कोणीय वेग

कोणीय वेग यह मापने का एक तरीका है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से घूम रही है। इसे किसी वस्तु के कोणीय विस्थापन में समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है।

कोणीय वेग का सूत्र है:

$$ ω = \frac{dθ}{dt} $$

जहाँ:

• $ω$ कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में
• $θ$ कोणीय विस्थापन है रेडियन (rad) में
• $t$ समय है सेकंड (s) में

इकाइयाँ: कोणीय वेग की SI इकाई रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) है। हालाँकि, अन्य इकाइयाँ जैसे डिग्री प्रति सेकंड (°/s) और प्रति मिनट चक्कर (rpm) भी आमतौर पर प्रयोग में लाई जाती हैं।

उदाहरण:

मान लीजिए एक पहिया 100 प्रति मिनट चक्कर (rpm) की स्थिर गति से घूम रहा है। कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड में ज्ञात करने के लिए, हमें rpm को rad/s में बदलना होगा:

$$ ω = (100 \hspace{1mm}rpm) \times (2π \hspace{1mm}rad/rev) \times (1\hspace{1mm} min/60 s) = 10.47\hspace{1mm} rad/s $$

इसलिए, पहिये का कोणीय वेग 10.47 rad/s है।

कोणीय वेग भौतिकी और अभियांत्रिकी की एक मूलभूत अवधारणा है। इसका उपयोग वस्तुओं की घूर्णन को वर्णित करने के लिए किया जाता है और यह कई भौतिक घटनाओं को समझने के लिए आवश्यक है।

कोणीय वेग की इकाइयाँ

कोणीय वेग यह मापने का एक तरीका है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से घूम रही है। इसे किसी वस्तु के कोणीय विस्थापन में समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है। कोणीय वेग की SI इकाई रेडियन प्रति सेकंड $(rad/s)$ है।

कोणीय वेग की अन्य इकाइयाँ

रेडियन प्रति सेकंड के अतिरिक्त, कोणीय वेग को मापने के लिए कई अन्य इकाइयाँ भी प्रयोग की जा सकती हैं। कुछ सबसे सामान्य इकाइयाँ इस प्रकार हैं:

• डिग्री प्रति सेकंड (°/s): यह इकाई अक्सर उन वस्तुओं के कोणीय वेग को मापने के लिए प्रयोग की जाती है जो अपेक्षाकृत धीमी गति से घूम रही हों।
• रिवॉल्यूशन प्रति मिनट (RPM): यह इकाई अक्सर उन वस्तुओं के कोणीय वेग को मापने के लिए प्रयोग की जाती है जो अपेक्षाकृत तेज गति से घूम रही हों।
• हर्ट्ज (Hz): यह इकाई अक्सर उन वस्तुओं के कोणीय वेग को मापने के लिए प्रयोग की जाती है जो बहुत तेज गति से घूम रही हों।

कोणीय वेग इकाइयों के बीच रूपांतरण

निम्न तालिका कोणीय वेग की सबसे सामान्य इकाइयों के बीच रूपांतरण गुणांक दिखाती है:

उदाहरण

एक वस्तु 10 रेडियन प्रति सेकंड के कोणीय वेग से घूम रही है। इसका कोणीय वेग डिग्री प्रति सेकंड, रिवॉल्यूशन प्रति मिनट और हर्ट्ज में क्या है?

कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड से डिग्री प्रति सेकंड में रूपांतरित करने के लिए, हम रूपांतरण गुणांक 0.01745329 से गुणा करते हैं:

$$10 \text{ rad/s} \times 0.01745329 = 0.1745329 \text{ °/s}$$

कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड से रिवॉल्यूशन प्रति मिनट में रूपांतरित करने के लिए, हम रूपांतरण गुणांक 0.10471975 से गुणा करते हैं:

$$10 \text{ rad/s} \times 0.10471975 = 1.0471975 \text{ RPM}$$

कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड से हर्ट्ज़ में बदलने के लिए, हम रूपांतरण गुणांक 6.2831853 से गुणा करते हैं:

$$10 \text{ rad/s} \times 6.2831853 = 62.831853 \text{ Hz}$$

कोणीय वेग की दिशा

कोणीय वेग एक सदिश राशि है जो किसी वस्तु के कोणीय विस्थापन में परिवर्तन की दर को दर्शाती है। इसे रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में मापा जाता है। कोणीय वेग सदिश की दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा दी जाती है।

