हमें वर्तमान में प्राचीन भारतीय गणितज्ञों की उपलब्धियों और उनके प्रति हमारे ऋण के बारे में बहुत कम जानकारी है। प्राचीन काल में भारतीयों द्वारा गणित में किए गए कार्यों को देखकर आश्चर्य होता है। यह भी अनुभव होता है कि प्राचीन भारत में इसे कितना महत्वपूर्ण माना जाता था। उदाहरण के लिए, यह अब सामान्य रूप से स्वीकार किया जाता है कि दशमलव स्थान-मान प्रणाली वाली संख्या-लेखन पद्धति का आविष्कार और प्रथम प्रयोग भारतीयों द्वारा किया गया था।

यह अध्याय ईस्वी के सत्रहवीं शताब्दी तक के प्रारंभिकतम ज्ञात समय से भारत में गणित के कुछ प्रमुख क्षेत्रों की वृद्धि और विकास के बारे में एक उचित विचार देगा।

प्राचीन भारत की एक झलक

मोहनजोदड़ो में हुई खोजों से पता चलता है कि ईसा पूर्व 3,000 तक सिंधु की भूमि के निवासी अत्यंत संगठित जीवन जीते थे। वास्तव में, वे उस काल के किसी भी अन्य लोगों से अधिक उन्नत थे। वेदों के बाद आने वाली ब्राह्मण साहित्य (ईसा पूर्व 2000) आंशिक रूप से कर्मकांडीय और आंशिक रूप से दार्शनिक है। इस ब्राह्मण काल के बाद दो हजार वर्षों से अधिक समय तक निरंतर प्रगति और शानदार उपलब्धियां हुईं। गणित या किसी अन्य ज्ञान-शाखा के विज्ञान की संस्कृति को आध्यात्मिक ज्ञान में बाधा नहीं माना जाता था।

गणित (गणिता) की संस्कृति को जैनों द्वारा भी महत्व दिया गया है। उनके धार्मिक साहित्य में गणितानुयोग शामिल है। सांख्यान के ज्ञान को कहा गया है कि

ब्राह्मण प्राचीन भारतीय ग्रंथों का एक संग्रह है जिसमें चारों वेदों के मंत्रों पर टिप्पणियाँ दी गई हैं।

यह जैन पुजारी की प्रमुख उपलब्धियों में से एक मानी जाती है। बौद्ध साहित्य में भी अंकगणित (गणना समिख्याना) को पहली और सबसे उत्कृष्ट कलाओं में से एक माना गया है। ये सभी बातें प्राचीन भारत में गणित की संस्कृति को दी गई महत्ता और मूल्य की एक स्पष्ट झलक देती हैं।

संख्यात्मक प्रतीकों का विकास

बहुत प्रारंभिक समय से ही भारत में गिनती की आधार संख्या दस रही है। यह भी भारत की विशेषता है कि यहाँ बहुत बड़ी संख्याओं के नामों की एक लंबी श्रृंखला मिलती है। यजुर्वेद संहिता और कई अन्य वैदिक ग्रंथों में 10^12 जितनी बड़ी संख्यात्मक संज्ञाओं के प्रयोग के संदर्भ इस बात के पर्याप्त प्रमाण देते हैं कि उस दूरदराज के काल में भी भारतीयों के पास संख्यात्मक प्रतीकों की एक सुविकसित प्रणाली रही होगी। अशोक के अभिलेखों पर लिखावट से यह स्पष्ट होता है कि उसके समय भारत में संख्यात्मक प्रतीकों का प्रयोग काफी सामान्य था।

संख्यात्मक चिह्नों के रूपों में विभिन्नताएँ सुझाती हैं कि प्रतीक लंबे समय से प्रयोग में थे। ब्राह्मी अंक केवल भारतीय आविष्कार हैं। इन प्रतीकों का हमारा ज्ञान सम्राट अशोक (ई.पू. 300) के समय तक जाता है, जिसका विशाल साम्राज्य पूरे भारत को समेटता था और उत्तर में मध्य एशिया तक फैला था। नासिक जिले (तत्कालीन बॉम्बे प्रेसीडेंसी) की एक गुफा में ई.स. पहली या दूसरी सदी की कई शिलालेख मिली हैं जिनमें अंक हैं। ब्राह्मी लिपि में 1, 2 और 3 को एक-दूसरे के नीचे रखी गई एक, दो और तीन क्षैतिज रेखाओं से दर्शाया गया था।

आर्यभट्ट

अब यह स्पष्ट है कि भारत में गणित की लंबी परंपरा है। फिर भी ई.स. 500-1200 की अवधि अत्यंत रोचक है, क्योंकि इसे भारतीय गणित का ‘स्वर्ण (सिद्धांतिक) काल’ कहा जाता है। इसकी शुरुआत आर्यभट्ट प्रथम से होती है, जिनका जन्म ई.स. 496 में हुआ था; वे एक अग्रणी गणितज्ञ थे जो ज्ञान के संग्रह और संगठन के लिए प्रसिद्ध हैं। इसका अंत भास्कर द्वितीय से होता है, जिनका जन्म ई.स. 1114 में हुआ और जिन्होंने गणितीय ज्ञान को दृढ़ आधार प्रदान किया। इन दोनों के बीच के गणितज्ञ—वराहमिहिर (ई.स. 505), भास्कर प्रथम (ई.स. 600), ब्रह्मगुप्त (ई.स. 628), महावीर (ई.स. 850), श्रीधर (ई.स. 850), श्रीपति (ई.स. 1039)—उतने ही प्रसिद्ध थे।

आर्यभट्ट प्रथम की आर्यभटीय दो खण्डों में विभाजित है—दशगीतिका (दशमलव पैमाने पर कुछ आवश्यक मापदण्ड और शून्य की खोज, त्रिकोणमिति के तत्व) और गणित (आठ मूलभूत संक्रियाएँ, समतल ज्यामिति, बीजीय समीकरण और उनके हल)। ब्रह्मगुप्त ने अपने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में दो खण्ड बनाए हैं—गणित (गणित) और कुट्टक (कूटकर), जबकि भास्कर द्वितीय ने दो अलग-अलग ग्रंथ लिखे, लीलावती (गणित) और बीजगणित (बीजगणित), जो दर्शाते हैं कि इस काल में गणित का ज्ञान किस प्रकार आयतन में विस्तृत हुआ है।

