तरंग गति को समझना

तरंग गति वह है जिससे तरंगें चलती हैं। तरंग एक ऐसा विक्षोभ है जो ऊर्जा को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाता है। आप तरंग गति को पानी में बनने वाली लहरों, सुनाई देने वाली ध्वनि और दिखाई देने वाले प्रकाश में देख सकते हैं। इस लेख में हम विभिन्न प्रकार की तरंगों और उनके चलने के तरीकों को देखेंगे। हम तरंगों के कार्यों और गुणों के बारे में भी बात करेंगे और ध्वनि तरंगों के बारे में जानेंगे।

तरंगें क्या करती हैं

तरंगें कुछ अलग-अलग काम कर सकती हैं:

• ऊर्जा ले जाना
• सूचना भेजना
• जिस माध्यम से वे गुजरती हैं उसमें विक्षोभ उत्पन्न करना

चलती हुई तरंग गति की चाल

चलती हुई तरंग एक ऐसा विक्षोभ है जो किसी माध्यम से फैलता है और ऊर्जा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित करता है। चलती हुई तरंग की चाल वह दर है जिस पर विक्षोभ माध्यम से गुजरता है। यह तरंगों का एक महत्वपूर्ण गुण है जो निर्धारित करता है कि वे सूचना या ऊर्जा कितनी तेजी से स्थानांतरित कर सकती हैं।

चलती हुई तरंग की चाल का सूत्र

चलती हुई तरंग की चाल निम्नलिखित सूत्र से परिकलित की जा सकती है:

$$ v = fλ $$

जहाँ:

• v तरंग की चाल है मीटर प्रति सेकंड (m/s) में
• f तरंग की आवृत्ति है हर्ट्ज़ (Hz) में
• λ तरंग की तरंगदैर्ध्य है मीटर (m) में

तरंग चालों के उदाहरण

यहाँ विभिन्न प्रकार की तरंगों की चालों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• ध्वनि तरंगें: कमरे के तापमान पर वायु में ध्वनि की चाल लगभग 343 मी/से है।
• जल तरंगें: जल तरंगों की चाल जल की गहराई और तरंग की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है। गहरे जल की तरंगों के लिए चाल इस सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$ v = \sqrt{(gλ/2π)} $$

जहाँ g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है (9.8 मी/से²)।

• विद्युतचुंबकीय तरंगें: विद्युतचुंबकीय तरंगें, जिनमें प्रकाश और रेडियो तरंगें सम्मिलित हैं, प्रकाश की चाल से यात्रा करती हैं, जो निर्वात में लगभग 299,792,458 मी/से है।

तरंग चाल के अनुप्रयोग

चलती तरंगों की चाल के अनेक अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में हैं, जिनमें सम्मिलित हैं:

• संचार: विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल रेडियो, टेलीविजन और इंटरनेट जैसी संचार तकनीकों के लिए अत्यावश्यक है।
• नेविगेशन: ध्वनि तरंगों की चाल सोनार प्रणालियों में पानी के भीतर नेविगेशन और वस्तु पहचान के लिए प्रयोग की जाती है।
• चिकित्सीय इमेजिंग: अल्ट्रासाउंड तरंगों की चाल चिकित्सीय इमेजिंग तकनीकों जैसे अल्ट्रासाउंड स्कैन में उपयोग की जाती है।
• भू-भौतिकी: भूकंपीय तरंगों की चाल पृथ्वी के आंतरिक संरचना और गुणों के अध्ययन के लिए प्रयोग की जाती है।

चलती तरंगों की चाल को समझना तरंग घटनाओं और वैज्ञानिक तथा तकनीकी क्षेत्रों में उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों को समझने के लिए अत्यावश्यक है।

तरंगों की पारिभाषिक शब्दावली

तरंगें हमारे भौतिक जगत का एक मूलभूत अंग हैं और वे विस्तृत गुणधर्मों एवं व्यवहारों का प्रदर्शन करती हैं। तरंग-विज्ञान को प्रभावी ढंग से समझने और संप्रेषित करने के लिए उनसे जुड़ी प्रमुख पारिभाषिक शब्दावली से परिचित होना अनिवार्य है। यहाँ तरंगों से सम्बद्ध कुछ महत्वपूर्ण पद दिए गए हैं:

1. आयाम (A)

किसी तरंग का आयाम माध्यम के साम्यावस्था-स्थान से अधिकतम विस्थापन है। यह तरंग की शक्ति या तीव्रता को दर्शाता है और इसे मीटर (m) या सेंटीमीटर (cm) जैसी इकाइयों में मापा जाता है।

2. आवर्तकाल (T)

तरंग का आवर्तकाल (T) वह समय है जो किसी कण को अपनी औसत स्थिति के चारों ओर एक बार आगे-पीछे घूमने में लगता है। इसे सेकंड में मापा जाता है।

3. तरंगदैर्ध्य (λ)

तरंग का तरंगदैर्ध्य (λ) दो क्रमागत शिखरों या गर्तों के बीच की दूरी है। इसे मीटर में मापा जाता है।

4. आवृत्ति (n):

तरंग की आवृत्ति एक सेकंड में होने वाले पूर्ण दोलनों या चक्रों की संख्या है। इसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है, जहाँ 1 Hz बराबर होता है एक चक्र प्रति सेकंड।

इन मुख्य पदों को समझना तरंगों के व्यवहार और गुणधर्मों को समझने के लिए अत्यावश्यक है, जो भौतिकी, अभियांत्रिकी और समुद्र-विज्ञान सहित विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में प्रभावी संप्रेषण और विश्लेषण सक्षम बनाता है।

तरंग गति का वर्गीकरण

तरंग गति को विभिन्न लक्षणों के आधार पर कई प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है। यहाँ कुछ सामान्य वर्गीकरण दिए गए हैं:

1. यांत्रिक तरंगें बनाम विद्युतचुंबकीय तरंगें:

• यांत्रिक तरंगें: इन तरंगों को फैलने के लिए भौतिक माध्यम (जैसे वायु, जल या ठोस वस्तुएँ) की आवश्यकता होती है। ये माध्यम के कणों के कंपन या दोलन से संबंधित होती हैं। उदाहरणों में ध्वनि तरंगें और जल तरंगें शामिल हैं।
• विद्युतचुंबकीय तरंगें: इन तरंगों को भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती और ये खाली स्थान से होकर यात्रा कर सकती हैं। ये दोलित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बनी होती हैं। उदाहरणों में प्रकाश तरंगें, रेडियो तरंगें और सूक्ष्मतरंगें शामिल हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें बनाम अनुदैर्ध्य तरंगें:

• अनुप्रस्थ तरंगें: अनुप्रस्थ तरंगों में, माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं। तरंग माध्यम को ऊपर-नीचे या बाएँ-दाएँ हिलाती है। उदाहरणों में जल तरंगें और विद्युतचुंबकीय तरंगें (जैसे प्रकाश तरंगें) शामिल हैं।
• अनुदैर्ध्य तरंगें: अनुदैर्ध्य तरंगों में, माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समांतर कंपन करते हैं। तरंग माध्यम को गति की दिशा में संपीड़ित और विस्तारित करती है। उदाहरणों में ध्वनि तरंगें और भूकंपीय तरंगें शामिल हैं।

3. सतह तरंगें बनाम शरीर तरंगें:

• सतह तरंगें: ये तरंगें किसी माध्यम की सीमा या सतह के साथ-साथ चलती हैं। ये आमतौर पर दो भिन्न पदार्थों के अंतरापृष्ठ से जुड़ी होती हैं। उदाहरणों में समुद्र की सतह पर जल तरंगें और पृथ्वी की पपड़ी पर सतह तरंगें शामिल हैं।
• शरीर तरंगें: ये तरंगें किसी माध्यम के आंतरिक या शरीर भाग से होकर गुजरती हैं। ये सतह तक सीमित नहीं होतीं। उदाहरणों में वे भूकंपीय शरीर तरंगें शामिल हैं जो पृथ्वी की परतों से होकर फैलती हैं।

4. निरंतर तरंगें बनाम स्पंद:

• निरंतर तरंगें: इन तरंगों में दोलन का नियमित और बिना रुकावट का ढांचा होता है। ये समय के साथ स्थिर आयाम और आवृत्ति बनाए रखती हैं। उदाहरणों में साइन तरंगें और वर्ग तरंगें शामिल हैं।
• स्पंद: ये तरंगें अल्पकालिक व्यतिकार होते हैं जिनकी एक शुरुआत और अंत होता है। इनकी पहचान आयाम में अचानक परिवर्तन और फिर मूल अवस्था में लौटने से होती है। उदाहरणों में ध्वनि स्पंद और प्रकाश स्पंद शामिल हैं।

5. आवर्ती तरंगें बनाम अनावर्ती तरंगें:

• आवर्ती तरंगें: इन तरंगों में दोलन का पुनरावर्ती ढांचा होता है। इनकी स्पष्ट तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति होती है, और ये नियमित अंतराल पर स्वयं को दोहराती हैं। उदाहरणों में साइन तरंगें और वर्ग तरंगें शामिल हैं।
• अनावर्ती तरंगें: इन तरंगों में दोलन का नियमित या पुनरावर्ती ढांचा नहीं होता। इनकी तरंगरूप रचना जटिल और अनियमित होती है। उदाहरणों में शोर और भूकंप तरंगें शामिल हैं।

6. स्थिर तरंगें बनाम यात्रा करती तरंगें:

• स्थिर तरंगें: ये तरंगें तब बनती हैं जब समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगें विपरीत दिशाओं में चलती हैं और अध्यारोपित होती हैं। वे दोलन का एक स्थिर पैटर्न बनाती हैं जिसमें विस्थापन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु स्थिर रहते हैं। उदाहरणों में कंपन करती हुई डोरी पर या अनुनादिक गुहिका में स्थिर तरंगें शामिल हैं।
• यात्रा करती तरंगें: ये तरंगें किसी माध्यम से गुजरती हैं और एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा ले जाती हैं। इनका प्रसरण की एक निश्चित दिशा होती है और यात्रा के दौरान इनका आकार समान रहता है। उदाहरणों में जल तरंगें और ध्वनि तरंगें शामिल हैं।

तरंग गति के ये वर्गीकरण हमें विभिन्न प्रकार की तरंगों को उनके गुणों और व्यवहार के आधार पर समझने और विश्लेषण करने में मदद करते हैं।

स्थिर तरंग गति

स्थिर तरंग गति तरंग गति का एक विशेष प्रकार है जो तब घटित होता है जब समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगें विपरीत दिशाओं में चलती हैं और एक-दूसरे में हस्तक्षेप करती हैं। यह हस्तक्षेप तरंगों का एक स्थिर पैटर्न बनाता है जो स्थिर दिखाई देता है।

स्थिर तरंगों की विशेषताएँ

स्थिर तरंगों में कई विशिष्ट गुण होते हैं जो इन्हें अन्य प्रकार की तरंगों से अलग करते हैं:

• नोड्स और एंटीनोड्स: स्थिर तरंगों में शून्य विस्थापन वाले बिंदुओं को नोड्स और अधिकतम विस्थापन वाले बिंदुओं को एंटीनोड्स कहा जाता है। नोड्स वहाँ बनते हैं जहाँ दो तरंगें विनाशी व्यतिकरण करती हैं, जबकि एंटीनोड्स वहाँ बनते हैं जहाँ वे रचनात्मक व्यतिकरण करती हैं।
• आवृत्ति: स्थिर तरंग की आवृत्ति उस आवृत्ति के बराबर होती है जो उसे बनाने वाली दो तरंगों की होती है।
• तरंगदैर्ध्य: स्थिर तरंग का तरंगदैर्ध्य दो निकटतम नोड्स या एंटीनोड्स के बीच की दूरी का दोगुना होता है।
• आयाम: स्थिर तरंग का आयाम उस आयाम के बराबर होता है जो उसे बनाने वाली दो तरंगों का होता है।