दाहिने हाथ का नियम: दाहिने हाथ का नियम कोणीय वेग सदिश की दिशा निर्धारित करने के लिए एक सहायक सूत्र है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने के लिए, अपने दाहिने अंगूठे को कोणीय विस्थापन सदिश की दिशा में इंगित करें। फिर, अपनी उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ें। आपकी उंगलियाँ कोणीय वेग सदिश की दिशा में इंगित करेंगी।

उदाहरण

एक पहिया पर विचार करें जो वामावर्त दिशा में घूम रहा है। कोणीय वेग सदिश की दिशा ज्ञात करने के लिए, अपने दाहिने अंगूठे को कोणीय विस्थापन सदिश की दिशा में इंगित करें (जो कि वामावर्त दिशा भी है)। फिर, अपनी उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ें (जो कि वामावर्त दिशा भी है)। आपकी उंगलियाँ कोणीय वेग सदिश की दिशा में इंगित करेंगी, जो पृष्ठ से बाहर की ओर है।

सारांश

कोणीय वेग सदिश की दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा दी जाती है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने के लिए, अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को कोणीय विस्थापन सदिश की दिशा में इंगित करें। फिर, अपनी उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ें। आपकी उंगलियाँ कोणीय वेग सदिश की दिशा में इंगित करेंगी।

कोणीय वेग और रेखीय वेग के बीच संबंध

कोणीय वेग और रेखीय वेग भौतिकी में दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो वस्तुओं की गति का वर्णन करती हैं। कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु किसी अक्ष के चारों ओर घूमती है, जबकि रेखीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु सीधी रेखा में चलती है।

कोणीय वेग

कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में मापा जाता है। यह एक सदिश राशि है, जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। कोणीय वेग का परिमाण वह चाल है जिससे वस्तु घूम रही है, जबकि दिशा वह अक्ष है जिसके चारों ओर वस्तु घूम रही है।

रेखीय वेग

रेखीय वेग को मीटर प्रति सेकंड (m/s) में मापा जाता है। यह भी एक सदिश राशि है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है। रेखीय वेग का परिमाण वह चाल है जिससे वस्तु चल रही है, जबकि दिशा वह दिशा है जिसमें वस्तु चल रही है।

कोणीय वेग और रेखीय वेग के बीच संबंध को समझा जा सकता है यदि हम किसी वस्तु के उस बिंदु पर विचार करें जो किसी अक्ष के परितः घूर्णन कर रहा है। इस बिंदु का रेखीय वेग कोणीय वेग तथा बिंदु की घूर्णन अक्ष से दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।

अन्य शब्दों में,

$$ v = ωr $$

जहाँ:

• $v$ रेखीय वेग है, मीटर प्रति सेकंड (m/s) में
• $ω$ कोणीय वेग है, रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में
• $r$ घूर्णन अक्ष से दूरी है, मीटर (m) में

उदाहरण

मान लीजिए एक पहिये के किनारे पर स्थित कोई बिंदु 10 rad/s से घूर्णन कर रहा है। वह बिंदु घूर्णन अक्ष से 0.5 मीटर की दूरी पर है। इस बिंदु का रेखीय वेग है:

$$ v = ωr = (10\hspace{1mm} rad/s)\times(0.5\hspace{1mm} m) = 5 \hspace{1mm}m/s $$

इसका अर्थ है कि पहिये के किनारे पर स्थित बिंदु 5 मीटर प्रति सेकंड की चाल से वृत्तीय पथ पर गति कर रहा है।

कोणीय वेग और रेखीय वेग भौतिकी के दो महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं जो वस्तुओं की गति का वर्णन करते हैं। इन दो राशियों के बीच संबंद्धता समीकरण v = ωr द्वारा दी जाती है, जहाँ v रेखीय वेग, ω कोणीय वेग, और r घूर्णन अक्ष से दूरी है।

