हार्मोनिक ऑसिलेटर

एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक ऐसी प्रणाली है जिसे जब उसके साम्यावस्था के स्थान से विस्थापित किया जाता है, तो उस पर एक पुनःस्थापक बल लगता है जो विस्थापन के समानुपाती होता है। यह बल प्रणाली को उसकी साम्यावस्था के स्थान के आसपास एक स्थिर आवृत्ति के साथ दोलन करने का कारण बनता है।

सरल आवर्त गति

सरल आवर्त गति (SHM) आवर्त गति का एक विशेष मामला है जहाँ पुनःस्थापक बल सीधे साम्यावस्था के स्थान से विस्थापन के समानुपाती होता है। एक सरल आवर्त ऑसिलेटर के लिए गति का समीकरण है:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

जहाँ:

• $m$ ऑसिलेटर का द्रव्यमान है
• $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है
• $x$ साम्यावस्था के स्थान से विस्थापन है

इस समीकरण का हल है:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

जहाँ:

• $A$ गति का आयाम है
• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ कोणीय आवृत्ति है
• $\phi$ प्रावस्था स्थिरांक है

सरल आवर्त गति के गुण

• दोलन की आवर्त, $T$, वह समय है जो ऑसिलेटर को एक पूर्ण चक्र पूरा करने में लगता है। यह इस प्रकार दी जाती है:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

• दोलन की आवृत्ति, $f$, प्रति सेकंड चक्रों की संख्या है। यह इस प्रकार दी जाती है:

$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$

• दोलन का आयाम, $A$, साम्यावस्था के स्थान से अधिकतम विस्थापन है।

• प्रावस्था स्थिरांक, $\phi$, ऑसिलेटर की प्रारंभिक स्थिति निर्धारित करता है।

हार्मोनिक ऑसिलेटर उदाहरण

एक हार्मोनिक दोलक एक ऐसी प्रणाली है जो एक साम्यावस्था बिंदु के चारों ओर इस तरह दोलन करती है कि उसकी आवृत्ति प्रणाली की कठोरता के वर्गमूल के अनुपाती होती है। हार्मोनिक दोलक कई भौतिक प्रणालियों में पाए जाते हैं, जैसे कि स्प्रिंग, लोलक और विद्युत परिपथ।

हार्मोनिक दोलकों के उदाहरण

• द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली: एक द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली में एक द्रव्यमान होता है जो एक स्प्रिंग से जुड़ा होता है। जब द्रव्यमान को उसकी साम्यावस्था से विस्थापित किया जाता है, तो स्प्रिंग एक पुनर्स्थापक बल लगाता है जिससे द्रव्यमान दोलन करता है। दोलन की आवृत्ति इस सूत्र से दी जाती है:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

जहाँ $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है और $m$ द्रव्यमान है।

• लोलक: एक लोलक में एक द्रव्यमान होता है जो एक कुंडा बिंदु से लटका होता है। जब लोलक को उसकी साम्यावस्था से विस्थापित किया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल एक पुनर्स्थापक बल लगाता है जिससे लोलक दोलन करता है। दोलन की आवृत्ति इस सूत्र से दी जाती है:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$$

जहाँ $g$ गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है और $L$ लोलक की लंबाई है।

• विद्युत परिपथ: एक विद्युत परिपथ को हार्मोनिक दोलक के रूप में मॉडल किया जा सकता है यदि उसमें एक संधारित्र और एक प्रेरक हो। जब संधारित्र आवेशित होता है और प्रेरक निरावेशित होता है, तो संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रेरक में स्थानांतरित होती है और इसके विपरीत। इससे परिपथ में धारा दोलन करती है। दोलन की आवृत्ति इस सूत्र से दी जाती है:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

जहाँ $L$ प्रेरक की प्रेरकत्व है और $C$ संधारित्र की धारिता है।

हार्मोनिक दोलकों के अनुप्रयोग

हार्मोनिक दोलकों का विज्ञान और अभियांत्रिकी में कई अनुप्रयोग हैं। कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• यांत्रिक अभियांत्रिकी: हार्मोनिक दोलकों का उपयोग विभिन्न यांत्रिक उपकरणों जैसे स्प्रिंग, झटकाशोषक और लोलक में किया जाता है।
• विद्युत अभियांत्रिकी: हार्मोनिक दोलकों का उपयोग विभिन्न विद्युत परिपथों जैसे फिल्टर, दोलक और एंटेना में किया जाता है।
• ध्वनिकी: हार्मोनिक दोलकों का उपयोग ध्वनि तरंगों के कंपन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• प्रकाशिकी: हार्मोनिक दोलकों का उपयोग प्रकाश तरंगों के कंपन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

