12.1 परिचय

उन्नीसवीं सदी तक, पदार्थ की परमाण्विक परिकल्पना के पक्ष में पर्याप्त प्रमाण एकत्र हो चुके थे। 1897 में, अंग्रेज भौतिकविद् जे. जे. थॉमसन (1856-1940) द्वारा गैसों के माध्यम से विद्युत् निर्गमन पर किए गए प्रयोगों ने यह प्रकट किया कि विभिन्न तत्वों के परमाणु नकारात्मक आवेश के घटकों (इलेक्ट्रॉनों) को समाहित करते हैं जो सभी परमाणुओं के लिए समान होते हैं। तथापि, परमाणु समग्रतः विद्युत्-उदासीन होते हैं। इसलिए, एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के नकारात्मक आवेश को समाप्त करने के लिए कुछ धनात्मक आवेश भी होना चाहिए। परन्तु परमाणु के भीतर धनात्मक आवेश तथा इलेक्ट्रॉनों की व्यवस्था क्या है? दूसरे शब्दों में, परमाणु की संरचना क्या है?

परमाणु का प्रथम मॉडल जे. जे. थॉमसन ने 1898 में प्रस्तुत किया। इस मॉडल के अनुसार, परमाणु का धनात्मक आवेश परमाणु के संपूर्ण आयतन में समान रूप से वितरित होता है और ऋणात्मक आवेश वाले इलेक्ट्रॉन इसमें तरबूज में बीजों की भाँति एम्बेडेड होते हैं। इस मॉडल को चित्रात्मक रूप से परमाणु का प्लम-पुडिंग मॉडल कहा गया। तथापि इस अध्याय में वर्णित परमाणुओं पर आगे के अध्ययनों ने दिखाया कि इलेक्ट्रॉनों तथा धनात्मक आवेशों का वितरण इस मॉडल में प्रस्तावित वितरण से बहुत भिन्न है।

हम जानते हैं कि संघनित पदार्थ (ठोस और द्रव) और सभी तापों पर घने गैसें विद्युतचुंबकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं जिसमें कई तरंगदैर्ध्यों का एक सतत वितरण होता है, यद्यपि विभिन्न तीव्रताओं के साथ। यह विकिरण परमाणुओं और अणुओं के दोलनों के कारण माना जाता है, जो प्रत्येक परमाणु या अणु का अपने पड़ोसियों के साथ पारस्परिक क्रिया द्वारा नियंत्रित होता है। इसके विपरीत, शुद्ध गैसों से जो विकिरण उत्सर्जित होता है जिन्हें लौ में गर्म किया जाता है, या ग्लो ट्यूब में विद्युत रूप से उत्तेजित किया जाता है जैसे कि परिचित नियन चिन्ह या पारा वाष्प प्रकाश, उसमें केवल कुछ विविक्त तरंगदैर्ध्य होते हैं। स्पेक्ट्रम चमकदार रेखाओं की एक श्रृंखला के रूप में प्रकट होता है। ऐसी गैसों में, परमाणुओं के बीच औसत अंतराल बड़ा होता है। इसलिए, उत्सर्जित विकिरण को व्यक्तिगत परमाणुओं के कारण माना जा सकता है बजाय इसके कि यह परमाणुओं या अणुओं के बीच पारस्परिक क्रिया के कारण हो।

प्रारंभिक उन्नीसवीं सदी में यह भी स्थापित किया गया था कि प्रत्येक तत्व एक विशिष्ट विकिरण स्पेक्ट्रम से संबद्ध होता है, उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन हमेशा रेखाओं के एक समूह को देता है जिनमें रेखाओं के बीच स्थिर सापेक्ष स्थिति होती है। इस तथ ने सुझाव दिया कि एक परमाणु की आंतरिक संरचना और उसके द्वारा उत्सर्जित विकिरण स्पेक्ट्रम के बीच एक घनिष्ठ संबंध है। 1885 में, जोहान जैकब बाल्मर (1825 - 1898) ने एक सरल प्रायोगिक सूत्र प्राप्त किया जिसने परमाणु हाइड्रोजन द्वारा उत्सर्जित रेखाओं के एक समूह के तरंगदैर्ध्य दिए। चूंकि हाइड्रोजन ज्ञात तत्वों में सबसे सरल है, हम इस अध्याय में इसके स्पेक्ट्रम को विस्तार से विचार करेंगे।

अर्नेस्ट रदरफोर्ड (1871-1937), जो जे. जे. थॉमसन के पूर्व शोध छात्र थे, कुछ रेडियोधर्मी तत्वों द्वारा उत्सर्जित α-कणों पर प्रयोगों में लगे हुए थे। 1906 में उन्होंने इन α-कणों को परमाणुओं द्वारा प्रकीर्णित करने का एक अनुकरणीय प्रयोग प्रस्तावित किया ताकि परमाणु संरचना की जांच की जा सके। यह प्रयोग बाद में 1911 के आसपास हांस गाइगर (1882-1945) और अर्नेस्ट मार्सडेन (1889-1970, जो 20 वर्षीय छात्र थे और उन्होंने अभी अपनी स्नातक की डिग्री प्राप्त नहीं की थी) द्वारा किया गया। विवरण अनुभाग 12.2 में चर्चित है। परिणामों की व्याख्या ने रदरफोर्ड के परमाणु के ग्रहीय मॉडल (जिसे परमाणु का नाभिकीय मॉडल भी कहा जाता है) के जन्म को प्रेरित किया। इसके अनुसार परमाणु का संपूर्ण धनात्मक आवेश और अधिकांश द्रव्यमान एक छोटे आयतन में केंद्रित होता है जिसे नाभिक कहा जाता है, जिसके चारों ओर इलेक्ट्रॉन परिक्रमा करते हैं जैसे ग्रह सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करते हैं।

अर्नेस्ट रदरफोर्ड (1871 – 1937)

अर्नेस्ट रदरफोर्ड (1871 – 1937) न्यूज़ीलैंड में जन्मे ब्रिटिश भौतिकविद् थे, जिन्होंने रेडियोधर्मी विकिरण पर अग्रणी कार्य किया। उन्होंने अल्फा-किरणों और बीटा-किरणों की खोज की। फ्रेडरिक सोडी के साथ मिलकर उन्होंने रेडियोधर्मिता की आधुनिक सिद्धांत की रचना की। उन्होंने थोरियम की ‘निर्गमन’ का अध्ययन किया और एक नई निष्क्रिय गैस, रेडॉन के एक समस्थानिक, की खोज की, जिसे अब थोरॉन के नाम से जाना जाता है। धातुओं की पतली परतों से अल्फा-किरणों के प्रकीर्णन द्वारा उन्होंने परमाणु नाभिक की खोज की और परमाणु का ग्रहीय मॉडल प्रस्तावित किया। उन्होंने नाभिक के आकार का भी अनुमान लगाया।

रदरफोर्ड का नाभिकीय मॉडल आज हम जिस तरह से परमाणु को देखते हैं, उसकी दिशा में एक बड़ा कदम था। हालांकि, यह यह नहीं समझा सका कि परमाणु केवल विविक्त तरंगदैर्ध्यों की प्रकाश उत्सर्जित क्यों करते हैं। इतना सरल परमाणु जैसे कि हाइड्रोजन, जिसमें एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन होता है, विशिष्ट तरंगदैर्ध्यों की एक जटिल स्पेक्ट्रम कैसे उत्सर्जित कर सकता है? परमाणु की शास्त्रीय तस्वीर में, इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर इसी तरह घूमता है जैसे कोई ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमता है। हालांकि, हम देखेंगे कि ऐसे मॉडल को स्वीकार करने में कुछ गंभीर कठिनाइयाँ हैं।