शून्य का प्रतीक आर्यभट्ट प्रथम (जन्म ई.सं. 496) ने संख्याओं की दशमलव अभिव्यक्ति के संदर्भ में खोजा। आर्यभट्ट प्रथम कहते हैं, “रिक्त स्थानों को एक वृत्त से भरना चाहिए” जो “शून्य” जैसा दिखता है। इसे उनके टीकाकार भास्कर प्रथम (ई.सं. 600) ने स्पष्ट किया है। इसने वास्तव में गणितीय गणना में क्रांति ला दी और नौ संख्यात्मक प्रतीकों और शून्य के साथ संख्याओं को व्यक्त करने की सम्पूर्ण तकनीक को सरल बना दिया।

अंकगणित

अंकगणित पाटीगणित का प्रमुख अंग है। ‘पाटीगणित’ संस्कृत का एक समास है—‘पाटी’ अर्थात् लेखन-पट्ट (स्लेट या तख़्ता) और ‘गणित’ अर्थात् गणना-विद्या। इस प्रकार यह उस गणना-विद्या को कहते हैं जिसमें लेखन सामग्री (पाटी) का प्रयोग आवश्यक होता है। गणन-प्रक्रिया को कभी-कभी ‘धूलिकर्म’ भी कहा जाता था, क्योंकि अंक धूल बिछाकर तख़्ते या भूमि पर लिखे जाते थे। ब्रह्मगुप्त के अनुसार पाटीगणित में बीस प्रक्रियाएँ (करण) और आठ निर्धारण (व्यवस्थाएँ) हैं। वे कहते हैं—‘जो इन बीस प्रक्रियाओं—यथा योग, व्यवकलन आदि—और आठ निर्धारणों (छाया-मापन आदि) को स्पष्टतः पृथक्-पृथक् जानता है, वही गणितज्ञ है।’ आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499) ने अपने सिद्धांत ग्रन्थ ‘आर्यभटीय’ में गणित का एक अध्याय प्रथमतः सम्मिलित किया। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) ने आर्यभट्ट की इस परम्परा का अनुसरण किया, तत्पश्चात सिद्धांत-ग्रन्थों में गणित-प्रकरण समाविष्ट करना सामान्य परम्परा बन गई।

भारत में वैज्ञानिक विषयों, विशेषतः गणित-शास्त्र में, संक्षिप्त रचना को विद्वानों द्वारा अत्यधिक मूल्य दिया गया। इसी कारण भारतीय ग्रन्थों में प्रसिद्ध सूत्रों और परिणामों का संक्षिप्त उल्लेख मात्र मिलता है, कभी-कभी इतना संक्षिप्त कि वह कठिनतः ग्राह्य होता है। यह संक्षेपता प्राचीनतर ग्रन्थों में अधिक है; उदाहरणार्थ, ‘आर्यभटीय’ की व्याख्या उत्तरोत्तर ग्रन्थों की तुलना में अत्यन्त संक्षिप्त है।

ब्रह्मगुप्त

प्राचीन गणित के आठ मूलभूत संक्रियाएँ हैं: (1) योग, (2) व्यवकलन, (3) गुणा, (4) भाग, (5) वर्ग, (6) वर्गमूल, (7) घन और (8) घनमूल। आर्यभट्ट प्रथम ने केवल वर्ग और घनमूल निकालने के नियम दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने केवल घनमूल का नियम दिया।

यह बात कि सभी गणितीय संक्रियाएँ योग और व्यवकलन की दो मूलभूत संक्रियाओं के रूपांतर हैं, भारतीय गणितज्ञों ने प्रारंभिक काल से ही पहचान ली थी। भास्कर प्रथम कहते हैं—“सभी अंकगणितीय संक्रियाएँ दो श्रेणियों में समाहित हो जाती हैं, यद्यपि सामान्यतः चार मानी जाती हैं। दो मुख्य श्रेणियाँ हैं—वृद्धि और ह्रास। योग वृद्धि है और व्यवकलन ह्रास है। संक्रियाओं की ये दो किस्में सम्पूर्ण गणित (गणिता) में व्याप्त हैं।” इसलिए पूर्व के आचार्यों ने कहा है: “गुणा और वर्गमूल योग की विशेष किस्में हैं; और भाग तथा घन निकलना व्यवकलन की विशेष किस्में हैं। वास्तव में प्रत्येक गणितीय संक्रिया वृद्धि और ह्रास के रूप में पहचानी जाएगी।”

योग

आर्यभट्ट द्वितीय ने योग को इस प्रकार परिभाषित किया है- “अनेक संख्याओं को एक बनाना योग है।” योग का प्राचीन नाम संकलित (साथ में बनाया गया) है। अन्य समतुल्य पद जो सामान्यतः प्रयुक्त होते हैं वे हैं संकलन (साथ में बनाना), मिश्रण (मिलाना), संमेलन (साथ में मिलना), प्रक्षेपण (साथ में फेंकना), संयोजन (साथ में जोड़ना), एकीकरण (एक में बनाना), युक्ति, योग (योग) और अभ्यास आदि। संकलित शब्द का प्रयोग कुछ लेखकों द्वारा श्रेणी के योग के सामान्य अर्थ में किया गया है।