हार्मोनिक दोलक भौतिकी और अभियांत्रिकी की एक मौलिक अवधारणा हैं। ये कई भौतिक प्रणालियों में पाए जाते हैं और इनके विस्तृत अनुप्रयोग हैं।

हार्मोनिक दोलकों के प्रकार

एक हार्मोनिक दोलक एक ऐसी प्रणाली है जो साम्यावस्था के चारों ओर आवर्ती गति करती है। पुनःस्थापक बल साम्यावस्था से विस्थापन के समानुपाती होता है। विभिन्न प्रकार के हार्मोनिक दोलक होते हैं, जिनमें अपनी विशिष्ट विशेषताएँ होती हैं। यहाँ कुछ सामान्य प्रकार के हार्मोनिक दोलक दिए गए हैं:

1. द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली:

• एक द्रव्य-स्प्रिंग प्रणाली में एक द्रव्य होता है जो एक स्प्रिंग से जुड़ा होता है। जब द्रव्य को अपनी साम्यावस्था से विस्थापित किया जाता है, तो स्प्रिंग एक पुनर्स्थापन बल लगाता है जो विस्थापन के समानुपाती होता है।
• द्रव्य-स्प्रिंग प्रणाली के लिए गति का समीकरण इस प्रकार है: $$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$ जहाँ $m$ द्रव्य है, $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है, और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।

2. लोलक:

• एक लोलक में एक द्रव्य होता है जो एक स्थिर बिंदु से डोरी या छड़ द्वारा लटका होता है। जब द्रव्य को अपनी साम्यावस्था से विस्थापित किया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल एक पुनर्स्थापन बल लगाता है जो विस्थापन के समानुपाती होता है।
• लोलक के लिए गति का समीकरण इस प्रकार है: $$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta$$ जहाँ $\theta$ ऊर्ध्वाधर से कोणीय विस्थापन है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है, और $L$ लोलक की लंबाई है।

3. LC परिपथ:

• एक LC परिपथ में एक प्रेरक और एक संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं। जब परिपथ में धारा बदली जाती है, तो प्रेरक एक विद्युतचालक बल (EMF) उत्पन्न करता है जो धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। संधारित्र विद्युत ऊर्जा संचित करता है और उसे पुनः परिपथ में वापस छोड़ता है।
• LC परिपथ के लिए गति का समीकरण इस प्रकार है: $$L\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C}i = 0$$ जहाँ $L$ प्रेरकत्व है, $C$ संधारित्रता है, और $i$ परिपथ में धारा है।

4. सरल आवर्त गति (SHM):

• सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवर्त गति है जिसमें पुनःस्थापन बल विस्थापन के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है और गति आवर्ती होती है।
• सरल आवर्त गति का गति समीकरण इस प्रकार है: $$x = A\cos(\omega t + \phi)$$ जहाँ $A$ आयाम है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $t$ समय है, और $\phi$ कला कोण है।

5. अवमंदित आवर्त दोलक:

• अवमंदित आवर्त दोलक एक ऐसा आवर्त दोलक है जिसमें अवमंदन बल दोलन कर रहे वस्तु के वेग के अनुक्रमानुपाती होता है। अवमंदन बल गति का विरोध करता है और समय के साथ दोलनों के आयाम को घटाता है।
• अवमंदित आवर्त दोलक का गति समीकरण इस प्रकार है: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$ जहाँ $c$ अवमंदन गुणांक है।

6. बाह्य बल से संचालित आवर्त दोलक:

• बाह्य बल से संचालित आवर्त दोलक एक ऐसा आवर्त दोलक है जिस पर समय के साथ आवर्ती रूप से परिवर्तित होने वाला बाह्य बल लगाया जाता है। बाह्य बल दोलक को इसकी प्राकृतिक आवृत्ति पर अनुनादित कर सकता है, जिससे दोलनों का आयाम बड़ा हो जाता है।
• बाह्य बल से संचालित आवर्त दोलक का गति समीकरण इस प्रकार है: $$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega t)$$ जहाँ $F_0$ बाह्य बल का आयाम है और $\omega$ बाह्य बल की कोणीय आवृत्ति है।

