कोणीय त्वरण

कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर किसी वस्तु का कोणीय वेग बदलता है। इसे प्रति सेकंड वर्ग रेडियन (rad/s²) में मापा जाता है।

कोणीय त्वरण का सूत्र है:

$$α = \frac{Δω}{Δt}$$

जहाँ:

• $α$ कोणीय त्वरण है $(rad/s²)$
• $Δω$ कोणीय वेग में परिवर्तन है $(rad/s)$
• $Δt$ समय में परिवर्तन है $(s)$

इकाइयाँ: कोणीय त्वरण को प्रति सेकंड वर्ग रेडियन $(rad/s²)$ में मापा जाता है।

उदाहरण

यहाँ कोणीय त्वरण के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• एक घूमता हुआ लट्टू जो धीमा पड़ रहा है, उसमें ऋणात्मक कोणीय त्वरण होता है।
• एक कार जो मोड़ पर मुड़ रही है, उसमें धनात्मक कोणीय त्वरण होता है।
• एक व्यक्ति जो घूम रहा है, उसमें धनात्मक कोणीय त्वरण होता है।

कोणीय त्वरण भौतिकी की एक मूलभूत अवधारणा है। इसका उपयोग उन वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो घूम रही हैं।

कोणीय त्वरण की गणना

किसी वस्तु का कोणीय त्वरण निकालने के लिए, आपको वस्तु के प्रारंभिक और अंतिम कोणीय वेगों और उस समय की आवश्यकता होती है जिसमें वस्तु ने अपना कोणीय वेग बदला।

उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु विराम से प्रारंभ होकर 2 सेकंड में 10 rad/s के अंतिम कोणीय वेग तक त्वरित होती है, तो उसका कोणीय त्वरण होगा:

$$\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{10 \ rad/s - 0 \ rad/s}{2 \ s} = 5 \ rad/s²$$

कोणीय त्वरण भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि किसी वस्तु का कोणीय वेग किस दर से बदलता है। कोणीय त्वरण की SI इकाई रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) है। कोणीय त्वरण की कुछ अन्य इकाइयाँ भी सामान्यतः प्रयोग की जाती हैं, जैसे डिग्री प्रति सेकंड वर्ग (°/s²), क्रांतियाँ प्रति मिनट वर्ग (rpm²), और ग्रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (grad/s²)।

उदाहरण

एक पहिया 100 क्रांतियाँ प्रति मिनट (rpm) की स्थिर गति से घूम रहा है। फिर पहिये पर एक बल लगाया जाता है जिससे यह 20 rpm² की दर से त्वरित होता है। पहिये का कोणीय त्वरण क्या है?

$$α = Δω / Δt$$

$$α = (20 rpm² - 0 rpm²) / (1 s - 0 s)$$

$$α = 20 rpm² / s$$

इसलिए, पहिये का कोणीय त्वरण 20 rpm²/s है।

कोणीय त्वरण भौतिकी की एक मूलभूत अवधारणा है जो यह वर्णन करती है कि किसी वस्तु का कोणीय वेग किस दर से बदल रहा है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है और इसे सूत्र $α = Δω / Δt$ का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। कोणीय त्वरण का अभियांत्रिकी, भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में विभिन्न अनुप्रयोग हैं।

कोणीय त्वरण के प्रकार

कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर किसी वस्तु का कोणीय वेग बदलता है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है। कोणीय त्वरण के दो प्रकार होते हैं:

1. स्थिर कोणीय त्वरण

स्थिर कोणीय त्वरण तब होता है जब किसी वस्तु का कोणीय त्वरण नियत हो। इसका अर्थ है कि वस्तु का कोणीय वेग एक समान दर से बढ़ता या घटता है।

2. परिवर्तनीय कोणीय त्वरण

परिवर्तनीय कोणीय त्वरण तब होता है जब किसी वस्तु का कोणीय त्वरण नियत नहीं हो। इसका अर्थ है कि वस्तु का कोणीय वेग बदलती दर से बढ़ता या घटता है।

कोणीय त्वरण के अनुप्रयोग

कोणीय त्वरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• रोबोटिक्स
• नियंत्रण प्रणालियाँ
• नेविगेशन
• एनिमेशन
• वर्चुअल रियलिटी

कोणीय त्वरण का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें रोबोटिक्स, नियंत्रण प्रणालियाँ, नेविगेशन, एनिमेशन और वर्चुअल रियलिटी शामिल हैं।