सभी गणितीय और खगोलीय कार्यों में योग की प्रक्रिया का ज्ञान स्वतः मान लिया जाता है। कुछ बाद की प्रारंभिक स्वभाव की रचनाओं में इसका बहुत संक्षिप्त उल्लेख किया गया है। इस प्रकार भास्कर द्वितीय लीलावती में कहते हैं: “सीधे या उलटे क्रम में समान स्थानों के अंकों को जोड़ो।” उपरोक्त में वर्णित सीधी योग प्रक्रिया में, जिन संख्याओं को जोड़ना होता है उन्हें एक के नीचे एक लिखा जाता है, और नीचे एक रेखा खींची जाती है, जिसके नीचे योग लिखा जाता है। पहले इकाई के स्थान पर खड़ी संख्याओं का योग लिखा जाता है, इस प्रकार योग का प्रथम अंक प्राप्त होता है। फिर दहाई के स्थान की संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और उनका योग रेखा के नीचे खड़े आंशिक योग के दहाई के स्थान के अंक में जोड़ा जाता है और परिणाम उसके स्थान पर रखा जाता है। इस प्रकार योग का दहाई का अंक प्राप्त होता है, और इसी प्रकार आगे बढ़ा जाता है।

जोड़ की प्रतिलोम प्रक्रिया में, अंतिम स्थान (बायें छोर) में खड़ी संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और परिणाम को इस अंतिम स्थान के नीचे रखा जाता है। फिर अगले स्थान की संख्याओं को जोड़ा जाता है और यह प्रक्रिया चलती रहती है। आंशिक योग की संख्याओं को, यदि आवश्यक हो, तब सुधारा जाता है जब अगली ऊर्ध्वाधर पंक्ति के अंक जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए,
यदि अंतिम स्थान की संख्याओं का योग 12 हो, तो 12 को निचली रेखा के नीचे रखा जाता है, 2 सीधे जोड़ी गई संख्याओं के नीचे; फिर, यदि अगले स्थान की संख्याओं का योग 13 (मान लीजिए) हो, तो 3 को जोड़े गए अंकों के नीचे रखा जाता है और 1 बायें ले जाया जाता है। इस प्रकार, आंशिक योग 12 के अंक 2 को मिटा कर 3 से बदल दिया जाता है। आइए $26+57$ ज्ञात करें।

प्रत्यक्ष प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{चरण 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्रतिलोम प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{चरण 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्र. निम्नलिखित योगफल उपरोक्त विधियों से कीजिए। अपने उत्तर आज की विधि से जाँचिए।

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

व्यवकलन

आर्यभट्ट द्वितीय (ई.स. 950) व्यवकलन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

“सर्वधन (कुल) में से (किसी संख्या का) निकालना व्यवकलन है; जो बचता है उसे शेष कहा जाता है।” व्युत्कलित (अलग किया गया), व्युत्कलन (अलग करना), शोधन (साफ़ करना), पतन (गिराना), वियोग (पृथक्करण) आदि पदों का प्रयोग व्यवकलन के लिए किया गया है। शेष (अवशेष) और अंतर पद शेषफल के लिए प्रयुक्त हुए हैं। घट्य (minuend) को सर्वधन या विजोय तथा घातक (subtrahend) को विजोक कहा गया है।

भास्कर द्वितीय ने घटाने की विधि इस प्रकार दी है: “संख्याओं को उनके स्थानों के अनुसार सीधे या उलटे क्रम में घटाएँ।” सीधी प्रक्रिया को उदाहरण की सहायता से समझाया गया है, मान लीजिए, $1000-360$। दहाई के स्थान पर खड़ी शून्य से छह नहीं घटाया जा सकता, इसलिए दस लेकर उससे छह घटाया जाता है, शेष (चार) नीचे (छह) के नीचे रखा जाता है, और यह दस अगले स्थान से घटाया जाना है।

क्योंकि, जैसे इकाई आदि के स्थान दस के गुणक होते हैं, इसलिए यदि घटाने वाली संख्या का अंक घटाने योग्य संख्या के संगत अंक से न घटाया जा सके, तो उसे दस से घटाया जाता है, शेष लिया जाता है और यह दस अगले स्थान से काट लिया जाता है। इस प्रकार यह दस अंतिम स्थान तक ले जाया जाता है जब तक कि यह अंतिम अंक के साथ समाप्त न हो जाए। दूसरे शब्दों में, नौ तक की संख्याएँ एक स्थान घेरती हैं, स्थानों का विभेद दस से प्रारंभ होता है, इसलिए यह ज्ञात हो जाता है कि किसी दी गई संख्या में कितने दस हैं, और इसलिए, वह संख्या जो अपने स्थान से न घटाई जा सके, उसे अगले दस से घटाया जाता है और शेष लिया जाता है।"

उलटी प्रक्रिया भी इसी प्रकार है, केवल अंतर इतना है कि “यह घटाने योग्य संख्या के अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, और पहले प्राप्त आंशिक अंतरों को, यदि आवश्यक हो, सुधारा जाता है। यह प्रक्रिया पाटी (तख्ते) पर कार्य करने के लिए उपयुक्त है जहाँ अंक आसानी से मिटाए और सुधारे जा सकते हैं।”

प्र. घटाव कीजिए:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

गुणा

भारत में गुणा का सामान्य नाम गुणना है। यह शब्द सबसे प्राचीन प्रतीत होता है क्योंकि यह वैदिक साहित्य में प्रकट होता है। हनन, वध, क्षय आदि शब्द, जिनका अर्थ ‘मारना’ या ‘नष्ट करना’ है, का प्रयोग भी गुणा के लिए किया गया है। ये शब्द दशमलव स्थान-मान संख्या प्रणाली के साथ नई गुणा विधि की खोज के बाद प्रचलित हुए; क्योंकि इस नई विधि में गुण्य के अंक क्रमशः मिटाए (नष्ट किए) जाते थे और उनके स्थान पर गुणनफल के अंक लिखे जाते थे। हनन (मारना) के समानार्थी शब्दों का प्रयोग आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499), ब्रह्मगुप्त (ई. 628), श्रीधर (ई. 750) और बाद के लेखकों ने किया है। ये शब्द बख्शाली पाण्डुलिपि में भी प्रकट होते हैं। प्राचीन पारिभाषिक शब्दावली यह सिद्ध करती है कि गुणना की परिभाषा थी ‘गुण्य को गुणक के अंकों के बराबर बार दोहराकर किया जाने वाला योग की प्रक्रिया।’ यह परिभाषा आर्यभटीय पर भास्कर प्रथम की टीका में प्रकट होती है।