12.2 अल्फा-कण प्रकीर्णन और रदरफोर्ड का परमाणु का नाभिकीय मॉडल

अर्नेस्ट रदरफोर्ड के सुझाव पर, 1911 में, एच. गाइगर और ई. मार्सडेन ने कुछ प्रयोग किए। उनके एक प्रयोग में, जैसा कि

चित्र 12.1 गाइगर-मार्सडेन प्रकीर्णन प्रयोग। संपूर्ण उपकरण वैक्यूम चैम्बर में रखा गया है (इस चित्र में नहीं दिखाया गया है)।

चित्र 12.1 में, उन्होंने ${83}^{214} \mathrm{Bi}$ रेडियोधर्मी स्रोत से उत्सर्जित $5.5 \mathrm{MeV}$ α-कणों की एक पुंज को सोने की पतली धातु पर्पटी पर निर्देशित किया। चित्र 12.2 इस प्रयोग की एक आरेखीय व्याख्या दिखाता है। ${83}^{214} \mathrm{Bi}$ रेडियोधर्मी स्रोत द्वारा उत्सर्जित α-कणों को सीसे की ईंटों से होकर गुजरने पर एक संकीर्ण पुंज में संकीर्णित किया गया। इस पुंज को सोने की $2.1 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$ मोटाई की पतली पर्पटी पर गिरने दिया गया। प्रकीर्णित α-कणों को जिंक सल्फाइड स्क्रीन और सूक्ष्मदर्शी युक्त घूर्णनशील संवेदक द्वारा देखा गया। प्रकीर्णित α-कण स्क्रीन से टकराने पर संक्षिप्त प्रकाश चमक या सिन्टिलेशन उत्पन्न करते हैं। ये चमकें सूक्ष्मदर्शी से देखी जा सकती हैं और प्रकीर्णित कणों की संख्या का वितरण प्रकीर्णन कोण के फलन के रूप में अध्ययन किया जा सकता है।

चित्र 12.2 गाइगर-मार्सडेन प्रयोग की आरेखीय व्यवस्था।

एक विशिष्ट ग्राफ, जो निर्धारित समय अंतराल में विभिन्न कोणों पर बिखरे हुए कुल α-कणों की संख्या को दर्शाता है, चित्र 12.3 में दिखाया गया है। इस चित्र में बिंदु डेटा बिंदुओं को दर्शाते हैं और ठोस वक्र सैद्धांतिक भविष्यवाणी है जो इस धारणा पर आधारित है कि लक्ष्य परमाणु में एक छोटा, घना, धनात्मक आवेशित नाभिक होता है। बहुत से α-कण पन्नी से होकर गुजर जाते हैं। इसका अर्थ है कि वे किसी भी टक्कर का सामना नहीं करते। केवल लगभग 0.14% आने वाले α-कण 1° से अधिक कोण पर बिखरते हैं; और लगभग 1 में से 8000 कण 90° से अधिक कोण पर विचलित होते हैं। रदरफोर्ड ने तर्क दिया कि α-कण को पीछे की ओर विचलित करने के लिए उसे एक बड़ा प्रतिकर्षण बल अनुभव करना चाहिए। यह बल तभी प्रदान किया जा सकता है यदि परमाणु का अधिकांश द्रव्यमान और उसका धनात्मक आवेश उसके केंद्र में कसकर केंद्रित हो। तब आने वाला α-कण धनात्मक आवेश के बहुत निकट पहुंच सकता है बिना उसमें प्रवेश किए, और ऐसा निकट संपर्क एक बड़े विचलन का कारण बनेगा। यह सहमति नाभिकीय परमाणु की परिकल्पना का समर्थन करती है। यही कारण है कि रदरफोर्ड को नाभिक की खोज का श्रेय दिया जाता है।

रदरफोर्ड के परमाणु के नाभिकीय मॉडल में, परमाणु का सम्पूर्ण धनात्मक आवेश तथा अधिकांश द्रव्यमान नाभिक में केन्द्रित होता है और इलेक्ट्रॉन कुछ दूरी पर होते हैं। इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर कक्षाओं में गति करते हैं जैसे ग्रह सूर्य के चारों ओर करते हैं। रदरफोर्ड के प्रयोगों से संकेत मिलता है कि नाभिक का आकार लगभग $10^{-15} \mathrm{~m}$ से $10^{-14} \mathrm{~m}$ तक है। गतिज सिद्धांत से परमाणु का आकार $10^{-10} \mathrm{~m}$ ज्ञात किया गया था,

आकृति 12.3 प्रयोगात्मक डेटा बिन्दु (बिन्दुओं द्वारा दर्शाए गए) जो कि गीगर और मार्सडन द्वारा आकृतियों 12.1 और 12.2 में दर्शाए गए सेटअप का उपयोग करके पतली परत द्वारा $\alpha$-कणों के विच्छेदन पर विभिन्न कोणों पर प्राप्त किए गए। रदरफोर्ड का नाभिकीय मॉडल ठोस वक्र की भविष्यवाणी करता है जो प्रयोग के साथ उत्तम सहमति में प्रतीत होता है।

नाभिक के आकार की तुलना में लगभग 10,000 से 100,000 गुना बड़ा होता है (देखें कक्षा XI भौतिकी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, खंड 10.6)। इस प्रकार, इलेक्ट्रॉन नाभिक से नाभिक के स्वयं के आकार के लगभग 10,000 से 100,000 गुना दूरी पर प्रतीत होंगे। इस प्रकार, परमाणु का अधिकांश भाग खाली स्थान होता है। परमाणु के अधिकांश भाग खाली स्थान होने के कारण, यह समझना आसान है कि अधिकांश $\alpha$-कण एक पतली धातु पर्ची से सीधे क्यों गुजर जाते हैं। हालांकि, जब कोई $\alpha$-कण संयोग से किसी नाभिक के पास आता है, तो वहां के तीव्र विद्युत क्षेत्र उसे एक बड़े कोण से विच्छिन्न कर देता है। परमाणु के इलेक्ट्रॉन इतने हल्के होते हैं कि वे $\alpha$-कणों पर उल्लेखनीय प्रभाव नहीं डालते।

चित्र 12.3 में दिखाए गए प्रकीर्णन आँकड़ों का विश्लेषण रदरफोर्ड के परमाणु के परमाणुक मॉडल का उपयोग करके किया जा सकता है। चूँकि सोने की परत बहुत पतली है, यह माना जा सकता है कि $\alpha$-कण इससे गुजरने के दौरान एक से अधिक बार प्रकीर्णित नहीं होंगे। इसलिए, एकमात्र नाभिक द्वारा प्रकीर्णित अल्फा-कण की प्रक्षेपपथ की गणना करना पर्याप्त है। अल्फा-कण हीलियम परमाणुओं के नाभिक होते हैं और इसलिए वे धनात्मक आवेश के दो इकाई, $2 e$, ले जाते हैं और हीलियम परमाणु के द्रव्यमान के समान होते हैं। सोने के नाभिक का आवेश $Z e$ है, जहाँ $Z$ परमाणु की परमाणु संख्या है; सोने के लिए $Z=79$ है। चूँकि सोने का नाभिक $\alpha$-कण से लगभग 50 गुना भारी है, यह मानना उचित है कि यह संपूर्ण प्रकीर्णन प्रक्रिया के दौरान स्थिर रहता है। इन मान्यताओं के तहत, न्यूटन के गति का द्वितीय नियम और कूलॉम के विद्युत-स्थैतिक प्रतिकर्षण बल के नियम का उपयोग करके अल्फा-कण की प्रक्षेपपथ की गणना की जा सकती है। इस बल का परिमाण है:

$$ \begin{equation*} F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(2 e)(Z e)}{r^{2}} \tag{12.1} \end{equation*} $$

जहाँ $r$ $\alpha$-कण और नाभिक के बीच की दूरी है। बल $\alpha$-कण और नाभिक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदर दिशा में होता है। $\alpha$-कण पर बल का परिमाण और दिशा लगातार बदलता है जैसे ही वह नाभिक के पास आता है और उससे दूर जाता है।

