खण्ड A

1. बीजगणित

   • आव्यूह और आव्यूहों के प्रकार
   • आव्यूहों की समानता
   • एक आव्यूह का परिवर्त
   • सममित और विषम सममित आव्यूह
   • आव्यूहों की बीजगणित
   • सारणिक
   • आव्यूह का व्युत्क्रम
   • आव्यूह विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

2. कलन

   • उच्च कोटि के अवकलज
   • स्पर्श रेखा और अभिलंब
   • वर्धमान और ह्रासमान फलन
   • अधिकतम और न्यूनतम

3. समाकलन और इसके अनुप्रयोग

   • सरल फलनों के अनिश्चित समाकल
   • अनिश्चित समाकलों का मूल्यांकन
   • निश्चित समाकल

4. अवकल समीकरण

   • अवकल समीकरणों की कोटि और घात
   • अवकल समीकरणों का निर्माण और हल
   • पृथक्करणीय चर

5. प्रायिकता बंटन

   • यादृच्छिक चर और इसका प्रायिकता बंटन
   • एक यादृच्छिक चर का प्रत्याशित मान
   • एक यादृच्छिक चर का प्रसरण और मानक विचलन
   • द्विपद बंटन

6. रैखिक प्रोग्रामिंग

   • रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय सूत्रीकरण
   • दो चरों वाली समस्याओं के लिए हल का आलेखीय विधि
   • व्यवहार्य और अव्यवहार्य क्षेत्र
   • इष्टतम व्यवहार्य समाधान

खंड B1: गणित

इकाई I: संबंध और फलन

1. संबंध और फलन

   • संबंधों के प्रकार: स्वतुल्य, सममित, संक्रामक और तुल्यता संबंध।
   • एक से एक और आच्छादक फलन, संयुक्त फलन,
   • एक फलन का प्रतिलोम।
   • द्विआधारी संक्रियाएँ।

2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

   • परिभाषा, परिसर, प्रांत, प्रधान मान शाखाएँ।
   • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के आलेख।
   • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की प्रारंभिक गुणधर्म।

इकाई II: बीजगणित

1. आव्यूह (Matrices)

   • अवधारणा, संकेतन, क्रम, समानता
   • आव्यूहों के प्रकार
   • शून्य आव्यूह
   • आव्यूह का परिवर्त, सममित और विषम-सममित आव्यूह।
   • आव्यूहों का योग, गुणा और अदिश गुणा; योग, गुणा और अदिश गुणा के सरल गुणधर्म।
   • आव्यूह गुणा का असम्मुतारित होना और ऐसे अशून्य आव्यूहों का अस्तित्व जिनका गुणनफल शून्य आव्यूह हो (केवल 2-क्रम के वर्ग आव्यूहों तक सीमित)।
   • प्राथमिक पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं की अवधारणा।
   • व्युत्क्रमणीय आव्यूह और व्युत्क्रम की अद्वितीयता का प्रमाण, यदि व्युत्क्रम अस्तित्व में हो; (यहाँ सभी आव्यूहों के प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ होंगी)।

2. सारणिक (Determinants)

   • वर्ग आव्यूह का सारणिक (3 × 3 तक के आव्यूहों तक)
   • सारणिकों के गुणधर्म
   • अल्पक, सह-गुणांक और त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात करने में सारणिकों के अनुप्रयोग।
   • सहज
   • वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम।
   • रैखिक समीकरणों के निकाय की संगति, असंगति और उत्तरों की संख्या उदाहरणों द्वारा, दो या तीन चरों वाले रैखिक समीकरणों के निकाय (जिनका अद्वितीय हल हो) को आव्यूह के व्युत्क्रम का उपयोग करके हल करना।

इकाई III: कलन

1. सांतत्य और अवकलनीयता

   • सांतत्य और अवकलनीयता
   • संयुक्त फलनों का अवकलज, श्रृंखला नियम
   • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज
   • अंतर्निहित फलन का अवकलज।
   • घातीय, लघुगणकीय फलनों की अवधारणाएँ।
   • log x और e^x के अवकलज।
   • लघुगणकीय अवकलन।
   • प्राचलिक रूपों में व्यक्त फलनों का अवकलज।
   • द्वितीय कोटि के अवकलज।
   • रोले और लाग्रांज के माध्यमान मान प्रमेय (बिना प्रमाण) और उनकी ज्यामितीय व्याख्याएँ।