रैखिक त्वरण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध

रैखिक त्वरण और कोणीय त्वरण भौतिकी की दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो वस्तुओं की गति का वर्णन करती हैं। रैखिक त्वरण किसी वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर है, जबकि कोणीय त्वरण किसी वस्तु के कोणीय वेग में परिवर्तन की दर है।

घूर्णन करती हुई एक कठोर वस्तु के मामले में, वस्तु के अंदर स्थित कण का रैखिक त्वरण वस्तु के कोणीय त्वरण से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:

$$a_t = a_c + a_r$$

जहाँ:

• $a_t$ कण का कुल रैखिक त्वरण है
• $a_c$ कण का केन्द्रापसारी त्वरण है
• $a_r$ कण का स्पर्शरेखीय त्वरण है

अभिकेन्द्रित त्वरण घूर्णन के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे समीकरण द्वारा दिया गया है:

$$a_c = \omega^2 r$$

जहाँ:

• $\omega$ वस्तु का कोणीय वेग है
• $r$ कण की घूर्णन केंद्र से दूरी है

स्पर्शरेखीय त्वरण कण के पथ के अनुदिश स्पर्शरेखा की दिशा में निर्देशित होता है और इसे समीकरण द्वारा दिया गया है:

$$a_r = \alpha r$$

जहाँ:

• $\alpha$ वस्तु का कोणीय त्वरण है

उदाहरण

एक कण को 1 मीटर त्रिज्या के वृत्त में 2 रेडियन प्रति सेकंड के कोणीय वेग से घूमते हुए मान लीजिए। कण का कोणीय त्वरण 1 रेडियन प्रति सेकंड वर्ग है।

कण का अभिकेन्द्रित त्वरण है:

$$a_c = \omega^2 r = (2 \text{ rad/s})^2 (1 \text{ m}) = 4 \text{ m/s}^2$$

कण का स्पर्शरेखीय त्वरण है:

$$a_r = \alpha r = (1 \text{ rad/s}^2) (1 \text{ m}) = 1 \text{ m/s}^2$$

कण का कुल रेखीय त्वरण है:

$$a_t = a_c + a_r = 4 \text{ m/s}^2 + 1 \text{ m/s}^2 = 5 \text{ m/s}^2$$

रेखीय त्वरण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध भौतिकी की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जिसका उपयोग वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। इस संबंध को समझकर हम यह बेहतर समझ सकते हैं कि वस्तुएँ कैसे चलती हैं और उनकी गति को कैसे नियंत्रित किया जा सकता है।

कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के बीच संबंध

कोणीय त्वरण और कोणीय वेग घूर्णी गति के दो महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं। कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर कोणीय वेग बदलता है, जबकि कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु किसी अक्ष के चारों ओर घूमती है।

कोणीय त्वरण कोणीय त्वरण एक सदिश राशि है जो यह बताती है कि किसी वस्तु का कोणीय वेग किस दर से बदल रहा है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है। धनात्मक कोणीय त्वरण दर्शाता है कि वस्तु तेजी से घूम रही है, जबकि ऋणात्मक कोणीय त्वरण दर्शाता है कि वस्तु धीमी हो रही है।

किसी वस्तु का कोणीय त्वरण निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$α = \frac{(ω_f - ω_i)}{t}$$

जहाँ:

• $α$ कोणीय त्वरण है रेडियन प्रति सेकंड वर्ग में $(rad/s²)$
• $ω_f$ अंतिम कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $ω_i$ प्रारंभिक कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $t$ समय अंतराल है सेकंड में $(s)$

कोणीय वेग कोणीय वेग एक सदिश राशि है जो यह बताती है कि कोई वस्तु किसी अक्ष के चारों ओर किस दर से घूम रही है। इसे रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में मापा जाता है। धनात्मक कोणीय वेग दर्शाता है कि वस्तु वामावर्त दिशा में घूम रही है, जबकि ऋणात्मक कोणीय वेग दर्शाता है कि वस्तु दक्षिणावर्त दिशा में घूम रही है।

किसी वस्तु का कोणीय वेग निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ω = \frac{Δθ}{t}$$

जहाँ:

• $ω$ कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $Δθ$ कोण में परिवर्तन है रेडियन में $(rad)$
• $t$ समय अंतराल है सेकंड में $(s)$

कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के बीच संबंध कोणीय त्वरण और कोणीय वेग निम्न समीकरण से संबंधित हैं:

$$α = \frac{dω}{dt}$$

जहाँ:

• $α$ कोणीय त्वरण है रेडियन प्रति सेकंड वर्ग में $(rad/s²)$
• $ω$ कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $t$ समय अंतराल है सेकंड में $(s)$