12.2.1 अल्फा-कण प्रक्षेपपथ

$\alpha$-कण द्वारा अनुसरित पथ टक्कर के प्रभाव पैरामीटर, $b$ पर निर्भर करता है। प्रभाव पैरामीटर $\alpha$-कण के प्रारंभिक वेग सदिश तथा नाभिक के केंद्र के बीच की लंबवत दूरी होती है (चित्र 12.4)। $\alpha$-कणों की एक दी गई किरण में प्रभाव पैरामीटर $b$ का एक वितरण होता है, जिससे किरण विभिन्न दिशाओं में भिन्न प्रायिकताओं के साथ प्रकीर्णित होती है (चित्र 12.4)। (एक किरण में सभी कणों की गतिज ऊर्जा लगभग समान होती है।) यह देखा गया है कि नाभिक के निकट आने वाला $\alpha$-कण (छोटा प्रभाव पैरामीटर) बड़ी प्रकीर्णन का अनुभव करता है। सीधे टक्कर की स्थिति में प्रभाव पैरामीटर न्यूनतम होता है और $\alpha$-कण वापस लौट जाता है $(\theta \cong \pi)$। बड़े प्रभाव पैरामीटर के लिए $\alpha$-कण लगभग विचलित हुए बिना जाता है और इसे थोड़ा विचलन होता है $(\theta \cong 0)$।

यह तथ्य कि आने वाले कणों की संख्या का केवल एक छोटा सा अंश ही वापस लौटता है, यह दर्शाता है कि सिर-सिर टक्कर (head on collision) वाले α-कणों की संख्या बहुत कम है। इसका अर्थ यह है कि परमाणु का द्रव्यमान और धनात्मक आवेश एक छोटे से आयतन में केंद्रित है। इस प्रकार, रदरफोर्ड प्रकीर्णन नाभिक के आकार की ऊपरी सीमा निर्धारित करने का एक शक्तिशाली तरीका है।

उदाहरण 12.1 रदरफोर्ड के परमाणु के नाभिकीय मॉडल में, नाभिक (त्रिज्या लगभग $10^{-15} \mathrm{~m}$) सूर्य के समान है जिसके चारों ओर इलेक्ट्रॉन कक्षा में घूमते हैं (त्रिज्या $\approx 10^{-10} \mathrm{~m}$) जैसे पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है। यदि सौर मंडल के आयाम परमाणु के आयामों के समान अनुपात में होते, तो क्या पृथ्वी सूर्य से वास्तविक दूरी की तुलना में अधिक निकट होती या अधिक दूर? पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या लगभग $1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$ है। सूर्य की त्रिज्या $7 \times 10^{8} \mathrm{~m}$ मानी गई है।

हल इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या तथा नाभिक की त्रिज्या का अनुपात $\left(10^{-10} \mathrm{~m}\right) /\left(10^{-15} \mathrm{~m}\right)=10^{5}$ है, अर्थात् इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या नाभिक की त्रिज्या से $10^{5}$ गुना बड़ी है। यदि पृथ्वी की सूर्य परिक्रमा की त्रिज्या सूर्य की त्रिज्या से $10^{5}$ गुना बड़ी होती, तो पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या $10^{5} \times 7 \times 10^{8} \mathrm{~m}=$ $7 \times 10^{13} \mathrm{~m}$ होती। यह पृथ्वी की वास्तविक कक्षीय त्रिज्या से 100 गुना से अधिक है। इस प्रकार पृथ्वी सूर्य से बहुत दूर होती। इसका तात्पर्य है कि एक परमाणु में हमारी सौर-मंडल की तुलना में कहीं अधिक खाली स्थान होता है।

उदाहरण 12.2 गाइगर-मार्सडन प्रयोग में, $7.7 \mathrm{MeV}$ के एक $\alpha$-कण की नाभिक से न्यूनतम निकटतम दूरी क्या है, जिससे पहले वह क्षणिक रूप से विरामित होकर अपनी दिशा उलट देता है?

हल यहाँ प्रमुख विचार यह है कि पूरे प्रकीर्णन प्रक्रिया के दौरान, α-कण और सोने के नाभिक से बनी प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। प्रणाली की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_{i}$ है, कण और नाभिक के परस्पर क्रिया करने से पहले, और यह उसकी यांत्रिक ऊर्जा $E_{f}$ के बराबर है जब α-कण क्षणिक रूप से रुक जाता है। प्रारंभिक ऊर्जा $E_{i}$ केवल आने वाले α-कण की गतिज ऊर्जा $K$ है। अंतिम ऊर्जा $E_{f}$ केवल प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ है। स्थितिज ऊर्जा $U$ को समीकरण (12.1) से परिकलित किया जा सकता है।

मान लीजिए $d$ वह केंद्र-से-केंद्र दूरी है जब α-कण अपने रुकने के बिंदु पर होता है। तब हम ऊर्जा संरक्षण $E_{i}=E_{f}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं

$$ K=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(2 e)(Z e)}{d}=\frac{2 Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} d} $$

इस प्रकार निकटतम उपगमन दूरी $d$ दी जाती है

$$ d=\frac{2 Z e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} K} $$

प्राकृतिक स्रोतों के α-कणों में पाई जाने वाली अधिकतम गतिज ऊर्जा

$$7.7 \mathrm{MeV}$ \text { या } $1.2 \times 10^{-12} \mathrm{~J}$. \text {चूँकि} $1 / 4 \pi \varepsilon_{0}=9.0 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2}$$.

इसलिए $e=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ लेने पर, हम पाते हैं,

$$ \begin{aligned} d & =\frac{(2)\left(9.0 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} / C^{2}\right)\left(1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)^{2} \mathrm{Z}}{1.2 \times 10^{-12} \mathrm{~J}} \\ & =3.84 \times 10^{-16} \mathrm{Zm} \end{aligned} $$

फॉइल सामग्री सोने का परमाणु क्रमांक $Z=79$ है, इसलिए

$d(\mathrm{Au})=3.0 \times 10^{-14} \mathrm{~m}=30 \mathrm{fm} .(1 \mathrm{fm}$ अर्थात फर्मी $=10^{-15} \mathrm{मीटर}$. $)$

इसलिए सोने के नाभिक की त्रिज्या $3.0 \times 10^{-14} \mathrm{~m}$ से कम है। यह प्रेक्षित परिणाम के साथ बहुत अच्छी तरह से सहमत नहीं है क्योंकि सोने के नाभिक की वास्तविक त्रिज्या $6 \mathrm{fm}$ है। विसंगति का कारण यह है कि निकटतम दृष्टिकोन की दूरी सोने के नाभिक और $\alpha$-कण की त्रिज्याओं के योग से काफी अधिक है। इस प्रकार, $\alpha$-कण सोने के नाभिक को वास्तव में छुए बिना ही अपनी गति को उलट देता है।

12.2.2 इलेक्ट्रॉन कक्षाएँ

परमाणु का रदरफोर्ड नाभिकीय मॉडल जिसमें शास्त्रीय संकल्पनाएँ शामिल हैं, परमाणु को एक विद्युत-तटस्थ गोले के रूप में चित्रित करता है जिसमें केंद्र पर एक बहुत छोटा, भारी और धनात्मक आवेशित नाभिक होता है और इसके चारों ओर अपनी-अपनी गतिशील रूप से स्थिर कक्षाओं में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन होते हैं। घूमते हुए इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के बीच वैद्युत स्थैतिक आकर्षण बल, $F_{e}$ आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल $\left(F_{c}\right)$ प्रदान करता है जिससे वे अपनी कक्षाओं में बने रहें। इस प्रकार, हाइड्रोजन परमाणु में एक गतिशील रूप से स्थिर कक्षा के लिए

$$ \begin{gather*} F_{e}=F_{c} \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}=\frac{m v^{2}}{r} \tag{12.2} \end{gather*} $$