गुण्य को गुण्य और गुणक को गुणक या गुणकार कहा जाता था। गुणनफल को गुणना-फल (गुणा का परिणाम) या प्रत्युत्पन्न (‘पुनः उत्पन्न’, इसलिए अंकगणित में ‘गुणा द्वारा पुनः उत्पन्न’) कहा जाता था।

गुणा की विधियाँ

ब्रह्मगुप्त चार विधियों का उल्लेख करते हैं: (1) गोमूत्रिका, (2) खण्ड, (3) भेद, और (4) इष्ट। आर्यभट्ट द्वितीय (ई.सं. 950) ने विधि का नाम नहीं बताया और कहा: “गुणज के प्रथम अंक को गुण्य के अंतिम अंक के ऊपर रखो, फिर गुणज के सभी अंकों को गुण्य के प्रत्येक अंक से क्रमशः गुणा करो।”

श्रीपति (ई.सं. 1039) इसका नाम कपाट-संधि देते हैं और कहते हैं: “गुण्य को गुणज के नीचे दो दरवाजों की संधि के समान रखकर, सीधे या उल्टे क्रम में (गुणज को) चलाते हुए (गुण्य के अंकों को) क्रमशः गुणा करो।”

निम्नलिखित उदाहरण कपाट-संधि योजना के अनुसा गुणा की दो प्रक्रियाओं को समझाते हैं:

सीधी प्रक्रिया: यह कार्य विधि लोकप्रिय नहीं रही। ग्यारहवीं शताब्दी के बाद के लेखकों ने इसका उल्लेख नहीं किया है, श्रीपति (ई.सं. 1039) इसका उल्लेख करने वाले अंतिम लेखक हैं।

उदाहरण: 135 को 12 से गुणा करें।

संख्याओं को पाटी पर इस प्रकार लिखा जाता है:

12

135

गुण्य का प्रथम (अर्थात् दाहिने से पहला) अंक (5) लिया जाता है और गुणज के अंकों से गुणा किया जाता है। इस प्रकार

$5 \times 2=10 ; 0 को 2 के नीचे लिखा जाता है, और 1 को याद रखा जाता है।

फिर $5 \times 1=5$; याद रखा गया 1 जोड़ने पर हमें 6 प्राप्त होता है। अंक 5, जिसकी अब आवश्यकता नहीं है, मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 6 लिखा जाता है। इस प्रकार, हमारे पास है:

12

1360

फिर गुणज को एक स्थान बाईं ओर सरकाया जाता है, और हमारे पास होता है:

12

1360

अब, 12 को 3 से गुणा किया जाता है। विवरण इस प्रकार है: $3 \times 2=6$; यह 6, 2 के नीचे स्थित 6 में जोड़ने पर 12 प्राप्त होता है। 6 को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 2 लिख दिया जाता है। 1 को carry किया जाता है। फिर $3 \times 1=3$; 3 में 1 (carry) जोड़ने पर 4 प्राप्त होता है। 3 को मिटा दिया जाता है और 4 लिख दिया जाता है। गुणक 12 को बाईं ओर एक स्थान स्थानांतरित करने के बाद, पाटी पर संख्याएँ इस प्रकार हैं:

12

1420

फिर, $1 \times 2=2 ; 2+4=6 ; 4$ को मिटा दिया जाता है और 6 लिख दिया जाता है। $1 \times 1=1$, जिसे 6 के बाईं ओर रखा जाता है।

चूँकि संक्रिया समाप्त हो चुकी है, 12 को मिटा दिया जाता है और पाटी पर गुणनफल 1620 आ जाता है।

इस प्रकार संख्याएँ 12 और 135 समाप्त हो जाती हैं और एक नई संख्या 1620 उत्पन्न होती है (प्रत्युत्पन्न)।

विलोम प्रक्रिया: विलोम विधि की दो किस्में प्रतीत होती हैं।

(a) पहली में संख्याएँ इस प्रकार लिखी जाती हैं:

12

135

गुणन गुण्य के अंतिम (अर्थात् सबसे बाईं ओर के) अंक से प्रारंभ होता है।

इस प्रकार $1 \times 2=2 ; 1$ को मिटा दिया जाता है और 2 लिख दिया जाता है; फिर $1 \times 1=1$, यह बाईं ओर लिखा जाता है; गुणक 12 को अगले अंक पर स्थानांतरित किया जाता है। अब पाटी पर कार्य इस प्रकार होगा:

12 1235

फिर, $3 \times 2=6 ; 3$ को मिटा दिया जाता है और 6 लिख दिया जाता है; फिर $3 \times 1=3$ और $3+2=5 ; 2$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 5 लिख दिया जाता है। गुणक को स्थानांतरित करने के बाद, अब पाटी पर कार्य इस प्रकार है:

12

1565

अब, $5 \times 2=10 ; 5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 0 डाला जाता है; फिर $5 \times 1=5 ; 5+1=6 ; 6+6=12 ; 6$ को मिटा दिया जाता है और 2 डाला जाता है, और 1 को आगे ले जाया जाता है; फिर $1+5=6,5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 6 डाला जाता है। पाटी में अब गुणनफल (प्रत्युत्पन्न) के रूप में 1620 है। आगे ले जाने वाले अंक पाटी के एक अलग हिस्से पर नोट किए जाते हैं और जोड़ने के बाद मिटा दिए जाते हैं।

(b) दूसरी विधि में, आंशिक गुणन (अर्थात गुण्य के अंकों द्वारा गुणन) सीधे तरीके से किए जाते हैं। ये आंशिक गुणन, हालांकि, उल्टे तरीके से किए जाते प्रतीत होते हैं, यह सामान्य ढंग है।

निम्नलिखित संख्याओं को सीधे और परोक्ष विधियों से गुणा कीजिए। आधुनिक गुणन तकनीक का उपयोग कर उत्तर की जाँच कीजिए:

(i) $345 \times 27$

(ii) $678 \times 45$

(iii) $756 \times 98$

भाग

भाग को गुणन का व्युत्क्रम माना जाता था। इस संक्रिया के सामान्य भारतीय नाम भागहर, भाजन, हरण, छेदन आदि हैं। इन सभी पदों का शाब्दिक अर्थ है ‘भागों में तोड़ना’, अर्थात ‘भाग देना’, सिवाय हरण के, जिसका अर्थ है ‘हटा लेना’। यह पद भाग को घटाव से संबंधित दिखाता है। भाज्य को भाज्य, हार्य आदि कहा जाता है, भाजक को भाजक, भागहर या सरलतः हर, और भागफल को लब्धि कहा जाता है, जिसका अर्थ है ‘जो प्राप्त हुआ’ या लब्ध।

लंबी भाग विधि

निम्नलिखित उदाहरण भारत की पाटी पर संक्रिया करने की विधि को स्पष्ट करेगा:

उदाहरण: 1620 को 12 से विभाजित करें।

भाजक 12 को भाज्य के नीचे इस प्रकार रखा जाता है: 1620

12

प्रक्रिया भाज्य के अत्यन्त बायें से प्रारम्भ होती है, जिसमें यहाँ 16 है। इस 16 को 12 से विभाजित किया जाता है। भागफल 1 को एक पृथक पंक्ति में रखा जाता है। इस प्रकार, आंशिक भागफल 1 लिखे जाने के बाद प्रक्रिया इस प्रकार है:

1620

12 1

भागफलों की पंक्ति

16 को मिटा दिया जाता है और शेष 4 को उसके स्थान पर रखा जाता है। घटाना इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक अंक प्राप्त होते ही उसे क्रमशः मिटाया जाता है, पाटी पर अंक इस प्रकार हैं:

420

12

$$\frac{1}{\text{भागफलों की पंक्ति}}$$

अब भाजक 12 को एक स्थान दायीं ओर सरकाया जाता है, जिससे होता है: 420

12

$$ \frac{1}{\text{भागफलों की पंक्ति}} $$

फिर 42 को 12 से विभाजित किया जाता है। परिणामी भागफल 3 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में रखा जाता है, 42 को मिटा दिया जाता है और शेष 6 को उसके स्थान पर रखा जाता है। अब अंक इस प्रकार खड़े हैं:

12

$$ \begin{equation*} \frac{13}{\text{भागफलों की पंक्ति}} \tag{60} \end{equation*} $$

भाजक को एक स्थान दायीं ओर सरकाने पर, हमारे पास है 60

12

पहले की तरह भाग देने के बाद, परिणामी भागफल 5 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में रखा जाता है और 60 को मिटा दिया जाता है जिससे कोई शेष नहीं बचता। भागफलों की पंक्ति में 135 है, जो अभीष्ट परिणाम है।

उपरोक्त प्रक्रिया, जब आकृतियाँ मिटाई नहीं जातीं और क्रमिक चरणों को एक के नीचे एक लिखा जाता है, तो यह आधुनिक लंबी विभाजन विधि बन जाती है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह विधि भारत में चौथी शताब्दी ईस्वी के आसपास, यदि इससे पहले नहीं, तो आविष्कार की गई थी।

(i) 1771 को 23 से विभाजित करें

(ii) 9728 को 32 से विभाजित करें

(iii) 6930 को 45 से विभाजित करें

भिन्न

सबसे पुराने ज्ञात ग्रंथ, ऋग्वेद में, आधा (अर्ध) और तीन-चौथाई (त्रि-पाद) भिन्न आते हैं। मैत्रायणी संहिता के एक पद में, सोलहवाँ भाग (कला), बारहवाँ भाग (कुष्ठ), आठवाँ भाग (सफ) और चौथाई (पाद) भिन्नों का उल्लेख है। सबसे प्राचीन ज्ञात गणितीय ग्रंथ, शुल्बसूत्र में, भिन्नों का केवल उल्लेख ही नहीं किया गया है, बल्कि समस्याओं के कथन और समाधान में उनका उपयोग भी किया गया है।

ऋग्वेद में तीन-चौथाई भिन्न का प्रयहमारे लिए ज्ञात संयुक्त भिन्न का सबसे प्राचीन उल्लेख है। संस्कृत संयुक्त शब्द त्रि-पाद का शाब्दिक अर्थ है ‘तीन पैर’। संख्या के रूप में प्रयुक्त होने पर यह दर्शाता है कि विचाराधीन भाग का पूरे से वही अनुपात है जो चौपाये के तीन पैरों का उसके कुल पैरों से होता है। शब्द पाद, हालाँकि, एक-चौथाई के लिए एक शब्द-संख्या है, और संयुक्त त्रि-पाद ठीक उसी नियम पर बना है जिस पर अंग्रेज़ी का three-fourth बना है। शुल्ब में इकाई भिन्नों को भाग या अंश शब्द के साथ किसी मूल संख्या के प्रयोग से दर्शाया गया है; इस प्रकार पञ्च-दश-भाग (पंद्रह भाग) एक-पंद्रहवें के समतुल्य है, सप्त-भाग (सात भाग) एक-सातवें के समतुल्य है, और इसी तरह। भाग या अंश के साथ क्रमवाचक संख्याओं का प्रयोग भी काफ़ी सामान्य है, उदाहरणस्वरूप पञ्चम-भाग (पाँचवाँ भाग) एक-पाँचवें के समतुल्य है। कभी-कभी भाग शब्द को छोड़ दिया जाता है, सम्भवतः छंद की सुविधा के लिए। संयुक्त भिन्न जैसे 3/8 और 2/7 को क्रमशः त्रि-अष्टम (तीन-आठवें) और द्वि-सप्तम (दो-सातवें) कहा जाता है।

वर्ग

वर्ग के लिए संस्कृत शब्द वर्ग या कृति है। वर्ग शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘पंक्तियाँ’ या ‘दल’ (समान वस्तुओं का)। परंतु गणित में यह ‘सामान्यतः वर्ग घात और वर्ग आकृति या उसके क्षेत्रफल को दर्शाता है’। इस प्रकार आर्यभट्ट प्रथम कहते हैं: “चार समान भुजाओं वाली वर्गाकृति और (उसके क्षेत्रफल को दर्शाने वाली) संख्या को वर्ग कहा जाता है। दो समान राशियों का गुणनफल भी वर्ग है।”

