आपने अध्याय 1 में पढ़ा है कि मापकला (स्केल) सभी प्रकार के नक्शों का एक अनिवार्य तत्व है। यह इतना महत्वपूर्ण है कि यदि रेखाओं और बहुभुजों का कोई जाल बिना मापकला हो, तो हम उसे “रफ़ा-चिट्ठा” कहते हैं। मापकला इतना महत्वपूर्ण क्यों है? इसका क्या अर्थ है? नक्शे पर मापकला दिखाने के विभिन्न तरीके क्या हैं? दूरी और क्षेत्रफल मापने में मापकला कितना उपयोगी है? ये कुछ ऐसे प्रश्न हैं जिन पर इस अध्याय में विचार किया जाएगा।

शब्दावली

हर: भिन्न में रेखा के नीचे वाली संख्या। उदाहरण के लिए, 1 : 50,000 भिन्न में 50,000 हर है।
अंश: भिन्न में रेखा के ऊपर वाली संख्या। उदाहरण के लिए, 1 : 50,000 भिन्न में 1 अंश है।
प्रतिनिधि भिन्न: नक्शे या योजना के मापकला की एक विधि जो एक भिन्न के रूप में व्यक्त की जाती है और यह अनुपात दर्शाती है कि नक्शे या योजना पर एक इकाई दूरी, ज़मीन पर उसी इकाई में मापी गई दूरी से कितनी है।

मापकला क्या है?

आपने ऐसे नक्शे देखे होंगे जिनमें समान विभाजनों वाला मापकला-पट्टी होता है, जिस पर प्रत्येक विभाजन किलोमीटर या मील में अंकित होता है। इन विभाजनों का उपयोग नक्शे पर भूमि की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, नक्शे का मापकला नक्शे और उस पर दिखाए गए पृथ्वी के पूरे या किसी भाग के बीच संबंध प्रदान करता है। हम इस संबंध को उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी के अनुपात के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं जो नक्शे पर हैं और वही दो बिंदु जमीन पर हैं।

इस संबंध को व्यक्त करने के कम से कम तीन तरीके हैं। ये हैं:

1. स्केल का कथन

2. प्रतिनिधि भिन्न (R. F.)

3. ग्राफ़िकल स्केल

स्केल के इन तरीकों में से प्रत्येक के कुछ लाभ और सीमाएँ हैं। लेकिन इन मुद्दों को उठाने से पहले, आइए समझें कि स्केल सामान्यतः मापन की एक या दूसरी प्रणाली में व्यक्त किया जाता है। आपने ज़मीन पर दो बिंदुओं के बीच की रेखीय दूरी मापने के लिए किलोमीटर, मीटर, सेंटीमीटर आदि को पढ़ा और/या उपयोग किया होगा। आपने मील, फरलांग, गज, फुट आदि के बारे में भी सुना होगा। ये दुनिया के विभिन्न देशों में प्रयुक्त दूरी मापने की दो भिन्न प्रणालियाँ हैं। जहाँ पहली प्रणाली को मीट्रिक प्रणाली कहा जाता है और वर्तमान में भारत तथा दुनिया के कई अन्य देशों में प्रयुक्त है, वहीं दूसरी प्रणाली को अंग्रेज़ी प्रणाली कहा जाता है और यह संयुक्त राज्य अमेरिका तथा यूनाइटेड किंगडम दोनों में प्रचलित है। भारत ने भी 1957 से पहले रेखीय दूरी मापने/दिखाने के लिए इस प्रणाली का उपयोग किया था। इन प्रणालियों की मापन इकाइयाँ बॉक्स 2.1 में दी गई हैं।

स्केल की विधियाँ

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मानचित्र का स्केल एक या एक से अधिक स्केल विधियों के संयोजन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। आइए देखें कि ये विधियाँ कैसे प्रयुक्त होती हैं और इनके क्या लाभ और सीमाएँ हैं।

बॉक्स 2.1 मापन की प्रणालियाँ

मापन की मीट्रिक प्रणाली
$1 \mathrm{~km} \quad=1000$ मीटर
1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर
1 सेंटीमीटर $=10$ मिलीमीटर
मापन की अंग्रेज़ी प्रणाली
1 मील $=8$ फरलॉन्ग
1 फरलॉन्ग $=220$ गज
1 गज $=3$ फुट
1 फुट $=12$ इंच