इस प्रकार कक्षा की त्रिज्या और इलेक्ट्रॉन के वेग के बीच संबंध है

$$ \begin{equation*} r=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} m v^{2}} \tag{12.3} \end{equation*} $$

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थिरवैद्युत विभव ऊर्जा $(U)$ हैं

$$ K=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} \text { और } U=-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} $$

($U$ में ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि स्थिरवैद्युत बल $-r$ दिशा में है।) इस प्रकार हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ है

$$ \begin{align*} E=K+U & =\frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \\ & =-\frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} \tag{12.4} \end{align*} $$

इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा ऋणात्मक है। इसका तात्पर्य है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधा हुआ है। यदि $E$ धनात्मक होती, तो इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर बंद कक्षा में नहीं चलता।

उदाहरण 12.3 प्रयोगशाला में यह पाया गया है कि हाइड्रोजन परमाणु को एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन में अलग करने के लिए $13.6 \mathrm{eV}$ ऊर्जा आवश्यक होती है। हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या और वेग की गणना कीजिए।

हल हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $-13.6 \mathrm{eV}=$ $-13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}=-2.2 \times 10^{-18} \mathrm{J}$ है। इस प्रकार समी. (12.4) से, हमें प्राप्त होता है

$$ E=-\frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}=-2.2 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $$

यह कक्षीय त्रिज्या देता है

$$ \begin{aligned} r & =-\frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} E}=-\frac{\left(9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2}\right)\left(1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right)^{2}}{(2)\left(-2.2 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right)} \ & =5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m} . \end{aligned} $$

चक्कर लगा रहे इलेक्ट्रॉन का वेग समीकरण (12.3) से $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ के साथ परिकलित किया जा सकता है,

$$ v=\frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_{0} m r}}=2.2 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} $$

12.3 परमाणु स्पेक्ट्रा

जैसा कि अनुभाग 12.1 में उल्लेख किया गया है, प्रत्येक तत्व का विकिरण का एक विशिष्ट स्पेक्ट्रम होता है, जिसे वह उत्सर्जित करता है। जब एक परमाणु गैस या वाष्प को निम्न दबाव पर उत्तेजित किया जाता है, आमतौर पर इसके माध्यम से विद्युत धारा प्रवाहित करके, उत्सर्जित विकिरण का स्पेक्ट्रम कुछ विशिष्ट तरंगदैर्ध्यों को ही समाहित करता है। इस प्रकार के स्पेक्ट्रम को उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम कहा जाता है और यह

चित्र 12.5 हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रम में उत्सर्जन रेखाएँ।

एक गहरे पृष्ठभूमि पर चमकदार रेखाओं से युक्त होता है। परमाणु हाइड्रोजन द्वारा उत्सर्जित स्पेक्ट्रम को चित्र 12.5 में दिखाया गया है। किसी पदार्थ के उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम का अध्ययन इसलिए गैस की पहचान के लिए एक प्रकार के “अंगुलीछाप” के रूप में काम कर सकता है। जब सफेद प्रकाश किसी गैस से गुजरता है और हम प्रेषित प्रकाश का विश्लेषण स्पेक्ट्रोमीटर द्वारा करते हैं, तो हम स्पेक्ट्रम में कुछ गहरी रेखाएं पाते हैं। ये गहरी रेखाएं ठीक उन तरंगदैर्ध्यों के अनुरूप होती हैं जो गैस के उत्सर्जन रेखा स्पेक्ट्रम में पाए गए थे। इसे गैस के पदार्थ का अवशोषण स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

12.4 हाइड्रोजन का बोर मॉडल

रदरफोर्ड द्वारा प्रस्तावित परमाणु मॉडल यह मानता है कि परमाणु, जिसमें एक केंद्रीय नाभिक और परिक्रमा करता हुआ इलेक्ट्रॉन होता है, स्थिर होता है, ठीक वैसे ही जैसे सूर्य-ग्रह प्रणाली जिसकी यह नकल करता है। हालांकि, दोनों स्थितियों के बीच कुछ मौलिक अंतर हैं। जहां ग्रह प्रणाली गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा बंधी होती है, वहीं नाभिक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली आवेशित वस्तुएं होने के कारण कूलॉम के बल नियम द्वारा परस्पर क्रिया करती हैं। हम जानते हैं कि कोई वस्तु जो वृत्त में चलती है, निरंतर त्वरित होती है — यह त्वरण केंद्रापसारक प्रकृति का होता है। शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार, त्वरित आवेशित कण विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में विकिरण उत्सर्जित करता है। त्वरित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा इसलिए निरंतर घटती जानी चाहिए। इलेक्ट्रॉन अंदर की ओर सर्पिल बनाते हुए घूमेगा और अंततः नाभिक में गिर जाएगा (चित्र 12.6)।

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निल्स हेनरिक डेविड बोर (1885 – 1962)

डेनिश भौतिकशास्त्री जिसने हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम को क्वांटम विचारों के आधार पर समझाया। उसने नाभिक के तरल-बूंद मॉडल के आधार पर नाभिकीय विखंडन का एक सिद्धांत दिया। बोहर ने क्वांटम यांत्रिकी में वैचारिक समस्याओं को स्पष्ट करने में योगदान दिया, विशेष रूप से पूरक सिद्धांत (complementary principle) प्रस्तावित करके।

इस प्रकार, ऐसा परमाणु स्थिर नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त, शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार, परिक्रमा करते हुए इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्सर्जित विद्युतचुंबकीय तरंगों की आवृत्ति परिक्रमा की आवृत्ति के बराबर होती है। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन अंदर की ओर सर्पिल मार्ग से आते हैं, उनके कोणीय वेग और इसलिए उनकी आवृत्तियाँ लगातार बदलती रहेंगी, और इसी तरह उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्ति भी बदलेगी। इस प्रकार, वे एक सतत स्पेक्ट्रम उत्सर्जित करेंगे, जो वास्तव में प्रेक्षित रेखा स्पेक्ट्रम के विपरीत है। स्पष्ट रूप से रदरफोर्ड मॉडल केवल कहानी का एक भाग बताता है, जिससे यह संकेत मिलता है कि परमाण्विक संरचना को समझाने के लिए शास्त्रीय विचार पर्याप्त नहीं हैं।

चित्र 12.6 एक त्वरित परमाण्विक इलेक्ट्रॉन को ऊर्जा खोने के साथ-साथ नाभिक में सर्पिल मार्ग से गिरना चाहिए।

उदाहरण 12.4 शास्त्रीय विद्युत-चुंबकीय सिद्धांत के अनुसार, हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन के चारों ओर घूम रहे इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की प्रारंभिक आवृत्ति की गणना कीजिए।

हल उदाहरण 12.3 से हम जानते हैं कि हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन के चारों ओर $5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}$ त्रिज्या की कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का वेग $2.2 \times 10^{-6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है। इस प्रकार, प्रोटॉन के चारों ओर घूम रहे इलेक्ट्रॉन की आवृत्ति

$$ \begin{array}{r} v=\frac{v}{2 \pi r}=\frac{2.2 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{2 \pi\left(5.3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}\right)} \\ \approx 6.6 \times 10^{15} \mathrm{~Hz} \end{array} $$

है।
शास्त्रीय विद्युत-चुंबकीय सिद्धांत के अनुसार हम जानते हैं कि घूम रहे इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्सर्जित विद्युत-चुंबकीय तरंगों की आवृत्ति उसकी नाभिक के चारों ओर क्रांति की आवृत्ति के बराबर होती है। इस प्रकार उत्सर्जित प्रकाश की प्रारंभिक आवृत्ति $6.6 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ है।

