गुरुत्वाकर्षण: सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम

$F \propto \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \text { या } F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

जहाँ $\mathrm{G}=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{~kg}^{-2}$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम सदिश रूप में:

$\vec{F_{12}} = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \hat{r_{12}}$

$ \vec{F_{21}} = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \hat{r_{21}}$

अब $\hat{r_{12}} = -\hat{r_{21}}$

इस प्रकार, $\vec{F_{21}}=\frac{-G m_1 m_2}{r^2} \hat{r}_{12}$

उपरोक्त की तुलना करने पर, हम पाते हैं $\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}$

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र:

$E=\frac{F}{m}=\frac{G M}{r^{2}}$

गुरुत्वाकर्षण विभव:

$V=-\frac{G M}{r} . \quad E=-\frac{d V}{d r}$

• वलय

  $V=\frac{-G M}{x \text { या }\left(a^{2}+r^{2}\right)^{1 / 2}} \quad \quad E=\frac{-G M r}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{r}$

  $\text { या } E=-\frac{G M \cos \theta}{x^{2}}$

  गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र अधिकतम एक दूरी पर है, $r= \pm a / \sqrt{2} \text { और यह है }-2 G M / 3 \sqrt{3} a^{2}$

• पतला वृत्ताकार चकती

  $V=\frac{-2 G M}{a^{2}}\left[\left[a^{2}+r^{2}\right]^{\frac{1}{2}}-r\right] E=-\frac{2 G M}{a^{2}}\left[1-\frac{r}{\left[r^{2}+a^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}\right]=-\frac{2 G M}{a^{2}}[1-\cos \theta]$

• अचालक ठोस गोला

  (a) बिंदु P गोले के अंदर है $r \leq a$, तो

$V=-\frac{G M}{2 a^{3}}\left(3 a^{2}-r^{2}\right) E=-\frac{G M r}{a^{3}}$

केन्द्र पर $V=-\frac{3 G M}{2 a} \quad \text{तथा} \quad E=0$

(b) बिन्दु $P$ गोले के बाहर $r \geq a$, तब

$ V=-\frac{M G}{r} \quad E=-\frac{M G}{r^{2}}$

• समान पतला गोलीय कोश/ चालक ठोस गोला

  (a) बिन्दु $P$ कोश के अन्दर

  $r \leq a$, तब $V=\frac{-G M}{a} \quad E=0$

  (b) बिन्दु $P$ कोश के बाहर

  $r \geq a$, तब $V=\frac{-G M}{r} \quad E=-\frac{G M}{r^{2}}$

गुरुत्वाकर्षण के त्वरण में परिवर्तन :

• ऊँचाई का प्रभाव

  $g_{h}=\frac{G M_{e}}{\left(R_{e}+h\right)^{2}}=g\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{-2}$

  $\simeq g\left(1-\frac{2 h}{R_{e}}\right) \text { जब } h < <R \text {. }$

• गहराई का प्रभाव $g_{d}=g\left(1-\frac{d}{R_{e}}\right)$

• पृथ्वी की सतह का प्रभाव

  विषुवीय त्रिज्या ध्रुवीय त्रिज्या से लगभग $21 \mathrm{~km}$ अधिक है।
  हम जानते हैं, $g=\frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$

  इसलिए $g_{\text {ध्रुव }}>g_{\text {विषुव }}.$

उपग्रह वेग (कक्षीय वेग)

$v_{0}=\left[\frac{G M_{e}}{\left(R_{e}+h\right)}\right]^{\frac{1}{2}}=\left[\frac{g R_{e}^{2}}{\left(R_{e}+h\right)}\right]^{\frac{1}{2}}$

जब $h«R_e$ तब $v_0=\sqrt{gR}$

$\therefore \quad v_{0}=\sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^{6}}$

$=7.92 \times 10^{3} \mathrm{ms}^{-1}=7.92 \mathrm{km} \mathrm{s}^{1}$

उपग्रह की समयावधि:

$T=\frac{2 \pi\left(R_{e}+h\right)}{\left[\frac{g R_{e}^{2}}{\left(R_{e}+h\right)}\right]^{\frac{1}{2}}}=\frac{2 \pi}{R_{e}}\left[\frac{\left(R_{e}+h\right)^{3}}{g}\right]^{\frac{1}{2}}$

उपग्रह की ऊर्जा:

$U=\frac{-G M_{e} m}{r} \quad \text{गतिज ऊर्जा} =\frac{G M_{e} m}{2 r} ;\quad \text{फिर कुल ऊर्जा:} \quad E=-\frac{G M_{e} m}{2 R_{e}}$

केप्लर के नियम

क्षेत्रफल का नियम :

• सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली रेखा समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल काटती है।

• क्षेत्रफलीय वेग: $ v_A=\frac{\text { काटा गया क्षेत्रफल }}{\text { समय }}=\frac{\frac{1}{2} r(r d \theta)}{d t}= \frac{1}{2} r^{2} \frac{d \theta}{d t}= \text{स्थिरांक .}$

• इसलिए $\frac{1}{2} r^{2} \omega=$ स्थिरांक.

आवर्तकाल का नियम :

$\frac{T^{2}}{R^{3}}=\text{स्थिरांक}$

प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण

गुरुत्वाकर्षण और अपकेन्द्र बल दोनों को मिलाकर किसी अक्षांश पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण:

$g_{\text{प्रभावी}} = g - \omega^2 r$

जहाँ: $\omega$ पृथ्वी के घूर्णन का कोणीय वेग है।

ध्रुवों पर यह सरल हो जाता है:

$g_{\text{प्रभावी, ध्रुव}} = g, \quad \text{क्योंकि} \quad a_c = 0 \quad \text{ध्रुवों पर है.}$

पलायन वेग

पृथ्वी की सतह से पलायन वेग है $ v = \sqrt{2G \frac{M}{r}}$