विचार करने योग्य बिंदु

1. एक बिंदु स्रोत से तरंगें सभी दिशाओं में फैलती हैं, जबकि प्रकाश संकीर्ण किरणों के साथ यात्रा करता देखा गया। यह समझने के लिए कि तरंग सिद्धांत प्रकाश के व्यवहार के सभी पहलुओं की व्याख्या कैसे कर सकता है, हाइगेंस, यंग और फ्रेस्नेल की अंतर्दृष्टि और प्रयोग आवश्यक थे।

2. तरंगों की महत्वपूर्ण नई विशेषता विभिन्न स्रोतों से आयामों का व्यतिकरण है जो यंग के प्रयोग में दिखाए गए अनुसार रचनात्मक और विनाशकारी दोनों हो सकते हैं।

3. विवर्तन घटनाएं किरण प्रकाशिकी की सीमाओं को परिभाषित करती हैं। सूक्ष्मदर्शी और दूरबीनों की बहुत निकट वस्तुओं को पहचानने की क्षमता की सीमा प्रकाश की तरंगदैर्ध्य द्वारा निर्धारित होती है।

4. अधिकांश व्यतिकरण और विवर्तन प्रभाव वायु में ध्वनि जैसी अनुदैर्ध्य तरंगों के लिए भी मौजूद हैं। लेकिन ध्रुवण घटनाएं प्रकाश तरंगों जैसी अनुप्रस्थ तरंगों के लिए विशेष हैं।