यह नील्स बोर (1885 - 1962) थे जिन्होंने नव विकसित क्वांटम परिकल्पना की धारणाओं को जोड़कर इस मॉडल में कुछ संशोधन किए। नील्स बोर ने 1912 में कुछ महीनों तक रदरफोर्ड के प्रयोगशाला में अध्ययन किया और वह रदरफोर्ड के नाभिकीय मॉडल की वैधता से आश्वस्त हो गए। उपरोक्त चर्चित दुविधा का सामना करते हुए, बोर ने 1913 में निष्कर्ष निकाला कि बड़े पैमाने की घटनाओं की व्याख्या करने में वैद्युतचुंबकीय सिद्धांत की सफलता के बावजूद, इसे परमाणु स्तर की प्रक्रियाओं पर लागू नहीं किया जा सकता। यह स्पष्ट हो गया कि परमाणुओं की संरचना को समझने और परमाणु संरचना का परमाणु स्पेक्ट्रा से संबंध स्थापित करने के लिए शास्त्रीय यांत्रिकी और वैद्युतचुंबकत्व की स्थापित सिद्धांतों से काफी मूलभूत विचलन की आवश्यकता होगी। बोर ने शास्त्रीय और प्रारंभिक क्वांटम धारणाओं को संयोजित किया और अपने सिद्धांत को तीन प्रतिबंधों के रूप में प्रस्तुत किया। ये हैं:

(i) बोर का पहला प्रतिबंध यह था कि परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन निश्चित स्थिर कक्षाओं में चक्कर लगा सकता है बिना विकिरण ऊर्जा के उत्सर्जन के, जो वैद्युतचुंबकीय सिद्धांत की भविष्यवाणियों के विपरीत है। इस प्रतिबंध के अनुसार, प्रत्येक परमाणु के पास कुछ निश्चित स्थिर अवस्थाएं होती हैं जिनमें वह विद्यमान रह सकता है, और प्रत्येक संभावित अवस्था में निश्चित कुल ऊर्जा होती है। इन्हें परमाणु की स्थिर अवस्थाएं कहा जाता है।

(ii) बोर का दूसरा पोस्टुलेट इन स्थिर कक्षाओं को परिभाषित करता है। यह पोस्टुलेट कहता है कि इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करता है जिनके लिए कोणीय संवेग $h / 2 \pi$ का कोई पूर्णांक गुणांक होता है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $\left(=6.6 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)$ है। इस प्रकार परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज़्ड होता है। अर्थात्

$$ \begin{align*} & L=n h / 2 \pi \tag{12.5} \end{align*} $$

(iii) बोर का तीसरा पोस्टुलेट परमाणु सिद्धांत में उन प्रारंभिक क्वांटम अवधारणाओं को सम्मिलित करता है जो प्लांक और आइंस्टीन द्वारा विकसित की गई थीं। यह कहता है कि एक इलेक्ट्रॉन अपनी निर्दिष्ट अ-विकिरण करने वाली कक्षाओं में से किसी एक से किसी निम्न ऊर्जा वाली कक्षा में संक्रमण कर सकता है। जब ऐसा होता है, एक फोटॉन उत्सर्जित होता है जिसकी ऊर्जा प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच के ऊर्जा अंतर के बराबर होती है। उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति तब दी जाती है

$$ \begin{align*} & h v=E_{i}-E_{f} \tag{12.6} \end{align*} $$

जहाँ $E_{i}$ और $E_{f}$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं की ऊर्जाएँ हैं और $E_{i}>E_{f}$।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए, समीकरण (12.4) विभिन्न ऊर्जा अवस्थाओं की ऊर्जाओं को निर्धारित करने के लिए व्यंजक देता है। लेकिन फिर इस समीकरण को इलेक्ट्रॉन कक्षा की त्रिज्या $r$ की आवश्यकता होती है। $r$ की गणना करने के लिए, इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के बारे में बोर का दूसरा पोस्टुलात — क्वांटाइज़ेशन की शर्त — प्रयोग किया जाता है।

इस प्रकार पाई गई nवीं संभावित कक्षा की त्रिज्या है

$$ \begin{equation*} r_{n}=\frac{n^{2}}{m} \quad \frac{h}{2 \pi}^{2} \frac{4 \pi \varepsilon_{0}}{e^{2}} \tag{12.7} \end{equation*} $$

हाइड्रोजन परमाणु की स्थिर अवस्थाओं में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा को कक्षीय त्रिज्या का मान समीकरण (12.4) में रखकर प्राप्त किया जा सकता है

$$ E_{n}=-\frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0}} \quad \frac{m}{n^{2}} \quad \frac{2 \pi^{2}}{h} \quad \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} $$

या

$$ \begin{equation*} E_{n}=-\frac{m e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_{0}^{2} h^{2}} \tag{12.8} \end{equation*} $$

मान रखने पर, समीकरण (12.8) देता है

$$ \begin{equation*} E_{n}=-\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^{2}} \mathrm{~J} \tag{12.9} \end{equation*} $$

परमाणु ऊर्जाओं को प्रायः जूल के बजाय इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(\mathrm{eV})$ में व्यक्त किया जाता है। चूँकि $1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$, समीकरण (12.9) को पुनः लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} E_{n}=-\frac{13.6}{n^{2}} \mathrm{eV} \tag{12.10} \end{equation*} $$

किसी कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधा हुआ है। इस प्रकार हाइड्रोजन परमाणु से इलेक्ट्रॉन को उसके नाभिक (या हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन) से अनंत दूरी पर हटाने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होगी।

12.4.1 ऊर्जा स्तर

परमाणु की ऊर्जा सबसे कम (सबसे बड़ा ऋणात्मक मान) होती है जब उसका इलेक्ट्रॉन नाभिक के सबसे निकट की कक्षा में चक्कर लगा रहा हो, अर्थात् वह कक्षा जिसके लिए $n=1$ है। $n=2,3, \ldots$ के लिए ऊर्जा $E$ का निरपेक्ष मान छोटा होता है, इसलिए बाहरी कक्षाओं में ऊर्जा क्रमशः बड़ी होती जाती है। परमाणु की सबसे निचली अवस्था, जिसे मूल अवस्था कहा जाता है, वह सबसे कम ऊर्जा की अवस्था होती है, जिसमें इलेक्ट्रॉन सबसे छोटी त्रिज्या की कक्षा, बोर त्रिज्या $a_{0}$ में चक्कर लगा रहा होता है। इस अवस्था $(n=1)$ की ऊर्जा $E_{1}$ $-13.6 \mathrm{eV}$ है। इसलिए, हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था से इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $13.6 \mathrm{eV}$ है। इसे हाइड्रोजन परमाणु की आयनन ऊर्जा कहा जाता है। बोर के मॉडल की यह भविष्यवाणी आयनन ऊर्जा के प्रयोगात्मक मान से उत्कृष्ट सहमति में है।

कमरे के तापमान पर अधिकांश हाइड्रोजन परमाणु आधार अवस्था में होते हैं। जब एक हाइड्रोजन परमाणु इलेक्ट्रॉन टक्कर जैसी प्रक्रियाओं से ऊर्जा प्राप्त करता है, तो वह पर्याप्त ऊर्जा ग्रहण कर इलेक्ट्रॉन को उच्चतर ऊर्जा अवस्थाओं तक उठा सकता है। ऐसे परमाणु को उत्तेजित अवस्था में कहा जाता है। समीकरण (12.10) से, n = 2 के लिए ऊर्जा E₂ = –3.40 eV है। इसका अर्थ है कि हाइड्रोजन परमाणु के इलेक्ट्रॉन को उसकी प्रथम उत्तेजित अवस्था तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा E₂ – E₁ = –3.40 eV – (–13.6 eV) = 10.2 eV है। इसी प्रकार, E₃ = –1.51 eV और E₃ – E₁ = 12.09 eV है; अर्थात् आधार अवस्था (n = 1) से द्वितीय उत्तेजित अवस्था (n = 3) तक उत्तेजित करने के लिए 12.09 eV ऊर्जा चाहिए। इन उत्तेजित अवस्थाओं से इलेक्ट्रॉन निम्नतर ऊर्जा अवस्था में लौट सकता है, जिससे एक फोटॉन उत्सर्जित होता है। इस प्रकार, जैसे-जैसे हाइड्रोजन परमाणु की उत्तेजना बढ़ती है (n बढ़ता है), उत्तेजित परमाणु से इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा घटती जाती है।