ये कुछ सामान्य प्रकार के हार्मोनिक दोलक हैं। प्रत्येक प्रकार की अपनी विशिष्ट गुणधर्म और विज्ञान तथा अभियांत्रिकी के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं।

हार्मोनिक दोलक तरंग फलन

हार्मोनिक दोलक एक मौलिक क्वांटम यांत्रिकीय तंत्र है जो किसी कण की गति का वर्णन करता है जब विस्थापन का वर्ग समानुपाती विभव हो। यह क्वांटम यांत्रिकी के सबसे महत्वपूर्ण मॉडलों में से एक है और परमाणु तथा आण्विक भौतिकी, ठोस अवस्था भौतिकी और क्वांटम प्रकाशिकी सहित विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग रखता है।

समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण

एक विमीय हार्मोनिक दोलक के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण इस प्रकार है:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E\psi(x)$$

जहाँ:

• $\psi(x)$ कण का तरंग फलन है
• $m$ कण का द्रव्यमान है
• $\omega$ दोलक का कोणीय आवृत्ति है
• $E$ कण की ऊर्जा है

ऊर्जा स्तर

हार्मोनिक दोलक के ऊर्जा स्तर क्वांटित होते हैं और इस प्रकार दिए जाते हैं:

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$

जहाँ $n$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है जो अवस्था का क्वांटम संख्या दर्शाता है।

तरंग फलन

हार्मोनिक दोलक के तरंग फलन इस प्रकार दिए जाते हैं:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)$$

जहाँ (H_n(x)) (n)-वाँ हर्माइट बहुपद है।

गुणधर्म

हार्मोनिक ऑसिलेटर तरंग फलनों के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं:

• ये वास्तविक मान वाले होते हैं और सम (n) के लिए सम तथा विषम (n) के लिए विषम होते हैं।
• ये सामान्यित होते हैं, अर्थात् (\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(x)|^2dx = 1)।
• ये आधार फलनों की एक पूर्ण समष्टि बनाते हैं, अर्थात् किसी भी तरंग फलन को हार्मोनिक ऑसिलेटर तरंग फलनों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

संक्षेप में, हार्मोनिक ऑसिलेटर तरंग फलन एक-विमीय हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए श्रोडिंगर समीकरण का एक मौलिक हल है। इसकी मात्रिक ऊर्जा स्तर और परिभाषित तरंग फलनों का एक समुच्चय होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग पाता है, जो क्वांटम तंत्रों के व्यवहार को समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।

हार्मोनिक ऑसिलेटर की शून्य-बिंदु ऊर्जा

क्वांटम यांत्रिकी में, शून्य-बिंदु ऊर्जा (ZPE) न्यूनतम संभव ऊर्जा है जो एक क्वांटम यांत्रिक तंत्र रख सकता है। यह निरपेक्ष शून्य तापमान पर तंत्र की ऊर्जा है, जब सभी ऊष्मीय गति समाप्त हो जाती है।

एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए, ZPE निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

$$E_{ZPE} = \frac{1}{2}\hbar\omega$$

जहाँ:

• (E_{ZPE}) शून्य-बिंदु ऊर्जा है
• (\hbar) न्यूनतम प्लांक नियतांक है
• (\omega) ऑसिलेटर की कोणीय आवृत्ति है

व्युत्पत्ति

हार्मोनिक ऑसिलेटर की ZPE को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है:

1. एक हार्मोनिक दोलक की ऊर्जा निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

$$E = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2$$

जहाँ:

• $m$ दोलक का द्रव्यमान है
• $\omega$ दोलक की कोणीय आवृत्ति है
• $x$ दोलक का साम्यावस्था से विस्थापन है
• $\dot{x}$ दोलक का वेग है

2. निरपेक्ष शून्य तापमान पर, सभी ऊष्मीय गति समाप्त हो जाती है, इसलिए $\dot{x} = 0$। अतः दोलक की ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$$E = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

3. दोलक की आधारभूत अवस्था वह अवस्था है जिसमें न्यूनतम संभव ऊर्जा होती है। यह अवस्था निम्नलिखित तरंग फलन द्वारा दी जाती है:

$$\psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}$$

4. आधारभूत अवस्था की ऊर्जा निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

$$E_0 = \int_{-\infty}^{\infty}\psi_0^*(x)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi_0(x)dx$$