2. अवकलज के अनुप्रयोग

   • अवकलज के अनुप्रयोग:
   • परिवर्तन की दर,
   • वर्धमान/ह्रासमान फलन
   • स्पर्शरेखा और अभिलंब
   • सन्निकटन
   • उच्चतम और निम्नतम मान (पहला अवकलज परीक्षण ज्यामितीय रूप से प्रेरित और दूसरा अवकलज परीक्षण एक प्रमाणित उपकरण के रूप में दिया गया)
   • सरल समस्याएँ (जो मूलभूत सिद्धांतों और विषय की समझ के साथ-साथ वास्तविक जीवन की परिस्थितियों को भी दर्शाती हैं)।
   • स्पर्शरेखा और अभिलंब।

3. समाकलन

• समाकलन को अवकलन की प्रक्रिया का व्युत्क्रम माना जाता है।
• प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्नों तथा खण्डशः समाकलन द्वारा विभिन्न प्रकार के फलनों का समाकलन, केवल निम्नलिखित सरल समाकलन—
• $$\int \frac{dx}{x^2 \pm a^2}, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}, \quad \int \frac{dx}{ax^2 + bx + c}, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}},$$
• $$\int \frac{(px + q)}{ax^2 + bx + c} , dx, \quad \int \frac{(px + q)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} , dx, \quad \int \sqrt{a^2 \pm x^2} , dx \quad \text{और} \quad \int \sqrt{x^2 - a^2} , dx,$$
• $$\int \sqrt{ax^2 + bx + c} , dx \quad \text{और} \quad \int (px + q) \sqrt{ax^2 + bx + c} , dx $$ का मान निकालना।
• निश्चित समाकलन को योग की सीमा के रूप में।
• कलन का मूलभूत प्रमेय (बिना प्रमाण)
• निश्चित समाकलनों के मूलभूत गुणधर्म तथा निश्चित समाकलनों का मान निकालना।

4. समाकलनों के अनुप्रयोग

• सरल वक्रों के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने में अनुप्रयोग,
• विशेषतः रेखाएँ,
• वृत्त/परवलय/दीर्घवृत्त के चाप (केवल मानक रूप में),
• उपरोक्त दो वक्रों के बीच का क्षेत्र (क्षेत्र स्पष्टतः पहचान योग्य होना चाहिए)।

5. अवकल समीकरण
   • परिभाषा, कोटि और घात, एक अवकल समीकरण का व्यापक और विशिष्ट हल।
   • वह अवकल समीकरण बनाना जिसका व्यापक हल दिया गया हो।
   • चरों के पृथक्करण विधि द्वारा अवकल समीकरणों का हल
   • प्रथम कोटि और प्रथम घात के समघातीय अवकल समीकरण।
   • निम्न प्रकार के रैखिक अवकल समीकरण का हल –
   • $$\frac{dy}{dx} + Py = Q, \text {जहाँ P और Q, x के फलन या अचर हैं}$$
   • $$\frac{dx}{dy} + Px = Q, \text{जहाँ P और Q, y के फलन या अचर हैं।}$$

इकाई IV: सदिश और त्रि-आयामी ज्यामिति

1. सदिश (Vectors)

   • सदिश और अदिश, एक सदिश का परिमाण और दिशा।
   • सदिशों की दिशा कोज्याएँ/अनुपात।
   • सदिशों के प्रकार (समान, इकाई, शून्य, समांतर और संरेख सदिश),
   • किसी बिंदु का स्थिति सदिश,
   • सदिश का ऋणात्मक,
   • सदिश के घटक,
   • सदिशों का योग,
   • किसी सदिश का अदिश से गुणा,
   • दी गई अनुपात में एक रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश।
   • सदिशों का अदिश (डॉट) गुणनफल, किसी सदिश की किसी रेखा पर प्रक्षेप।
   • सदिशों का सदिश (क्रॉस) गुणनफल,
   • अदिश ट्रिपल गुणनफल।

2. त्रि-आयामी ज्यामिति (Three-dimensional Geometry)

   • दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की दिशा कोज्याएँ/अनुपात।
   • रेखा का कार्तीय और सदिश समीकरण,
   • समतलीय और विषम रेखाएँ,
   • दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी।
   • समतल का कार्तीय और सदिश समीकरण।
   • कोण (i) दो रेखाओं के बीच, (ii) दो समतलों के बीच, (iii) एक रेखा और एक समतल के बीच।
   • किसी बिंदु की समतल से दूरी।

इकाई V: रैखिक प्रोग्रामिंग

• परिचय, संबंधित शब्दावली जैसे बाधाएँ, उद्देश्य फलन, अनुकूलन,
• रैखिक प्रोग्रामिंग (L.P.) समस्याओं के विभिन्न प्रकार,
• L.P. समस्याओं का गणितीय सूत्रीकरण,
• दो चरों वाली समस्याओं के लिए ग्राफ़िकल विधि से हल,
• सम्भाव्य और असम्भाव्य क्षेत्र,
• सम्भाव्य और असम्भाव्य हल,
• इष्टतम सम्भाव्य हल (तीन गैर-साधारण बाधाओं तक).