1. स्केल का कथन: किसी मानचित्र का स्केल लिखित कथन के रूप में दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी मानचित्र पर लिखित कथन दिया गया है कि $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $10 \mathrm{~km}$, तो इसका अर्थ है कि उस मानचित्र पर $1 \mathrm{~cm}$ की दूरी ज़मीन पर $10 \mathrm{~km}$ की दूरी को दर्शा रही है। इसे किसी अन्य मापन प्रणाली में भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे 1 इंच दर्शाता है 10 मील। यह तीनों विधियों में सबसे सरल है। हालाँकि, यह ध्यान रखना चाहिए कि एक प्रणाली से परिचित लोग दूसरी प्रणाली में दिए गए स्केल के कथन को समझ नहीं पाएँगे। इस विधि की एक अन्य सीमा यह है कि यदि मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है, तो स्केल व्यर्थ हो जाएगा और एक नया स्केल तैयार करना होगा।

2. ग्राफ़िकल या बार स्केल: दूसरे प्रकार का स्केल मानचित्र की दूरियों और संगत भू-दूरियों को एक लाइन बार के माध्यम से दर्शाता है जिस पर प्राथमिक और द्वितीयक विभाजन चिह्नित होते हैं। इसे ग्राफ़िकल स्केल या बार स्केल कहा जाता है (चित्र 2.1)। यह ध्यान देने योग्य है कि चित्र 2.1 में बार स्केल पर दिखाए गए स्केल रीडिंग केवल किलोमीटर और मीटर में होते हैं। किसी अन्य बार स्केल में रीडिंग माइल और फर्लांग में दिखाई जा सकती हैं। इसलिए, स्केल के कथन विधि की तरह, यह विधि भी केवल उन लोगों के लिए सीमित उपयोग रखती है जो इसे समझ सकते हैं। हालांकि, स्केल के कथन विधि के विपरीत, ग्राफ़िकल स्केल तब भी वैध रहता है जब मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है। यह मानचित्र स्केल की ग्राफ़िकल विधि का अनोखा लाभ है।

चित्र 2.1

3. प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.): तीसरे प्रकार का स्केल R. F. है। यह मानचित्र की दूरी और संगत भू-दूरी के बीच लंबाई की इकाइयों में संबंध दर्शाता है। स्केल को व्यक्त करने के लिए इकाइयों के उपयोग से यह सबसे बहुउपयोगी विधि बन जाती है।

R. F. आमतौर पर भिन्न के रूप में दिखाया जाता है क्योंकि यह दर्शाता है कि वास्तविक दुनिया को मानचित्र पर समायोजित करने के लिए कितना घटाया गया है। उदाहरण के लिए, 1 : 24,000 की भिन्न दर्शाती है कि मानचित्र पर लंबाई की एक इकाई जमीन पर उसी इकाई की 24,000 इकाइयों को दर्शाती है, अर्थात् एक $\mathrm{mm}$, एक $\mathrm{cm}$ या एक इंच मानचित्र पर क्रमशः जमीन पर $24,000 \mathrm{~mm}$, $24,000 \mathrm{~cm}$ और 24,000 इंच को दर्शाता है। यह, हालांकि, ध्यान देने योग्य है कि जबकि इकाइयों की भिन्न को मेट्रिक या अंग्रेजी प्रणाली में बदलते हैं, सामान्य रूप से सेंटीमीटर या इंच की इकाइयों का उपयोग परंपरा के अनुसार किया जाता है। R. F. में इकाइयों के रूप में माप को व्यक्त करने की यह गुणवत्ता इसे एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकार्य और उपयोगी विधि बनाती है। आइए R. F. को $1:36,000$ लें ताकि R. F. की सार्वभौमिक प्रकृति को विस्तार से समझा जा सके।

यदि दिया गया मापक $1: 36,000$ है, तो मीट्रिक पद्धति से परिचित व्यक्ति दी गई इकाइयों को $\mathrm{cm}$ में बदलकर पढ़ेगा, अर्थात् मानचित्र पर 1 इकाई की दूरी को $1 \mathrm{~cm}$ और भूमि पर 36,000 इकाइयों की दूरी को $36,000 \mathrm{~cm}$ के रूप में। इन मानों को बाद में मापक के कथन में बदला जा सकता है, अर्थात् $1 \mathrm{~cm}$ 360 मीटर को दर्शाता है। (हर के मानों को मीटर में सेंटीमीटरों की संख्या, अर्थात् 100 से विभाजित करके)। फिर भी माप की अंग्रेज़ी पद्धति से परिचित कोई अन्य मानचित्र उपयोगकर्ता मानचित्र मापक को अपने लिए सुविधाजनक मापक के कथन में बदलकर समझेगा और मानचित्र मापक को 1 इंच 1,000 गज दर्शाता है के रूप में पढ़ेगा। उपरोक्त मापक का कथन हर में 36,000 इकाइयों को 36 (एक गज में इंचों की संख्या) से विभाजित करके प्राप्त किया जाएगा।