स्थिर तरंगों का निर्माण

स्थिर तरंगें कई तरीकों से बनाई जा सकती हैं, लेकिन एक सामान्य विधि किसी सीमा से तरंग को परावर्तित करना है। जब कोई तरंग किसी सीमा से परावर्तित होती है, तो वह मूल तरंग के साथ व्यतिकरण करती है और एक स्थिर तरंग बनाती है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई तरंग दीवार से परावर्तित होती है, तो परावर्तित तरंग तरंग के स्रोत की ओर वापस जाएगी और मूल तरंग के साथ व्यतिकरण करेगी। यह व्यतिकरण दीवार पर नोड्स और दीवार व तरंग के स्रोत के बीच के मध्य बिंदु पर एंटीनोड्स के साथ एक स्थिर तरंग बनाएगा।

स्थिर तरंगों के अनुप्रयोग

स्थिर तरंगों के विज्ञान और अभियांत्रिकी में कई अनुप्रयोग हैं। कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• संगीत वाद्ययंत्र: गिटार, वायलिन और पियानो जैसे संगीत वाद्ययंत्रों में ध्वनि उत्पन्न करने के लिए स्थिर तरंगों का उपयोग किया जाता है। एक संगीत वाद्ययंत्र द्वारा उत्पन्न विभिन्न स्वर उन स्थिर तरंगों की विभिन्न आवृत्तियों द्वारा निर्धारित होते हैं जो बनाई जाती हैं।
• एंटेना: रेडियो तरंगों को प्रसारित और प्राप्त करने के लिए एंटेना में स्थिर तरंगों का उपयोग किया जाता है। एक एंटेना की लंबाई उन रेडियो तरंगों की तरंगदैर्ध्य द्वारा निर्धारित होती है जिन्हें वह प्रसारित या प्राप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
• ऑप्टिकल फाइबर: ऑप्टिकल फाइबर में प्रकाश संकेतों को प्रसारित करने के लिए स्थिर तरंगों का उपयोग किया जाता है। विभिन्न रंगों की प्रकाश किरणें जो एक ऑप्टिकल फाइबर के माध्यम से प्रसारित हो सकती हैं, उन स्थिर तरंगों की विभिन्न आवृत्तियों द्वारा निर्धारित होती हैं जो बनाई जाती हैं।

स्थिर तरंग गति भौतिकी की एक मौलिक अवधारणा है जिसका विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग है। स्थिर तरंगों के गुणधर्मों और निर्माण को समझकर, हम अपने आस-पास की दुनिया को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं और नई तकनीकों का विकास कर सकते हैं।

प्रगतिशील तरंग गति

एक प्रगतिशील तरंग वह तरंग है जो अंतरिक्ष में आगे बढ़ती है, तरंग की ऊर्जा तरंग की गति की दिशा में ही प्रसारित होती है। यह स्थिर तरंग के विपरीत होता है, जो आगे बढ़े बिना एक ही स्थान पर दोलन करती है।

प्रगतिशील तरंगें विभिन्न स्रोतों द्वारा बनाई जा सकती हैं, जिनमें कम्पित तार, दोलित स्प्रिंग और जल तरंगें शामिल हैं। प्रत्येक स्थिति में, तरंग एक व्यवधान द्वारा बनती है जो माध्यम के कणों को दोलन करने का कारण बनता है। यह दोलन फिर माध्यम के माध्यम से फैलता है, तरंग की ऊर्जा को साथ ले जाता है।

प्रगतिशील तरंगों की विशेषताएँ

प्रगतिशील तरंगें कई गुणों द्वारा विशेषता होती हैं, जिनमें शामिल हैं:

• तरंगदैर्ध्य: तरंग का तरंगदैर्ध्य तरंग के दो निकटतम शिखरों (या गर्तों) के बीच की दूरी होती है।
• आवृत्ति: तरंग की आवृत्ति वह संख्या है जो प्रति सेकंड किसी दिए गए बिंदु से तरंगें गुजरती हैं।
• आयाम: तरंग का आयाम माध्यम के कणों का अधिकतम विस्थापन है जो उनकी साम्यावस्था से होता है।
• तरंग चाल: तरंग चाल वह चाल है जिससे तरंग माध्यम के माध्यम से फैलती है।

प्रगतिशील तरंगों का गणितीय वर्णन

प्रगतिशील तरंग का गणितीय वर्णन निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:

$$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$$

जहाँ:

• $y(x, t)$ माध्यम के कणों का विस्थापन है स्थिति $x$ और समय $t$ पर।
• $A$ तरंग का आयाम है।
• $k$ तरंग संख्या है, जो $2\pi/\lambda$ के बराबर है।
• $\omega$ तरंग की कोणीय आवृत्ति है, जो $2\pi f$ के बराबर है।

प्रगतिशील तरंगों के अनुप्रयोग

प्रगतिशील तरंगों के विस्तृत अनुप्रयोग हैं, जिनमें शामिल हैं:

• ध्वनि तरंगें: ध्वनि तरंगें प्रगतिशील तरंगें होती हैं जो वायु के माध्यम से यात्रा करती हैं। ध्वनि तरंग की आवृत्ति ध्वनि की तीव्रता निर्धारित करती है, जबकि आयाम ध्वनि की जोर निर्धारित करता है।
• प्रकाश तरंगें: प्रकाश तरंगें प्रगतिशील तरंगें होती हैं जो अंतरिक्ष के माध्यम से यात्रा करती हैं। प्रकाश तरंग की आवृत्ति प्रकाश का रंग निर्धारित करती है, जबकि आयाम प्रकाश की चमक निर्धारित करता है।
• जल तरंगें: जल तरंगें प्रगतिशील तरंगें होती हैं जो जल की सतह पर यात्रा करती हैं। जल तरंग की तरंगदैर्ध्य तरंग के आकार को निर्धारित करती है, जबकि आयाम तरंग की ऊंचाई निर्धारित करता है।

प्रगतिशील तरंगें हमारी दुनिया का एक मौलिक हिस्सा हैं। ये तरंगें विभिन्न घटनाओं के लिए उत्तरदायी होती हैं, हमारी आवाज़ की ध्वनि से लेकर हमारे देखे जाने वाले प्रकाश तक। प्रगतिशील तरंगों के गुणों को समझकर, हम अपने आसपास की दुनिया को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं।

प्रगतिशील तरंगों के प्रकार

प्रगतिशील तरंगें वे तरंगें होती हैं जो किसी माध्यम में आगे बढ़ती हैं, एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा स्थानांतरित करती हैं। इनकी पहचान उनकी तरंगाग्रों से होती है, जो नियत प्रावस्था की सतहें होती हैं, और उनकी तरंगदैर्ध्य से, जो कि आसन्न तरंगाग्रों के बीच की दूरी होती है।

प्रगतिशील तरंगों के दो मुख्य प्रकार होते हैं:

1. अनुप्रस्थ तरंगें

अनुप्रस्थ तरंगों में, माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं। इसका अर्थ है कि तरंगाग्रें तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होती हैं। अनुप्रस्थ तरंगों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• जल तरंगें: जल तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं जो जल की सतह पर चलती हैं। जल तरंगों की तरंगाग्र जल की सतह के समानांतर होती हैं, और जल के कण ऊपर-नीचे कंपन करते हैं।
• प्रकाश तरंगें: प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं जो अंतरिक्ष में चलती हैं। प्रकाश तरंगों की तरंगाग्र प्रकाश के प्रसार की दिशा के लंबवत होती हैं, और प्रकाश के कण (फोटॉन) तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।
• रेडियो तरंगें: रेडियो तरंगें अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं जो अंतरिक्ष में चलती हैं। रेडियो तरंगों की तरंगाग्र रेडियो तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होती हैं, और रेडियो तरंगों के कण (फोटॉन) तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं।

2. अनुदैर्ध्य तरंगें

अनुदैर्ध्य तरंगों में, माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं। इसका अर्थ है कि तरंगाग्र तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर होती हैं। अनुदैर्ध्य तरंगों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• ध्वनि तरंगें: ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं जो वायु, जल और अन्य पदार्थों के माध्यम से प्रसारित होती हैं। ध्वनि तरंगों की तरंगोन्मुखें ध्वनि प्रसार की दिशा के समानांतर होती हैं, और वायु, जल या अन्य पदार्थों के कण तरंग प्रसार की दिशा में आगे-पीछे कंपन करते हैं।
• भूकंपीय तरंगें: भूकंपीय तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं जो पृथ्वी के माध्यम से प्रसारित होती हैं। भूकंपीय तरंगों की तरंगोन्मुखें भूकंपीय तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर होती हैं, और पृथ्वी के कण तरंग प्रसार की दिशा में आगे-पीछे कंपन करते हैं।