इकाई VI: प्रायिकता

• प्रायिकता पर गुणन प्रमेय।
• प्रतिबंधित प्रायिकता, स्वतंत्र घटनाएँ, कुल प्रायिकता, बेज़ प्रमेय।
• यादृच्छिक चर और इसकी प्रायिकता बंटन, यादृच्छिक चर का माध्य और प्रसरण।
• पुनरावृत्त स्वतंत्र (बर्नौली) परीक्षण और द्विपद बंटन।

खंड B2: अनुप्रयुक्त गणित

इकाई I: संख्याएँ, परिमाणन और संख्यात्मक अनुप्रयोग

1. मॉड्यूलो अंकगणित

   • एक पूर्णांक का मॉड्यूल परिभाषित करें
   • मॉड्यूलर अंकगणित नियमों का उपयोग करके अंकगणितीय संक्रियाएँ लागू करें

2. मॉड्यूलो सर्वांगसमता

   • सर्वांगसमता मॉड्यूलो की परिभाषा दें
   • विभिन्न समस्याओं में परिभाषा को लागू करें

3. आरोपण और मिश्रण

• किसी दी गई कीमत पर मिश्रण तैयार करने के लिए मिश्रण नियम (rule of allegation) को समझें
  • मिश्रण का औसत मूल्य निर्धारित करें
  • मिश्रण नियम लागू करें

4. संख्यात्मक समस्याएँ

   • वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणितीय रूप से हल करें

5. नाव और धारा

   • धारा के प्रतिकूल (upstream) और अनुकूल (downstream) के बीच अंतर करें
   • समस्या को समीकरण के रूप में व्यक्त करें

6. पाइप और टंकी

   • दो या अधिक पाइपों द्वारा टंकी को भरने या खाली करने में लगने वाला समय निर्धारित करें

7. दौड़ और खेल

   • दिए गए आँकड़ों के आधार पर दो खिलाड़ियों की प्रदर्शन की तुलना समय, तय की गई दूरी/तय की गई दूरी/किया गया कार्य के संदर्भ में करें

8. साझेदारी

   • सक्रिय साझेदार और निष्क्रिय साझेदार के बीच अंतर करें
   • लाभ या हानि को उनके निवेश के अनुपात में, समय की उचित विचार के साथ, साझेदारों में बाँटें

9. संख्यात्मक असमानताएँ

   • संख्यात्मक असमानताओं की मूलभूत अवधारणाओं का वर्णन करें
   • संख्यात्मक असमानताओं को समझें और लिखें

इकाई II: बीजगणित

1. आव्यूह और आव्यूहों के प्रकार

   • आव्यूह को परिभाषित करें
   • आव्यूहों के विभिन्न प्रकारों की पहचान करें

2. आव्यूहों की समानता, आव्यूह का परिवर्त, सममित और विषम सममित आव्यूह

   • दो आव्यूहों की समानता निर्धारित करें
   • दिए गए आव्यूह का परिवर्त लिखें
   • सममित और विषम सममित आव्यूह को परिभाषित करें

इकाई III: कलन

1. उच्च कोटि के अवकलज

• द्वितीय और उच्चतर कोटि के अवकलज निर्धारित करें
  • प्राचलिक फलनों और अंतर्निहित फलनों के अवकलन को समझें
  • आश्रित और स्वतंत्र चरों की पहचान करें

2. अवकलजों का उपयोग कर सीमांत लागत और सीमांत राजस्व

   • सीमांत लागत और सीमांत राजस्व को परिभाषित करें
   • सीमांत लागत और सीमांत राजस्व ज्ञात करें

3. अधिकतम और न्यूनतम

   • फलन के क्रांतिक बिंदुओं का निर्धारण करें
   • स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम के बिंदु(ओं) और संगत स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम मानों को ज्ञात करें
   • किसी फलन का निरपेक्ष अधिकतम और निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात करें