5. इस समाकल का मूल्यांकन करने पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

$$E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$$

अतः एक हार्मोनिक दोलक का शून्य-बिंदु ऊर्जा $\frac{1}{2}\hbar\omega$ है।

भौतिक व्याख्या

एक हार्मोनिक दोलक की शून्य-बिंदु ऊर्जा को दोलक के निर्वात अवस्था की ऊर्जा के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। यह ऊर्जा अनिश्चितता सिद्धांत के कारण है, जो कहता है कि एक कण की स्थिति और संवेग दोनों को पूर्ण सटीकता से जाना असंभव है।

एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के मामले में, अनिश्चितता सिद्धांत का अर्थ है कि ऑसिलेटर पूर्ण शून्य तापमान पर विराम अवस्था में नहीं हो सकता। इसके बजाय, इसे निरंतर गति की अवस्था में होना चाहिए, भले ही कोई ऊष्मीय ऊर्जा मौजूद न हो। यह गति ऑसिलेटर के शून्य-बिंदु ऊर्जा (ZPE) के कारण होती है।

एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की ZPE के कई महत्वपूर्ण प्रभाव होते हैं। उदाहरण के लिए, यह कैसिमीर प्रभाव के लिए उत्तरदायी है, जो निर्वात में दो अनचार्ज धातु की प्लेटों के बीच आकर्षण है। कैसिमीर प्रभाव प्लेटों के बीच आभासी फोटॉनों के आदान-प्रदान के कारण होता है, जो निर्वात की ZPE द्वारा बनाए और नष्ट किए जाते हैं।

एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की ZPE परमाणुओं द्वारा विकिरण के स्वतः उत्सर्जन के लिए भी उत्तरदायी है। यह तब होता है जब एक उत्तेजित अवस्था में परमाणु एक निम्न ऊर्जा अवस्था में क्षय होता है, प्रकाश का एक फोटॉन उत्सर्जित करता है। फोटॉन की ऊर्जा दोनों अवस्थाओं के बीच ऊर्जा अंतर के बराबर होती है, साथ ही ऑसिलेटर की ZPE भी जुड़ी होती है।

हार्मोनिक और अनहार्मोनिक ऑसिलेटर के बीच अंतर

हार्मोनिक ऑसिलेटर

• एक हार्मोनिक दोलक एक यांत्रिक प्रणाली है जो साम्यावस्था के आसपास दोलन करती है, जिसकी आवृत्ति प्रणाली की कठोरता के वर्गमूल के समानुपाती और प्रणाली के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• एक हार्मोनिक दोलक की स्थितिज ऊर्जा साम्यावस्था से विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है।
• एक हार्मोनिक दोलक की गति सरल आवर्त गति है, जो एक आवर्त गति है जिसमें साम्यावस्था से विस्थापन समय का एक साइनसॉइडल फलन होता है।

अनहार्मोनिक दोलक

• एक अनहार्मोनिक दोलक एक यांत्रिक प्रणाली है जो साम्यावस्था के आसपास दोलन करती है, जिसकी आवृत्ति प्रणाली की कठोरता के वर्गमूल के समानुपाती और प्रणाली के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती नहीं होती है।
• एक अनहार्मोनिक दोलक की स्थितिज ऊर्जा साम्यावस्था से विस्थापन के वर्ग के समानुपाती नहीं होती है।
• एक अनहार्मोनिक दोलक की गति सरल आवर्त गति नहीं होती है, बल्कि एक अधिक जटिल आवर्त गति होती है।

हार्मोनिक और अनहार्मोनिक दोलकों की तुलना

हार्मोनिक और अनहार्मोनिक दोलकों के अनुप्रयोग

हार्मोनिक दोलकों का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• घड़ियाँ
• कलाई घड़ियाँ
• लोलक
• स्प्रिंग
• द्रव्यमान-स्प्रिंग तंत्र
• ध्वनि तरंगें
• प्रकाश तरंगें

अनहार्मोनिक दोलकों का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• अरेखीय गतिकी
• अराजकता सिद्धांत
• क्वांटम यांत्रिकी
• सांख्यिकीय यांत्रिकी
• ठोस अवस्था भौतिकी

