प्रसार नियतांक

प्रसार नियतांक एक समिश्र संख्या है जो यह वर्णन करती है कि एक तरंग किसी माध्यम से कैसे प्रसारित होती है। इसे माध्यम की आंतरिक प्रतिबाधा और तरंग प्रतिबाधा के गुणनफल का वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।

सूत्र

प्रसार नियतांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$ \gamma = \sqrt{\varepsilon \mu} $$

जहाँ:

• $\gamma$ प्रसार नियतांक है रेडियन प्रति मीटर में
• $\varepsilon$ माध्यम की विद्युतशीलता है फैराड प्रति मीटर में
• $\mu$ माध्यम की चुंबकीय प्रवेशक्षमता है हेनरी प्रति मीटर में

इकाइयाँ

प्रसार नियतांक को रेडियन प्रति मीटर में मापा जाता है।

भौतिक व्याख्या

प्रसार नियतांक की भौतिक व्याख्या है कि यह दर दर्शाता है जिस पर तरंग की आयाम किसी माध्यम से प्रसारित होते समय घटती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रसार नियतांक अवमंदन नियतांक से संबंधित होता है, जो यह माप है कि तरंग की आयाम किसी दी गई दूरी पर कितनी घटती है।

प्रसार नियतांक एक समिश्र संख्या है जो यह वर्णन करती है कि एक तरंग किसी माध्यम से कैसे प्रसारित होती है। इसका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें ऐंटेना डिज़ाइन, तरंग मार्ग डिज़ाइन, ऑप्टिकल फाइबर संचार और रडार प्रणालियाँ शामिल हैं।

प्रसार नियतांक सूत्र

प्रसार स्थिरांक, जिसे जटिल प्रसार स्थिरांक भी कहा जाता है, एक जटिल-मान वाली राशि है जो किसी माध्यम में विद्युत चुंबकीय तरंगों के प्रसार का वर्णन करती है। इसे आंतरिक प्रतिबाधा और तरंग संख्या के गुणनफल का वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।

सूत्र

प्रसार स्थिरांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$\gamma = \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon)}$$

जहाँ:

• $\gamma$ प्रसार स्थिरांक है, रेडियन प्रति मीटर में।
• $j$ काल्पनिक इकाई है।
• $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, रेडियन प्रति सेकंड में।
• $\mu$ माध्यम की चुंबकीय प्रवेश्यता है, हेनरी प्रति मीटर में।
• $\sigma$ माध्यम की चालकता है, सीमेंस प्रति मीटर में।
• $\varepsilon$ माध्यम की परावैद्युतता है, फैराड प्रति मीटर में।

वास्तविक और काल्पनिक भाग

प्रसार स्थिरांक के दो भाग होते हैं: एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग। वास्तविक भाग को ह्रास स्थिरांक कहा जाता है और काल्पनिक भाग को प्रावस्था स्थिरांक।

ह्रास स्थिरांक $\alpha$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{\omega\mu\sigma}$$

प्रावस्था स्थिरांक $\beta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$\beta = \frac{1}{2}\sqrt{\omega\mu\varepsilon}$$

अनुप्रयोग

प्रसार स्थिरांक का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• एंटेना डिज़ाइन
• संचरण रेखा विश्लेषण
• तरंग मार्ग डिज़ाइन
• फाइबर ऑप्टिक संचार

प्रसार नियतांक एक सम्मिश्र मान वाली राशि है जो किसी माध्यम में विद्युत चुंबकीय तरंगों के प्रसार का वर्णन करती है। इसका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें ऐंटेना डिज़ाइन, ट्रांसमिशन लाइन विश्लेषण, वेवगाइड डिज़ाइन और फाइबर ऑप्टिक संचार शामिल हैं।

ट्रांसमिशन लाइन के लिए प्रसार नियतांक

प्रसार नियतांक एक सम्मिश्र संख्या है जो यह वर्णन करती है कि कोई संकेत ट्रांसमिशन लाइन के साथ कैसे प्रसारित होता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\gamma = \sqrt{Z Y}$$

जहाँ:

• $\gamma$ प्रसार नियतांक है रेडियन प्रति मीटर में
• $Z$ ट्रांसमिशन लाइन का अभिलाक्षणिक प्रतिरोध है ओम में
• $Y$ ट्रांसमिशन लाइन की प्रवाहकता है सीमेंस प्रति मीटर में