इकाई IV: प्रायिकता बंटन

1. प्रायिकता बंटन

   • यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन की अवधारणा को समझें
   • विवृत यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन ज्ञात करें

2. गणितीय अपेक्षा

   • बारंबारता बंटन की समांतर माध्य को यादृच्छिक चर के प्रत्याशित मान को ज्ञात करने में लागू करें

3. प्रसरण

   • यादृच्छिक चर का प्रसरण और मानक विचलन गणना करें

इकाई V: सूचकांक संख्याएं और समय आधारित आंकड़े

1. सूचकांक संख्याएं

   • सूचकांक संख्याओं को औसत के एक विशेष प्रकार के रूप में परिभाषित करें

2. सूचकांक संख्याओं की रचना

   • सूचकांक संख्याओं के विभिन्न प्रकारों की रचना करें

3. सूचकांक संख्याओं की पर्याप्तता की जांच

   • समय उलट परीक्षण लागू करें

4. समय श्रृंखला

   • समय श्रृंखला को कालानुक्रमिक आंकड़ों के रूप में पहचानें

5. समय श्रृंखला के घटक

   • समय श्रृंखला के विभिन्न घटकों के बीच अंतर करें

6. एकल चर आँकड़ों के लिए समय श्रृंखला विश्लेषण

   • सांख्यिकीय आँकड़ों के आधार पर व्यावहारिक समस्याओं का समाधान करें और व्याख्या करें

इकाई VI: निष्कर्षात्मक सांख्यिकी

1. जनसंख्या और नमूना

   • जनसंख्या और नमूने को परिभाषित करें
   • जनसंख्या और नमूने के बीच अंतर करें
   • जनसंख्या से एक प्रतिनिधि नमूने को परिभाषित करें

2. प्राचल और सांख्यिकी तथा सांख्यिकीय निष्कर्ष

   • जनसंख्या के संदर्भ में प्राचल को परिभाषित करें
   • नमूने के संदर्भ में सांख्यिकी को परिभाषित करें
   • प्राचल और सांख्यिकी के बीच संबंध को समझाएँ
   • जनसंख्या के लिए अनुमान को व्यापक बनाने में सांख्यिकी की सीमा को समझाएँ
   • सांख्यिकीय महत्व और सांख्यिकीय निष्कर्ष की अवधारणा की व्याख्या करें
   • केंद्रीय सीमा प्रमेय को बताएँ
   • जनसंख्या-नमूना वितरण-नमूने के बीच संबंध को समझाएँ

इकाई VII: वित्तीय गणित

1. सदा निधि, सिंकिंग फंड

   • सदा निधि और सिंकिंग फंड की अवधारणा को समझाएँ
   • सदा निधि की गणना करें
   • सिंकिंग फंड और बचत खाते के बीच अंतर करें

2. बॉन्ड का मूल्यांकन

   • बॉन्ड के मूल्यांकन और संबंधित पदों की अवधारणा को परिभाषित करें
   • वर्तमान मूल्य दृष्टिकोण का उपयोग करके बॉन्ड की गणना

3. EMI की गणना

   • EMI की अवधारणा को समझाएँ
   • विभिन्न विधियों का उपयोग करके EMI की गणना करें

4. अवक्षय की रेखीय विधि

   • अवक्षय की रेखीय विधि की अवधारणा को परिभाषित करें
   • दी गई जानकारी से किसी संपत्ति की लागत, अवशिष्ट मूल्य और उपयोगी जीवन की व्याख्या करें
   • अवक्षय की गणना करें

इकाई VIII: रैखिक प्रोग्रामिंग

1. परिचय और संबंधित शब्दावली

   • रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या से संबंधित पदों से परिचित हों

2. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय सूत्रीकरण

   • रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सूत्रीकरण करें

3. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के विभिन्न प्रकार

   • एलपीपी के विभिन्न प्रकारों की पहचान करें और उनका सूत्रीकरण करें

4. दो चरों वाली समस्याओं के लिए ग्राफीय विधि से हल

   • दो चरों वाली रेखीय असमानताओं की प्रणाली के लिए ग्राफ खींचें और उसका हल ग्राफीय रूप से खोजें

5. सुपात्र और असुपात्र क्षेत्र

   • सुपात्र, असुपात्र और सीमित क्षेत्रों की पहचान करें

6. सुपात्र और असुपात्र हल, इष्टतम सुपात्र हल

   • सुपात्र और असुपात्र हलों को समझें
   • इष्टतम सुपात्र हल खोजें