कृति शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘करना’, ‘बनाना’ या ‘क्रिया’। इसमें विशिष्ट प्रदर्शन की भावना है, संभवतः आलेखीय निरूपण की। दोनों शब्द वर्ग और कृति का प्रयोग गणितीय ग्रंथों में किया गया है, परंतु वर्ग शब्द को प्राथमिकता दी गई है।

निम्नलिखित पाटी पर कार्य करने की विधि है, प्रक्रिया अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, श्रीधर, महावीर, भास्कर द्वितीय और अन्यों के अनुसार:

उदाहरण: 125 का वर्ग ज्ञात कीजिए।

संख्या लिखी जाती है:

125

बाईं ओर से अंतिम अंक 1 है। इसका वर्ग स्वयं के ऊपर रखा जाता है।

1

125

फिर अंतिम अंक (अर्थात् 1) का दुगुना $2 \times 1=2$ है; इसे शेष अंकों के नीचे (2 के नीचे या 5 के नीचे, गुणा की प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम विधि के अनुसार, जो भी प्रयोग की जा रही हो) रखकर अंतिम अंक 1 को मिटा दिया जाता है, पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखता है:

1

25

2

2 से गुणा करते हुए (नीचे, अर्थात् $25 \times 2=50$) और परिणामों को संबंधित अंकों के ऊपर रखते हुए, 2 को मिटा देते हैं, हमें प्राप्त होता है:

150

25

एक चक्र का संचालन पूरा हो गया है। अब, शेष अंकों अर्थात् 25 को एक स्थान दायीं ओर सरकाते हैं, हमें प्राप्त होता है:

150

25

अब, प्रक्रिया दोहराई जाती है, अर्थात् अंतिम अंक (2) का वर्ग उसी के ऊपर रखा जाता है (0 को मिटाकर), जिससे प्राप्त होता है:

154

25

फिर, अंतिम अंक का दुगुना (अर्थात् $2 \times 2=4$) शेष अंकों के नीचे रखा जाता है और 2 को मिटा दिया जाता है, जिससे हमें प्राप्त होता है:

154

5

4

गुणा करने पर, $4 \times 5=20$, और इसे संगत अंक 5 के ऊपर रखा जाता है (अर्थात् 0 को 5 के ऊपर और 2 को बायीं ओर ले जाया जाता है), पाटी पर कार्य इस प्रकार प्रकट होता है:

1560

5

इस प्रकार, संचालन का दूसरा चक्र पूरा हो गया। फिर, 5 को सरकाते हैं, हमें प्राप्त होता है:

1560

5

5 का वर्ग करने पर हमें 25 प्राप्त होता है, और इसे 5 के ऊपर रखा जाता है, 0 को प्रतिस्थापित करते हुए (अर्थात् 5 को 5 के ऊपर और 2 को बायीं ओर ले जाया जाता है), हमें प्राप्त होता है: 15625 5

चूँकि कोई भी शेष अंक नहीं बचे हैं, कार्य समाप्त होता है।

5 को मिटा देने पर, पाटी पर 15625 प्राप्त होता है, जो अभीष्ट वर्ग है।

प्र. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग उपरोक्त विधि से ज्ञात कीजिए। उत्तरों की जाँच वर्तमान वर्ग ज्ञात करने की विधि से कीजिए।

(i) 234

(ii) 356

(iii) 487

(iv) 753

(v) 269

वर्ग-मूल

‘मूल’ के लिए हिन्दी शब्द मूल और पाद हैं। संस्कृत साहित्य में मूल शब्द का सामान्य अर्थ किसी पौधे या वृक्ष की ‘जड़’ है; परंतु रूपकतः यह किसी वस्तु का पैर या सबसे निचला भाग या तल भी होता है। इसके अन्य अर्थ हैं आधार, नींव, कारण, उद्गम आदि। पाद शब्द का अर्थ है ‘टांग का निचला भाग’ (रूपकतः किसी वस्तु का निचला भाग या आधार), पैर, भाग, अंश, पक्ष, स्थान, कारण, शतरंज की बिसात पर एक वर्ग आदि। दोनों शब्दों के उभयनिष्ठ अर्थ हैं—पैर, किसी वस्तु का सबसे निचला भाग या आधार, कारण या उद्गम। अतः यह पूर्णतः स्पष्ट है कि भारतीयों ने वर्ग-मूल पद से वर्ग (आकृति) का कारण या उद्गम या वर्ग की भुजा अभिप्रेत की थी।

वर्ग-मूल ज्ञात करने की विधि का वर्णन आर्यभटीय में अत्यन्त संक्षेप में इस प्रकार दिया गया है:

“सदा सम स्थान को दो गुने वर्ग-मूल (पिछले विषम स्थान तक) से भाग दो; विषम स्थान से भागफल का वर्ग घटाने के पश्चात् भागफल को अगले स्थान पर (मूल की पंक्ति में) रखने से मूल प्राप्त होता है।” यह विधि इस प्रकार दिखाई जा सकती है:

उदाहरण: 54756 का वर्ग-मूल निकालिए।

विषम और सम स्थानों को क्रमशः ऊध्र्वाधर और क्षैतिज रेखाओं से चिह्नित किया गया है। विभिन्न चरण तब निम्नानुसार होते हैं।