FIGURE 12.7 हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर आरेख। कमरे के तापमान पर हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन अपना अधिकांश समय आधारभूत अवस्था में व्यतीत करता है। हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आधारभूत अवस्था से एक इलेक्ट्रॉन को 13.6 eV ऊर्जा आपूर्ति की जानी चाहिए। (क्षैतिज रेखाएँ अनुमत ऊर्जा अवस्थाओं की उपस्थिति को निर्दिष्ट करती हैं।)

हाइड्रोजन परमाणु की स्थिर अवस्थाओं के लिए ऊर्जा स्तर आरेख*, समीकरण (12.10) से परिकलित, चित्र 12.7 में दिया गया है। प्रधान क्वांटम संख्या $n$ ऊर्जा के बढ़ते क्रम में स्थिर अवस्थाओं को लेबल करती है। इस आरेख में, उच्चतम ऊर्जा अवस्था समीकरण (12.10) में $n=\infty$ से संगत है और इसकी ऊर्जा 0 eV है। यह परमाणु की वह ऊर्जा है जब इलेक्ट्रॉन नाभिक से पूरी तरह हटा दिया जाता है $(r=\infty)$ और विराम में है। देखिए कि $n$ बढ़ने के साथ उत्तेजित अवस्थाओं की ऊर्जाएँ कैसे एक-दूसरे के और निकट आती जाती हैं।

12.5 हाइड्रोजन परमाणु की रेखा स्पेक्ट्रा

बोर के मॉडल के तीसरे उपबंध के अनुसार, जब कोई परमाणु उच्च ऊर्जा अवस्था से क्वांटम संख्या $n_{i}$ वाली निम्न ऊर्जा अवस्था में क्वांटम संख्या $n_{f}\left(n_{f}<n_{i}\right)$ के साथ संक्रमण करता है, तो ऊर्जा का अंतर एक फोटॉन द्वारा आवृत्ति $v_{i f}$ के साथ ले जाया जाता है[^0]

$$ \begin{equation*} h v _{i f}=E _{n _{f}}-E _{n _{i}} \tag{12.11} \end{equation*} $$

• एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा E = 0 eV से ऊपर किसी भी मान की हो सकती है। ऐसी स्थितियों में इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र होता है। इस प्रकार E = 0 eV से ऊपर ऊर्जा अवस्थाओं का एक सतत स्तर होता है, जैसा कि चित्र 12.7 में दिखाया गया है।

चूँकि दोनों $n_{f}$ और $n_{i}$ पूर्णांक हैं, यह तुरंत दिखाता है कि विभिन्न परमाणु स्तरों के बीच संक्रमणों में प्रकाश विभिन्न विवृत आवृत्तियों में विकिरित होता है।

परमाणु स्पेक्ट्रा में विभिन्न रेखाएँ तब उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में कूदते हैं और फोटॉन उत्सर्जित होते हैं। इन स्पेक्ट्रल रेखाओं को उत्सर्जन रेखाएँ कहा जाता है। लेकिन जब कोई परमाणु एक फोटॉन को अवशोषित करता है जिसकी ऊर्जा ठीक वही होती है जिसकी आवश्यकता निम्न ऊर्जा अवस्था में इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करने के लिए होती है, तो इस प्रक्रिया को अवशोषण कहा जाता है। इस प्रकार यदि विभिन्न आवृत्तियों के फोटॉनों का एक सतत स्तर विरल गैस से गुजरता है और फिर स्पेक्ट्रोमीटर से विश्लेषित किया जाता है, तो सतत स्पेक्ट्रम में अंधेरे स्पेक्ट्रल अवशोषण रेखाओं की एक श्रृंखला प्रकट होती है। अंधेरी रेखाएँ उन आवृत्तियों को दर्शाती हैं जिन्हें गैस के परमाणुओं ने अवशोषित किया है।

बोर के मॉडल द्वारा हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम की व्याख्या एक शानदार उपलब्धि थी, जिसने आधुनिक क्वांटम सिद्धांत की ओर प्रगति को बहुत बढ़ावा दिया। 1922 में बोर को भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

12.6 बोर के द्वितीय क्वांटीकरण उपपाद की डी ब्रॉग्ली व्याख्या

बोर ने परमाणु के अपने मॉडल में जितने भी प्रतिबंध (postulates) रखे, उनमें शायद सबसे हैरान करने वाला उनका दूसरा प्रतिबंध है। यह कहता है कि नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करते इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग (angular momentum) क्वांटमित है (अर्थात् $L_{n}=n h / 2 \pi ; n=1,2,3 \ldots$)। कोणीय संवेग को केवल वे मान ही क्यों लेने चाहिए जो $h / 2 \pi$ के पूर्णांक गुणक हों? फ्रांसीसी भौतिकविद् लुई डी ब्रॉगली ने इस पहेली को 1923 में सुलझाया, बोर द्वारा अपना मॉडल प्रस्तुत किए जाने के दस वर्ष बाद।

हमने अध्याय 11 में डी ब्रॉगली की परिकल्पना पढ़ी है कि द्रव्यपरमाणु (material particles), जैसे इलेक्ट्रॉन, तरंग प्रकृति भी रखते हैं। सी. जे. डेविसन और एल. एच. जर्मर ने 1927 में इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति का प्रायोगिक सत्यापन किया। लुई डी ब्रॉगली ने तर्क दिया कि बोर द्वारा प्रस्तावित वृत्तीय कक्षा में घूमता इलेक्ट्रॉन एक कण-तरंग (particle wave) के रूप में देखा जाना चाहिए। डोरी पर चलने वाली तरंगों के समान, कण-तरंगें भी अनुनादी (resonant) परिस्थितियों में स्थायी तरंगें (standing waves) उत्पन्न कर सकती हैं। कक्षा ग्यारहवीं के भौतिकी पाठ्यपुस्तक के अध्याय 14 से हम जानते हैं कि जब डोरी को झटका दिया जाता है, तो बड़ी संख्या में तरंगदैर्घ्य उत्तेजित होती हैं। फिर भी केवल वे तरंगदैर्घ्य ही टिकती हैं जिनके सिरों पर नोड्स होते हैं और वे डोरी में स्थायी तरंग बनाती हैं। इसका अर्थ है

FIGURE 12.8 एक स्थायी तरंग को एक वृत्ताकार कक्षा पर दिखाया गया है जहाँ चार डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कक्षा की परिधि में फिट होते हैं। एक तार में, स्थायी तरंगें तब बनती हैं जब तार के नीचे और वापस तरंग द्वारा तय की गई कुल दूरी एक तरंगदैर्ध्य, दो तरंगदैर्ध्य, या कोई पूर्णांक संख्या में तरंगदैर्ध्य होती है। अन्य तरंगदैर्ध्यों वाली तरंगें परावर्तन पर स्वयं के साथ व्यतिकरण करती हैं और उनके आयाम शीघ्रता से शून्य हो जाते हैं। एक इलेक्ट्रॉन के लिए जो त्रिज्या (r_{n}) के (n^{\text {th}}) वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है, कुल दूरी कक्षा की परिधि, (2 \pi r_{n}) है। इस प्रकार

$$ \begin{equation*} 2 \pi r _{n}=n \lambda, \quad n=1,2,3 \ldots \tag{12.12} \end{equation*} $$