यह समीकरण दिखाता है कि कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है। यदि कोणीय त्वरण धनात्मक है, तो कोणीय वेग बढ़ेगा। यदि कोणीय त्वरण ऋणात्मक है, तो कोणीय वेग घटेगा।

कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के उदाहरण

यहाँ कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• झूले पर एक बच्चा स्थिर कोणीय वेग से घूम रहा है। कोणीय त्वरण शून्य है।
• एक मोड़ पर चलती कार स्थिर कोणीय वेग से घूम रही है। कोणीय त्वरण शून्य है।
• एक घूमता लट्टू धीमा पड़ रहा है। कोणीय त्वरण ऋणात्मक है।
• एक व्यक्ति बैटन घुमा रहा है। कोणीय त्वरण धनात्मक है।

कोणीय त्वरण और कोणीय वेग घूर्णन गति की दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। वे समीकरण α = dω/dt से संबंधित हैं। यह समीकरण दिखाता है कि कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है।

टॉर्क और कोणीय त्वरण का संबंध

कोणीय त्वरण

कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर किसी वस्तु का कोणीय वेग बदलता है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है।

टॉर्क

टॉर्क एक बल है जो किसी वस्तु को एक अक्ष के परितः घूमने का कारण बनता है। इसे न्यूटन-मीटर (N·m) में मापा जाता है।

टॉर्क और कोणीय त्वरण के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:

$$τ = Iα$$

जहाँ:

• $τ$ टॉर्क है (N·m में)
• $I$ वस्तु का जड़त्व आघूर्ण है (kg·m² में)
• $α$ कोणीय त्वरण है (rad/s² में)

यह समीकरण दर्शाता है कि टॉर्क कोणीय त्वरण के सीधे आनुपातिक होता है। इसका अर्थ है कि किसी वस्तु पर जितना अधिक टॉर्क लगाया जाता है, उसका कोणीय त्वरण भी उतना ही अधिक होगा।

उदाहरण

मान लीजिए एक पहिया जिसका जड़त्व आघूर्ण 1 kg·m² है। यदि पहिये पर 10 N·m का टॉर्क लगाया जाता है, तो उसका कोणीय त्वरण होगा:

$$α = \frac{τ}{I} = \frac{10 \ N·m}{1 \ kg·m²} = 10 \ rad/s²$$

इसका अर्थ है कि पहिया 10 रेडियन प्रति सेकंड वर्ग की दर से घूमेगा।

टॉर्क और कोणीय त्वरण के बीच संबंध भौतिकी की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। इसका उपयोग यह समझने के लिए किया जा सकता है कि वस्तुएँ कैसे घूमती हैं और उन प्रणालियों को डिज़ाइन करने के लिए किया जा सकता है जो घूर्णी वस्तुओं का उपयोग करती हैं।

कोणीय त्वरण के हल उदाहरण

उदाहरण 1: कोणीय त्वरण की गणना

एक पहिया विराम से प्रारंभ होता है और 5 सेकंड में एकसमान रूप से 100 rad/s के कोणीय वेग तक त्वरित होता है। पहिए का कोणीय त्वरण क्या है?

हल:

हम कोणीय त्वरण की गणना करने के लिए निम्नलिखित समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:

$$α = \frac{(ω_f - ω_i)}{t}$$

जहाँ:

• $α$ कोणीय त्वरण है, जिसका मान $rad/s²$ में है
• $ω_f$ अंतिम कोणीय वेग है, जिसका मान $rad/s$ में है
• $ω_i$ प्रारंभिक कोणीय वेग है, जिसका मान $rad/s$ में है
• $t$ समय है, जिसका मान सेकंड में है

इस स्थिति में, $ω_i$ = 0 rad/s, $ω_f$ = 100 rad/s, और t = 5 सेकंड है। इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$α = \frac{(100 \ rad/s - 0 \ rad/s)}{5 \ seconds} = 20 \ rad/s²$$

इसलिए, पहिए का कोणीय त्वरण $20 \ rad/s²$ है।

उदाहरण 2: कोणीय विस्थापन की गणना

एक पहिया विराम से प्रारंभ होता है और 5 सेकंड में एकसमान रूप से 100 rad/s के कोणीय वेग तक त्वरित होता है। इस समय के दौरान पहिए का कोणीय विस्थापन क्या है?