प्रक्रिया समाप्त होती है। मूल 234 है।

ज्यामिति

अस्तित्व में आए ज्ञात सबसे प्राचीन गणितीय ग्रंथ बौधायन, आपस्तम्ब और कात्यायन के शुल्बसूत्र हैं, जो उत्तर वैदिक युग के सूत्र काल के साहित्य का भाग हैं। शुल्बसूत्रों के लगभग 800 ई.पू. में रचे जाने का अनुमान लगाया गया है। पर इन सूत्रों में दर्ज गणितीय ज्ञान और भी प्राचीन है; क्योंकि शुल्ब लेखक इस बात पर बल देते हैं कि वे केवल प्रारंभिक वैदिक युग के ब्राह्मणों और संहिताओं के रचनाकारों को पहले से ज्ञात तथ्यों को ही कह रहे हैं। शुल्बसूत्र विभिन्न सुंदर वैदिक अग्नि वेदियों की रचना और निर्माण में प्रयुक्त गणित के परिणामों का संकलन देते हैं। वेदियों की समृद्ध प्रतीकात्मक महत्व था और उन्हें सटीकता से बनाना आवश्यक था। कई ईंट-वेदियों की रचनाएँ काफी रोचक हैं, उदाहरणस्वरूप, वक्र पंखों के साथ उड़ान भरते बाज़, पूरी तरह से तीलियों वाला रथ-चक्र या फैले हुए सिर और पैरों वाला कछुआ दिखाने वाली रचनाएँ हैं। शुल्बसूत्र में त्रिभुजों के प्रकार—सम, द्विसम और विषमत्रिभुज—मूलतः समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज थे।

बौधायन

इतिहास भर में, समतल ज्यामिति को दो महत्वपूर्ण स्तंभों पर आधारित माना गया है जिनके अनुप्रयोग हैं: (i) परिणाम जिसे लोकप्रिय रूप से ‘पाइथागोरस प्रमेय’ कहा जाता है, और (ii) समरूप आकृतियों के गुण। सुल्बसूत्रों में, पाइथागोरस प्रमेय का एक कथन देखा जा सकता है साथ ही विभिन्न ज्यामितीय रचनाओं में इसके अनुप्रयोग, जैसे कि एक वर्ग की रचना जो दो दिए गए वर्गों के योग, या अंतर के बराबर (क्षेत्रफल में) हो, या एक आयत के बराबर हो।

आर्यभट्ट प्रथम ने सभी सामान्य ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल या परिमाप के लिए सही सूत्र दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सही सूत्र दिए; साथ ही चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल जब भुजाएं ज्ञात हों, और चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण।

बीजगणित

भारतीय नाम बीजगणित विज्ञान के लिए बीजगणित है। बीज का अर्थ है ‘तत्व’ या ‘विश्लेषण’ और गणित का अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’। इस प्रकार बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है ‘तत्वों के साथ गणना का विज्ञान’ या ‘विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान’। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) बीजगणित को कुट्टकगणित, या सरलतः कुट्टक कहते हैं। कुट्टक शब्द, जिसका अर्थ है ‘पीसने वाला’, बीजगणित के विज्ञान की एक शाखा को संदर्भित करता है जो विशेष रूप से प्रथम घात के अनिर्धारित समीकरणों के विषय से संबंधित है। यह देखना रोचक है कि इस विषय को भारतीयों ने इतना महत्वपूर्ण माना कि सातवीं शताब्दी के प्रारंभ में सम्पूर्ण बीजगणित विज्ञान का नाम इसी के नाम पर रखा गया। बीजगणित को अव्यक्त-गणित, या “अज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान” (अव्यक्त = अज्ञात) भी कहा जाता है, जो व्यक्त-गणित, या “ज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान” (व्यक्त = ज्ञात) नाम से अंकगणित जिसमें ज्यामिति और क्षेत्रमिति सम्मिलित हैं, के विपरीत है।

बीजगणित का महत्व

प्राचीन भारतीय बीजगणित को एक महत्वपूर्ण उपयोगी विज्ञान मानते थे। बीजगणित पर अपने ग्रंथ के प्रारंभिक श्लोकों में, ब्रह्मगुपट टिप्पणी करते हैं:

“चूंकि प्रश्न शायद ही बीजगणित के बिना जाने (अर्थात् हल) जा सकते हैं, इसलिए मैं बीजगणित को उदाहरणों के साथ बताऊंगा। कुट्टक, शून्य, ऋणात्मक और धनात्मक राशियां, अज्ञात, मध्य पद का विलोपन, एक अज्ञात वाले समीकरण, फैक्टम और वर्ग-स्वभाव को जानकर, कोई विद्वानों में विद्वान प्राध्यापक (आचार्य) बन जाता है।”

इसी प्रकार भास्कर द्वितीय (1150 ई.) लिखते हैं—“जिसे विद्वान गणक (संख्यापक) बुद्धि की उत्पत्ति का कारण कहते हैं, जो किसी बुद्धिमान सत्ता (सत्पुरुष) के निर्देशन से कार्य करता है और जो सभी व्यक्त (व्यक्त) वस्तुओं का मूल कारण (बीज) है, मैं उस अदृश्य ईश्वर तथा अज्ञातों की गणना की विद्या को वंदन करता हूँ… चूँकि प्रश्नों का समाधान बीजगणित की तर्कशक्ति के बिना दुर्लभ है, और मंद बुद्धि के लोगों के लिए असंभव है, इसलिए मैं विश्लेषण की क्रियाओं का वर्णन करूँगा।” इस प्रकार, भास्कर द्वितीय के अनुसार, बीजगणित को वह विज्ञान कहा जा सकता है जो प्रतीकों द्वारा व्यक्त संख्याओं का अध्ययन करता है, और जिसमें बुद्धिमान युक्तियों और चतुर उपायों के लिए ample scope और प्राथमिक आवश्यकता होती है।

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति सुल्ब (800-500 ई.पू.) और ब्राह्मण (2000 ई.पू.) काल से जोड़ी जा सकती है। परंतु उस समय यह प्रायः ज्यामितीय था। एक वर्ग को दी गई भुजा वाले आयत में रूपांतरित करने की ज्यामितीय विधि, जो महत्वपूर्ण सुल्ब में वर्णित है, स्पष्टतः एक अज्ञात राशि में रैखिक समीकरण $a x=c^{2 n}$ के समाधान के समतुल्य है। द्विघात समीकरण का समकक्ष एक ऐसे आकृति (वेदी) के निर्माण में है जो किसी दी गई आकृति के समरूप हो परंतु उससे निर्धारित मात्रा में क्षेत्रफल में भिन्न हो। उस समस्या को हल करने की सामान्य विधि आकृति की रैखिक विमाओं की मापन इकाई को बढ़ाना था।