आकृति 12.8 एक वृत्ताकार कक्षा पर (n=4) के लिए एक स्थायी कण तरंग को दर्शाती है, अर्थात् (2 \pi r_{n}=4 \lambda), जहाँ (\lambda) इलेक्ट्रॉन का (n^{\text {th}}) कक्षा में गति करते समय डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य है। अध्याय 11 से, हमारे पास (\lambda=h / p) है, जहाँ (p) इलेक्ट्रॉन के संवेग का परिमाण है। यदि इलेक्ट्रॉन की चाल प्रकाश की चाल से बहुत कम है, तो संवेग (m v_{n}) है। इस प्रकार, (\lambda=h) / (m v_{n})। समीकरण (12.12) से, हमारे पास

(2 \pi r_{n}=n h / m v_{n} \quad) या (\quad m v_{n} r_{n}=n h / 2 \pi)

यह बोर द्वारा इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के लिए प्रस्तावित क्वांटम शर्त है [समी. (12.15)]। अनुभाग 12.5 में, हमने देखा कि यह समीकरण हाइड्रोजन परमाणु में विवृत कक्षाओं और ऊर्जा स्तरों की व्याख्या का आधार है। इस प्रकार डी ब्रॉगली के प्राक्कल्प ने कक्षीय इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के क्वांटीकरण के लिए बोर की दूसरी प्राक्कल्पा की व्याख्या प्रदान की। क्वांटीकृत इलेक्ट्रॉन कक्षाएँ और ऊर्जा अवस्थाएँ इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति के कारण हैं और केवल अनुनादी स्थिर तरंगें ही बनी रह सकती हैं।

बोर का मॉडल, जिसमें शास्त्रीय पथ चित्र (नाभिक के चारों ओर ग्रह-समान इलेक्ट्रॉन) शामिल है, हाइड्रोजन-समान परमाणुओं की सामान्य विशेषताओं, विशेष रूप से उत्सर्जित या चयनात्मक रूप से अवशोषित विकिरण की आवृत्तियों की सही भविष्यवाणी करता है। इस मॉडल में हालाँकि कई सीमाएँ हैं। कुछ इस प्रकार हैं:

(i) बोर मॉडल हाइड्रोजन-समान परमाणुओं पर लागू होता है। इसे केवल दो इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं जैसे हीलियम तक भी विस्तारित नहीं किया जा सकता। एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं का विश्लेषण हाइड्रोजन-समान परमाणुओं के लिए बोर के मॉडल की तर्ज पर किया गया लेकिन इसमें कोई सफलता नहीं मिली। कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन केवल धनावेशित नाभिक के साथ ही नहीं बल्कि अन्य सभी इलेक्ट्रॉनों के साथ भी परस्पर क्रिया करता है।

बोर मॉडल का सूत्रीकरण धनावेशित नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच विद्युत बल को शामिल करता है। यह इलेक्ट्रॉनों के बीच की विद्युत बलों को शामिल नहीं करता है जो बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में अनिवार्य रूप से उपस्थित होती हैं।

(ii) जबकि बोर का मॉडल हाइड्रोजेनिक परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्तियों को सही ढंग से भविष्यवाणी करता है, यह मॉडल स्पेक्ट्रम में आवृत्तियों की सापेक्ष तीव्रताओं को समझाने में असमर्थ है। हाइड्रोजन के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में, कुछ दृश्यमान आवृत्तियाँ कम तीव्रता की होती हैं, अन्य प्रबल। क्यों? प्रायोगिक प्रेक्षण दर्शाते हैं कि कुछ संक्रमण अन्य की तुलना में अधिक पक्षपाती होते हैं। बोर का मॉडल तीव्रता परिवर्तनों का खाता नहीं रख सकता।

बोर का मॉडल एक परमाणु की एक सुंदर तस्वीर प्रस्तुत करता है और इसे जटिल परमाणुओं पर व्यापक नहीं किया जा सकता। जटिल परमाणुओं के लिए हमें एक नई और क्रांतिकारी सिद्धांत का उपयोग करना होता है जो क्वांटम मैकेनिक्स पर आधारित है, जो परमाण्विक संरचना की एक अधिक पूर्ण तस्वीर प्रदान करता है।[^1]

• हाइड्रोजेनिक परमाणु वे परमाणु होते हैं जिनमें धनात्मक आवेश +Ze वाला एक नाभिक और एक एकल इलेक्ट्रॉन होता है, जहाँ Z प्रोटॉन संख्या है। उदाहरण हैं हाइड्रोजन परमाणु, एकल आयनित हीलियम, द्विआयनित लिथियम, और इसी तरह। इन परमाणुओं में अधिक जटिल इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अन्योन्यक्रियाएँ अनुपस्थित होती हैं।

सारांश

1. परमाणु, समग्र रूप से, विद्युत रूप से उदासीन होता है और इसलिए इसमें धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों की समान मात्रा होती है।

2. थॉमसन के मॉडल में, एक परमाणु धनात्मक आवेशों का एक गोलाकार बादल होता है जिसमें इलेक्ट्रॉन एम्बेडेड होते हैं।

3. रदरफोर्ड के मॉडल में, परमाणु का अधिकांश द्रव्यमान और सारा धनात्मक आवेश एक सूक्ष्म नाभिक में केंद्रित होता है (आमतौर पर परमाणु के आकार का दस हज़ारवाँ भाग), और इलेक्ट्रॉन इसके चारों ओर परिक्रमा करते हैं।

4. रदरफोर्ड के नाभिकीय मॉडल में परमाणु की संरचना को समझाने में दो मुख्य कठिनाइयाँ हैं: (क) यह भविष्यवाणी करता है कि परमाणु अस्थिर हैं क्योंकि नाभिक के चारों ओर घूमने वाले त्वरित इलेक्ट्रॉनों को अनिवार्य रूप से नाभिक में समा जाना चाहिए। यह पदार्थ की स्थिरता के विपरीत है। (ख) यह विभिन्न तत्वों के परमाणुओं की विशिष्ट रेखा स्पेक्ट्रा को समझा नहीं सकता।

5. अधिकांश तत्वों के परमाणु स्थिर होते हैं और विशिष्ट स्पेक्ट्रम उत्सर्जित करते हैं। स्पेक्ट्रम एक समूह के अलग-अलग समानांतर रेखाओं से बना होता है जिसे रेखा स्पेक्ट्रम कहा जाता है। यह परमाणु संरचना के बारे में उपयोगी जानकारी प्रदान करता है।

6. परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित रेखा स्पेक्ट्रा और परमाणुओं की स्थिरता को समझाने के लिए, नील्स बोर ने हाइड्रोजेनिक (एक-इलेक्ट्रॉन) परमाणुओं के लिए एक मॉडल प्रस्तावित किया। उसने तीन प्रतिबंध प्रस्तावित किए और क्वांटम यांत्रिकी की नींव रखी:

(क) हाइड्रोजन परमाणु में, एक इलेक्ट्रॉन कुछ स्थिर कक्षाओं (स्थिर कक्षाएँ कहलाती हैं) में चक्कर लगाता है बिना विकिरण ऊर्जा के उत्सर्जन के।

(ख) स्थिर कक्षाएँ वे होती हैं जिनके लिए कोणीय संवेग $h / 2 \pi$ का कोई पूर्णांक गुणक होता है। (बोर का क्वांटीकरण नियम।) अर्थात् $L=n h / 2 \pi$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है जिसे प्रधान क्वांटम संख्या कहा जाता है।

(c) तीसरी मान्यता यह है कि एक इलेक्ट्रॉन अपने निर्धारित, विकिरण-रहित कक्षाओं में से किसी एक से किसी निम्न ऊर्जा वाली कक्षा में संक्रमण कर सकता है। जब ऐसा होता है, तो एक फोटॉन उत्सर्जित होता है जिसकी ऊर्जा प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच के ऊर्जा अंतर के बराबर होती है। उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $(v)$ निम्न प्रकार दी जाती है