कोणीय वेग की गणना

किसी वस्तु का कोणीय वेग निम्न सूत्र द्वारा परिकलित किया जा सकता है:

$$ ω = \frac{Δθ}{Δt} $$

जहाँ:

• $ω$ कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $Δθ$ कोणीय विस्थापन में परिवर्तन है रेडियन में $(rad)$
• $Δt$ समय में परिवर्तन है सेकंड में $(s)$

उदाहरण के लिए, यदि एक लट्टू 2 सेकंड में 10 रेडियन का कोण घूमता है, तो उसका कोणीय वेग है:

$$ ω = \frac{10 \hspace{1mm}rad}{2 \hspace{1mm}s} = 5 \hspace{1mm}rad/s $$

कोणीय वेग के अनुप्रयोग

कोणीय वेग भौतिकी और अभियांत्रिकी के कई क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यहाँ इसके कुछ अनुप्रयोगों के उदाहरण दिए गए हैं:

• यांत्रिकी में, कोणीय वेग घूर्णन वस्तुओं की गति का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त होता है। उदाहरण के लिए, एक फ्लाईव्हील के कोणीय वेग का उपयोग करके उसकी गतिज ऊर्जा की गणना की जा सकती है।
• द्रव यांत्रिकी में, कोणीय वेग द्रवों के प्रवाह का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त होता है। उदाहरण के लिए, एक भ्रमर के कोणीय वेग का उपयोग करके उसकी परिचलन की गणना की जा सकती है।
• ऊष्मागतिकी में, कोणीय वेग अणुओं की घूर्णन गति का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त होता है। उदाहरण के लिए, एक अणु के कोणीय वेग का उपयोग करके उसकी घूर्णन ऊर्जा की गणना की जा सकती है।

कोणीय वेग भौतिकी और अभियांत्रिकी की एक मूलभूत अवधारणा है। इसका उपयोग घूर्णन वस्तुओं की गति, द्रवों के प्रवाह और अणुओं के घूर्णन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

कोणीय वेग पर हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: कोणीय वेग की गणना

एक पहिया 10 रेडियन प्रति सेकंड के स्थिर कोणीय वेग से घूमता है। 5 सेकंड के बाद पहिए का कोणीय विस्थापन क्या है?

हल:

पहिया का कोणीय विस्थापन निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ θ = ωt $$

जहाँ:

• $θ$ रेडियन में कोणीय विस्थापन है
• $ω$ रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग है
• $t$ सेकंड में समय है

इस स्थिति में, $ω$ = 10 रेडियन प्रति सेकंड और $t$ = 5 सेकंड। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ θ = (10 \hspace{1mm}रेडियन \hspace{1mm}प्रति \hspace{1mm}सेकंड)\times(5 \hspace{1mm}सेकंड) = 50\hspace{1mm} रेडियन $$

इसलिए, 5 सेकंड के बाद पहिया का कोणीय विस्थापन 50 रेडियन है।

उदाहरण 2: कोणीय त्वरण की गणना

एक पहिया विराम से प्रारंभ होता है और 2 रेडियन प्रति सेकंड वर्ग के स्थिर कोणीय त्वरण से त्वरित होता है। 10 सेकंड के बाद पहिए का कोणीय वेग क्या है?

हल:

पहिए का कोणीय वेग निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ ω = ω₀ + αt $$

जहाँ:

• $ω$ रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग है
• $ω₀$ रेडियन प्रति सेकंड में प्रारंभिक कोणीय वेग है
• $α$ रेडियन प्रति सेकंड वर्ग में कोणीय त्वरण है
• $t$ सेकंड में समय है

इस स्थिति में, $ω₀$ = 0 रेडियन प्रति सेकंड, $α$ = 2 रेडियन प्रति सेकंड वर्ग, और $t$ = 10 सेकंड। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ ω = (0 \hspace{1mm}रेडियन\hspace{1mm} प्रति\hspace{1mm} सेकंड) + (2\hspace{1mm} रेडियन \hspace{1mm}प्रति \hspace{1mm}सेकंड \hspace{1mm}वर्ग)\times(10 \hspace{1mm}सेकंड) = 20 \hspace{1mm}रेडियन \hspace{1mm}प्रति \hspace{1mm}सेकंड $$

इसलिए, 10 सेकंड के बाद पहिया का कोणीय वेग 20 रेडियन प्रति सेकंड है।

उदाहरण 3: एक लोलक की आवर्तकाल की गणना

एक लोलक की लंबाई 1 मीटर और द्रव्यमान 1 किलोग्राम है। लोलक की आवर्तकाल क्या है?