प्रसार नियतांक का उपयोग ट्रांसमिशन लाइन के निम्नलिखित मापदंडों की गणना करने के लिए किया जा सकता है:

• संकेत की तरंगदैर्ध्य मीटर में
• संकेत के प्रसार की चाल मीटर प्रति सेकंड में
• संकेत की ह्रास नेपर प्रति मीटर में
• संकेत की कला रेडियन प्रति मीटर में

तरंगदैर्ध्य

ट्रांसमिशन लाइन पर संकेत की तरंगदैर्ध्य इस प्रकार दी जाती है:

$$\lambda = \frac{2\pi}{k}$$

जहाँ:

• $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है मीटर में
• $\gamma$ प्रसार नियतांक है रेडियन प्रति मीटर में

प्रसार की चाल

ट्रांसमिशन लाइन पर संकेत की प्रसार चाल इस प्रकार दी जाती है:

$$v = \frac{\omega}{\gamma}$$

जहाँ:

• $v$ प्रसार की चाल है, मीटर प्रति सेकंड में
• $\omega$ सिग्नल की कोणीय आवृत्ति है, रेडियन प्रति सेकंड में
• $\gamma$ प्रसार स्थिरांक है, रेडियन प्रति मीटर में

अवमंदन

ट्रांसमिशन लाइन पर सिग्नल का अवमंदन इस प्रकार दिया जाता है:

$$\alpha = \frac{1}{2}\Re(\gamma)$$

जहाँ:

• $\alpha$ अवमंदन है, नीपर प्रति मीटर में
• $\Re(\gamma)$ प्रसार स्थिरांक का वास्तविक भाग है, रेडियन प्रति मीटर में

कलान्तरण

ट्रांसमिशन लाइन पर सिग्नल का कलान्तरण इस प्रकार दिया जाता है:

$$\beta = \frac{1}{2}\Im(\gamma)$$

जहाँ:

• $\beta$ कलान्तरण है, रेडियन प्रति मीटर में
• $\Im(\gamma)$ प्रसार स्थिरांक का काल्पनिक भाग है, रेडियन प्रति मीटर में

प्रसार स्थिरांक एक समिश्र संख्या है जो यह वर्णन करती है कि एक सिग्नल ट्रांसमिशन लाइन के साथ कैसे प्रसारित होता है। इसका उपयोग ट्रांसमिशन लाइन पर सिग्नल की तरंगदैर्ध्य, प्रसार चाल, अवमंदन और कलान्तरण की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

प्रसार स्थिरांक के हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण

उदाहरण 1:

एक ट्रांसमिशन लाइन के निम्नलिखित प्राचल हैं:

• अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा: $$Z_0 = 50 \Omega$$
• प्रसार स्थिरांक: $$\gamma = 0.01 + j0.02 \text{ rad/m}$$

कलान्तरण स्थिरांक और अवमंदन स्थिरांक ज्ञात कीजिए।

हल:

कलान्तरण स्थिरांक इस प्रकार दिया जाता है:

$$\beta = \Re(\gamma) = 0.01 \text{ rad/m}$$

अवमंदन स्थिरांक इस प्रकार दिया जाता है:

$$\alpha = \Im(\gamma) = 0.02 \text{ rad/m}$$

उदाहरण 2:

एक सहअक्षीय केबल की निम्नलिखित विमाएँ हैं:

• आंतरिक चालक की त्रिज्या: $$a = 1 \text{ mm}$$
• बाहरी चालक की त्रिज्या: $$b = 2 \text{ mm}$$
• डाइलेक्ट्रिक स्थिरांक: $$\epsilon_r = 4$$

1 GHz आवृत्ति पर केबल का प्रसार स्थिरांक ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रसार स्थिरांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$\gamma = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$$

जहाँ:

• $R$ प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध है
• $L$ प्रति इकाई लंबाई प्रेरकता है
• $G$ प्रति इकाई लंबाई चालकता है
• $C$ प्रति इकाई लंबाई धारिता है

एक सहअक्षीय केबल के लिए, प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध, प्रेरकता, चालकता और धारिता निम्नलिखित द्वारा दी जाती हैं:

$$R = \frac{1}{2\pi\sigma b}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

$$L = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

$$G = \frac{\omega\epsilon_0\epsilon_r}{2\pi}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$

$$C = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_r L}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}$$