$h v=E_{i}-E_{f}$

एक परमाणु उसी आवृत्ति का विकिरण अवशोषित करता है जो वह उत्सर्जित करता है, ऐसी स्थिति में इलेक्ट्रॉन को $n$ के उच्च मान वाली कक्षा में स्थानांतरित किया जाता है।

$$E_{i}+h v=E_{f}$$

7. कोणीय संवेग की संक्वांटन शर्त के परिणामस्वरूप, इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल निश्चित त्रिज्याओं पर परिक्रमा करता है। हाइड्रोजन परमाणु के लिए यह निम्न प्रकार दी जाती है

$$ r_{n}=\frac{n^{2}}{m} \quad \frac{h}{2 \pi} \quad \frac{4 \pi \varepsilon_{0}}{e^{2}} $$

कुल ऊर्जा भी संक्वांटित है:

$$ \begin{aligned} E_{n} & =-\frac{m e^{4}}{8 n^{2} \varepsilon_{0}^{2} h^{2}} \\ & =-13.6 \mathrm{eV} / n^{2} \end{aligned} $$

$n=1$ अवस्था को मूल अवस्था कहा जाता है। हाइड्रोजन परमाणु में मूल अवस्था की ऊर्जा $-13.6 \mathrm{eV}$ होती है। $n$ के उच्च मान उत्तेजित अवस्थाओं $(n>1)$ के अनुरूप होते हैं। परमाणु इन उच्च अवस्थाओं में अन्य परमाणुओं या इलेक्ट्रॉनों से टकरावों द्वारा या सही आवृत्ति के फोटॉन के अवशोषण द्वारा उत्तेजित होते हैं।

8. डी ब्रॉग्ली का परिकल्पना कि इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य $\lambda=h / m v$ होती है, ने बोर के क्वांटीकृत कक्षों को तरंग-कण द्वैत को लाकर एक व्याख्या दी। कक्षे ऐसे वृत्ताकार स्थायी तरंगों से मेल खाती हैं जिनमें कक्षा की परिधि पूर्ण संख्या में तरंगदैर्ध्यों के बराबर होती है।

9. बोर का मॉडल केवल हाइड्रोजेनिक (एक-इलेक्ट्रॉन) परमाणुओं पर लागू होता है। इसे हीलियम जैसे दो-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं तक भी विस्तारित नहीं किया जा सकता। यह मॉडल हाइड्रोजेनिक परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित आवृत्तियों की सापेक्ष तीव्रताओं की व्याख्या करने में भी असमर्थ है।

विचार करने योग्य बिंदु

1. थॉमसन का साथ-साथ रदरफोर्ड का मॉडल भी एक अस्थिर तंत्र बनाते हैं। थॉमसन का मॉडल वैद्युत-स्थैतिक रूप से अस्थिर है, जबकि रदरफोर्ड का मॉडल कक्षीय इलेक्ट्रॉनों के विद्युत-चुंबकीय विकिरण के कारण अस्थिर है।

2. बोर ने कोणीय संवेग (द्वितीय पोस्टुलेट) को ही क्वांटीकृत क्यों किया, किसी अन्य राशि को क्यों नहीं? ध्यान दें, $h$ की विमाएँ कोणीय संवेग की हैं, और वृत्ताकार कक्षाओं के लिए कोणीय संवेग एक अत्यंत प्रासंगिक राशि है। द्वितीय पोस्टुलेट तब स्वाभाविक ही हो जाता है!

3. हाइड्रोजन परमाणु के बोर मॉडल में कक्षीय चित्र अनिश्चितता सिद्धांत के साथ असंगत था। इसे आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी से प्रतिस्थापित किया गया, जिसमें बोर की कक्षाएँ ऐसे क्षेत्र हैं जहाँ इलेक्ट्रॉन को उच्च प्रायिकता के साथ पाया जा सकता है।

4. सौरमंडल की स्थिति के विपरीत, जहाँ ग्रह-ग्रह गुरुत्वाकर्षण बल सूर्य के प्रत्येक ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण बल की तुलना में बहुत कम होते हैं (क्योंकि सूर्य का द्रव्यमान किसी भी ग्रह के द्रव्यमान से बहुत अधिक है), वहीं इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन विद्युत बल अन्योन्यक्रिया इलेक्ट्रॉन-नाभिक विद्युत बल के समान परिमाण की होती है, क्योंकि आवेश और दूरियाँ समान क्रम के होते हैं। यही कारण है कि ग्रह-जैसे इलेक्ट्रॉन वाला बोर मॉडल बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं पर लागू नहीं होता।

5. बोर ने विशिष्ट कक्षों की कल्पना करके क्वांटम सिद्धांत की नींव रखी, जिनमें इलेक्ट्रॉन विकिरण नहीं करते। बोर के मॉडल में केवल एक क्वांटम संख्या $n$ शामिल है। नई सिद्धांत, जिसे क्वांटम यांत्रिकी कहा जाता है, बोर की कल्पना का समर्थन करती है। हालाँकि क्वांटम यांत्रिकी (अधिक व्यापक रूप से स्वीकृत) में, एक दी गई ऊर्जा स्तर केवल एक क्वांटम अवस्था से संबंधित नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, एक अवस्था चार क्वांटम संख्याओं ($n, l, m$, और $s$) द्वारा वर्णित होती है, लेकिन शुद्ध कूलॉम विभव (जैसे हाइड्रोजन परमाणु में) के लिए ऊर्जा केवल $n$ पर निर्भर करती है।

6. बोर मॉडल में, सामान्य शास्त्रीय अपेक्षा के विपरीत, कक्षा में इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण की आवृत्ति स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति से संबंधित नहीं है। बाद वाली दो कक्षीय ऊर्जाओं के अंतर को $h$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है। बड़ी क्वांटम संख्याओं ($n$ से $n$ - $1$, $n$ बहुत बड़ा) के बीच संक्रमणों के लिए, हालाँकि, दोनों अपेक्षित रूप से मेल खाती हैं।

7. बोर का अर्ध-शास्त्रीय मॉडल, जो शास्त्रीय भौतिकी के कुछ पहलुओं और आधुनिक भौतिकी के कुछ पहलुओं पर आधारित है, सरलतम हाइड्रोजेनिक परमाणुओं की सच्ची तस्वीर प्रस्तुत नहीं करता। सच्ची तस्वीर एक क्वांटम यांत्रिक मामला है जो बोर मॉडल से कई मौलिक तरीकों से भिन्न है। लेकिन फिर यदि बोर मॉडल पूर्णतः सही नहीं है, तो हम इसके बारे में क्यों परवाह करते हैं? कारण जो बोर के मॉडल को आज भी उपयोगी बनाते हैं, वे हैं: (i) यह मॉडल केवल तीन प्रतिपाद्यों पर आधारित है, लेकिन यह हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लगभग सभी सामान्य लक्षणों की व्याख्या करता है।

(ii) यह मॉडल शास्त्रीय भौतिकी में हमारे द्वारा सीखी गई अनेक अवधारणाओं को समाहित करता है।

(iii) यह मॉडल दर्शाता है कि एक सैद्धांतिक भौतिकविद् को कभी-कभी कुछ समस्याओं को सचमुच अनदेखा करना पड़ता है ताकि कुछ भविष्यवाणियाँ कर सके। यदि सिद्धांत या मॉडल की भविष्यवाणियाँ प्रयोग से मेल खाती हैं, तो सैद्धांतिक को किसी प्रकार उन समस्याओं को समझाने या औचित्य देने की आशा करनी होती है जिन्हें रास्ते में अनदेखा किया गया था।