आर्यभट्ट प्रथम ने द्विपद प्रसार में भी महत्वपूर्ण योगदान दिए। इनका उपयोग घातांक, वर्ग, वर्गमूल, घन, घनमूल आदि पर संक्रियाएँ ज्ञात करने के लिए किया गया।

त्रिकोणमिति

बीजगणित की संकल्पनाओं के विकास के अतिरिक्त, भारतीयों ने त्रिकोणमिति की संकल्पनाओं को भी व्यवस्थित रूप से विकसित किया जो इसके आधुनिक रूप से मेल खाती थीं। उन्होंने इसके आगामी विकास में बीजगणित का उपयोग किया।

यद्यपि यूनानियों ने त्रिकोणमिति की स्थापना की, उनकी प्रगति पर्याप्त बीजगणितीय यंत्र और संकेतों की अनुपस्थिति के कारण रुक गई। भारतीयों ने साइन और कोसाइन फलनों की खोज की, अधिकांश मानक सूत्रों और पहचानों की खोज की, जिसमें $\sin (A \pm B)$ के लिए आधारभूत सूत्र भी शामिल है और अपेक्षाकृत सटीक साइन सारणियाँ बनाईं। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) और गोविन्दस्वामी (ई. 880) ने साइन सारणियों से मध्यवर्ती कोणों के साइनों की गणना के लिए अंतर्वेशन सूत्र दिए — ये द्वितीय-क्रम अंतर के न्यूटन-स्टर्लिंग और न्यूटन-गॉस सूत्रों के विशेष मामले हैं (जो उन्नत कक्षाओं में पढ़ाए जाते हैं)। भारतीय ग्रंथों में उल्लेखनीय सन्निकटन दिए गए हैं जिनमें आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499) का 3.1416, माधव (ई. 1500) का 3.14159265359 और नीलकण्ठ (ई. 1500) का 355/113 शामिल हैं।

आर्यभट प्रथम ने पहली बार एक चतुर्थ-वृत्त के अंदर समकोण त्रिभुज को परिभाषित किया और लंब तथा आधार को कोण की फलन के रूप में व्यक्त किया; उन्होंने लंब, ज्या या जीवा को (R \operatorname{Sin} \theta) तथा आधार, को-ज्या (\bar{a}) को (R \operatorname{Cos} \theta) के रूप में दिया, जो सम्बन्ध ((R \operatorname{Sin} \theta)^{2}+(R \operatorname{Cos} \theta)^{2}=R^{2}) को संतुष्ट करता है, जहाँ (R) वृत्त की त्रिज्या है। उन्होंने मान दिए: (R \operatorname{Sin} 0^{\circ}=0), (R \operatorname{Sin} 30^{\circ}=R / \sqrt{3}), (R \operatorname{Sin} 45^{\circ}=R / \sqrt{2}), (R \operatorname{Sin} 60^{\circ}=R \sqrt{3} / 2), (R \operatorname{Sin} 90^{\circ}=R)।

उन्होंने आगे सुझाव दिया कि (0 \leq \theta \leq 1) अंतराल में ज्या मान बढ़ते हैं और कोज्या मान घटते हैं, अर्थात् (R \operatorname{Cos} 0^{\circ}=R) तथा (\operatorname{Cos} 90^{\circ}=0\। ये सभी तथ्य आधुनिक त्रिकोणमिति में भी अध्ययन किए जाते हैं।

अभ्यास

1. प्राचीन गणितज्ञों को कितनी मूलभूत संक्रियाएँ ज्ञात थीं? वे क्या हैं?

2. उन प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के नाम तथा उनकी अवधि बताइए जिन्होंने ज्यामिति और त्रिकोणमिति में कार्य किया।

क्या आपको प्राचीन गणितीय संकल्पनाओं और आपके द्वारा अध्ययन की जा रही वर्तमान बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति की संकल्पनाओं के बीच कोई समानता दिखाई देती है? (आप संदर्भों में दिए गए साहित्य का भी अवलोकन कर सकते हैं)

3. (क) क्या आपको लगता है कि संख्याओं पर मूलभूत संक्रियाएँ करने की प्रक्रिया में प्राचीन काल और आज की प्रणाली जो आपने पढ़ी है, कोई अंतर है?

(ख) आपको कौन-सी प्रक्रिया आसान लगती है? क्यों? अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

4. कम-से-कम तीन ऐसे पद लिखिए जिनका प्रयोग प्राचीन गणितज्ञों ने किया था और उनके अर्थ दीजिए:

(क) योग
(ख) व्यवकलन
(ग) गुणा
(घ) भाग

5. साहित्य से ऐसी गणितीय संकल्पनाएँ खोजिए जो इस अध्याय में चर्चित नहीं की गई हैं और जिनका विकास भारतीय गणितज्ञों ने किया है।

शब्दावली

गणित अनुयोग: गणित के सिद्धांतों का प्रतिपादन

कपट-संधि: संख्याओं को गुणा करने की एक विधि

सांख्यान: संख्याओं का विज्ञान, अर्थात् अंकगणित और खगोलशास्त्र

शुल्बसूत्र: संस्कृत नाम ‘शुल्बसूत्र’ या ‘शुल्व सूत्र’ सर्वेक्षण करने वालों की उस प्रथा से लिया गया है जिसमें वे ज़मीन के समीप डोरियों को खूँटों से जोड़कर सीधी रेखाएँ खींचते थे। आज भी हम ईंटों के कारीगरों को यह कला करते देख सकते हैं, यदि वे यह सुनिश्चित करना चाहें कि दीवार सीधी है।

यजुर्वेद संहिता: यजुर्वेद-संहिताएँ अध्वर्यु पुरोहित के लिए प्रार्थना-पुस्तकें हैं, जिसे लगभग सभी कर्मकांडीय कार्य करने होते थे यज्ञ में।