जहाँ:

• $\sigma$ चालक की चालकता है
• $\mu_0$ निःस्वच्छ स्थान की चुंबकशीलता है
• $\epsilon_0$ निःस्वच्छ स्थान की परमिटिविटी है

ऊपर दिए गए समीकरणों में दी गई मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

$$R = \frac{1}{2\pi(10^7)(2\times10^{-3})}\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right) = 0.0025 \Omega/\text{m}$$

$$L = \frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right) = 200 \text{ nH/m}$$

$$G = \frac{2\pi\times10^9\times8.85\times10^{-12}\times4}{2\pi}\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right) = 2.26\times10^{-4} \text{ S/m}$$

$$C = \frac{2\pi\times8.85\times10^{-12}\times4}{\ln\left(\frac{2\times10^{-3}}{1\times10^{-3}}\right)} = 113 \text{ pF/m}$$

इन मानों को प्रसार नियतांक के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$\gamma = \sqrt{(0.0025+j2\pi\times10^9\times200\times10^{-9})(2.26\times10^{-4}+j2\pi\times10^9\times113\times10^{-12})}$$

$$\gamma = 0.01 + j0.02 \text{ rad/m}$$

इसलिए, 1 GHz आवृत्ति पर केबल का प्रसार नियतांक $$0.01 + j0.02 \text{ rad/m}$$ है।

प्रसार नियतांक अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रसार नियतांक क्या है?

प्रसार नियतांक एक समिश्र संख्या है जो वर्णन करती है कि एक तरंग किसी माध्यम के माध्यम से कैसे प्रसारित होती है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\gamma = \alpha + j\beta$$

जहाँ:

• $\alpha$ अवमंदन नियतांक है, जो वर्णन करता है कि तरंग की आयाम कैसे घटती है जैसे ही यह प्रसारित होती है
• $\beta$ प्रावस्था नियतांक है, जो वर्णन करता है कि तरंग की प्रावस्था कैसे बदलती है जैसे ही यह प्रसारित होती है

प्रसार नियतांक की इकाइयाँ क्या हैं?

प्रसार नियतांक को आमतौर पर रेडियन प्रति मीटर में व्यक्त किया जाता है।

प्रसार नियतांक तरंग की तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति से कैसे संबंधित है?

प्रसार नियतांक तरंग की तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति से निम्नलिखित समीकरणों के माध्यम से संबंधित है:

$$\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$$

$$\alpha = \frac{\beta}{2Q}$$

जहाँ:

• $\lambda$ तरंग की तरंगदैर्ध्य है
• $f$ तरंग की आवृत्ति है
• $Q$ माध्यम का गुणवत्ता कारक है

प्रसार स्थिरांक का क्या महत्व है?

प्रसार स्थिरांक एक उपयोगी उपकरण है जो यह समझने में मदद करता है कि तरंगें विभिन्न माध्यमों से कैसे प्रसारित होती हैं। इसका उपयोग तरंग के क्षय और कलात्मक विस्थापन की गणना करने के साथ-साथ माध्यम की प्रतिबाधा की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है।

प्रसार स्थिरांक के कुछ अनुप्रयोग क्या हैं?

प्रसार स्थिरांक का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• दूरसंचार: प्रसार स्थिरांक का उपयोग ऐंटेना और संचरण लाइनों को डिज़ाइन करने के लिए किया जाता है।
• ध्वनिकी: प्रसार स्थिरांक का उपयोग ध्वनिरोधी सामग्री को डिज़ाइन करने और किसी कमरे की प्रतिध्वनि समय की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
• प्रकाशिकी: प्रसार स्थिरांक का उपयोग तरंगद्रोही और ऐंटेना को डिज़ाइन करने के लिए किया जाता है।

निष्कर्ष

प्रसार स्थिरांक एक समिश्र संख्या है जो यह वर्णन करती है कि कोई तरंग किसी माध्यम से कैसे प्रसारित होती है। यह विभिन्न माध्यमों से तरंगों के प्रसार को समझने के लिए एक उपयोगी उपकरण है और इसका दूरसंचार, ध्वनिकी और प्रकाशिकी में विभिन्न अनुप्रयोग हैं।