मापक का रूपांतरण

यदि आपने विभिन्न मापक विधियों के लाभों और सीमाओं को ध्यान से पढ़ा है, तो आपके लिए मापक के कथन को प्रतिनिधि भिन्न में और इसके विपरीत बदलना कठिन नहीं होगा।

मापक के कथन को R. F. में

समस्या दिए गए मापक के कथन 1 इंच 4 मील दर्शाता है को R. F. में बदलें।

हल दिए गए मापक के कथन को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके R. F. में बदला जा सकता है।

1 इंच 4 मील दर्शाता है

या $\quad 1$ इंच $4 \times 63,360$ इंच दर्शाता है (1 मील = 63,360 इंच)

या $\quad 1$ इंच 253,440 इंच दर्शाता है

नोट : अब हम वर्ण “इंच” को “यूनिट” से बदल सकते हैं और इसे इस प्रकार पढ़ सकते हैं :

1 यूनिट 253,440 यूनिट्स को दर्शाता है

उत्तर आर. एफ. $1: 253,440$

आर. एफ. को स्टेटमेंट ऑफ स्केल में

समस्या आर. एफ. $1: 253,440$ को स्टेटमेंट ऑफ स्केल में बदलें (मीट्रिक सिस्टम में)

हल दिए गए आर. एफ. $1: 253,440$ को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके स्टेटमेंट ऑफ स्केल में बदला जा सकता है :

$1: 253,440$ का अर्थ है कि

1 यूनिट मानचित्र पर 253,440 यूनिट्स भूमि पर दर्शाता है।

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है 253,440/100,000 $(1 \mathrm{~km}=100,000$ cm)

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $2.5344 \mathrm{~km}$

2 दशमलव तक राउंडिंग के बाद, उत्तर होगा :

उत्तर $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $2.53 \mathrm{~km}$

ग्राफिकल/बार स्केल की रचना

समस्या 1 $1: 50,000$ के स्केल पर बने मानचित्र के लिए एक ग्राफिकल स्केल बनाएं और दूरी को किलोमीटर और मीटर में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए लगभग $15 \mathrm{~cm}$ की लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

1 यूनिट मानचित्र पर 50,000 यूनिट्स भूमि पर दर्शाता है

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $50,000 \mathrm{~cm}$

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $50,000 \times 15 / 100,000 \mathrm{~km}$

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $7.5 \mathrm{~km}$

चूँकि $7.5(\mathrm{~km})$ का मान एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 या $10(\mathrm{~km})$ को गोल संख्या चुन सकते हैं। वर्तमान स्थिति में हम 5 को गोल संख्या चुनते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने वाली रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गणनाएँ की जानी हैं:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ को $15 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया गया है

$\quad 5 \mathrm{~km}$ को $15 \times 5 / 7.5$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

या $\quad 5 \mathrm{~km}$ को $10 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित का पालन करते हुए बनाया जा सकता है

$10 \mathrm{~cm}$ की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें और 0 चिह्न से दाईं ओर के 4 भागों में प्रत्येक के लिए $1 \mathrm{~km}$ का मान निर्धारित करें। साथ ही बायें छोर के भाग को 10 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 0 से प्रारंभ करते हुए 100 मीटर के मान से चिह्नित करें। (आप इसे 2, 4 या 5 भागों में भी विभाजित कर सकते हैं और प्रत्येक उप-भाग को क्रमशः 0 से 500, 250 या 200 मीटर का मान दे सकते हैं।

चित्र 2.2

समस्या 2 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया स्केल कथन 1 इंच = 1 मील है और दूरियों को मील और फर्लांग में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल खींचने के लिए लगभग 6 इंच की लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल स्केल की रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

1 इंच 1 मील को दर्शाता है

या 6 इंच 6 मील को दर्शाते हैं

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

6 इंच की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 6 बराबर भागों में विभाजित करें और दाईं ओर के 5 भागों में प्रत्येक के लिए 1 मील का मान निर्धारित करें। साथ ही बाईं ओर के अंतिम भाग को 4 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 0 से शुरू करते हुए 2 मील के मान से चिह्नित करें।