हल:

लोलक की आवर्तकाल निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

$$ T = 2π\sqrt \frac{L}{g} $$

जहाँ:

• $T$ सेकंड में आवर्तकाल है
• $L$ लोलक की लंबाई मीटर में है
• $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है $(9.8 \ m/s²)$

इस मामले में, $L$ = 1 मीटर और $g$ = 9.8 m/s²। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है:

$$ T = 2π\sqrt \frac{1 \ meter}{9.8 \ m/s²} = 2.01 \hspace{1mm}seconds $$

इसलिए, लोलक की आवर्तकाल 2.01 सेकंड है।

कोणीय वेग अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कोणीय वेग क्या है?

कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन या घूमती है। इसे रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में मापा जाता है।

कोणीय वेग और रेखीय वेग में क्या अंतर है?

रेखीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु सीधी रेखा में चलती है। कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन या घूमती है।

कोणीय वेग का सूत्र क्या है?

कोणीय वेग का सूत्र है:

$$ ω = \frac{Δθ}{Δt} $$

जहाँ:

• $ω$ रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग है $(rad/s)$
• $Δθ$ रेडियन में कोण में परिवर्तन है $(rad)$
• $Δt$ सेकंड में समय में परिवर्तन है $(s)$

कोणीय वेग के कुछ उदाहरण क्या हैं?

कोणीय वेग के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• पृथ्वी अपनी धुरी पर लगभग $7.27 x 10^{-5}$ rad/s की दर से घूमती है।
• जब कार 60 mph की गति से चल रही होती है, तो कार का टायर लगभग 100 rad/s की दर से घूमता है।
• छत का पंखा लगभग 2 rad/s की दर से घूमता है।

कोणीय वेग की इकाइयाँ क्या हैं?

कोणीय वेग की इकाइयाँ रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) होती हैं।

कोणीय वेव और आवृत्ति के बीच क्या संबंध है?

आवृत्ति प्रति सेकंड घूर्णन या चक्रों की संख्या है। कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु किसी अक्ष के परितः घूमती या घूर्णन करती है। कोणीय वेग और आवृत्ति के बीच संबंध इस प्रकार है:

$$ ω = 2πf $$

जहाँ:

• $ω$ कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $f$ आवृत्ति है चक्र प्रति सेकंड में $(Hz)$

कोणीय वेग और बलाघूर्ण के बीच क्या संबंध है?

बलाघूर्ण वह बल है जो किसी वस्तु को किसी अक्ष के परितः घूमने या घूर्णन करने के लिए उत्पन्न करता है। कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु किसी अक्ष के परितः घूमती या घूर्णन करती है। कोणीय वेग और बलाघूर्ण के बीच संबंध इस प्रकार है:

$$ τ = Iα $$

जहाँ:

• $τ$ बलाघूर्ण है न्यूटन-मीटर में $(N·m)$
• $I$ जड़ता आघूर्ण है किलोग्राम-मीटर वर्ग में $(kg·m²)$
• $α$ कोणीय त्वरण है रेडियन प्रति सेकंड वर्ग में $(rad/s²)$

कोणीय वेग और शक्ति के बीच क्या संबंध है?

शक्ति वह दर है जिस पर कार्य किया जाता है। कोणीय वेग वह दर है जिस पर कोई वस्तु किसी अक्ष के चारों ओर घूर्णन या घूमती है। कोणीय वेग और शक्ति के बीच संबंध है:

$$ P = ωτ $$

जहाँ:

• $P$ शक्ति है वाट में $(W)$
• $ω$ कोणीय वेग है रेडियन प्रति सेकंड में $(rad/s)$
• $τ$ टॉर्क है न्यूटन-मीटर में $(N·m)$