रैखिक हार्मोनिक दोलकों के अनुप्रयोग

रैखिक हार्मोनिक दोलकों का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• स्प्रिंग्स: स्प्रिंग्स एक प्रकार के रैखिक हार्मोनिक दोलक होते हैं जो ऊर्जा को संचित करते हैं जब उन्हें खींचा या संकुचित किया जाता है। स्प्रिंग्स का उपयोग विभिन्न उपकरणों में किया जाता है, जैसे कारों, फर्नीचर और खिलौनों में।
• पेंडुलम्स: पेंडुलम्स एक प्रकार के रैखिक हार्मोनिक दोलक होते हैं जिनमें एक द्रव्यमान होता है जो किसी डोरी या छड़ से लटकाया जाता है। पेंडुलम्स का उपयोग विभिन्न उपकरणों में किया जाता है, जैसे घड़ियों, मेट्रोनोम और त्वरणमापकों में।
• शॉक अवशोषक: शॉक अवशोषक एक प्रकार के रैखिक हार्मोनिक दोलक होते हैं जिनका उपयोग वाहनों और अन्य यांत्रिक उपकरणों में कंपनों को शांत करने के लिए किया जाता है।

कोणीय हार्मोनिक दोलकों के अनुप्रयोग

कोणीय हार्मोनिक दोलकों का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• कैपेसिटर: कैपेसिटर एक प्रकार का कोणीय हार्मोनिक दोलक होता है जो ऊर्जा को विद्युत क्षेत्र में संचित करता है। कैपेसिटर का उपयोग विभिन्न प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में किया जाता है, जैसे कि कंप्यूटर, रेडियो और टेलीविजन।
• इंडक्टर: इंडक्टर एक प्रकार का कोणीय हार्मोनिक दोलक होता है जो ऊर्जा को चुंबकीय क्षेत्र में संचित करता है। इंडक्टर का उपयोग विभिन्न प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में किया जाता है, जैसे कि मोटर, जनरेटर और ट्रांसफॉर्मर।
• अनुनादी परिपथ: अनुनादी परिपथ एक प्रकार का कोणीय हार्मोनिक दोलक होता है जो आवृत्तियों की एक श्रेणी से किसी विशिष्ट आवृत्ति को चुनने के लिए प्रयुक्त होता है। अनुनादी परिपथ का उपयोग विभिन्न प्रकार के इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में किया जाता है, जैसे कि रेडियो, टेलीविजन और सेल फोन।

हार्मोनिक दोलक भौतिकी और अभियांत्रिकी के कई विभिन्न क्षेत्रों का एक मौलिक अंग हैं। इनका उपयोग सरल यांत्रिक उपकरणों से लेकर जटिल इलेक्ट्रॉनिक प्रणालियों तक विस्तृत अनुप्रयोगों में होता है।

हार्मोनिक दोलक FAQs

हार्मोनिक दोलक क्या है?

हार्मोनिक दोलक एक ऐसी प्रणाली है जो आवर्ती गति करती है, जिसमें पुनर्स्थापक बल विस्थापन के समानुपाती होता है। हार्मोनिक दोलक की गति को निम्न समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

जहाँ $m$ दोलक का द्रव्यमान है, $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है, और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।

हार्मोनिक दोलक के कुछ उदाहरण क्या हैं?

हार्मोनिक दोलक के कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

• एक स्प्रिंग पर लगा द्रव्यमान
• एक लोलक
• एक कम्पनशील तार
• एक LC सर्किट

एक हार्मोनिक दोलक की आवृत्ति क्या है?

एक हार्मोनिक दोलक की आवृत्ति प्रति सेकंड होने वाले दोलनों की संख्या है। यह निम्न समीकरण द्वारा दी जाती है:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

जहाँ $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है और $m$ दोलक का द्रव्यमान है।

एक हार्मोनिक दोलक का आयाम क्या है?

एक हार्मोनिक दोलक का आयाम साम्यावस्था से अधिकतम विस्थापन है। यह निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$$A = \frac{F_0}{k}$$

जहाँ $F_0$ दोलक पर लगाया गया अधिकतम बल है और $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है।

एक हार्मोनिक दोलक की कला क्या है?

एक हार्मोनिक दोलक की कला दोलक की वर्तमान स्थिति और साम्यावस्था के बीच का कोण है। यह निम्न समीकरण द्वारा दी जाती है:

$$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{v_0}{x_0}\right)$$

जहाँ $v_0$ दोलक की प्रारंभिक वेग है और $x_0$ साम्यावस्था से प्रारंभिक विस्थापन है।

एक हार्मोनिक दोलक की ऊर्जा क्या है?

एक हार्मोनिक दोलक की ऊर्जा गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग है। यह निम्न समीकरण द्वारा दी जाती है:

$$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$$

जहाँ $m$ दोलक का द्रव्यमान है, $v$ वेग है, $k$ स्प्रिंग स्थिरांक है, और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।