चित्र 2.3

समस्या 3 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया R. F. 1 : 50,000 हो और दूरियों को मील और फर्लांग में पढ़ें।

गणना ग्राफिकल स्केल की रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

1 इकाई 50,000 इकाइयों को दर्शाती है

या 1 इंच 50,000 इंच को दर्शाता है।

या 6 इंच $50,000 \times 6 / 63,360$ मील को दर्शाते हैं

$=6$ इंच 4.73 मील को दर्शाते हैं

चूंकि 4.73 (मील) एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 को गोल संख्या के रूप में लेते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने के लिए रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित गणनाएं की जानी चाहिए:

4.73 मील को 6 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया गया है

5 मील को $6 \times 5 / 4.73$ इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

$=5$ मील को 6.34 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

5 मील दिखाने के लिए एक ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए हमें 6.34 इंच की एक रेखा खींचनी होगी और उसे 5 बराबर भागों में बाँटना होगा। सवाल यह है कि 6.3 इंच की असमान रेखा को 5 बराबर भागों में कैसे बाँटा जाए। ऐसा करने के लिए हम निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं:

• 6.3 इंच की एक सीधी रेखा खींचें।

• रेखा के प्रारंभ और अंत बिंदुओं से $40^{\circ}$ या $45^{\circ}$ के कोण पर रेखाएँ खींचें और उन्हें 1 या 1.5 इंच के 5 बराबर भागों में बाँटें।

• दोनों रेखाओं पर बनाए गए विभाजनों को जोड़ते हुए बिंदीदार रेखाएँ खींचें।

• इन रेखाओं के प्राथमिक स्केल पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

ऐसा करने से, आप 6.3 इंच की असमान रेखा को 5 बराबर भागों में बाँट सकेंगे। आप उसी तरह प्राथमिक स्केल के सबसे बाएँ भाग को 4 या 8 भागों में बाँट सकते हैं ताकि 1 मील के बराबर फरलांग की संख्या दिखाई जा सके।

चित्र 2.4 ग्राफिकल स्केल में बराबर विभाजन का चित्रण

अभ्यास

1. नीचे दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

(i) निम्नलिखित स्केल की विधियों में से कौन-सी एक सार्वभौमिक विधि है?
(a) सरल कथन
(b) प्रतिनिधि भिन्न
(c) ग्राफिकल स्केल
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं

(ii) मानचित्र की दूरी को पैमाने में इस रूप में भी जाना जाता है:
(a) अंश (Numerator)
(b) हर (Denominator)
(c) पैमाने का कथन (Statement of Scale)
(d) प्रतिनिधि भिन्न (Representative Fraction)

(iii) पैमाने में ‘अंश’ (Numerator) दर्शाता है:
(a) भूमि की दूरी
(b) मानचित्र की दूरी
(c) दोनों दूरियाँ
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

2. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 30 शब्दों में दीजिए:

(i) माप की दो भिन्न प्रणालियाँ कौन-सी हैं?
(ii) मीट्रिक और अंग्रेज़ी प्रणाली में पैमाने के कथन का एक-एक उदाहरण दीजिए।
(iii) प्रतिनिधि भिन्न विधि को सार्वभौमिक विधि क्यों कहा जाता है?
(iv) आलेखीय विधि के प्रमुख लाभ क्या हैं?

3. दिए गए पैमाने के कथन को प्रतिनिधि भिन्न (R. F.) में बदलिए।

(i) $5 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है $10 \mathrm{~km}$
(ii) 2 इंच दर्शाते हैं 4 मील
(iii) 1 इंच दर्शाता है 1 गज
(iv) $1 \mathrm{~cm}$ दर्शाता है 100 मीटर

4. दी गई प्रतिनिधि भिन्न (R. F.) को दी गई मापन प्रणाली के कोष्ठक में पैमाने के कथन में बदलिए:

(i) $1: 100,000$ (किलोमीटर में)
(ii) $1: 31680$ (फरलॉन्ग में)
(iii) $1: 126,720$ (मील में)
(iv) $1: 50,000$ (मीटर में)

5. एक आलेखीय पैमाना बनाइए जब दी गई R. F. $1: 50,000$ हो और दूरियों को किलोमीटर और मीटर में पढ़िए।