तरंग समीकरण

तरंग समीकरण एक गणितीय समीकरण है जो तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है। यह एक द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरण है जो तरंग के विस्थापन को इसकी वेग और त्वरण से संबंधित करता है।

तरंग समीकरण की व्युत्पत्ति

तरंग समीकरण को ऊर्जा और संवेग के संरक्षण से व्युत्पन्न किया जा सकता है। धनात्मक x-दिशा में प्रसारित हो रही एक-आयामी तरंग पर विचार करें। तरंग की ऊर्जा घनत्व इस प्रकार दी गई है:

$$E = \frac{1}{2} \rho v^2$$

जहाँ $\rho$ माध्यम का घनत्व है और $v$ तरंग का वेग है।

तरंग का संवेग घनत्व इस प्रकार दिया गया है:

$$P = \rho v$$

ऊर्जा के संरक्षण का कहना है कि तरंग की कुल ऊर्जा स्थिर रहनी चाहिए। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\frac{\partial E}{\partial t} + \frac{\partial (Pv)}{\partial x} = 0$$

संवेग संरक्षण बताता है कि तरंग का कुल संवेग स्थिर रहना चाहिए। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial \sigma}{\partial x} = 0$$

जहाँ $\sigma$ तनाटensor है।

इन दो समीकरणों को मिलाकर, हम पाते हैं:

$$\frac{\partial^2 v}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$

जहाँ $c$ तरंग की चाल है।

यह एक-आयामी तरंग समीकरण है।

तरंग समीकरण के हल

तरंग समीकरण के विभिन्न हल होते हैं, जो सीमा शर्तों पर निर्भर करते हैं। कुछ सामान्य हलों में शामिल हैं:

• समतल तरंगें: ये तरंगें होती हैं जिनकी आयाम और वेग स्थिर रहते हैं।
• गोलीय तरंगें: ये तरंगें होती हैं जो एक बिंदु स्रोत से सभी दिशाओं में फैलती हैं।
• बेलनाकार तरंगें: ये तरंगें होती हैं जो एक रेखा स्रोत से सभी दिशाओं में फैलती हैं।
• स्थिर तरंगें: ये तरंगें होती हैं जो दो सीमाओं के बीच आगे-पीछे परावर्तित होती हैं।

न्यूटन के सूत्र के अनुसार अनुदैर्ध्य तरंगों की चाल

भौतिकी में, अनुदैर्ध्य तरंग एक तरंग है जिसमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं। ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों का एक उदाहरण हैं। अनुदैर्ध्य तरंग की चाल उस माध्यम के गुणों पर निर्भर करती है जिससे वह गुजर रही है। इस लेख में, हम न्यूटन के सूत्र के अनुसार अनुदैर्ध्य तरंग की चाल के लिए सूत्र व्युत्पन्न करेंगे।

अनुदैर्ध्य तरंगों की चाल के लिए न्यूटन का सूत्र

अनुदैर्ध्य तरंग की चाल के लिए न्यूटन का सूत्र इस प्रकार है:

$$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

जहाँ:

• v तरंग की चाल मीटर प्रति सेकंड (m/s) में है
• E माध्यम का प्रत्यास्थता मापांक पास्कल (Pa) में है
• ρ माध्यम का घनत्व किलोग्राम प्रति घन मीटर (kg/m³) में है

न्यूटन के सूत्र की व्युत्पत्ति

न्यूटन का सूत्र यांत्रिकी के मूलभूत सिद्धांतों से व्युत्पन्न किया जा सकता है। एक आयामी कणों की श्रृंखला पर विचार करें जो स्प्रिंगों से जुड़ी है। जब कोई कण अपनी साम्यावस्था से विस्थापित होता है, तो वह पड़ोसी कणों पर बल लगाता है, जिससे वे भी चलते हैं। इससे एक तरंग बनती है जो कणों की श्रृंखला में फैलती है।