हल:

हम कोणीय विस्थापन की गणना करने के लिए निम्नलिखित समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:

$$θ = ω_it + \frac{1}{2}αt²$$

जहाँ:

• $θ$ कोणीय विस्थापन है, जिसका मान रेडियन में है
• $ω_i$ प्रारंभिक कोणीय वेग है, जिसका मान rad/s में है
• $α$ कोणीय त्वरण है, जिसका मान rad/s² में है
• $t$ समय है, जिसका मान सेकंड में है

इस स्थिति में, $ω_i$ = 0 rad/s, $α$ = 20 rad/s², और $t$ = 5 सेकंड है। इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$θ = (0 \ rad/s)(5 \ seconds) + \frac{1}{2} \times (20 \ rad/s²)\times (5 \ seconds)² = 250 \ radians$$

इसलिए, इस समय के दौरान पहिया का कोणीय विस्थापन 250 रेडियन है।

उदाहरण 3: अंतिम कोणीय वेग की गणना

एक पहिया विराम से प्रारंभ होता है और 5 सेकंड में 250 रेडियन के कोणीय विस्थापन तक एकसमान रूप से त्वरित होता है। पहिया का अंतिम कोणीय वेग क्या है?

हल:

हम अंतिम कोणीय वेग की गणना करने के लिए निम्नलिखित समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:

$$ω_f = ω_i + αt$$

जहाँ:

• $ω_f$ अंतिम कोणीय वेग है rad/s में
• $ω_i$ प्रारंभिक कोणीय वेग है rad/s में
• $α$ कोणीय त्वरण है rad/s² में
• $t$ समय है सेकंड में

इस स्थिति में, $ω_i$ = 0 rad/s, $α$ = 20 rad/s², और $t$ = 5 सेकंड। इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ω_f = 0 rad/s + (20 \ rad/s²)\times(5 \ seconds) = 100 \ rad/s$$

इसलिए, पहिया का अंतिम कोणीय वेग 100 rad/s है।

कोणीय त्वरण अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कोणीय त्वरण क्या है?

कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर किसी वस्तु का कोणीय वेग बदलता है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है।

कोणीय त्वरण किस कारण होता है?

कोणीय त्वरण किसी वस्तु पर कार्यरत कुल बलाघूर्ण के कारण होता है। बलाघूर्ण एक बल है जो किसी वस्तु को किसी अक्ष के परितः घूर्णन कराता है। जितना अधिक कुल बलाघूर्ण होगा, उतना ही अधिक कोणीय त्वरण होगा।

कोणीय त्वरण और रेखीय त्वरण के बीच क्या संबंध है?

कोणीय त्वरण रेखीय त्वरण से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:

$$α = \frac{a}{r}$$

जहाँ:

• $α$ कोणीय त्वरण है (rad/s²)
• $a$ रेखीय त्वरण है (m/s²)
• $r$ घूर्णन अक्ष से उस बिंदु की दूरी है जहाँ रेखीय त्वरण मापा जाता है (m)

कोणीय त्वरण के कुछ उदाहरण क्या हैं?

कोणीय त्वरण के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• एक घूमता हुआ लट्टू
• एक प्रोपेलर
• एक कार जो मोड़ मोड़ रही हो
• एक व्यक्ति जो कलाबाजी लगा रहा हो

कोणीय त्वरण की गणना कैसे की जा सकती है?

कोणीय त्वरण की गणना निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है:

$$α = \frac{(ω_f - ω_i)}{t}$$

जहाँ:

• $α$ कोणीय त्वरण है $(rad/s²)$
• $ω_f$ अंतिम कोणीय वेग है $(rad/s)$
• $ω_i$ प्रारंभिक कोणीय वेग है $(rad/s)$
• $t$ समय अंतराल है $(s)$

कोणीय त्वरण की इकाइयाँ क्या हैं?

कोणीय त्वरण की SI इकाई रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) है।

कोणीय त्वरण की कुछ अन्य इकाइयाँ इस प्रकार हैं:

• डिग्री प्रति सेकंड वर्ग $(°/s²)$
• रेवolutions प्रति मिनट वर्ग $(rpm²)$
• रेवolutions प्रति सेकंड वर्ग $(rps²)$

कोणीय त्वरण केंद्रापसारी त्वरण से कैसे संबंधित है?

कोणीय त्वरण केंद्रापसारी त्वरण से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:

$$a = rα$$

जहाँ:

• $a$ केंद्रापसारी त्वरण है $(m/s²)$
• $r$ घूर्णन अक्ष से उस बिंदु की दूरी है जहाँ केंद्रापसारी त्वरण मापा जाता है $(m)$
• $α$ कोणीय त्वरण है $(rad/s²)$