तरंग की चाल उस कण पर लगने वाले बलों पर विचार करके निर्धारित की जा सकती है। स्प्रिंग द्वारा कण पर लगाया गया बल इस प्रकार दिया गया है:

$$F = -kx$$

जहाँ:

• F बल न्यूटन (N) में है
• k स्प्रिंग स्थिरांक न्यूटन प्रति मीटर (N/m) में है
• x कण का साम्यावस्था से विस्थापन मीटर (m) में है

कण का त्वरण इस प्रकार दिया गया है:

$$a = \frac{F}{m}$$

जहाँ:

• a त्वरण मीटर प्रति सेकंड वर्ग (m/s²) में है
• m कण का द्रव्यमान किलोग्राम (kg) में है

इन दो समीकरणों को मिलाने पर, हमें मिलता है:

$$a = -\frac{k}{m}x$$

यह एक द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण है जो स्प्रिंगों से जुड़ी एक आयामी कणों की श्रृंखला में कण की गति का वर्णन करता है। इस समीकरण का हल एक ज्या-आकृति तरंग है:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

जहाँ:

• A तरंग की आयाम है मीटर (m) में
• ω तरंग की कोणीय आवृत्ति है रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में
• t समय है सेकंड (s) में
• ϫ चरण स्थिरांक है रेडियन में

तरंग की चाल दी जाती है:

$$v = \frac{\omega}{k}$$

ω के इस व्यंजक को इस समीकरण में रखने पर हमें मिलता है:

$$v = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

यह अनुदैर्ध्य तरंग की चाल के लिए न्यूटन का सूत्र है।

अनुदैर्ध्य तरंग की चाल के लिए न्यूटन का सूत्र भौतिकी का एक मौलिक समीकरण है। इसका उपयोग विभिन्न माध्यमों में ध्वनि तरंगों की चाल तथा अन्य प्रकार की अनुदैर्ध्य तरंगों की चाल की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

अनुदैर्ध्य तरंगों (ध्वनि) की चाल लाप्लास के संशोधन के अनुसार

लाप्लास का संशोधन वायु में ध्वनि की चाल के सूत्र में एक गणितीय समायोजन है जो इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि वायु एक पूर्ण गैस नहीं है। यह संशोधन आवश्यक है क्योंकि गैस में ध्वनि की चाल तापमान, दाब और घनत्व से प्रभावित होती है।

वायु में ध्वनि की चाल का सूत्र

वायु में ध्वनि की चाल का सूत्र है:

$$v = \sqrt{\frac{kRT}{M}}$$

जहाँ:

• $v$ ध्वनि की चाल है मीटर प्रति सेकंड में
• $k$ स्थिर दाब और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है
• $R$ सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है
• $T$ तापमान है केल्विन में
• $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है

लाप्लास का संशोधन

वायु में ध्वनि की चाल के सूत्र में लाप्लास का संशोधन इस प्रकार है:

$$\Delta v = \frac{1}{2}v\left(\frac{1}{k}-1\right)\left(\frac{p}{p_0}-1\right)$$

जहाँ:

• $\Delta v$ ध्वनि की चाल में संशोधन है, मीटर प्रति सेकंड में
• $v$ ध्वनि की चाल है, मीटर प्रति सेकंड में, जो आदर्श गैस नियम का उपयोग करके गणना की गई है
• $k$ स्थिर दाब और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है
• $p$ दाब है, पास्कल में
• $p_0$ मानक वायुमंडलीय दाब है (101,325 पास्कल)

लाप्लास के संशोधन का अनुप्रयोग

लाप्लास का संशोधन आमतौर पर तब लगाया जाता है जब वायु का दाब मानक वायुमंडलीय दाब से काफी अलग हो। उदाहरण के लिए, लाप्लास का संशोधन तब लगाया जाता है जब उच्च ऊँचाई वाले वातावरण या दबावयुक्त विमान के केबिन में ध्वनि की चाल की गणना की जा रही हो।

लाप्लास का संशोधन वायु में ध्वनि की चाल की सटीक गणना के लिए एक मूल्यवान उपकरण है। यह संशोधन आवश्यक है क्योंकि किसी गैस में ध्वनि की चाल गैस के तापमान, दाब और घनत्व से प्रभावित होती है।